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Cultura y matemáticas

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Cultura y matemáticas/El rincón matemágico
Autor:Pedro Alegría (Universidad del País Vasco)
Llevamos más de 17 años dando muestras mensuales de la estrecha relación que existe entre la magia y la matemática. Después de este recorrido tan extenso, es posible que hayas tenido la impresión de que toda la magia es matemática o de que toda la matemática es mágica pero, a poco que conozcas algo más de cualquiera de estas dos disciplinas, concluirás que hay vida más allá de ambas. Digo esto porque hoy quiero dedicar nuestra reunión mensual en este rincón a explorar algunas relaciones de la magia con otras ciencias, concretamente con las ciencias cognitivas. Esto tampoco nos aleja de las matemáticas porque el estudio de la lógica del cerebro y la lógica de la razón están lógicamente relacionados, por pura lógica. Así que voy a realizar un pequeño recorrido por algunos juegos más o menos clásicos en los que el razonamiento lógico choca contra la percepción sensorial. (1) LA HIPERCARTA El primer ejemplo es el que aparece en la imagen que encabeza el artículo: ¿crees que es posible que esta figura se haya construido con una sola carta sin haberla roto completamente? Parece imposible que la sección vertical corresponda exactamente con los dos huecos contrapuestos que se han formado en la parte horizontal. Pues, contrariamente a la razón, es posible y muy fácil de realizar. El acertado nombre comercial de esta ilusión es "hipercarta" debido a que, aparentemente, se debe viajar a la cuarta dimensión para conseguir que los dos huecos se conviertan en un solo trozo. Se desconoce el origen de esta ilusión pero, en el capítulo 8 del libro Fractal Music, Hypercards and More ... (Freeeman, 1992), Martin Gardner señala que la construcción de este modelo fue propuesta como examen de ingreso para la escuela de arquitectura en la Universidad de Leningrado (la actual San Petersburgo). En ese mismo capítulo, Gardner explica el método para construir la hipercarta y desvela algunas ideas elaboradas por varios magos para convertir esta ilusión en juego de magia. Un estudio riguroso y completo, realizado por Tom Frame, culminó con el libro titulado The Hypercard Project (2006), donde se pueden encontrar diferentes variaciones y muchas sorpresas. A modo de ejemplo, van estas dos figuras: la imagen de la izquierda consiste en una banda de Möbius con aspecto de hipercarta, ideada por Paul Merva y Alexis Gilliand y la imagen de la derecha (¿te animas a construirla?) es una sorprendente construcción realizada por Jack Botermans, especialista en puzles y problemas de ingenio, como aparece en su libro Paper Capers (1986). Aunque la propia ilusión ya produce en sí misma una sorpresa mágica, una estupenda adaptación como juego de magia la ofreció el mago californiano Daryl Easton (fallecido en 2017 bajo extrañas circunstancias) con el juego Hyper-Bent-Elation. Una última sugerencia: no dejes de consultar el artículo "Impossible Folding Font", firmado por Erik Demaine, Martin Demaine, Tomoko Taniguchi y Ryuhei Uehara, que fue presentado para la edición de 2019 de las Conferencias Bridges, en las que se exploran las conexiones de las matemáticas con el arte, la música, la arquitectura y la cultura. En ese trabajo crean todo un alfabeto con figuras «imposibles» como las que vemos en las imágenes de aquí abajo. (2) EL BOOMERANG El segundo ejemplo que quiero mostrar recibe el nombre de «ilusión del boomerang». Consiste en dos láminas o tiras de cartón u otro material con forma de rectángulo curvado, como se ve en estas dos imágenes. Si nos fijamos en la imagen de la izquierda, parece evidente que la pieza A es de menor tamaño que la pieza B. Ahora bien, si intercambiamos las posiciones de las dos piezas, resulta que la pieza B tiene ahora menor tamaño que la pieza A, como se puede apreciar en la imagen de la derecha. La realidad es que ambas plantillas son exactamente iguales. Sólo la posición relativa entre ellas y la forma curvada de su construcción produce la sensación de que una de ellas es mayor que la otra (al alinearse las dos piezas por los lados cortos de su izquierda, la figura superior queda desplazada hacia la izquierda de forma inapreciable por el subconsciente). En este videoclip de la página Mighty Optical Illusions se muestran las distintas posiciones relativas de las piezas y la ilusión óptica que hace variar nuestra sensación sobre su tamaño relativo. Se dice por ahí que esta ilusión óptica fue ideada por el psicólogo estadounidense —de origen polaco — Joseph Jastrow en 1892, razón por la cual se conoce popularmente como "ilusión de Jastrow". Sin embargo, aparece impresa —¿por primera vez?— en la enciclopedia "The world of wonders: a record of things wonderful in nature, science, and art", publicada alrededor del año 1882, bajo el título Wonderful optical delusion, como se muestra en la imagen de la izquierda. Esta misma ilusión fue publicada por el psicólogo alemán Felix Müller-Lyer para la revista Archiv fur Anatomie und Physiologie en 1889 junto a una selección de ilusiones similares (que se muestran en la imagen central) y por Wilhelm Wundt unos años más tarde. El estudio de la forma que deben tener las figuras para maximizar la ilusión fue estudiado por otro psicólogo, el japonés Shogu Imai en 1960. Aquí intervinieron las matemáticas pues la conclusión de Imai fue que los bordes curvos de las láminas debían tener forma de arcos de circunferencia, que la razón entre los radios debía ser 3/5 y el ángulo central ideal debía medir 80 grados. No pasó mucho tiempo para que la ilusión se convirtiera en un juego de magia. La referencia más temprana que se conoce corresponde al libro de Will Goldston titulado Simple Conjuring Tricks That Anyone Can Perform y publicado en 1913. Un completo y documentado estudio sobre esta ilusión ha sido escrito recientemente por Peter Prevos (quien se autodefine como ingeniero civil y científico social con incursiones esporádicas a la magia teatral) bajo el título The Jastrow Illusion in Magic, publicado en 2016. Él mismo escribió en 2017 una breve reseña del folleto en el artículo titulado "The science of the boomerang illusion", publicado en el número 8 de la revista Journal of Magic Research (de la que hablaremos más adelante). Muchas y variadas versiones de la ilusión del boomerang se han desarrollado como juegos de magia. Una de mis preferidas se debe al ingenio de Terri Rogers (ya citada en este rincón en el número 152 de septiembre de 2017), con el juego titulado Top of the bill, donde van cambiando de tamaño los carteles con los nombres de Stan Laurel y Oliver Hardy, los famosos "el gordo y el flaco". Otro enfoque interesante es el juego comercializado en 2006 por Chuck Leach bajo el título Boomerang Card Across; éste consiste en un sorprendente viaje de una carta pensada desde un paquete de cartas hacia otro con la ayuda de la ilusión del boomerang. Las imágenes sin palabras que muestro aquí abajo corresponden a otras versiones ingeniosas del juego. También puedes ver un video donde el mago japonés Mizoguchi realiza el juego titulado Arch Illusion y, si quieres adquirir un modelo barato, el matemago reinounidense Andrew Jeffrey comercializa la ilusión que titula la mariposa creciente. (3) UNO ES MAYOR QUE TRES La tercera y última ilusión paradójica que quiero comentar ya no se trata de un efecto óptico ni visual sino táctil. Antes de entrar en detalles, quiero que la experimentes personalmente para lo cual basta que sigas las instrucciones que leerás a continuación. Necesitarás tres barajas de cartas, aunque lo importante no son las cartas sino sus estuches de cartón. En su defecto, valen tres cajas iguales de dimensiones similares a las de los estuches de cartas, como las cajas grandes de cerillas. Vacía dos de las tres cajas y deja la tercera llena (puede ser con las propias cartas o con muchas monedas o llena de granos de arroz o de tornillos). Cuanto mayor sea su peso, más sorprendente será el efecto. Coloca las tres cajas apiladas, una sobre otra, pero dejando la más pesada encima de las otras dos. Agarra las tres cajas desde arriba con una mano, colocando el dedo pulgar en la parte interior y el resto de los dedos en la parte exterior y levanta todo el conjunto. Toma nota mental de su peso. Deja todo el conjunto sobre la mesa y agarra ahora solamente la caja superior. Levanta la caja y observa su peso. Por arte de magia, resulta que esta única caja pesa más que la suma de las tres. ¿Menos es más? Si no crees lo que has sentido, repite el experimento todas las veces que quieras, incluso empezando por levantar primero el paquete superior y después los tres juntos. ¡Increíble pero cierto! Si te ha parecido interesante el experimento, puedes construir tus propias cajas con el diseño que ha realizado Mark Fuller, el cual está disponible en el portal www.thingiverse.com, y que puedes reproducir con una impresora 3D. Si te parece más cómodo, puedes adquirir el juego en la tienda online Grand Illusions o una versión con ingredientes adicionales y material de gran calidad en Vanishing Magic. Este juego me lo enseñó Fernando Blasco (citado ya en este rincón en varias ocasiones) quien, a su vez, lo conoció en una de las famosas reuniones Gathering for Gardner, que se celebran cada dos años en Atlanta (capital del estado norteamericano de Georgia) reuniendo todo tipo de personas que comparten con Martin Gardner tres de sus grandes pasiones, la magia, las matemáticas y los juegos de ingenio. El efecto está basado en la conocida por los psicólogos como ilusión peso/tamaño de Charpentier, por haber sido el oftalmólogo francés Augustin Charpentier el primero en realizar el experimento y mostrar la ilusión creada en el artículo titulado "Analyse experimentale: De quelques elements de la sensation de poids" y publicado en 1891 (se puede leer un resumen de dicho artículo, así como otros aspectos históricos de la ilusión, en el trabajo de 1999 titulado "Charpentier (1891) on the size-weight illusion", firmado por David Murray, Robert Ellis y Christina Bandomir). El experimento inicial consistía en disponer de varios objetos, todos del mismo peso pero de distintas formas y tamaños, y estimar su peso levantándolos individualmente. La conclusión que se obtenía era que el objeto más pequeño parecía que fuera el más pesado. El fenómeno sigue suscitando debates entre los especialistas ya que no queda completamente resuelta la causa que origina esta ilusión. Intervienen aspectos físicos —como la diferencia de tamaño—, aspectos fisiológicos —como la dificultad de agarrar el objeto más grande o que la mano ejerce más presión sobre la parte superior del objeto que es la más pesada— o aspectos psicológicos —como la idea preconcebida de que más grande equivale a más pesado—, aunque es posible que la respuesta esté en la suma de todos ellos. Muchos artículos científicos se han publicado en relación con esta ilusión y es fácil encontrarlos gracias a la existencia de buscadores virtuales tan eficientes como veloces. Sólo citaré el artículo titulado "The size-weight illusion", al que puedes acceder desde el portal Science is Fun, mantenido por Bassam Shakhashiri, profesor de Química de la Universidad de Wisconsin-Madison, y que presidió en 2012 la American Chemical Society. La revista electrónica The Journal of Magic Research, disponible bajo registro en el portal Ask Alexander (la mayor biblioteca virtual sobre magia del mundo), está dedicada a promocionar la investigación científica en la magia; su lema es: "cuando mides cualquier cosa y lo expresas con números, entonces ya sabes algo sobre ella". En la revista se pueden encontrar artículos que relacionan la magia con las matemáticas, la neurociencia, psicología, biología, física, química y otras disciplinas científicas. Pues bien, en el número 5 de dicha revista (que apareció en febrero de 2014), Gerry Hayes escribe el artículo titulado "Can you fool yourself?" en el que cita este juego a partir de la descripción dada por Ian Rowland en la revista Magic Circular, que es el órgano de difusión del longevo y selecto club londinense «Magic Circle». Hayes pide a los lectores de la revista que se pronuncien sobre el fenómeno y propongan respuestas a las causas que lo originan. En el siguiente número de la revista podemos encontrar un par de contribuciones de magos que comentan sus propios métodos para realizar el juego, sin profundizar en la posible explicación. Independientemente de las causas que originan esta ilusión, puede presentarse ante el público como juego de magia, bien para demostrar los poderes de sugestión que tiene el mago, bien para hacer creer que existen fuerzas ocultas que se ejercen por la voluntad del mago, o mediante cualquier explicación pseudocientífica que se te ocurra. La buena noticia es que nadie descubrirá el truco porque ... ¡no hay truco! Para saber más Como podrás imaginar, hay muchos otros ejemplos que se podrían proponer en la línea de los citados aquí. Para no extenderme demasiado en el tema, terminaré indicando algunos enlaces en los que puedes empezar a navegar si te interesa el tema de la psicología en la magia. La ilusión del vaso de tubo era uno de los juegos favoritos de Martin Gardner (como puedes comprobar en la imagen) y está descrito en uno de los artículos de la revista digital Computer Science for Fun, de la Universidad Queen Mary de Londres. En el portal Psychology of magic, del grupo formado por investigadores de las Universidad McGill y British Columbia, aparecen publicados algunos resultados de investigación realizados con el objetivo de entender cómo la magia actúa sobre nuestra mente. El artículo de Susan Krauss (Universidad de Massachusetts Amherst), titulado 5 amazing psychology magic tricks (2012), enseña cinco juegos de magia como ejemplos de demostraciones científicas que pueden ser utilizados en institutos o escuelas de psicología. Diversos trabajos del mago y psicólogo Richard Wiseman, como los libros "Magic in Theory", "Blink and you'll miss it" o "Magic and wellbeing", abundan en el tema de la relación entre la magia y la psicología. Han sido (y son) muy populares en la red sus ilusiones ópticas y otros efectos mágicos, que se pueden disfrutar en el canal de YouTube titulado Quirkology. Pedro Alegría (Universidad del País Vasco - Euskal Herriko Unibertsitatea)
Jueves, 02 de Diciembre de 2021 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Instantáneas matemáticas
Autor:Ángel Requena Fraile
(Decoración doméstica con una tapa del grupo p4g) Las tapas de registro en hierro fundido de los distintos suministros urbanos tienen un especial atractivo. Muchos fotógrafos y diseñadores han prestado la debida atención al modesto objeto. Decoran vestidos y hasta las viviendas como puede verse en la foto inicial. No es algo que nos deje indiferentes. Para la educación matemática es un objeto de contemplación y estudio por sus variadas regularidades. Las tapas circulares tan habituales del alcantarillado presentan a veces simetrías de rotación pero aquí nos vamos a dedicar solo a las tapas que contienen teselaciones periódicas del plano en su limitada superficie. De los 17 grupos posibles de teselado periódico del plano vamos a mostrar que en las tapas de fundición encontraremos al menos 13. Los diecisiete grupos de teselaciones periódicas del plano A finales del siglo XIX, el matemático ruso Fedorov (1891) sistematizó los grupos cristalográficos que aplicados al plano reducen a diecisiete las posibles teselaciones periódicas del plano desde el punto de vista de sus simetrías. Más tarde el húngaro-americano Pólya  reprodujo los resultados. Los movimientos que definen el tipo de simetría son las traslaciones, los giros, las reflexiones y las reflexiones deslizantes. La traslaciones están incluidas al observar la periodicidad. Cinco son los giros posibles para las teselaciones periódicas: orden 1 (vuelta completa, 360º) orden 2 (media vuelta, 180º) orden 3 (tercio de vuelta, 120º) orden 4 (cuarto de vuelta, 90º) y orden 6 (sexto de vuelta, 60º). Las reflexiones vienen dadas por sus ejes de simetría que hacen de espejos. Los ejes de reflexión deslizante actúan como espejo tras una traslación con deslizamiento sobre el propio eje. La nomenclatura que vamos a usar es la de la Unión Internacional de Cristalografía (IUCr) que se inicia con p (en 15 casos) y con c (los otros dos), sigue el número de orden del giro, y se termina con m (mirror) si tiene ejes de simetría y/o g (glide) si tiene ejes deslizantes. Así p2mg será una simetría con giros de 180º un eje simetría especular y uno deslizante. Por redundancia se suele suprimir el 2 y queda pmg. Un desarrollo detallado y sencillo de la teoría, con numerosos ejemplos, se puede encontrar el artículo Wallpaper group de la edición inglesa de la Wikipedia. No hemos encontrado ninguna de los tres grupos de orden 3 aunque hay varios diseños con ángulos de 120º que se acercan. Veremos como el p31m está incluido prácticamente pero termina perdiéndose por la colocación. Tampoco hemos localizado la rotación de orden 4 sin simetrías de reflexión. Veamos los ejemplos: Grupo p1 (Tapa del grupo p1) Solo traslaciones, sin centros de giro privilegiados ni ejes de simetría. Si en lugar de una L y una I, hubiera sido una U tendríamos un grupo pm. Grupo pm Existe un reflexión sobre un eje de simetría y todos los paralelos de la estructura periódica. (Tapa del grupo pm) En el ejemplo el eje de simetría es horizontal pasa por el centro y otro y otro por la separación. Grupo pg Existe un reflexión deslizante sobre un eje y todos los paralelos de la estructura periódica. En el ejemplo son verticales, formando 45º con las eles. (Tapa del grupo pg) Grupo cm Existe un reflexión con eje de simetría y paralelo un eje deslizante. Y todos los paralelos de la estructura periódica. En el ejemplo los ejes de simetría especular son los líneas diagonales a 45º que unen los vértices de los catetos. Los ejes deslizantes son paralelos a ellos a mitad de distancia. (Alcorque de Zaragoza con grupo cm) Grupo p2 (Tapa del grupo p2) Existen centros de giros de 180º. Si tomamos un cuadradito cualquiera, ceda base o primitiva, los centros de giro son los cuatro vértices, el centro y los cuatro centros de los lados del cuadrado. No existe simetría de reflexión. Grupo pmm (Tapa del grupo pmm) Teselación muy sencilla. Cada rectángulo pequeño es una celda que se repite. Hay centros de giro de 180º y reflexiones tanto en ejes horizontal como verticales. Grupo pmg (Tapa de Atenas. Grupo pmg) Los ejes de reflexión siguen el palo largo de la T y los deslizantes son perpendiculares, entre los dos sombreros de la T. Los centros de giro de orden 2 se localizan con facilidad. Grupo pgg (Tapa del grupo pgg) Los centros de giro de orden 2 y la periodicidad es fácil de ver. Menos sencillo es ver los ejes deslizantes que van según las dos diagonales. Grupo cmm (Tapa del grupo cmm) El grupo cmm adopta aquí su estructura más sencilla, a base de rombos, sus diagonales son  ejes de reflexión, sus centros son de giro de orden 2 y los ejes deslizantes son paralelos a los de reflexión en su mitad. Grupo p4m (Tapa del grupo p4m) Los giros de orden 4, de 90º, y los ejes de simetría llevan la dirección de lados y las diagonales. En la tapa de ejemplo están hasta marcados la mitad de los centros. El grupo simetría p4m es el más habitual en la azulejería, pero en las tapas se ven muchos del tipo siguiente, el p4g. Grupo p4g (Tapa del grupo p4g. Praga) El grupo p4g tiene centros de giro de orden 4 y ejes de simetría perpendiculares como el p4m. La manera más fácil de distinguirlos es que en el p4g los ejes de simetría especular no pasan por los centros de giro de orden 4. Grupo p6 Mostramos una bonita tapa vista en Santiago de Compostela que no posee ejes de simetría pero si giros de orden 6. Además responde a la ilusión óptica de los cubos. Si no estuviera rayada tendría reflexiones y sería del grupo siguiente, el p6m. (Tapa del grupo p6. Santiago de Compostela) Grupo p6m (Tapa del grupo p6m. Nueva York) La estructura hexagonal permite los giros de orden 6 y existen ejes de simetría que forman ángulos de 120º. Terminamos con otra tapa p6m que con pequeños cambios correspondería al grupo de simetría p31m, bastaría con no contraponer simétricamente las Y griegas. (Tapa del grupo p6m)
Miércoles, 01 de Diciembre de 2021 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Literatura y matemáticas
Autor:Marta Macho Stadler (Universidad del País Vasco)
Un retrato alfabético es un listado de palabras (eventualmente acompañadas de frases breves) ordenadas en orden alfabético, que dibujan un retrato. Este relato alfabético ha sido una de las propuestas premiadas en el concurso “retrato alfabético-matemático” organizado durante la Zientzia Astea 2021. Axiomas En matemáticas, proposiciones que se asumen ciertas, y de las cuales se deducen el resto de proposiciones, teoremas, etc. Durante su vida Gödel estudió algunos de los sistemas axiomáticos de las matemáticas y analizó sus propiedades. Brno Brünn en alemán, ciudad en la que Gödel nació el 28 de abril de 1906, en lo que entonces era el Imperio Austrohúngaro. Vivió en esta ciudad, en la que se graduó con honores en la escuela secundaria, hasta que a los 18 años ingresase en la Universidad de Viena. Actualmente Brno es la segunda ciudad más grande de la República Checa. Círculo de Viena Movimiento científico y filosófico que abogaba por una concepción científica del mundo. Gödel participó en el mismo junto con Moritz Schlick, Hans Hahn y Rudolf Carnap. Fue disuelto en 1936 debido al ascenso del nazismo en Austria. Desnutrición Causa de la muerte de Gödel. Murió cuando su esposa, Adele Nimbursky Porkert, estuvo hospitalizada y no pudo continuar preparándole la comida. Gödel sufría de un miedo obsesivo a ser envenenado, y solo tomaba la comida preparada por Adele. Einstein, Albert Amigo de Gödel en Princeton. Solían pasear juntos y conversar en el idioma materno de ambos, El alemán. Einstein decía en sus últimos años de vida que su propio trabajo ya no le interesaba tanto, y que le entusiasmaba más compartir el paseo hasta casa con Gödel. Frege, Gottlob Matemático logicista precursor del intento de encontrar un conjunto de axiomas válido para poder deducir del mismo toda la matemática. El trabajo de Gödel terminó con esta idea de Frege, zanjando la discusión con una respuesta negativa a la existencia de este conjunto de axiomas. Gödel Lenguaje de programación informático perteneciente al paradigma de programación lógica. Nombrado así en honor a Kurt Gödel, debido a las aportaciones de este a la lógica, y a los conceptos de computabilidad y de función recursiva. Hilbert, David Matemático que continuó con las ideas de axiomatización de Frege, y que formuló un Programa para definir un conjunto de axiomas finito y completo que fuera suficiente para expresar toda la matemática. El trabajo de Gödel determinó que el Programa de Hilbert era inalcanzable, en el sentido de que con un conjunto tal de axiomas no era posible demostrar la consistencia del sistema desde dentro del mismo. Instituto de Estudios Avanzados Institución privada, situada cerca de la Universidad de Princeton, dedicada a realizar investigaciones avanzadas en ciencia básica. En el mismo han desarrollado su trabajo personajes como Albert Einstein y John von Neumann. Gödel impartió algunas conferencias en esta institución, y finalmente acabo siendo docente en la misma tras su huida de la Alemania nazi. Kleene, Stephen Matemático alumno de Alonzo Church. Asistió a las conferencias de Gödel en el IEA y sentó las bases para la teoría de las funciones recursivas, área que siguió investigando durante el resto de su vida. Fue capaz de ofrecer una demostración alternativa de los Teoremas de Incompletitud de Gödel, usando el concepto de computabilidad, que hacía más fácil entender y enseñar los teoremas. Lógica Ciencia formal a la que Gödel hizo grandes aportaciones. Gödel aprendió lógica de la mano de Hans Hahn y Rudolf Carnap, y contribuyo a la teoría de la demostración clarificando la relación entre distintos sistemas formales. Medalla Nacional de Ciencia Galardón que le fue concedido a Gödel en 1974 por el entonces presidente de los Estados Unidos, Gerald Ford. Anterior a esto, había sido el primer galardonado con el Premio Albert Einstein, junto con Julian Schwinger, en 1951. Numeración de Gödel Idea original de Gödel basada en identificar cada proposición formal de un sistema axiomático con un número natural de forma única. Esto es posible si el sistema axiomático en cuestión es capaz de expresar la noción básica de aritmética necesaria para poder demostrar el Teorema Fundamental de la Aritmética. Ontología Rama de la filosofía por la que Gödel pareció mostrar interés cuando formuló una demostración del argumento ontológico de Leibniz sobre la existencia de Dios. Actualmente dicha demostración se conoce como la prueba ontológica de Gödel. Principia Mathematica Obra realizada por Bertrand Russell y Alfred Whitehead para continuar el trabajo de Gottlob Frege, pero eliminando las inconsistencias derivadas de la paradoja de Russell. Gödel se basó en el sistema descrito en esta obra para formular sus Teoremas de Incompletitud. Recursividad Propiedad fundamental de las funciones y demostraciones que Gödel empleó en su obra. Más concretamente Gödel basó sus teoremas en la recursión primitiva. Es por ello que argumentaba que sus demostraciones eran constructivas y computables. Sobre proposiciones formalmente indecidibles de Principia Mathematica y sistemas relacionados Obra principal de Gödel. En dicha obra formuló y demostró sus Teoremas de Incompletitud. Se publicó originalmente en alemán, con el nombre “Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I”, en la revista Monatshefte für Mathematik. Gödel apuntó que publicaría una segunda parte de la obra, pero esa segunda parte jamás vio la luz. Teoremas de Incompletitud Principal y más importante aportación de Gödel a las matemáticas, consta de dos teoremas. El primer teorema establece las condiciones para que un sistema axiomático sea incompleto, es decir, que contenga proposiciones formales indemostrables e irrefutables al mismo tiempo (proposiciones indecidibles). El segundo teorema señala que dentro de un sistema tal la proposición que indica la consistencia del mismo es indecidible. Universo de Gödel Solución exacta de las ecuaciones de campo de la relatividad general de Einstein propuesta por Gödel. En dicho universo serían posibles los viajes en el tiempo, y este hecho supuso un estímulo para la búsqueda de soluciones exactas más complejas. Viena Ciudad en la que Gödel cursó sus estudios universitarios, se doctoró y vivió hasta su exilio a los Estados Unidos. Fue, sin embargo, en Bolonia donde Gödel asistió a una conferencia de Hilbert sobre completitud y consistencia en matemáticas, hecho que lo marcaría de por vida. Widerspruchsfreiheit En alemán, consistencia. Es la propiedad fundamental que tienen que tener los sistemas axiomáticos como los que estudió Gödel. Se trata de que, si se puede demostrar una proposición formal, no se pueda también demostrar la proposición contraria. El sistema descrito en el Principia Mathematica es consistente, aunque esa consistencia no se pueda demostrar dentro de la lógica del propio sistema. Por el contrario, en un sistema inconsistente toda proposición es demostrable. ZFC Los axiomas de Zermelo-Fraenkel, junto con el axioma de elección, componen el que actualmente es el sistema axiomático estándar para la teoría de conjuntos. Durante la década de 1930 Gödel demostró que el axioma de elección era independiente de los axiomas de Zermelo-Fraenkel, pero consistente con ellos. Los axiomas de ZFC constituyen también uno de los sistemas en los que se cumplen los Teoremas de Incompletitud de Gödel.
Miércoles, 01 de Diciembre de 2021 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Música y matemáticas
Autor:Paco Gómez Martín (Universidad Politécnica de Madrid)
1. La función tonal La nueva serie de artículos de esta columna versan sobre los modelos matemáticos de la función tonal. Este primer artículo se dedica a examinar las diferentes definiciones de función tonal en la música clásica y en el jazz. Walter Piston en su libro Armonía4 define función tonal como siguiente (página 50, sus cursivas): La tonalidad no es simplemente una manera de utilizar las notas de una escala particular. Es más bien un proceso de establecimiento de relaciones de estas notas con la nota que representa el centro tonal. Cada grado de la escala tiene su parte en el esquema de la tonalidad, su función tonal. Esta definición resulta demasiado general o incluso vaga. La expresión “una manera de utilizar las notas” necesita más concreción. De hecho, nos resulta sorprendente que muchos manuales de armonía no definan la función tonal con más formalidad (el libro de Piston ha sido una clásica referencia durante largo tiempo). A continuación vamos a revisar las definiciones más comunes; para el lector interesado daremos referencias a los trabajos que profundizan más en el concepto de función tonal. La definición más operativa y a la vez menos ambigua la hemos encontrado en el libro en línea Open Music Theory1, que es la base de un proyecto pedagógico basado fuertemente en el aprendizaje por indagación implementado con clase invertida y discusiones en clase. Este proyecto fue iniciado por un grupo de profesores de música formado por Kris Shaffer, Bryn Hughes y Brian Moseley. Esta definición tiene en cuenta la historia del acorde, esto es, su pasado —los acordes que lo precedieron —, el presente —las notas que forman el acorde y el orden en que se presentan —, y el futuro —las notas que suelen suceder a este acorde—. Las notas que siguen a un acorde dependen fuertemente del estilo y un cierto conjunto de notas son más probables que sucedan a un acorde dado en un estilo que en otro. En vista de lo anterior, el concepto de función tonal se basa en tres principios: (1) Los acordes son conjuntos de grados de escala. (2) Cada grado de la escala tiene sus propias tendencias. (3) La combinación de tendencias de los grados de la escala de las notas de un acorde constituye la función del acorde. Vamos a examinar los conceptos incluidos en esta definición de función tonal para su mejor entendimiento. Fijada una escala (do mayor, mi frigio, etc.), el grado de la escala es la posición de una nota en la escala. Como es sabido, los grados de la escala en orden ascendente son: tónica (I), supertónica (II), mediante (III), subdominante (IV), dominante (V), superdominante (VI) (también submediante), y sensible (VII). Los grados de la escala se suelen designar con números romanos, como aparece en la figura de abajo. Figura 1: Los grados de la escala La ausencia de los conceptos raíz del acorde y calidad del acorde no es casualidad; estos conceptos se discutirán más adelante. Dado que la tendencia de un acorde es función del estilo, empezaremos estudiando la función tonal en la llamada práctica común (el periodo de la música clásica comprendido aproximadamente desde 1600 hasta el principio del siglo XX) y luego seguiremos con otros estilos (pop, rock, la práctica común extendida). Un estudio del estilo y sus leyes se puede acometer a partir del trabajo de Meyer, empezando por sus libro Emoción y significado de la música2 y Style and Music3. Meyer usa tres conceptos para explicar el estilo musical: ley, regla y estrategia. Las leyes son características de orden biológico y cognitivo y tienen una naturaleza universal (muchas de esas leyes se explican a través de la psicología de la forma); la ley de la continuación, por ejemplo, es un ejemplo de leyes. Las reglas son características de tipo cultural y están asociadas a una cultura y a un tiempo histórico particulares; por ejemplo, las reglas de conducción de voces es una regla. Por último, las estrategias son las características propias de la obra de un compositor dado; considérese el lenguaje armónico de Chopin en particular. La función tonal se puede considerar como una clasificación de los acordes en términos de su relación a un centro tonal o tónica. Estos dos últimos términos son equivalentes, pero hay alguna pequeña diferencia de matiz. Fijada una escala, la tónica es la primera nota de la escala. Nótese que la escala es una sucesión ordenada de notas y, por tanto, la tónica siempre está bien definida. La tónica implica estabilidad y resolución de las tensiones armónicas. Cuando hablamos de centro tonal esto comprende la noción de tónica, pero también se puede referir a una nota que se ha convertido en una referencia tonal (bien por medio de dominantes secundarias, cambios de modo, u otros mecanismos) y que no necesariamente tiene que ser la primera nota de la escala. Nosotros usaremos ambos términos de manera equivalente. La teoría de la función tonal surgió de la combinación de dos teorías previas sobre la armonía, la teoría de Hugo Riemann (la llamada teoría alemana) y la teoría de Schenker y otros (la llamada teoría vienesa). Hugo Riemann presentó su teoría en su libro Vereinfachte Harmonielehre en 1893. En él, define los conceptos de tónica, subdominante y dominante y comienza la clasificación de acordes según dicha función. En la teoría vienesa, fueron teóricos como Schenker, Sechter, o el propio Schoenberg quienes la construyeron. Esta teoría se basa en los grados de la escala y se centra en el contexto de las progresiones armónicas. La teoría moderna es una síntesis de ambas escuelas de pensamiento. 2. Las tres funciones tonales de la práctica común En la práctica común se han usado tradicionalmente tres funciones tonales: función de tónica, función de subdominante y función de dominante. Se les designa por T, SD y D, respectivamente. La función de subdominante también recibe el nombre de predominante. Los grados de la escala asociados a estas funciones son: Función de tónica: grados I, III y VI; las triadas formadas sobre estos grados contienen todas al grado I. Función de subdominante: grados II y IV; todas las triadas de esta función contienen el grado IV Función de dominante: grados V y VII. Fijando la escala de do mayor, por ejemplo, si ponemos los grados de la escala por terceras, veremos la relación entre dichos grados y las funciones tonales, como ilustra la figura siguiente: Figura 2: Las tres funciones tonales Una característica de la música clásica del periodo de la práctica común es que las notas del acorde determinan por sí solas la función del acorde, circunstancia que no es cierta en otros estilos musicales, como veremos más adelante en esta serie. En la música pop o rock, por ejemplo, el acorde sobre IV puede tener distintas funciones de acuerdo al contexto en que se encuentre. Otros autores, como Ian Quinn5, dan definiciones más profundas y operativas, que permiten clasificar la función tonal de una variedad más amplia de acordes en un número mayor de contextos. La definición de Quinn se basa en clasificar las notas de un acorde según tres categorías, que aquí llamaremos primarias, secundarias y disonancias (en el inglés original, son llamadas triggers, associates y dissonnace). La tabla siguiente muestra las notas asociadas a cada función tonal: FUNCIÓN NOTAS NOTAS NOTAS PRIMARIAS SECUNDARIAS DISONANTES Tónica Notas I y III Notas V y VI V si VI está presente y 7 Subdominante Notas IV y VI Notas I y II I si II está presente y 3 Dominante Notas V y VII Nota II IV y VI Tabla 1: Funciones tonales según Quinn5 Quinn introduce una excepción en el esquema anterior. Un acorde con los grados VI, I, III lo considera un tipo especial de acorde de tónica, al que llama tónica inestable (destabilized tonic). Para este acorde usa el símbolo especial Tx en lugar de simplemente T. Volveremos a esta cuestión más adelante en esta serie. There is one exception to this (for now): a chord with scale degrees 6, 1, and 3 is a special kind of tonic chord, called a destabilized tonic. Quinn uses the special functional label is Tx, rather than simply T, for this chord. En la siguiente figura vemos un esquema del propio Quinn en que se ilustra la clasificación de las notas por sus funciones tonales. Figura 3: Las funciones tonales definidas por Quinn5 En el próximo artículo veremos modelos de función tonal más avanzados y empezaremos a examinar sus primeros modelos matemáticos. Bibliografía [1] Bry Hughes et al. Harmonic function. http://openmusictheory.com/harmonicFunctions.html. web page. accedido el 1 de noviembre de 2021. url: https://viva.pressbooks.pub/openmusictheory. [2] Leonard Meyer. Emoción y significado de la música. Madrid: Alianza Música, 1956/2000. [3] Leonard Meyer. Style and Music. Nueva York: University of Chicago Press, 1997. [4] Walter Piston. Harmony. London: Gollancz, 1950. [5] Ian Quinn. Harmonic Function without Primary Triads. web page. Artículo presentado en la reunión anual de la Society for Music Theory en Boston. 2005.
Martes, 16 de Noviembre de 2021 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Cine y matemáticas
Autor:Alfonso Jesús Población Sáez
Nueva aportación de los profesores Marta Martín Sierra y Abel Martín Álvarez, en esta ocasión en formato fichas, para trabajar en el aula. La revista Making Of es una publicación centrada en la aplicación del cine en actividades de enseñanza-aprendizaje. Trata de ofrecer al profesorado información puntual sobre todos los recursos que sobre el cine se encuentran a su disposición en Internet. De una periodicidad de ocho números al año, incluye en todos una Guía Didáctica de 16 páginas sobre una película específica, junto con un buen número de fichas y sugerencias para desarrollar actividades en el aula a partir de los estrenos que se proyectan en los cines españoles. Editada por el Centro de Comunicación y Pedagogía, a partir del enlace se accede a una amplia información tanto de esta revista como de Comunicación y Pedagogía, y de Revista de Literatura. La revista dedicó un especial a las películas sobre matemáticas en el número doble 124-125, del que ya dimos en esta misma sección cumplida referencia.  Posteriormente, los profesores Abel Martín Álvarez y Marta Martín Sierra han publicado artículos en otros números: Homenaje a Jaime Escalante (revista nº 143; artículo de libre acceso que puede leerse a través del hipervínculo) y José María Sorando Muzás Las matemáticas escolares en el cine (revista nº 150) El pasado mes de octubre, de nuevo los profesores Marta Martín Sierra y Abel Martín Álvarez, comparten con nosotros unas fichas con actividades para trabajar diferentes temas relacionadas con diversas películas.  Marta y Abel mantienen el portal Mathsmovies, un compendio de referencias a las matemáticas en el cine (organizadas en diferentes salas, como si de la asistencia a un cine real se tratara), junto a exposiciones, material didáctico elaborado para llevar al aula, referencias a cursos y conferencias que han impartido, enlaces de interés, etc., y por supuesto, el tema en el que se han especializado: las matemáticas en los Simpson. Descripción de las fichas En esta revista inician una serie de varias entregas que irán apareciendo en números sucesivos de la publicación. En esta primera nos muestran ocho fichas, de libre acceso. Cada una de ellas está orientada a un curso concreto. También se indica cómo distribuir el tiempo para su realización, pensando siempre en la duración de una clase de 55 minutos, así como la descripción de los estándares de aprendizaje tratados. En todas aparece como objetivo motivador la investigación y creatividad de los alumnos, por lo que bastantes cuestiones plantean aspectos relacionados con los temas, pero no habituales en los libros de texto. Después, claramente separado de lo anterior, un pequeño resumen del argumento de la película. Se distinguen seis tipos diferentes de actividades, identificadas con un icono concreto cada una de ellas: Actividades teóricas, Actividades de investigación, Actividades para responder y/o resolver con lápiz y papel, Actividades para resolver con la ayuda de una calculadora/hoja de cálculo, Talleres de creatividad, Actividades de opinión. Se describen a continuación las aparecidas en esta revista: 1.- Los números reales (3º ESO a 1º Bachillerato) a partir de la película Smila, misterio en la nieve (Billie August, 1997).- El planteamiento es puramente conceptual en este caso (entender cuáles son los números reales y reconocerlos en situaciones cotidianas). 2.- Los números reales (3º ESO a 1º Bachillerato) a partir de la película El clan del oso cavernario (Michael Chapman, 1986).- Con un planteamiento nuevamente conceptual, en este caso las cuestiones van más orientadas a la relación de los números con la evolución de la especie humana y de otros animales. Es más antropológica que matemática. 3.- Polinomios. Fracciones algebraicas (3º ESO a 1º Bachillerato) a partir de la película Lecciones Inolvidables (Ramón Menéndez, 1988).- A partir de una escena de la película y lo que aparece parcialmente escrito en un encerado, se proponen factorizaciones de polinomios cuadráticos exclusivamente, tras haber comprobado diferentes maneras de expresar esas factorizaciones. 4.- Ecuaciones. Aplicaciones (2º ESO a 1º Bachillerato) a partir del episodio Las chicas solo quieren sumar (Temporada 17, Episodio 19) de la serie de animación Los Simpson.- En esta ocasión, la actividad está orientada a la educación no sexista de las matemáticas, echando un vistazo a la historia para comprobar cómo ha sido el comportamiento de la sociedad a este respecto. Posteriormente se propone la resolución de ecuaciones lineales y cuadráticas incompletas (similares a la de la escena del episodio) de manera mental, sin papel ni calculadora. 5.- Sistemas de ecuaciones. Aplicaciones (3º ESO a 1º Bachillerato) a partir de la película La habitación de Fermat (Piedahita y Sopeña, 2007).- Se plantean cuestiones a partir de un ejercicio propuesto en la película. De nuevo se incide no tanto en la resolución (aunque se proponen otro par de ellos similares) sino más bien en el contexto en que se describen este tipo de ejercicios. 6.- Inecuaciones y sistemas de inecuaciones (3º ESO a 1º Bachillerato) a partir de la película Una señal invisible (Marilyn Agrelo, 2010).- En realidad la ficha propuesta no trata de inecuaciones, sino exclusivamente de la comprensión de los símbolos menor y mayor que. Evidentemente es un primer paso antes de abordar el tema al completo que probablemente, como en las fichas anteriores, obedezca a un proceso de varias fichas para cada tema. Toda la actividad, salvo una última cuestión, está desarrollada en formato test. 7.- Funciones reales de variable real. Propiedades globales (3º ESO a 1º Bachillerato) a partir del episodio Homr (Temporada 12, Episodio 9) de la serie de animación Los Simpson.- En esta ocasión, la ficha está enfocada al reconocimiento de magnitudes directa e inversamente proporcionales. 8.- Tipos de funciones. Interpretación y representación (3º ESO a 1º Bachillerato) a partir de la película Cadena de favores (Mimi Leder, 2000).- A partir de los primeros valores, se trata de concluir que la gráfica que mejor se ajusta a ellos es una función exponencial. Una vez determinada, se pregunta por algunas de sus propiedades. Siete de estas ocho fichas son la primera de los diferentes temas, por lo que es difícil hacernos a la idea de cómo proseguirán desarrollándolos. En éstos el enfoque es totalmente conceptual e introductorio de lo que pudiera entenderse en un desarrollo usual de los temas planteados, potenciando más la creatividad que la comprensión de las técnicas y resultados matemáticos. Será necesario estar pendiente de cómo proseguirán las siguientes entregas para poder valorar en conjunto el proyecto. En todo caso siempre son de agradecer las nuevas propuestas y los distintos puntos de vista que traten de motivar a los alumnos y de dinamizar las clases, tendiendo además puentes a otras asignaturas que se han ido desligando (artificialmente, por cierto) progresivamente de lo que debe ser una enseñanza interdisciplinar y completa.
Miércoles, 03 de Noviembre de 2021 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/El rincón matemágico
Autor:Pedro Alegría (Universidad del País Vasco)
Seguro que ya sabes lo que pasa cuando se dibujan 5 puntos equidistantes sobre una circunferencia y se une, empezando por uno de ellos, cada uno de los puntos con el siguiente, hasta volver al punto de partida. Cierto, se obtiene un pentágono regular. También sabrás que este procedimiento es completamente general: si se dibuja cualquier otra cantidad de puntos —digamos n— equidistantes sobre una circunferencia, al unir puntos consecutivos hasta volver al punto de partida se obtiene un polígono regular de n lados. En la siguiente figura se muestran los casos del pentágono y el heptágono regulares. Creo que no es difícil tampoco adivinar lo que ocurre cuando se unen los vértices del pentágono anterior no de forma consecutiva sino saltando un punto cada vez. Haz la prueba, numera los cinco puntos (por ejemplo, en el sentido de las agujas del reloj), traza un segmento uniendo el 1 con el 3 (saltando el 2), luego el 3 con el 5 (saltando el 4), luego el 5 con el 2 (saltando el 1), éste con el 4 y, por último, el 4 con el 1. Efectivamente, conseguirás la famosa estrella de cinco puntas o pentagrama, que fue símbolo de la escuela pitagórica y que oculta numerosas sorpresas matemáticas. Ahora bien, a diferencia del proceso de construcción de los polígonos regulares, si el número de puntos no es cinco, no se puede asegurar que la figura obtenida sea una estrella. Por ejemplo, con seis puntos, empieza trazando un segmento uniendo el 1 con el 3, luego el 3 con el 5 y el 5 con el 1; no hay forma de pasar por los puntos numerados con el 2, 4 ni 6. Ahora bien, si se empieza uniendo el punto 2 con el 4, el 4 con el 6 y el 6 con el 2, se consigue un segundo triángulo que, junto con el anterior, forman también una estrella, símbolo que la religíón judía conoce como sello de Salomón o estrella de David. La estrella pentagonal es un ejemplo de polígono estrellado (figura que se obtiene al unir de forma alterna, ya sea de dos en dos, de tres en tres, etc., los vértices de un polígono regular) y la estrella hexagonal es un ejemplo de falso polígono estrellado (figura que se obtiene superponiendo varios polígonos girados entre sí). En la figura se muestran las estrellas poligonales de cinco, seis, siete y ocho vértices, entre las cuales hay dos que son falsos polígonos estrellados. La pregunta que te surge ahora es: ¿cuántos lados debe tener un polígono para que se pueda dibujar una estrella poligonal y cuántas estrellas poligonales se pueden construir sobre un mismo polígono? La clave para dar con la respuesta es que, al unir los vértices, no se vuelva al punto de partida hasta que se hayan recorrido todos. Matemáticamente, esto significa que el número de lados y el salto entre vértice y vértice sean números primos entre sí. Por esta razón, sólo hay una estrella pentagonal pues 5 y 2 son primos entre sí (claro, también lo son 5 y 3 pero la figura resultante al saltar de dos en dos que de tres en tres es la misma) y no hay ninguna estrella hexagonal (vale, 6 y 5 son primos entre sí pero no sale ninguna estrella saltando de cinco en cinco pues es lo mismo que saltar de uno en uno, pero en sentido contrario). Como no quiero profundizar en estas interesantes y entretenidas cuestiones, citaré un par de referencias por si quieres aprender un poco más: el apartado "Polígonos estrellados" del blog Matemáticas en tu mundo de José María Sorando, ilustrado con gran variedad de originales fotografías, y el trabajo de Inmaculada Fernández Benito titulado "Polígonos estrellados, estrellas y formas estrelladas", presentado en la sexta reunión nacional de Estalmat (marzo de 2009). Te estarás preguntando qué relación tiene esta extensa introducción con el juego de magia que estás esperando. Para prolongar un poco más el misterio, hagamos primero el juego y, si nos queda tiempo (a mí) y paciencia (a ti), daremos las pertinentes justificaciones. Prepara siete cartas, del as al siete de cualquier palo y ordénalas de menor a mayor formando un paquete (el as es el que quedará a la vista, si las cartas están cara arriba). Quedará algo así como esta figura: Cierra la extensión de cartas y, manteniendo el paquete con las cartas cara abajo, reparte dos montones sobre la mesa, dejando alternativamente una carta en el montón de la izquierda y una carta en el montón de la derecha. Recoge los dos montones colocando uno de ellos sobre el otro. Ahora puedes cortar y completar el corte para no saber cuál es la posición de las cartas. Muy bien, gira cara arriba la carta superior y déjala nuevamente como carta superior. ¿Es el siete? Lo sabía. ¡Ah!, que no es el siete (lástima, habría sido la predicción perfecta). Pasa entonces de arriba abajo del paquete tantas cartas como indique dicho número (el as corresponde al uno, claro). Por ejemplo, si es un tres, pasa tres cartas de arriba abajo del paquete (el tres seguirá estando cara arriba pero las demás quedarán cara abajo). Gira ahora cara arriba la nueva carta superior y repite el proceso indicado en el paso anterior con este nuevo número. En este momento habrá dos cartas cara arriba y cinco cartas cara abajo. Vuelve a repetir el mismo proceso anterior hasta encontrar que la nueva carta superior ya está cara arriba. Podría apostar a que, en este momento, sólo queda una carta cara abajo. Además, sé incluso de qué carta se trata: ahora sí es el siete. Como podrás apreciar, el juego tiene un aire similar a los de tipo combinatorio que citamos en el número 193 (mayo de 2021) de este rincón, y seguro que sería muy del gusto del genio mágico John Conway. Para comprender el fundamento de este juego, debemos detenernos en el efecto que producen los dos pasos clave del proceso: el reparto inicial de los dos montones y la secuencia numérica de las cartas que se van girando. Con el primer reparto se han separado las cartas pares de las impares. El hecho de cortar el paquete puede alterar la posición de las cartas pero no el orden cíclico (si pensamos que las cartas están colocadas en los vértices de un heptágono regular, veremos las cartas pares de menor a mayor seguidas de las cartas impares, también de menor a mayor). En este momento, independientemente del valor de la primera carta, sólo hay una posible secuencia de cartas que se van girando cara arriba: 1 - 3 - 2 - 6 - 4 - 5. Hay que entender de nuevo que esta secuencia es cíclica, es decir, si la carta superior es, por ejemplo, el 5, la secuencia de cartas giradas es 5 - 1 - 3 - 2 - 6 - 4. Así pues, se recorren todas las cartas excepto el siete de modo que la predicción es infalible. Esto conduce inexorablemente a plantearse la siguiente pregunta: ¿el juego se puede realizar con cualquier cantidad de cartas? La respuesta inmediata es ¡NO! Haz la prueba con seis cartas. Recuerda el proceso: ordénalas de menor a mayor, reparte dos montones, reúnelos, corta y gira la carta superior: si es un seis, se acaba el juego. Si no, pasa de arriba abajo tantas cartas como indique su valor, repite el proceso. Verás que aparece una cara cara arriba antes de girar todas. El juego no funciona. ¿Y con cinco cartas? Ahora sí, la secuencia de cartas giradas es 1 - 3 - 4 - 2 (o cualquier reordenación cíclica de ésta). ¡Vaya!, resulta que con cinco y siete vértices se podía construir un polígono estrellado pero con seis no. ¿Tendrá algo que ver? Sigamos investigando, pero antes quiero citar el artículo donde se detallan las ideas fundamentales que he rescatado aquí: se trata del titulado "Les secrets du pentacle", escrito por Ludovic Simonet en el número 46-47 (año 2003) de la revista Hyper Cube, cuya portada se muestra en la imagen. En dicho artículo, el autor atribuye al mago George Sands (1920-2006), el mismo que inventó-descubrió-ideó-creó el principio del número primo que protagonizó el número 76 (octubre de 2010) de este rincón, el origen del método de adivinación descrito. Misteriosamente, los números primos también van a aparecer aquí. Este es el enfoque desarrollado por Ludovic Simonet (y quizá también por George Sands (ver comentarios finales)): Dibuja un número impar arbitrario de puntos equidistantes en una circunferencia, digamos 2n + 1; Escribe el número 1 junto a uno cualquiera de los puntos; Saltando n puntos en el sentido de las agujas del reloj, escribe el número 2 en el punto al que has llegado; Repite el paso anterior y escribe el número 3 en el nuevo punto al que has llegado; Sigue recorriendo los puntos marcados como se ha indicado y escribiendo números de forma consecutiva; Por último, traza un segmento uniendo el punto 1 con el 2, luego el 2 con el 3, el 3 con el 4 y así hasta volver al punto de partida. ¡Acabas de construir un polígono estrellado de 2n + 1 puntas! Has recorrido todos los puntos sin repetir ninguno de ellos debido a que los números 2n + 1 y n son primos entre sí, sea cual sea el valor de n (¿sabrías demostrar esta propiedad?). Además, si recorres los vértices de la estrella en el sentido de las agujas del reloj, aparecen los números impares, en orden creciente, y, a continuación, los números pares, también en orden creciente (precisamente, como se debían colocar para realizar el juego anterior). Esto significa que podíamos plantear el juego utilizando una estrella con los vértices numerados de esta forma en lugar de cartas, tachando los números a los que se llega después del recorrido por la estrella. El único punto que no quedará tachado sería siempre el número 2n + 1. En la figura puedes ver la disposición de los números y la forma de las estrellas con siete y nueve puntas. ¡Última sorpresa! Sería un poco aburrido que el juego se pudiera realizar con cualquier estrella que tenga un número impar de vértices. Ya hemos visto que funciona con 5 y 7 vértices pero no sale con 9, 11, 13 ni 15. Sí funciona con 17 (número que utiliza Ludovic Simonet en su artículo), con 19, 29, 31 y 43. ¿Cuál es el siguiente? ¿Sólo vale con algunos números primos? Como yo no sé las respuestas, planteo estas cuestiones a mi amigo Juan Carlos Ruiz de Arcaute —mago, matemático e informático, entre otras habilidades— y, como resultado de sus indagaciones, me devuelve la lista de los primeros valores, resumida en esta tabla: Pues sí, son todos primos, que podríamos bautizar como "primos estrellados" si no fuera porque ya estaban bautizados previamente (con otro nombre): se trata de la sucesión catalogada como A019334 en la "Enciclopedia de Sucesiones de Números Enteros", fundada en 1964 por el inagotable matemático Neil Sloane. Resulta que se trata de la sucesión de números primos con raíz primitiva 3, lo cual conduce a nuevas e inquietantes preguntas, como por ejemplo: ¿qué tienen que ver estos números con el proceso de conteo que se lleva a cabo en el juego descrito? Comentarios finales Un precursor del juego que aquí hemos mostrado es el titulado "Prime choice", ideado por George Sands y publicado por Karl Fulves en el número 8 de la revista The Chronicles (1978). En primer lugar nos hace aprender la frase mnemotécnica "A furry kitten fights seven to try at joinning six queens" (algo así como "Un gatito peludo pelea contra siete para tratar de unirse a seis reinas") como regla para recordar el orden As-4-K-10-5-7-2-3-8-J-9-6-Q. Por ejemplo, "furry" recuerda a "four", "fight" a "five", etc. Ahora basta tener preparadas trece cartas con esa ordenación, dar a elegir una carta del resto de la baraja, sustituirla por la K en la preparación anterior y dejar las trece cartas en las manos de tu asistente. Esta persona corta el paquete, completa el corte y gira cara arriba la carta superior. Ya sabes el resto: si es la carta elegida, perfecto; si no, pasa de arriba abajo tantas cartas como indica el valor de la carta girada (el as cuenta como 1, la J como 11 y la Q como 12), repite el proceso hasta que sólo quede una carta cara arriba. Será la elegida. Pedro Alegría (Universidad del País Vasco - Euskal Herriko Unibertsitatea)
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Cultura y matemáticas/Instantáneas matemáticas
Autor:Ángel Requena Fraile
(Marianne Loir. Portrait de Gabrielle Émilie. Museo de Bellas Artes. Burdeos) ¿Alguien duda de la contribución de la matemática a la felicidad? Quizá quien no se haya leído el Discours sur la bonheur de Gabrielle Émilie Le Tonnelier de Breteuil (1706-1749), que firmaba como Marquise de Châtelet. La sabiduría debe hacer siempre bien sus cálculos: porque quien dice sabio dice feliz, al menos en mi diccionario. Gabrielle Émilie es una figura fascinante. Un espíritu libre que defiende con sano orgullo su autonomía personal y su pensamiento: Juzgadme por mis propios méritos, o por la falta de ellos, pero no me consideréis como un mero apéndice de este gran general o de aquel renombrado estudioso, de tal estrella que relumbra en la corte de Francia o de tal autor famoso. Soy yo misma una persona completa, responsable sólo ante mí por todo cuanto soy, todo cuanto digo, todo cuanto hago. Puede ser que haya metafísicos y filósofos cuyo saber sea mayor que el mío, aunque no los he conocido. Sin embargo, ellos también no son más que débiles seres humanos, y tienen sus defectos; así que, cuando sumo el total de mis gracias, confieso que no soy inferior a nadie. Estudiar matemática no ha sido un camino de rosas para muchas mujeres. Desde la propia familia a las instituciones: todo eran obstáculos casi imposibles de salvar. La humanidad se ha mutilado a sí misma. Gabrielle Émilie lo tuvo algo más fácil: su padre la educó en igualdad y pertenecía a la clase privilegiada en una época de revolución intelectual que anticipaba la política. Del atractivo imperecedero de la brillante matemática francesa dan cuenta el estreno de dos dramas teatrales con su figura como protagonista en EEUU durante el 2010 y una opera representada en Lyon en el 2008. Un asteroide y un cráter de Venus también la distinguen. Las dos obras de teatro basadas en su vida son Legacy of Light de Karen Zacarías y Emilie: La Marquise Du Châtelet Defends Her Life Tonight de Lauren Gunderson. La ópera Émilie (2008), de Kaija Saariaho, trata de los últimos momentos de la vida de la marquesa de Châtelet, donde la soprano Karita Mattila hizo de Émilie, y la letra fue redactada por Amin Maalouf. (Karita Mattila haciendo de Émilie. Opera de Lyon) Lo anecdótico, más o menos verídico, ha llenado la historia popular y sigue teniendo atractivo didáctico. El manzano de Newton, la noche anterior al duelo mortal de Galois o el Eureka de un Arquímedes desnudo forman parte de la mitología. Émilie tiene también los suyos, uno es la lucha por acabar la traducción francesa de los Principia de Newton antes de una probable muerte por embarazo tardío: no sobrevivió al parto. La vida académica francesa estaba dominada a inicios del XVIII por la física cartesiana pero un pequeño grupo se quitó el provincianismo identitario y divulgó la obra de Newton. La polémica se resolvería científicamente: si la Tierra era un melón tendría razón Descartes y Newton si fuera sandía. Las expediciones a Laponia y Ecuador dieron el triunfo al inglés: la Tierra resultó achatada en los polos. La expedición a Ecuador fue una bendición para España: los jóvenes marinos Jorge Juan y Antonio de Ulloa se impregnaron de ciencia. Maupertuis, Voltaire y Émilie tomaron partido por Newton. Lo maravilloso de Émilie es que rápidamente se da cuenta de la mejora de Leibniz: el papel de la vis viva, la energía cinética, y su conservación frente a la cantidad de movimiento (impulso). Ironías de la historia: será Emmy Noether, otra insigne matemática, quien en el siglo XX formulará el importantísimo teorema de que cada ley de conservación física se corresponde con una simetría: la energía con el tiempo, el impulso con el espacio. Muchas colegas han hecho magníficas semblanzas de figura tan destacada. Nos limitamos modestamente a hacer un breve recorrido por los espacios que la recuerdan como sencillo homenaje. (Edición póstuma de la traducción de los Principia) Gabrielle Émilie en el Château de Breteuil Gabrielle Émilie Le Tonnelier de Breteuil es una figura imprescindible de la Ilustración. Si Moliere hubiera conocido a la Marquesa de Châtelet su sátira sobre Las mujeres sabias quizá hubiera sido muy distinta. El Château de Breteuil, situado en la zona residencial de Chevreuse, treinta kilómetros al suroeste de París, fue la casona familiar de los barones y después marqueses de Perrault. Como tantos castillos franceses, se pueden visitar tanto los jardines como la mansión que está llena de recuerdos de la brillante pensadora. Nos interesan especialmente el ambiente y las pinturas, originales y copias, de la pensadora en pleno trabajo matemático, sobre todo la conocida de Quentin de La Tour, o la copia de la realizada por Marianne Loir (original en Burdeos). Algunas escenas de la actividad científica se han reproducido con muñecas de cera. (Quentin de La Tour.  Gabrielle Émilie. Château de Breteuil) Existe un tercer gran retrato de Émilie, el realizado por Nicolas de Largillière y que pertenece a una colección privada. (Nicolas de Largillière. Gabrielle Émilie. Colección particular) Los tres retratos son muy similares, el compás en la mano derecha, esfera armilar en dos de ellos y globo terráqueo en el otro. La más convencional es la pintura de De Largillière pues Émilie parece Urania mirando el cielo. El más matemático es el de De La Tour pues la muestra en pleno trabajo. El más sensible, y el que más le hace honor, es el de Loir. Un compás y una flor definen la plenitud de quien podía traducir a Newton, la terrible y amoral Fábula de las abejas de Mandeville o escribir el Discurso sobre la felicidad. (Imagen de cera.  Gabrielle Émilie. Château de Breteuil) La marquesa de Châtelet en Burdeos La reapertura, tras años de obras, de las dos alas del Museo de Bellas Artes de Burdeos permite ya contemplar el delicioso Portrait de Gabrielle Émilie Le Tonnelier de Breteuil, Marquise du Châtelet (1749) realizado por la pintora Marianne Loir. Retrato menos conocido que el realizado por Maurice Quentin de La Tour pero que es, si cabe, mucho más interesante. Como hemos dicho La Tour pintó a Émilie sobre una mesa y un libro de matemáticas abierto, Marianne Loir conserva la esfera armilar y el compás, coloca los libros en el lateral, quita la mesa y pone una flor en la mano izquierda. La condición de mujer, a la vez sensible y sabía, es resaltada de forma primorosa. Émilie no es una rara avis sino una mujer plena. El retrato de Burdeos muestra las barreras intelectuales que estaba barriendo la Ilustración. Cirey sur Blaise: refugio de las artes Voltaire y Gabrielle Émilie Le Tonnelier de Breteuil protagonizaron en el Château de Cirey sur Blaise uno de los episodios más productivos para la extensión de la física newtoniana en el continente. La marquesa ofreció refugio a Voltaire en su castillo próximo a la frontera alemana y durante unos años (1734-1738) tuvieron allí su lugar de residencia. (Émilie como musa de Voltaire. Elémens de la philosophie de Newton. 1738) Cirey fue punto de encuentro de sabios y foco de correspondencia con los principales científicos del momento. Una inmensa biblioteca, hoy desaparecida, y un bello teatro, que se puede visitar, dan cuenta de la actividad de una pareja cuya respeto intelectual se mantuvo intacto tras su relación sentimental. Émilie fue clave para la edición de Voltaire de los Elémens de la philosophie de Newton (1738), por ello no extraña la dedicatoria: Minerva de Francia, inmortal Émilie, discípula de Newton y de la Verdad. Durante su estancia en Cirey, Voltaire diseñó la puerta principal de acceso, decorándola con motivos alegóricos a las ciencias y las artes. Así, en la parte derecha vemos una esfera armilar para la astronomía y un conjunto de regla, transportador y compás para la matemática. El interior tiene motivos marinos para reflejar el origen de la vida y la unidad del conocimiento. (Puerta diseñada por Voltaire. Château de Cirey sur Blaise)
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Cultura y matemáticas/Música y matemáticas
Autor:Luis Nuño (Universidad Politécnica de Valencia)
Una vez más tengo el placer de contar como autor invitado a Luis Nuño, catedrático de universidad en la Universidad Politécnica de Valencia y autor de la Rueda Armónica, página web que presenta herramientas para el aprendizaje de la teoría de la música con una base matemática. Esta vez nos trae un fascinante artículo sobre grafos parsimónicos en triadas y tetracordos. Estamos ante un artículo profundo y bello a la vez. Espero que los lectores de esta columna lo disfruten tanto como lo he hecho al leerlo. Paco Gómez Martín 1. Introducción La prestigiosa revista internacional Journal of Mathematics and Music ha publicado este año 2021 un número especial titulado “Pattern in Music” (Patrones en Música), que incluye ocho artículos. A continuación se va a explicar resumidamente uno de ellos, titulado “Parsimonious graphs of the most common trichords and tetrachords” (Nuño, 2021b). La referencia completa de este artículo se encuentra en la Sección 6. Con el objetivo de que esta exposición sea de la máxima utilidad y para una variedad de lectores lo más amplia posible, se ha simplificado sustancialmente la parte teórica, pero se ha mantenido íntegramente la parte práctica. Así mismo, los acordes se han representado mediante la notación inglesa y con los símbolos más comúnmente utilizados. Entre las estructuras que se repiten de manera recurrente en las composiciones musicales tenemos las denominadas “transformaciones parsimónicas”, las cuales han sido ampliamente utilizadas en épocas y estilos musicales tan diferentes como el período Clásico, el Romanticismo, la música Latina o el Jazz, siendo por tanto unos patrones musicales perfectamente establecidos. Su análisis puede llevarse a cabo mediante la “teoría neo-riemanniana”, que surgió en la década de los años 1980 para analizar ciertos pasajes cromáticos de determinados compositores del s. XIX y está todavía en proceso de evolución gracias a las aportaciones del álgebra y la geometría. Según Gollin (2005), esta teoría se caracteriza por tres elementos: grupos matemáticos de transformaciones, conducción parsimónica de las voces y sus representaciones gráficas. El ejemplo por excelencia lo constituyen el grupo “PLR” y el Tonnetz, aunque se limitan únicamente a las tríadas mayores y menores. P, L y R son las operaciones básicas “Paralelo”, “Cambio de Sensible” (en inglés, Leading-tone exchange) y “Relativo”, las cuales transforman, respectivamente, por ejemplo, C mayor en C menor, C mayor en E menor y C mayor en A menor; y viceversa. Como punto de partida podemos tomar una regla básica en Armonía para conectar unos acordes con otros, que es la “ley del camino más corto” (Schönberg 1983, p. 39, citando a Bruckner). Esto significa mantener las notas comunes y mover las demás según los mínimos intervalos posibles. A este respecto, Douthett y Steinbach (1998) establecen que dos acordes de la misma “cardinalidad” (es decir, con el mismo número de notas) guardan entre sí una relación “Pm,n” si uno de ellos puede transformarse en el otro manteniendo las notas comunes y, en cuanto a las demás, moviendo m notas un semitono y n notas un tono. Entonces, diremos que dicha relación es “parsimónica” si los valores de m y n son bajos, generalmente m + 2n ≤ 2. El caso más simple es, lógicamente, P1,0, que denominaremos “monosemitonal” (en inglés, single-semitonal). Además, Douthett y Steinbach (1998) aportan también varios grafos parsimónicos de especial relevancia, como el “Chicken-Wire Torus” (grafo dual del Tonnetz) y el “Cube Dance” para los tricordos “más uniformes” (es decir, en los que los intervalos entre cada dos notas consecutivas son similares) o el “Towers Torus” y el “Power Towers” para los tetracordos más uniformes. Veinte años antes, sin embargo, Waller (1978) ya publicó un toroide equivalente al Chicken-Wire, pero que, además, mostraba claramente su división en hexágonos, así como los ciclos PL, PR y – aunque algo más difíciles de visualizar – los LR. Estas y otras relaciones PLR compuestas han sido estudiadas exhaustivamente por Cohn (2012). Por su parte, Tymoczko (2006) hace un planteamiento diferente, desarrollando una teoría para representar los acordes de n notas en una especie de banda de Möbius generalizada, que llamaremos “n-orbifold”. Además, proporciona las figuras del 2-orbifold y parte del 3-orbifold, antes de “torcerlos y doblarlos” para obtener los verdaderos orbifolds. Callender, Quinn y Tymoczko (2008) aportan nuevas representaciones de este tipo, aunque, en la práctica, dada su especial complejidad, solo se suelen representar las regiones centrales de los orbifolds. En este trabajo se presentan unos nuevos grafos circulares cíclicos, que he denominado “Cíclopes”, que incluyen un mayor número de tricordos y tetracordos que las representaciones anteriores, donde estos están conectados entre sí mediante transformaciones monosemitonales. Así mismo, proporcionan una visión más amplia de las regiones centrales de los correspondientes orbifolds. Por consiguiente, permiten representar un mayor número de obras musicales de una forma práctica y pueden utilizarse tanto para el análisis musical como para la composición. Se asume que el lector está familiarizado con los “nombres de Forte” (Forte 1973) y las “clases de conjuntos”, también llamadas “clases de acordes”. En este trabajo, las clases de acordes “no inversionalmente simétricas” se dividen en dos “tipos de acordes” relacionados entre sí por “inversión”, llamados “a” y “b”, de acuerdo con las definiciones dadas por Nuño (2020a). Todos estos conceptos pueden, de forma alternativa, consultarse en español en Nuño (2020b) y Nuño (2021a). Por otra parte, este estudio trata también, en gran medida, sobre la “geometría de los acordes” (Tymoczko 2011) y las “transformaciones de los acordes más uniformes” (Cohn 2012), aunque los principales conceptos se explican también aquí. 2. Selección de los Tricordos y Tetracordos Tal como se explica en las anteriores referencias, hay 12 clases diferentes de acordes de 3 notas, los tricordos, 5 de los cuales son inversionalmente simétricos, mientras que cada uno de los restantes 7 se puede dividir en dos tipos de acordes relacionados por inversión, lo que hace un total de 19 tipos de acordes. Y hay 29 clases diferentes de acordes de 4 notas, los tetracordos, 15 de los cuales son inversionalmente simétricos; y, dividiendo en dos los restantes 14, obtenemos un total de 43 tipos de acordes. En ambos casos, el número de tipos de acordes es demasiado elevado como para poder relacionarlos en unos grafos que sean visualmente sencillos y de utilidad práctica. Por tanto, nos centraremos únicamente en los tricordos y tetracordos “más comunes”. Veamos cómo podemos seleccionarlos. En el período de la práctica común (aproximadamente, 1650-1900), las armonías se forman mediante superposición de terceras sobre los siete grados de las escalas mayor, menor armónica y menor melódica (veáse, por ejemplo, Schönberg 1983 o Piston 1988). De aquí resultan las 4 tríadas y los 7 acordes de séptima básicos, cuyos nombres de Forte son 3-10, 3-11a, 3-11b, 3-12 y 4-19a, 4-19b, 4-20, 4-26, 4-27a, 4-27b, 4-28, respectivamente. A estos hay que añadir los acordes de sexta aumentada 3-8a (italiana) y 4-25 (francesa). Todos estos tipos de acordes son, por tanto, predominantes en la música occidental. Para una cardinalidad dada (3 o 4 notas en nuestro caso), las clases de acordes están ordenadas desde la que tiene las notas lo más juntas posible, es decir, en secuencia cromática hasta la que las tiene separadas lo más uniformemente posible (tríadas aumentadas y acordes de séptima disminuida, según se trate de acordes de 3 o de 4 notas). Así, el criterio seguido aquí ha sido seleccionar “series completas de tipos de acordes”, desde los “más cromáticos” de los grupos anteriores (3-8 y 4-19) hasta los más uniformes (3-12 y 4-28). Tabla 1. Tipos de tricordos y tetracordos considerados aquí. Un superíndice en los nombres de Forte indica el grado de simetría transposicional, en caso de ser mayor que 1. Un asterisco (*) significa “omit 5” y un doble asterisco (**) “omit b3”. Los acordes mayores (M) se representan, normalmente, mediante su fundamental, sin ningún símbolo adicional. El símbolo “(9)” significa “add 9”, mientras que el símbolo “9” significa añadir tanto la séptima menor como la novena mayor. Las formas interválicas empiezan desde la fundamental. Tricordo Símbolo Forma Int. Tetracordo Símbolo Forma Int. 3-8a 7* 462 4-19a mΔ 3441 3-8b Ø** 642 4-19b Δ#5 4431 3-9 sus4 525 4-20 Δ 4341 3-10 dim 336 4-21 9* 2262 3-11a m 345 4-22a (9) 2235 3-11b M 435 4-22b m4 3225 3-123 + 444 4-23 7sus 5232 4-24 7#5 4422 4-252 7b5 4242 4-26 m7 3432 4-27a Ø 3342 4-27b 7 4332 4-284 O 3333 La Tabla 1 muestra esos tricordos y tetracordos con los símbolos empleados aquí para representarlos y sus “formas interválicas” (Nuño 2020a) empezando desde la fundamental. La forma interválica de un tipo de acorde es la secuencia de intervalos, en semitonos, entre cada dos notas adyacentes, incluyendo el intervalo entre la última nota y la primera; o cualquiera de sus permutaciones circulares. Los acordes añadidos a los grupos anteriores son los siguientes: 3-8b, 3-9, 4-21, 4-22a, 4-22b, 4-23 y 4-24, los cuales se interpretan, en ocasiones, como acordes cromáticos, incompletos o de paso. En otros estilos musicales, como el Pop, la música latina o el Jazz se utilizan con frecuencia todos los tipos de acordes de la tabla (véase, por ejemplo, el listado de acordes proporcionado por Sher 1991, p. iv). Por tanto, la selección realizada de esta manera contiene un número razonable de tipos de acordes, a la vez que incluye, en todo caso, los más relevantes. 3. Grafos Parsimónicos Las Figuras 1 y 2 son unos grafos circulares que he denominado 3-Cíclope y 4-Cíclope, que muestran, respectivamente, los tricordos y tetracordos de la Tabla 1 conectados mediante transformaciones monosemitonales. Así, en cada grafo se pasa de un acorde a otro cambiando una nota un semitono, el cual puede ser ascendente, si giramos en sentido horario, o descendente, si lo hacemos en sentido antihorario. Los números que hay en los extremos de las líneas que conectan los acordes indican las notas inicial y final referidas a las fundamentales de dichos acordes, donde 1, 3, 4 y 5 representan intervalos justos o mayores, que pueden alterarse mediante # y b, mientras que las séptimas mayores, menores y disminuidas se representan mediante Δ, 7 y d7, respectivamente. Haciendo la analogía con la carátula de un reloj, cada acorde se ha colocado en una “zona”, que viene definida por “la suma de sus notas”, módulo 12 (Cohn 2012, p. 102). Así, por ejemplo, el acorde de C mayor está en la zona 0 + 4 + 7 = 11 del 3-Cíclope y el acorde BØ en la zona 11 + 2 + 5 + 9 = 27 = 3 (módulo 12) del 4-Cíclope. De esta manera, si se sube un semitono una nota de un acorde, pasamos a la siguiente zona girando en sentido horario. Además, esto hace que, en el 3-Cíclope, los tricordos del mismo tipo cuyas fundamentales están a distancia de 4 semitonos estén situados en la misma zona. Y lo mismo ocurre en el 4-Cíclope con los tetracordos del mismo tipo cuyas fundamentales están a distancia de 3 semitonos. Por otra parte, los acordes que tienen un grado de simetría transposicional “s” mayor que uno tienen, lógicamente, conexiones múltiples a acordes del mismo tipo. Este es el caso de las tríadas aumentadas (s = 3), los acordes de sexta aumentada francesa (s = 2) y los acordes de séptima disminuida (s = 4). Entre los grafos parsimónicos desarrollados hasta la fecha cabe destacar, para el caso de los tricordos, el “Cube Dance” de Douthett y Steinbach (1998), que muestra las transformaciones monosemitonales entre las tríadas aumentada (3-12), menor (3-11a) y mayor (3-11b), el cual contiene solo un tipo de acorde por zona. Tymoczko (2011, p. 105) representa estos mismos acordes en un cubo. Pero con anterioridad a ambos tenemos el Tonnetz, que es una representación de los acordes mayores y menores conectados mediante transformaciones PLR. Por su parte, el 3-Cíclope puede considerarse como un Cube Dance o un Tonnetz “de orden superior”, ya que incluye también los tipos de acordes 3-8 a 3-10. En total, contiene 7 tipos de acordes frente a los 3 del Cube Dance o los 2 del Tonnetz. Además, en él se visualizan claramente las transformaciones básicas PLR: P y L son líneas “oblicuas” con respecto a las circunferencias centradas en el grafo, y R son líneas que “atraviesan” las tríadas aumentadas, entrando y saliendo por la misma letra (“a”, “b” o “c”). Simbólicamente, P = /, L = \ y R = ^. Figura 1. El 3-Cíclope, con los tricordos considerados en la Tabla 1. Con respecto a los grafos parsimónicos para los tetracordos tenemos el “Power Towers” de Douthett y Steinbach (1998), que muestra las transformaciones monosemitonales entre los acordes disminuido (4-28), semidisminuido (4-27a), de séptima de dominante (4-27b) y menor con séptima (4-26), el cual contiene también solo un tipo de acorde por zona. Cannas (2018) añade a ellos los acordes mayores con séptima mayor (4-20), obteniendo el “Clover graph”. En cambio, tanto el “4-Cube Trio” de Douthett (Cohn 2012, p. 158), como la representación de Tymoczko en el 4-orbifold (2011, p. 106), lo que añaden son los acordes de sexta aumentada francesa (4-25), completando de esta manera un hipercubo en cuatro dimensiones o “teseracto” (tipos de acordes 4-25 a 4-28). Por su parte, el 4-Cíclope puede considerarse como un 4-Cube Trio “de orden superior”, ya que incluye también los tipos de acordes 4-19 a 4-24. En total, contiene 13 tipos de acordes frente a los 5 del 4-Cube Trio o el Clover graph, un número bastante alto que hace que este grafo sea más complejo que el 3-Cíclope. Figura 2. El 4-Cíclope, con los tetracordos considerados en la Tabla 1. 4. Patrones de Acordes Tanto el 3-Cíclope como el 4-Cíclope son especialmente adecuados para representar ciertos patrones de acordes que aparecen en determinadas composiciones musicales, los cuales se indican en la Tabla 2. Estos patrones también pueden representarse en el Tonnetz, pero solo hasta cierto punto, ya que este solo contiene las tríadas menores (3-11a) y mayores (3-11b); y, cuando se utilizan acordes de séptima de la clase 4-27, lo normal es reducirlos eliminando la séptima en los acordes “7” y la tónica en los acordes “Ø”. Cohn (2012) y Tymoczko (2011) analizan muchos ejemplos de este tipo, pero incluyen también las tríadas aumentadas (3-12); y, con respecto a los tetracordos, ambos consideran los cinco tipos más uniformes (4-25 a 4-28). Sin embargo, el 3- y el 4-Cíclope incluyen más del doble de tipos de acordes (3-8 a 3-12 y 4-19 a 4-28, respectivamente), por lo que permiten analizar un mayor número de piezas musicales, así como obtener unas representaciones más simples y compactas. Tabla 2. Patrones de acordes idóneos para ser representados en el 3- y el 4-Cíclope.   3-Cíclope   4-Cíclope     Progresiones Parsimónicas de Tricordos   Progresiones Parsimónicas de Tetracordos     Mismos Tipos de Tricordos a distancia de tercera mayor   Mismos Tipos de Tricordos a distancia de tercera menor   Consideremos, en primer lugar, varios ejemplos basados en tricordos a distancia de tercera mayor, los cuales están situados en la misma zona del 3-Cíclope, y que incluyen también progresiones parsimónicas. En cuanto a los acordes “7” y “Ø”, consideraremos sus formas incompletas, “7*” y “Ø**”, que son mejores aproximaciones a los acordes reales que las utilizadas en el Tonnetz y, lo que es muy ventajoso, conducen a representaciones mucho más compactas. Comencemos por la Sonata para Violín y Piano en Fa mayor, Op. 24 de Beethoven. Las armonías en el segundo movimiento, compases 38-54, son las siguientes:         donde cada acorde o cada pareja de acordes unidos por un guión dura un compás y el símbolo “%” significa repetir el compás anterior. Los acordes relacionados con una misma tríada consonante se han agrupado mediante llaves. Esta progresión de acordes se ha representado en la Figura 3 en el 3-Cíclope, donde el acorde inicial se ha marcado de manera especial. Los tres acordes menores (Bbm, F#m, Dm) están a distancia de tercera mayor descendente, al igual que los tres acordes mayores relacionados con ellos mediante operaciones L y P (Gb, D, Bb). Estos últimos se afirman mediante cadencias con acordes de séptima de dominante y de subdominante, estando cada uno de estos tipos de acordes situados en una misma zona. Debido a la utilización de los acordes “7” en su forma incompleta, es decir, “7*”, el resultado es muy compacto y solo ocupa tres zonas cercanas entre sí: 4, 5 y 8. Si hubiéramos usado los acordes “7” sin la séptima, como se hace en el Tonnetz, entonces estarían localizados en la zona 2 de la Figura 1. En cuanto a sus formas completas con 4 notas, estarían situadas en zonas diferentes (1, 5, 9) de la Figura 2, dejando de estar agrupados. Analicemos ahora la Consolación en Re bemol mayor, Op. 102, No. 3 de Liszt, compases 23-43, cuyas armonías son         donde algunos acordes se tocan sobre una nota pedal, lo cual se representa mediante una barra seguida de la nota pedal. Esta progresión de acordes se ha representado en la Figura 4 en el 3-Cíclope (sin los pedales) y se puede comparar con Cohn (2012, p. 187), quien aporta, además, una animación Web. Ahora los tres acordes mayores (Db, F, A) están a distancia de tercera mayor, pero ascendente, y solo hay dos acordes menores (Fm, Am) relacionados con ellos mediante operaciones L y P, los cuales se afirman mediante cadencias más largas. Hay, además, un acorde “Ø”, cuya forma incompleta (es decir, Ø**), junto con las de los acordes “7” (es decir, 7*), dan lugar a una representación muy compacta, que se extiende únicamente sobre dos zonas consecutivas (1 y 2). De hecho, el 3-Cíclope es también especialmente adecuado para representar las cadencias V7–I(m) y IIØ–V7–I(m), con acordes tónicos mayores o menores. En particular, el tema de Jazz “Giant Steps” de Coltrane (Sher 1991) está estrechamente relacionado con esto, ya que consta únicamente de cadencias V7–IΔ y IIm7–V7–IΔ a distancia de tercera mayor.   Figura 3. Beethoven, Sonata para Violín y Piano en Fa mayor, Op. 24, segundo movimiento, compases 38-54.   Figura 4. Liszt, Consolación en Re bemol mayor, Op. 102, No. 3, compases 23-43. En cuanto a ejemplos con el 4-Cíclope, consideremos el Concierto para Piano No. 2 en Do menor, Op. 18 de Rachmaninoff. En el primer movimiento, compases 1-8, hay una progresión puramente monosemitonal, representada en la Figura 4 en el 4-Cíclope mediante una simple línea: [Fm(5)]  DbΔ  DØ Fm7  F7  Fm7  DØ DbΔ Aquí, una nota entre paréntesis significa añadir dicha nota al acorde. Así, Fm(5) es Fm con la quinta duplicada (C). Este acorde se ha escrito entre corchetes porque no aparece en el 4-Cíclope, pero se ha incluido en la figura para ilustrar mejor el ejemplo. Son precisamente esos dos C los que suben y bajan por semitonos a lo largo de la progresión, excepto al pasar por F7. Hay un pedal F–C (en triple octava), que pertenece a todas las armonías y que da robustez a toda la progresión. También hay otro pedal Ab (en doble octava), excepto en F7. El primer acorde, Fm(5), pasa a DØ a través de DbΔ en lugar de DO, posiblemente porque este último no incluye el pedal C y además contiene dos tritonos, mientras que DbΔ no contiene ninguno. El siguiente ejemplo es Indudable (Bossa Nova) de Nuño (2012), cuyos compases 19-27 constan de los siguientes acordes (algunos de los cuales, en realidad, contienen más tensiones) G#m7  C#Δ  Fm7  BbΔ  Dm7  G6  Bm7  E7sus  G#m7 Esta progresión de acordes se ha representado en la Figura 6 en el 4-Cíclope. Los cuatro acordes menores con séptima (G#m7, Fm7, Dm7, Bm7) están a distancia de tercera menor, por lo que están situados en la misma zona. En cuanto a los demás acordes, sus tónicas están también a distancia de tercera menor, pero en lugar de tener la secuencia homogénea C#Δ, BbΔ, GΔ, EΔ, los dos últimos acordes (marcados con línea discontinua en la Figura 6) se han sustituido por G6 (enarmónico de Em7) y E7sus, respectivamente. En todo caso, la representación es nuevamente simple y compacta.   Figura 5. Rachmaninoff, Concierto para Piano No. 2 en Do menor, Op. 18, primer movimiento, compases 1-8.   Figura 6. Nuño, Indudable (Bossa Nova), compases 19-27. Como último ejemplo tomaremos el Preludio en Mi menor, Op. 28, No. 4 de Chopin, una de las piezas más interesantes analizadas por Tymoczko (2011, pp. 287-293) y Cohn (2012, pp. 160-166), los cuales aportan, además, animaciones Web. La figura 7 es una partitura simplificada con los compases 1-12. Figura 7. Chopin, Preludio en Mi menor, Op. 28, No. 4, compases 1-8. Melodía y estructura armónica. Figura 8. Chopin, Preludio en Mi menor, Op. 28, No. 4, compases 1-8. Armonías de las tres voces inferiores. Como se verá, esta composición se entiende mejor analizando primero las armonías de las tres voces inferiores, representadas en la Figura 8 en el 3-Cíclope, las cuales pasan por todos los tipos de tricordos considerados en este grafo, excepto las tríadas aumentadas (¿quizás son demasiado disonantes?). Chopin incluye, además, los tipos de acordes “m7*” (3-7a) y “Δ*” (3-4a), definidos por las formas interválicas y , que son los acordes tónicos de séptima incompletos de las tonalidades menor natural y mayor, respectivamente. Desde el segundo acorde (F#m7*), las tres voces inferiores realizan estrictamente una progresión monosemitonal (P1,0) descendente, que cubre algo más de una vuelta completa en el grafo. Después, se utilizan otras transformaciones parsimónicas para terminar la frase, las cuales se indican en la partitura. Figura 9. Chopin, Preludio en Mi menor, Op. 28, No. 4, compases 1-8. Armonías completas. Por su parte, la austera melodía describe también una línea descendente, B–A–G#–F#, que completa las armonías y conduce a una representación más compleja en el 4-Cíclope (Figura 9). Aparte de los acordes considerados en este grafo, Chopin también incluye el “(b9)” (4-18a) y el “Δb5” (4-16a), definidos por y , respectivamente. 5. Conclusiones Se han presentado dos nuevos grafos, denominados Cíclopes, que relacionan los tricordos y tetracordos más comunes mediante transformaciones monosemitonales. Ambos incluyen más del doble de tipos de acordes que los grafos publicados hasta la actualidad, por lo que permiten analizar un repertorio más extenso de forma práctica. Estos grafos son especialmente adecuados para representar progresiones de acordes parsimónicas, tricordos a distancia de tercera mayor y tetracordos a distancia de tercera menor, así como las cadencias V7–I(m) y IIØ–V7–I(m), con acordes tónicos mayores o menores. En todos estos casos, los resultados que se obtienen son simples y compactos, lo que nos permite visualizar claramente las relaciones entre los acordes involucrados y entender mejor los patrones de composición utilizados, a la vez que constituyen un excelente recurso mnemotécnico. Por todo ello, podemos concluir que estos grafos son unas herramientas de gran utilidad tanto para el análisis musical como para la composición. 6. Referencias Callender, Clifton, Ian Quinn, and Dmitri Tymoczko. 2008. “Generalized Voice-Leading Spaces.” Science 320 (5874): 346–348. Cannas, Sonia. 2018. “Geometric Representation and Algebraic Formalization of Musical Structures.” Ph.D. dissertation, Université de Strasbourg and Università degli Studi di Pavia e di Milano-Bicocca. Cohn, Richard. 2012. Audacious Euphony: Chromatic Harmony and the Triad’s Second Nature. New York: Oxford University Press. 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Lunes, 11 de Octubre de 2021 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Cine y matemáticas
Autor:Alfonso Jesús Población Sáez
El recuerdo de una novela y posterior película sobre el descubrimiento del amor en unos jóvenes superdotados nos permite evocar la existencia de un personaje que trajo de cabeza a las autoridades francesas con su método probabilístico para ganar las apuestas de caballos. Ficha Técnica: Título: Un pequeño romance. Título Original: A Little Romance. Nacionalidad: EE. UU., 1979. Dirección: George Roy Hill. Guion: Allan Burns y Claude Klotz, basado en la novela E = MC² mon amour, de este último bajo el seudónimo Patrick Cauvin. Fotografía: Pierre-William Glenn, en Color. Montaje: William Reynolds. Música: Georges Delerue. Oscar a la mejor música original. Producción: Robert Crawford Jr. y Yves Rousset-Rouard. Duración: 110 min. Ficha artística: Intérpretes: Laurence Olivier (Julius), Diane Lane (Lauren), Thelonious Bernard (Daniel), Arthur Hill (Richard King), Sally Kellerman (Kay King), Broderick Crawford (Brod), David Dukes (George de Marco), Andrew Duncan (Bob Duryea), Claudette Sutherland (Janet Duryea), Graham Fletcher-Cook (Londet), Ashby Semple (Natalie), Peter Maloney (Martin), Claude Brosset (Michel Michon), Jacques Maury (Inspector Leclerc), Argumento Daniel, hijo de un francés de clase media, y Lauren, niña de familia rica norteamericana. Los dos tienen en común algo excepcional: un altísimo coeficiente intelectual, son superdotados. Se gustan y empiezan a verse furtivamente, construyendo una incipiente historia de amor. La novela (y la película) narra sus ilusiones, sus planes, sus problemas con los adultos. Conocen a un anciano que les relata fabulosas historias de su vida viajera, aunque la realidad quizá sea diferente. Los tres se escapan a Venecia, donde Lauren y Daniel vivirán una romántica historia. Comentario, análisis y curiosidades Hace unos días, echando un ojo a los libros de la casa de mis suegros, cogí por casualidad un libro que había visto mil veces, pero que nunca había abierto, dado que aparentemente su argumento no me interesaba lo más mínimo (un libro para adolescentes de los años setenta, nada menos, al estilo de Nacida Inocente o Sara T.; los que han vivido esa época entenderán el tipo de libros que son). En esta ocasión, lo abrí, ¡¡y apareció una fórmula matemática!! (poco usual en las novelas). Lo curioso es que dicha fórmula estaba equivocada. Reproduzco su contenido: “Necesito acostumbrarme a la idea: estoy demasiado adelantada para mi edad. En realidad, hace poco que me he dado cuenta. Nos encontrábamos en la clase de matemáticas, y la tarada que tenemos de profesora me daba la lata desde hacía tres horas con sus ecuaciones, cuando de pronto se equivocó y se puso a relinchar burlonamente, enseñando sus enormes encías rosadas, y diciéndonos para deslumbrarnos: – Craso error de mi parte. Esto nos dará una ecuación de segundo grado, y vosotros no conoceis la fórmula para resolverla. Observé a mis congéneres que babeaban de admiración con sus miradas estúpidas (aborrezco a las norteamericanas), y dije: – Podriamos intentar encontrar esa fórmula … Se puso a reir de tal manera que, además de las encías, nos mostró la faringe y la masa pulmonar. – Adelante -dijo-, encuéntrela y la invito a champán. Ella denomina a eso un rasgo de ingenio. Todos los retrasados me miraron con sus ojos bobalicones y yo comencé a embarullarme con los signos. Al cabo de un rato descubrí el hilo salvador, como si fuera el hilo que sobresale de un ovillo complicado, y que al tirar de él se deshace fácilmente. Entonces dije: – x = , lo que resuelve su problema insoluble. La querida miss Flanaghan se sentó como si acusara una repentina crisis hepática y creí que iba a vomitar sobre su escritorio. Se volvió tan amarilla como diez mil otoños y dijo: – Enseñeme su cuaderno, Lauren. Le alcancé mi borrador y me miró como si yo fuera Frankenstein. […] Entonces tomó el aspecto de una masa repelente de mermelada de manzana y gimoteó: – Es preciso que su madre venga a verme con urgencia. Cuando mamá se presentó, le dio un tratado sobre los niños prodigio. Lo he leido a hurtadillas y ahora sé que no soy muy normal”. Mi primera impresión al leer el párrafo fue que no hace tanto que no nos preocupábamos tanto por lo “políticamente correcto”, teniendo en cuenta además que era un libro dirigido a adolescentes. Pero centrandonos exclusivamente en la parte matemática, desde luego ese alto concepto que la protagonista manifiesta de si misma, no va acompañado de la precisión que supone, ya que es evidente que la fórmula es incorrecta (no por el mas menos de la raíz, ya que podría conformarse con localizar una única solución, sino por el claro error del –b). En páginas posteriores hay más referencias a las matemáticas. Por ejemplo, Lauren afirma un poco más adelante: “… empezaba a secarme como una solterona. Nueve días aquí y ya iba por mi catorceavo libro, uno de los cuales tenía mil doscientas páginas y trataba de cálculo integral”. En otro momento, al inicio del curso escolar, Lauren está cuchicheando con un compañero en clase, y el profesor de matemáticas, molesto, la increpa: – Muy bien. ¿Quiere repetir lo que estaba diciendo a su compañero cuando la he interrumpido? Y no intente inventar. – Le decía que espero que este curso estudiemos con usted la geometría no euclidiana. El adversario vacila ligeramente. Ya no debe de tener la seguridad de antaño para ser profe. Se aferra a la caja de tiza y se lanza al asalto con sarcasmo: – ¿Es usted una especialista del postulado de Riemann? Risas serviles de los tres pelotas de la primera fila. – No, soy partidaria de Lobatchevsky. Hundimiento de Eisenhower; parece que va a perder la segunda guerra mundial. – Sientese. Hablaremos de eso más tarde, exactamente después de las clases de hoy, durante la hora de castigo. ¡Daniel! – Pero ... – Siéntese. Gran silencio. Pertenece a la raza de los que dicen: “Para estar tranquilo durante durante todo el curso, no hay como imponer algún castigo al principio, para que sirva de ejemplo”. El ejemplo soy yo. Tras esa lectura rápida, recordé la película que se hizo sobre este best-seller (fue muy popular y vendió muchos ejemplares), y traté de localizarla por comprobar si aparece algún momento relacionado con las matemáticas. La localicé sin dificultad en este enlace. La película, aún tratando de respetar el espiritu del libro, es más convencional en cuanto a las expresiones, las reacciones de los jóvenes, etc., lógico tratándose de una producción para que su distribución fuera la mayor posible. El libro, como casi siempre, es más rico en cuanto a detalles, descripción de los personajes, y difiere en algunas cosas respecto a la película. Ésta no incluye ninguna de las citas escolares descritas. En un momento dado (digamoslo así para no desvelar demasiado) los protagonistas necesitan dinero para hacer un viaje juntos. El modo de conseguirlo es diferente en novela y película, pero en ambas hay un trasfondo matemático. Describo ambos. En la novela: “Tenemos lo que él ha gando en la radio, pero no es suficiente. A mi me toca ahora arreglármelas. Desde hace mucho tiempo me ronda una idea por la cabeza, pero hasta hoy no había necesitado ponerla en práctica. Los problemas financieros me interesan más bien poco. Pero todo cambia. A grandes rasgos, consiste en lo siguiente: ganar en quince días el máximo de dinero con la mínima inversión. Parecerá idiota, pero estoy segura de poderlo conseguir. Para ello necesito un ordenador. Y no uno pequeño. Por esa razón me encuentro aquí esperando a Agamenón. ¡Ojala comprenda la situación! De todas maneras, no le cuesta mucho prestarme un ordenador durante media hora. Si me explica un poco por encima cómo funciona, creo que me las arreglaré sola para programarlo. No debe ser nada del otro mundo, sobre todo si, como imagino, funciona con sistema binario. Si es así, no hay problema; el negocio está hecho. Sin asomo de vanidad, puedo asegurar que hay pocas cosas que no pueda obtener con ese sistema. He aquí mi idea en líneas generales. Es una hipótesis, por supuesto, pero dada la materialidad de las premisas me parece más que probable. Si abrimos a la vez todos los periódicos del mundo por la página financiera, nos daremos cuenta de que hay una parte cifrada idéntica en todos ellos y que, para mayor comodidad, denominaremos por la letra K. La sección resume todo el mercado interior, los mercados internacionales, la fluctuación de las divisas, el patrón oro, las paridades fijas, la cotización de las acciones ... En una palabra, todo el aspecto numérico que posee la doble propiedad de ser a la vez periodicamente variable y ciclicamente estable. Me explicaré: es evidente desde un punto de vista matemático que un conjunto inestable formado con datos variables, unos con respecto a otros, dentro de unos límites precisos y que oscilan entre una base fija a la que llamaremos P, después de un periodo T más o menos largo, tiene que repetirse de una forma tan ajustada que acaba en una cuasi identidad de su modelo, lo que nos da: P(K/T)– k2 k’ Si tomo con referencia el conjunto k de hace tres años, encontraré en el periodo subsiguiente otro conjunto k’ que será el calco de k. Si entre k y k’ ha transcurrido un tiempo T igual a dieciocho meses, podré conocer el mercado bursatil y financiero de mañana remontandome al que tuvo lugar hace un año y medio. Habrá que maniobrar, por supuesto, tomando en consideración los cambios políticos habidos desde la época en cuestión; o sea, jugar con los componentes no cifrados, aunque de todas maneras podré cuantificar la importancia  precisando los valores exponenciales al utilizar con rigor una axiomática experimental. Resumiendo, un verdadero juego de niños. Entonces, partiendo de una aportación fija –lo que supone, si rompo mi hucha, 75 francos y pico-, y aplicando mi sistema, puedo, dentro de unos límites de tiempo y aprovechando los distintos mercados, multiplicar mi inversión por una cantidad que oscila entre 95 y 105, con un margen de error de 1,5 a 1,8, porcentaje a todas luces despreciable según la escala de las cantidades utilizadas. En conclusión, si todo marcha bien, a final de mes debemos tener Dany boy y yo la simpática suma de 10000 francos. El millón”. Su padre la recibe, cambia algunas impresiones con él, y al poco su secretaria los avisa de que un técnico informático de la empresa la puede atender. Se llama Martin, y lo describe como extremadamente taciturno y de una estatura de metro y medio. “ Le explico con detalle lo que pretendo. Me observa atentamente mientras hablo, lanza un gruñido, intenta por tres veces encender dos cigarrillos con cinco cerillas, cuatro de las cuales ya habían sido utilizadas anteriormente, y concluye: – Gracioso. Tiempo de silencio. – ¿Le parece estúpido mi plan? –pregunto. Se rasca la frente, me sopesa con la mirada, resiste visiblemente a la violenta tentación de meterse un dedo en la nariz, y termina por decir: – ¿Le importa si participo en la aventura con un poco de dinero? – Eso no estaba previsto –le corto. Acusa el golpe. – De acuerdo –me dice-. Le endoso el diez por ciento de mis beneficios. ¿Vale? – Digamos el quince por ciento, y así hacemos los dos un buen negocio. Suspiro intenso de Martin. – De acuerdo, pero hay un enorme trabajo de tratamiento. – No hay mal que por bien no venga –le respondo. Me instalo en seguida en el pupitre. Tal como imaginaba, está basado en el principio binario. Una pequeña maravilla de la técnica. Durante diez días seguidos acudo a la oficina por las tardes, después del colegio. Al final, la hipótesis no parece tan formidable como había supuesto de manera tan rotunda. Además, los imponderables económicos han introducido unas distorsiones que falsean bastante los resultados, sobre todo en lo concerniente a Río Tinto, De Beers y todas las monedas demasiado dependientes del dólar. La cotización del escudo también me ha creado serios problemas. Y el florín no se ha mostrado muy sumiso. Reconozco, pues, sinceramente, que me equivoqué en mis cálculos. Esperaba obtener siete mil quinientos francos y sólo he conseguido seis mil trescientos. Pero, como dice Martin, con una aportación inicial de setenta y cinco francos ha resultado una operación rentable. ¡Puñetero Martin! Los últimos días se ha mostrado inagotable, pero en el fondo no me ha servido de mucho, ya que, a fin de cuentas, si quieren que les diga lo que pienso, se exagera la capacidad de los ordenadores. En la película, vemos desde el inicio que Daniel está muy pendiente de los ganadores de las carreras de caballos. Su taxista padre apuesta diariamente, y pierde dinero. Daniel en cambio parece acertar de acuerdo a un método que ha desarrollado. Va apuntando sus ganancias si hubiera apostado, y comprobamos que llevaría ganados 850.000 francos. Como en la novela, quieren dinero para el viaje. Lauren indica que tiene ahorrados 150 dólares. Daniel está decidido a “invertirlos” en las apuestas con su método. Lauren le pregunta por su frecuencia de ganancia. Daniel le dice que el 45% de las veces. – Y el 55% pierdes. – No soy una computadora. “Un ordenador ayudaría”, comenta, “porque podría tomar las variables de cada caballo en cada carrera, considerar diferentes jockeys, diferentes distancias, etc”. Lauren, igual que en el libro, acude a su padre que le pone en contacto con el informático Martin. El diálogo entre ellos (Martin y Lauren) es como sigue: – ¿Qué información necesitas? – Los tres mejores caballos con probabilidad de ganar mañana en las ocho carreras de Longchamp. Necesito programar los gráficos de rendimiento de cada caballo en el último año y luego cruzar los datos considerando las variables de tiempos y distancias. – Olvidalo. – ¿Por qué? Martin mira a todos los datos para verificar que nadie los escucha. En voz baja, dice: – Hace un año que intento crear ese programa. Ni siquiera ando cerca. – ¿Podría mostrarme su teoría? – ¿Mostrarte mi teoría?¿Quieres que te de 10 meses de cálculos? – Dijo que no funciona. Tal vez pueda ayudarlo. Un tanto reticente inicialmente, finalmente se levanta, abre un cajón y extrae una carpeta, sin dejar de escudriñar a todos los lados, previniendo que no haya curiosos. Saca un montón de hojas de papel continuo. La escena termina, pero acto seguido vemos correr a Lauren en busca de Daniel muy contenta de haber encontrado la solución. Con la colaboración del anciano Julius (ellos no pueden apostar por tener sólo once años), van ganando una y otra vez. A pesar de los consejos de Julius de no arriesgar todo el dinero, Daniel está muy convencido y decidido a ganar el máximo posible. Pero en la última carrera, lo pierden todo. Daniel está muy contrariado. Finalmente, Julius les sorprende porque al final, por una corazonada, no apostó al caballo que Daniel le dijo, sino a otro. Pero esto, lejos de contentar al chaval, lo enfada muchísimo: “Una semana evaluando esos caballos, y ¿usted gana por intuición?” La realidad supera la ficción Seguramente el nombre de Patrice des Moutis (o Monsieur X) no les diga nada a los  lectores. Patrice des Moutis (1921 – 1975) fue un atractivo ingeniero y matemático francés, encantador y bien educado, de familia aristocrática, empleado ejemplar en una empresa de seguros, que desde finales de la década de 1950 y principios de la de 1970, puso en jaque al sistema de apuestas estatal francés, el PMU (Pari Mutuel Urbain), que tuvieron que cambiar varias veces las normas de las apuestas para evitar que continuara ganando las fabulosas cantidades que logró, y sobre todo evitar que cundiera su ejemplo. Con ayuda de aquellos primeros ordenadores, desarrolló un sistema basado en probabilidades bayesianas con el que ganar en todas y cada una de las carreras de caballos y en consecuencia ganar en las apuestas. El 12 de noviembre de 1958, ganó la trifecta (tiercé) 35 veces seguidas y otras 35 veces no seguidas, ganando 5 millones de francos por una apuesta de 294.000 francos (20 veces la apuesta). Se convirtió en un jugador compulsivo y continuó jugando  aumentando las sumas apostadas, y llegando a ganar la trifecta 500 veces seguidas y 2.500 veces más en desorden el 14 de julio de 1961. Esas ganancias (llegó a obtener más de 490 millones de francos; se llevó en más de ocho ocasiones el premio en metálico Arco del Triunfo) le llevaron a ser portada de revistas y medios de comunicación, constituyendose en un héroe para el ciudadano medio, que aplaudia con pasión sus éxitos. Des Moutis se convirtió en asesor de periódicos turfistas (como "Le Meilleur") bajo el nombre de "Monsieur X", que era el nombre con el que el PMU se había referido a él durante mucho tiempo. El 16 de mayo de 1962 apareció un decreto para cambiar las reglas de la trifecta, estipulando que un apostador no podía apostar más de 60 francos en total. El 9 de diciembre de 1962, para el Gran Premio de Burdeos, 83 apostadores (entre los que se encontraban 45 que fueron condenados) de toda Francia apostaron por la misma combinación y ganaron un total de más de 4 millones de francos. La justicia ordenó entonces la incautación del premio, presentando una denuncia contra X. Se le prohibió apostar en Francia, Gran Bretaña e Irlanda, pero lo sigue haciendo, especialmente entre 1967 y 1969 con su familia. En 1973 se le relacionó con un caso de apuestas amañadas; algunos jinetes son acusados ​​de haber perdido deliberadamente la carrera, en beneficio de ciertos apostadores, incluido Des Moutis. Ingresa en la prisión de Fresnes el 21 de febrero de 1975 en prisión preventiva durante 142 días. Poco después de su salida de la cárcel, en la mañana del 17 de octubre de 1975, fue encontrado muerto en su domicilio de Saint-Cloud, sin que se aclararan las circunstancias de su muerte. Des Moutis debía comparecer el 24 de octubre de 1975 ante el Tribunal de Grande Instance de Marsella, sobre el premio Entressem, donde gente influyente había ganado mucho dinero. Algún tiempo después, su hijo, que cuestionó públicamente las circunstancias de la muerte de su padre, también fue encontrado muerto, y la policía también concluyó suicidio ... Conclusión: es peligroso apostar, pero más lo es ganar, al parecer. La novela E = mc2 mon Amour, y su secuela Claude Klotz (1932 – 2010) fue un escritor y guionista francés. Su padre, trabajador ferroviario, lo convirtió en un adicto a la pantalla llevándolo muy temprano a ver multitud de películas estadounidenses. Humphrey Bogart encarna entonces, a sus ojos, la imagen emblemática del cine. Se licenció en Filosofia en La Sorbona en 1954. A su regreso de la guerra de Argelia, enseñó literatura en una escuela secundaria de la región de París, viviendo con cierta humildad en Sarcelles. Marcado por la guerra de Argelia, escribió con su nombre real una serie de trece historias de detectives sangrientas con un héroe recurrente bautizado como Reiner, y posteriormente rebautizado como Raner. Cansado de este duro universo, Claude Klotz crea una historia de amor en 1974. Su editor le aconseja que no la publique con su nombre, utilizando seudónimo de Patrick Cauvin, el apellido de su madre. "Estaba lejos de imaginar que Cauvin ganaría a Klotz, que vendería más libros y que esta doble identidad [...] seguiría confundiendo a la gente". En 1977, mientras Monsieur Papa (publicado en 1976) se estrenaba en las pantallas dirigida por Philippe Monnier, Cauvin publica E = mc2 mon amour, una historia de amor entre dos jóvenes superdotados, éxito rotundo. Un año después, esta historia también será adaptada al cine, la película que estamos comentando. Alternando entre la violencia de Claude Klotz y la ternura de Patrick Cauvin (“Siempre es la historia la que decide quien de ellos toma la pluma”), su fascinación por el cine norteamericano y sus técnicas, está presente en muchas de sus novelas: “Mi ambición es convertir al lector en espectador. Mediante diálogos, que son mi herramienta para componer plano y contraplano”. Sus otras dos pasiones confesadas eran el mar y el fútbol. Veintidós años después de la publicación de E = mc2 mon amour, los dos protagonistas, Lauren y Daniel, se reencuentran en 1999 en Pythagore, je t'adore (Pitágoras, te amo), que vuelve a ser un gran éxito. Aunque el novelista se había prometido no continuar la historia, la nostalgia de sus primeras intrigas lo decide, finalmente, a revivir a sus jóvenes héroes. La trama comienza varios años después de lo sucedido en la historia original: Lauren King se ha mudado de regreso a los EE. UU., y ya no está en contacto con Daniel Michon, aunque vuelven a re-encontrarse. No se ha editado en español.
Martes, 05 de Octubre de 2021 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/El rincón matemágico
Autor:Pedro Alegría (Universidad del País Vasco)
[Visualización artística de siete "mezclas lecheras" de Roger Antonsen.] Como apéndice al artículo publicado el mes pasado en este rincón (dedicado al principio disléxico) sobre la revisión de las contribuciones a la magia matemática de Charles Peirce realizada por Persi Diaconis y Ron Graham en el artículo "The magic of Charles Sanders Peirce", quiero referirme a la última parte de este artículo, que contiene un descubrimiento reciente y un juego que oculta algunas sorpresas matemáticas. Diaconis y Graham desvelan parte del contenido de una carta que envió Charles Peirce a su amigo y mentor —así como también aficionado a los juegos de magia con cartas— Chauncey Wright el 2 de septiembre de 1865, carta que se encontró recientemente entre los papeles de éste, los cuales están recopilados por la Sociedad Filosófica Americana (y cuya reproducción puedes leer en este enlace). En dicha misiva y después de compartir algunas ideas sobre filosofía, Peirce explica a su colega un nuevo principio matemático relacionado con ciertas mezclas de cartas. Para comprenderlo, propongo que hagamos juntos una versión simplificada del juego con las cartas en la mano. Busca una baraja y sigue leyendo: Selecciona las cartas del as al cinco de los cuatro palos y ordénalas formando un paquete como el de esta figura (el orden de los palos es irrelevante, sólo es importante que todos los palos estén ordenados de la misma forma): Manteniendo las cartas con las caras hacia abajo, realiza una mezcla lechera —también llamada mezcla Klondike— TRES VECES. Si no recuerdas cómo se hace esta mezcla, puedes repasar el número 122 de este rincón, correspondiente a diciembre de 2014. De nuevo con las cartas cara abajo en la mano, cuenta las cuatro primeras, invirtiendo su orden, mientras las pasas de una mano a la otra. Cuenta las cuatro siguientes cartas, sin invertirlas, y las pasas a la otra mano debajo de las cuatro primeras. Repite esta doble mezcla, contar las cuatro cartas superiores invirtiendo su orden y pasarlas sobre las de la otra mano y contar las siguientes cuatro cartas sin invertir su orden y pasarlas bajo las de la otra mano, continuando el mismo proceso hasta que hayas pasado todas las cartas de una mano a la otra. Por último, gira cara arriba el paquete de cartas y reparte sobre la mesa cuatro montones. Observarás que las cartas han vuelto a colocarse en el orden inicial. La secuencia que consiste en pasar grupos de cuatro cartas de una mano a otra, uno de ellos arriba y el otro abajo, es una generalización de la mezcla Monge, que también hemos descrito en este rincón (por ejemplo, en el número 127 de mayo de 2015). En la mezcla Monge original, sólo se pasan las cartas de una en una pero nadie se había planteado antes (que sepamos) el reparto por bloques de cartas. Lo interesante y sorprendente del juego que acabamos de describir es que se puede hacer con cualquier cantidad de cartas que sea múltiplo de cuatro, no necesariamente con cuatro conjuntos de cinco cartas. Pero, además, el número de mezclas lecheras siempre será tres, independientemente del número de cartas con las que se haga el juego. Ya se conocen muchas propiedades de las permutaciones obtenidas al realizar una mezcla Monge (por ejemplo, que después de 12 mezclas, una baraja de 52 cartas recupera su orden inicial) pero —que yo sepa— no se han estudiado, aparte de lo que ocurre en este juego de Peirce, las propiedades de la mezcla Monge generalizada. En la postdata de la carta que Diaconis y Graham analizan en su artículo, Charles Peirce regala a Chauncey Wright un par de juegos relacionados con el anterior, el segundo de ellos adornado con una historia de encuentros y desencuentros. Incluye además las fórmulas y los cálculos realizados para conseguir el resultado deseado. Puedes leer todos los detalles en el citado artículo. Para terminar, quiero compartir mi sorpresa al descubrir que Charles Sanders Peirce sigue entre nosotros, de modo que, si quieres conocer sus pensamientos, sus ideas filosóficas y lógicas y demás aspectos de su vida y obra, puedes seguirle en su perfil de Facebook (aunque, para disimular, haya puesto como foto de portada una recreación de la imagen de Karl Marx). Pedro Alegría (Universidad del País Vasco - Euskal Herriko Unibertsitatea)
Lunes, 04 de Octubre de 2021 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

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