51. 195. (Julio 2021) La magia de los dobleces

¿Quién recuerda el primer artículo que apareció en esta sección? Pues hoy ha tocado el turno de retomar el tema que allí se trató (en el improbable caso de que lo hayas olvidado, puedes repasarlo de nuevo). Diferentes aspectos relacionados con la paridad de los elementos de una matriz o de una cuadrícula —ya esté formada por símbolos, números o cartas— han sido utilizados de forma regular por los aficionados a la magia matemática. Es una tarea muy sencilla identificar las posiciones pares e impares en una fila pero no lo es tanto cuando hay varias filas y columnas involucradas. En matemáticas, para determinar si un determinado elemento de una matriz ocupa una posición par o impar se deben tener en cuenta cuál es la fila y la columna que ocupa: la suma de ambos valores es la que define la paridad de dicho elemento. Algunas propiedades elementales, pero no demasiado conocidas o convenientemente disimuladas, sobre el cambio de paridad de los elementos de la matriz cuando se intercambian algunas filas o columnas han permitido crear diversos juegos de magia matemática, como los incluidos en aquel primer artículo y los que citaremos a continuación. Pero, antes de eso, hablaremos de una personalidad muy destacada en el universo mágico. Jim Steinmeyer, gran erudito, historiador de la magia (no hay que perderse su libro "Hiding the elephant: how magicians invented the impossible and learned to disappear") e imaginativo creador de ilusiones y efectos teatrales que han catapultado a la fama a personajes como Doug Henning, David Copperfield y otros, ha escrito (y sigue escribiendo) una colección de folletos dedicados a juegos de magia automática, muchos de ellos basados en propiedades matemáticas sencillas, con una denominación común: Impuzzibilities. Esta serie, cuyo primer número se publicó en 2002, ha tenido una continuidad muy notable gracias a la versatilidad de los juegos que se incluyen: Further Impuzzibilities (2006), Subsequent Impuzzibilities (2010), Ensuing Impuzzibilities (2013), Treacherous Impuzzibilities (2014), Devilish Impuzzibilities (2015), Unexpected Impuzzibilities (2017), Curious Impuzzibilities (2020) y Virtual Impuzzibilities (2020), por el momento. Toda la colección y el resto de su producción se puede adquirir a través de la editorial Hahne Books. Por cierto, ya hemos descrito algunos juegos de su primer libro en este rincón (por ejemplo, en el número 76 de octubre de 2010, en el número 83 de mayo de 2011, en el número 92 de marzo de 2012 o en el número 105 de mayo de 2013), lo que demuestra la estrecha relación de la magia y las matemáticas en toda la colección. En el cuarto folleto de la colección, titulado "Ensuing impuzzibilities", el autor describe un juego que el mago japonés Kuniyasu Fujiwara (especialista en el desarrollo de la relación entre la magia y el origami) publicó por primera vez en el volumen 63 (mayo de 2000) de la revista Genii: the Conjurors' Magazine bajo el título Automatic Aces, basado en el principio de los dobleces pero bien disimulado durante su desarrollo. Por ser un juego automático, se puede realizar a distancia siguiendo la lista de instrucciones siguiente: Busca los cuatro ases de la baraja y colócalos en una fila sobre la mesa, caras hacia arriba. Coloca tres cartas sobre cada as, todas ellas con las caras hacia abajo. Reúne los dos montones de la izquierda, mezcla el paquete de ocho cartas para perder los ases y deja sobre la mesa el nuevo montón. Realiza la misma operación con los dos montones de la derecha pero gira todo el paquete antes de dejarlo sobre la mesa. Recoge la carta superior del paquete de la izquierda, coloca sobre ella la carta superior del paquete de la derecha, coloca sobre ambas la carta superior del paquete de la izquierda y así sucesivamente, para volver a juntar todas las cartas en un solo montón. Reparte las cuatro primeras cartas sobre la mesa formando una fila, reparte las cuatro siguientes sobre las anteriores, una a una, y así sucesivamente hasta que hayas repartido cuatro manos de cuatro cartas. Coloca las cuatro cartas del montón de la izquierda sobre el montón que está a su derecha pero girando el paquete como si fuera un libro (los bordes laterales actúan como una bisagra); realiza la misma operación con este nuevo montón y luego sobre el último, siempre girando todas las cartas como si fueran páginas de un libro. Extiende todas las cartas: solo los ases están en un sentido, destacando así del resto. El hecho de recoger las cartas plegando cada montón sobre el siguiente es el que permite recuperar los ases en sentido contrario al resto de las cartas. El principio matemático que explica este resultado se conoce como "principio de los dobleces" (basado a su vez en el principio de paridad), planteado por primera vez en el juego de magia que Martin Gardner publicó con el título de "Paradox Papers" en la revista The Pallbearers Review, en julio de 1971, y que reproducimos en estas imágenes. No vamos a detallar el origen de este principio, que se remonta al menos al problema de determinar el número posible de dobleces que pueden realizarse en una tira de sellos, como planteó Henry Dudeney —considerado el mayor creador de rompecabezas británico por la calidad y cantidad de sus creaciones— en el libro de 1926 "Modern Puzzles and how to solve them" (disponible online en el portal Bodleian Libraries de la Universidad de Oxford) y republicado posteriormente en el libro "536 Puzzles and Curious Problems", editado por Martin Gardner en 1967. Al estudiar el problema, el propio Martin Gardner lo convirtió en el citado juego de magia, y posteriormente lo incluyó en la extensa recopilación "Martin Gardner Presents", publicado en 1993, y traducido por la editorial Páginas en 2019 en forma de trilogía: Matemagia, Cartomagia y Magia de Cerca. A lo largo del tiempo, muchas mentes brillantes de la magia han elaborado ingeniosas adaptaciones y novedosas variantes basadas en el principio de los dobleces. Sólo destacaré dos de ellas: Quadraplex, de Nick Trost (descrito en el volumen 3 de su libro "Subtle Card Creations", 2011) y Degrees of Freedom, de John Bannon (de su libro "Dear Mr. Fantasy", 2004). Bueno, una más: en el libro "The Violet Book of Mentalism", Phil Goldstein publicó el juego titulado Kirigami donde aplica el mismo principio utilizando letras en lugar de cartas o números. Pedro Alegría (Universidad del País Vasco - Euskal Herriko Unibertsitatea)

Jueves, 01 de Julio de 2021 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

52. 162. CONCURSO DEL VERANO DE 2021

Volviendo poco a poco a la “normalidad”, lo que no nos va a faltar un verano más es nuestra cita con el cine, la cultura y las matemáticas. A ver qué tal esta vez. ¡¡Mucha Suerte!! Como sabéis, se trata de, a partir de las pistas que se dan, tratar de averiguar el título de una película oculta, y de paso, responder unas preguntillas (las de tipo matemático en color rojo; las culturales, en azul). Quien o quienes mayor puntuación alcancen serán los ganadores, a los que la dirección de DivulgaMAT les hará llegar algún obsequio. Se intenta (no siempre se logra) plantear cuestiones de todos los niveles (sencillas, medias, difíciles pocas), pero como nadie sabe a qué categoría pertenece cada una (además de que la dificultad es un concepto subjetivo), ninguna a priori debería evitarse. Como en la edición anterior, creo que ninguna excede el nivel de 2º de Bachillerato, es decir, matemáticas elementales (lo que no quiere decir triviales). Tampoco debería dejarse de enviar las respuestas, aunque sólo se sepa una (quien sabe, a lo mejor, nadie ha acertado más, cosas más raras se ven diariamente). Y por supuesto, descubrir (o revisar) títulos, quizá olvidados, de la Historia del Cine. No hay un orden establecido ni a la hora de describir escenas de la película, ni a la hora de descifrar el contenido de las cuestiones. Puede que sepamos responder antes a la pregunta quinta que a las anteriores. Pero todas pueden ayudar en averiguar el título de la película. Los fotogramas que se incluyen son todos de la película en cuestión. XVII  CONCURSO Los que hayan ido siguiendo la dinámica de estos pasados dieciséis concursos se habrán percatado que pocas veces he propuesto comedias como películas a descubrir. No es casualidad: rara es la comedia que me hace una mínima gracia. Además, encuentro algunos momentos en ellas bastante absurdos, incluso estúpidos. Eso no quita para que, a lo largo de la historia del cine, haya habido obras maestras que son comedias. Este año voy a intentar corregir esa tendencia, aunque, también en ella encuentro alguna secuencia verdaderamente ridícula. Por supuesto, en versión original es más soportable. Nada más terminar los títulos de crédito, vemos esta idílica estampa con el loro de la imagen saludándonos. Podría decir Es conocido en qué consiste un criptograma como éste: suma en la que a letras distintas corresponden dígitos distintos. ¿Cuál es el valor de esas letras? (M – 1) (C – 1). A continuación, un camarero nos muestra el cheque que vemos en la imagen, de un buen cliente que pide cierta cantidad en efectivo. No se puede ver la cantidad, pero a tenor de la reacción del encargado, debe ser alta, aunque al comprobar quien la pide, no pone objeción alguna en proporcionársela. Después, el cliente empieza a distribuir cantidades del fajo de billetes a amigos y conocidos que se acercan a saludarlo o a los que él llama que andan por allí. Ese fajo es de billetes de 5000 cruzeiros. Vemos que el reparto se hace a cuatro personas, y que todas reciben distinto número de billetes. A uno le entrega la décima parte del que más recibe. Los otros reciben cantidades pares de billetes cuya suma es el total de uno de ellos. Al generoso personaje le sobran al final tantos billetes como la suma de dos de sus agraciados amigos (M – 2) (C – 2) (C – 3). Mientras esto sucedía, la cámara ha ido mostrándonos a las personas que había en el restaurante, que parecen disfrutar de lo lindo, con orquesta de fondo en directo incluida. En una de las mesas, seis personas esperan ser servidas. Ron está sentado a la izquierda de la chica que está sentada a la izquierda del hombre que está sentado a la izquierda de Joan, y Ann está sentada a la izquierda del hombre que está sentado a la izquierda de la chica que se sienta a la izquierda del marido de Pam, mientras que Steve está sentado a la derecha de la chica que está sentada a la derecha de Harry. Pam no está sentada al lado de su marido. ¿Cuál de los tres caballeros es su marido? (M – 3). En la película se citan bastantes cifras y cantidades. Una de las más relevantes en el argumento es el 100. Y también vemos en esa escena inicial mesas circulares. Así que podemos combinar ambas ideas y plantear lo siguiente: Escribimos cien números enteros alrededor de una mesa circular. Su suma es 100. La suma de seis números consecutivos cualesquiera no excede de 6 (otra cifra que se cita en la película, por cierto). Si el primer número en que nos fijamos es precisamente un 6, determinar los números restantes (M – 4). El protagonista de la película se define a sí mismo como un ser ignorado entre los miles que pululan diariamente por la ciudad. Está considerado por sus jefes como un empleado ejemplar (de hecho, comentan de él que no merece la pena dársele una oportunidad en la vida porque su mayor y única virtud es la honradez), una buena persona. Suele leer por las tardes un libro a la casera donde vive que tiene alquiladas varias estancias de su casa. En el momento en que transcurre la acción era una novela de crímenes de título un tanto siniestro, la verdad (C – 4). Cuando lo compraron se rebajaba una tercera parte de lo que marcaba la etiqueta redondeándose al penique más cercano. Curiosamente al hacer esta oferta, los valores de libras y peniques se intercambiaban. Es decir, si el precio original era 43.21 libras, el precio a pagar final sería 21.43 libras (en este ejemplo no se ha tenido en cuenta la condición de la tercera parte, obviamente). 1.- ¿Cuál era el precio del libro? 2.- Si hiciéramos el cálculo en la época de la película, ¿tendría el mismo valor? Si la respuesta fuera negativa, ¿podríamos saber cuánto valdría entonces utilizando las mismas condiciones del enunciado? (M – 5). Prácticamente en cada escena de la película puede plantearse alguna cuestión o ejercicio relacionado con las matemáticas o la física. También hay muchos objetos que tienen especial relevancia. De uno de ellos, hay cien copias, y se dice (en la versión original de la película, no en la doblada) que todas juntas pesan 495987 libras (M – 6) (C – 5). Teniendo en cuenta la forma y dimensiones que suelen tener esos objetos (hay mucha información sobre los mismos en internet), ¿cuáles serían las dimensiones para que cada uno de ellos pesara aproximadamente un kilogramo, si damos un ángulo de inclinación de 5º? (M – 7) Otro objeto importante en el argumento son unos souvenirs de esos que compramos cuando visitamos un lugar turístico. En este caso, aparecen unos pisapapeles que reproducen un monumento a escala. El original tiene 300 metros de altura y pesa unas 7300 toneladas. Si el pisapapeles estuviera construido con el mismo material que el monumento original, pero querríamos que sólo pesara medio kilo, ¿qué altura debería tener? ¿Y si quisiéramos que pesara un kilo para que fuera un pisapapeles consistente? ¿Sería el doble? (M – 8 ). Sin embargo, en la película esas réplicas no están construidas con el material original, sino con otro. ¿Cómo serían los pisapapeles con ese material de la película? ¿Cuántas serían necesarias para lograr el propósito de los protagonistas? ¿Qué se deduce de ello? (M – 9). A la hora de construir las réplicas, los protagonistas tuvieron que hacer un molde. Para ello, tomaron las coordenadas de algunos puntos a partir de una fotografía. Algunos de esos valores fueron los siguientes: . Con esos valores (y un poco de ingenio) es posible obtener el alzado completo aproximado del monumento (M – 10). Esos pisapapeles ocultan algo importante. Para que no dé demasiado de ojo, deberían estar formados por una mezcla de metales (en la película no se dice nada de ello, pero así debería ser). Suponiendo que cada pisapapel pesara 750 gramos, y que al sumergirlo en el agua perdiera 50 gramos de peso, ¿cuál sería la cantidad de cada metal que tendría la aleación sabiendo que la densidad de uno fuera 19,50 gr/cm3 y la del otro 10,50 gr/cm3? (M – 11) Posteriormente, por culpa de un malentendido, se extravían algunos de esos pisapapeles (C – 6). En la película se dice que reportarían 25000 libras. También se dice que el material con el que están formadas está valorado en 240 chelines la onza. Con esos datos, ¿cuánto debe pesar cada una de esas piezas? (M – 12) (C – 7). En su afán por recuperar los pisapapeles, dos de los protagonistas tienen que desplazarse a otra ciudad. Localizan que un grupo de personas los tiene. Tratan de alcanzar a dicho grupo, pero les llevan cierta delantera, ya que han logrado tomar un ascensor antes que ellos. Sin perder un segundo, deciden bajar por las escaleras. El problema es que la escalera que toman es de caracol: 300 metros, el ascensor bajando a 2 metros/segundo (M – 13) (C – 8). Finalmente, los protagonistas no llegan a tiempo (y con un mareo monumental). Mientras se recuperan, levantan la vista y ven algo parecido a lo que aparece en la imagen (M – 14) (C – 8). En un momento dado, los protagonistas deben entrar en un colegio de niñas a tratar de recuperar seis objetos muy importantes para ellos. La directora del centro no duda en colaborar, y proponen a las chicas un cambio ventajoso. Sin embargo, sólo cinco de ellas, de edades 6, 7, 8, 9 y 10 años, acceden al cambio. Si eligiéramos a dos de ellas aleatoriamente, ¿cuál sería la probabilidad de que al menos se diferenciaran en dos años? (M – 15) Una de las pistas que suele ayudar bastante al lector a localizar (o al menos acotar un poco) la película incógnita, es su año de estreno. En este caso con muy pocas indicaciones se puede encontrar: la suma de los dígitos del año es un cuadrado perfecto además de ser un número primo, aunque si se revierten los dígitos, el número resultante no es primo (M – 16). Quizá también pueda ayudar una palabra relacionada con la película codificada del siguiente modo: tenemos un cuadrado mágico de orden cuatro con todos los números del 1 al 16. Además de las propiedades habituales de los cuadrados mágicos, las casillas con el borde verde y las casillas con el borde rojo también suman la constante mágica para estos cuadrados. Teniendo esto en cuenta, las casillas marcadas con fondo naranja (seis de ellas; una ya se da, la del número 14), encubren esa palabra que puede ser una pista definitiva para desvelar la película en cuestión (M – 17). Seguramente alguno de los lectores piense que este último ejercicio es igual (similar, mejor dicho) al criptograma inicial. Y tiene toda la razón, pero es que la película, acaba también en el mismo sitio donde empezó, cerrándose el círculo, aunque ahora las cosas se ven de distinta manera que al inicio (M – 18). CUESTIONES MATEMÁTICAS M – 1.- Determinar la suma que esconde el criptograma. M – 2.- ¿Cuántos billetes recibe cada uno? ¿Cuánto dinero pidió sabiendo que es la mínima cantidad posible que cumple con todas las condiciones descritas? M – 3.- ¿Cómo se llama el marido de Pam? M – 4.- Distribución de los números en la mesa. M – 5.- Responder a las dos preguntas planteadas. M – 6.- ¿Es esto posible? Argumentar la respuesta. M – 7.- Forma y dimensiones del objeto. M – 8.- Responder a las cuestiones, justificando las respuestas. M – 9.- ¿Qué se deduce del resultado obtenido? M – 10.- Encontrar como máximo tres funciones que describan aproximadamente el alzado de dicho monumento a partir de las coordenadas descritas. M – 11.- ¿Cuál sería la cantidad de cada metal? M – 12.- ¿Cuánto debe pesar cada una de esas piezas? M – 13.- ¿Cuántos escalones deberían bajar? (Si necesitas añadir algún dato, hazlo, pero que sea lo más consistente posible con la realidad, no inventado). ¿Cuántos escalones deberían bajar por minuto para llegar a la vez que el ascensor? M – 14.- Determinar justificadamente la superficie encerrada por esa gráfica. M – 15.- ¿Cuál es dicha probabilidad? M – 16.- ¿En qué año se estrenó la película? M – 17.- Completar el cuadrado mágico que se indica. M – 18.- ¿Cuál es la película enigma de este concurso? CUESTIONES CULTURALES C – 1.- ¿Por qué repite esa frase el loro? C – 2.- En el cheque vemos escrito “Banco Lowndes”. ¿Existe o existió? ¿Por qué se llama así? C – 3.- La persona que más billetes recibe es la primera vez que aparece en el cine, y con el tiempo se convertiría en todo un icono popular, al punto de que en la actualidad seguimos viendo su imagen en posters, tiendas, etc. ¿A quién nos referimos y cuál es su nombre en la película (en la ficción)? C – 4.- ¿Cuál es el título del libro? ¿Es real? C – 5.- ¿Qué peso se indica en la versión doblada al castellano? C – 6.- ¿Cómo se extraviaron? C – 7.- En el doblaje de la película al castellano hay un error relacionado con cifras que no está en la versión original. Trata de dar con él. C – 8.- A estas alturas es posible que hayas averiguado el monumento del que se habla. Las matemáticas están presentes en él en varios aspectos. Indica al menos dos diferentes. C – 9.- Ha habido muchas películas en las que aparece el monumento en el que se desarrollan estas escenas. Indica otras películas en las que lo veamos como en ésta, desde su interior (no sirven aquellas en las que aparece de lejos, o de fondo; sólo aquellas en las que veamos con detalle imágenes desde dentro). Indicar una (aparte de la que nos ocupa) será valorado con 5 puntos; dos, 7 puntos; y más de dos, 10 puntos. C – 10.- El polifacético George Lucas era un niño cuando se estrenó esta película, pero existen al menos dos detalles en ella que tiene relación con él. ¿Cuáles? C – 11.- En la película hay un momento en que los personajes asisten a una exposición. ¿De qué trataba esa exposición? ¿Tiene alguna relación con el argumento de la película? ¿Qué relevancia tiene el personaje al que se dedica? ¿Aparece previamente en algún momento de la película algo relacionado con esta exposición? C – 12.- Opinión sobre la película. ¿Te ha gustado? ¿La conocías? ¿Te ha llamado la atención algún aspecto de ella? Baremo: Todas las cuestiones tanto las rojas (las matemáticas) como las azules (cine y demás) se valorarán con 10 puntos como máximo. En total, 300 puntos en juego, si las cuentas no me fallan. Todo comentario, sugerencia, queja, etc., será bien recibido. Si no salen algunas cosas, no importa; lo que cuenta es tratar de pasar un buen rato, disfrutar de la película (que el verano da para mucho), y mantener las neuronas un poco activas. Confío que no haya demasiados errores en las cuestiones. Se han repasado varias veces, pero algunas, al ser inventadas o retocadas de otros enunciados, podrían tener alguna errata. Sed benévolos con vuestros calificativos si tal cosa sucediera. El plazo para enviar las respuestas, es como en años precedentes, hasta las 00:00 del miércoles 1 de Septiembre de 2021, a la dirección apoblacion@uva.es, indicando en el asunto Verano 2021. ¡¡¡¡Buen Verano Cine-matemático!!!

Miércoles, 23 de Junio de 2021 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

53. 135. (Junio 2021) El ritual de los Musgrave, de Arthur Conan Doyle

El ritual de los Musgrave –que aparece en Memorias de Sherlock Holmes – es un relato corto de Arthur Conan Doyle en el que el famoso detective ayuda a resolver un enigma que afecta a la familia Musgrave, una de más antiguas de Inglaterra. En este relato corto, Reginald Musgrave –un compañero de colegio de Sherlock Holmes– contrata al detective para que investigue la desaparición de Richard Brunton –el mayordomo– y de Rachel Howells –la segunda doncella–. Musgrave había encontrado unos días antes al mayordomo fisgando unos papeles en la biblioteca y le había despedido, dándole el plazo de una semana para irse de la casa. Pero Brunton desaparece y poco más tarde la doncella enamorada del mayordomo, que la ha abandonado por otra. El papel que el mayordomo leía en la biblioteca era el conocido como Ritual de los Musgrave, que decía lo siguiente: – ¿De quién era? – Del que se ha marchado. – ¿Quién la tendrá? – El que vendrá. – ¿Dónde estaba el sol? – Sobre el roble. – ¿Dónde estaba la sombra? – Bajo el olmo. – ¿Con qué pasos se medía? – Al norte por diez y por diez, al este por cinco y por cinco, al sur por dos y por dos, al oeste por uno y por uno, y por debajo. – ¿Qué daremos por ella? – Todo lo que poseemos. – ¿Por qué deberíamos darlo? – Para responder a la confianza. El detective –con gran acierto– piensa que en el ritual debe estar la clave del misterio, y que Brunton –un hombre inteligente– debía haberse empeñado en encontrar el secreto escondido entre aquellas extrañas palabras: Fue perfectamente obvio para mí, al leer el Ritual de los Musgrave, que las medidas habían de referirse sin duda a algún punto al que aludía el resto del documento, y que si podíamos encontrar ese punto estaríamos en buen camino para saber cuál era aquel secreto que los antiguos Musgrave habían juzgado necesario enmascarar de un modo tan curioso y peculiar. Para comenzar se nos daban dos guías: un roble y un olmo. En cuanto al roble, no podía haber la menor duda. Directamente ante la casa, a la izquierda del camino que llevaba a la misma, se alzaba un patriarca entre los robles, uno de los árboles más magníficos que yo haya visto jamás. – ¿Ya estaba aquí cuando se redactó vuestro Ritual? –pregunté al pasar delante de él. – Según todas las probabilidades, ya lo estaba cuando se produjo la conquista normanda –me respondió–. Tiene una circunferencia de veintitrés pies. Así quedaba asegurado uno de mis puntos de partida. – ¿Tenéis algún olmo viejo? –inquirí. – Antes había uno muy viejo, pero hace diez años cayó sobre él un rayo y sólo quedó el tocón. – ¿Puedes enseñarme dónde estaba? – Ya lo creo. – ¿Y no hay más olmos? – Viejos no, pero abundan las hayas. – Me gustaría ver dónde crecía. Habíamos llegado en un dog-cart, y mi cliente me condujo en seguida, sin entrar en la casa, a una cicatriz en la hierba que marcaba donde se había alzado el olmo. Estaba casi a mitad de camino entre el roble y la casa. Mi investigación parecía progresar. – Supongo que es imposible averiguar qué altura tenía el olmo –quise saber. – Puedo decírtelo en seguida. Medía sesenta y cuatro pies. – ¿Cómo lo sabes? –pregunté sorprendido. – Cuando mi viejo profesor me planteaba un problema de trigonometría, siempre consistía en una medición de alturas. Cuando era un mozalbete calculé las de todos los árboles y edificios de la propiedad. Había sido un inesperado golpe de suerte y mis datos acudían a mí con mayor rapidez de la que yo hubiera podido esperar razonablemente. ¿Un olmo que ya no existe, pero del que Holmes –y también el mayordomo– conoce su altura, además de las indicaciones dadas por el ritual? Las deducciones continúan: Miré el sol. Estaba bajo en el cielo, y calculé que en menos de una hora se situaría exactamente sobre las ramas más altas del viejo roble, y se cumpliría entonces una condición mencionada en el Ritual. Y la sombra del olmo había de referirse al extremo distante de la sombra, pues de lo contrario se habría elegido como guía el tronco. Por consiguiente, había de averiguar dónde se encontraba el extremo distante de la sombra cuando el sol estuviera exactamente fuera del árbol. – Esto debió de ser difícil, Holmes, dado que el olmo ya no estaba allí – Pero al menos sabía que, si Brunton pudo hacerlo, yo también podría. Además, de hecho, no había dificultad. Fui con Musgrave a su estudio y me confeccioné esta clavija, a la que até este largo cordel, con un nudo en cada yarda. Cogí después dos tramos de caña de pescar, que representaban exactamente seis pies, y volví con mi cliente allí donde había estado el olmo. El sol rozaba ya la copa del roble. Aseguré la caña de pescar en el suelo, marqué la dirección de la sombra y la medí. Su longitud era de nueve pies. Desde luego, el cálculo era ahora de lo más sencillo. Si una caña de seis pies proyectaba una sombra de nueve, un árbol de sesenta y cuatro pies proyectaría una de noventa y seis, y ambas tendrían la misma dirección. Medí la distancia, lo que me llevó casi hasta la pared de la casa, y fijé una clavija en aquel punto. Imagen realizada por Marta Macho Stadler. Tras encontrar el punto definido por la sombra –gracias al teorema de proporcionalidad de triángulos de Tales, perfectamente descrito por Holmes–queda por utilizar la última parte del ritual: Al norte por diez y por diez, al este por cinco y por cinco, al sur por dos y por dos, al oeste por uno y por uno, y por debajo. Siguiendo estas instrucciones, Holmes y Musgrave descubren una cava bajo la casa… y allí el cadáver del mayordomo –probablemente asesinado por la agraviada sirvienta, celosa de la nueva amante de Brunton– y la corona de los reyes de Inglaterra confiada a la custodia de la familia, y que por alguna razón el heredero del trono no había recuperado… – ¿De quién era? – Del que se ha marchado. – ¿Quién la tendrá? – El que vendrá. Nota Una primera versión de este artículo se publicó el 15 de mayo de 2013 en el Cuaderno de Cultura Científica bajo el título de Thales.

Miércoles, 09 de Junio de 2021 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

54. 194. (Junio 2021) Conejos matemáticos

A simple vista, no parece que los conejos sean una especie animal que se caracterice por sus dotes matemáticas sino, más bien, por su capacidad reproductiva. Sin embargo, quien conoce algo de historia de las matemáticas relaciona rápidamente las palabras "conejos" y "matemáticas". No repetiré la historia del problema sobre la velocidad de reproducción de una familia de conejos, particulamente prolífica y longeva, que propuso Leonardo Pisano —popularmente conocido como Fibonacci— en su libro "Liber abaci" de 1202, porque es muy fácil encontrar abundante información sobre la misma, simplemente tecleando "origen de la sucesión de Fibonacci" en tu buscador favorito. En las imágenes adjuntas se muestran las traducciones al italiano y al inglés del problema original de los conejos de Fibonacci, realizadas por Luciano Ancora y Laurence Sigler, respectivamente. Después de tantos siglos, el término "conejo matemático" ha vuelto a la vida: en la prehistoria de los programas informáticos infantiles apareció un interesante y divertido juego con el que practicar las operaciones matemáticas básicas de una manera entretenida y dinámica. Dicho programa se llamaba (o se llama) «El conejo matemático», juego de ordenador desarrollado en 1986 por "The Learning Company" y dirigido a niños de 4 a 7 años de edad. Pertenecía a la colección "Aprender Jugando" de la serie "Conejo Lector" y poseía cuatro actividades diferentes, destinadas a practicar la numeración y operaciones de sumas y restas con números menores de 100. En la pantalla aparecía un circo con un conejo matemático que ejercía de anfitrión, guiando a los invitados por las distintas actividades, ofreciendo ayuda, indicando los errores cometidos y acumulando premios con los aciertos. Tenía cuatro diferentes entornos de trabajo: Cuenta con Calíope, Show de la cuerda floja, Show de la foca y Atrapa el globo. No sé si este programa fue la inspiración para el título del libro que escribió el matemático y mago Fernando Blasco "Un conejo matemático en la chistera" (2016, Editorial Síntesis) para la colección Descubrir la Ciencia, más tarde reeditado bajo el título "Como por arte de magia" (El País, 2019), esta vez dentro de la colección Grandes ideas de las matemáticas. Como es un excelente libro que trata sobre el tema estrella de este rincón, no será difícil encontrar entre sus páginas material interesante de magia matemática que puedas aprovechar, bien para disfrute propio, bien para entretener a tus allegados, bien como complemento a tu actividad didáctica. Entre la gran cantidad y variedad de juegos que se detallan en el libro, vamos a detenernos un poco en uno con cartas, de apariencia sencilla pero de gran recorrido en el mundo de la magia matemática, y que lleva por título "Una cuestión de orden". Busca una baraja, no importa que esté incompleta, y mézclala concienzudamente. Vas a elegir primero un número de forma libre y aleatoria: retira un pequeño paquete de cartas y cuéntalas. Aparta de momento estas cartas pero recuerda su número. Ahora elegirás una carta: reparte cartas, una a una y caras hacia abajo, desde la parte superior del paquete restante formando un montón sobre la mesa, mientras las cuentas. Cuando llegues al número que habías recordado, gira la carta que aparece en ese momento, fíjate en su valor y recuérdala, será la carta elegida. Sigue repartiendo cartas como antes hasta que hayas formado un paquete de quince cartas sobre la mesa. Muy bien, recoge las cartas de la mesa y colócalas, de nuevo caras hacia abajo, sobre las cartas de la mano. Por último, recoge las cartas del principio (con las que elegiste el número) y colócalas sobre el resto. En este momento, tu carta está perdida en la baraja. Sin embargo, creo que podré encontrarla. Reparte sobre la mesa tres filas de cinco cartas cada una, caras hacia arriba. Veo que no está tu carta entre ellas. Gira la siguiente: ¿es tu carta? El principio matemático en el que se basa este truco es una pequeña variación del llamado "principio de colocación automática", atribuido al legendario mago Edward Marlo (1913-1991), quien lo aplicó en un juego publicado en la revista The New Phoenix en agosto de 1955, aunque tiene sus raíces en juegos que se remontan a finales del siglo XVIII. Se comprende que la carta elegida puede aparecer en cualquier lugar determinado previamente por el mago, incluso en la posición que el propio espectador elija. En el ejemplo anterior, la carta elegida apareció en la posición 16 porque el número de cartas repartidas era 15. Si se reparten X cartas y se recogen las cartas como se indica en la descripción del juego, la carta elegida ocupará la posición X + 1. Hay muchas variantes y refinamientos de este principio pero, como son objeto de estudio entre los magos profesionales, van un poco más allá del cometido divulgativo que pretende ofrecer este rincón. Seguro que, si tienes interés, encontrarás información adicional al revisar en tu hemeroteca mágica. Pedro Alegría (Universidad del País Vasco - Euskal Herriko Unibertsitatea)

Miércoles, 02 de Junio de 2021 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

55. 74. (Junio 2021) Máquinas de Urbino: La tecnología conservada en piedra

(Engranaje de transmisión. Palacio ducal de Urbino) Para el arranque de la revolución científica fue muy importante el cambio de mentalidad. La Edad Media, primero en el Islam y después en Occidente, revaloriza las artes mecánicas. El Renacimiento no solo va a recuperar los modelos greco-romanos, también mostrará la nueva forma de ver el mundo. Leonardo, Tartaglia o Galileo estudiaban las habilidades de los artesanos. En el palacio ducal de Urbino, los artistas y los ingenieros han dejado constancia de la tecnología de la época en los paneles esculpidos que servían de decoración. El inspirador de los paneles fe el ingeniero civil y militar  Francesco di Giorgio Martín (1439 – 1502) que trabajó durante una década en los palacios ducales de Federico da Montefeltro, uno en Urbino y otro en Gubbio. A Giorgio se debe uno de los primeros tratados de arquitectura: Tratado de arquitectura civil y militar. El artista estudiaba matemáticas para representar de forma realista: la perspectiva. En muchos casos ese artista era también ingeniero y arquitecto, además de pintor y escultor. El título de matemático real  fue tanto de astrónomo como de responsable de obras públicas. Federico da Montefeltro personifica una época singular, fue un condottiero, un mercenario bélico, que construyo una gran biblioteca, ejerció loable mecenazgo de artistas y escritores, y su corte fue un destacado centro cultural. El destacado studiolo de Federico es todo un paradigma del Renacimiento. Los paneles mecánicos son el complemento que permite apreciar la totalidad. Francesco di Giorgio pinta, esculpe, construye fortalezas, diseña máquinas o dirige  obras públicas. No todos los paneles son suyos pero es, sin duda, el inspirador. La piedra se convierte en papel, las paredes en libro. La colección de Urbino se exhibe en la planta baja del Palacio en paneles separados. En las ilustraciones que mostramos se aprecia el carácter práctico del matemático, en ellos se encuentran molinos, norias, engranajes, máquinas de gabinetes y polipastos. (Noria. Palacio ducal de Urbino) (Máquina elevadora. Palacio ducal de Urbino) (Máquina perforadora. Palacio ducal de Urbino) (Molino harinero. Palacio ducal de Urbino) (Polipasto. Palacio ducal de Urbino) (Tornillo de Arquímedes. Palacio ducal de Urbino) (Rueda. Palacio ducal de Urbino) (Máquinas diversas. Palacio ducal de Urbino)

Lunes, 31 de Mayo de 2021 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

56. 161. Yo soy Sophie Germain

La publicación del cómic “Les audaces de Sophie Germain” ha motivado la realización de una exposición y un cortometraje documental sobre esta matemática francesa. Las comentamos incluyendo algunas páginas de la novela gráfica. El corto y la exposición también podemos visualizarlos en internet. Audaz y genial, Marie-Sophie Germain (París, 1 de abril de 1776 – ibídem, 27 de junio de 1831) es, sin duda, un ejemplo a conocer y valorar de superación de barreras. Audaz, es, desde luego, atreverse a sobresalir en un entorno prohibido para las mujeres en su época. Genial es alcanzar un nivel matemático excelente de forma autodidacta, porque su propia familia no quería oír hablar bajo ningún concepto de una hija científica. Pero no sólo matemáticas: empieza leyendo libros de Física, continúa con la Química y sigue con el Cálculo Diferencial. Pero mucho antes, aprende latín también por si sola (los libros científicos de aquel momento se escribían en latín), ¡¡leyendo a Newton y Euler!! Con estas premisas no es en absoluto desacertado que su aspecto en el cómic parezca el de una atractiva heroína, segura de sí misma y optimista, y se haya utilizado el sugerente título de El atrevimiento de Sophie Germain (Les audaces de Sophie Germain). Elena Tartaglini ha sido la guionista, Adriana Fillipini la dibujante y Annalisa Ferrari la colorista y la ha publicado Éditions Petit à petit. Las librerías francesas recibieron esta novela gráfica el pasado 16 de abril. Aprovechando este lanzamiento, el Instituto Fourier de la Universidad de Grenoble Alpes ha organizado una exposición con 13 paneles (en realidad 11, porque el primero es de presentación y el último de créditos) recordando el trabajo y la vida de Sophie Germain. Está supervisada científicamente por Hervé Pajot, el Instituto Fourier, el CNRS, la Universidad de Grenoble Alpes y la asociación de mujeres & matemáticas. Dada la situación provocada por la Covid, han subido a la red dichos paneles, así como el cortometraje que podéis disfrutar a través del siguiente enlace. Tanto los paneles como el cortometraje están en francés. De los tres materiales, personalmente el que más me ha gustado es la novela gráfica (que de momento tampoco tiene edición en español). Está dividida en los siguientes capítulos: 1.- Una familia politizada.- Revolución y tercer estado 2.- Amor aritmético a primera vista.- La biblioteca de matemáticas en el siglo XIX 3.- Contra todo pronóstico.- Sophie y el teorema de Fermat 4.- Falso pretexto.- Los números de Sophie y la criptología 5.- Unirse a la empresa.- Ferias científicas para mujeres en el siglo XIX 6.- La revelación.- Gauss, príncipe de las matemáticas 7.- La competencia de la Academia.- Superficies elásticas y curvatura 8.- Amistad y adversidad.- Francia desde 1820 hasta 1830 9.- Crepúsculo espiritual.- Sophie y la filosofía 10.- Muerte y herencia.- Matemáticas femeninas A continuación, reproducimos tres páginas del mismo, junto a su traducción al español.       - ¡Rápido!¡Adelante! ¡Entren a resguardarse! - ¡Esta vez estaban a la vuelta de la esquina! - ¡Definitivamente hay mucha conmoción en el centro de la ciudad! - ¡Bienvenidos!   - ¡Sophie! ¿Quieres acompañar a tus invitados a la biblioteca? - Buenos días, señorita Sophie. ¿Asistirá a la reunión como de costumbre? - ¡Por supuesto, Señor!     - Amigos míos, desde que hicimos el juramento en la sala del juego de pelota* para redactar una constitución. Una nueva vida se ha apoderado de París. - Hay un límite para la desgracia de los pueblos y este límite se ha superado con creces: ¡la libertad es el derecho natural de todos!   - ¡Debemos hacer todo para que se devuelva el poder a los ciudadanos! ¡Como bien dijo Mirabeau, solo saldremos de nuestros lugares por la fuerza de las bayonetas! * Juramento hecho el 20 de junio de 1789 por los diputados del tercer estado, así como algunos clérigos y nobles. Recuerden que el acontecimiento al que se hace referencia, quedó plasmado en un célebre cuadro de Jacques-Louis David. En él aparece el citado Conde de Mirabeau.       - Madre, ¿qué es la Constitución? - Es un documento que describe los derechos y libertades de los ciudadanos.         En este mes de junio de 1789 Sophie no escucha ni una palabra de las explicaciones de su madre. Es más, sigue con pasión los exaltados debates de su padre.         En la misma sala donde estaba mamando el pecho de su madre, trece años antes. En el corazón de París, rue Saint-Denis, aquí ahora está bebiendo ideas, mecida por la anciana intelectualidad del siglo XVIII.       El comerciante de seda que fue su padre es ahora, sobre todo, un funcionario electo del tercer estado ... ... como la ciudad, al ritmo de turbulencias revolucionarias.       - De hecho, ¿para qué es la Constitución, padre? - La Constitución sirve para garantizar que el poder no quede en manos de una sola persona. Protege a los ciudadanos contra cualquier abuso.       - El rey no debe estar solo en la toma de decisiones. Todos los ciudadanos deben poder hacerlo. - “A ningún hombre se le ha dado el derecho de mandar a otros”. (Cita de Diderot, escritor y filósofo). - Sophie, ¿dejarás de aburrir a tu padre?     - La política es asunto de hombres. Deberías practicar el encaje, tu último intento no fue famoso. - ¡Es verdad!       - ¡Sé más caritativa, Madelene! - Tienen razón. ¡Ya es suficiente política por hoy! - ¡A mí, el estómago me hace cosquillas! Demos un breve vistazo al cortometraje: Ficha Técnica: Título Original: Je suis Sophie Germain. Femme et mathématicienne. Nacionalidad: Francia, 2021. Dirección: Anne Boyé y Hervé Pajot. Guion: Anne Boyé y Hervé Pajot, basado en la novela homónima de Anne Boyé y Christine Charretton. Montaje: Fanny Bastien. Música: Sinfonía Fantástica Op. 14, de Berlioz. Producción: Instituto Fourier y Universidad de Grenoble. Voces: Anne Boyé es Sophie Germain,  Dietrich Hafner pone la voz a Carl Friedrich Gauss, Antoine Vézier a Adrien-Marie Legendre, Gérard Besson lee el texto del Journal des débats politiques et litéraires del martes 9 de enero de 1816, Hervé Pajot es Joseph Fourier y Loren Coquille lee el epílogo.  Duración:  15 min. Comentario El cortometraje no tiene demasiados alardes técnicos, es básicamente el repaso a la biografia de Sophie Germain, con el material de los paneles de la exposición. Podría decirse que es la propia exposición para el que no quiera entretenerse en leer, o tenga pereza en hacerlo (muy bien pensado, porque así se encuentra, disculpenme pero es lo que veo en las exposiciones, el 90% de los que se dejan caer por ellas). Se divide en varios capítulos: 1.- ¿Quién soy? Se presenta ella misma. Nace en París en 1776, en un clima político enrarecido previo a la Revolución Francesa. Por los libros de la biblioteca familiar conocerá resultados matemáticos como el teorema de Pitágoras o el teorema de Tales, y se queda sorprendida por sus demostraciones. ¿Querría eso decir que le atraían las matemáticas? 2.- Hacia las matemáticas Explica que viene de una familia de la burguesía. Su padre era de la corporación de los pañeros. Durante la Revolución Francesa, fue representante de los Terceros Estados durante los Estados Generales y luego diputado en la Asamblea Legislativa. En ese periodo pasa mucho tiempo en la biblioteca familiar, y cae en sus manos una historia de las matemáticas de Jean-Etienne Montucla. Le causa un profundo impacto el trabajo de Arquímedes y su muerte. Su familia trata de hacerle ver que las matemáticas no tiene ningún sentido para una señorita, pero está firmrmrnte convencida de leerse todos los libros de matemáticas de la biblioteca. Con determinación afronta los fundamentos del Cálculo y de la teoría de números. Nada la detiene en su sed de conocimiento. Incluso aprende latín por su cuenta para traducir ciertas obras. 3.- L’Ecole Polythecnique Bajo el Antiguo Régimen, la enseñanza de las ciencias matemáticas y físicas se redujo mucho. La situación cambió con las reformas educativas de la Revolución, y en 1794 se crea la Escuela Central de trabajos públicos, que en el futuro será el Liceo Politécnico, que reemplazará todas las escuelas de ingeniería. Ese año Sophie tiene 18 años y sólo está reservado para los hombres (por cierto, eso continuará hasta 1974; se ve que querían que les cuadraran los dígitos). Se hace entonces pasar por un varón, un alumno que había abandonado el curso, de nombre Auguste Leblanc. Los estudiantes podían enviar a sus profesores notas escritas al final de sus lecciones. Así, Sophie Germain, bajo el seudónimo de Sr. Leblanc, establece correspondencia con Joseph-Louis Lagrange. Impresionado por la calidad de sus comentarios, Lagrange la pide una cita, dándose cuenta de quien era en realidad. 4.- El teorema de Fermat A pesar de la tensión creada cuando es reconocida, otros matemáticos más jóvenes no tendrán problema en cartearse con ella. Sophie encuentra el problema planteado por Fermat leyendo una versión francesa de la obra de Diofanto, y escribe una carta a Adrien-Marie Legendre, del que ha leido un ensayo sobre la teoría de números. Después se atreve a escribir, de nuevo con su seudónimo, a Carl F. Gauss, el mayor experto entonces en teoría de números. Admirado por su ingenio, responde alabando el trabajo de Sophie. Preocupada por la invasión de Napoleón en Prusia, lugar donde vive Gauss, pide a través de su padre al general Pernetty que proteja al genio, temiendo que le pasara lo mismo que a Arquímedes. Esta circunstancia hace que finalmente Gauss descubra su verdadera identidad. El cortometraje explica que finalmente Andrew Wiles acabó probando en 1994 la veracidad de la conjetura de Fermat. 5.- Superficies elásticas El físico alemán Ernst Chladni presentó en 1808 en la Academia de Ciencias de París un experimento llamativo: bajo ciertas condiciones haciendo vibrar una lámina de cobre cubierta de arena fina con un arco de violín, lograba componer una amplia variedad de disposiciones geométricas simétricas  de la arena. Estas disposiciones dependian de factores como la forma de la lámina, el lugar donde se asienta y la frecuencia de las vibraciones. Fue tal el asombro de los científicos que clamaron porque el propio Napoleón viera el experimento, ya que éste era devoto de todo lo científico. Se instauró un concurso público para tratar de explicar el fenómeno, que ganó Sophie gracias a un tratado completo que demostraba las leyes que rigen las láminas elásticas. Sophie sin embargó no fue a recoger el premio, como respuesta a la actitud de algunos académicos. 6.- Epilogo Se describen otros trabajos de Sophie en otros campos como la educación o la filosofia. El final de la vida de Sophie fue triste. Murió con 55 años víctima de un cáncer de pecho, al igual que la medalla Fields Maryam Mirzakhani. No sólo es nombrada por ello, sino por el evidente paralelismo en sus vidas que ambas hubieron de sufrir y superar por el mero hecho de ser mujeres. Ambas por ello están consideradas como ejemplo de tenacidad, superación e inteligencia. Si el contenido de este audiovisual resulta escaso, las láminas de la exposición amplían un poco la descripción del mismo. Después de conocer la biografía de Sophie, a cualquiera se le viene a la cabeza algunas preguntas que desgraciadamente tiene la misma respuesta, muy decepcionante de la sociedad que hemos construido: 1.- ¿Qué hubiera logrado Sophie Germain de haber tenido una enseñanza reglada, como sus compañeros masculinos? Porque los historiadores de las matemáticas, tras estudiar profundamente sus escritos concluyen que su gran talento aparece lastrado por las lagunas académicas que tenía (algo parecido a lo que le pasó a Ramanujan, por cierto). 2.- ¿Porqué, siendo reconocida en su tiempo como lo fue, no aparece en la lista de los 72 científicos franceses más relevantes que se inscribieron en la torre Eiffel? Para los más freakies en esto del cine, ¿conoces alguna película comercial en la que aparezca o se cite a Sophie Germain? Por completar la información, el Instituto Fourier financió también la publicación de la novela gráfica Les oscilations de Joseph Fourier, que acaba de reeditarse. AVISO: Como otros años, la cita habitual con esta sección en el mes de junio tendrá lugar a finales de mes, y en ella se planteará, salvo noticia en contra de última hora, el célebre y esperado CONCURSO DEL VERANO, que ya alcanza su decimoséptima edición. Alfonso Jesús Población Sáez

Jueves, 06 de Mayo de 2021 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

57. 193. (Mayo 2021) Combinatoria con cartas

La especialidad matemática llamada Combinatoria (que ya se ha asomado a este rincón en el número 159 de abril de 2018) tiene como punto de partida el desarrollo de técnicas eficientes para contar el número de elementos de un conjunto. Esto es fácil de hacer con los dedos si los conjuntos son pequeños pero muchos problemas interesantes, tanto de matemática "recreativa" como de matemática "seria", tratan con conjuntos muy grandes y no tan fáciles de identificar. Un par de ejemplos, uno fácil y uno difícil: ¿cuántos números menores de un millón son capicúas?; ¿cúantos números menores de un millón se pueden descomponer como suma de números consecutivos? Si eres asiduo a este rincón, ya sabrás que se pueden plantear muchos problemas de Combinatoria con una simple baraja de cartas, desde los clásicos ¿cuántas posibles ordenaciones pueden presentarse en una baraja? o ¿cuántas ordenaciones de una baraja hacen que los colores de las cartas estén alternados?, hasta los más elaborados, algunos de los cuales veremos a continuación. Por cierto, la imagen que encabeza el artículo corresponde a una solución de otro problema clásico ya que muestra una posible disposición de las 16 figuras de una baraja (incluyendo los ases) en forma de cuadrado greco-latino: no hay dos cartas del mismo palo ni del mismo valor en ninguna fila, ninguna columna y ninguna diagonal. ¿Cuántas posibles soluciones tiene este problema? En el artículo titulado "Impressions of Conway" (publicado en la revista The Sciences en 1994), el matemático y periodista científico Charles Seife observa que el famoso matemático (fallecido en 2020) John Horton Conway disfrutaba realizando ante sus allegados el siguiente juego (en cuya traducción he tenido que introducir algunas modificaciones obvias): John saca una baraja de su estuche y va pasando cartas de arriba abajo, una a una, mientras deletrea la palabra A-S (una carta por cada letra). Gira la siguiente carta y resulta que es un as. Deletrea a continuación la palabra D-O-S pasando nuevamente una carta de arriba abajo por cada letra. Al girar la siguiente carta, se trata de un dos. Entrega la baraja a su colega y le pregunta: ¿quieres probar? El colega deletrea la palabra T-R-E-S pero, al girar la siguiente carta, es un comodín. ¡No!, exclama John. Le arrebata la baraja y deletrea T-R-E-S y gira la siguiente carta: es un tres. Vuelve a pasar la baraja a su interlocutor y este deletrea la palabra C-U-A-T-R-O. De nuevo, la siguiente carta es un comodín. El juego continúa de la misma forma, la víctima siempre vuelve un comodín y John siempre vuelve la carta correcta. Por último, John recoge todas las cartas, las ordena adecuadamente y las guarda en el estuche, preparadas para el siguiente voluntario inocente. Seguro que no necesitas mi ayuda para descubrir el orden inicial de las cartas con las que conseguir este efecto. Por si acaso, te doy aquí una posible solución y algunas variantes. Parece que Alexander Kraus es el autor de este otro deletreo numérico, bastante impactante si se realiza con suficiente destreza: Busca una baraja y ordena todas las cartas como se indica en las figuras: ⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀⠀ Gira la primera carta y déjala sobre la mesa: As de Picas. Gira la siguiente y déjala sobre la mesa: Dos de Picas. Como es un dos, pasa una carta de arriba abajo y gira la siguiente, dejándola sobre la mesa: Tres de Picas. Como es un 3, pasa dos cartas de arriba abajo y gira la siguiente, dejándola sobre la mesa: Cuatro de Picas. Como es un 4, pasa tres cartas de arriba abajo y gira la siguiente, dejándola sobre la mesa: Cinco de Picas. Repite la misma operación, pasando tantas cartas de arriba abajo como el valor de la última carta girada, excepto la última, que se gira y se deja sobre la mesa. Así irán apareciendo todas las cartas, en orden, de los palos de picas, corazones y rombos. Por último, gira todas las cartas de la mano y aparecen en orden todas las cartas del palo de tréboles. Ya que citamos a Alexander Kraus, comentaremos el juego titulado «Sum total» que publicó como problema en el número 12 de la revista de magia Ibidem, en diciembre de 1957 (excelente añada), y cuya solución publicó en el número 13 de la misma revista, en marzo de 1958. El juego está basado en un principio matemático, conocido posteriormente con el nombre —cómo no— de principio de Kraus. Ordena la baraja como en el juego anterior. Ahora realiza la siguiente secuencia de movimientos: Corta para dejar el 3P como carta superior. Deja sobre la mesa, cara arriba, la primera carta. Deja en un segundo montón, contando cara abajo y una por una, tantas cartas como el valor de la última carta cara arriba (el as vale 1, la J vale 11, la Q vale 12 y la K vale 13). Como se trataba de un tres, reparte tres cartas en un montón. Gira cara arriba la carta superior de dicho montón. Repite la operación formando un tercer montón que tiene tantas cartas como el valor de la última carta cara arriba y gira la última carta de ese montón. Al terminar de repartir todas las cartas, suma los valores de las cartas que están cara arriba. El resultado es 52, igual al número de cartas de la baraja. El mismo resultado se obtiene si se empieza colocando como carta superior el 4P, 5P, …, 10P. La razón es que dichas cartas forman un ciclo al ser las únicas que se giran cara arriba durante el proceso descrito. En su artículo, Alexander Kraus demuestra que la ordenación propuesta tiene la propiedad de que, si se empieza el proceso con cualquier otra carta, en algún momento se alcanza una de las cartas del ciclo, de modo que, a partir de entonces, ya no se sale del ciclo. Comentarios finales Se puede probar que cualquier permutación de las 52 cartas debe contener algún ciclo: al empezar por cualquier carta y recorrer toda la baraja, si se termina en la primera carta, esta ya forma un ciclo; si no, esta carta no pertenece al ciclo. Al seguir la cuenta, se llegará a una carta por segunda vez. Esta ya pertenece al ciclo y, a partir de ella, ya no se sale del mismo. El ciclo más pequeño es el formado por los cuatro reyes, espaciados cada trece cartas, cuya suma es, evidentemente, igual a 52. Un método sencillo de conseguir un ciclo —como observó Tom Ransom en el mismo número 13 de «Ibidem»— es tener ordenadas en la parte inferior de la baraja trece cartas con valores ordenados del as al rey, siendo el as la carta inferior. Así cualquier recorrido llegará a una de estas cartas con la que se termina el ciclo. De hecho, con esta preparación, no importa el número de cartas que tiene el paquete pues la suma de los valores de las cartas giradas será igual al número de cartas de dicho paquete. Es posible que un ciclo tenga que recorrer la baraja más de una vez; en este caso, la suma de sus valores es igual a 52 multiplicado por el número de veces que se recorra la baraja. Es fácil destruir este ciclo eliminando una de sus cartas. En este caso, la suma final será 51. Una cuestión no resuelta es: ¿existe algún ciclo con el que se utilizan todas las cartas? Si fuera así, debe recorrer la baraja siete veces debido a que 7 x 52 = 364, que es la suma de todas las cartas. Un par de efectos que utilizan el principio de Kraus están ideados por el mago e informático Alex Elmsley (publicado en el segundo volumen de «The Collected Works of Alex Elmsley» de Stephen Minch en 1994) y por el banquero Arthur McTier (descrito en el libro «Card Concepts», publicado en 2000). En los años 70, el principio de Kraus se convirtió en el principio de Kruskal cuando el físico Martin Kruskal lo modificó ligeramente para convertirlo en un método de adivinación de una carta después de un proceso sugerido por la idea de Kraus, un camino pseudoaleatorio que converge a un lugar concreto de la baraja. De este modo, un tema de Combinatoria se convirtió en una cuestión relacionada con la Teoría de Probabilidades. El capítulo 12 del libro «Impossible?» de Julian Havil desarrolla la teoría de probabilidades necesaria para analizar el principio de Kruskal. En este rincón también rendimos cuentas a este principio, en el número 46, allá por enero de 2008. El Dr. Maths, seudónimo de Steve Humble (inventor del juego «Triangle Mysteries» que describimos en el número 185 de septiembre de 2020), realizó una actuación en Alchemist Cafe de Dublin (2010), donde presentó un juego basado en el principio de Kruskal, involucrando a varios espectadores. El video con esta entretenida presentación puede verse en YouTube. Pedro Alegría (Universidad del País Vasco - Euskal Herriko Unibertsitatea)

Martes, 04 de Mayo de 2021 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

58. 73. (Mayo 2021) Médicos matemáticos (o viceversa)

(Médicos matemáticos (o viceversa)) Solo en tiempos relativamente recientes el saber ha estado tan especializado y compartimentado. La revolución científica ha ampliado tan lejos las fronteras del conocimiento que los más sabios de hoy se sienten más que nunca identificados con el solo sé que no sé nada socrático. Si Newton se imaginaba como un niño en una inmensa playa repleta de guijarros que no podía abarcar, Einstein replicaba con una inmensa biblioteca de la que apenas llegaba a interpretar unos pocos párrafos de los inmensos secretos del viejo. Motivado por su inmensa curiosidad, el filósofo, como amante del conocimiento, no renunciaba a nada, ya fueran matemáticas o medicina. Un caso especialmente significativo lo encontramos muy próximo: los cuatro grandes de la filosofía en al-Andalus, Avempace (1085-1138), Abentofail (1105-1185), Averroes (1126-1198) y Maimónides (1138-1204), fueron médicos y matemáticos.  Musulmanes los tres primeros, judío el último. (Rafael. La escuela de Atenas. Pitágoras y Averroes, médicos y matemáticos) Algunos matemáticos recordados como de máximo nivel también fueron médicos: Pitágoras (c. 569-475), Eudoxo de Cnido (c. 390-337), Gerolamo Cardano (1501–1576), Gema Frisius (1508-1555) o Paolo Ruffini (1765-1822). Avicena (c. 980-1037) fue con Galeno la referencia médica durante siglos. Avicena también fue buen matemático y astrónomo. Matemáticos de vocación, médicos por necesidad. Hasta tiempos recientes la profesión de matemático ofrecía pocas oportunidades laborales: algunas y poco renumeradas plazas en universidades, el mecenazgo de la realiza y la nobleza, o la formación de navegantes, artilleros e ingenieros. Muchas vocaciones matemáticas se aparcaron para ejercer profesiones que permitían vivir como la medicina o las leyes. (Retrato del médico matemático Jean Fernel) Las matemáticas, el quadrivium, en los inicios de la modernidad eran materias propedéuticas y formaban parte de la educación básica. En el caso de la medicina esa formación matemática se intensificaba por la relación de la astrología y el arte de curar, del macrocosmos y el microcosmos. El caso de Jean Fernel (1497 — 1558), llamado "El Galeno moderno", pone de manifiesto como el ejercicio de la medicina se convierte en necesidad. Resulta muy significativa la diatriba del suegro de Fernel para convencerle de abandonar la matemática: Ahora bien, el conocimiento de las matemáticas es bastante bueno en sí mismo como cultura, y ejercita el ingenio, pero siempre que se use moderando el tiempo que se le dedica. Mas se convierte en algo escandaloso cuando un hombre honesto con deberes para con la gente y su familia se echa, por así decirlo, a dormir en las arenas movedizas de sus cantos de sirena, dejando pasar los años. Las matemáticas no contribuyeron al bienestar público. Aparte de un mínimo de aritmética y geometría, afecta poco o nada a la sociedad. Por otro lado, cuando volvemos nuestra mirada y nuestro pensamiento a la medicina, encontramos que es una ciencia que se ocupa ya sea a la investigación sublime de la naturaleza o a actos de beneficencia y utilidad. Es de derecho la más digna de todas las artes. Las matemáticas no pueden compararse con ella. De igual forma, Duncan Liddel (1561 – 1613), después de una dilatada carrera como profesor de matemáticas y astronomía en Europa Central, al volver a su Escocia natal se ve obligado a ejercer la medicina para subsistir. De Liddel se decía que era el único que enseñaba los tres sistemas astronómicos: Ptolomeo, Brahe y Copérnico. Cardano, médico, matemático y astrólogo. Una de las figuras más representativas de las inquietudes del Renacimiento es el lombardo Gerolamo Cardano. Médico de éxito, matemático avanzado y astrólogo convencido. (Cardano y otros. Gallerie degli uffizi. Florencia) Como matemático su Ars magna (1545) es el principal tratado de álgebra de su época y De ludo aleae (1541) es el primer tratado sistemático de teoría de la probabilidad.  La medicina es lo que le permite vivir como profesor en Pavia y Milán, rechaza ser médico de papas y reyes. La vida de Cardano está plagada de polémicas, quizá la más agria es la compra de la resolución de la ecuación cúbica a Tartaglia bajo promesa de no publicar. Hoy se conocen como fórmulas de Cardano. En su descargo está que descubrió los antecesores del descubrimiento. Lo que más nos ilustra su tiempo es la actuación de la inquisición por haber realizado el horóscopo de Jesucristo. Sus memorias De vita propia empiezan con su propio horóscopo. La creencia astrológica era generalizada y da una de las claves de la vinculación de la  matemática y la medicina: había que saber astronomía para estudiar cómo el microcosmos del hombre se veía afectado por el macrocosmos. Gemma Frisius, médico en Lovaina, matemático en casa. (Gemma Frisius. Museum Boijmans Van Beuningen. Rotterdam) La universidad de Lovaina no tenía cátedra de matemáticas y Gemma Frisius ocupaba una de medicina. La pasión por la astronomía le hacía enseñar matemáticas en su propia casa. Los españoles Juan de Rojas y Jerónimo Muñoz fueron alumnos suyos. Rojas da nombre a un astrolabio muy popular y Muñoz fue catedrático de matemáticas en Valencia y Salamanca. Diego de Torres Villarroel, médico, matemático y... pícaro. Diego de Torres Villarroel (1693–1770) viene a ser la caricatura de Cardano. Catedrático de matemáticas en Salamanca y médico en Coimbra. Ambos astrólogos y redactaron su autobiografía: Vida, ascendencia, nacimiento, crianza y aventuras del doctor don Diego de Torres y Villarroel. Publicada en 1743, y después reformada, Vida pasa por ser la última de las grandes novelas de la picaresca española. Presentada como libro autobiográfico hay que leerla como ficción por la continuada falta de rigor. Como novela picaresca del catedrático de matemáticas de la universidad salmantina es excelente. Las aventuras del gran danzante, mediano músico, buen toreador y refinado y atrevido truhán son dignas de cuidadosa relectura. (Diego de Torres Villarroel) La cátedra de Matemáticas y Astrología de Salamanca llevaba treinta años sin cubrirse, y el panorama que dibuja Don Diego es aterrador. Hoy sabemos que el desierto intelectual no era tan árido, aunque como pícaro el doctor Torres Villarroel no tenga reparo en decir: Las matemáticas, la música y la poesía se las doy a cualquiera, me quedaré con las zurrapas astrológicas que me dan de comer. Celestino Mutis, matemático, médico y botánico. La monumental obra de José Celestino Mutis (1732 – 1808) como botánico ha eclipsado la de medico,  primer catedrático de Matemáticas y su importancia en la enseñanza de la ciencia moderna en el Nuevo Mundo. El sabio gaditano pasa de médico del Virrey a la enseñanza de la matemática y a catalogar la rica flora colombiana. (Billetes español y colombiano en homenaje a Celestino Mutis) Cuando Alexander Humboldt visitó Santa Fe de Bogota en 1801 quedó admirado del inmenso trabajo desarrollado por Celestino Mutis y sus compañeros ilustrados en el Nuevo Reino de Granada. La obra botánica ha permanecido inédita, aunque ya se han publicado más de treinta tomos y se espera la conclusión de los cincuenta previstos. Hoy todo ha quedado como un monumento artístico, una muestra de lo que pudo ser y una riqueza documental de escasa influencia. Algo parecido a los cuadernos de Leonardo. Ruffini, un matemático contra el tifus. Paolo Ruffini (1765-1822) estudió medicina pero su dedicación preferente fueron las matemáticas. Con Abel y Galois pone su nombre en la irresolubilidad por radicales de la ecuación de quinto grado, punto de despegue de la matemática moderna. Durante la epidemia de tifus en 1817 no dudó en remangarse y volver a la práctica médica hasta el punto de contagiarse aunque salvó su vida. Medicina y análisis geográfico-estadístico contra el cólera: John Snow Cuando la pandemia nos devuelva cierta libertad bien vendrá tomarse una cerveza inglesa. Puestos a adentrarnos en algún pub bien podemos elegir aquellos que nos recuerden o hagan homenaje a las matemáticas y la medicina. Así, en el corazón del Soho londinense, en el número 39 de la calle Broadwick nos encontraremos con la cervecería John Snow. (1813-1858) El establecimiento recuerda al médico que en 1854 pudo vencer y controlar una de las epidemias de cólera más mortíferas. (Banderola del pub John Snow. Londres) El instrumento que empleó Snow para convencer a las autoridades de que clausurarán la fuente causante de la mortandad fue la estadística, que en el Soho se apuntó un éxito decisivo como herramienta imprescindible. Bien se ve que la cerveza del local es una forma de animar nuestra visita a la modesta fuente que con una placa recuerda el hecho. La fuente se encuentra casi frente al pub. Medicina y matemáticas hoy La parcelación del conocimiento hace que toda investigación importante sea cada vez más interdisciplinar. Hay artículos firmados por decenas de participantes y se quedan cortos. El análisis genético molecular o la tomografía requieren tal cantidad de tecnología que la física, la química, la biología, la medicina y la matemática están presentes aunque puedan quedar ocultas en el software. La secuenciación del contenido molecular del virus causante del SARS-CoV ha sido una tarea que ha necesitado el recurso de la bioquímica, la física y el análisis matemático. El estudio estadístico de poblaciones, inmunidad, extensión de la enfermedad, prevalencia o validez de las vacunas se están haciendo con las pautas científicas que la matemática ha desarrollado. Tener presentes los números no calma el dolor pero si permite razonar mejor. La media de fallecimientos diarios en España venía siendo de 1150 personas, de las que 1000 eran mayores. El virus en su momento más virulento estuvo a punto de duplicar la tasa diaria. El problema mayor reside en como se ceba en las personas con otras afecciones o de mayor edad. Pararlo es una obligación moral.

Lunes, 03 de Mayo de 2021 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

59. 115. (Abril 2021) Herramientas de MIR en MatLab

1. Tecnología Musical y Musicología Computacional Hoy en día la música se investiga desde muchos puntos de vista, tal es su complejidad por un lado y tal es la variedad y potencia de los métodos de investigación modernos por otro lado. Las siglas de MIR, Music Information Retrieval, vienen del inglés y es el nombre que se le da actualmente al campo de la Computación Musical en un sentido muy amplio. Originalmente, el campo del MIR empezó en los años 60 con un pequeño grupo de ingenieros y músicos intentando resolver problemas prácticos de tratamiento musical, entre los cuales se contaba el de la recuperación de la información. Poco a poco se fueron juntando investigadores y profesionales de este incipiente campo y tras no mucho tiempo explotó como disciplina científica. Aunque los objetivos y métodos pronto engulleron a los problemas de tratamiento de la información musical de los primeros tiempos, por razones que aun hoy en día no alcanzo a comprender, se mantuvo el nombre de MIR. Creo que un nombre más adecuado sería el de Computación Musical (que uso en mis columnas aquí y en otros trabajos). Sea como fuere, el nombre se ha quedado por razones históricas y es el más usado para referirse a esta disciplina. Actualmente, la Computación Musical (MIR) es un campo multidisciplinar que se nutre de la propia Música, la Musicología, Computación —en particular, de la Inteligencia Artificial y la Ciencia de Datos —, Cognición y Psicología, diversas disciplinas de humanidades tales como la Lingüística, la Sociología. Entre los problemas que aborda la Computación Musical están el análisis musical (problemas tales como la similitud melódica, la detección del pulso, el reconocimiento de la estructura musical, las medidas de complejidad rítmica, melódica, armónica, solo por nombrar unos pocos); y a estos se añade, la clasificación de la música, los sistemas de recomendación, la generación automática de música, el estudio de la conexión entre música y emoción por métodos computacionales, la transcripción automática de la música, la separación de fuentes en una señal de audio musical, entre otros. En esta columna se han tratado de manera divulgativa muchos de estos problemas; véanse las siguientes columnas y las referencias que tienen: [Góm12a, Góm11a, Góm12b, Góm13, Góm11b, Góm14, Góm16, Góm18, Góm20b]. Dentro del MIR hay una rama evidentemente tecnológica e industrial y, de hecho, empresas importantes tales como Yamaha, Pandora, Sony, Spotify, por ejemplo, trabajan en las aplicaciones de los conceptos y métodos del MIR (quizás sea el problema de la recomendación musical el más arquetípico). Otra disciplina distinta de la Computación Musical es la Musicología Computacional. Este último campo consiste en el estudio musicológico a través de métodos computacionales. Esta rama de la musicología, de origen moderno cuando se compara con la musicología histórica, por ejemplo, se suele considerar como una parte de la Musicología Sistemática. La Musicología Computacional no llegó sin rechazo e incomprensión en un principio; y, por otra parte, algunos de sus practicantes cometieron excesos que alimentaron tal rechazo. Para un resumen de este debate, véase el artículo de esta columna Alcance y extralimitaciones de las matemáticas y la computación en la música [Góm20a]. Por otra parte, la Computacional Musical ha prestado apoyo metodológico e inspirado varios problemas a la Musicología Computacional. 2. La herramienta MIRtoolbox En la columna de este mes nos vamos a centrar en algo más práctico. Es algo que me han pedido algunos lectores, músicos principalmente, y es que describa y comente herramientas de computación musical. En particular, voy a describir la herramienta MIRtoolbox, diseñada y construida por los investigadores Lartillot y Toiviainen (con la intervención de Tuomas en la primera parte) [LT07a, LTE07]. MIRtoolbox es una herramienta escrita en MATLAB y está concebida para la extracción de características musicales de bajo y medio nivel de música dada en formato de audio (y no en formato simbólico como pueda ser el MIDI). Una de sus ventajas es que MIRtoolbox ha sido diseñado con un usuario no experto en programación en mente y, como consecuencia de ello, la sintaxis y la interfaz son muy fáciles de usar. MATLAB es el acrónimo de MATrix LABoratory. Inicialmente, este paquete de cálculo se especializó en el cálculo de matrices. Posteriormente, se convirtió en un paquete de cálculo multi-propósito y hoy en día es el estándar en ingeniería y en buena parte de las matemáticas. MATLAB es multi-plataforma y existen versiones para Windows, macOS, Unix y GNU/Linux. Tiene tanto cálculo simbólico como cálculo numérico y a través de sus toolboxes, módulos especializados, se pueden ampliar sus capacidades de cómputo a campos concretos tales como el procesamiento de la señal, la simulación, la biología computacional, la estadística avanzada, entre otros. La web de este paquete se puede encontrar en [Mat21]. En la figura de abajo se puede ver el interfaz gráfico de MATLAB. Figura 1: Interfaz gráfica de MATLAB MIRtoolbox es una herramienta gratuita y se puede descargar en [LT07b]. Sirve tanto para la investigación como para la docencia. A continuación vamos a describir las principales características de interés para el musicólogo computacional y/o sistemático. 3. Extracción de caracerísticas musicales en MIRtoolbox En la figura 1, tomada del propio artículo [LT07a] de presentación de la herramienta, muestra los distintos niveles de extracción. Todos los procesos empiezan por considerar la señal (a la izquierda) y se van aplicando diversas operaciones según se va hacia la izquierda. Leída de izquierda a derecha, las características musicales van de bajo nivel a medio nivel. Leída en de arriba abajo la figura 1 nos devuelve las principales operaciones del MIRtoolbox en orden creciente de complejidad computacional. Figura 2: Características musicales extraíbles con el MIRtoolbox (figura tomada de [LT07a] He aquí una lista con sucintas explicaciones de las principales características extraíbles desde MIRtoolbox: La tasa de cambios de signo (zero-crossing rate), que se usa en procesamiento musical y del habla y que sirve para identificar sonidos percusivos (por ejemplo, en problemas de separación de fuentes). La energía de la señal, medida como el valor cuadrático medio (RMS). El contorno de una señal, que da importante información sobre su comportamiento desde un punto de vista musical, por ejemplo, sobre el timbre o la finalidad melódica. El espectro de la señal, obtenido a través de la transformada de Fourier, del cual se obtienen medidas relevantes para la identificación de la señal así como la detección de patrones dentro de la misma. Entre esas medidas, encontramos las básicas tales como el centroide, la curtosis o el coeficiente de asimetría; y luego más complejas, el flujo espectral, la disonancia textural (roughness), la escala Mel. A partir de estas medidas se pueden obtener los descriptores de medio nivel tales como tempo, claridad del pulso, altura o fluctuación. Como muestra de la sencillez de uso de MIRtoolbox, en la figura 2 se pueden ver los comandos para obtener algunas de las medidas anteriores. Empezamos por cargar un fichero de audio (1); lo descomponemos en secuencias (2); extraemos el espectro (3); convertimos el espectro del dominio de la frecuencia al dominio de la escala de Mel (4); por último, obtenemos los coeficientes MFCC. Figura 3: Sintaxis de MIRtoolbox (figura tomada de [LT07a] El proceso anterior se puede resumir más gráficamente como se muestra en la figura 4: Figura 4: Cálculo de los coeficientes MCC en MIRtoolbox (figura tomada de [LT07a] Por último, ilustramos el proceso de estimación de la fuerza tonal; véase la figura 4. Esta medida cuantifica cuán predominante es una tonalidad en una pieza de música. El método sigue las ideas de Krumhansl y Kessler; véanse [KK82, Kru90]. En primer lugar, se pasa del dominio de la frecuencia al de las alturas mediante una transformación logarítmica de aquellas. Esta representación es el cromagrama. Este cromagrama se consolida y se ponen en las mismas clases las alturas que están a distancia de un múltiplo de una octava entre sí. Esto da una representación en forma de histograma de las clases de alturas. Se aplica entonces correlación cruzada entre el histograma obtenido y los histogramas de las 12 tonalidades posibles dados en [KK82], los cuales provienen de experimentos hechos con oyentes. Figura 5: Cálculo de los coeficientes MCC en MIRtoolbox (figura tomada de [LT07a] 4. Conclusiones El MIRtoolbox permite muchos más análisis y procesos de computación musical que los brevemente glosados aquí. Por ejemplo, el análisis rítmico, la segmentación a varios niveles, el análisis de grandes volúmenes de datos, el análisis de secuencias. Remitimos al lector al manual de la herramienta, que se puede encontrar en [LT07a]. En este artículo se encontrarán también detalles técnicos de la arquitectura y la representación de datos de la herramienta.   Bibliografía [Góm11a] Paco Gómez. Distancia y similitud musical, mayo de 2011. [Góm11b] Paco Gómez. Distancia y similitud musical (I), mayo de 2011. [Góm12a] Paco Gómez. El teorema del hexacordo (I), Octubre de 2012. [Góm12b] Paco Gómez. Medidas matemática de síncopa (I), Octubre de 2012. [Góm13] Paco Gómez. COFLA: la música flamenca y su estudio computacional, agosto de 2013. [Góm14] Paco Gómez. Teoría generativa de la música (I), junio de 2014. [Góm16] Paco Gómez. Composición algorítmica (I), junio de 2016. [Góm18] Paco Gómez. Ritmos euclídeos y ritmos equilibrados, marzo de 2018. [Góm20a] Paco Gómez. Alcance y extralimitaciones de las matemáticas y la computación en la música, julio de 2020. [Góm20b] Paco Gómez. Música y entropía - I, julio de 2020. [KK82] C. L. Krumhansl and E. J. Kessler. Tracing the dynamic changes in perceived tonal organization in a spatial representation of musical keys. Psychological Review, 89:334–368, 1982. [Kru90] C. L. Krumhansl. Cognitive Foundations of Musical Pitch. Oxford University Press, New York, 1990. [LT07a] Olivier Lartillot and Petri Toiviainen. Mir in matlab (ii): A toolbox for musical feature extraction from audio. pages 127–130, 01 2007. [LT07b] Olivier Lartillot and Petri Toiviainen. MIRtoolbox, 2007. [LTE07] Olivier Lartillot, Petri Toiviainen, and Tuomas Eerola. A matlab toolbox for music information retrieval. volume 4, pages 261–268, 01 2007. [Mat21] Mathworks. MATLAB, 1994–2021.

Lunes, 12 de Abril de 2021 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

60. 192. (Abril 2021) Magia en el aula

Al amparo de este rincón, en muchas ocasiones hemos destacado las propiedades didácticas de los juegos de magia matemática. También hemos querido señalar aquellos autores que han publicado material pedagógico con el que potenciar la enseñanza de las matemáticas a través de la magia (como, por ejemplo, en el número 179 de febrero de 2020 y en el número 144 de diciembre de 2016). Parece que esta tendencia es imparable y ya es constante el flujo de información relacionada con este tema y la gran diversidad de enfoques que los profesionales de la educación están desarrollando para aprovechar las bondades de la magia en la didáctica de las matemáticas. Esta vez quiero comentar dos de los últimos trabajos que he encontrado y me han parecido interesantes. El primero de ellos se titula "Mathematical Explorations of Card Tricks", su autor es Timothy Weeks de la Universidad John Carroll en Ohio (EEUU) y se ha publicado en el número 73 de Senior Honors Projects en la primavera de 2015. En la introducción, el autor recoge una famosa sentencia de Martin Gardner: «La magia matemática combina el aspecto académico de las matemáticas con el valor de entretenimiento de la magia». A lo largo de su trabajo, el autor recorre algunos juegos basados en ciertas propiedades combinatorias en las que se basa un determinado reparto de las cartas de una baraja, así como aplicaciones del principio del palomar o de la teoría de códigos correctores de errores. Los juegos seleccionados son adaptaciones de otros contenidos en el libro "Mathematical Card Magic", escrito por Colm Mulcahy y publicado por CRC Press el año 2013 pero proporciona las demostraciones matemáticas de los resultados obtenidos. El segundo artículo que quiero citar es el trabajo de Morgan Mitchell y Jay Cummings (aquí en la foto) titulado "When and how to use math based card tricks in the classroom", publicado en McNair Scholars Journal el año 2017. Con el fin de mejorar la percepción de los estudiantes sobre su propia habilidad en la comprensión de las matemáticas, su respuesta emocional hacia los retos que plantean y la ansiedad que produce su propia inseguridad, los autores desarrollan una colección de juegos de magia con cartas así como las explicaciones matemáticas en las que se apoyan. Pretenden así ofrecer a los educadores algunas herramientas con las que "reenganchar" a los estudiantes y mostrarles los aspectos lúdicos a la vez que formativos de la magia matemática. En este trabajo se cita el estudio titulado "Using Illusions in the Classroom: Principles, Best Practices, and Measurement" de Kevin Elder, David Deviney, Ronald MacKinnon y John Dyer (2012), quienes apuntaron cuatro principios básicos sobre el uso de la magia en el aula: No dejar que la ilusión sobrepase a la lección. Practicar antes de ejecutar. Nunca repetir un truco ante la misma audiencia. No explicar el truco porque no dejaría apreciar la ilusión y el misterio. No entraré a discutir la idoneidad de estas reglas básicas así que pasaré directamente a comentar algún juego de los que allí se proponen. Algunas versiones de la mayoría de los juegos que se incluyen en los dos artículos anteriores están tratados en este rincón así que he optado por mostrar algunas variantes del primer juego que enseñan Morgan Mitchell y Jay Cummings en su trabajo, que es básicamente el que apareció sin explicación en el número 7 nada menos que en julio de 2004. En el libro «The very best of Dai Vernon», de Richard Vollmer (escrito en francés), aparece esta versión titulada "Las cartas calculadoras". A grandes rasgos, este es el juego: Busca una baraja, comprueba que está completa (tiene las 52 cartas) y mézclala. Recoge la baraja con las caras hacia ti y reparte sobre la mesa, caras hacia abajo, varios montones de cartas, de la siguiente forma: Pasa de una mano a otra la carta superior y mira su valor. Pasa a continuación tantas cartas como hace falta para llegar a 13, una encima de otra formando un montón. Por ejemplo, si la carta superior es un 6, pasa a la otra mano siete cartas más; si es una dama, pasa una carta más (la dama cuenta como 12); si es un as, pasa 12 cartas más. La forma más sencilla es contar de una en una las cartas mientras las vas pasando de una mano a otra, empezando por el número de la primera carta y terminando en 13. Deja el montón así formado sobre la mesa, caras hacia abajo. Una vez que haya sobre la mesa unos seis o siete montones, selecciona tres de ellos. Retira los montones eliminados añadiéndolos al resto de cartas que te quedan en la mano. De los tres montones seleccionados, gira cara arriba la carta superior de dos de ellos. Suma sus valores y reparte, del paquete que tienes en la mano, tantas cartas como el valor de dicha suma. Reparte luego diez cartas más, porque me da la gana, y cuenta el número de cartas que quedan sin repartir. Dicho valor coincidirá con el de la carta superior del tercer montón que quedaba. Como indican los autores del trabajo citado, es una buena tarea para el estudiante hacer las operaciones necesarias con el fin de averiguar el funcionamiento del truco. Veamos: si las cartas superiores de los tres montones elegidos tienen valores desconocidos X, Y y Z, dichos montones contienen 14 - X, 14 - Y y 14 - Z cartas, respectivamente. En la mano tienes entonces 52 - (14 - X) - (14 - Y) - (14 - Z) = 10 + X + Y + Z cartas. Supongamos que el montón elegido es que tiene el valor X como carta superior. Al girar las cartas superiores de los otros dos montones, aparecerán los valores Y y Z. Se retiran entonces Y + Z cartas y, por último 10 cartas. Evidentemente, quedan únicamente X cartas. Otra versión, algo diferente, es la siguiente: Busca una baraja francesa (también completa) y selecciona nueve cartas. Deja el resto sobre la mesa. Elige una de esas nueve cartas, dejando las demás en un montón caras abajo sobre la mesa. Después de mirar y recordar la carta elegida, déjala sobre el montón de las ocho cartas no elegidas. Coloca el resto de la baraja sobre este montón. Recoge de nuevo la baraja completa y reparte la carta superior sobre la mesa, girándola cara arriba, diciendo "diez". Sobre ella reparte la segunda diciendo "nueve", y así sucesivamente hasta que aparezca una carta cuyo valor coincida con el número nombrado en ese momento. Esas cartas formarán el primer montón. Si has repartido la décima carta diciendo "uno" y no ha habido ninguna coincidencia, reparte una carta más cara abajo tapando dicho montón. En cualquiera de los casos, repite el mismo procedimiento tres veces más hasta que haya sobre la mesa cuatro montones. Suma entonces los valores de las cartas superiores de cada montón (si están cara arriba) y, con las cartas que tienes todavía en la mano, reparte tantas cartas como indica dicha suma. La última carta repartida será la que habías elegido inicialmente. Vayamos con la justificación del juego. Observemos en primer lugar que la carta elegida está en la posición 44 de la baraja (tiene sólo 8 cartas bajo ella). Al repartir cuatro montones, si no ha habido ninguna coincidencia, cada montón tiene 11 cartas, lo que hace un total de 44. La última carta es precisamente la elegida. Si el montón i-ésimo tiene ni cartas, el valor de la carta superior es 11 - ni. En total se han repartido n1 + n2 + n3 + n4 cartas. Al sumar los valores de las cartas superiores, se reparten 11 - n1 + 11 - n2 + 11 - n3 + 11 - n4 cartas, precisamente las que faltan para llegar a 44 cartas. Por cierto, si el paquete no está completo, basta restar de 9 el número de cartas que faltan para que funcione el juego. El mismo principio permite diversas adaptaciones como la siguiente (que es una variante del juego "Afinidades" publicado en el segundo volumen de "The Vernon Chronicles" por Stephen Minch). Busca una baraja completa (de 52 cartas) y mézclala. Teniendo las cartas con las caras hacia arriba, forma sobre la mesa varios montones de cartas, de la siguiente forma: pela la primera carta y fíjate en su valor (en lo sucesivo, las figuras cuentan como 10); empieza una cuenta mental con el valor de dicha carta; sigue pelando cartas, formando un paquete en la otra mano (dejando cada carta sobre la anterior), y siguiendo la cuenta mental, hasta que hayas pasado tantas cartas como sea necesario para llegar a doce. Un ejemplo: si la carta de cara es un siete, pásala a la otra mano empezando la cuenta por siete; al pasar la siguiente carta, cuenta "ocho"; pasa otra más contando "nueve"; otra más a la cuenta de "diez", una más a la cuenta de "once" y la última para llegar a "doce". Deja sobre la mesa, con las caras hacia abajo, el montón de cartas que has formado. Repite el proceso hasta dejar en la mesa un grupo de más de seis montones. No hace falta utilizar todas las cartas pero sí la mayoría de ellas. Selecciona cuatro montones volviendo cara arriba la carta superior de cada montón elegido. Retira los montones no elegidos y forma un paquete con todos ellos y con las cartas no utilizadas anteriormente. Recuerda que los valores de las cartas vueltas son completamente aleatorios ya que has mezclado la baraja y has elegido esos montones y no otros. Suma los valores de dichas cartas (recuerda que las figuras valen 10) y comprueba que las cartas tienen la habilidad de adelantarse a los acontecimientos. Resulta que la suma de los valores de las cuatro cartas elegidas coincide con el número de cartas que forman el paquete desechado. Comentarios finales: El principio utilizado en estos juegos es el llamado «principio del complemento a 13» o, por su nombre en inglés «10, 9, 8, ... Count», pero también podría llamarse el del complemento a doce o a cualquier otro número. Su origen es desconocido aunque apareció publicado el año 1593 en el libro "Giochi di carte bellissimi di regola e di memoria" de Horatio Galasso (en la imagen), tan antiguo que se puede disfrutar digitalizado en el Archivo de Internet (en este caso, se aplica el principio del complemento a 15, con una baraja de 48 cartas). En el libro "La pasión de un cartómago aficionado" de Pablo Nagata se detalla el gran recorrido y desarrollo que ha tenido esta simple propiedad matemática a lo largo de la historia de la magia. Este principio y otros similares han dado lugar a sucesivos refinamientos e ingeniosas adaptaciones. Quiero destacar las aportadas en los maravillosos libros "La magia pensada" y "Más magia pensada" del maestro Ramón Riobóo, cuya reciente pérdida seguimos lamentando. ¡Que tengas buen viaje, Ramón! Aunque ya sabemos que las casualidades no existen, cuando estaba a punto de dejar terminada esta reseña, la editorial Cossetània me hizo llegar un nuevo libro dedicado a las aplicaciones didácticas de la magia matemática. Se trata del titulado "100 jocs automàtics de matemàgia" escrito por Enric Ramiro y Pilar Gandía, que han dedicado toda su carrrera a la docencia. Como su título indica, recoge de manera estructurada una gran selección de juegos que podrán ser utilizados en el aula como material complementario a todos los niveles de educación básica. Seguro que un docente encontrará más de un juego con el que salir de la rutina diaria y motivar a sus estudiantes para interesarse en las matemáticas. Pedro Alegría (Universidad del País Vasco - Euskal Herriko Unibertsitatea)

Martes, 06 de Abril de 2021 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico