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Música y matemáticas

El objetivo de esta sección es comprender la interesante y profunda relación de las Matemáticas con la Música.

Nuestro sincero agradecimiento a Francisco Gómez Martín (Universidad Politécnica de Madrid) por organizar y desarrollar esta sección, a sus anteriores responsables Rafael Losada y Vicente Liern, así como a todas las personas que colaboran con la misma.

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Cultura y matemáticas/Música y matemáticas
Autor:Paco Gómez Martín (Universidad Politécnica de Madrid)
1. Introducción Este artículo es una reseña del libro de Godfried Toussaint The geometry of musical rhythm: what makes a “good” rhythm good? [Tou17a]. Godfried (en este artículo no lo llamaré Toussaint) fue mi director de tesis y amigo personal. Desgraciadamente, nos dejó en julio de 2019. Estaba dando una charla en una conferencia en Japón y cayó fulminado por causas todavía desconocidas pero que apuntan a un ataque al corazón. Figura 1: Godfried Toussaint Godfried era una persona apasionada de la vida en muchos aspectos. En los intelectuales y académicos, destaca su pasión por la geometría y la música. Empezó su carrera por la geometría, en particular la geometría computacional. Está considerado el padre de la Geometría Computacional. Estudió a fondo los aspectos teóricos de la geometría computacional así como sus aplicaciones a múltiples campos: reconocimiento de patrones (los algoritmos para encontrar los k vecinos más cercanos, análisis de agrupaciones), planificación de movimiento, visualización, teoría de nudos, configuraciones de articulados, los problemas de la galería de arte, triangulaciones, el problema del círculo vacío más grande, entre otros. Y fue productivo, como lo atestiguan sus cerca de 300 artículos en 50 años de carrera académica (su primer artículo data de 1969). Su otra gran pasión fue la música, en especial el ritmo y la percusión. Fue percusionista de música africana, afro-cubana y además tocaba la batería en un grupo de rock y pop formado por profesores de la universidad McGill (la universidad donde desarrolló su carrera) que tenía el significativo nombre de The Algorithmics. Godfried era un investigador de raza. Prefería con mucho inventar nuevos problemas, con perspectivas originales, que supusiese un cambio de perspectiva y metodología, antes que centrarse en problemas de investigación técnicos o de carácter demasiado concreto. Le gustaba pensar en abstracto, conectar varios campos con ideas insólitas; le gustaba ejercer la creatividad desde una cumbre de abstracción. Sin embargo, donde creo que Godfried brilló más fue en las relaciones personales. Godfried trataba bien a la gente con la que colaboraba. Les contagiaba la pasión que tenía por la geometría y la música, en general por la investigación y aun más por la vida misma. En los famosos talleres que organizaba en Barbados (asistí a diez de ellos) la risa pero también el trabajo duro eran constantes. Reconocía genuinamente el talento en otros, calmaba de forma magistral los atisbos de ego y sabía crear un ambiente de seguridad emocional que era altamente productivo y generaba un gran disfrute. 2. La reseña En la página de Amazon, encontramos las siguientes reseñas breves de varios especialistas en el campo del [Tou17b]. Por Marc Chemillier dice del libro: The late Godfried Toussaint studied the rhythms of the world like a gold panner, collecting with meticulousness and passion all the motifs that different cultures have given birth to. Thanks to his skill as a mathematician, he extracted fascinating properties from them. There is no doubt that this unique book will survive for a very long time. El eminente etnomusicólogo francés Simha Arom: Through the original use of distance geometry for analyzing musical rhythm and the visualization of rhythms as cyclic polygons, Godfried Tousssaint?s fascinating book will be extremely valuable to any researcher involved in in the field of rhythm. Y finalmente, los comentarios de Justin London: The new edition of The Geometry of Musical Rhythm takes us further along Godfried Toussaint?s journey through the world?s rhythms. There are new discussions of metric complexity, rhythm visualization, rhythmic performance, and the evolution of rhythmic patterns. Almost every chapter has been expanded and informed by the latest scholarship in music theory, music psychology, ethnomusicology, and music informatics. Specialists and lay readers alike will find this edition even more engaging and valuable than the first, giving us even more reasons to delight in what makes a “good” rhythm good. El libro está compuesto por 38 capítulos en los que el autor ofrece una descripción del ritmo desde sus predilecciones musicales y matemáticas; se trata además de un libro conceptual, donde no hay ejercicios ni está orientado a ser un libro de texto. Como dice el propio Godfried en los prolegómenos, “quería hacer un libro que fuera accesible a un público de músicos y gente del mundo universitaria, con diversas formaciones académicas y actividad musical, y a la vez con un nivel mínimo de prerrequisitos”. En su libro solo se examina música en formato simbólico. En el capítulo 1, titulado ¿qué es el ritmo?, pasa revista a diferentes definiciones dadas en el pasado y por diversos autores de este término. El concepto de ritmo adoptado por Godfried es simple y consiste en considerar una sucesión de k ataques distribuidos sobre un conjunto de n pulsos. Sigue, en el capítulo 2, con un distinción conceptual entre ritmo y pulso, y se adentra en cuestiones cognitivas para precisar tal distinción. Ya en el capítulo 3, se centra en un tipo de ritmo, los ritmos de clave u ostinatos, que será el grupo de ritmos que estudiará extensiva y profundamente en el resto del libro. Un ritmo de clave es un ritmo que se repite a lo largo de una pieza y que sirve como referente y estabilizador rítmico. Típicos ritmos de clave son los ritmos del son, la rumba, o la bossa-nova. En este capítulo encontramos una interesante historia del tresillo cubano (dos negras con puntillo seguidas de una negra en notación 2/2), la cual ilustra con alta erudición musical. Esta erudición musical es una de las características notables del libro de Godfried. En los capítulos 4 y 5 describe más a fondo los ritmos de clave, en especial su función rítmica, y además describe los instrumentos en los que se suelen tocar, esencialmente claves y campanas. En el capítulo 6, presenta la clave son, que en notación de caja es [×⋅ ⋅×⋅ ⋅×⋅ ⋅ ⋅×⋅ ×⋅ ⋅ ⋅ ]. En este punto encontramos una interesante discusión sobre por qué los ritmos más interesantes aparecen cuando k es menor que n∕2. También se discute algunos valores del número de pulsos en términos de su aparición en la práctica musical de diversas tradiciones. Termina este capítulo con un análisis matemático que justifica la particularidad rítmica de la clave son. En el capítulo 7 presenta los seis ritmos binarios objeto de estudio en buena parte del resto del libro. Son estos: Figura 2: Los seis ritmos de clave binarios Explica los orígenes de estos ritmos, su nomenclatura y su aparición en diversos contextos musicales. En los capítulos 8 y 9 presenta su método de visualización de los ritmos de clave a través de su representación geométrica en círculos. Figura 3: La geometría de los ritmos de clave Además, define varios conceptos que se usarán a lo largo del libro tales como contenido del intervalo, distancia entre notas (ataques), distancia geodésica, vector de intervalos, histogramas de distancias e histogramas de distancias adyacentes. También define los ritmos aksak (a partir del trabajo de Simha Arom [Aro91]). En el capítulo 10 se analizan los ritmos binarios y ternarios y se presentan las claves binarias de 5 y 7 notas más importantes, la clave fume-fume y el bembé (ritmos descritos con su terminología). Godfried hace una comparación entre ambos y estudia su contorno rítmico. El capítulo 11 es un capítulo aparte, pues realiza una comparación entre ritmo y alturas de sonido (escalas más bien). El capítulo 12 es una revisión de la obra de Rolando Pérez La binarización de los ritmos ternarios africanos en América Latina [PF86]. En esta obra Pérez propone una teoría de cómo los ritmos binarios que se oyen en América Latina provendrían de una binarización de ritmos ternarios de los esclavos africanos. Godfried hace un análisis de esta hipótesis con una perspectiva computacional y matemática. El capítulo 13 está dedicado a uno de los temas que más le gustaban en la teoría del ritmo: la síncopa. Examina y discute las varias definiciones de síncopa que encuentran en la literatura (como la de Jackendoff y Lerdahl [LJ83] o la de Keith [Kei91]). Gran parte de este capítulo es material de la tesis de maestría que dirigió a Eric Thul [Thu08]; véase también [Góm11]. En el capítulo 14 se zambulle en el fascinante mundo de las operaciones sobre ritmos, en particular, en los collares y las pulseras (necklaces y bracelets). Aplica toda esta teoría combinatoria al estudio de ritmos de clave y destila maneras de clasificar ritmos en base a si existe alguna operación que pase un ritmo a otro. Aquí es otro capítulo donde ilustra sus teorías con abundantes ejemplos de las tradiciones musicales más diversas. En el capítulo 15 estudia el índice de asimetría rítmica, propuesto inicialmente por Simha Arom, y lo aplica al análisis de la música de los pigmeos aka así como a los ritmos de clave seleccionados. Esta parte del libro es fuertemente algorítmica y se disfruta mucho la generación de ritmos en base a propiedades pre-establecidas. El capítulo 16 se especializa en el estudio de índice de contratiempo, que es una medida de complejidad rítmica con inspiración en la teoría de números. Y finalmente, en el capítulo 17 aborda el problema de la complejidad rítmica a través de conceptos tan potentes como puede ser la entropía. Los capítulos 18 a 22 están dedicados a los ritmos euclídeos o ritmos cuyas notas están distribuidas lo más regularmente posible. En el capítulo 18 argumenta muy elocuentemente porque la distancia geodésica en el círculo no es una buena medida de la dispersión de las notas en el ritmo. A continuación, propone la distancia intercordal como una medida de la regularidad de un ritmo y prueba que funciona. Figura 4: Distancias entre las notas de un ritmo En el capítulo 19 expone los aspectos algorítmicos de la generación de los ritmos euclídeos; en concreto, muestra de una manera muy instructiva la conexión entre el algoritmo de Euclides de cálculo del máximo común divisor y los ritmos euclídeos. Variando el número de notas y de pulsos, genera varios ritmos que aparecen en diversas músicas del mundo (el tresillo cubano, el bembé, la clave bossa-nova, ritmos de los pigmeos aka, entre otros). Los ritmos euclídeos o de regularidad máxima tienden a crear tensión rítmica, sobre todo si el número de notas y el número de pulsos son primos entre sí (no tienen divisores comunes salvo el 1). En este caso las notas “contradicen” las notas que se esperan a partir del número total de pulsos. Consideremos, por ejemplo, el ritmo [×⋅ ⋅×⋅ ⋅×⋅ ]. Tiene 8 pulsos y 3 notas y observamos que 3 y 8 son primos entre sí. Por ser 8 divisible por 2 y 4, las notas sobre múltiplos de 2 y 4 se perciben como estables. Sin embargo, este ritmo tiene notas en 0,3 y 7. Al tocar ese ritmo se percibe una superposición de un ritmo ternario, las tres notas del ritmo, sobre un ritmo binario, la estructura binaria de los pulsos. Todo ello, ciertamente, crea tensión rítmica. Demain y otros colegas, autores del trabajo The Distance Geometry of Music [DGM+05], investigaron la relación entre la distribución de regularidad máxima de patrones y otras disciplinas, con especial énfasis en el ritmo musical. ¿Cómo se transforma el cálculo del máximo común divisor en un método para generar patrones distribuidos con regularidad máxima? Ilustraremos el proceso con un ejemplo de ritmos. Supongamos que tenemos 17 pulsos y queremos distribuir de forma regular 7 notas en los 17 pulsos. Sigamos los pasos dados en la figura 5. Primero, alineamos el número de notas y el número de silencios (siete unos y diez ceros); véase la figura 5–paso (1). A continuación, formamos grupos de 7, los cuales corresponden a efectuar la división de 17 entre 7; obtenemos, pues, 7 grupos formados por [10] (en columnas en el paso (2) de la figura). Sobran tres ceros, lo cual indica que en el paso siguiente formaremos grupos de 3. Tras formar el primer grupo –véase el paso (3) de la figura– nos quedamos sin ceros. Continuamos agrupando de 3 en 3 tomando los grupos de la otra caja, en la que quedan 4 columnas (figura 5– paso (4)). Procedemos así que queden uno o cero grupos; de nuevo, esto es equivalente a efectuar la división de 7 entre 3. En nuestro caso, queda un solo grupo y hemos terminado (paso (5)). Finalmente, el ritmo se obtiene leyendo por columnas y de izquierda a derecha la agrupación obtenida (paso (6)). Figura 5: Generación de ritmos euclídeos. Aquí cada 1 representa una nota [×] y cada 0, un silencio [ ⋅ ]. El ritmo que hemos generado con nuestra notación se escribe entonces como [×⋅ ⋅×⋅×⋅ ⋅×⋅×⋅ ⋅×⋅×⋅ ] Los ritmos generados por este método se llaman ritmos euclídeos. El ritmo euclídeo de k notas y n pulsos se designa por E(k,n). Otra manera útil de designar un ritmo es mediante las duraciones de las notas en términos de pulsos. Así, por ejemplo, el ritmo de la sevillana [×⋅ ⋅×⋅ ⋅×⋅ ⋅×⋅ ⋅ ] se puede escribir como (3333), donde cada 3 indica que dura tres pulsos. El ritmo euclídeo que acabamos de obtener con esta notación se escribe E(7,17) = [×⋅ ⋅×⋅×⋅ ⋅×⋅×⋅ ⋅×⋅×⋅ ] = (3232322). Demain y sus coautores [DGM+05] probaron formalmente que este algoritmo proporciona, salvo rotaciones, la única manera de distribuir k objetos entre n del modo más regular posible. Aún más, había varios algoritmos propuestos de manera independiente y ellos probaron que, en realidad, eran todos equivalentes al viejo algoritmo de Euclides. Damos a continuación una pequeñísima muestra de ritmos euclídeos que se encuentran en las músicas tradicionales del mundo y que aparecen en el libro de Godfried. E(5,8) = [×⋅××⋅××⋅ ] = (21212) es el cinquillo cubano, así como el malfuf de Egipto, o el ritmo coreano para tambor mong P’yŏn. Si el ritmo se empieza a tocar desde la segunda nota aparece un popular ritmo típico de Oriente Próximo, así como el timini de Senegal. Si se empieza en la tercera nota tenemos el ritmo del tango. E(5,12) = [×⋅ ⋅×⋅×⋅ ⋅×⋅×⋅ ] = (32322) es un ritmo muy común en África central que tocan los pigmeos aka. Cuando se toca desde la segunda nota es, entre otros, la clave columbia de la música cubana y el ritmo de la danza chakacha de Kenya. E(5,16) =[×⋅ ⋅×⋅ ⋅×⋅ ⋅×⋅ ⋅×⋅ ⋅ ⋅ ] = (33334) es el ritmo de la bosa-nova de Brasil. Este ritmo se toca a partir de la tercera nota. Existen cerca de dos centenares de ritmos de músicas del mundo documentados que son generados por el algoritmo de Euclides. Para más información sobre ritmos euclídeos, recomendamos los artículos [GTT09b] y [GTT09a] El capítulo 20 trata de la aplicación de los ritmos euclídeos al cálculo de los años bisiestos. Proporciona una fascinante historia del problema de definir los años bisiestos y cómo se han resuelto en diversas culturas (desde la islámica a la cristiana). En el siguiente capítulo, el 21, se estudian los ritmos aproximadamente regulares, que son aquellos que difieren en un ritmo euclídeo por una nota; véase la figura de abajo. Figura 6: Ritmos aproximadamente regulares Para cerrar esta serie de capítulos sobre los ritmos euclídeos, Godfried estudia las conexiones entre estos ritmos y la cristalografía. El capítulo 23 está dedicado a los ritmos complementarios, esto es, a los ritmos obtenidos al intercambiar notas por silencios y viceversa. Estudia Godfried las propiedades que se conservan por la toma de complementarios y en particular analiza el teorema del hexacordo; véase [BBOG09]. El capítulo 24 es una conexión entre los ritmos y la radio astronomía que usa resultados del capítulo anterior. En el capítulo 25 se presentan los ritmos profundos, que son ritmos en que las distancias entre todas las notas ocurren de manera única. Si hacemos el histograma de un ritmo profundo, entonces es posible ordenar sus distancias de tal manera que el histograma sea creciente o decreciente estrictamente. La figura de abajo ilustra un ritmo profundo, en este caso, el bembé. Figura 7: Ritmos profundos El capítulo 26 versa sobre los ritmos cáscara. Dada una propiedad P de un ritmo (ser euclídeo, por ejemplo), se dice que es un ritmo cáscara con respecto a P si existe una sucesión de inserciones o borrados que mantiene la propiedad todo el tiempo. En el capítulo 27 Godfried estudia los ritmos fantasma, que son los ritmos resultantes de considerar como ritmos los silencios de un ritmo dado. En particular, discute las implicaciones cognitivas de estos ritmos. El capítulo 28 consiste en un examen de los cánones rítmicos y también de las simetrías axiales que se pueden encontrar en los ritmos. En el capítulo 29 el tema principal es los ritmos definidos por acentuación. Estos ritmos consisten en tocar todas las notas de los pulsos y acentuar unas cuantas de ellas, lo cual da lugar a un ritmo que destaca sobre la alfombra de pulsos. Este tipo de ritmos aparece, por ejemplo, en el flamenco. El capítulo 30 investiga varios tipos de simetría en los ritmos (simetría axial, palindrómica, etc.), ampliando así el capítulo 28. El capítulo 31 se adentra en los ritmos que tienen un número inusual de pulsos; se trata más bien de un examen musicológico de dichos ritmos más que un análisis matemático del mismo. En el capítulo 32 se discuten y analizan diversas representaciones de los ritmos, desde la notación de caja hasta las duraciones inter-notas. Ya en el capítulo 32 Godfried nos muestra uno de los temas más interesantes en la teoría del ritmo: la similitud rítmica. Examina diversas distancias de similitud, desde la distancia Hamming hasta la distancia de permutación dirigida (cuyo inventor fue él). En el capítulo 33 el autor se enfrenta a definir el concepto de regularidad e irregularidad para ritmos y cómo establecer una gradación entre ambos extremos. El capítulo 35 describe las aplicaciones de los árboles filogenéticos a la teoría del ritmo. Aquí expone buena parte de sus resultados [?] con esta técnica así como sus aplicaciones al análisis del flamenco. El capítulo 36 está consagrado al estudio combinatorio del ritmo. Finalmente, el capítulo 37 consiste en una defensa ardiente del ritmo de la clave son como el ritmo más popular y mejor construido (argumenta para ello su nivel de regularidad, su índice de asimetría, su índice de contratiempo, su complejidad métrica, entre otras). En el último capítulo del libro traza una historia y un recorrido musicológico de este ritmo. El libro cierra con un epílogo en que Godfried hace un resumen de su perspectiva e ideario sobre la teoría del ritmo y justifica una vez más la pertinencia del análisis matemático y computacional del ritmo.   Bibliografía [Aro91] Simha Arom. African Polyphony and Polyrhythm. Cambridge University Press, Cambridge, England, 1991. [BBOG09] B. Ballinger, F. Benbernou, N. Gomez, J. O’Rourke, and Toussaint G. The continuous hexachordal theorem. In E. Chew, A. Childs, and C-H. Chuan, editors, Mathematics and Computation in Music, pages 63–77. Springer, Berlin, 2009. [DGM+05] Erik Demaine, Francisco Gomez, Henk Meijer, David Rappaport, Perouz Taslakian, Godfried Toussaint, Terry Winograd, and David Wood. The distance geometry of deep rhythms and scales. In Proceedings of the 17h Canadian Conference on Computational Geometry, pages 160–163, University of Windsor, Windsor, Ontario, Canada, August 10-12, 2005. [GTT09a] F. Gómez, P. Talaskian, and G.T. Toussaint. Interlocking and euclidean rhythms. Journal of Mathematics and Music, 3(1):15–30, 2009. [GTT09b] F. Gómez, P. Talaskian, and G.T. Toussaint. Structural properties of euclidean rhythms. Journal of Mathematics and Music, 3(1):1–14, 2009. [Góm11] Paco Gómez. Medidas matemática de síncopa (I), 2011. [Kei91] Michael Keith. From Polychords to Pólya: Adventures in Musical Combinatorics. Vinculum Press, Princeton, 1991. [LJ83] F. Lerdahl and R. Jackendoff. A Generative Theory of Tonal Music. MIT Press, Cambridge, Massachussetts, 1983. [PF86] Rolando Antonio Pérez Fernández. La binarización de los ritmos ternarios africanos en América Latina. Casa de las Américas, Havana, 1986. [Thu08] Eric Thul. Measuring the complexity of musical rhythm. Master’s thesis, McGill University, Canada, 2008. [Tou17a] Godfried Toussaint. The geometry of musical rhythm: what makes a “good” rhythm good? CRC Press, Boca Raton, Florida, 2017. [Tou17b] Godfried Toussaint. The geometry of musical rhythm: what makes a “good” rhythm good?, 2017.
Lunes, 16 de Noviembre de 2020 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Música y matemáticas
Autor:Paco Gómez Martín (Universidad Politécnica de Madrid)
1. Introducción En la primera entrega de esta serie [Góm20b] estudiamos la relación entre la entropía y la música de una manera general. En la segunda entrega [Góm20a] repasamos los modelos de Markov (ya vistos también en otras entregas([Góm16b], [Góm16a]). En este tercera entrega vamos examinar a fondo el tratamiento que hacen de la entropía los autores Gerardo Febres y Klaus Jaffe en su artículo del año 2017 Music viewed by its entropy content: A novel window for comparative analysis [FJ17]. En su trabajo, los autores estudian cómo aplicar la entropía a la caracterización del estilo musical de una manera más completa y significativa que en estudios previos. El artículo empieza con una larga introducción donde, con erudición pero sin pesadez, revisan a fondo el estado del arte en el problema del estudio de la entropía en música. Evidentemente, empiezan mencionando a Meyer [Mey56] con su teoría de las expectativas y los grandes continuadores de sus ideas (como Huron [Hur06]). Identifican la entropía como una medida de regularidades estadísticas y como tal, cuando se aplica al fenómeno musical, permite extraer características musicales en base a dichas regularidades. Febres y Jaffe evalúan los principales esfuerzos de investigación en este sentido. Examinan, por ejemplo, los métodos basados en cadenas de Markov y apuntan a Mavromatis como uno de sus practicantes más notables [Mav05] (como vimos el mes pasado). Como método alternativo a las cadenas de Markov, los autores mencionan a Rohrmeier [Roh11], quien propone un método basado en reglas gramaticales inspirado en las teorías generativas de Lerdahl y Jackendorf [LJ83]. La entropía necesita como base un alfabeto de símbolos. En el caso de la música ese conjunto sería los símbolos que aparecen en la partitura entera. Sin embargo, para calcular medidas de entropía hace falta codificar la música en un alfabeto adecuado. Muchos investigadores han usado la codificación MIDI, que es una opción bastante natural por su versatilidad y por constituir una aproximación aceptable a la música. Ponce de León e Iñesta [PI07] usaron música en formato MIDI que analizaron a través de la entropía; su análisis incluía varios parámetros musicales tales como altura de las notas, duración de las notas, duración de los silencios, síncopas, entre otros. El corpus que usaron fue de jazz y era polifónico (muchos de los primeros estudios con entropía se limitaban a la música monofónica). Kranenburg y Backer [vKB04] diseñaron un procedimiento para reconocer el estilo a través de la entropía, pero, aunque prometedor, no alcanzaron a construir un sistema que reconociese estilos de manera fiable. Metodológicamente, la mayor parte de los trabajos han usado cadenas de Markov, como el mencionado de Mavromatis. Una excepción notable a esta tendencia es el trabajo de Cox [Cox10], que usa redes neuronales. En un futuro artículo de esta sección, abordaremos las redes neuronales y su aplicación a la música. Por el momento, nos conformaremos con describir el trabajo de Cox desde un punto de vista general. Respecto a la entropía y el significado musical, Cox escribe lo siguiente (nuestra traducción): Sin embargo, las fronteras estructurales son solo una parte del significado musical. Si el significado musical está relacionado con la tensión subjetiva que surge de la incertidumbre —esto es, de la entropía— , entonces debería ser posible correlacionar medidas instantáneas de la entropía (“perfiles de entropía”) con las respuestas afectivas a la música en el momento. Por ejemplo, una cadencia auténtica es un punto de reposo y, por tanto, debería estar correlacionado con una entropía baja. Un clímax dramático debería estar correlacionado con un valor alto de la entropía (un máximo local) porque representa una cantidad alta de tensión. El mérito de Cox es que usando redes neuronales fue capaz de producir unos perfiles de entropía que le sirvió para estudiar el estilo musical. En la figura 1 se ve un ejemplo de dichos perfiles. En su artículo analizó el cuarteto para cuerda opus 20, número 3 (los perfiles de abajo pertenecen al primer movimiento). En la figura se ven perfiles de entropía para las alturas y el ritmo; el eje x son los compases del movimiento. Figura 1: Perfiles de entropía (figura tomada de [Cox10]) La hipótesis musicológica aquí es que música que pertenece a un estilo concreto debería tener unos perfiles de entropía característicos, los cuales permitiría distinguir entre estilos. Esfuerzos anteriores en este sentido habían generado perfiles que eran demasiado bastos como para tal distinción. El trabajo de Cox representa un paso adelante en ese sentido, pero el trabajo de Febres y Jaffe constituye un paso mayor aun. Ellos usan tres medidas relacionadas con la entropía (diversidad específica, entropía y entropía de segundo orden) para estudiar el estilo musical. 2. Estilo musical y entropía 2.1. Perfiles de entropía Febres y Jaffe aplican la idea de los perfiles de entropía para analizar el estilo musical y en particular para resolver el problema de distinguir entre estilos musicales. Para ello, tomaron una muestra de 450 piezas en formato MIDI y estudiaron el estilo con la entropía. El alfabeto base para su estudio es el propio alfabeto del formato MIDI. La música está caracterizada por varias variables musicales: altura, duración, melodía, armonía, textura, etc. El propósito de un modelo es identificar la estructura (bloques y sintaxis) de la música en base a los valores de las variables musicales. Esa estructura se manifiesta como regularidades estadísticas en las cadenas de símbolos que representan la música. Esas regularidades representan normas estilísticas. La búsqueda de esas regularidades se llama reconocimiento de patrones. En su modelo se busca minimizar la entropía según está definida por Shannon; véanse [Góm20b],  [Góm20a]. De nuevo, este modelo se basa en el modelo de longitud de descripción mínima de Mavromatis [Mav05]. Se extraen del corpus una serie de símbolos que minimizan la entropía (o se acercan al mínimo dentro de un margen). Dicha extracción va acompañada de una distribución de probabilidad. Véamos más en detalle cómo ocurre esto. Empezaremos por considerar el conjunto B de símbolos MIDI que aparecen en un corpus musical (o en una pieza). A continuación, se extrae un conjunto mínimo de símbolos que minimizan lo más posible la entropía de Shannon [Sha10]. Este conjunto recibe el nombre de símbolos fundamentales y D será el número total de dichos símbolos fundamentales. D es la diversidad del lenguaje. De la observación de las piezas del corpus se obtiene la frecuencia de cada símbolo xi, que será una distribución de probabilidad P(xi). Si N es el número total de símbolos de B, se define la diversidad específica como el cociente d La entropía h viene dada por la fórmula h = -P log D(P). En su artículo, los autores comparan un breve texto en inglés con un segmento de un fichero MIDI para ilustrar cómo opera la entropía. Reproducimos aquí dicha comparación; véase la figura 2 (en el fichero de texto ∅ representa el espacio). Figura 2: Perfiles de entropía (figura tomada de [FJ17]) A continuación, Febres y Jaffe crean los llamados perfiles de frecuencias. Para cada distribución P, los autores asocian un perfil. El perfil está compuesto por una gráfica de los símbolos ordenados por frecuencia relativa decreciente en el eje x contra dichas frecuencias en el eje y; véase la figura 3. El perfil resulta ser una poligonal decreciente (pero no estrictamente decreciente en todos los casos). Distintos perfiles pueden tener distintos número de símbolos en sus descripciones. Eso da un problema a la hora de comparar los perfiles, ya que los perfiles no serán comparables a menos que tengan la misma longitud. Los autores resuelven esta dificultad usando lo que han bautizado como un método de reducción de escala. En este método reducen el número de símbolos mientras que mantienen el vector de frecuencias. El método lleva a cabo fusiones de símbolos y redistribuye adecuadamente las frecuencias entre los nuevos símbolos. En la figura 3 se ilustra este proceso; la condición para la fusión de símbolos está dada en la parte de la izquierda; para más información matemática sobre este procedimiento, consúltense los apéndices del artículo de Febres y Jaffe. Figura 3: Fusión de símbolos (figura tomada de [FJ17]) Para la comparación, se considera que la música tiene el mismo comportamiento que el lenguaje y se aplica la ley de Zipf para comparar perfiles. La ley de Zipf es una ley empírica que establece que en una lengua dada la frecuencia de aparición de las palabras sigue una distribución de tipo potencial, esto es, la frecuencia de la n-ésima palabra más frecuente es proporcional a 1∕na, donde a es un parámetro fijo que depende de la lengua en particular (a suele ser mayor que 1). Otra manera de enunciar la ley de Zipf es decir que una palabra es inversamente proporcional a su rango en la tabla de frecuencias de palabras. Cuando se dibuja la gráfica en escala logarítmica (log-log), la ley de Zipf se manifiesta como una recta decreciente. Es posible comparar los perfiles de frecuencias con el perfil de referencia (perfil de Zipf). En general, se pueden comparar dos perfiles arbitrarios entre sí. En efecto, sean fr,gr las frecuencias de dos perfiles dados para los símbolos que están en la posición r y sea S el número total de símbolos. La distancia E entre los perfiles viene dada por Si se quiere comparar con el perfil de Zipf, basta hacer gr = , donde g1 es el símbolo más frecuente. En la figura 4 se ve la comparación de perfiles musicales con el perfil de Zipf, que es la línea recta en gris. Volveremos a ellos más tarde. Figura 4: Perfiles de frecuencia de los símbolos 2.2. Entropía de orden superior La novedad que presenta Febres y Jaffe es la idea de una entropía de segundo orden. La entropía habitual la llaman entropía de primer orden y está dada por la fórmula h = -P log D(P), como vimos más arriba. Esta entropía se usa para ver cuánto se desvía el perfil de frecuencias de los símbolos del ideal de la ley de Zipf (la línea recta). Sabemos que cuanto más uniformes sean las frecuencias más alta es la entropía (de primer orden). Esto, sin embargo, es insuficiente para discriminar la complejidad de una pieza. La entropía de segundo orden se centra en los huecos entre las frecuencias de los símbolos en orden con respecto a la distribución dada por la ley de Zipf. Por tanto, detecta los cambios de pendiente en el perfil de las probabilidades de los símbolos. Para el cálculo de esta entropía de segundo orden, se definen las probabilidades Zi, donde i varía en el número de símbolos, como Zi = , siendo g la pendiente de la recta de la ley de Zipf y k una constante de modo que la línea recta empiece en la probabilidad p1, la primera probabilidad. La entropía de segundo orden se calcula en base a las diferencias pi - Zi, como se puede ver en la figura 5; para más detalles técnicos, véase el apéndice S2 de [FJ17]. Figura 5: Entropía de segundo orden La tabla de abajo muestra los resultados obtenidos calculando los dos tipos de entropía. El término MusicNet que vemos en la tabla se refiere a la clasificación de los estilos estudiados en el trabajo. Por ejemplo, la música occidental se divide en académica y popular/contemporánea, y cada una de estas categorías se divide en otras subcategorías. Dado que las entropías son esperanzas de variables aleatorias, los autores dan los valores medios junto con las desviaciones típicas para evaluar la dispersión. Figura 6: Medidas de diversidad, entropía y entropía de segundo orden A partir de los datos de la tabla anterior y tomando como referencia la ley de Zipf, es posible calcular la distancia entre piezas musicales, como muestra la siguiente tabla. En este caso vemos incluso la distancia entre dos interpretaciones de la misma pieza, la tocata y fuga en re menor de Back interpretada al órgano y al piano. También vemos la comparación entre distintas interpretaciones de piezas de diversa índole. Figura 7: Distancias entre piezas Una vez que se obtienen las distancias entre las piezas se pueden estudiar aspectos interesantes tales como la agrupación (a través de árboles filogenéticos, por ejemplo) o tendencias. Febres y Jaffe proponen tres medidas de complejidad, la diversidad específica, la entropía y la entropía de segundo orden que, combinadas entre ellas, llegan al estudio del estilo más de lo que trabajos previos habían logrado. En su artículo, usando estas medidas, comparan distintos estilos musicales de los cuales llegan a identificar algunas regularidades estadísticas. La lección que sacamos del trabajo de Febres y Jaffe es que el estilo es un fenómeno complejo y que hay que estudiarlo con un arsenal diverso y profundo de medidas estadísticas. Bibliografía [Cox10] G. Cox. On the relationship between entropy and meaning in music: An exploration with recurrent neural networks. In Proceeding Annual Meeting of the Cognitive Science Society, Portland, USA, August 2010. [FJ17] G. Febres and K. Jaffe. Music viewed by its entropy content: A novel window for comparative analysis. PLoS ONE, 12(10):1–30, 2017. [Góm16a] P. Gómez. Música y Probabilidad (II), diciembre de 2016. [Góm16b] P. Gómez. Música y Probabilidad (I), noviembre de 2016. [Góm20a] P. Gómez. Música y Entropía - II, agosto de 2020. [Góm20b] P. Gómez. Música y Entropía - I, julio de 2020. [Hur06] David Huron. Sweet Anticipation. MIT Press Books, Massachusetts, 2006. [LJ83] F. Lerdahl and R. Jackendoff. A Generative Theory of Tonal Music. MIT Press, Cambridge, Massachussetts, 1983. [Mav05] P. Mavromatis. A hidden markov model of melody production in greek church chant. Computing in Musicology, 14:93–12, 2005. [Mey56] Leonard Meyer. Emotion and Meaning in Music. University of Chicago Press, Chicago, 1956. [PI07] P. J. Ponce de Leon and J. M. Iñesta. Pattern recognition approach for music style identification using shallow statistical descriptors. IEEE Transactions on Systems, Man, and Cybernetics, Part C (Applications and Reviews), 37(2):248–257, 2007. [Roh11] M. Rohrmeier. Towards a generative syntax of tonal harmony. Journal of Mathematics and Computation in Music, 5:35–53, 2011. [Sha10] C. E. Shannon. A Mathematical Theory of Communication. Bell System Technical Journal, 27:379–423, 623–656, julio, octubre 2010. [vKB04] P. van Kranenburg and E. Backer. Musical style recognition–a quantitative approach. In Conference on Interdisciplinary Musicology (CIM04), pages 1–10, Graz, Austria, Abril 2004.
Jueves, 10 de Septiembre de 2020 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Música y matemáticas
Autor:Paco Gómez Martín (Universidad Politécnica de Madrid)
1. Modelos musicales Esta es la segunda entrega de la serie Música y entropía. En el primer artículo [Góm20] examinamos de manera general el concepto de entropía y su relación con la música y el análisis musical. Describimos allí el origen moderno de ese interés —el trabajo de Meyer [Mey56]— así como ideas recientes de la aplicación de la entropía al análisis musical. Consideramos tanto el potencial analítico de la entropía como sus limitaciones. En este artículo vamos a examinar la entropía en el contexto más general de los modelos musicales; en particular, vamos a hacer una recensión del artículo Minimum description length modeling of musical structure [Mav08]. Este artículo contiene una profunda reflexión sobre los modelos musicales, la complejidad de estos (aquí es donde entra la entropía), una propuesta de modelo, los modelos de descripción mínima, y una aplicación de estos al canto litúrgico griego. 1.1. Modelos El artículo de Mavromatis abre con una frase contundente: ”el problema de la selección de los modelos es de suma importancia en todos los estudios empíricos”. La primera pregunta que surge aquí es: ¿qué es un modelo? El concepto de modelo aparece al final de un camino de conceptos previos que empiezan con el concepto mismo de fenómeno. Un fenómeno es cualquier suceso que puede ser observado. Por observable entendemos sucesos que pueden ser percibidos por los sentidos. Los fenómenos se pueden clasificar de muchos modos, pero hay dos grandes categorías: los fenómenos cuantificables y los fenómenos no cuantificables. Los primeros admiten una descripción numérica y los segundos, no. En el caso de la entropía, los modelos musicales van a ser con frecuencia cuantificables, esto es, se van a construir en base a los aspectos cuantificables de la música tales como la frecuencia de las notas, su altura, la duración, los grados de la escala, entre otros. Los modelos cuantificables suelen ser modelos matemáticos y computacionales. Un modelo matemático consta de los siguientes componentes: (1) Una entrada, normalmente un conjunto de números, vectores u otras estructuras numéricas; (2) Un conjunto de variables independientes, que están asociadas con la descripción conceptual del fenómeno bajo estudio. Con frecuencia, se relacionan con las causas del fenómeno en cuestión; (3) Un conjunto de parámetros, los cuales sirven para refinar y ajustar el modelo; (4) Un conjunto de variables dependientes, que representan el efecto observado en el fenómeno; (5) Un conjunto de relaciones, que conectan las variables independientes y las variables dependientes. Estas relaciones se suelen dar en forma de funciones, aplicaciones, transformaciones u operadores; (6) Una salida son el resultado de una observación particular. Sin embargo, como dijimos arriba, el modelo matemático es parte de un proceso más general llamado modelización matemática. Los bloques constituyentes de una modelización matemática son: (1) Formulación del problema. Se escoge un fenómeno de interés y se identifica un problema relativo a él. La formulación del problema también recibe el nombre de pregunta de investigación. (2) Sistematización. Mediante un proceso de abstracción se seleccionan aquellos objetos y relaciones del fenómeno que son relevantes para el problema en cuestión. Este proceso se llama abstracción. (3) Creación del modelo matemático. Los objetos y relaciones del apartado anterior se traducen a su vez en objetos y relaciones en el mundo y lenguajes matemáticos. En la creación del modelo matemático se tiene en cuenta el principio de parsimonia. Este establece que un buen modelo minimiza su complejidad y maximiza su poder explicatorio y predictivo. En otras palabras, siempre es preferible la explicación científica más simple que concuerde con la realidad. Este principio se conoce también con el nombre de principio de la navaja de Occam. (4) Resolución del problema matemático. Uso de métodos matemáticos para resolver los problemas derivados de la modelización del fenómeno. (5) Interpretación de los resultados y conclusiones en el contexto del fenómeno y del problema planteado. (6) Evaluación de la validez del modelo por comparación con el comportamiento del fenómeno o bien con la teoría previamente consolidada acerca del mismo. Es de particular importancia la validación del modelo en cuanto a su capacidad de predicción. Para más información sobre modelos, consultése el artículo de la Wikipedia Conceptual model [Wik20]. La figura de abajo resume la discusión anterior. Figura 1: Modelización matemática 1.2. Evaluación de modelos Normalmente, la calidad o bondad de un modelo se evalúa en función de cuán precisas son sus explicaciones y predicciones hechas a partir de los datos observados. Mavromatis da un paso conceptual hacia delante y propone evaluar la calidad de un modelo en base la capacidad explicativa y predictiva del modelo y además en base a la propia complejidad del modelo (a igual capacidad explicativa y predictiva, son más preferibles los modelos simples a los modelos complejos simplemente por pura aplicación del principio de parsimonia). La manera en que Mavromatis evalúa la complejidad de los modelos tomando prestadas ideas de la teoría de la información. En un modelo musical, la estructura musical está caracterizada por variables simbólicas que representan diversos aspectos de la música tales como la altura de sonido, duración, dinámica, armonía, etc. Un modelo trata de identificar esas variables y su aparición. Esto da lugar a su vez a lo que Mavromatis llama restricciones sintácticas, las cuales dependen del estilo musical. Los valores que toman las variables del modelo se presentan en forma de regularidades estadísticas, las cuales dan lugar a patrones de comportamiento musical. Un campo fecundo de investigación musical es la detección de esos patrones. Volviendo al concepto de parsimonia, perseguiremos que nuestro modelo sea tan simple como sea posible y al mismo tiempo tenga una buena capacidad explicativa y predictiva. Un buen ajuste entre un modelo y los datos se llama bondad del ajuste. En la figura de abajo tenemos un ejemplo sencillo. Supongamos que en nuestro fenómeno observamos una variable dependiente y, representada en el eje Oy, como función de una variable independiente x, representada en el eje Ox. Los puntos negros son las observaciones; se trata de pares de puntos (x1,y1),…,(xn,yn), suponiendo n observaciones. La siguiente pregunta es qué tipo de relación hay entre las variables x e y (en nuestro ejemplo ambas son numéricas). Un modelo muy simple es el modelo lineal, que supone que hay una relación lineal del tipo y = ax + b (una recta), donde a,b son parámetros a determinar en función de los datos observados. La recta de color azul es la recta que mejor explica los datos, mientras que la recta roja arroja un peor modelo. La bondad del modelo es un valor que en la figura aparece como SSE; el mejor modelo es el que tiene este valor lo más bajo posible. Este valor mide los errores cometidos por el modelo al aproximar los datos y en la figura está dado por las distancias verticales de los puntos a la recta. La figura 3 muestra las tres situaciones. Figura 2: Bondad del ajuste en modelos Es posible construir modelos que se ajusten muy muy bien a los datos demasiado bien, reflejando idiosincrasias insignificantes, a base de añadir variables extra. Esto se llama sobreajuste. Esto ocurre cuando el modelo no acierta con el nivel adecuado de abstracción. Produce modelos excesivamente complejos. Lo contrario se llama subajuste: el modelo es pobre y se pierde características importantes del fenómeno. En la figura 3 (a) tenemos un caso de subajuste. El conjunto de datos, que claramente sugiere una forma curva, es aproximado por una recta. En la figura 3 (b) vemos una curva que pasa por todos los puntos observado y el ajuste es perfecto (comete error cero), pero este modelo requiere un alto número de variables independientes que no son parte esencial del modelo. Por último, la figura 3 (c) muestra un modelo más razonable, con pocas variables independientes y con un error de ajuste razonable. Figura 3: Subajuste y sobreajuste (figura tomada de [Mav08]) 2. Modelos de longitud de descripción mínima El modelo propuesto por Mavromatis en su trabajo es un modelo de longitud de descripción mínima (LDM, de aquí en adelante). Este modelo es de tipo inductivo, esto es, se construye a partir de la observación de datos asociados al fenómeno bajo estudio. El modelo LDM no solo evalúa el ajuste de los datos, como los modelos clásicos, sino también evalúa la propia complejidad del modelo. Cualquier regularidad detectada en los datos se puede usar para comprimir ese conjunto de datos. Comprimir aquí significa codificar los datos observados de una manera más corta que si los datos se dejan sin comprimir. Cuantas más regularidades se observen en los datos, más se podrán comprimir estos. Por ejemplo, si los datos se pueden codificar a partir de símbolos del alfabeto A = , la cadena C1 = aaaa se puede comprimir como a4, pero la cadena C2 = aabb se puede comprimir como a2b2, cuya compresión es más larga que a4. En este caso, la codificación de C1 tiene longitud 2 (dos símbolos para a2) y la de C2 tiene 4. El LDM mide la bondad de un modelo por la capacidad de comprimir los datos en base a sus regularidades y por la capacidad de comprimirse a sí mismo. Un modelo LDM está constituido por varias piezas. Primero, hay un conjunto de datos D, típicamente obtenidos de la observación del fenómeno. En nuestro caso, consistirán en piezas musicales extraídas de algún corpus musical. A continuación, un modelo M que modeliza el fenómeno, en particular, los datos D. Después, una función de una codificación C, que transforma los datos en un cadena de caracteres tomados de un alfabeto (puede ser un conjunto de números, los bits 1 y 0, caracteres alfanuméricos, etc.). A continuación, una función LC que mide la longitud del código C. Por último, una función de descripción, que está dada por donde C1,C2 son esquemas de codificación, el primero del modelo M y el segundo de los datos. La expresión D∣M significa la codificación de D según el modelo M. Las codificaciones tienen que tener la propiedad de ser únicas, esto es, dos datos distintos no pueden codificarse por la misma cadena. Esto asegura que se recupera correctamente la información cuando se pasa del código a los datos. En particular, para que esta propiedad se cumpla se requiere que ninguna codificación produzca una cadena que sea prefijo de otra; para más cuestiones técnicas de este tipo recomendamos al lector que consulte el apéndice del artículo de Mavromatis [Mav08]. En general, las mejores codificaciones asignan los códigos más cortos a los símbolos más probables o frecuentes. Esto introduce la idea de probabilidad en el modelo, ya que se hace el recuento de las cadenas más frecuentes en la codificación. Se sabe que siempre hay una codificación óptima que minimiza la esperanza de la longitud de la descripción dada por la distribución de probabilidad P(D∣M). Se llama código de Shannon-Fao. Su función de longitud es En este punto interviene el teorema de Shannon, que establece que la esperanza mínima de la longitud de la codificación para la salida de un modelo probabilístico M con distribución P(x∣M) está dado por donde X es el conjunto de símbolos de la codificación. La cantidad HM recibe el nombre de entropía. La idea de Mavromatis es encontrar una función de codificación que se aproxime lo más posible a la cota impuesta por el teorema de Shannon. La función de codificación de Mavromatis se define como sigue. Sea una distribución de probabilidad pi sobre el conjunto de k símbolos y d un parámetro de truncamiento. donde L*(d) está definida por La L*(d) solo se suma sobre los términos positivos y por tanto la suma anterior es finita. 3. Modelos de Markov A continuación hacemos una revisión breve de las cadenas de Markov, que es un tipo de modelos probabilísticos. Este tipo de modelos son muy comunes en música, como ya hemos glosado en otras entregas de esta columna. Mavromatis los usa en conjunción con su modelo LDM. Una cadena de Markov es un modelo de un fenómeno que tiene los siguientes componentes: Un conjunto finito de estados ; Un conjunto de probabilidades constantes pij del estado si al estado sj; estas probabilidades reciben el nombre de probabilidades de transición. Falta de memoria: Se cumple la condición de que la probabilidad de ir del estado si al estado sj solo depende del estado actual. La matriz de transiciones es s1 s2 s3 T = s1 s2 s3 Por ser los números pij probabilidades, las filas de esta matriz siempre suman 1. En la figura de abajo se ve un esquema que refleja la estructura de una cadena de Markov. Este tipo de diagramas, llamados diagramas de estado, son comunes para describir cadenas de Markov. Figura 4: Una cadena de Markov de tres estados La condición de falta de memoria aparece de manera más general en modelos más abstractos. Se puede pedir que la probabilidad de ir a un estado a otro dependa de un cierto número de estados previos. Por ejemplo, en la figura de abajo a la izquierda se tienen las probabilidades de un conjunto de tres notas entre sí (la, do# y mi♭). En este caso, hablamos de matrices de primer orden. A la derecha de la figura aparecen las probabilidades de continuación de las secuencias de dos notas para otro conjunto de notas diferente (la, do , sol). Ahora la matriz es de orden dos (depende de dos estados previos). Figura 5: Cadenas de Markov aplicadas al análisis musical 4. Modelos de Markov de longitud de descripción mínima Mavromatis aplica los modelos de Markov de longitud de descripción mínima al canto litúrgico griego. Se trata de una música en que letra y melodía se asocian por medio de reglas estilística tanto musicales como prosódicas. En un trabajo anterior [Mav05] Mavromatis demostró la importancia estructural de ciertas fórmulas arquetípicas melódicas o arquetipos melódicos en este tipo de canto litúrgico. Dichas fórmulas son patrones melódicos de entre 6 a 9 notas y que se pueden acomodar a diferentes patrones prosódicos, incluyendo la longitud y los patrones de acentuación de las palabras. En la siguiente figura se muestran esos arquetipos melódicos; en este caso son todas fórmulas cadenciales. Figura 6: Fórmulas arquetípicas de la melodía en el canto litúrgico griego (figura tomada de  [Mav08]) En la figura se ha usado la siguiente convención: dos x significa sílaba acentuada y una x sílaba no acentuada. Asociado a este estilo musical tenemos unas cuantas reglas que rigen la formación y la sintaxis de los arquetipos melódicos (las reglas sintácticas de las que hablábamos arriba): R1 El sol final del arquetipo cae en sílaba acentuada. R2 Si la sílaba final está acentuada, entonces se asigna al sol final. Si, por otro lado, la última sílaba acentuada está seguida de sílabas no acentuadas, entonces en general se le asigna al penúltimo fa. En dicho caso, la sílaba no acentuada siguiente se asigna al sol. R3 Como máximo un sílaba acentuada puede intercalarse entre el sol inicial y la última sílaba acentuada del arquetipo. Si existe tal sílaba, el acento se asigna o bien al fa o al mi. R4 Una vez que las sílabas acentuadas se han fijado según las reglas R1-R3, el número de sílabas no acentuadas en el medio se puede acomodar mediante inserciones o borradas de las notas necesarias. El siguiente paso que da Mavromatis es construir la cadena de Markov. Empieza con un único estado s0 y calcula el total de LDM según las fórmulas que vimos antes. A partir de aquí empieza un proceso en que va añadiendo más estados; llega a hacer hasta 14 estados. En cada paso, calcula las probabilidades a partir de las frecuencias que encuentra en el corpus. En la figura siguiente se ve la cadena de Markov para 6 nodos; en la figura xx significa sílaba acentuada y x_ sílaba no acentuada. Figura 7: El modelo MDL En la tabla de abajo se ven los valores de LDM para los datos y el modelo así como el total de la LDM; nS se refiere al número de nodos de la cadena de Markov. El mínimo de la LDM total se alcanza con 10 nodos (marcado con un asterisco en la tabla). Figura 8: El modelo MDL De la ejecución del modelo sobre el corpus de canto litúrgico griego, Mavromatis obtiene las siguientes conclusiones: El modelo de un estado identifica las frecuencias de cada nota. El modelo de dos estados detecta el papel privilegiado de la nota sol como nota de referencia. El modelo de tres estado capta el papel de las notas fa y la como vecinas de sol El modelo de cuatro estados discierne entre el sol final e inicial. El modelo de cinco estados identifica el papel de la nota mi. En este punto cada estado de la cadena de Markov tiene una definición en términos de altura bien definida. El modelo de seis estados implementa la regla R1. El modelo de 7 estados aprende el contorno sol-fa-mi-fa-sol. El resto de los estados hasta el estado de 10 nodos incrementa progresivamente el aprendizaje de las reglas sobre las alturas. Dado que la LDM mínima se alcanza en 10 nodos, se elige este modelo como el óptimo. Usar más nodos daría lugar a sobreajuste y usar menos nodos a subajuste.   Bibliografía [Góm20] P. Gómez. Música y Entropía - I, julio de 2020. [Mav05] Panayotis Mavromatis. A hidden Markov model of melody production in Greek church cant. Computing in Musicology, 14:93–112, 2005. [Mav08] Panayotis Mavromatis. Minimum Description Length Modeling of Musical Structure. Journal of Mathematics and Music, 0:1–21, enero 2008. [Mey56] Leonard Meyer. Emotion and Meaning in Music. University of Chicago Press, Chicago, 1956. [Wik20] Wikipedia. Conceptual model, consultada en 2020.
Sábado, 01 de Agosto de 2020 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Música y matemáticas
Autor:Paco Gómez Martín (Universidad Politécnica de Madrid)
Inauguramos una serie en la que vamos a examinar el concepto de entropía y su aplicación en el análisis musical. A primera vista, no parece que ambos conceptos tengan mucha relación entre sí o si la tienen que sea una relación directa. Además, hay varios conceptos de entropía. En Mecánica Estadística, entropía se refiere al número de configuraciones microscópicas que son consistentes con las cantidades macroscópicas que caracterizan un sistema, tales como el volumen, la presión o la temperatura (véase [Wik]). Esta entropía, llamada entropía termodinámica, está definida de manera que se puede interpretar como una medida del desorden interno del sistema y cuanto mayor es el valor de la entropía, mayor es el desorden del sistema. La segunda ley de la termodinámica establece que en un sistema aislado la entropía nunca decrece y que esta tiende a su máximo valor posible (máximo desorden del sistema). Más tarde, Shannon, en un artículo pionero [Sha10] A Mathematical Theory of Communication, tomó las ideas principales encerradas en el concepto físico de la entropía y las aplicó a la Teoría de la Información. Definió la entropía como la cantidad de información asociada a un mensaje en base a la sorpresa o novedad contenida en los símbolos de ese mensaje. Tal y como pasaba con la entropía termodinámica, la entropía de la teoría de la información está descrita en términos de distribución de probabilidades. Formalmente, la entropía de Shannon se define a partir de un conjunto de símbolos, xi, cada uno con probabilidad de aparición igual a P(xi), donde i = 1,…,n. Las parejas (xi,P(xi)) forman la distribución X de probabilidad de ese conjunto de símbolos. La fórmula matemática de la entropía de Shannon es En la práctica las probabilidades de los símbolos se obtienen observando la transmisión de los mismos. Cuando se aplican estas ideas al análisis musical, en primer lugar se interpreta la propia música como un conjunto de símbolos. Si queremos hallar la entropía de las alturas de sonido, entonces el conjunto de símbolos son las 12 alturas (si se consideran clases de alturas; en otro caso, cada altura es un símbolo distinto). Las probabilidades de dichas alturas (símbolos) se calculan a partir de las frecuencias de aparición en una pieza concreta o en general en un corpus musical. Esta famosa fórmula establece que la máxima cantidad de información contenida en mensajes escritos con los símbolos xi ocurre cuando cada símbolo tiene probabilidad 1∕n. Esta fórmula se puede interpretar como la esperanza de -log 2(X). La variable aleatoria -log 2(X) recibe el nombre de cantidad de información de X. Además, la entropía representa un límite absoluto de la capacidad de codificar un mensaje sin pérdidas en un canal sin ruido, resultado que es importante en teoría de la información. Tras esta breve definición de entropía, surge la pregunta de cómo se relaciona la entropía con la música y su análisis. La música es un fenómeno complejo y altamente estructurado. Desde el principio, músicos y musicólogos buscaron afanosamente conceptualizar, detectar, medir e interpretar esa complejidad. Asociada a la cuestión del estudio de la complejidad musical está una cuestión muy cercana: cómo se genera el significado en la música. De hecho, una cuestión aun más básica, y que todavía está bajo intenso estudio, es la de definir qué es el significado musical (véanse [Mey56, Bro00, Coo01, AaQ17, Chu19] y sus referencias). Muchos investigadores pensaron que la complejidad de la música estaba entroncada con su capacidad para generar significado. Meyer, en su famoso libro del año 56, Emotion and Meaning in Music [Mey56], afirma que el significado musical proviene de la capacidad de que un suceso musical implique otro suceso musical. He aquí sus palabras textuales: Musical meaning arises when an antecedent situation, requiring an estimate as to the probable modes of pattern continuation, produces uncertainty as to the temporal- tonal nature of the expected consequent. (Meyer, 1957, p. 416) Esta teoría supone que los sucesos musicales transcurren en base a un argumento musical cuya lógica encadena dichos sucesos uno tras otro. La mayor o menor sorpresa del argumento musical es proporcional al interés musical que despierta la pieza. Meyer ofrece, pues, una teoría en que explica la emoción musical en base a la creación y satisfacción de expectativas musicales. Obsérvese que Meyer asume una definición de significado musical en que lo extra-musical tiene poca importancia, esto es, el significado se genera a partir de los hechos meramente musicales. Otras teorías acuden, en cambio, a paralelismos con el lenguaje para explicar el significado musical. En un artículo publicado un año después que su libro, Meaning in music and information theory, [Mey57], Meyer ya formula su teoría del significado musical en términos de teoría de la información. En particular, afirma que “dado un antecedente musical, este induce una estimación de la probabilidad de las formas de continuación en el oyente” (página 416). Esta idea pronto atrajo la atención de muchos investigadores, quienes propusieron modelos de todo tipo para explicar la generación de significado musical. Por citar los principales modelos, tenemos Jackendoff y Lerdahl [LJ83] y su teoría generativa de la música tonal, el modelo de implicación-realization de Narmour [Nar90], el modelo de sistema y contraste de Bimbo y sus colaboradores [BDSV12], el modelo de tensión musical de Margulis [Mar05], la teoría de la expectativa de Huron [Hur06] o los modelos probabilísticos de Temperley [Tem10]. La teoría de Meyer contenía varios elementos que apuntaban hacia el uso de la entropía. Por un lado, al hablar de la estimación de la probabilidad de la continuación del discurso musical ya estaba sentando las bases para los modelos probabilísticos. Por otro lado, ¿cómo se estiman esas probabilidades? El oyente de una pieza musical va registrando los eventos musicales que oye y en función de ello y otros factores (familiaridad con el estilo, formación musical, conocimiento de la pieza en concreto) va construyendo un conjunto de probabilidades con que estima el próximo evento musical. Si el siguiente evento musical efectivamente confirma la estimación del oyente, la música producirá significado que si dicho evento rompe drásticamente su estimación. Dicho de otro modo, si la música es muy predecible, no tendrá interés musical para el oyente, mientras que si la música está llena de sorpresas, entonces sí generará mucho interés. A partir del trabajo de Meyer, muchos investigadores examinaron la cuestión de definir formalmente el significado musical a través de la entropía. Por orden cronológico, los esfuerzos más representativos se encuentran en los trabajos de Youngblood [You58], Cohen [Coh62], Knopoff y Hutchinson [KH83], Snyder [Sny90], Margulis [Mar05], Cox [Cox10], Laney y sus colaboradores [LSC15] y Febres y Jaffe [FJ17]. En efecto, la entropía es una medida de la cantidad de información contenida en la distribución de una variable aleatoria (véase [Góm16] para un repaso de estos conceptos). Cuanto más incertidumbre hay sobre los valores que toma la variable aleatoria, mayor es su entropía. Por otro lado, se puede interpretar que una pieza musical es más compleja cuanto más impredecible sea. Y entonces surge la deseada relación entre complejidad musical/significado musical y entropía. Sin embargo, Margulis [MB08], en un trabajo de 2008, llevó a cabo un análisis sistemático de la entropía como herramienta analítica y apunto a tres grandes problemas. El primero es de tipo epistemológico y es cómo hacer preguntas que sean relevantes musicalmente dentro del marco de la teoría de la información. La segunda es cómo recoger datos musicales que necesitan los modelos computacionales de la teoría de la información. La tercera es cómo determinar la unidad básica de análisis (la altura de sonido, el ritmo, las frases, los motivos o una combinación de ellos) que proporcione resultados válidos. Una de las principales virtudes de la entropía es que se puede concebir como una medida de la complejidad con que los elementos de una pieza están integrados entre sí. Sin embargo, no está tan claro cómo relacionar la entropía con la percepción del oyente de los elementos musicales. Varios autores [SJAN99, Mar14] han probado que los humanos pueden tomar propiedades estadísticas complejas cuando están escuchando música. Como Margulis ha escrito con elocuencia, “escuchar música es al mismo tiempo aprender a escuchar música”. Esto puede justificar el uso de la entropía, pero sigue quedando la cuestión de si la entropía se calcula sobre las mismas estadísticas que las que extrae un oyente humano. Otra cuestión fundamental es que la entropía no tiene en cuenta el significado intrínseco de los símbolos musicales, sino únicamente su frecuencia. Tampoco tiene en cuenta el orden en que estos aparecen y es razonable pensar que dicho orden tiene cierta importancia. Como veremos en las siguientes entregas de esta serie, los investigadores han hecho un gran esfuerzo por aplicar la entropía al análisis musical de manera que se superen estos obstáculos y se obtengan resultados que tengan relevancia en la explicación del fenómeno musical. Bibliografía [AaQ17] Pedro Atã and João Queiroz. Semiotic niche construction in musical meaning. Recherches sémiotiques / Semiotic Inquiry, 37(1-2):75–87, 2017. [BDSV12] Frédéric Bimbot, Emmanuel Deruty, Gabriel Sargent, and Emmanuel Vincent. Semiotic structure labeling of music pieces: concepts, methods and annotation conventions. In ISMIR (International Symposium on Music Information Retrieval), Curitiba, Brazil, October 2012. [Bro00] Candace Brower. A cognitive theory of musical meaning. Journal of Music Theory, 44(2):323–379, 2000. [Chu19] Andrew J. Chung. What is musical meaning? theorizing music as performative utterance. Music Theory Online, 25(1), 05 2019. [Coh62] J. E. Cohen. Information theory and music. Behavioral Science, 7(2):137–163, 1962. [Coo01] Nicholas. Cook. Theorizing musical meaning. Music Theory Spectrum, 23(2):170–195, 2001. [Cox10] G. Cox. On the relationship between entropy and meaning in music: An exploration with recurrent neural networks. In Proceeding Annual Meeting of the Cognitive Science Society, Portland, USA, August 2010. [FJ17] G. Febres and K. Jaffe. Music viewed by its entropy content: A novel window for comparative analysis. PLoS ONE, 12(10):1–30, 2017. [Góm16] P. Gómez. 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Martes, 14 de Julio de 2020 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Música y matemáticas
Autor:Paco Gómez Martín (Universidad Politécnica de Madrid)
En este mes de mayo, en que todavía estamos de cuarentena, he optado por hacer una presentación sobre matemáticas y ritmo, con tono divulgativo y humorístico. El material de la presentación son los ritmos euclídeos, que ya se han tratado de manera formal en otras columnas de esta sección. Espero que lo disfrutéis.
Lunes, 18 de Mayo de 2020 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Música y matemáticas
Autor:Paco Gómez Martín (Universidad Politécnica de Madrid)
El día 4 de este mes tuve el privilegio de dar una conferencia en línea en la Universidad Internacional de La Rioja (UNIR). Me pidieron que hiciera un recorrido panorámico por el campo del MIR (Music Information Retrieval, en sus siglas inglesas), que a falta de un término en castellano yo llamo Computación Musical. Hice una presentación Prezi para esa conferencia, que constituirá la columna de este mes de abril. Deseo a los lectores de esta columna que estén bien de salud física y emocional en estos tiempo inciertos y duros. Presentación Prezi: https://prezi.com/mkzycasyqlki/?utm_campaign=share&utm_medium=copy
Lunes, 06 de Abril de 2020 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Música y matemáticas
Autor:Paco Gómez Martín (Universidad Politécnica de Madrid)
En la columna de este mes, que llega algo tardía, quisiera recordar la figura de Godfried Toussaint, quien falleció súbitamente este verano, mientras daba una conferencia en Japón. Una noticia triste, sin duda. Fue mi director de tesis allá por los años 94 a 96. Fueron años de muchísimo aprendizaje y mucha transformación personal. Él me influyó mucho y en muchos aspectos. Y no solo a mí; muchos de sus alumnos, algunos compañeros míos de la época de la tesis y posteriores compañeros de investigación, también se vieron influidos enorme y positivamente por Godfried (lo llamaré así a partir de aquí). Cuando murió Jit Bose y Stephan Langerman crearon un blog, Godfried Toussaint Memorial [BL20], en que sus antiguos alumnos y amigos escribieron testimonios. Dichos testimonios son impresionantes por el cariño y la gratitud que destilan. Se puede ver el denominador común del espíritu de Godfried. Abajo, humildemente, ofrezco el mío en esta columna. Se encuentra en inglés y castellano. Godfried’s death came to me as a very painful surprise. As in the case of others, Godfried was friend, teacher, mentor, and adventure mate. But before anything else, he was a friend, a very good friend. I met him in 1992 at McGill. Soon his love for research and especially his approach to it made a great impact on me. I came from a place where research was conceived as an individual work that you would do with your supervisor, almost secretly, where only the results were important (you weren’t important). With Godfried, however, research was about beauty and fun. He conveyed that sense of beauty through a fierce passion for the subject as well as excellent communication skills (he was a great orator and writer). He was able to raise above the sea of results in the area and spot new virgin territories where to extract new and exciting problems. Godfried also was a polymath. He was a musician and so was I, and very soon we connected and started to play together back in 1992. He’d visit me in Madrid on a regular basis and every time he was in town I organized some kind of gig, concert, show with more friends (Giovanna, Shima, Stefan, Andrew). I remember that we started to do research in Mathematical Music Theory at the same time, around 2002. We had so much fun by doing so! He’d invite me to his Bellairs workshops, where I met so many fascinating researchers. Among other Godfried’s interests, we find dance, literature (he wrote a couple of novels), cinema, sports. Another distinctive trait of Godfried was his sense of humor. He was always laughing. He could find reasons to laugh about in the smallest details of daily life, so good-humored he was! When I first met him, I happened to have an obsession for water guns. I’d like to squirt people with small water guns pretending I was sneezing or something along these lines. I challenged him to go to a bar and squirt the patrons just to see their reactions (sometimes we’d aim at the most beautiful women in the bar just to strike up conversation with them). And he’d follow down my crazy paths. We laughed like hell. He was that type of guy. The last one indelible impact Godfried made on me was of social nature: the way he interacted with students. Godfried treated them as their peers in the adventure of learning. More important, he treated them as human beings, and considered that every single student had very valuable things to put on the table. I remember with great joy the lunches that we had together, him and other students, every single day of workweek. We discussed research problems, laughed, talked about our worries, personal and otherwise; in a nutshell, we celebrated life and the human condition. Yes, Godfried was good at living life. Thank you, friend. I miss you. (La muerte de Godfried vino como una dolorosa sorpresa. Como en el caso de otros, Godfried fue un un amigo, profesor, mentor y compañero de aventuras. Pero antes que nada, Godfried fue un amigo. Lo conocí en 1992 en la universidad de McGill. Pronto su amor por la investigación y especialmente su enfoque causaron un gran impacto en mí. Venía de un sitio donde la investigación se concebía como un trabajo individual que hacías con tu director de tesis, casi secretamente, donde solo los resultados eran importantes (tú no eras importante). Con Godfried, sin embargo, la investigación era una fuente de belleza y diversión. Él era capaz de transmitir un sentido de la belleza a través de una pasión fiera por el tema junto a unas destrezas de comunicación (fue un orador y escritor). Godfried era capaz de erguirse por encima de una mar de resultados en la disciplina y avistar territorios vírgenes de donde extraer nuevos y emocionantes problemas. Godfried era también un polímata. Era músic y yo también, y muy pronto conectamos y empezamos a tocar juntos allá por el año 92. Me visitaba en Madrid con regularidad y cada vez que estaba aquí organizaba algún tipo de concierto, evento, show, con más amigos (Giovanna, Shima, Stephan, Andrew). Recuerdo que empezamos a hacer investigación en teoría matemática de la música a la vez, alrededor de 2002. ¡Nos lo pasamos también haciéndolo! Él me invitaba a sus talleres en Bellairs (Barbados), donde conocí a tantos investigadores fascinantes. Entre los intereses de Godfried, encontramos la danza, la literatura (escribió un par de novelas), el cine, los deportes. Otra característica distintiva de Godfried fue su sentido del humor. Siempre se estaba riendo. Era capaz de encontrar razones para reírse en los más pequeños detalles cotidianos, ¡tal era su temperamento! Cuando lo conocí por primera vez, yo tenía una obsesión por las pistolas de agua. Me gustaba ir mojando a la gente con pequeñas pistolas de agua fingiendo que estaba estornudando o algo similar. Le reté a ir conmigo a un bar y mojar a los clientes para ver sus reacciones (algunas veces apuntábamos a las mujeres más bellas del bar sencillamente para trabar conversación con ellas). Y él me seguía en mis locuras. Nos reímos hasta el infinito. Ese era el tipo de persona que era. El último impacto indeleble que Godfried causó en mi fue el social: la manera en que interactuaba con los alumnos. Godfried los trataba (nos trataba) como compañeros en la aventura del aprendizaje. Aun más importante, los trataba como seres humanos y consideraba que cada alumno tenía algo valioso que poner encima de la mesa. Recuerdo con gran alegría las comidas juntos, él y otros alumnos, cada día de la semana sin faltar uno. Discutíamos problemas de investigación, reíamos, hablábamos sobre nuestras preocupaciones, personales y de otro tipo; en resumen, celebrábamos la vida y la condición humana. Sí, Godfried era bueno viviendo la vida. Gracias, amigo. Te echo de menos.) Godfried tuvo una carrera impresionante; véase su página web para ver sus logros académicos [Tou20] (publicó cerca de 300 artículos en revista de impacto en sus 50 años de carrera académica). En lo que respecta a la temática de esta columna, la relación entre las matemáticas y la música, fue uno de los investigadores más prolíficos en ese campo. Su especialidad siempre fue la teoría matemática del ritmo. Fue el descubridor de los famosos ritmos euclídeos, los ritmos en que las notas están distribuidas lo más regularmente posible entre los pulsos. Junto a él y otros coautores escribí varios artículos sobre este fascinante tema ([DGMM+08], [GPT09], [GMTT09]). También fue autor de un libro, The geometry of musical rhythm, donde expuso todos sus resultados y teorías sobre ritmo. Abajo lo tenemos en una foto tomada durante una visita a Madrid. Nos preparábamos para dar un concierto por la tarde tras una mañana de fértil investigación. Te digo adiós lleno de gratitud y emoción. Bibliografía [BL20] Jit Bose and Stephan Langerman. Godfried toussaint memorial. https://godfriedtoussaint.blogspot.com/, consultado en enero de 2020. [DGMM+08] Erik D. Demaine, Francisco Gomez-Martin, Henk Meijer, David Rappaport, Perouz Taslakian, Godfried T. Toussaint, Terry Winograd, and David R. Wood. The distance geometry of music. Computational Geometry: Theory and Application, 2008. [GMTT09] F. Gomez-Martin, P. Taslakian, and G. T. Toussaint. Interlocking and euclidean rhythms. Journal of Mathematics and Music, 3(1), 2009. [GPT09] F. Gómez, Talaskian P., and G.T. Toussaint. Structural properties of euclidean rhythms. Journal of Mathematics and Music, 3:1–14, 2009. [Tou20] Godfried Toussaint. Godfried toussaint mcgill web page. http://cgm.cs.mcgill.ca/~godfried/, consultado en enero de 2020.
Lunes, 17 de Febrero de 2020 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Música y matemáticas
Autor:Celia Rubio Madrigal (Universidad Complutense de Madrid)
Tras la serie de artículos Serialismo y matemática que ha ido de septiembre a noviembre de 2019, Celia Rubio, su autora, me presentó un cuarto texto, Re-escalando música. Este texto constituye la columna de diciembre de 2019. Es de nuevo una inmensa fortuna contar con la colaboración de Celia Rubio. Dejamos al lector con el placer de su escritura y concepto. 1. La visión artística de Schoenberg En julio de 1921, tras haber ideado los fundamentos del dodecafonismo, Schoenberg hizo el siguiente anuncio a su discípulo Josef Rufer [7]: He realizado un descubrimiento que asegurará la supremacía de la música alemana durante los próximos cien años. Durante la mayor parte de su vida, Schoenberg creyó que el público general acabaría aceptando la música dodecafónica del mismo modo que se habían aceptado los distintos sistemas tonales desde hacía siglos. Para él, la naturalidad del sistema dodecafónico residía en que era un paso más en el proceso musical histórico: desde el contrapunto y el desarrollo motívico, practicado por los grandes maestros de la tradición alemana, hasta la disolución de la tonalidad, anticipada por la música postwagneriana e impresionista. Todo era parte de un continuo, del desarrollo de la historia de la música. En palabras de Schoenberg [6]: Yo creo que la composición con doce sonidos, y la que muchos llaman erróneamente “música atonal”, no es el final de un viejo período, sino el comienzo de otro nuevo. Una vez más, como hace dos siglos, hay algo a lo que se llama anticuado; y una vez más, no se trata de ninguna obra en particular, [...] sino que otra vez sucede que es un estilo el condenado al ostracismo. Tras la muerte de Schoenberg en 1951, y durante algunas décadas más, su sistema compositivo fue venerado por los compositores jóvenes más brillantes (véase [4]), pero pronto se desvaneció de las salas de conciertos. El serialismo siempre se consideró una música académica, difícil de entender, apenas musical sino teórica. La complejidad de percibir esta música meramente por su estructura formal impidió, y todavía impide, que se disfrutara más allá de su estudio. Schoenberg intentó eximirse de culpa y a su vez culpó al oyente, quien según él creyó que no se esforzaba lo suficiente [6]: La composición con doce sonidos no tiene otra finalidad que la comprensión. A la vista de ciertos acontecimientos en la historia musical reciente, esto puede causar asombro, ya que las obras escritas en este estilo no han sido entendidas [...] Solo el compositor perfectamente preparado será quien componga para el oyente musical igualmente bien dispuesto. Al contrario de lo que Schoenberg creía, incluso el oyente experto, el que describe T. W. Adorno en su “Introducción a la sociología de la música” [1], tiene grandes dificultades para distinguir auditivamente todos los elementos que caracterizan el serialismo. Somos capaces de retener, a lo sumo, motivos de seis o siete notas, pero no de doce [3]; mucho menos de reconocer si una serie es transformación de otra. ¿En qué medida afectan las reglas dodecafónicas al discurso sonoro de una pieza? El dodecafonismo puede atribuirse el haber prescindido de algunas de las preconcepciones musicales más arraigadas, como la melodía, la consonancia o la tonalidad. Pero precisamente por eso es impopular, porque toma la disonancia y la pone al frente de toda la composición. Para Schoenberg, la aprobación del público no era el objetivo de su arte, y, de hecho, el desagrado colectivo era un signo del alto nivel artístico y espiritual [6]: El valor de mercado es irrelevante para el valor intrínseco (de la música). Un juicio no cualificado puede como máximo decidir el valor de mercado —un valor que puede ser inversamente proporcional al valor intrínseco. Ningún artista, ningún poeta, ningún filósofo y ningún músico, cuyo pensamiento se desenvuelva en la más alta esfera, habrá de descender a la vulgaridad para mostrarse complacientes con un eslogan tal como “Arte para todos”. Porque si es arte no será para todos, y si es para todos no será arte. Sin embargo, el rechazo a no ser rechazado ha dejado de tener cabida en nuestro contexto artístico. El academicismo ya no es excluyente a la divulgación o a la búsqueda de belleza sensorial. De las técnicas serialistas se puede tomar aquello que es interesante intelectualmente e incorporarlo a otras técnicas. Este es el experimento que he querido, con humildad, proponer: despojar al serialismo de uno de los elementos que provoca más rechazo: la disonancia extrema. Ya que esta proviene del cromatismo, el propósito del experimento es utilizar escalas que tengan menos intervalos de semitono para crear con ellas un pseudo-serialismo de menos notas. Se han modificado las notas de varias obras dodecafónicas ya existentes, mientras que el ritmo, la duración, el timbre y las dinámicas, que siguen siendo producto de los compositores originales, se han dejado intactas. El propósito final es intentar conservar la estructura matemática subyacente renovando, en cambio, la percepción colectiva de estas músicas. Para describir el proceso de modificación de las obras debemos definir lo que se entiende por escala y cuáles son las funciones óptimas entre escalas. 2. Escalas y funciones del experimento 2.1. Escalas interválicas, escalas y funciones Una escala interválica es una secuencia ordenada de números naturales – una secuencia de intervalos entre notas – tales que la suma de todos ellos da 12. Así solo consideramos válidas las escalas equivalentes octava a octava. Esto debe ocurrir para poder considerar transformaciones de la escala cromática en escalas menores, aunque es generalizable a cualquier longitud. Diremos entonces que la escala cromática es la súper-escala de las sub-escalas con las que trabajaremos. Por ejemplo, la escala diatónica jónica (o escala mayor) tiene como secuencia de distancias (2, 2, 1, 2, 2, 2, 1) cuando se miden en semitonos. Dada una escala interválica de longitud ℓ y una nota fija inicial, la secuencia de intervalos se convierte en una secuencia de notas de longitud ℓ+1. Se construye comenzando por la nota inicial y sumando cada intervalo para conseguir la nota siguiente. Con la escala mayor y la nota Re se consigue (Re, Mi, Fa#, Sol, La, Si, Do#, Re), ya que es equivalente a (2, 2+2=4, 4+2=6, 6+1=7, 7+2=9, 9+2=11, 11+2=13, 13+1=14). Por construcción, la última nota debe ser equivalente a la primera, ya que en el último paso habremos sumado a la nota inicial todos los términos de la secuencia interválica, y por definición suman 12. De esta forma, se puede definir una escala-k como el conjunto de notas generadas por una escala interválica desde la nota k. Por ejemplo, el conjunto anterior sería la escala-2 mayor; es decir, la escala de Re mayor. Una escala generada por una secuencia de intervalos con longitud ℓ tiene ℓ notas, ya que como la última es repetida no hay por qué considerarla. Su longitud ℓ ≤ 12, ya que una escala-k definida de esta forma siempre es un subconjunto de la escala cromática: Ek ⊆ ℤ∕(12). Al generalizarlo a cualquier súper-escala, habría que considerar las notas distintas según su escala o formular otras definiciones más adecuadas. Una función a una escala-k es una función f que transforma cada nota de la escala cromática a un valor de la escala Ek. Entonces f : ℤ∕(12) → Ek* reduce las notas de una melodía a solamente la escala escogida, donde Ek* está formado por las notas de Ek pero quizás en octavas distintas. Las funciones a escalas se representan de la siguiente manera, con la primera fila representando el dominio de f (la escala cromática); la segunda su imagen (la escala con repeticiones y en distintas octavas, Ek*); y la tercera su secuencia interválica, que es de interés, ya que coincide con la escala interválica de partida salvo en los valores nulos. El proceso verdaderamente interesante está en averiguar, dada una escala E, cuál es la mejor función que transforma melodías cromáticas en melodías en E. Estas son las funciones E-inducidas. ¿Cuáles serán las características de esas funciones óptimas? Deben ser sobreyectivas: si no, la música resultante tendría una escala más reducida de la deseada. Pero además deben conservar la estructura serial y deben conservar el parecido con la melodía original. 2.2. Funciones bien distribuidas La mayor prioridad es conservar la estructura serial de las piezas; por tanto, todas las notas deben aparecer con la menor frecuencia posible, y se debe evitar jerarquías entre las notas en la medida de lo posible. Si |E| < 12, f no puede ser inyectiva, por lo que va a haber elementos repetidos en la imagen. Queremos la f que mejor distribuya esas repeticiones, que distribuya las notas de E a lo largo de la escala cromática. Lo óptimo sería que todas tuvieran la misma frecuencia. Eso solo pasará cuando |E| divida a 12. Por ejemplo, si E = (entonces |E| = 6), existen funciones tales que cada nota de la imagen se repite exactamente 2 veces. La siguiente función E-inducida f cumpliría la condición de buena distribución: En cambio, si |E| no divide a 12 no hay funciones E-inducidas totalmente distribuidas. No existe una sola frecuencia que puedan compartir todas las notas de E. Sin embargo, sí se pueden encontrar dos frecuencias consecutivas, c y c + 1, tales que todos los elementos de E tengan o frecuencia c o frecuencia c + 1. Esto es lo más parecido a que todas tengan la misma frecuencia, y se va a probar a continuación que siempre es posible. La situación es equivalente a que E se pueda dividir en dos subconjuntos disjuntos Q y R, con |Q| = q y |R| = r (entonces q + r = |E|), tales que la frecuencia de las notas en Q es c y la frecuencia de las notas en R es c + 1. En resumen, para probar que Q y R existen, debemos encontrar un c, un q y un r naturales para los que cq + (c + 1)r = 12. En efecto: cq + (c+ 1)r = cq + cr + r = c(q + r)+ r = c|E|+ r = 12 lo cual se cumple por el algoritmo de la división, que asegura que al dividir 12 entre |E| existen su cociente c y su resto r ≥ 0, como queríamos probar. La siguiente tabla describe, para cada posible |E| en cada fila, la frecuencia óptima de sus elementos. Las columnas representan las frecuencias de los elementos, y los números de dentro son cada q y r (cuando es 0 no se escribe: no hay notas con esa frecuencia). Estas funciones forman parte del numeroso conjunto de elementos musicales de máxima regularidad. Un ejemplo importante de ellos son los ritmos euclídeos —para más información ver [2]. 2.3. Funciones E-inducidas Hay que pedir más requisitos a f para que no solo modifique las notas, sino que además las imágenes se parezcan lo máximo posible a sus preimágenes, a las notas originales. En esencia, lo que se busca es una escala a distancia mínima de la escala cromática en cuanto a unos criterios concretos. La manera matemática de formalizar esos criterios es definir una métrica para estas funciones; es decir, una manera de medir la distancia entre ellas para poder compararlas. La distancia d entre dos funciones f y g cualesquiera, d(f,g), debe cumplir estas propiedades básicas: 1. d(f,g) ≥ 0 3. d(f,g) = d(f,g) 2. d(f,g) = 0 ⇔ f = g 4. d(f,g) ≤ d(f,h) + d(h,g) La métrica que he escogido para comparar las funciones consiste en restar sus imágenes una a una, tomar el valor absoluto de esas diferencias y sumarlas: d(f,g) = ∑i=011|f(i) - g(i)|. Esto nos da una idea de cómo de “lejos” se encuentran una de la otra, y cumple los axiomas de una métrica. Nos interesa entonces encontrar la función más cercana a la función identidad, es decir, la que enviaría la escala cromática a sus mismas notas. Así se priorizan las funciones con el mayor número de puntos fijos —ya que el sumando en ese índice sería 0— , o que, al menos, se parezcan en su escala interválica asociada. Puede ocurrir que con esta manera de medir quede más de una función a distancia mínima. Entre ellas, yo he escogido la más grave, y así, dada cualquier escala E, su función E-inducida queda unívocamente determinada. En el enlace https://gitlab.com/dodecafonismo/f-inducida se encuentra el código en Haskell de un programa que, dado una escala, produce su función inducida óptima con las propiedades descritas anteriormente. En el código se puede escoger entre o bien encontrar la mejor función que use solamente las notas de la subescala dada, o bien permitir transposiciones de ésta —que conservan, aun así, la escala interválica asociada— y que es a lo que llamo “inducir la raíz”. También permite cambiar el dominio, o superescala, y que no sea la cromática, aunque en ese caso puede que la métrica definida no devuelva resultados tan intuitivos. 3. Modificación de partituras serialistas 3.1. Escalas utilizadas Las escalas escogidas para este experimento son cuatro escalas de distintos tamaños y sonoridades; desde el sonido oriental hasta el occidental clásico, pasando por el jazz moderno y el impresionismo. Son la escala pentatónica, la escala de tonos enteros, la escala heptafónica de do mayor y la escala octotónica. Estas son las funciones inducidas de dichas escalas según el algoritmo: 3.2. Obras modificadas Ahora se describirán las obras que pasarán por la modificación. Para abarcar distintos estilos compositivos y hacer este estudio más amplio, he escogido obras de los tres principales compositores dodecafónicos: Schoenberg, Berg y Webern. Sin embargo, no se han escogido obras de compositores posteriores ni serialistas integrales. Uno de los motivos es porque interesa en este estudio la relación entre los sonidos: no se modifican más que las alturas de las notas, y por tanto no se tiene en cuenta el resto de elementos musicales. Que estén compuestos serialmente no afecta a las conclusiones de este experimento. Por otro lado, los compositores posteriores a Schoenberg todavía no han pasado al dominio público. Eso impide, por desgracia, que se pueda trabajar libremente con su música. Por último, el hecho de que cada nota tenga su propia dinámica, su propia articulación o su propio timbre hace de las obras serialistas integrales difíciles de manipular. Además, como los audios están hechos mediante ordenador y no con intérpretes reales, la calidad y la intención musical de estas partituras tan complicadas nunca podrían plasmarse a la perfección. La primera obra que pasará por el algoritmo de modificación serial es la Suite para piano, Op. 25 de Schoenberg. Un análisis de esta pieza y de su contexto histórico se puede encontrar en [5]. Su serie principal es: La segunda obra es un arreglo para soprano y piano de una de las arias más destacadas de la segunda ópera de Alban Berg, Lulu. El libreto de la obra está basado en dos tragedias de Frank Wedekind: “El espíritu de la tierra” y “La Caja de Pandora”. El aria, llamada Lied der Lulu, es parte de una dramática disputa entre Lulu y su marido por las infidelidades de ella, que acaba con el homicidio accidental de él. La serie de Lulu es: La tercera, de 1936, es la única obra publicada de Anton Webern para piano solo: Variationen für Klavier, Op. 27, y se compone de tres movimientos: Sehr mässig, Sehr schnell y Ruhig fliessend. Su serie principal es: 3.3. Programa online de modificación de partituras He creado una página web online que transforma cada nota de una partitura a cualquier nota requerida, una a una. Este software sirve para no tener que modificar a mano las partituras del experimento, pero también puede servir para otros propósitos. Por ejemplo, para cambiar una partitura de mayor a menor, o viceversa. El programa solo admite partituras con formato Archivo Musescore sin Comprimir (.mscx) del software libre Musescore. En caso de tener la partitura en otro formato, debe abrirse en Musescore y guardarse en el formato correcto. Está escrita en Elm y el código puede encontrarse aquí. La aplicación web se encuentra en el siguiente enlace: https://modificaciones.netlify.com/. Sus instrucciones de uso se encuentran al final de la página web. 4. Conclusiones Todas las conclusiones que se pueden extraer de este experimento son enteramente subjetivas. El objetivo de realizarlo es poder seguir investigando con las propiedades matemáticas de la música, y analizar el impacto emocional que estas pueden causar. No se puede afirmar que la transformación mejore o empeore ninguna obra. En todo caso podemos interpretar qué transformaciones tienen un determinado sentido musical o estético, dependiendo de la escala utilizada o del estilo con el que estén compuestas. Tampoco debemos olvidar que el cromatismo siempre aportará a las obras una dimensión añadida, un elemento extra que ha impulsado gran parte de la innovación en la historia de la música. Quitarlo por completo es, en realidad, retroceder en la evolución del arte. En general, las transformaciones hexatónica y octotónica siguen conservando mucho del cromatismo que tiene la partitura original. Siguen sonando ajenas al oído tonal del oyente medio. Vamos a comentar algunas de las impresiones que generan las otras dos transformaciones en cada una de las obras, aunque dejaremos al lector que forme su propia opinión. 4.1. Obra de Berg: Lied der Lulu El estilo compositivo de Berg busca, en su mayor parte, acercarse a las formas tonales; maneja la falta de tonalidad serialista sin deshacerse de muchos elementos de la tradición musical. Sus melodías son fluidas y su fraseo inicia a conversar. Así, la transformación pentatónica (5) queda, quizás, algo simplista y repetitiva, y es en cambio la heptatónica (7) la que nos traslada a sonoridades más familiares. https://soundcloud.com/celiarubio/sets/berg-lied-der-lulu 4.2. Obra de Webern: Variationen op. 27 El estilo compositivo de Webern es rompedor y enigmático. Tanto fue así que su música sirvió de inspiración para el serialismo integral de los años 50. Sus melodías suenan fragmentadas y están llenas de intervalos de más de una octava. Es, por tanto, muy difícil que cualquier transformación que conserve similitudes melódicas con la partitura original pueda acercarse a músicas más convencionales. La esencia de esta obra está precisamente en su peculiaridad. https://soundcloud.com/celiarubio/sets/webern-op27-variations 4.3. Obra de Schoenberg: Suite op. 25 El estilo compositivo de Schoenberg en la Suite es tradicional, aunque busca nuevas sonoridades. Su principal objetivo es conservar la estructura formal anterior, y por ello lo único que aleja a la obra es el uso del serialismo en la altura de las notas. La obra es, en general, más armónica que melódica, ya que pretende simular texturas instrumentales del periodo barroco. Además, al centrarse tanto en la formalidad de la pieza aporta una riqueza separada del uso del serialismo. Por ello, la transformación pentatónica (5) no acaba siendo monótona sino muy sugestiva. Por otro lado, la elección concreta de la función transformativa, que hace predominar las notas do y sol —que aparecen en la nueva serie una vez más que el resto de notas— provoca que, en muchos casos, la obra simule estar en do mayor. Como en la partitura original predomina el intervalo de tritono re ♭ – sol, la transformación da peso al intervalo de quinta justa, que es la base de la armonía tradicional. La transformación heptatónica sigue dejando alguna disonancia debido a la existencia de semitonos entre las notas mi – fa y si –  do, y al tritono en fa – si. Al ser una obra ampliamente textural, muchos de estos intervalos aparecen con frecuencia. https://soundcloud.com/celiarubio/sets/schoenberg-op25-1-prelude https://soundcloud.com/celiarubio/sets/schoenberg-op25-2a-gavotte https://soundcloud.com/celiarubio/sets/schoenberg-op25-2b-musette https://soundcloud.com/celiarubio/sets/schoenberg-op25-3-intermezzo https://soundcloud.com/celiarubio/sets/schoenberg-op25-4a-menuet https://soundcloud.com/celiarubio/sets/schoenberg-op25-4b-trio https://soundcloud.com/celiarubio/sets/schoenberg-op25-5-gigue   Bibliografía [1] T.W. Adorno. Disonancias. Introducción a la sociología de la música. Continuum International Publishing Group Ltd., 1973. [2] Paco Gómez. Ritmos euclídeos y ritmos equilibrados, marzo de 2018. Consultado en octubre de 2019. [3] George A. Miller. The Magical Number Seven, Plus or Minus Two: Some Limits on Our Capacity for Processing Information. Psychological Review, 63, 1956. [4] Celia Rubio Madrigal. Serialismo y matemáticas - II. Divulgamat, octubre de 2019. [5] Celia Rubio Madrigal. Serialismo y matemáticas - I. Divulgamat, septiembre de 2019. [6] Arnold Schoenberg. Style and Idea, 1950. [7] H. H. Stuckenschmidt. Schoenberg: his life, world, and work. Calder, 1977.
Martes, 03 de Diciembre de 2019 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Música y matemáticas
Autor:Celia Rubio Madrigal (Universidad Complutense de Madrid)
1. Introducción Este artículo es el tercero y último de la colección Serialismo y matemáticas. Las músicas serialistas son aquellas que permiten construir castillos con un solo grano de arena: una serie particular, una permutación de notas, dinámicas o timbres. La serie se coloca en la obra secuencialmente, siempre igual o con alguna modificación que la adorne. Y es que para esta música, la serie es el ladrillo y las matemáticas son la pintura con la que decorarlos, ya que las transformaciones que se le puede aplicar a una serie forman preciosas estructuras matemáticas enmarcadas en la Teoría de Grupos. En el primer artículo [7] nos centramos en el dodecafonismo, en sus orígenes y en comentar una de sus obras. En el segundo artículo [6] ampliamos las definiciones dodecafónicas para encontrar el grupo diédrico, y descubrimos la historia de los discípulos de Schoenberg y del serialismo integral. Esta tercera entrega está destinada al lector más ducho en las matemáticas; se notará en el lenguaje y en la exposición de las ideas. En ella proporcionaremos herramientas matemáticas relacionadas con acciones, órbitas y estabilizadores de Teoría de Grupos (sección 2), para después contar de dos maneras distintas el número de espectros seriales, que son el número de órbitas del grupo de transformaciones sobre las series, que un compositor puede utilizar en sus obras (sección 3); en concreto, con las transformaciones (3.1) y (3.2). Y de esta manera habremos hecho un recorrido a fondo por el serialismo y habremos explorado sus posibilidades musicales y matemáticas. 2. Acciones, órbitas y estabilizadores 2.1. Acciones de grupos sobre conjuntos Dado un grupo (G, *) y un conjunto X, una acción de (G, *) sobre X es una función ϕ que asocia un elemento g ∈ G y un elemento x ∈ X – el par (g,x) – a otro elemento g ⋅x que también pertenece a X [1]. ϕ : (g,x) → g ⋅ x Una acción ϕ, expresada mediante la operación (⋅), debe cumplir dos condiciones: 1. Para todo x ∈ X, e ⋅ x = x, siendo e el elemento neutro del grupo. 2. Para todo x ∈ X y para todo par g,h ∈ G, se debe cumplir que (g * h) ⋅ x = g ⋅ (h ⋅ x). La primera operación (*) es la interna del grupo G, y la segunda operación (⋅) es la acción. Como ya se ha visto, las funciones forman el grupo diédrico Dn × Dn, siendo n la longitud de la serie. Se podrá definir entonces la acción ϕ de este grupo sobre el conjunto de permutaciones de orden n, tal que ϕ(Ψ, σ) = Ψ ∘ σ = Ψ(σ) = τ, con Ψ ∈ Dn × Dn y σ,τ ∈ Sn. De igual manera, se puede definir el grupo que forman solamente I y R, que servirá más adelante. Como son dos reflexiones, forman el conocido grupo de Klein —a partir de ahora denotado por Ξ, con elementos Id, I, R e IR. 2.2. Órbitas y estabilizadores Dada una acción de (G, *) sobre X, la órbita de un determinado elemento x0 ∈ X es el subconjunto de elementos x de X que pueden ser alcanzados desde x0 mediante algún g0 ∈ G. Es decir, todos los x para los que existe un g0 que al actuar sobre x0 da x. Trivialmente, x0 ∈ Orb(x0) ya que e ⋅ x0 = x0. Orb(x0) = Por ejemplo, dada una permutación σ, todas las permutaciones a las que se llega desde σ mediante algún Ψ ∈ Dn ×Dn conforman la órbita de σ. Por definición, las series a las que se puede llegar desde una serie original constituyen su espectro serial, por lo que la órbita es en realidad el espectro serial. Para el mismo x0 se define su estabilizador como el conjunto de elementos g ∈ G que fijan x0, es decir, que mandan x0 a sí mismo. Mientras que una órbita es un subconjunto de X, un estabilizador es un subgrupo de G. Trivialmente, e ∈ Stab(x) ∀x ∈ X, porque el elemento identidad fija cualquier otro elemento por definición. Stab(x0) = Si cada g ∈ G llevara a x0 a un x distinto, el número de elementos de Orb(x0) sería igual al número de elementos de G. Sin embargo, si un elemento g0 ∈ G fija x0, entonces no dará nuevos elementos en la órbita de x. Por tanto, intuitivamente el tamaño de la órbita disminuye. De hecho, el teorema de órbita–estabilizador dice que el tamaño de una órbita (|Orb(x0)|) será el tamaño de G (|G|) entre el número de elementos que fijan x0; es decir, el tamaño de su estabilizador (|Stab(x0)|). Además, es cierto para todo x ∈ X. |Orb(x)| = |G| / |Stab(x)|, o lo que es lo mismo, |G| = |Orb (x )||Stab(x)| Para ver una explicación más detallada y una prueba rigurosa del teorema, consúltese [4]. Este teorema implica que los tamaños de cada órbita y cada estabilizador son divisores del tamaño del grupo. Por ejemplo, como el tamaño del grupo Ξ es 4, cualquier estabilizador y cualquier órbita tendrán tamaño 1, 2 o 4. En concreto, como Id está siempre en el estabilizador, para todo σ será de una de estas formas: Una serie σ sin simetrías tendrá una serie distinta para cada una de sus transformaciones. Por tanto, su órbita será y su estabilizador será solamente . Cumple entonces el teorema: 4 ⋅ 1 = 4. 2.3. El lema de Burnside Las órbitas, que son subconjuntos de X, forman una partición de X. Esto significa que son subconjuntos disjuntos: ningún x puede estar en dos órbitas distintas. Interesa entonces saber cuántos subconjuntos hay; es decir, el número de órbitas (#Orb). El lema de Burnside afirma que se pueden calcular así: Se prueba de esta forma: por el teorema de órbita–estabilizador, |Stab(x)| = , por lo que la parte derecha se puede expresar así: Como las órbitas forman una partición de X, la suma sobre todo el conjunto X puede ser dividida en sumas separadas para cada órbita. Además, si por cada elemento de una órbita se suma el inverso del número de elementos de la órbita, esa suma dará uno. Solo queda ahora sumar uno por cada órbita. Este lema permite calcular el número de posibles espectros seriales distintos, ya que el espectro de una serie es igual al espectro de sus series transformadas. Un compositor serialista debe entonces escoger no una serie original, sino el espectro con el que construir la obra. O, más bien, si escoge una serie original está escogiendo el mismo material que si escogiera otra serie de ese mismo espectro. Para más aplicaciones de acciones en el ámbito de la teoría musical, véase [2]. 3. Conteo de espectros seriales 3.1. Espectros de las funciones Es interesante conocer el número de espectros seriales distintos que un compositor puede escoger. Al fin y al cabo, es irrelevante qué serie se escoge como la original dentro de su espectro serial, ya que produce el mismo material compositivo que cualquiera de su mismo espectro. Para calcular el número de espectros seriales se redefinirán las funciones transformativas para una longitud serial arbitraria, n, que será mayor que 2. Para n = 0, 1 y 2 se realizará el cálculo en el apartado 3.3. Además, como las transposiciones siempre son distintas entre sí, siempre pertenecen al mismo espectro. Se tomarán a partir de ahora todas ellas como equivalentes, de manera que solo se necesita hacer el cálculo para el conjunto de funciones . Al calcular con permutaciones se trabajará siempre módulo n. La retrogradación sigue siendo R(σ(m)) = σ(-1 -m). La inversión será I(σ(m)) = -σ(m), omitiendo la transposición habitual, ya que se toman las series transpuestas como equivalentes. De esta forma -σ(m) + 2σ(0) ≡-σ(m). La retrogradación invertida es, por tanto, la composición de ambas: RI(σ(m)) = I∘R(σ(m)) = I(R (σ(m ))) = -σ(-1 -m). La retrogradación, la inversión y la composición de ambas cumplen que al aplicarlas dos veces se vuelve a la serie original. En teoría de grupos se dice que tienen orden 2. Entonces forma el ya mencionado grupo de Klein (Ξ), donde RI ≡ IR, ya que estamos tomando las series transpuestas como equivalentes. En general, un grupo de Klein es el formado por cuatro elementos donde cada elemento es inverso de sí mismo. El grupo de Klein, llamado así en honor al matemático alemán Felix Klein, es el grupo ℤ∕(2) × ℤ∕(2), producto directo de dos grupos cíclicos de orden 2. Por el lema de Burnside: Es decir, se deben calcular para cada posible serie σ ∈ Sn cuántas funciones transformativas lo dejan igual o equivalente bajo transposición. Como los estabilizadores son subgrupos, por el teorema de Lagrange su tamaño debe ser divisor del tamaño del grupo total. Entonces se pueden agrupar los estabilizadores por sus tamaños: 1, 2 o 4, y así calcular ∑ |Stab(σ)| agrupando todas las permutaciones con igual tamaño de estabilizador. Si #σi es el número de permutaciones cuyos estabilizadores tienen tamaño i: Primero, se ha de ver que una permutación nunca va a ser igual ni equivalente mediante transposiciones a su inversa. Así, σ(m) sería constante para todo m ∈ ℤ∕(n), lo cual es imposible. Esto implica que ninguna permutación va a tener a I en su estabilizador, por lo que #σ4 = 0. Queda entonces calcular cuántas permutaciones son equivalentes a su retrogradación y cuántas a su retrogradación inversa. La suma de ambas dará #σ2. 3.1.1. Elementos estables mediante R Las permutaciones que coinciden con alguna transposición de su retrogradación cumplen, para γ constante: γ + σ(m) = R(m) = σ(-1 - m) Aplicándolo a (-1 - m): γ + σ(-1 - m) = σ(m) De ambas ecuaciones: γ = σ(-1 - m) - σ(m) = σ(m) - σ(-1 - m) 2σ(m) ≡ 2σ(-1 - m)=> 2σ(m) - 2σ(-1 - m) ≡ 0 2σ(m) - 2σ(-1 - m) = n => σ(m) - σ(-1 - m) = Entonces n debe ser par. Cuando n es impar este tipo de permutaciones no existe. Además, cumplen que sus elementos simétricos se distancian entre sí un intervalo de unidades: son series con simetría par. -γ = σ(m) - σ(-1 - m) = En una serie de longitud n, existen intervalos que miden . Como no importa por cuál de ellos comience la serie, ya que las transportaciones son equivalentes, se fija el primero de los intervalos. Quedan los otros - 1 intervalos por escoger, así que el número de series con simetría par cuenta las permutaciones de - 1 intervalos y las dos posibles posiciones de cada intervalo —creciente y decreciente [5]—. Por ello, el número de series con simetría par es de: Por definición, si n es par n!! = n(n - 2)(n - 4)…4 ⋅ 2 y si n es impar n!! = n(n - 2)(n - 4)…3 ⋅ 1. 3.1.2. Elementos estables mediante RI Las permutaciones que coinciden con alguna transposición de su retrogradación inversa cumplen, para un γ constante: σ(m) = RI(σ(m)) + γ = - σ(-1-m) +  γ γ = σ(m) + σ(-1-m) Sus elementos simétricos suman una cantidad constante: son series con simetría impar. Tal y como se ha hecho en el apartado anterior, se puede fijar una de las notas, ya que las transportaciones son equivalentes. Si n es impar, la nota central es σ(), que es igual a σ(-1 -). Por tanto, γ = 2 ⋅ σ(). Si se escoge esta nota para ser fijada a 0, entonces γ = 2 ⋅ 0 = 0. Es decir, γ puede ser fijada en 0 sin pérdida de generalidad. Para el resto de notas, σ(m) = -σ(-1 -m). Ya escogida la nota central, permite n-1 posibilidades para σ(0). Ya escogidas la nota central, la primera y su simétrica, permiten n-3 posibilidades para σ(1), y así sucesivamente hasta llegar a la nota anterior a la central, que es . Por ello, para n impar, el número de series con simetría impar es de: = (n - 1)(n - 3)...(n - (n- 5) - 1)(n - (n - 3) - 1) = =  (n - 1)(n - 3)...4⋅2 = (n - 1)!! Si n es par, σ(m) ≠ σ(-1-m) ∀m ∈ ℤ∕(n), ya que no hay elemento central. Sea ahora γ = 2k un número par. Como 2k ≤ n y las permutaciones son suprayectivas, para algún m se cumple que σ(m) = k. Se tiene entonces k + σ(-1 -m) = 2k, lo cual a su vez implica que σ(-1 -m) = k = σ(m). Como esto es una contradicción, γ debe ser impar. Fijando, por ejemplo, σ(0) = 0, se tienen posibilidades para σ(-1 - m), es decir, solamente las posibilidades para las que γ es impar. Para σ(1) hay (n- 2) posibilidades, y ahora su simétrico ya viene determinado por el γ escogido. Para σ(2) hay (n-4), y así sucesivamente [5]. Por tanto, para n par, el número de series con simetría impar es de: = (n - 2)(n - 4) ...(n - (n - 4))(n - (n - 2)) =  2 =  (n - 2)(n - 4)...4⋅2 = (n - 2)!! Suma completa Como ya se ha podido observar, el número de espectros seriales varía según la paridad de la longitud de las series. Una vez se tiene #σ2, solo falta calcular #σ1. Como las permutaciones contadas #σ son todas las de Sn exceptuando las transportaciones, #σ = = = (n - 1)!. Por otro lado, #σ1 + #σ2 = #σ. Entonces #σ1 = (n - 1)! - #σ2. Recuperando la fórmula del apartado 3.1: Para n impar: Para n par: Para n = 12, es decir, para el dodecafonismo, la última fórmula proporciona el dato de 9985920 espectros seriales a escoger por el compositor. Como ejemplo perteneciente al serialismo integral, podemos numerar las dinámicas del 0 al 6: ≡ = ℤ∕(7) Así, con la fórmula para n impar, se obtiene que hay 192 espectros seriales con series de longitud 7. 3.2. Espectros del grupo Dn × Dn Este apartado es una explicación detallada del artículo [3] y aplicada al caso musical. La secuencia de números dada por las fórmulas que obtendremos se encuentra en la OEIS: https://oeis.org/A000940. Ahora calcularemos los espectros formados mediante todas las transformaciones del grupo generado por ; es decir, por Dn ×Dn. Volviendo a la representación mediante diagramas de reloj, el problema es equivalente a averiguar cuántos diagramas distintos, sin números ni flechas, se pueden dibujar. La flecha indica lo transformado por V y C, mientras que los números indican lo transformado por S y T. Un diagrama sin estos dos elementos representa entonces todo un espectro serial. ¿Cuántos diagramas esencialmente distintos hay? De nuevo, por el lema de Burnside: En vez de expresar el sumatorio como “para cada σ, el número de Ψ que fijan σ”, se puede expresar como “para cada Ψ, el número de σ fijados por Ψ” (que llamaremos Fij(Ψ)). La fórmula queda de esta manera: Ahora hay que averiguar para cada elemento de Dn × Dn cuántas series estabiliza. Por ejemplo, trivialmente no hay permutaciones estables mediante C y V solamente. 3.2.1. Elementos estables mediante T Los elementos estables mediante Tk son a los que, tras aplicar una rotación de θk = , para 1 ≤ k ≤ n, quedan igual. Por tanto, los sumandos que aportan a la suma total son ∑ nk=1 Fij(θk). Por otro lado, si 1 ≤ p,q ≤ n y gcd(p,n) = gcd(q,n) entonces Fij(θp) = Fij(θq), ya que por el lema de Bézout lo que genera la rotación θp es igual a lo que genera la rotación θgcd(p,n). Esto permite que se puedan agrupar los sumandos con igual máximo común divisor con respecto a n. Es decir, ∑nk=1 Fij(θk) = ∑d|n , con d divisor de n. Por ejemplo, si n = 6: Fij(θ1) + Fij(θ2) + Fij(θ3) + Fij(θ4) + Fij(θ5) + Fij(θ6) = Fij(θ1) + Fij(θ2) + Fij(θ3) + Fij(θ2) + Fij(θ1) + Fij(θ6) = 2 ⋅ Fij(θ1) + 2 ⋅ Fij(θ2) + 1 ⋅ Fij(θ3) + 1 ⋅ Fij(θ6) Ahora queremos encontrar el coeficiente de Fij(θd), es decir, el número de k ≤ n con igual máximo común divisor d. Pero que k ≤ n y gcd(k,n) = d es equivalente a que ≤ y gcd = 1. Por tanto, el número de k con máximo comun divisor d es φ. La función φ(x) se llama la función phi de Euler, y muestra precisamente la cantidad de números menores que él y coprimos con él. Entonces ∑ k=1nFij(θk) = ∑ d|n. Para calcular Fij(θd) hay que analizar cómo se construyen los diagramas invariantes respecto a una rotación. Estos diagramas deben tener varios ciclos iguales entre sí —para que queden invariantes al rotarlos— pero cada uno desde un punto distinto: desde cada múltiplo de d. El número de ciclos es, por tanto, . Al construir uno de estos diagramas, se escoge la primera nota entre las n. Después se escoge la segunda, pero no se pueden escoger los vértices múltiplos de d (de los que hay ), ya que van a ser el comienzo de los sucesivos ciclos. Hay entonces n- posibilidades. Después se escoge la tercera, pero sin escoger los múltiplos de d ni los múltiplos de d + la segunda posición. Hay n- 2 ⋅ posibilidades, y así sucesivamente hasta terminar el primer ciclo: Por ejemplo, si d = 2 y n = 8, supongamos que escogemos el punto 0(0) como el primero. Después, si cogiéramos alguno de los puntos 0(*) luego no podríamos tener simetría al rotarlo un ángulo de θ2. Entonces hay que escoger alguno de los 1(*). Supongamos que es 1(1). En este ejemplo nuestro ciclo quedaría de la siguiente manera: Para escoger el segundo ciclo, su primera nota debe caer en el conjunto de vértices múltiplos de d —de los que hay . En el ejemplo serían los 0(*). Sin embargo, no podría ser cualquier múltiplo, ya que si se escoge uno con posición no coprima, el polígono se cerraría antes de tiempo sin pasar por todos los vértices. Entonces hay que escoger entre los vértices coprimos, de los que hay φ (). Tras esto el polígono está totalmente determinado, y se puede formar de ∑ d|n maneras. En nuestro ejemplo, si escogemos el siguiente comienzo del ciclo como el 0(2), como 2 no es coprimo con = 4, quedaría de esta manera: Efectivamente, el diagrama se cierra antes de pasar por todos los vértices. En cambio, si escogemos 0(1): Y con 0(3): Sea d = 3 y n = 6. Escogiendo el primer número como 0(0), el segundo como 1(0) y el tercero como 2(1), no queda más remedio que escoger como comienzo del segundo ciclo el 0(1). Pero también podría aparecer este mismo comienzo con la parte final dada la vuelta, simétrica, de esta manera: 0(0), 1(0), 2(1), 2(0), 1(1), 0(1). Esta construcción no está incluida en lo descrito anteriormente, y sin embargo es invariante con respecto a T, V y C a la vez. Y es que con n par, al rotar θn∕2 el diagrama, éste puede llegar con la orientación cambiada. Esto puede ocurrir cuando haya una diagonal; es decir, cuando entre dos notas haya un intervalo de . Se escoge el primer punto de entre posibilidades. No son n ya que saldría la misma figura si se escoge el punto antipodal. Con una rotación de θn∕2, el primer ciclo se escoge igual que antes, de ⋅! = 2 ⋅ ! maneras. Y con esto ya queda la figura determinada. Esto lleva a las ⋅ 2 ⋅ ! formas de dibujar un polígono con las características buscadas. 3.2.2. Elementos estables mediante S Los elementos estables mediante S son aquellos que quedan invariantes mediante reflexiones. De nuevo, en este punto se ha de separar por paridad de n. Para n impar, existen n reflexiones para cada uno de los ejes de simetría que pasan por cada vértice. Después, hay n formas de escoger el primer vértice de la secuencia. Ahora hay parejas de vértices; se escoge los primeros miembros entre ellos de 2 formas, tras lo cual éstos se ordenan de ! formas. Esto da un resultado de n2 ⋅ 2 ⋅! polígonos invariantes. Para n par se tienen dos simetrías: con ejes que pasan por vértices y con ejes que pasan por lados. De manera similar a la anterior, se escoge el eje, el primer vértice, los primeros miembros de las parejas de vértices y se ordenan. Para las simetrías con ejes que pasan por vértices, da un resultado de ⋅ 2 ⋅!. Para las simetrías con ejes que pasan por lados, da un resultado de ⋅ 2-1 ⋅!. Suma completa En resumen, estos a continuación son los numeradores ∑ Fij(Ψ). El resultado final del número de diagramas posibles, o espectros seriales distintos, es dicho numerador entre 4n2, el tamaño del grupo. 3.3. Medefonismo, monofonismo y difonismo Con n = 0 se da el caso de medefonismo. El grupo simétrico de orden 0 tiene 0! = 1 elemento. Por tanto, hay una sola posible serie, σ, que es la que no tiene ninguna nota. El medefonismo es comúnmente llamado silencio; se representará con una tabla vacía. Con n = 1 se da el caso de monofonismo. Con solamente una posible nota, el grupo simétrico de orden 1 tiene 1! = 1 elemento. Por tanto, hay una sola posible serie, σ0, que es igual a su inversa, a su retrogradación y a su retrogradación inversa: Con n = 2 se da el caso de difonismo. Tiene dos posibles notas, así que su grupo simétrico, el de orden 2, tiene 2! = 2 elementos. Por tanto, hay dos series distintas, σ0 y σ1. Se puede observar que ambas pertenecen al mismo espectro serial, dado que σ1 = T1(σ0). Además, al igual que en el monofonismo, ambas coinciden con sus inversas, incumpliendo la regla general para n > 2 probada en el apartado 3.1. Agradecimientos A Ismael Sierra, por dejarme descubrir las matemáticas que aún no había podido alcanzar por mí misma. A Paco Gómez, por permitir que muestre al mundo lo que estudio y ayudarme a que sea de la mejor manera posible. A María Gaspar, por poner la primera piedra. A mis padres, a mis amigos, a todos aquellos cuya ilusión me ha motivado a seguir escribiendo. Bibliografía [1] Mark A. Armstrong. Groups and Symmetry. Undergraduate Texts in Mathematics. Springer New York, 2013. Chapter 6: “Permutations”. Chapter 17: “Actions, Orbits, and Stabilizers”. Chapter 18: “Counting Orbits”. [2] Alissa S. Crans, Thomas M. Fiore, and Ramon Satyendra. Musical Actions of Dihedral Groups. The American Mathematical Monthly, 116:479–495, 06 2009. [3] S. W. Golomb and L. R. Welch. On the enumeration of polygons. The American Mathematical Monthly, 67:349–353, 04 1960. [4] Timothy Gowers. Group actions II: the orbit-stabilizer theorem, 2011. Consultado en octubre de 2019. [5] David L. Reiner. Enumeration in Music Theory. The American Mathematical Monthly, 92:51–54, 01 1985. [6] Celia Rubio Madrigal. Serialismo y matemáticas - II. Divulgamat, octubre de 2019. [7] Celia Rubio Madrigal. Serialismo y matemáticas - I. Divulgamat, septiembre de 2019.
Lunes, 11 de Noviembre de 2019 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Música y matemáticas
Autor:Celia Rubio Madrigal (Universidad Complutense de Madrid)
1. Introducción Este artículo es el segundo de la colección Serialismo y matemáticas. Las músicas serialistas son aquellas que permiten construir castillos con un solo grano de arena: una serie particular, una permutación de notas, dinámicas o timbres. La serie se coloca en la obra secuencialmente, siempre igual o con alguna modificación que la adorne. Y es que para esta música, la serie es el ladrillo y las matemáticas son la pintura con la que decorarlos, ya que las transformaciones que se le puede aplicar a una serie forman preciosas estructuras matemáticas enmarcadas en la Teoría de Grupos. En el primer artículo7 nos centramos en el dodecafonismo, en sus orígenes y en comentar una de sus obras. En este segundo artículo, ampliaremos las definiciones dodecafónicas para descubrir bajo ellas, con ayuda de diagramas, el grupo diédrico (sección 2); y contaremos quiénes fueron los discípulos y sucesores de Schoenberg y cómo provocaron la creación del serialismo integral (sección 3). Más adelante proporcionaremos las herramientas matemáticas para después contar el número de espectros seriales que un compositor puede utilizar. En definitiva, haremos un recorrido a fondo por el serialismo y exploraremos sus posibilidades musicales y matemáticas. 2. El grupo de las transformaciones 2.1. Nuevas definiciones y nuevas transformaciones Como vimos en el anterior artículo7, las fórmulas de las transformaciones dodecafónicas habituales son: I(σ(m)) = -σ(m) + 2σ(0) Tk(σ(m)) = σ(m) + k R(σ(m)) = σ(-1 - m) Sin embargo, la importancia de estas definiciones radica en qué espectro serial forman, y no en cómo se nombra cada serie específica. No importa si la segunda serie que se usa en una obra se llama I6 o RI10, sino cuál es y qué relación tiene con la primera. La nomenclatura no es distinguible a un nivel auditivo, pero es, sin embargo, una útil herramienta para la teoría musical. Es por ello por lo que la forma en la que se nombran las series tiene relevancia y debería ser un reflejo de lo que significan. Aun así, sigue sin haber un convenio predominante y, de hecho, hay al menos dos que se usan a menudo. El primero, el método tradicional, se ha usado desde al menos 1945. El segundo, el método de tonos absolutos, fue concebido por George Perle6 en su libro Twelve-Tone Tonality en 1977. En el método tradicional, T0 se usa para la primera serie que se encuentra en la composición; es decir, es la serie original. En cambio, el método de tonos absolutos nombra las series T basándose solamente en la nota en la que comienzan: T0 se usa para la serie que comienza por un do, T1 para el re, y así sucesivamente. En ambas, las series transpuestas k semitonos de T0 —sea cual sea esta— se nombran como Tk. La composición de esta con otra función Ψ se escribe como Ψk. Estas nomenclaturas no caracterizan adecuadamente el objeto matemático que deben representar, es decir, funciones aplicadas a las series. Son nombres arbitrarios que además producen ambigüedad al añadir otras funciones —por ejemplo, si no conmutan— o al intentar describirlo matemáticamente. Es por ello por lo que en este texto se usa la composición de funciones como convenio de notación. En todo caso, cualquier convenio tendrá fórmulas distintas al resto, pero todas preservan el material compositivo de la obra. Eso quiere decir que se pueden redefinir algunas de las transformaciones siempre que preserven el sentido musical. Por ejemplo, la inversión puede prescindir de ser transportada para que la primera nota coincida con la original. Para distinguirla de la primera definición, ésta se llamará S de simetría: S(σ(m)) = -σ(m). E igual que la inversión es el cambio de signo por fuera, la retrogradación puede convertirse simplemente en el cambio de signo por dentro. Ésta se llamará V de volteo: V (σ(m)) = σ(-m). Así quedan dos transformaciones que se asemejan a reflexiones: una por dentro y otra por fuera; y una adición por fuera. Aquí dentro significa antes de aplicar σ y fuera significa después de aplicar σ, ya que no se debe olvidar que σ, la permutación, es una función en sí misma. Y ahora surge una cuestión natural: ¿cuál sería entonces el resultado de sumar dentro, es decir, antes? Esta nueva transformación, cuya aparición resulta natural tras las otras tres, se llama desplazamiento cíclico. Inventada y usada por Alban Berg2 —de quien se hablará en la sección 3— y en algunas de las primeras obras de Schoenberg, Ck desplaza el comienzo de la serie k posiciones más allá: La serie 4-cíclica sobre la permutación P de la Suite Op. 25 es la siguiente serie C4: Si no se añade la transformación C, entonces V no conserva el espectro serial de ; pero si se añade sí se conserva ya que V es composición de C y R. En resumen, se puede trabajar con un nuevo sistema de definiciones que mantienen el significado musical del serialismo, pero varían la notación con la que se trabaja. Estas son las nuevas fórmulas de las transformaciones: S(σ(m)) = -σ(m) V (σ(m)) = σ(-m) Tk(σ(m)) = σ(m) + k Ck(σ(m)) = σ(m + k) 2.2. Diagramas de reloj Para visualizar mejor cómo actúan las distintas transformaciones, las series se pueden representar mediante diagramas de reloj3: una sucesión de aristas con una orientación establecida que conecta los vértices de un dodecágono en el orden de la serie. Ya que el desplazamiento cíclico actúa como si la serie fuese circular, hay una arista extra que une la última nota a la primera. El comienzo de la serie y su orientación se marcan con una flecha. Arriba se incluye el diagrama de la serie original σ de la Suite Op. 25. Se pueden distinguir las características de la serie, como las tres diagonales, que son los tres intervalos de tritono. A continuación se incluyen los diagramas de las transformaciones dodecafónicas originales: la transposición, la inversión y la retrogradación; así como el nuevo desplazamiento cíclico. La transposición es una rotación en el sentido en el que apunta la flecha; la inversión es una reflexión con el eje de simetría en la diagonal que pasa por la flecha; la retrogradación es un cambio de orientación de la flecha; y el desplazamiento cíclico es el avance interno de la flecha por el recorrido de la serie. La diferencia entre las inversiones I y S es precisamente la transposición de 2σ(0) = 8 semitonos en este ejemplo. Comparando S con T0 se puede además observar que S es una reflexión con el eje de simetría en 0, en vez de que el eje dependa de la propia permutación. Por otro lado, la comparación entre las retrogradaciones R y V muestra que, aunque en principio más arbitraria, V es una transformación más natural, ya que deja fija la flecha. La diferencia entre ellas es en realidad un desplazamiento cíclico de -1. He creado una página interactiva que genera diagramas de reloj de cualquier serie para cualquier longitud serial, además de generar series aleatorias. También se pueden aplicar las transformaciones a la serie, tanto las originales como las del nuevo sistema, para ver cómo se comporta el diagrama. Está escrita en Elm y el código puede encontrarse en https://gitlab.com/dodecafonismo/diagramas. En el enlace https://diagramas.netlify.com se accede a la aplicación web. Sus instrucciones de uso se encuentran al final de la página. Además, he creado un comando en LATEX que dibuja estos diagramas dada su serie, y opcionalmente su nombre y el número que está arriba: y en este caso up=4 no es necesario, ya que por defecto se coloca arriba la primera nota de la serie. El comando se encuentra en el paquete de LATEX ddphonism, disponible en el enlace https://www.ctan.org/pkg/ddphonism. 2.3. El grupo: D12 × D12 El conjunto de transformaciones está compuesto por dos parejas con semejanzas entre sí. S es una reflexión y T una rotación de orden 12 —es decir, que al aplicarla 12 veces se vuelve a la identidad— y ambas se aplican a la figura entera; es como mover el diagrama por el papel. En cambio, V es una reflexión de la flecha en sí, y C una rotación —también de orden 12— de la flecha sobre la línea; ambas aplicadas al interior de la figura. Cada pareja genera un grupo muy conocido: el grupo diédrico o diedral. Se denota por D12 y representa el grupo de simetrías de un polígono regular; en este caso, un dodecágono. En otros ámbitos, Dn también se denota por D2n, ya que 2 * n es el número de elementos que tiene el grupo. Por ejemplo, aquí se muestran todas las simetrías de un octógono, que son los 16 elementos de D8, aplicados a una señal de STOP. De igual manera, el conjunto de series de un espectro serial se consigue aplicando a la serie las distintas funciones transformativas; se obtiene entonces un grupo diédrico para ambas parejas de funciones. Al haber dos parejas distintas que actúan por separado dentro y fuera de la figura, el grupo completo que forman las cuatro transformaciones es el producto directo de dos copias del diédrico: D12 × D12. Podemos observarlo claramente si representamos la serie de una segunda forma: como la correspondencia entre vértices de dos dodecágonos. La serie original, que es en realidad una permutación de 12 elementos, se representa como una función: los vértices del dodecágono interno se envían biyectivamente a los vértices externos. Así, m→σ(m). Este diagrama es similar al matricial pero enroscado en sí mismo, de tal forma que se aprecia la permutación escogida mediante las flechas, que son fijas, y facilita un significado del antes y el después de aplicarla. Las dos primeras figuras describen esto mismo: la representación de la serie original y la representación de la permutación mediante las flechas, que se mantendrán constantes en el resto de figuras. Las cuatro siguientes figuras representan las cuatro funciones transformativas, que son en realidad la reflexión y la rotación del grupo diédrico de cada dodecágono. Aplicarlo al de dentro es aplicarlo antes de las flechas; antes de la permutación. Aplicarlo fuera es transformar después de las flechas; después de la permutación. He creado un comando en LATEX que dibuja estos diagramas diédricos dada su serie original y las funciones aplicadas a ella: t, s, c y v. Se aplican en ese mismo orden, y por defecto están a 0. El comando se encuentra en el paquete de LATEX ddphonism, disponible en el enlace https://www.ctan.org/pkg/ddphonism. 2.4. Conmutatividad entre los elementos del grupo La rotación, r, y la reflexión, s, de un grupo diédrico no conmutan, sino que cumplen la relación r ⋅ s = s ⋅ r-1. Por otro lado, en los productos directos los elementos de un lado conmutan con los del otro. Así, y no conmutan, pero el resto de parejas sí. La verificación de estas afirmaciones, que confirman que el grupo generado es D12 × D12, se encuentran a continuación: Volviendo a las definiciones originales , su estructura interna es bien distinta. El problema de I es que depende de la permutación escogida, por lo que a veces tiene unas propiedades y a veces otras. En cambio, la definición de V con respecto a R es meramente estética: ya que no depende de la permutación, su conmutatividad se mantiene invariante. Viendo cómo conmutan los elementos de este sistema se aprecia la dificultad de I. Curiosamente, la conmutatividad de e se pierde, pero se gana la de . Así, T conmuta con todo en el sistema. Esto muestra una ventaja de la definición de I. Los únicos casos en los que podrían conmutar ocurrirían cuando Es decir, cuando la primera y la última nota de la serie original se distancian en 6 semitonos, como es el caso de la permutación en la Suite Op. 25: Los únicos casos en los que podrían conmutar son cuando Es decir, cuando la primera y la segunda nota de la serie original se distancian en 6 semitonos. Si se echan las cuentas con Ck en vez de con C1, pueden conmutar si σ(k) - σ(0) = 6. Como σ es una permutación, devuelve todos los valores de 0 a 11 y solamente una vez cada uno. Por tanto, también devuelve 6 + σ(0), así que siempre existe un único k para el que I y Ck conmutan. En el caso de la permutación de la Suite Op. 25, como σ(0) = 4 hay que encontrar el k para el que σ(k) = 4 + 6 = 10. En este caso, k = 11, pero depende por completo de la permutación original. 3. El surgimiento del serialismo integral 3.1. Alban Berg y Anton Webern: la Segunda Escuela de Viena Además de Schoenberg, hubo dos compositores más que contribuyeron al desarrollo del dodecafonismo y que demostraron con sus diferentes estilos la versatilidad del sistema. Éstos fueron los discípulos de Schoenberg: Alban Berg y Anton Webern. El maestro y sus dos alumnos formaron la autodenominada Segunda Escuela de Viena, llamada así en honor a los miembros de la Primera: Haydn, Mozart y Beethoven. Aparte del hecho de que Schoenberg, Berg y Webern nacieron y se formaron en Viena, el nombre también simboliza su autoproclamación como herederos legítimos de la tradición musical alemana proveniente del siglo XVIII. La Segunda Escuela de Viena formó parte de las vanguardias artísticas europeas, opuestas a la tendencia neoclásica que seguían Stravinsky o Prokofiev, entre otros, en aquel periodo. Los tres integrantes siguieron carreras compositivas similares en cuanto a estilo y concepción artística: una época tonal, una ruptura atonal y un desarrollo dodecafónico. Con el ascenso del nazismo, Schoenberg, que era judío, se vio obligado a exiliarse a Estados Unidos. Sus discípulos se quedaron en Austria, pero pasaron penurias económicas debido a la censura impuesta por el gobierno: la música dodecafónica se descalificó como Entartete Kunst5 (“arte degenerado”). Figura 1: Alban Berg (1885—1935); figura tomada de Deutsche Welle. Alban Berg se centró en la efusión emocional y el interés por lo humano, utilizando el método dodecafónico libremente y acercándose a formatos tonales. Su etapa atonal fue especialmente relevante, ya que compuso entonces su primera obra dramática, Wozzeck (1925). Es una ópera basada en la pieza teatral de Georg Büchner, en la cual Berg plasmó parte de sus propias experiencias como soldado en la Primera Guerra Mundial. Su segunda ópera, Lulú, quedó inconclusa debido a su muerte por septicemia en 1935, a los 50 años. A continuación el lector podrá escuchar parte de Und ist kein Betrug, la primera escena del tercer acto de Wozzeck: Anton Webern fue un compositor más riguroso en cuanto a las formas, siempre leal al sistema dodecafónico y a su maestro. Se deleitaba en los procedimientos formales más sutiles, aquellos que solo podían ser descubiertos al estudiar detenidamente la obra. Esto quedó reflejado en su dodecafónico Concierto para 9 instrumentos, op. 24 (1934), cuya serie está construida por segmentos derivados de las tres primeras notas de la obra. Además, muestra tendencias a asignar duraciones, timbres y articulaciones a segmentos aislados, lo que más tarde inspiraría el serialismo integral. A continuación el lector podrá escuchar el Concierto op. 24: Durante la ocupación de Viena, Webern salió de su casa una noche tras el toque de queda, y un soldado norteamericano, probablemente en estado de embriaguez, lo mató a tiros. Así, Schoenberg, el maestro y el más mayor de los tres, sobrevivió a sus dos alumnos exiliado en Estados Unidos. 3.2. La escuela de Darmstadt Tras la Segunda Guerra Mundial, el mundo artístico estaba totalmente destruido. La violencia, la censura y la incomunicación habían impedido cualquier posible desarrollo creativo, y los artistas de la generación anterior se habían aislado, exiliado o habían fallecido. Volver a construir los pilares del arte era el cometido de la nueva generación de artistas, quienes compartían la sensación de que el mundo había renacido tras la tragedia. En 1946 se crearon los Cursos de Verano de Darmstadt, fundados por Wolfgang Steinecke y patrocinados por las fuerzas americanas, con el objetivo de retomar la actividad musical en la Alemania de la posguerra. Se centraron en dar a conocer las técnicas compositivas de las generaciones anteriores. Aunque el primer año estuvo enfocado en el movimiento neoclásico, fue en los años posteriores cuando se desarrolló un mayor interés por las técnicas serialistas. Los cursos resultaron en la aparición de una nueva escuela de compositores cuya finalidad artística era crear un lenguaje musical distinto y alejado de la tradición para, de esta forma, obtener una mayor libertad compositiva. Como dijo Karlheinz Stockhausen: Los métodos nuevos cambian la experiencia, y las experiencias nuevas cambian al hombre. Stockhausen en el documental autobiográfico Tuning In4. Esta escuela tomó el nombre de la ciudad donde se realizaban los cursos: se llamó la Escuela de Darmstadt. El término fue acuñado por el compositor Luigi Nono en una de sus clases magistrales en 1957, y con él se describía a sí mismo y a sus compañeros compositores: Pierre Boulez, Karlheinz Stockhausen y Bruno Maderna. Para estos compositores, la tradición artística estaba demasiado relacionada con los fracasos políticos y las penurias sociales pasadas, y precisamente por ello creían necesario romper con todos los vínculos heredados. Sin embargo, para crear aquel nuevo lenguaje no tomaron como referencia el dodecafonismo de Schoenberg, ya que él veía su sistema como parte de la tradición musical, como un elemento más en la evolución de la música. Se centraron, en cambio, en la formalidad y abstracción del serialismo de Anton Webern, y desarrollaron a partir de sus métodos el denominado serialismo integral. Figura 2: Anton Webern (1883—1945); figura tomada de France Musique. Para la Escuela de Viena el estilo compositivo de Webern era tan solo un posible enfoque del amplio abanico que abarcaba el dodecafonismo, pero en Darmstadt se consideró un avance de este. El serialismo integral es un sistema de composición musical que predetermina los materiales compositivos —la melodía, la armonía, el ritmo, el timbre— a partir de la ordenación serial de los diferentes parámetros musicales: alturas, intensidades, duraciones, ataques o instrumentos, entre otros. Es un desarrollo del serialismo dodecafónico de Schoenberg, que serializa solamente las alturas, hacia los demás parámetros sonoros. Tiene, por tanto, un alto grado de planificación pre-composicional: se pretende que la determinación compositiva sea absoluta; y se tiende al automatismo del arte y sus formas, alejándolo de cualquier evocación decimonónica. Desde sus comienzos, el serialismo integral suscitó numerosas críticas, incluso desde el propio colectivo vanguardista. Una de ellas fue la falta de elección del intérprete a la hora de transmitir la obra. El intérprete serialista debe reproducir con total exactitud cada detalle de la partitura, y, por tanto, no puede aportar carácter alguno. Otra de las críticas más extendidas fue la incapacidad para interpretar estas obras correctamente debido a su complejidad técnica. Además, los detalles que precisamente las hacen complejas son, en su mayor parte, inapreciables por parte del oyente. 3.3. Pierre Boulez El compositor que creó y utilizó por primera vez el serialismo integral, además de instruirlo y difundirlo a los demás compositores de Darmstadt, fue el compositor francés Pierre Boulez. Otros músicos habían compuesto obras con tendencias serialistas y elementos predeterminados, como Olivier Messiaen en Mode de valeurs et d’intensités, pero fue Boulez quien sentó sus bases y su técnica. De hecho, los compositores precedentes influyeron prominentemente en la música de Boulez gracias a las clases impartidas en los cursos de Darmstadt. Figura 3: Pierre Boulez (1925—2016); figura tomada de Kultur im Radio. Boulez consideraba necesaria y evidente la extensión de elementos a predeterminar más allá de la melodía, y le parecía incoherente el sistema dodecafónico de Schoenberg, que para él estaba incompleto. En su controvertido ensayo Schoenberg ha muerto1, publicado un año después de la muerte del compositor, comentó: En primer lugar, la exploración del campo serial ha sido conducida unilateralmente: allí falta el plano rítmico, e incluso el plano sonoro propiamente dicho: las intensidades y los ataques. […] Pero la causa esencial de su fracaso reside en el desconocimiento profundo de las FUNCIONES seriales propiamente dichas, las funciones engendradas por el principio mismo de la serie. Es decir, que para ampliar el concepto de serialismo se debía primeramente conocer el fundamento matemático de las series y sus funciones transformativas. Además de ser músico y compositor, Boulez había estudiado matemáticas, lo que le llevó a querer analizar matemáticamente el sistema compositivo y generalizarlo para series de longitudes arbitrarias. Para él, el serialismo no debía ser un mero recurso compositivo, sino la ley que rige todos los elementos de la obra. De hecho, más adelante en su ensayo declaró: […] desde el descubrimiento de la Escuela de Viena, todo compositor alejado de los experimentos seriales ha resultado inútil. Su obra Structures I (1952), para dos pianos, fue compuesta siguiendo las técnicas de serialismo integral: tiene series de doce alturas, doce ataques, doce duraciones y doce tipos dinámicos, aunque más tarde reduciría algunas a diez. A continuación el lector podrá escuchar Structures I: Bibliografía [1] Pierre Boulez. Schoenberg is dead, 1952. Publicado en la revista The Score originalmente; consultado en agosto de 2019. [2] David John Headlam. The Music of Alban Berg. Composers of the twentieth century. Yale University Press, 1996 . [3] David J. Hunter and Paul T. von Hippel. How Rare Is Symmetry in Musical 12-Tone Rows? The American Mathematical Monthly, 110:124–132, 02 2003. [4] Robin Maconie. Tuning In — A Film about Karlheinz Stockhausen, 1981. Producido por Barrie Gavin para la serie de BBC “Horizon”. [5] Vicent Minguet. Las reglas de la música y las leyes del Estado: la “Entartete Musik” y el Tercer Reich. Quodlibet: revista de especialización musical, 69:9–29, 2018. [6] George Perle. Twelve-tone Tonality. University of California Press, 1977. [7] Celia Rubio Madrigal. Serialismo y matemáticas - I, septiembre de 2019 .
Miércoles, 09 de Octubre de 2019 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

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