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Música y matemáticas

El objetivo de esta sección es comprender la interesante y profunda relación de las Matemáticas con la Música.

Nuestro sincero agradecimiento a Francisco Gómez Martín (Universidad Politécnica de Madrid) por organizar y desarrollar esta sección, a sus anteriores responsables Rafael Losada y Vicente Liern, así como a todas las personas que colaboran con la misma.

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Cultura y matemáticas/Música y matemáticas
Autor:Celia Rubio Madrigal (Universidad Complutense de Madrid)
En las siguientes entregas de Divulgamat tendremos a una autora invitada, Celia Rubio, quien ha escrito una serie sobre el serialismo y matemáticas. Celia Rubio está cursando el doble grado de Matemáticas e Informática en la Universidad Complutense de Madrid y tiene estudios de música en el Conservatorio de Madrid (su instrumento es la flauta de pico, y además ha estudiado canto). Participó muy activamente en el congreso Mathematics and Computation in Music 2019 (véanse las columnas [9, 8]). Su preocupación e interés por la Teoría Matemática de la Música y su divulgación le empujó a mostrarme su texto. Tras leerlo detenidamente y atestiguar su calidad, le propuse enseguida su publicación en esta columna. El lector disfrutará sin duda alguna de la claridad y la fuerza del texto. 1. Introducción Este artículo es el primero de una colección sobre el serialismo musical y las matemáticas que lo fundamentan. Las músicas serialistas son aquellas que permiten construir castillos con un solo grano de arena: una serie particular, una permutación de notas, dinámicas o timbres. La serie se coloca en la obra secuencialmente, siempre igual o con alguna modificación que la adorne. Y es que para esta música, la serie es el ladrillo y las matemáticas son la pintura con la que decorarlos, ya que las transformaciones que se le puede aplicar a una serie forman preciosas estructuras matemáticas enmarcadas en la Teoría de Grupos. En estas estructuras se centrará esta serie de artículos, y más específicamente en el dodecafonismo, el primer sistema compositivo serialista. En este primer artículo hablaremos sobre sus orígenes (sección 2) y sobre los postulados matemáticos que lo definieron (sección 3), y analizaremos una obra como ejemplo (sección 4). Más adelante generalizaremos las definiciones dodecafónicas matemáticamente, descubriremos la historia del serialismo integral y contaremos el número de posibles series distintas —o, más bien, de espectros seriales— que un compositor puede utilizar. En definitiva, haremos un recorrido a fondo por el serialismo y exploraremos sus posibilidades musicales y matemáticas. Los textos irán dirigidos tanto a matemáticos como a músicos; en todas las entregas habrá secciones más matemáticas y secciones más musicales o históricas. Las matemáticas serán avanzadas, pero siempre se definirá todo lo que se utilice y se probará todo lo que se afirme. Algunas de las definiciones matemáticas más comunes se encuentran en la sección 5. ¡Que empiece el viaje! 2. Introducción histórica del dodecafonismo En esta sección describiremos cuál fue el ambiente histórico y musical en el que se cultivó el primer modelo de serialismo musical: el dodecafonismo. A través de su historia analizaremos por qué el serialismo no fue una decisión aleatoria ni espontánea, sino que surgió de una necesidad estética de aquel periodo. Vamos a comenzar con una breve crónica de la disonancia, tras lo cual describiremos las fases por las que el creador del dodecafonismo, Arnold Schoenberg, tuvo que pasar antes de concebirlo. 2.1. La historia de la disonancia La disonancia siempre ha formado parte de la experiencia musical. Con la música ha venido siempre emparejada la disonancia, mano a mano, como instrumento de contraste, confrontación y ruptura, pero también como elemento constructivo del discurso musical. En la Antigua Grecia, la armonía musical se consideraba unida al resto del universo. La rotación de los astros emitía sonidos armónicos, y era la armonía la que apaciguaba el alma. Pero ¿qué era la armonía sino la unión de consonancia y disonancia? Como dijo Aristóteles: El alma es armonía porque la armonía es mezcla y síntesis de contrarios, y de contrarios precisamente está compuesto el cuerpo. (Tomado de [3] J. de Aixquivel, Memorias de Historia Antigua, 1989.) Es bien sabido que la Escuela de Pitágoras, con su estudio sobre proporciones entre notas, buscaba encontrar cuáles eran los intervalos más consonantes: eran aquellos cuya proporción formaba una relación sencilla. El intervalo de octava era consonante porque su ratio era de 2:1, y de igual manera ocurría con los intervalos de quinta (3:2) y cuarta (4:3), a los que Aristóxeno comenzó a llamar sýmphonos [6]. En cambio, a los intervalos no tan sencillos se los llamaba diáphonos , y fue entonces cuando se le dio nombre a la disonancia. Ya en la Edad Media, la polifonía fue forjando normas sobre su uso. La primera regla compositiva de la música occidental —según Knud Jeppesen [11]— fue la regla franconiana, que expresaba que las disonancias debían ocurrir en la parte débil del compás, mientras que las consonancias en la parte fuerte. Es así como los compositores trenzaban consonancia y disonancia al tejer los hilos de la música. Poco a poco la disonancia pasó a ser usada como floritura melódica: en notas de paso, apoyaturas o retardos, entre otras. Esta función melódica fue impregnando el contrapunto hasta llegar a ser pieza clave en la continuidad y el enlace de las voces. Adquirió entonces una nueva función contrapuntística. ¿Quién no se ha deleitado al escuchar una disonancia bachiana? Pero la disonancia estaba aún circunscrita a la tonalidad reinante. No fue hasta la introducción de acordes extraños que la disonancia pasó a ser el centro del interés musical, y fue in crescendo apropiándose del foco de atención hasta llegar a ser más valiosa aún que la consonancia. Para ello hubo que esperar hasta el siglo XIX, que fue testigo de un asombroso desarrollo del sistema armónico que acabó por quebrantar todas las concepciones musicales anteriores. Para más información sobre la disonancia y su fascinante historia, recomendamos al lector el texto de Felipe Aguirre [1]. 2.2. Wagner, Mahler y la emancipación de la disonancia Aunque las posibilidades que prometía la tonalidad parecían inagotables, sus límites comenzaron a percibirse hacia finales del siglo XIX. En palabras de Arnold Schoenberg: El oído se fue familiarizando gradualmente con gran número de disonancias, hasta que llegó a perder el miedo a su efecto perturbador. Mencionado en [13] Composition with twelve tones, de Style and Idea, 1950. Esta época culminó con los dramas musicales de Richard Wagner, en los que todos los elementos de la obra estaban detalladamente estudiados por el compositor. A este concepto lo llamaba Gesamtkunstwerk (“obra de arte total”) —mencionado en [15] Oper und Drama, 1851—, ya que se aseguraba personalmente de que en sus óperas las artes escénicas, musicales, poéticas y visuales se combinaran entre sí a la perfección. Figura 1: Richard Wagner (1813—1883); figura tomada de National Geographic. La idea del Gesamtkunstwerk la desarrolló alrededor de 1850, y la plasmó en su totalidad en su ciclo de cuatro óperas Der Ring des Nibelungen, estrenado en 1876. Wagner controló y creó cada aspecto de la tetralogía, desde la música hasta el libreto, el vestuario y la escenografía. Incluso mandó crear su propia sala de conciertos en Bayreuth, el Festspielhaus, para que el escenario se adecuara a sus ideas sobre el pensamiento y la cultura musical; véase [12] para más detalles. Así, a ojos de compositores posteriores, se habían agotado todas las posibilidades de la música tonal, y quizás ya había comenzado el viraje hacia el predominio de la disonancia con su abundante uso del cromatismo, como en el famoso primer acorde del drama musical Tristan und Isolde (1865). Consta de las notas fa-si-re#-sol#, y sus intervalos desde el fa son una cuarta aumentada, una sexta aumentada y una novena aumentada. Después de Wagner, otros compositores también estuvieron a las puertas de emancipar la disonancia, de desatarla de las ataduras que imponía la tonalidad. Por ejemplo, el gran compositor Gustav Mahler conseguía reflejar en sus sinfonías dos realidades paralelas: tanto la delicada fragilidad de la tradición anterior como la inminencia de su ruptura. El ejemplo más claro es el Adagio de su Décima Sinfonía, que contiene una disonancia con once de las doce notas de la escala cromática. Y es que, sin lugar a dudas, ya se preveía que la tonalidad iba a reemplazarse. Figura 2: Gustav Mahler (1860—1911); figura tomada de Planet Hugill. Siguiendo la concepción del progreso como un camino ascendente, el paso siguiente para la composición musical debía consistir en deshacerse progresivamente de la tonalidad y desarrollar la “emancipación de la disonancia” —mencionado también en [13] Composition with twelve tones—. Así, en el marco expresionista del cambio de siglo, fue como Arnold Schoenberg ideó sus teorías del pensamiento musical, y éstas dieron paso a la creación de la atonalidad. 2.3. Hacia el atonalismo de Schoenberg Fuertemente influido por Wagner y Mahler desde su adolescencia, Schoenberg comenzó componiendo al estilo posromántico de su época, llevando el cromatismo y la orquestación hasta el extremo. Sin embargo, y no espontáneamente, empezó a buscar en sus composiciones que cada sonido tuviera valor por sí mismo, un valor independiente de su funcionalidad tonal. Figura 3: Arnold Schoenberg (1874—1951); figura tomada de Nextews. Para él, la música no estaba intrínsecamente dirigida a una tónica. En las progresiones, lo importante era el paso de un acorde a otro, y no hacia dónde se dirigían estos. Además, él opinaba que se debían poder utilizar las notas de los modos eclesiásticos libremente, por lo que consideraba las notas no diatónicas tan válidas como las diatónicas. Esto hacía imposible distinguir unas de otras, y apenas se podía identificar la tónica. De esta, y de otras muchas formas, Schoenberg conseguía que la jerarquía tonal quedara desestabilizada [12]. De esta época es su primera obra importante, Verklärte Nacht (Noche transfigurada), Op. 4. Compuesto en 1899, este sexteto de cuerdas está inspirado por el poema homónimo de Richard Dehmel. La música, según su autor, expresa el paseo de un hombre y una mujer en medio de la naturaleza. Aunque en la obra aún prevalece la armonía tradicional basada en acordes, Schoenberg sitúa al oyente en un terreno de indefinición tonal, no sólo en el plano armónico sino también en el melódico. Además, hace uso del acorde de novena invertido, inexistente hasta entonces y, por tanto, rechazado por la crítica [5]. Tras pasar por la etapa tonal post-romántica, y debido a su convicción en la inexorabilidad de la evolución de la música hacia el cromatismo total, en 1908 Schoenberg se desligó de la tonalidad completamente con el ciclo de canciones Das Buch der Hängenden Gärten. A partir de entonces se dedicó a componer fragmentos muy breves cuya estructura era definida por motivos y no por la armonía. Era esto lo que solía ocurrir en formas musicales anteriores como la forma sonata. A este periodo en sus composiciones se le llama atonalidad libre, aunque cabe destacar que Schoenberg rechazaba fervientemente este término: La expresión “música atonal” es de lo más desafortunada —es como llamar a volar “el arte de no caer” o a nadar “el arte de no ahogarse”. Mencionado en [14] A. Schoenberg, Hauer’s Theories, en Style and Idea, 1923. A este periodo pertenece también su famoso ciclo de canciones Pierrot Lunaire, Op. 21 (1912). Su nombre completo es Tres veces siete poemas de Pierrot Lunaire de Albert Giraud, ya que está dividida en 3 grupos de 7 canciones cada uno, cuyos textos son una selección de 21 poemas del ciclo homónimo de Albert Giraud. Se encuentran en ella abundantes referencias al número 7. Schoenberg hace un uso extensivo de motivos de 7 notas a lo largo de la obra, mientras que el conjunto musical que la interpreta, incluyendo al director, consta de 7 miembros. De hecho, a este conjunto de instrumentos —flauta, clarinete, violín, violonchelo, piano y voz— se le ha dado el nombre de ensemble Pierrot en su honor. Otros números importantes en la obra son el 3 y el 13. Cada poema consta de 13 líneas, mientras que la primera línea de cada poema aparece 3 veces, en las líneas 1, 7 y 13. En esta obra no sólo hay una ausencia total de relaciones tonales, sino que el tratamiento vocal evita también cualquier relación estética con las técnicas tradicionales: es un Sprechgesang, un canto hablado. De hecho, Schoenberg se refiere a estas piezas no como canciones, sino como melodramas. Véase [5] para más información. 2.4. El surgimiento del sistema dodecafónico Schoenberg no estaba aún satisfecho con su técnica compositiva, ya que admiraba las obras extensas de los músicos románticos y pensaba que su atonalidad no podía sostener una obra de gran envergadura. Es decir, necesitaba un hilo conductor mejor que los motivos para poder componer obras atonales más largas. Por aquella época sufrió crisis en varios aspectos de su vida. En lo personal, su mujer Matilde Zemlinsky acababa de abandonarlo por otro hombre, aunque posteriormente volvería junto al compositor. Y en lo profesional, sus obras no eran del gusto del público, por lo que no contaba con suficiente dinero para mantener a su familia. Todas estas circunstancias, unidas al desarrollo de la Primera Guerra Mundial, no le permitieron componer apenas entre 1914 y 1923. Tras el final de la guerra, en 1919, Schoenberg fundó la Sociedad para Interpretaciones Musicales Privadas junto a sus discípulos y amigos Alban Berg y Anton Webern. Schoenberg, Berg y Webern se autodenominaron la Segunda Escuela de Viena en honor al grupo de compositores del siglo XVIII Haydn, Mozart y Beethoven, quienes formaban la Primera Escuela de Viena. En la Sociedad para Interpretaciones Musicales Privadas se presentaba música contemporánea en circunstancias que favorecieran su adecuada apreciación. Así se evitaba que dichas obras, al no ser entendidas por el público, fueran inmediatamente rechazadas. Las obras de compositores como Mahler, Debussy, Bartók, Ravel, Strauss y Stravinsky se incluyeron en los programas de conciertos organizados por la Sociedad. En este contexto Schoenberg pudo reflexionar sobre sus técnicas compositivas, y al fin publicó en 1923 su ensayo Método de composición con doce sonidos [13], donde se describían por primera vez los axiomas del dodecafonismo. Estos axiomas constituían la solución al problema de la atonalidad libre que tanto le había estado atormentando durante una década. Su primera obra íntegramente dodecafónica, publicada también en 1923, es la Suite para piano Op. 25, que podrán ver a continuación. Es la pieza más temprana en la que Schoenberg usa series dodecafónicas en cada uno de los movimientos. En dos obras anteriores a ella usa series dodecafónicas, pero en movimientos aislados: la Op. 23, 5 Stücke (1920—23), en el movimiento de Waltz final; y su Serenata, Op. 24, en su Soneto central. Las series utilizadas en la Suite Op. 25 servirán de ejemplo en este texto, y su tercer movimiento, Musette, será estudiado y analizado en el apartado 4.3 con el fin de entender una obra dodecafónica en toda su extensión. A continuación el lector podrá escuchar la Suite para piano Op. 25: 3. El sistema dodecafónico de Schoenberg 3.1. Los postulados del dodecafonismo El dodecafonismo es un sistema compositivo que predetermina la melodía y la armonía a partir de una ordenación de las doce notas de la escala cromática, que se llama serie. Esta y algunas de sus transformaciones son los ladrillos con los que se construyen las alturas de las notas; son el único material que se puede utilizar. El resto de elementos de la pieza, como el número de instrumentos, el ritmo, el carácter, la textura o las dinámicas, se deja a discreción del compositor. No serializar todos los conjuntos será la principal crítica al dodecafonismo por parte de los compositores serialistas que sucedieron a su creador, Arnold Schoenberg. Para los serialistas integrales, como Pierre Boulez, aquello restaba cohesión al modelo compositivo; para los dodecafonistas, aportaba libertad [2]. Precisamente la predeterminación dodecafónica, aunque parece limitante, permite realizaciones musicales y estilos de composición muy diferentes: Schoenberg daba un tratamiento tradicional a sus obras, ya que aun admiraba las formas clásicas; Alban Berg iba más allá al utilizar series que recordaban a las tríadas tonales; y, en cambio, Anton Webern evitaba radicalmente cualquier asociación con la tradición. Schoenberg definió su sistema musical a partir de cuatro postulados que, en realidad, se basan en principios matemáticos [4]: 1. La serie (sobre la que se construye la obra dodecafónica) consta de las doce notas de la escala cromática dispuestas en un orden lineal específico. 2. Ninguna nota aparece más de una vez en la serie. Los dos primeros postulados expresan que una obra dodecafónica fundamenta su estructura sobre una permutación de la escala de doce semitonos. Dicha permutación σ es una biyección del conjunto numerado de las doce notas consigo mismo, y se representa de esta forma: La permutación σ(m), con m ∈ ℤ∕(12), pertenece al grupo simétrico de orden 12, S12. Por ejemplo, en la Suite para piano Op. 25 Schoenberg utiliza como serie original en todos los movimientos de la obra la siguiente permutación σ: Los otros dos postulados restantes son: 3. La serie se puede exponer en cualquiera de sus aspectos lineales: serie original, inversión, retrogradación de la original y retrogradación de la inversión. 4. La serie puede usarse en sus cuatro aspectos desde cualquier nota de la escala. Los dos últimos postulados amplían los recursos compositivos al admitir la transformación de la serie original mediante inversión, retrogradación, inversión retrógrada y transposición. El compositor puede utilizar cualquiera de las transformaciones de una serie al componer su obra dodecafónica. El conjunto de series que puede utilizar, que viene dado por la serie original y todas sus posibles transformaciones, se conoce como espectro serial; veáse [4] para más información. 3.2. Las transformaciones de una serie Transformar una serie es matemáticamente equivalente a aplicar una función sobre la serie, y que asocie esa permutación a la permutación transformada. Por tanto, cualquier función Ψ se aplica sobre el conjunto de las permutaciones, S12. 3.2.1. Transposiciones La transposición, mencionada en el cuarto postulado, consiste en subir o bajar la serie original un número determinado de semitonos. Por tanto, no se modifican los intervalos entre las notas, sino solamente la altura a la que está la serie. Ya que consideraremos todas las octavas equivalentes, debemos trabajar módulo 12. La serie transportada k semitonos (con k constante), Tk(σ), se construye sumando k a σ (mod. 12): Tk(σ(m)) = σ(m) + k A su vez, Tk se forma al componer k transposiciones de 1 semitono: Tk = T1 ∘ T1 ∘… ∘ T1, k veces. Debido a que k es en realidad el exponente en la potencia de T, se coloca este número como superíndice. Históricamente, la notación Ψk, Ψk o también Ψ(k) se ha usado en sustitución de la composición de la transposición Tk y otra función Ψ, en el respectivo orden: Ψk = Ψ ∘ Tk = Ψ(Tk). Sin embargo, esta notación es especialmente ambigua y confusa, sobre todo al trabajar con funciones no conmutativas —cuando importa el orden en el que estén T y Ψ—. Por ello, es preferible ceñirse a la notación estrictamente matemática; es decir, a la composición de funciones, aun omitiendo el símbolo ∘, de esta manera: ΨTk. Una posible serie transportada sobre la permutación σ de la Suite para piano Op. 25, con k = 6, es la siguiente serie T6: 3.2.2. Retrogradación La retrogradación consiste en leer la serie original desde la nota final hacia atrás, es decir, aplicar a la serie una simetría especular. De este modo, la primera nota irá al último puesto, la segunda al penúltimo, y así sucesivamente. La serie retrógrada se construye según la siguiente fórmula: R(σ(m)) = σ(11 - m) La serie retrógrada sobre la permutación σ de la Suite Op. 25 es la siguiente serie R: 3.2.3. Inversión La inversión consiste en cambiar la dirección —de ascendente a descendente y viceversa— de los intervalos entre cada nota de la serie. Si el primer intervalo en la serie original σ es de +k, el primer intervalo en la serie invertida I será de -k (siempre módulo 12), por lo que debemos cambiar el signo de σ para construir I. Además, queremos que la primera nota de ambas series, I(σ(0)) y σ(0), coincidan, así que debemos transportar la serie (-σ) un número λ de semitonos para que esta condición se cumpla: I(σ(0)) = -σ(0) + λ = σ(0) ⇒ λ = 2σ(0) Por tanto, la serie invertida se construye de esta forma: I(σ(m)) = - σ(m) + 2σ(0) La serie invertida sobre la permutación σ de la Suite Op. 25 es la siguiente serie I: En total, obtendremos 48 series —aunque no obligatoriamente distintas entre sí— pertenecientes a un solo espectro serial. Hay 12 series originales sobre cada una de las doce notas, 12 series retrógradas, 12 invertidas y 12 series sobre las que se aplica tanto la retrogradación como la inversión. A continuación se muestra la sintaxis simple junto a la matemática: Sintaxis simple T0, T1, T2… R0, R1, R2… I0, I1, I2… IR0, IR1, IR2… Sintaxis matemática T0, T1, T2… R, RT1, RT2… I, IT1, IT2… IR, IRT1, IRT2… 3.3. Matrices dodecafónicas Dada una serie, su matriz dodecafónica es una representación visual de su espectro serial; es decir, del conjunto de series derivadas de esa serie. El espectro serial es todo el material compositivo sonoro del que se dispone para la composición de una obra dodecafónica. Al poder ordenar y disponer la información en una tabla, el compositor puede acceder a toda ella al mismo tiempo sin tener que calcular cada serie individualmente. La matriz se lee en la dirección en la que aparece el nombre de la serie. Las series T se leen de izquierda a derecha, mientras que las series R de derecha a izquierda. Las series I se leen de arriba a abajo y las IR∕RI de abajo a arriba. He creado un programa que devuelve en formato LATEX la matriz correspondiente a cualquier serie dodecafónica que se introduzca en teclado, además de producir la nomenclatura simple para cada serie. El código, escrito en C++, se puede encontrar en el enlace https://gitlab.com/dodecafonismo/cppmatrices. A continuación, se incluye la matriz dodecafónica de la serie P de la Suite Op. 25 de Schoenberg. Mientras que la mayoría de tablas tienen dos filas inferiores, que se corresponden con las distintas nomenclaturas de RI e IR para una misma serie —ya que normalmente no conmutan—, en la matriz de la serie P sí coinciden. Por otro lado, he escrito un comando en el propio lenguaje LATEX que crea esta misma tabla con el comando \dmatrix, y tiene cualquier serie como argumento. Su sintaxis es \dmatrix. El comando se encuentra en el paquete de LATEX ddphonism, disponible en el enlace https://www.ctan.org/pkg/ddphonism. La tabla aparece sin el orlado de nomenclaturas: 4 5 7 1 6 3 8 2 11 0 9 10 3 4 6 0 5 2 7 1 10 11 8 9 1 2 4 10 3 0 5 11 8 9 6 7 7 8 10 4 9 6 11 5 2 3 0 1 2 3 5 11 4 1 6 0 9 10 7 8 5 6 8 2 7 4 9 3 0 1 10 11 0 1 3 9 2 11 4 10 7 8 5 6 6 7 9 3 8 5 10 4 1 2 11 0 9 10 0 6 11 8 1 7 4 5 2 3 8 9 11 5 10 7 0 6 3 4 1 2 11 0 2 8 1 10 3 9 6 7 4 5 10 11 1 7 0 9 2 8 5 6 3 4 También he creado una página interactiva que genera matrices de cualquier serie para cualquier longitud serial, además de generar series aleatorias. Permite escoger entre dos numeraciones y dos nomenclaturas. Está escrita en Elm y el código puede encontrarse en https://gitlab.com/dodecafonismo/matrices. En este enlace se encuentra la aplicación web. Sus instrucciones de uso se encuentran al final de la página: https://matrices.netlify.com/. 4. Análisis de una obra dodecafónica: el opus 25 4.1. Series de la Suite op. 25 Lo primero que hará un compositor dodecafónico antes de empezar a componer será escoger su serie original. Su elección nunca es una simple cuestión de azar; al contrario, ya que las singularidades de la serie darán un carácter especial a toda la obra. Por ejemplo, el compositor puede escoger una serie con simetrías, y así tendrá series repetidas entre su espectro serial. También puede tener simetrías internas solo en un fragmento de tres o cuatro notas, y de este modo podrá el compositor oscilar entre varias series del espectro que se parezcan entre sí. Para un estudio más completo de las relaciones de similitud entre series se recomienda On the Similarity of Twelve-Tone Rows, de Tuukka Ilomäki [10]. En la Suite para Piano Op. 25, Schoenberg escoge su serie σ para resaltar el intervalo de tritono (6 semitonos). A continuación se observan en negrita los intervalos entre las notas de esta serie, en unidad de semitono: Presenta repeticiones triples de los intervalos de tritono (6), de sexta mayor (9) y de segunda menor o semitono (1): los intervalos más disonantes; una repetición doble de cuarta justa (5), y un intervalo de segunda mayor (2); además de una consecución de intervalos repetida: 9–1–9–1. Como se forma el intervalo de tritono al enlazar la serie original con una serie que empiece por la misma nota, se tiene en cuenta el intervalo de tritono (6) al final. En el dodecafonismo se evitan deliberadamente los intervalos de tercera mayor (4), ya que estos son la base de la eludida armonía tonal. El intervalo de tritono tiene la particularidad de no modificarse en la inversión y transportación k = 6, por lo que estos intervalos aparecen en los lugares originales, mientras que en los procedimientos de retrogradación y retrogradación inversa ocupan sus lugares en retrógrado. En particular, Schoenberg utiliza entre los seis movimientos de la Suite solamente las ocho series de todo el espectro serial que cumplen estos requisitos: T0, T6, I, IT6, R, RT6, RI y RIT6, que podemos observar a continuación: Estas series tienen muchos elementos en común: todas comienzan o acaban por mi♮ o por si♭, lo que permite enlazar unas series con otras por medio del unísono o del tritono; se mantienen los intervalos de tritono en sus lugares originales o retrógrados, y coinciden en las dos primeras y las dos últimas notas dos a dos. Se han realizado estudios – como el de Martha Hyde [7] – en los que se limitan las series utilizadas en la Suite a cuatro: T0, T6, I e IT6, pero ya que el objetivo de este texto no es analizar la obra entera se dejará esta cuestión para análisis posteriores. 4.2. Descripción de la Suite op. 25 Schoenberg realiza en la serie σ una partición triple; es decir, la serie se divide en tres tetracordos, y cada uno de ellos contiene un intervalo de tritono. El último tetracordo, si se retrograda, consta de las notas 10–9–0–11, que en notación germánica es la secuencia BACH. Esto puede ser un homenaje al compositor Johann Sebastian Bach (1685—1750), ya que Schoenberg admiraba a los grandes compositores anteriores a él por las estructuras formales de sus obras. Para más información, véase [16]. Otro posible homenaje a Bach y sus contemporáneos barrocos es precisamente la forma de la obra: es una suite, género cultivado durante los siglos XVII y XVIII que se compone de una variedad de danzas. La Suite de Schoenberg está formada por seis danzas: un preludio, una gavota, una musette, un intermezzo —que no tiene influencia barroca sino más bien de Brahms, otro modelo para Schoenberg—, un minueto con trío y una giga. Además, el estilo, la textura —contrapuntística, típicamente barroca—  y la estructura de cada danza se corresponden con los estilos, texturas y estructuras de las danzas homónimas del periodo bachiano. Por ser ésta su primera obra totalmente dodecafónica, Schoenberg la utilizó como una muestra al mundo de las posibilidades de su nuevo método compositivo. Fue también por lo que tomó un formato tan variado como una suite: así podía en una misma obra componer con estilos tan distintos como los de las distintas danzas. Al componer la obra, Schoenberg trata cada tetracordo como una subunidad individual. Los superpone contra otras series del espectro también divididas, o utiliza sus notas como un solo acorde cuatríada. Estas divisiones no sólo sirven para hacer la serie más reconocible o añadir cohesión a la obra, sino que además facilitan el desarrollo de la serie específicamente en el estilo de cada danza. 4.3. Análisis de la Musette En el tercer movimiento de la Suite, la Musette, Schoenberg recrea la danza barroca que toma su nombre del instrumento homónimo: la cornamusa, de la familia de la gaita. La música compuesta para estos instrumentos suele consistir en una melodía acompañada por una nota pedal, que se traduce aquí en la presencia de un bordón sobre el sol♮ (nota 7). Esta nota se extrae de cada una de las series utilizadas y se forma con ella un ostinato rítmico en la mano izquierda del piano. Con el resto de sonidos de cada serie, Schoenberg vuelve a emular el estilo de la danza barroca y articula un discurso polifónico a dos voces con ritmos esencialmente cortos. A partir de la doble barra del compás 9, el re♭ (nota 1) acompaña a sol♮ y ambos crean un doble bordón en la mano izquierda. La elección de esas dos notas está estrechamente relacionada con la tradicional relación de quinta justa formada por sol♮ y re♮ en la música tonal. Schoenberg sustituye las quintas justas tonales por los tritonos dodecafónicos, subrayando aún más su emancipación de la disonancia. Además de las similitudes texturales, rítmicas y armónicas, la Musette de Schoenberg comparte estructura formal con las danzas barrocas. Y esta semejanza es quizás la más notable, ya que fue la búsqueda de estructura formal lo que inspiró a Schoenberg a desarrollar su método compositivo. La Musette barroca, como todos los movimientos de danza, presenta una estructura binaria con simetría tonal: empieza y acaba por la misma tonalidad, mientras que el centro es zona de desarrollo. Schoenberg despoja de funcionalidad tonal a esa simetría, madre de la forma sonata, y la aplica a su composición dodecafónica. En este movimiento se pueden diferenciar a simple vista tres secciones, divididas en los compases 9 y 20, debido a cambios de textura, figuración y tempo. En la segunda sección se le añade melodía a la mano izquierda del piano, dejando más camuflado el bordón que en la primera sección, además de que éste se vuelve doble, mientras que vuelve a aparecer claramente en la tercera sección. También en la segunda sección aparece una nueva figuración, que es la semicorchea; y, por último, en los dos compases de división aparecen dos a tempo, que marcan el final de las dos primeras secciones tras dos zonas de variabilidad rítmica. Para que esta estructura tríptica sea una forma binaria, la primera y la última parte deben mantener un parecido, que se observa a través del análisis de las series utilizadas en el movimiento. Estas series son T0, T6, I e IT6. En la Musette, Schoenberg hace un uso casi absoluto de la tripartición serial, hasta el punto de individualizar los tetracordios por separado y concederles privilegios seriales, como la retrogradación. Por ejemplo, en el compás 7, en la voz inferior de la mano derecha aparece el tetracordio 4–5–2–3, que es o bien el primer tetracordio de RIT6 o la retrogradación del tercer tetracordio de IT6, mientras que los otros dos tetracordios de IT6, 10–9–71 –1 en la voz superior y 8–11–6–0 en la mano izquierda, aparecen en el orden correcto. Entonces no se puede analizar el compás como RIT6, sino indicar que hay una alteración puntual de IT6. Por tanto, es muy complicado analizar esta obra en su totalidad, ya que la flexibilidad en la ordenación de los tetracordios puede generar situaciones muy ambiguas. Debido a estas fragmentaciones y a las variadas combinaciones de tetracordios originales y retrógrados, se escucha un área de desarrollo hacia la sección media del movimiento. En cambio, las series al principio y al final de la pieza se presentan casi íntegramente, como una exposición y reexposición. He aquí un vínculo con la simetría de las formas binarias tonales. Es más, incluso el orden de las series utilizadas en la primera y en la última sección coinciden, exceptuando dos repeticiones consecutivas y las series T0 finales, que actúan como una cadencia serial: A continuación se encuentra el análisis serial completo de la Musette: Figura 4: Análisis de la Musette (I) Figura 5: Análisis de la Musette (II) 5. Definiciones matemáticas 5.1. Conjuntos y grupos Un conjunto es una colección de objetos bien definidos y distintos entre sí que se llaman elementos. Para definir un conjunto se puede o bien listar los objetos uno a uno, o bien describirlos por medio de un predicado: una o varias propiedades que caracterizan a todos los elementos de dicho conjunto. Por ejemplo, el conjunto Ki, formado por las doce notas de la escala cromática de una misma octava i, está bien definido porque podemos hacer una lista con ellas: por ejemplo, K4 =: Por un lado, aun llamando a las notas de distinta manera, el conjunto, conceptualmente, es el mismo. Además, el hecho de listar algún elemento más de una vez no afecta a su definición. Como Do#4 = Re♭4 (ya que trabajamos con temperamento igual), K4 también puede ser listado así: En cambio, el conjunto D, formado por las duraciones rítmicas elementales – sin ligaduras ni puntillos –, es infinito, por lo que no se puede listar de forma completa. Sin embargo, se puede expresar por medio de un predicado: La notación n ∈ ℤ significa que n pertenece a los números enteros. En este caso se han representado las duraciones mediante su ratio con la duración de la negra. Los elementos de un conjunto pueden combinarse mediante operaciones —como la suma o la multiplicación en el caso de los números— para dar otros objetos matemáticos. Se dice que un conjunto G no vacío y una operación binaria (*) forman la estructura de un grupo (G,*) cuando cumplen las siguientes condiciones: 1. Su operación es interna: Si a,b ∈ G, entonces a * b ∈ G. 2. Su operación es asociativa: Si a,b,c ∈ G, entonces (a * b) * c = a * (b * c). 3. Existe un elemento e en G, llamado elemento neutro o identidad, tal que para todo x ∈ G se cumple que e * x = x * e = x. Se puede probar que el neutro es único para cada grupo. A veces se incluye dentro de la definición del grupo: (G,*,e). 4. Cada x ∈ G tiene asociado otro elemento x-1 ∈ G, llamado elemento inverso, tal que x * x-1 = x-1 * x = e. Se puede probar que el inverso de cada elemento es único. (ℤ,+,0) y (ℚ,+,0) son grupos, pero (ℕ,+,0) no porque no existe el inverso de 2 con la suma: -2 ∉ ℕ. En cambio, (ℝ,*,1) y (ℚ,*,1) son grupos, pero (ℤ,*,1) no porque no existe el inverso de 2 con la multiplicación: ½ ∉ ℤ. 5.2. Funciones y permutaciones Una función es una regla que asocia a cada elemento de un primer conjunto, llamado dominio, un único elemento de un segundo conjunto. Si la función se llama f, el dominio A y el segundo conjunto B, se denota f: A → B. El elemento asociado a un x mediante f se denota f(x). Todos los x ∈ A tienen que estar asociados a un f(x) ∈ B, pero no todos los elementos de B tienen un elemento de A asociado. Los elementos de B que sí lo cumplen, es decir, los que se pueden escribir como f(x) para algún x, forman el conjunto imagen de la función: im(f) = . Una función biyectiva es aquella que empareja de manera exacta los elementos de dos conjuntos, de tal forma que cada elemento del dominio está emparejado con exactamente un elemento de la imagen, y cada elemento de la imagen se empareja con exactamente un elemento del dominio. Cuando varias funciones se aplican una detrás de la otra decimos que realizamos la operación de composición de funciones. Se representa con el símbolo ∘. La imagen de la primera función será el dominio de la segunda, y así sucesivamente. Por ejemplo, aplicar una función f(x) y después aplicar una función g(x) se denota g(f(x)) = (g ∘ f)(x). Una permutación σ(X) es una función sobre un conjunto X que asocia sus elementos a los elementos del mismo conjunto X de manera unívoca. Es decir, asocia cada elemento a uno, y solo uno, de los elementos de su mismo conjunto. El conjunto de todas las posibles permutaciones sobre un determinado conjunto X, junto con la operación de composición de funciones (∘), forma un grupo denotado por SX. Para probarlo, se debe comprobar que cumple todas las propiedades de los grupos. 1. Permutar dos veces es también una permutación. 2. La composición de funciones es asociativa. 3. La permutación que asigna un elemento a sí mismo es la función identidad. 4. Como las permutaciones son biyectivas, cada una tiene una inversa que es también una permutación. Cuando X es el conjunto de números naturales desde 1 hasta n, el grupo SX se representa como Sn y se le denomina el grupo simétrico de orden n. El número de elementos en Sn, es decir, de posibles permutaciones de n números es n!. En los ejemplos musicales de este texto, los conjuntos estarán numerados desde 0 hasta n-1, siendo n el número de elementos a permutar, en vez de desde 1 hasta n. Seguirán siendo grupos simétricos de orden n, pero con una numeración distinta. La notación utilizada para representar una permutación σ perteneciente a Sn con la numeración desde 0 y con σ(m) siendo el elemento asociado a m mediante σ, es: 5.3. Aritmética modular Fijado un n ∈ ℕ, se dice que a y b son congruentes (o equivalentes) módulo n si tienen el mismo resto al dividirlos entre n; es decir, que todos los números con el mismo resto se agrupan y se toman como equivalentes. Se expresa como a ≡ b (mod. n). De esta forma se pueden operar entre sí los números del 0 al n-1, ya que se conservan las operaciones de los números enteros, y si un resultado es ≥ n se puede seguir dividiendo entre n para que cumpla 0 ≤ r < n. Se conserva la suma (y la resta), ya que si a = nqa + ra y b = nqb + rb, entonces a + b = (nqa + ra) + (nqb + rb) = n(qa + qb) + (ra + rb), así que el resto de a + b es igual al de ra + rb. La aritmética modular también se llama aritmética del reloj porque funciona de la misma manera que las horas en un reloj. Como el 3 tiene el mismo resto entre 12 que el 15, las 15h son las 3h: 3 ≡ 15 (mod. 12). O, por ejemplo, 2 horas después de las 11 dan las 13, es decir, la 1: 2 + 11 = 13 ≡ 1 (mod. 12). También se conserva la multiplicación: si a = nqa + ra y b = nqb + rb, entonces ab = (nqa + ra)(nqb + rb) = n2qaqb + nqarb + nqbra + rarb = n(nqaqb + qarb + qbra) + rarb, así que el resto de ab es igual al de rarb. En música, la aritmética modular se puede encontrar en las escalas: todas las notas Do se toman como equivalentes, por ejemplo, y al sumarle 12 semitonos (una octava) se vuelve a obtener un Do. Si se asocian los números del 0 al 11 a las notas cromáticas del Do al Si, entonces 0 + 12 = 12 ≡ 0 (mod. 12). Entonces se dice que un número k pertenece al conjunto , con las propiedades indicadas, de esta manera: k ∈ ℤ12.   Nota: 1 La nota 7 aparece como bordón y no en la misma voz que el resto del tetracordio, por lo que su posición es también excepcional. Bibliografía [1] Felipe Aguirre. El concepto de “disonancia” en Adorno y en la nueva música. Enero de 2019. Consultado en agosto de 2019. [2] Pierre Boulez. Schoenberg is dead, 1952. Publicado en la revista The Score originalmente; consultado en línea en agosto de 2019. [3] J. de Aixquivel. Memorias de Historia Antigua. Universidad de Oviedo, 1989. [4] Manuel Domínguez Romero. Las matemáticas en el serialismo musical. Sigma, 41(24):93–98, 2011. [5] Alicia Díaz de la Fuente. Estructura y significado en la música serial y aleatoria. PhD thesis, Universidad Nacional de Educación a Distancia, Departamento de Filosofía, 2005. [6] World Heritage Encyclopedia. Consonance and dissonance, 2017. Consultado en agosto de 2019. [7] Peter Farindon. Dodecaphonism: Schoenberg. In M. Everist and J. Dunsby, editors, Models of Musical Analysis: Early Twentieth-century Music, chapter 4, pages 45–60. Blackwell Pub, Oxford, Inglaterra, 1993. [8] Paco Gómez. Crónica del congreso Mathematics and Computation in Music 2019, julio de 2019. Consultado en agosto de 2019. [9] Paco Gómez. Mathematics and Computation in Music 2019: un congreso interdisciplinar, julio de 2019. Consultado en agosto de 2019. [10] Tuukka Ilomäki. On the Similarity of Twelve-Tone Rows, 2008. Consultado en línea en agosto de 2019. [11] Knud Jeppesen. Counterpoint: The Polyphonic Vocal Style of the Sixteenth Century. (The Prentice-Hall music series). Dover Publications, 1992. [12] James P. Kinney. Twelve-tone Serialism: Exploring the Works of Anton Webern. Master’s thesis, University of San Diego, University of San Diego, 2015. [13] Arnold Schoenberg. Composition with twelve tones, 1923. Publicado en Style and Idea. [14] Arnold Schoenberg. Hauer’s Theories, 1923. Publicado en Style and Idea. [15] Richard Wagner. Oper und Drama, 1851. [16] June Xiao. Bach’s Influences in the Piano Music of Four 20th Century Composers. PhD thesis, Jacobs School of Music, Universidad de Indiana, 2014.
Miércoles, 11 de Septiembre de 2019 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Música y matemáticas
Autor:Paco Gómez Martín (Universidad Politécnica de Madrid)
El congreso Mathematics and Computation in Music 2019 terminó el pasado 21 de junio. Gracias a la contribución de sus asistentes, el congreso fue un evento extraordinario. Científicamente, tuvimos contribuciones excelentes, profundas, intensas, relevantes. Emocionalmente, según me han hecho llegar muchos conferenciantes, también fue un éxito. Se creo una atmósfera muy amigable en que la gente no competía entre sí, sino que se ayudaba. Por supuesto, hubo crítica y desacuerdo, como ha de ser en toda reunión científica que se precie, pero esa crítica se centró en el contenido y no en la persona, y fue hecha siempre con intenciones de mejora, no de ganancia de poder. Socialmente, también fue un logro. Se hicieron múltiples contactos entre los asistentes como consecuencia del ambiente amistoso de la conferencia así como de la oportunidad de ver en persona a compañeros que trabajan en temas similares a los de uno. Esta efervescencia social fue consecuencia de la generosidad de los asistentes a la conferencia. El congreso se inauguró a las 9:30 de la mañana del 18 de junio por el Rector de la Universidad Politécnica de Madrid (UPM), Guillermo Cisneros. En el acto inaugural intervinieron Agustín Yagüe, Decano de la Escuela de Ingeniería de Sistemas Informáticos (UPM), Paco Gómez (UPM), el organizador local y general (y el humilde autor de esta columna) , Mariana Montiel (Georgia State University), la presidenta del Comité Científico, Guerino Mazzola (University of Minnesota), el Presidente de la Society for Mathematics and Computation in Music, y cerrando el acto el Rector de la UPM, quien ilustró sus ideas con una serie de historias sobre Bach y Euler. En la foto de abajo se ve una instantánea del acto de inauguración. Tras el acto de inauguración, empezó la actividad frenética de las charlas. En la foto de abajo vemos a Moreno Andreatta y Alexandre Popoff respondiendo a las preguntas de los asistentes tras su charla, que fue la primera (la charla tenía de título Groupoids and Wreath Products of Musical Transformations: a Categorical Approach from poly-Klumpenhouwer Networks). En otro momento de la conferencia vemos a Thomas Noll exponer su artículo junto con David Clampitt Exploring the Syntonic Side of Major-Minor Tonality. En la foto de abajo se ve a Paco Gómez junto a Maria Mannone explicando el significado del logo (el oso del logo es del madroño y no Yogui). Los cuatros días de conferencias fueron apasionantes; en particular, la sesión de homenaje a Riemman (Remanaging Riemann: Mathematical Music Theory as “Experimental Philology”?) sobre pedagogía de la Teoría Matemática de la Música (TMM) fueron especialmente productivas y llenas de contribuciones de calidad. La última charla no plenario la dio Jeremy Kastine, quien habló de su trabajo sobre ritmos euclídeos; su charla se titulaba Maximally Even Tilings. No hay que olvidar tampoco las charlas plenarias, que se dieron en el Real Conservatorio Superior de Música de Madrid (RSCMM). En la foto de abajo se ve a Paco Gómez dar la última charla plenaria, que versó sobre la necesidad de la divulgación en el campo de la Teoría Matemática de la Música. En esa charla ocurrió algo que pocas veces, muy pocas veces, he presenciado. El ambiente de aprendizaje, de compañerismo, de buen humor, de cohesión había llegado a tal punto en la conferencia que el turno de preguntas de mi charla se convirtió en un animado y profundo debate sobre múltiples cuestiones de nuestro campo. Se habló largo y tendido de la relación entre los músicos y los científicos, cómo toman unos y otros la presencia del otro, hasta qué punto se aceptan los análisis hechos por matemáticos e informáticos del fenómeno musical, el rechazo que existe en muchos departamentos de música y musicología a los métodos cuantitativos de análisis musical, se habló de la necesidad de que el gran público pero también el público especializado conozca los avances de la TMM, de abrir nuevos canales de comunicación en las redes sociales, se propuso crear canales tales como twitter, canales de Youtube, ¡crear una versión en inglés de esta columna!, escribir libros de divulgación, entre otras muchas ideas. El conserje tuvo que venir a echarnos porque tenía que cerrar el edificio. Otro momento que recuerdo con mucho cariño es el de las pausas para el café. Durante esas pausas los participantes dieron rienda suelta a su vena social. Se hicieron muchas conexiones e incluso se plantaron semillas para colaboraciones y amistades. Además, hubo una exposición interactiva, llamada La La Lab, the Mathematics of Music (https://imaginary.org/exhibition/la-la-lab-the-mathematics-of-music), organizada por Imaginarium. Esta exposición es gratuita —se pueden bajar los materiales desde su web sin coste alguno— y contiene excelente material divulgativo de la TMM. En la foto de abajo vemos a los participantes disfrutando del café y del material de la exposición. El último día nos hicimos la foto de grupo. La cena de gala fue un colofón muy agradable. Muchas risas, francas y abiertas, y un gran ambiente de amistad. Disfrutamos de arroces alicantinos en el restaurante Aynaelda. En la página de Flickr https://www.flickr.com/photos/webpgomez/albums/72157709203649743 se pueden ver muchas más fotos de este fascinante evento. Abajo tenéis fotos de cerca de algunos participantes.
Jueves, 01 de Agosto de 2019 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Música y matemáticas
Autor:Paco Gómez Martín (Universidad Politécnica de Madrid)
1. El congreso Mathematics and Computation in Music 2019 En este mes de junio se celebra el congreso internacional Mathematics and Computation in Music 2019. Quien estas notas escribe ha tenido el privilegio y la responsabilidad de organizarlo, en conjunción con Mariana Montiel y Octavio Alberto Agustín Aquino en el comité científico, y con Manuel Tizón y Pablo Romero en la organización local. Hace muchos años, cuando este campo, el de la Teoría Matemática y Computacional de la Música, empezó, gracias a la visión y al esfuerzo de un puñado de investigadores heterodoxos, se le veía como una extravagancia, un capricho pasajero, o a veces incluso un suicidio académico. Si te empeñabas en defenderlo, con frecuencia uno oía que este campo “no es serio”. Sin embargo, esos críticos se dejaron llevar por una inercia intelectual que, como su propio nombre sugiere, rechazaba el cambio. Hoy en día ya se habla con normalidad de campos como la Lingüística Computacional o la Informática Médica. Ese puñado de aguerridos pioneros, muchos de los cuales están en esta conferencia, con su ejemplo y trabajo pronto atrajeron a otros investigadores, los cuales fascinados por las estructuras matemáticas que se encuentran en la música, empezaron a trabajar con ahínco en este campo. Tras unos años de dificultades, empezaron a cuajar las relaciones de colaboración nacionales e internacionales, se crearon revistas, se celebraron talleres y también se creo el congreso del que hoy hablamos aquí. Estamos en su séptima edición de un congreso que se celebra bianualmente. El congreso ya está maduro en términos de excelencia científica y reconocimiento internacional. Y, como digo, me ha sido concedido el privilegio de participar en su organización. La columna de este mes consiste simplemente en el programa (en inglés) del congreso. Este programa vale más que mil reseñas que pueda dar. Disfrutad. ___________________________________________   2. Introduction The Seventh International Conference on Mathematics and Computation in Music will be held June 18-21, 2019 at Universidad Politécnica de Madrid (UPM) and Real Conservatorio de Música de Madrid (RCSMM), Madrid, Spain. MCM is the flagship conference of the Society for Mathematics and Computation in Music (SMCM), whose official publication is the Journal of Mathematics and Music (JMM). MCM 2019 continues the tradition of biennial international conferences of the Society for Mathematics and Computation in Music held on alternating sides of the Atlantic. In this occasion it is hosted by the Escuela Técnica Superior de Ingeniería de Sistemas Informáticos (ETSISI). The conference brings together researchers from around the world who combine mathematics or computation with music theory, music analysis, composition and performance. MCM provides a dedicated platform for the communication and exchange of ideas amongst researchers in mathematics, computer science, music theory, composition and performance, musicology and related disciplines. The disciplines of Mathematics and Music share an intertwined history stretching back more than two and a half millennia. Nowadays computer science points towards new approaches to these disciplines, often with transformative effect. In addition to the scientific program, there will be concerts open to both conference participants and the general public.   3. Organization General Organizing Committee Francisco (Paco) Gómez, Technical University of Madrid, Spain. Mariana Montiel, Georgia State University, Georgia, USA. Emilio Lluis-Puebla, Faculty of Sciences, UNAM, Mexico. Guerino Mazzola, University of Minnesota, USA. Thomas Noll, Escola Superior de Musica de Cataluña. José Luis Besada, Université de Strasbourg and IRCAM. Scientific Programme Committee Mariana Montiel, Georgia State University, Georgia, USA. Francisco (Paco) Gómez, Technical University of Madrid, Spain. Octavio Alberto Agustín Aquino, Instituto de Física y Matemáticas, Universidad Tecnológica de la Mixteca. Scientific Committee Octavio A. Agustín-Aquino Jean Paul Allouche Emmanuel Amiot Moreno Andreatta Juan Sebastián Arias Aitor Arronte Álvarez Cristian Bañuelos Gilles Baroin Chantal Buteau Olivia Caramello Norman Carey Rodrigo Castro López Vaal David Clampitt Darrell Conklin Maxime Crochemore Andrée Ehresmann Michael Franklin Harald Fripertinger Emilia Gómez Francisco (Paco) Gómez Yupeng Gu Gareth Hearne Julian Hook Franck Jedrzejewski Maximos Kaliakatsos Jeremy Kastine Olivier Lartillot Vicente Liern Emilio Lluis-Puebla Pedro Louzeiro Maria Mannone Dimitrios Margounakis Guerino Mazzola Brent Milam Andrew Milne Mariana Montiel Javier Mora Thomas Noll Robert Peck Richard Plotkin Alexandre Popoff David Rappaport David Temperley Petri Toiviainen Isao Tokuda Jason Yust Marek ´abka Fernando Zalamea Local Organizing Committee Francisco (Paco) Gómez Pablo Romero Manuel Tizón   4. Conference Schedule 4.1. Tuesday, June 18th, 2019 8:30: Buses taking the conference participants to the UPM Campus Sur. Meeting point: Hotel Mediodía, on 8th Plaza del Emperador Carlos V. Coordinates: C854+9P Madrid. 9:00-12:00: Registration at the registration desk at Sala de Grados (ETSISI) 9:00-9:30: Opening Session: Sala de Grados, ETSISI. Opening Addresses and Welcome: Guillermo Cisneros Pérez, President of UPM Agustín Yagüe, Dean of ETSISI Prof. Dr. Guerino Mazzola President of the Society for Mathematics and Computation in Music Prof. Dr. Francisco Gómez, Head of the General and Local Organizing Committees Prof. Dr. Mariana Montiel Head of the Scientific Committee 9:30-13:00. Session 1: Algebraic and other Abstract Mathematical Approaches to Understanding Musical Objects. Sessions to be held at Sala de Grados, ETSISI. Chairperson: Paco Gómez 1) 9:30-10:00 Alexandre Popoff, Moreno Andreatta, and Andreé Ehresmann. Groupoids and Wreath Products of Musical Transformations: a Categorical Approach from poly-Klumpenhouwer Networks. 2) 10:00-10:30 Dmitri Tymoczko and Jason Yust. Fourier Phase and Pitch-Class Sum. 3) 10:30-11:00 Maria Mannone and Federico Favali. Categories, Musical Instruments, and Drawings: A Unification Dream. 11:00-11:30: Coffee break Chairperson: Octavio A. Agustín-Aquino 4) 11:30-12:00 Giovanni Albini and Marco Paolo Bernardi. Tropical Generalized Interval Systems. 5) 12:00-12:30 Maria Mannone and Luca Turchet. Shall we (math and) dance? 12:30-13:30: Poster session Aitor Arronte Álvarez and Francisco Gómez. Distributed Vector Representations of Folksong Motifs: A Similarity and Classification Study. Gilles Baroin. Visualizing Temperaments: Squaring the Circle?. Billie Sandak, Avi Mazor, Amichay Asis, Avi Gilboa, and David Harel. Computational Music Therapy. Isaac del Pozo and Francisco Gómez. Formalization of Voice-Leadings and the Nabla Algorithm. Miguel Díaz-Báñez and Nadine Kroher. Maths, Computation and Flamenco: overview and challenges. Darrel Conklin. Music Corpus Analysis Using Unwords. 1:30 pm-2:50 pm: Lunch 3:00 pm: Bus to Madrid downtown (Atocha) Sessions to be held at RCSMM. 5:00 pm-6:00 pm: Plenary talk. Speaker: Guerino Mazzola. Title: COMMUTE - Towards a Computational Musical Theory of Everything. 6:30 pm-7:30 pm: MCM Concert. Moreno Andreatta (music) and Gilles Baroin (visuals) . Math’n Pop Concert or How to turn a Poem into a Song (with a little help of mathematics). 4.2. Wednesday, June 19th, 2019 8:30: Buses taking the conference participants to the UPM Campus Sur. Meeting point: Hotel Mediodía, on 8th Plaza del Emperador Carlos V. Coordinates: C854+9P Madrid. 9:00-11:00 am: Session 2: Special Session: Remanaging Riemann: Mathematical Music Theory as “Experimental Philology”? (I) Sessions to be held at Sala de Grados, ETSISI. Chairperson: Norman Carey 1) 9:00-9:30. Jason Yust. Decontextualizing Contextual Inversion 2) 9:30-10:00. Markus Schmidmeier. From Schritte and Wechsel to Coxeter Groups. 3) 10:00-10:30. Thomas Noll and David Clampitt. Exploring the Syntonic Side of Major-Minor Tonality. 4) 10:30-11:00. Thomas Noll and Karst de Jong. Embedded Structural Modes:Unifying Scale Degrees and Harmonic Functions. 11:00-11:30: Coffee break 11:30-12:30: Session 3: Special Session: Remanaging Riemann: Mathematical Music Theory as “Experimental Philology”? (II) Chairperson: Norman Carey 1) 11:30-12:00. Franck Jedrzejewski. Non-Contextual SQZ Transformations. 2) 12:00-12:30. Franck Jedrzejewski. The Hierarchy of Rameau Groups. 3) 12:30-1:00 pm. Daniel Harasim, Thomas Noll, and Martin Rohrmeier. ”Distant Diatonic Neighbors and Inter-Diatonic Shortcuts?”. 4) 1:00 pm-1:30 pm. Matt Klassen. Constraint-Based Systems of Triads and Seventh Chords, and Parsimonious Voice-Leading. 1:30 pm-2:50 pm: Lunch 3:00 pm: Bus to Madrid downtown (Atocha) Sessions to be held at RCSMM. 5:00 pm-6:00 pm: Plenary talk. Speaker: Octavio A. Agustín-Aquino (joint work with Guerino Mazzola). Title: Counterpoint Worlds. 6:00 pm-6:30 pm: Visualizing the temperaments, a short film by Gilles Baroin. 7:00 pm-8:00 pm: MCM Concert. Naoki Kita (violin), Guerino Mazzola (piano) and Heinz Geisser (drums). MA - Music of Change. 4.3. Thursday, June 20th, 2019 8:30: Buses taking the conference participants to the UPM Campus Sur. Meeting point: Hotel Mediodía, on 8th Plaza del Emperador Carlos V. Coordinates: C854+9P Madrid. 9:00-11:00: Session 4: Special Session on the Pedagogy of Mathematical Music Theory (I) Chairperson: Paco Gómez 1) 9:00-9:30. Thomas Noll. Insiders’ Choice: Studying Pitch Class Sets through their Discrete Fourier Transformations. 2) 9:30-10:00. Maria Mannone. Have Fun With Math and Music. 3) 10:00-10:30. Andrew J. Milne and Andrea M. Calilhanna. Teaching Music with Mathematics: A Pilot Study. 4) 10:30-11:00. Miguel R. Wilhelmi and Mariana Montiel. Integrated Music and Math Projects in Secondary Education. 11:00-11:30: Coffee break 11:30-12:00: Session 5: Special Session on the Pedagogy of Mathematical Music Theory (II) Chairperson: Paco Gómez 5) 11:30-12:00. Brent Milam and Mariana Montiel. A Collaborational Concert: Mathematics Club-Composition Seminar and their Interdisciplinary endeavor 6) 12:00-12:30. Emmanuel Amiot. Concérconferences: of music and mathes for the audience’s delight Octave division Chairperson: Jeremy Kastine 1) 12:30-13:00. Gareth M. Hearne, Andrew J. Milne, Roger T. Dean. Distributional Analysis of n-dimensional Feature Space for 7-note Scales in 22-TET. 2) 13:00-13:30. Louis Bigo y Moreno Andreatta. Filtration of pitch-class sets complexes. 1:30 pm-2:50 pm: Lunch 3:00 pm: Bus to Madrid downtown (Atocha) Sessions to be held at RCSMM. 5:00 pm-6:00 pm: Plenary talk. Speaker: Emmanuel Amiot. Title: The unreasonable efficiency of Algebra in Maths and Music (Musica Exercitia algebricae est?). 6:00 pm-6:45 pm: Editorial meeting of the JMM 7:00 pm-8:00 pm: MCM Concert. Emilio Lluis-Puebla (piano) and Octavio Agustín-Aquino (guitar). Integral of Diabelli’s Piano and Guitar Sonatas and Manuel M. Ponce’s Sonata for Piano and Guitar.   5. Friday, June 21st, 2019 8:30: Buses taking the conference participants to the UPM Campus Sur. Meeting point: Hotel Mediodía, on 8th Plaza del Emperador Carlos V. Coordinates: C854+9P Madrid. 9:00-11:00: Session 7: Computer based approaches to composition and score structuring. Sessions to be held at Sala de Grados, ETSISI. Chairperson: Luis Nuño 1) 9:00-9:30. Giovanni Santini. Synesthesizer: physical modelling and machine learning for a color-based synthesizer in Virtual Reality. 2) 9:30-10:00. Vicente Liern Carrión and Brian Martínez. Mercury R: A software based on fuzzy clustering for computer-assisted composition. 3) 10:00-10:30. Francesco Foscarin, Florent Jacquemar, Philippe Rigaux, and Masahido Sakai. A Parse-based Framework for Coupled Rhythm Quantization and Score Structuring. 4) 10:30-11:00. Paul Lanthier, Coerntin Guischaoua and Moreno Andreatta. Reinterpreting and extending Anatol Vieru?s Periodic Sequences through the Cellular Automata formalisms: some theoretical, computational and compositional aspect. 11-11:30: Coffee break 11:30-12:30: Session 8: Models for music cognition and beat tracking Chairperson: José Luis Besada 1) 11:30-12:00. Noah Fram. Surprisal, liking, and musical affect. 2) 12:00-12:30. Christopher White. Autocorrelation of Pitch-Event Vectors in Meter Finding. 3) 12:30-13:00 pm. Luis Nuño. The Envelopes of Consonant Intervals and Chords in Just Intonation and Equal Temperament. 13:00-13:30 Tilings, canons and maximal evenness 1) 1:00 pm-1:30 pm. Jeremy Kastine. Maximally Even Tilings. 1:30 pm-2:50 pm: Lunch 2:50 pm: Bus to Madrid downtown (Atocha) Sessions to be held at RCSMM. 5:00 pm-6:00 pm: Plenary talk. Speaker: Paco Gómez. Title: Outreach in Mathematical Music Theory. 8:30: Conference gala dinner.   6. Musical and Social Programme 6.1. Math’n Pop Concert Moreno Andreatta, piano and voice Gilles Baroin, visual representations Composing chansons based on texts by poets has become a popular genre within the field of songwriting. Building on this tradition, Moreno Andreatta adds a mathematical dimension to this genre: using permutational tools and graph-theoretical methods, he creates an original universe where poetry and music meet in a new dialogue. Combining piano and voice, Moreno Andreatta introduces the audience to his original musical creations. The concert will be accompanied by visual representations of the underlying mathematical constructions, conceived and realized by ’mathemusician’ Gilles Baroin. 6.2. MA - Music of Change Naoki Kita, violin Guerino Mazzola, grand piano Heinz Geisser, drums and percussions The free jazz collaboration duo of drummer Heinz Geisser and pianist Guerino Mazzola has lasted twenty years now. In April 2017 they had a series of six highly acclaimed concerts in Tokyo and Yokohama, resulting in three CD productions including Ma, with the collaboration of Japanese violinist Naoki Kita. Geisser and Mazzola strongly adhere to the idea that music should transform with virtuosity gestures and thoughts in the imaginary time of our consciousness into real sound structures that shape the body of time instead of following any external baton. Naoki Kita?s performances include a blend of original music and improvisation and the transformation of the duo in trio has created new avenues. 6.3. Integral of Diabelli’s Piano and Guitar Sonatas and Manuel M. Ponce’s Sonata for Piano and Guitar Emilio Lluis-Puebla, piano Octavio Alberto Agustin Aquino, guitar Mathematicians Emilio Lluis-Puebla and Octavio Alberto Agustin Aquino also have parallel careers as accomplished musicians. Together they have played and recorded the integral of Diabelli’s piano and guitar sonatas, which they will present together with Mexican composer Manuel M. Ponce’s sonata for piano and guitar.   7. Useful Information 7.1. Venues 1. Escuela Técnica Superior de Ingeniería de Sistemas Informáticos (ETSISI), Universidad Politécnica de Madrid (UPM). Calle de Alan Turing, s/n, 28031, Madrid. 2. Real Conservatorio de Música de Madrid (RCSMM). Calle de Santa Isabel, 53, 28012, Madrid.
Miércoles, 05 de Junio de 2019 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Música y matemáticas
Autor:Paco Gómez Martín (Universidad Politécnica de Madrid)
1. Macroarmonía y centralidad Esta es la última entrega de la serie Geometría y Música, serie que ha consistido en una revisión exhaustiva del libro A Geometry of Music [Tym18], redactado por el compositor y teórico de la música Dimitri Tymoczko. Este autor se ha caracterizado por ser un ferviente partidario de los métodos geométricos del análisis musical. En varios textos suyos aboga por este tipo de métodos y argumenta que son más potentes a la hora de analizar música tonal, atonal y jazz. En la primera entrega [Góm18d] estudiamos las cinco características principales de la música tonal según Tymoczko (el movimiento melódico por grados conjuntos, la consonancia acústica, la consistencia armónica, la macroarmonía limitada y la centralidad). En el segundo artículo [Góm18b] describimos a fondo los modelos matemáticos que usa Tymoczko para el análisis musical. En la tercera entrega [Góm18c] se estudiaron los modelos geométricos de progresiones de acordes y conducciones de voces para acordes de dos y tres voces. En la cuarta entrega [Góm18a] se trataron la construcción de escalas, las operaciones sobre escalas y la relación entre escala y modulación y conducción de voces. En el capítulo cinco de Geometría y Música, el autor analiza el concepto de macroarmonía. Lo define como el efecto musical que tiene una sucesión de acordes en su conjunto. No cabe duda de que el efecto que tiene un acorde depende de los acordes que se hayan tocado en los compases anteriores. Tymoczko plantea cuatro cuestiones acerca de la macroarmonía: La música en cuestión ¿articula una macroarmonía clara aparte del total cromático? ¿Cuán rápido se producen los cambios de armonía? ¿Son las macroarmonías de la pieza similares estructuralmente hablando? Otra manera de plantear esta cuestión es si las macroarmonías se pueden relacionar a través de las operaciones estudiadas en las series anteriores. ¿Son las macroarmonías consonantes o disonantes? 2. Cambios de clases de alturas Una cuestión que interesa a Tymoczko es cómo cuantificar la macroarmonía. Para ello, investiga el cambio de clases de alturas en piezas de varias tradiciones musicales. Toma un número fijo de notas, al que llama ventana, y se cuentan los cambios de clases de alturas dentro de dicha ventana. El tamaño de la ventana va desde una nota hasta la pieza entera. Así, por ejemplo, en la invención a dos voces en fa mayor de Bach de la figura siguiente, vemos las ventanas de tamaño 3 y 4 para el tema principal. Para tamaño 3, la media es 2,4 y para tamaño 4 es 2,9. Figura 1: Cambios de clases de altura en función del número de notas (figura tomada de [Tym11]) En la figura siguiente se tienen el número medio de clases en función del tamaño de la ventana así como su histograma. Este gráfico nos da una idea aproximada de cuán rápido cambian las armonías a lo largo de la pieza. Figura 2: Histograma del cambio de clases de alturas (figura tomada de [Tym11]) La siguiente figura muestra una serie de piezas que recorren varios periodos de la música, desde el Renacimiento con la música de Palestrina (la misa del Papa Marcelo) hasta el opus 27 de Webern, pasando por obras de Mozart, Beethoven, Brahms y Wagner. Las curvas de Palestrina y Webern tienen un cierto parecido; ambas indican que los compositores usaron exhaustivamente ciertas colecciones de notas en un periodo de tiempo relativamente corto. Sin embargo, en el caso de Palestrina se trata de las notas de la escala diatónica y en el caso de Webern las notas de la escala cromática. El hecho de que la curva de Webern se acerque al valor de 12 tan pronto y tan pronunciadamente nos habla del carácter dodecafónico del opus 27. Webern recorre cíclicamente todas las armonías que son posibles dentro de la escala cromática. Viendo estos gráficos se concluye que las piezas son estáticas desde un punto de vista de la macroarmonía. Figura 3: Comparación entre los cambios de clases de alturas de varios compositores (figura tomada de [Tym11]) La figura 3 confirma empíricamente un hecho bien conocido en la historia de la música y es que el cromatismo gradualmente fue aumentando con el tiempo. Empezó con tímidas exploraciones en la época del Barroco, fue a más durante el Clasicismo, aumentó fuertemente en el Romanticismo y desembocó en el atonalismo a principios del siglo XX. Los histogramas se puede usar también para estudiar obras de un mismo autor y ver cómo se comportan los cambios en las clases de alturas. En la figura 4 se ve las curvas de cambio de clases de alturas para nueve estudios de Chopin. El opus 10, número 2, es un estudio con un gran cromatismo, que tras 40 compases ya ha visitado prácticamente el universo cromático. En cambio, el estudio opus 10, número 4, es menos cromático y no pasa de ocho clases de alturas. Figura 4: Cambios en las clases de alturas en los estudios de Chopin (figura tomada de [Tym11]) Un análisis similar podemos ver en la figura siguiente, esta vez referido a las clases de alturas en el primer libro de preludios de Debussy. Se puede ver que en el caso de esta obra la tendencia hacia al cromatismo ocurre más lentamente que en el caso de Chopin. Se observa que las curvas se acercan al valor 12 (cromatismo total) para valores mayores de la ventana y también que hay varias obras que no alcanzan ese valor, sino otros inferiores. Figura 5: Cambios en las clases de alturas en el primer libro de preludios de Debussy (figura tomada de [Tym11]) Por último, tomemos un compositor menos tonal como puede ser Igor Stravinsky. Abajo tenemos las curvas de cambios de clases de alturas para La consagración de la primavera. Se ha analizado cada sección. Vemos que el Cortejo del sabio es mucho más cromática que las Rondas primaverales. También observamos que los cambios de altura se producen pronto. Figura 6: Cambios en las clases de alturas en La consagración de la primavera de Stravinsky (figura tomada de [Tym11]) Sin embargo, estos histogramas no reflejan un hecho importante. Informan de cuán rápido cambian las clases de alturas, pero no informan de las macroarmonías en sí mismas. Estos histogramas no pueden distinguir entre piezas en que se modula rápidamente y piezas no diatónicas, por poner un ejemplo. Hace falta otro tipo de instrumentos de análisis. Dicho instrumento es el perfil macroarmónico global. Dada una pieza se pueden tabular todos los acordes de tres notas, de cuatro notas, y así sucesivamente. Para ilustrar el uso de estos perfiles, consideremos dos piezas de dos autores bastante distintos, Schoenberg y Coltrane. Las piezas a comparar son el opus 11, número 1, del primero y el solo de Giant steps, del segundo. En la figura 7 vemos los perfiles para acordes de seis y siete notas. El eje x del perfil corresponde a la codificación de los acordes de Forte; véase [For77] para una descripción general de los mismos. En realidad, lo que importa es la forma de las curvas en los perfiles. Se puede ver que en ambos perfiles, la música de Schoenberg muestra una distribución más regular de los acordes que la música de Coltrane. Schoenberg no enfatiza ningún acorde en particular, mientras que Coltrane sí lo hace. Desde este punto de vista se puede decir que la pieza de Coltrane es más consistente macroarmónicamente que la pieza de Schoenberg. Figura 7: Cambios en las clases de alturas en La consagración de la primavera de Stravinsky (figura tomada de [Tym11]) 3. Centralidad En su libro, Tymoczko reconoce que el concepto de centralidad es elusivo. En muchos pasajes musicales se percibe una nota o una serie de notas como más estables, importantes o destacadas que otras. Es lo que llamamos el centro tonal. Esta definición, aunque popular, no es todo lo operativa que sería deseable. En parte se debe a que el concepto de centralidad comprende dos fenómenos relacionados entre sí: las notas fundamentales y la tonicidad. La nota fundamental de un acorde se suele asignar a la nota más grave del mismo cuando el acorde se dispone como una sucesión de terceras ascendentes. No en todos los contextos es así. Por ejemplo, en el siguiente pasaje vemos una serie de repeticiones de dos acordes superpuestos, do-mi-sol y fa♯-re-mi♭. En este contexto es difícil argumentar que la nota fundamental es fa♯ solo porque es la más grave. La dinámica del pasaje nos hace percibirlo como una transición desde el acorde fa♯-re-mi♭ hasta el acorde do-mi-sol. Esta situación aparece con frecuencia en la música del siglo XX. Figura 8: El problema de la determinación de la fundamental de un acorde (figura tomada de [Tym11]) En análisis musical ha empezado a usarse los perfiles de clases de alturas para representar las diferencias en importancia entre las notas de un acorde. El esquema para construir los es asignar el valor 0 a las notas fuera de la macroarmonía, 1 a las notas dentro de la macroarmonía que son centrales y 2 a las notas que sí son centrales. Por centrales aquí se quiere decir que presenta algún tipo de prominencia musical (discutiremos esto más adelante) . Por ejemplo, el perfil asociado a la música en la figura 8 sería una interpolación entre los dos perfiles siguientes: Figura 9: Perfiles de clases de alturas (figura tomada de [Tym11]) En la figura 10 se puede ver el perfil de clases de alturas para la frase inicial de la sinfonía Júpiter de Mozart. Esta distribución de alturas recuerda claramente a la de la escala de do mayor. Este tipo de histogramas reflejan, sin embargo, solo una parte del fenómeno. Es posible crear sensación de centralidad no solo en base a la repetición de notas, sino a través de otros mecanismos. Figura 10: Perfil de clases de alturas para la frase inicial de la sinfonía Júpiter de Mozart (figura tomada de [Tym11]) Tymockzko sostiene en su libro que hay dos tipos de explicaciones para la centralidad, las explicaciones externas y las internas. Las explicaciones externas identifican los mecanismos por los cuales los compositores hacen que ciertas notas sean más importantes que otras. Por ejemplo, esos mecanismos pueden ser tener notas que aparecen con más frecuencia, acentos rítmicos, dinámicos o poniendo énfasis en la textura. Las explicaciones internas, en cambio, se centran en el fenómeno y basta un análisis de la música para determinar qué notas son más importantes que otras. En las explicaciones internas se suele asumir dos principios: (1) una nota es más prominente que otra si es la más grave y forma un intervalo consonante; (2) una nota es más prominente que otra si no forma una disonancia fuerte con ninguna otra nota en la macroarmonía (como una segunda menor o un tritono). Bibliografía [For77] Allen Forte. The Structure of Atonal Music. The Yale University Press, Madison, WI, 1977. [Góm18a] Paco Gómez. La geometría de la música (iv), consultado en abril de 2018. [Góm18b] Paco Gómez. La geometría de la música (ii), consultado en diciembre de 2018. [Góm18c] Paco Gómez. La geometría de la música (iii), consultado en enero de 2018. [Góm18d] Paco Gómez. La geometría de la música (i), consultado en octubre de 2018. [Tym11] Dimitri Tymoczko. A geometry of music: harmony and counterpoint in the extended common practice. Oxford University Press, 2011. [Tym18] Dmitri Tymoczko. Página web de Dmitri Tymoczko, consultado en diciembre de 2018.
Martes, 07 de Mayo de 2019 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Música y matemáticas
Autor:Paco Gómez Martín (Universidad Politécnica de Madrid)
1. La geometría de las escalas Esta es la cuarta entrega de la serie Geometría y Música, serie en la que estamos revisando a fondo el libro A Geometry of Music [Tym18] del compositor y teórico de la música Dimitri Tymoczko. En este libro, Tymoczko hace una defensa sólida y apasionada de los métodos geométricos del análisis musical. En la primera entrega [Góm18c] se caracterizaron cinco componentes de la música tonal, a saber: el movimiento melódico por grados conjuntos, la consonancia acústica, la consistencia armónica o la similitud entre sonoridades armónicas, la macroarmonía limitada o la elección de las escalas, y la centralidad o la jerarquización de los grados de la escala. En la segunda serie [Góm18a] entramos a describir las bases mátemáticas de los modelos propuestos por Tymoczko. Se definieron los espacios de frecuencias y de alturas, se definieron operaciones relavantes musicalmente, las operaciones OPTIC, y se estudió qué objetos musicales quedan invariantes por estas operaciones. Por último, se examinó la cuestión de la comparación de conducciones de voces. En la tercer serie [Góm18b] se estudiaron los modelos geométricos de progresiones de acordes y conducciones de voces para acordes de dos y tres voces. En la entrega presente trataremos la construcción de escalas, las operaciones sobre escalas y la relación entre escala y modulación y conducción de voces. Parte del trabajo ya está hecho en el material de las entregas previas; ahora se trata de cambiar la perspectiva de acordes a la de escalas. Una escala se puede concebir como una regla que se construye sobre la extensión de una porción fija del espacio de frecuencias. Visto desde un marco abstracto, cualquier colección de notas puede serlo y aunque observamos que muchas escalas tienen distancias pequeñas y que con frecuencia se ajustan a la octava, para su definición formal basta con que la escala determine la distancia entre notas consecutivas. La distancia entre dos notas consecutivas de una escala se llama paso de la escala. Las escalas por octava son escalas que marcan las notas en una octava dada y luego, por transposición, extienden la definición de la escala al resto de octavas. Las escalas mayores y menores de la música occidental son de este tipo. Una escala por octava se puede concebir una selección de clases de alturas, ya que las notas se repiten en todas las octavas; véase la figura 1. Figura 1: Escalas por octava (figura tomada de [Tym11]) 2. Grados de la escala, transposiciones e inversiones en escalas Como hemos dicho antes, una escala proporciona una medida de la distancia musical. Si tomamos, por ejemplo, la división en 12 semitonos de la octava, entonces la escala diatónica es una agrupación de las distancias cromáticas en el conjunto (2,2,1,2,2,2,1). Al pensar en términos de escalas, asignamos a cada grado de la escala un número, empezando por la primera nota con el uno y así sucesivamente. La asignación de los grados es arbitraria y en principio la primera nota no es más importante que el resto. Análogamente a las transposiciones e inversiones en el espacio cromático (vistas en la segunda entrega de esta serie [Góm18c]), se pueden definir similares operaciones e investigar las escalas que quedan invariantes por ellas. Transponer una escala es sencillamente sumar a cada grado de la escala una constante. Para invertir una escala, se fija una de sus notas y se giran el resto de las notas alrededor de la misma. La figura siguiente ilustra ambas operaciones. Figura 2: Operaciones sobre escalas (figura tomada de [Tym11]) Cuando se refiere a escalas, la situación de las clases de acordes invariantes por las operaciones es ligeramente diferente a cuando se consideran en el espacio cromático. Dos acordes pertenecerán a la misma clases invariante por transposiciones cuando uno sea una transposición del otro. Si estamos en la escala de do menor, los acordes (B, D, F) y (C, E♭, G) se encuentran en la misma clase porque el segundo es igual al primero un más un paso de escala. La figura siguiente muestra todos los acordes que pertenecen a la misma clase. Nótese que cromáticamente (B, D, F) y (C, E♭, G) son distintos, pues el primero es un acorde disminuido y el segundo un acorde menor. Figura 3: Transposición de acordes en escalas (figura tomada de [Tym11]) 3. Construcción de escalas Las escalas son la base de la armonía y, por tanto, en la práctica compositiva se busca que haya un equilibrio entre el número de intervalos consonantes y disonantes. Dado que la octava es el intervalo más consonantes las escalas por octava, esto es, las que repiten la misma distribución de notas en cada octava son muy frecuentes. El segundo intervalo más consonante es la quinta pura, es decir, el intervalo en que el cociente entre la frecuencia más aguda y la más grave es igual a 3∕2. Supongamos que queremos construir una escala que contenga el máximo número de quintas puras. Se sabe desde hace mucho tiempo que es imposible construir una escala en que contenga quintas puras arriba y abajo de cada nota; de ahí que pidamos solo el máximo número posible. Si concatenamos cinco quintas perfectas puras seguidas, como se muestra en la figura 4 (a), veremos que no alcanzamos de nuevo una octava. Matemáticamente, esto es debido a que no hay ningún par de números enteros n,m tales que n = 2m. La última quinta se queda 0.9 semitonos por debajo de la nota de la octava (el do entre paréntesis en la figura). Otra opción sería concatenar siete quintas perfectas puras (la parte (b) de la figura), pero entonces ahora se sobrepasa en 1.137 semitones, y es aun peor que el caso anterior. Siendo más radical, si concatenamos doce quintas perfectas puras (la parte (c) de la figura), entonces nos quedamos por encima de la nota de la octava en 0.25 semitonos. Figura 4: Concatenación de quintas perfectas puras (figura tomada de [Tym11]) Puesto que las quintas perfectas puras no han funcionado, se puede pensar que otros intervalos puros sí podrían dar resultado. Por ejemplo, consideremos las terceras mayores puras, cuya constante de proporcionalidad es 5∕4. Una concatenación de cuatro terceras mayores puras se queda corta en 0.41 semitonos con respecto a la octava; véase la figura 5 (a). Si seguimos apilando terceras, digamos hasta cinco, en ese caso se excede en 0.62 semitonos, como muestra la parte (b) de la figura. Figura 5: Concatenación de terceras mayores puras (figura tomada de [Tym11]) Vemos que las quintas y terceras mayores puras no funcionan. Un recurso al que se ha recurrido es el de combinar ciclos generados por estos intervalos para crear las escalas. Por ejemplo, la escala hexatónica, que aparecen en la figura 6 (a), está generada a partir de dos ciclos de tres terceras mayores puras que se encuentran a distancia de una quinta perfecta pura. La escala resultante cumple con el deseo de tener intervalos puros, pero queda en medio de la escala un salto excesivamente grande, de una tercera menor mi-sol. En otras palabras, es también deseable en una escala que divida a la octava regularmente. Esta propiedad de regularidad significa que las notas de la escala se distribuyan lo más regularmente posible dentro de la octava . La escala hexatónica obtenida no cumple tal propiedad. Otra posibilidad es la escala octotónica; está construida a partir de dos ciclos de terceras menores puras, como se aprecia en la parte (b) de la figura. Esta escala sí se acerca más al ideal de la división regular de la octava. Esta escala se ha usado en la música clásica del siglo XX, entre otros por Igor Stravinsky en su Consagración de la primavera y Petroushka. Otro ejemplo de escala regular es la escala de tonos enteros. Se forma tomando dos ciclos de dos terceras mayores puras a distancia de una segunda mayor; véase (c) en la figura de abajo. Figura 6: Concatenación de diversas combinaciones de intervalos (figura tomada de [Tym11]) Por último, es posible construir escalas concatenando terceras mayores y menores puras a lo largo de dos octavas. Esto produce cuatro escalas que nos son muy conocidas (véase la figura 7). La escala diatónica ((a) en la figura) está formada por una alternancia de terceras mayores y menores, excepto en la nota re, que de nuevo repite una tercera menor. La escala de la figura (b) es la escala acústica o escala melódica menor ascendente. Se le llama acústica porque sus notas son aproximadamente iguales a las de las siete primeras notas de la serie armónica. La escala en (c) es la armónica menor y la de (d) la armónica mayor, cada una generada con distintas combinaciones de terceras mayores y menores. Figura 7: Cuatro escalas muy conocidas (figura tomada de [Tym11]) Las escalas diatónica, de tonos enteros, acústica y octotónica tienen las propiedades de que están formadas por tonos o semitonos y de que sus terceras están compuestas por tres o cuatro semitonos solo. El temperamento igual soluciona todos los problemas anterior dividiendo la escala en 12 semitonos de igual distancia en frecuencia. Esto es equivalente a decir que el cociente entre dos semitonos consecutivos es igual a . Esta es la división de la octava más regular posible ya que es la división en partes iguales. Para más información sobre afinaciones y temperamentos, véanse las excelentes referencias [Ben06] y [Bar04]; y en particular, para su fascinante historia recomendamos el libro de Javier Goldáraz [Gol92]. La estructura de una escala determina la conducción de voces y la modulación (esto es, aspectos las macroarmonías; véase la primera entrega de la serie [Góm18c]). Por ejemplo, para modular desde do mayor, cuya escala no tiene ningún sostenido, a sol mayor, que tiene solo el fa sostenido, basta con un único cambio de nota, de fa a fa sostenido. Este hecho ha sido explotado en música intensivamente para la modulación y es el responsable del famoso círculo de quintas. La manera de hacerlo es usando un acorde pivote, esto es, un acorde que está en ambas escalas y que al ser reinterpretado en tonalidad destino permite la modulación. Para más información sobre modulaciones, véase [Pis91]. 4. Conducción de voces entre las escalas más comunes Fijado el temperamento igual, las cuatro escalas de siete notas más regulares son la diatónica, la acústica, la armónica menor y la armónica mayor; véanse las figuras 6 y 7. Como ocurría con los acordes (véase [Góm18a]), se pueden disponer las escalas en un modelo geométrico, mostrado en la figura siguiente, que refleja las conexiones entre escalas. En la figura el clásico círculo de quintas de escalas diatónicas corresponde a la línea gruesa sólida; en cambio, el círculo no diatónico de quintas es la línea a puntos que empieza en el sol acústico situado abajo a la derecha de la figura. Figura 8: Modelos geométricos de escalas (figura tomada de [Tym11]) Las conexiones entre las escalas vienen dadas por los cambios que hay que efectuar para transformar una escala en la otra; esta idea sigue el espíritu, por ejemplo, de las distancia del excavador (earth’s mover definida por Typke y sus colaboradores [TGV+03], que es un tipo especial de distancia de edición. La distancia de edición se define como el número mínimo de operaciones que hay que efectuar para transformar un objeto en otro, en este caso una escala en otra, donde las operaciones son tres: borrado, inserción y sustitución. Véase el artículo de esta columna [?] para más información. Para la transformación entre esas cuatro escalas se tienen que mover arriba y abajo ciertas notas, y en el caso de la escala octotónica descomponer y unir ciertos intervalos. La figura siguiente muestra la relación entre las escalas en función de los cambios que hay que hacer para pasar de una escala a otra. Figura 9: Transformaciones entre escalas (figura tomada de [Tym11])   Bibliografía [Bar04] J. Murray Barbour. Tuning and Temperament: A Historical Survey. Dover Publications, New York, 2004. [Ben06] D. Benson. Music: A Mathematical Offering. Cambridge University Press, 2006. [Gol92] Javier Goldáraz. Afinacion y temperamento en la musica occidental. Alianza, 1992. [Góm18a] Paco Gómez. La geometría de la música (ii), consultado en diciembre de 2018. [Góm18b] Paco Gómez. La geometría de la música (iii), consultado en diciembre de 2018. [Góm18c] Paco Gómez. La geometría de la música (i), consultado en octubre de 2018. [Pis91] Walter Piston. Armonía. Editorial Labor (versión española), 1991. [TGV+03] Rainer Typke, Panos Giannopoulos, Remco C. Veltkamp, Frans Wiering, and René van Oostrum. Using transportation distances for measuring melodic similarity. In Proc. 4th International Conference on Music Information Retrieval, pages 107–114, Baltimore, USA, October 26-30 2003. [Tym11] Dimitri Tymoczko. A geometry of music: harmony and counterpoint in the extended common practice. Oxford University Press, 2011. [Tym18] Dmitri Tymoczko. Página web de Dmitri Tymoczko, consultado en diciembre de 2018.
Lunes, 18 de Febrero de 2019 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Música y matemáticas
Autor:Paco Gómez Martín (Universidad Politécnica de Madrid)
1. Introducción La primera columna de este nuevo año 2019 es la tercera entrega de la serie Geometría y Música. Estamos examinando los modelos geométricos de la música, en especial los de la geometría de los acordes y de la conducción de voces. Todo ello de la mano del compositor y teórico de la música Dimitri Tymoczko, cuyo libro A Geometry of Music [Tym18a] nos está sirviendo de guía en esta exploración músico-matemática. La primera entrega [Góm18b] fue esencialmente musical, donde estudiamos las ideas de este autor sobre la música tonal. Según Tymoczko, la música tonal se caracteriza por cinco componentes: (1) el movimiento melódico por grados conjuntos; (2) la consonancia acústica o qué intervalos se consideran consonantes y disonantes; (3) la consistencia armónica o la similitud entre sonoridades armónicas; (4) la macroarmonía limitada o la elección de las escalas; y (5) la centralidad o la jerarquización de los grados de la escala. Tras la exposición de estos principios, Tymoczko prosigue con una serie de proposiciones sobre estos elementos, lo que él llama las cuatro afirmaciones fundamentales. Las recordamos aquí brevemente por completitud. Estas afirmaciones son: (1) la armonía y el contrapunto se restringen mútuamente; (2) la escala, la macroarmonía y la centralidad son independientes; (3) toda modulación implica conducción de voces; y (4) la música puede entenderse a través de modelos geométricos. En la presente entrega se desarrollará a fondo esta última afirmación. En la segunda serie [Góm18a], más matemática, se sentaron las bases para el estudio geométrico de acordes y conducciones de voces. Se dotaron de estructura matemática a los espacios de frecuencias y de alturas. Se definió una función para medir la distancia entre dos notas. Se identificaron transformaciones que preservan la distancia entre notas (la transposición y la inversión). Se establecieron transformaciones que preservan series ordenadas de tonos (a saber, los cambios de octava, las permutaciones o reordenaciones, cambios de cardinalidad y transposiciones). Este conjunto de operaciones recibe el nombre de OPTIC. Buena parte del artículo anterior consistió en el estudio de las propiedades de las operaciones OPTIC, en especial qué tipos de objetos son invariantes por estas operaciones. También se presentaron conceptos importantes relativos a la conducción de voces, en particular, métodos para comparar dos conducciones de voces. En esta tercer serie vamos a estudiar los modelos geométricos de progresiones de acordes y conducciones de voces para acordes de dos y tres voces. Estos modelos trasladan las estructuras musicales a estructuras geométricas y se examinará el significado musical de propiedades geométricas de dichos modelos. Estos modelos son una de las principales contribuciones del trabajo de Tymoczko. 2. Espacio 2D de tonos ordenados Dado que una melodía tiene, en su forma más básica, dos componentes, altura y duración, es natural que se represente en un espacio 2D tal como el plano euclídeo ℝ2. De hecho, la notación occidental es en el fondo una representación de este tipo. Otra manera de usar el plano euclídeo es considerar dos voces y tratar de representarlas en el plano, ahora prescindiendo de la componente temporal. Consideremos, por fijar ideas, la conducción de dos voces (do4, mi4)-→(mi4, do4), que es una conducción por movimiento contrario. Su representación 2D sería la dada en la figura siguiente. Figura 1: Representación 2D de una conducción de dos voces (figura tomada de [Tym11]) Vemos que la conducción ha dado lugar a un segmento en el plano que conecta ambas voces. Es muy intuitivo darse cuenta de que los movimientos contrarios darán lugar a segmentos que forman un ángulo de -45 grados con el eje OX y que, en cambio, los movimientos paralelos producen segmentos con ángulo +45 grados. Esto lo ilustra muy claramente la figura de abajo, que es una representación de un pasaje de una misa de Josquin des Prés. Figura 2: Una conducción de voces en el plano (figura tomada de [Tym11]) Empero, parece algo poco natural e intuitivo ver los movimientos contrarios y paralelos con ángulos de 45 grados. Musicalmente, los movimientos paralelos se entienden como segmentos paralelos al eje horizontal, mientras que los movimientos contrarios se asocian al eje vertical. Por ello, se suele rotar el plano para que la representación de las voces se adecúe a esta perspectiva, tal y como se muestra en la figura 3. Esto no cambia las voces, solo la manera en que se representan. Figura 3: Rotación del espacio de tonos (figura tomada de [Tym11]) Ahora la cuestión es cómo representar todas las posibles conducciones de dos voces usando el plano y las ideas anteriores. En la figura 4 encontramos una representación plausible. Si partimos del origen, que está en (F4♯, F4♯) (en notación inglesa y por referirnos a la figura de Tymoczko), entonces vemos que la porción del espacio representada está formada por cuatro teselaciones, que forman cuatro cuadrantes. Cuando nos movemos sobre el eje +OX (flecha negra de la figura) avanzamos en los dos voces por semitonos; análogamente, si vamos en el sentido -OX. Cuando nos movemos verticalmente hacia arriba, la primera voz desciende por semitonos y la segunda asciende por semitonos. Como consecuencia de la construcción de este espacio, las rectas de tonos paralelas a la bisectriz del primer cuadrante (óvalo del primer cuadrante) mantienen constante la primera voz, mientras que las rectas de tonos paralelas a la bisectriz del segundo cuadrante (el otro óvalo) dejan la segunda voz constante. El espacio entero comprende todas las notas en las frecuencias audibles y consiste en repeticiones del subespacio que vemos en la figura de abajo en las direcciones vertical y horizontal (con los cambios de notas pertinentes). Nótese que el cuadrante primero y tercero (NE y SO) son iguales entre sí, así como los cuadrantes segundo y cuarto. Sin embargo, el cuadrante cuatro es una simetría con respecto al cuadrante 1; lo mismo ocurre con los cuadrantes dos y tres, respectivamente. Figura 4: El espacio euclídeo 2D de tonos ordenados (figura tomada de [Tym11]) Este espacio se puede generalizar a conducciones de n voces. En ese caso el correspondiente espacio será ℝn. El valor de n puede ser alto si consideramos, por ejemplo, las conducciones de todas las voces de una obra sinfónica, o tan pequeño como 2 en un dueto de dos instrumentos melódicos. El espacio anterior fue descrito para las conducciones de voces. ¿Qué pasa si consideramos una progresión de acordes en lugar de una conducción de voces? ¿Se podría adaptar el espacio anterior para representar acordes? La respuesta es que sí. Si pasamos de conducciones de voces a progresiones de acordes, entonces se pierde el orden en los vectores; solo cuentan las notas. Prosigamos con el ejemplo de dos voces y consideremos entonces conjuntos de dos tonos (esto es, acordes de dos notas o diadas). Todavía es posible usar el plano euclídeo para representar los acordes. La figura 5 muestra cómo quedaría dicha representación. Observamos que los subíndices que marcaban la octava han desaparecido y que ahora los puntos en el plano son simplemente las notas del acorde. En la parte derecha del espacio se ven los distintos intervalos, que van desde el unísono hasta el tritono. Figura 5: El espacio euclídeo 2D de acordes (figura tomada de [Tym11]) Sin embargo, este espacio tiene una estructura mucho más fascinante que la que hemos descrito hasta ahora. Si examinamos los bordes izquierdo y derecho, veremos que son iguales, ambos van desde CC hasta F♯F♯, pero van en sentido contrario (véanse las flechas de la figura). Es natural identificar ambos bordes como uno. Para ello, es necesario retorcer uno de los bordes para pegarlo con el otro. Al hacer esto retorcemos el espacio entero de los acordes. Cuando se hace esta operación matemática de identificar los bordes con la orientación contraria, aparece un bonito objeto matemático llamado la banda de Möebius. Esta banda tiene la propiedad de ser una superficie de una sola cara y no orientable. En la figura 6 se puede ver una banda de Möebius (figura tomada de https://tex.stackexchange.com/questions/118563/moebius-strip-using-tikz). Figura 6: La banda de Möebius Como pasaba en el espacio de las conducciones de voces, las diagonales y sus paralelas dan cuenta de las progresiones en las que la nota de un acorde se queda fija. Por ejemplo, en la diagonal principal, la que biseca el primer cuadrante, la nota F♯ se queda constante. En la otra diagonal, la que biseca el segundo cuadrante, es la nota C la que se queda constante. Cuando nos movemos en vertical por el espacio, lo hacemos por movimiento contrario y cuando nos movemos en horizontal, entonces se produce movimiento paralelo. 3. Progresiones de acordes y conducciones de voces en los espacios de diadas El uso de los espacios de diadas en el caso de las progresiones de acordes y las conducciones difiere. Una progresión de acordes genera un conjunto de puntos en el espacio de diadas. Cómo se va de un punto a otro no es importante; solo es relevante el punto de llegada en sí mismo, que marca las notas del nuevo acorde. En cambio, con las conducciones de voces, la manera en que se llega de un punto a otro sí es relevante porque el tamaño de la conducción de voces se corresponde con la longitud del camino en el espacio de diadas. Esto será esencial más adelante, pues uno de los objetivos que perseguimos aquí es construir herramientas que permitan comparar conducciones de voces y elegir la más eficiente. Para ver cómo funciona este espacio de diadas, consideremos la conducción (C, E)-→(E♭, G) (en notación inglesa y por seguir la figura de Tymoczko). Como se puede pasar del primer par al segundo moviendo cada voz tres semitonos, el camino que aparece en el espacio es un segmento horizontal; véase la figura 7. Si tomamos la conducción (B, D)-→(A♭, F), en que las voces se mueven por movimiento contrario, ahora el camino que las une es un segmento vertical. Esto es consecuencia de que se pasa de una a otra bajando tres semitonos desde la primera voz y subiendo tres semitones en la segunda voz. Figura 7: Caminos entre voces en el espacio de diadas (figura tomada de [Tym11]) Consideremos ahora el espacio de progresiones de acordes. Como vimos arriba, este espacio tiene estructura de banda de Möebius y eso influye en la manera en que se conectan los acordes entre sí. Tomemos las progresiones ⇒ y ⇒; en la figura 8 aparecen los caminos que generan estas progresiones en el espacio de diadas. Figura 8: Caminos entre acordes en el espacio de diadas (figura tomada de [Tym11]) La primera progresión va primero desde hasta , cambiando la primera nota del acorde (y pasando por do sostenido), pero al llegar al borde superior, el camino rebota y va hasta el acorde final por un camino paralelo a una diagonal principal (el cual deja constante la nota D). En el caso de la segunda progresión, la situación es más divertida aun. El camino va desde hasta , y este último acorde se encuentra en el borde derecho. ¿Cómo continuar? Ese mismo acorde aparece en el borde izquierdo más abajo, como se aprecia en la figura 8. Entonces, el camino está cortado en dos trozos, aunque en realidad no es así. Si representamos el camino en la banda de Möebius, veremos que el camino es de una sola pieza. En la figura de abajo, se ve un fragmento del Alleluia justus ut palma. En la parte (a) está la pieza en notación occidental. Se trata de un ejemplo temprano de contrapunto a dos voces. En la parte (b) se encuentra la representación en el espacio de diadas de la conducción de voces. Los patrones de la conducción saltan a la vista inmediatamente y su análisis es mucho más sencillo. Se ve primero un triángulo, formado por las aristas 1, 2, 3; y a continuación, otro triángulo, que comparte base con el anterior, formado por las aristas 3, 4 y 5. Por último, hay un segmento, que nos lleva hasta el origen en el acorde (D, G). Este es el tipo de ejemplos que da Tymoczko para apoyar su tesis de que el análisis geométrico de la música es más potente e intuitivo que ciertos métodos tradicionales. Figura 9: Una conducción de voces en el espacio de diadas (figura tomada de [Tym11]) 4. Espacios de triadas El lector estará pensando en este punto en la generalización a espacios de dimensiones superiores, en particular, en cómo se pasa de espacios de diadas a espacios de triadas, ya que las triadas es uno de los acordes fundamentales de la música occidental. El espacio de triadas es un objeto más complicado y se encuentra en ℝ3. Dicho espacio es periódico y tiene forma de azulejos 3D; la figura 10 muestra uno de esos azulejos. Figura 10: El espacio que modeliza los acordes de tres notas (figura tomada de [Tym11]) En este espacio, las triadas aumentadas dividen a la octava en tres partes iguales (recuérdese que estamos en el espacio de clases de tonos); en la figura están representadas como cubos de color oscuro. Estos acordes recibirán el nombre de regulares. Cuando más cerca está un acorde de dividir la octava en partes iguales, más cerca está del eje que une las triadas aumentadas. Los acordes más alejados de los regulares son los acordes unísonos, que se encuentran en los bordes del prisma. Aunque en la figura se han representado acordes dentro del temperamento igual, este modelo sirve para acordes microtonales o para acordes en otros sistemas de afinación. Si ahora consideramos las conducciones de voces, entonces veremos que una conducción equivale a un camino dentro de este espacio. Sin embargo y como pasaba en 2D, los caminos dan saltos dentro del espacio. Si construimos el camino ⇒ que va por movimiento paralelo, comprobaremos que primero subimos desde hasta por la arista exterior del prisma que une ambos acordes, y de ahí da un salto al que está en la cara inferior a la derecha, desde donde sube hasta por la arista exterior derecha. En la figura 11 aparecen algunas progresiones de acordes del primer movimiento del cuarteto con piano en do menor opus 60 de Brahms. Se trata de secuencias cromáticas, cada una de las cuales usa una conducción de voces que desciende por semitonos para conectar triadas mayores y menores (véanse las flechas de la figura). En la parte (a) de la figura, en la primera conducción, vemos como se conecta sol mayor a fa♯ menor descendiendo un semitono. En la segunda secuencia, se conecta mi menor con sol menor. En las siguientes conducciones, como indica la figura, se salta una quinta perfecta (de la menor a mi mayor) y de una segunda menor descendente (de fa♭ mayor a mi menor). A primera vista, parece que Brahms está usando secuencias de acordes que no están relacionadas entre sí. Pero si vemos estas secuencias en el espacio de triadas, entonces nos daremos cuenta de que Brahms está moviéndose en dicho espacio de una manera bastante sistemática. Empezando en cualquier triada mayor, hay solo dos movimientos descendentes por semitonos que producen una triada menor, y que en la figura aparecen etiquetados como a y b; en la parte (b) de la figura aparecen donde está el acorde de fa mayor. Esos movimientos consisten en el descenso de o bien la fundamental o la tercera de la triada. Desde este punto, es posible bajar la fundamental un semitono y obtener un acorde aumentado. Brahms suele saltarse el acorde aumentado. Entonces, ahora hay tres posibles caminos desde la triada aumentada para conseguir una triada mayor; en la parte (b) de la figura 11 están etiquetadas como 1, 2 y 3. Cada una corresponde a la posibilidad de bajar una nota un semitono en la triada aumentada. Las nuevas triadas que resultan son de un semitono descendente, un tercera menor ascendente y una quinta perfecta ascendente, que son exactamente las que aparecen en la obra de Brahms. Figura 11: Conducción de voces en el cuarteto con piano de Brahms op. 60 (figura tomada de [Tym11]) Combinando las posibilidades por a y b y por 1, 2, 3 mencionadas antes, nos salen seis posibles secuencias para pasar de una triada mayor a una menor. En la parte (c) de la figura 11, se listan esas secuencias. Brahms usa cuatro de ellas y lo que es más interesantes es que  esas secuencias contrapuntísticamente son similares (porque usan conducciones de voces por semitonos) mientras que armónicamente son diferentes. Para experimentar con los espacios de acordes, Tymoczko programó una aplicación que permite visualizar estos espacios; véase [Tym18b].   Bibliografía [Góm18a] Paco Gómez. La geometría de la música (ii), consultado en diciembre de 2018. [Góm18b] Paco Gómez. La geometría de la música (i), consultado en octubre de 2018. [Tym11] Dimitri Tymoczko. A geometry of music: harmony and counterpoint in the extended common practice. Oxford University Press, 2011. [Tym18a] Dmitri Tymoczko. Página web de dmitri tymoczko, consultado en diciembre de 2018. [Tym18b] Dmitri Tymoczko. Página web de Dmitri Tymoczko, sección Chord Geometries, consultado en diciembre de 2018.
Miércoles, 09 de Enero de 2019 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Música y matemáticas
Autor:Paco Gómez Martín (Universidad Politécnica de Madrid)
1. Introducción Esta es la segunda entrega de la serie Geometría y Música, serie que versa sobre los modelos geométricos en música y que en su mayor parte será una recensión del libro de Dimitri Tymoczko [Tym18] A Geometry of Music. En la primera entrega [Góm18] examinamos las ideas principales de este autor sobre la música tonal y post-tonal. Vimos que Tymoczko caracteriza la tonalidad por cinco componentes principales: (1) el movimiento melódico por grados conjuntos; (2) la consonancia acústica o qué intervalos se consideran consonantes y disonantes; (3) la consistencia armónica o la similitud entre sonoridades armónicas; (4) la macroarmonía limitada o el hecho de que para construir la música se escoge un número relativamente pequeño de notas (las escalas); y (5) la centralidad o el hecho de que en la música tonal hay una jerarquía que otorga más importancia a ciertos tonos que a otros. Después de esta caracterización, Tymoczko continúa con lo que él llama las cuatro afirmaciones fundamentales. Las recogemos de nuevo aquí porque serán importantes en el desarrollo de esta serie. Estas afirmaciones son: (1) la armonía y el contrapunto se restringen mútuamente; (2) la escala, la macroarmonía y la centralidad son independientes; (3) toda modulación implica conducción de voces; y (4) la música puede entenderse a través de modelos geométricos. Tymoczko aboga por el uso conceptual y práctico de los métodos geométricos para el análisis y la composición de música; se queja —y en muchos casos no le falta razón—de que los métodos tradicionales no proporcionan métodos de análisis suficientemente potentes y comprensivos. A partir de las premisas enumeradas antes, el autor persigue demostrar que los métodos geométricos son más satisfactorios en el análisis musical que los métodos tradicionales. En las secciones siguientes se presentan los conceptos matemáticos y musicales básicos para entender las ideas principales de los métodos geométricos presentados por Tymoczko. 2. Espacios de tonos Físicamente, el sonido consiste en vibraciones periódicas del aire. Cuando estás vibraciones son relativamente estables percibimos un sonido, que lleva asociada una frecuencia. Nuestro oído es capaz de percibir esa frecuencia y asociarle un tono o altura. En general, un tono no está dado por una única frecuencia, pero para nuestros propósitos podemos suponer que es así. Por la naturaleza del sonido, las frecuencias funcionan en términos de cocientes y no de sumas. Para ilustrar este hecho, supongamos que tenemos tres sonidos s1,s2,s3 de frecuencias, f,2f y 3f, respectivamente. Si reproducimos los sonidos s1 y s2 y a continuación reproducimos los sonidos s2 y s3, tendremos la sensación de que el salto auditivo entre los dos primeros es mayor que entre los dos últimos. Esto es debido a que nuestro oído detecta los cambios en los cocientes de la frecuencia y no los cambios en su diferencia (en esta caso las diferencias entre los sonidos es siempre f). Como el cociente entre las frecuencias de s1 y s2 es 2 y el cociente entre s2 y s3 es 3∕2, el primer salto se percibe como mayor. Trabajar con las proporciones es farragoso y por eso se pasa a un espacio en que las distancias entre las notas se midan mediante sumas y no mediante cocientes. La fórmula siguiente permite ese paso: donde p es el tono asociado a la frecuencia f. En la ecuación aparece la normalización respecto al la de 440 hercios. Las constantes c1,c2 se toman típicamente como c1 = 69 y c2 = 12. Esta elección permite que cada octava esté dividida en 12 semitonos y que el tono de do4 (la nota de frecuencia 261,6 Hz) tenga como valor 60; véase la figura 1. Figura 1: Espacios lineales de tonos (figura tomada de [Tym11]) El espacio de tonos producido por la fórmula de arriba es lineal, esto es, se corresponde con el del conjunto de los enteros que se representan sobre una recta. Pasar de un tono a otro se hace ahora mediante sumas y restas. Por ejemplo, si un tono tiene valor x, el tono en la octava inmediatamente superior es x + 12 y el de la inmediatamente inferior, x - 12. El oído humano tiende a oír los mismos tonos en distintas octavas como iguales o muy similares. Esto es lo que se llama la equivalencia de la octava. Se sabe que este principio constituye un universal musical (véase [BJ11] para más información sobre universales musicales). Por tal motivo, los músicos, cuando están interesados en la nota en sí misma y no en su posición en una octava determinada, identifican todos los tonos iguales en las octavas. Esto, matemáticamente hablando, es una relación de equivalencia, definida como sigue. Si x,y son dos tonos, entonces se dice que x está relacionado con y, y lo escribimos como x ~ y, si |x - y| = 12. Las clases de equivalencias se llaman clases de tonos o clases de alturas. Las clases de tonos se pueden representar sobre un círculo, que no es sino una visualización de las clases de equivalencia; véase la figura 2. Figura 2: Espacios circulares de tonos (figura tomada de [Tym11]) Será útil en el análisis de la música del siglo XX, como veremos en posteriores entregas de esta serie, considerar clases de tonos continuas. En la figura anterior aparece la clase de do más 0,17 cents como ilustración de que el modelo admite tonos con valores reales. Se define la distancia entre dos clases de tonos como la distancia más corta en el círculo entre dichas clases. Entre dos notas dadas, siempre hay dos caminos que van de una a otra, uno en sentido horario y otro en sentido antihorario. Volviendo a la figura anterior, la distancia entre do y mi es 4 (y no 8 que sería el valor de la otra distancia). Como a veces será necesario especificar una de las dos distancias entre dos clases dadas, usaremos la notación domi, que significa que se considera el camino que va de do a mi en sentido positivo (horario). La expresión domi se refiere al otro camino de do a mi. Una ventaja que tiene la representación en el círculo de las clases de tonos es que se puede representar el movimiento melódico como un caminos en el espacio de clases. 3. Transformaciones que preservan las distancias La distancia entre dos notas o clases es importante en música y por ello los músicos clasifican dichas distancias y dan nombre a todos los intervalos que generan dos notas dadas. Entonces, las transformaciones musicales que preservan las distancias entre notas tienen especial relevancia. Dichas operaciones son la transposición y la inversión. En el lenguaje geométrico, estas operaciones se corresponden con la traslación y la simetría axial, también llamada reflexión. La transposición consiste en añadir un número constante de semitonos x a un tono dado p. Se designa por Tx(p) y su expresión es Tx(p) = p + x. Dos melodías que estén transpuestas se perciben como iguales o muy similares. La segunda transformación que preserva las distancias es la inversión. Aquí hay que advertir que el término inversión es polisémico. En música, se usa para hablar de las inversiones de un acorde dentro de una octava, como en la primera inversión del acorde do-mi-sol es mi-sol-do; y también para hablar de la inversión referida al espacio de clases de tonos, que es la que estamos tratando ahora. La inversión cambia el contorno melódico y lo que asciende ahora desciende y viceversa; además las distancias entre los intervalos se respetan, aunque no así su dirección. Este tipo de inversión es la que se produce cuando estamos ante el espejo. Para ilustrarlo mejor, consideremos el ejemplo dado por el propio Tymoczko, en la página 34 de su libro y que reproducimos en la figura 3. En la parte (a) tenemos un pasaje de El clave bien temperado, libro II, de J. S. Bach; en la parte (b) tenemos el mismo pasaje al que se le ha aplicado la inversión. El bajo de la parte (b) es una reflexión exacta del bajo de la parte (a). El eje de simetría de la reflexión es el la3 = 57, que es la segunda nota del bajo. La melodía de la mano derecha también ha sufrido una inversión, excepto en la primera y última nota (por razones armónicas). Obsérvese cómo las direcciones de la melodía reflejada ha cambiado respecto a las de la melodía original. Figura 3: Inversiones en el El clave bien temperado, libro II, de Bach (figura tomada de [Tym11]) En términos de la geometría, la inversión es una reflexión o simetría axial. Para definir matemáticamente esta operación necesitamos dos puntos x,y en el círculo. El eje de simetría será la recta perpendicular que pasa por el punto medio del segmento xy (dicho punto está dado por . En estas condiciones, la reflexión Iyx(p) de un punto p está dada por la expresión Obsérvese que Iyx(x) = y y que Iyx(y) = x. En la figura siguiente se pueden ver las equivalencias geométricas de las operaciones de transposición e inversión. Figura 4: Transposiciones e inversiones (figura tomada de [Tym11]) 4. Transformaciones que preservan la identidad musical Para Tymoczko, un objeto musical básico es cualquier serie ordenada de tonos o notas. Esta es una definición bastante abstracta. Así, la serie (do4, mi4, sol4) puede representar o bien una melodía o bien un acorde. Esta abstracción, veremos pronto, es necesaria. La idea que se persigue aquí es clasificar los objetos musicales básicos de acuerdo a su contenido de tonos y no respecto a su distribución en la octava. Las tres transformaciones que conservan la identidad armónica de un objeto musical son: los cambios de octava, las permutaciones o reordenaciones y los cambios de cardinalidad. Por cambio de cardinalidad entendemos la duplicación de notas del objeto musical. En la figura siguiente se tiene el objeto (do4, mi4, sol4); en (a) están todas las posibles materializaciones de dicho objeto en la música y en (b) su representación en el espacio de clases de tonos. Figura 5: Transformaciones sobre objetos musicales básicos (figura tomada de [Tym11]) Consideremos ahora la categoría tipo de acorde; típicamente en esta categoría encontramos acordes como los mayores, menores, disminuidos, de séptima mayor, aumentados, de séptima de dominante, etc. Las transformaciones que dejan invariante el tipo de acorde son las anteriores, esto es, el cambio de octava, la permutación y el cambio de cardinalidad más una transformación, que son las transposiciones. Dos acordes mayores pertenecen a la misma categoría de tipo de acorde y como se ve en la figura siguiente están todos relacionados entre sí por medio de alguna transposición. De nuevo, en la parte (a) vemos varios acordes mayores y su equivalente en el espacio de clases en la parte (b). Figura 6: Transformaciones que dejan invariantes el tipo de acorde (figura tomada de [Tym11]) En este punto Tymoczko presenta la definición de equivalencia en el espacio de clases de tonos. Dos objetos musicales definidos en el espacio de clases se dicen que son equivalentes si uno se puede transformar en el otro por alguna de las siguientes transformaciones: cambio de octava, permutación, transposición, inversión o cambio de cardinalidad. Cogiendo las iniciales de cada una de estas transformaciones, llamaremos a estas transformaciones transformaciones OPTIC. A continuación mostramos una figura del libro de Tymoczko que ilustra claramente cómo funcionan las transformaciones OPTIC. Figura 7: Transformaciones OPTIC (figura tomada de [Tym11]) En ciertos contextos, especialmente en la práctica común extendida, aparece la necesidad de considerar colecciones no ordenadas de tonos. Para no confundir con las series ordenadas de tonos, los designaremos con corchetes. Así, (do4, mi4, sol4) es la serie ordenada de tonos y es el conjunto de tonos; obsérvese que en realidad es un multiconjunto porque admite repeticiones de los tonos. Otros objetos de interés son los acordes de tonos (que no de clases) y las sucesiones de clases de tonos (usadas estas en el análisis de la música dodecafónica). En la tabla de abajo se listan diversos objetos musicales con las transformaciones que los dejan invariantes. Tipo de objeto Invariancia Acorde (clases de tonos) OPC Tipo de acorde OPTC Conjuntos de clases OPTIC Multiconjuntos de clases de tonos OP Acorde (solo tonos) PC Sucesión de clases de tonos OC Tabla 1: Objetos musicales y las tranformaciones que los dejan invariantes 5. Conducciones de voces y progresiones de acordes Siguiendo el enfoque abstracto de Tymoczko, en esta sección abordamos a continuación las progresiones abstractas. Por progresión aquí quiere decir el autor una progresión de objetos musicales, los cuales pueden ser cualquiera de los objetos listados en la primera columna de la tabla 1. Es evidente que las operaciones OPTIC se pueden aplicar a las progresiones abstractas y que la manera de hacerlo condicionará el resultado. Hay dos maneras de aplicar una operación a una progresión abstracta, bien de modo individual o de modo uniforme. La primera manera consiste en aplicar solo la operación a ciertos elementos de la progresión (y se puede aplicar más de una operación); en la segunda manera la operación en cuestión se aplica a cada elemento de la progresión. Para ilustrar estas definiciones, déjenos el lector considerar la progresión (do4, mi4, sol4)-→(do4, fa4, la4); véase la figura 8 (a). Si aplicamos una permutación de manera uniforme, por ejemplo, rotar el acorde a la izquierda una posición, entonces tendremos la progresión (mi4, sol4,do4)-→(fa4, la4, do4), como se aprecia en la figura 8 (b). Figura 8: Maneras de aplicar las transformaciones OPTIC (figura tomada de [Tym11]) Si aplicamos distintas permutaciones a cada acorde, entonces las operaciones se habrían aplicado de manera individual. En la figura 8 (c) se ve que el acorde de do mayor ha sido rotado una posición a la derecha y en cambio el de la mayor lo ha sido dos veces. Una conducción de voces es la descripción de cómo se mueve cada voz de un acorde a otro. Una progresión de acordes es una serie ordenada de acordes. Esta serie no contiene información alguna sobre cómo se mueven las voces para conectar los acordes entre sí. Desde el punto de vista matemático, las conducciones de voces se producen cuando se aplican permutaciones de manera uniforme, mientras que las progresiones de acordes surgen cuando se aplican permutaciones y cambios de cardinalidad de manera individual. Por último, decir que las conducciones de voces se pueden dar entre tonos o entre clases de tonos. Una conducción de voces se suele denotar por una flecha que une los dos conjuntos de notas. Si nos encontramos con una conducción tal como (sol2, sol3, si3, re4, mi4)-→(do3, sol3, do4, do4, mi4), entonces estamos ante una conducción de voces entre tonos. Cuando abstraemos la octava de cada nota, pasamos a las clases de tonos, pero entonces hay que indicar el número de semitonos entre dichas clases, lo cual se hace poniéndolo encima de la flecha. En el ejemplo anterior sería (sol, sol, si, re, mi)(do, sol, do, do, mi). Cuando todos los semitonos para pasar de un acorde a otro están en el intervalo [-6,6] se pueden omitir los semitonos de encima de la flecha, ya que en este caso se está usando el camino más corto posible. Como es el caso del ejemplo anterior, podemos escribir (sol, sol, si, re, mi)-→(do, sol, do, do, mi). En el caso del tritono, que es la mitad exacta de la octava, se toma la convención de que siempre ascienden. Típicamente, una progresión de acordes es simplemente una sucesión de conjuntos de clases de tonos no ordenados. Así, por ejemplo, la sucesión ⇒ es una progresión cuyo primer acorde es do7 y cuyo segundo es mi. Para distinguir de las conducciones de voces, usaremos en el resto de la serie la notación ⇒ en lugar de -→. Obsérvese también que se han utilizado llaves en lugar de paréntesis. En la figura siguiente se ilustra esta definición sobre el círculo de tonos. Figura 9: La progresión (figura tomada de [Tym11]) 6. Comparación de conducciones de voces En este capítulo del libro, Tymoczko define una serie de relaciones que le servirán para comparar conducciones de voces. Aquí usa los conceptos de aplicación uniforme e individual de transformaciones que introdujo anteriormente. Fijemos una conducción de voces A-→B, donde A,B son acordes; dichas relaciones son las siguientes: Conducciones relacionadas por transporte uniforme (TU). En estas conducciones se transforma el acorde A en el acorde B por una aplicación uniforme de una transposición a cada una de las notas de A. Cuando esto ocurra diremos que la conducción de voces es TU. Conducciones relacionadas por transporte individual (TI). Ahora se pasa del acorde A al acorde B por una aplicación individual de una transposición a cada una de las notas de A. En la figura siguiente se ilustra estas dos definiciones con dos conducciones de voces. Figura 10: Conducciones TU y TI (figura tomada de [Tym11]) Obsérvese que en la parte (a) de la figura, la conducción (do, mi, sol)-→(do, fa, la) y la conducción (sol, si, re)-→(sol, do, mi) son TU porque la translación T7 convierte la una en la otra. En cambio en la parte (b), las conducciones (do, mi, sol)-→(do, fa, la) y la conducción (sol, si, re)-→(fa♯, la , re♯) son solo TI ya que hacen falta dos transposiciones diferentes, T7 y T6, para transformar la primera en la segunda. En este caso las conducciones de voces on IU. Conducciones relacionadas por inversión uniforme (IU). En estas conducciones se pasa del acorde A al acorde B por una aplicación uniforme de una inversión a cada una de las notas de A. Si este es el caso, diremos que la conducción de voces es IU. Conducciones relacionadas por inversión individual (II). Ahora se pasa del acorde A al acorde B por una aplicación individual de una transposición a cada una de las notas de A. La figura 11 muestra dos conducciones de voces diferentes, una que es IU (parte (a)) y otra II (parte (b)). Las conducciones IU son (do, mi, sol)-→(do, fa, la) y (sol, do, mi♭)-→(sol, si♭, re). ¿Cuál es la inversión que transforma el acorde (do, mi, sol) en (sol, do, mi♭)? Como vimos más arriba, la inversión transformará do en sol y mi en mi♭. El eje de simetría de la inversión será el punto medio entre mi y mi♭, que denotaremos por mi4♭4 (en la figura aparece como E♭44). La inversión se ha aplicado a cada nota de la conducción de voces. Figura 11: Conducciones IU e II (figura tomada de [Tym11]) Si ahora consideramos las conducciones (do, mi, sol)-→(do, fa, la) y (sol, do, mi♭)-→(sol♯, si, re♭), veremos que no son IU sino II. En efecto, para pasar del segundo acorde de la primera conducción al segundo acorde de la segunda conducción hace falta una inversión distinta de Imi4♭4mi4♭4 (hace falta Imi 4mi4). Por ello, las conducciones de voces no son IU sino II. 7. El tamaño de una conducción de voces Para continuar con el trabajo de modelizar geométricamente las conducciones de voces, Tymoczko necesita presentar el concepto de tamaño de una conducción de voces. Intuitivamente, ese tamaño es una medida de cuánto se mueven las voces cuando van de un acorde a otro. Es posible definir varias medidas para el tamaño de una conducción de voces, pero según Tymoczko, que no se decide por ninguna en particular por el momento, lo razonable es que al menos respeten los dos siguientes principios: La medida del tamaño de la conducción de voces tiene que ser proporcional a cuánto se mueve cada voz individualmente. Conducciones con cruzamientos de voces deben dar mayores tamaños que las conducciones equivalentes sin el cruzamiento. Esto es lo mismo que decir que es preferible que muchas voces se muevan a poca distancia que pocas voces se muevan a grandes distancias. La figura 12 ilustra este extremo. La conducción en (a) es menos preferible que la conducción en (b); el ejemplo de (c) está tomado de la coral de Bach Nun lob, mein Seel, den Herren. Figura 12: El tamaño de una conducción de voces (figura tomada de [Tym11]) 8. Más consideraciones sobre armonía y contrapunto Como sabemos, la armonía se ocupa de lo vertical y el contrapunto de lo horizontal y aquí el problema que estamos estudiando es cómo dada una progresión de acordes (vertical), encontrar una conducción de voces (horizontal) que sea eficiente. En esta sección vamos a estudiar qué acordes permiten conducciones de voces eficientes, esto es, que muevan lo menos posible las voces entre acorde y acorde. El concepto que va a permitir alcanzar esto es el de quasi-simetría. Vamos a estudiar qué acordes permanecen inalterados por las operaciones OPTIC a tal efecto; en realidad, nos basta estudiar las transposiciones, las inversiones y las permutaciones. Estos acordes recibirán el nombre de acordes quasi-simétricos. ¿Qué acordes permanecen inalterados tras la aplicación de una cierta transposición? Se puede probar que dichos acordes pertenecen a una de estas dos categorías: (1) o bien dividen el círculo en partes iguales; (2) o bien esos acordes pueden descomponerse en subconjuntos de igual tamaño que dividen al círculo en partes iguales. Típicos acordes que cumplen (1) son el acorde de notas a distancia de un tritono o el acorde disminuido. Los acordes que cumplen estas propiedades se llaman acordes simétricos de transposición o simplemente acordes ST. En la figura 13 tenemos ejemplos de las condiciones (1) y (2). En la parte (a) tenemos un acorde de dos notas con sus notas a distancia de 6 semitonos. Claramente, la transposición T6(x) deja el acorde inalterado. En la parte (b), tenemos el acorde (do, fa, fa♯, si), el cual se puede descomponer en los tritonos (do, fa♯) y (fa, si); dichos tritonos tienen el mismo tamaño y dividen por igual al círculo. Por tanto, son acordes ST. Figura 13: Acordes ST o acordes simétricos de transposición (figura tomada de [Tym11]) Centrémonos ahora en las inversiones. Un acorde para el que existe una inversión que lo deja inalterado se llama un acorde simétrico por inversión o simplemente un acorde SI. La pregunta es qué acordes permanecen inalterados si se les aplica una inversión. Para que esto ocurra deberá existir un eje de simetría, que debe ser un diámetro del círculo, y que debe estar dado por la perpendicular por el punto del segmento que una dos notas del acorde. Por ejemplo, en el acorde (do, re, mi), el eje de simetría está dado por la perpendicular que pasa por el punto medio del segmento do-mi, el cual, en efecto, pasa por la nota re; véase la figura 14. Figura 14: Acordes SI o acordes simétricos por inversión (figura tomada de [Tym11]) Tymoczko en las páginas 57-58 de su libro da un ejemplo real de cómo los acordes SI dan una conducción de voces eficiente. La figura 15 ilustra la conducción de voces entre el acorde (fa, la♭, do♭, mi♭) y (fa, la♭, do♭, re). En (a) vemos que el acorde (fa, la♭, do♭, mi♭) está cerca del acorde de séptima disminuida. Invirtiendo esta conducción de voces uniformemente alrededor del eje de simetría dado por la4-si♭4, tenemos una conducción de voces eficiente entre el acorde mi7 y el acorde disminuido, como se ve en (b). Ahora aplicamos una retrogradación de la conducción de (b) y la pegamos a la de (a), como se aprecia en la parte (c) de la figura. Por último, suprimimos el acorde auxiliar (fa, la♭, do♭, re) y conseguimos la conducción eficiente que buscábamos; véase (d). Figura 15: Conducciones de voces eficientes entre acordes usando la simetría de inversión (figura tomada de [Tym11]) Por último, queda examinar los acordes que permanecen inalterados por la aplicación de permutaciones. Los llamaremos acordes simétricos de permutaciones o acordes SP. Para tratar este tipo de acordes es más conveniente pensar en multiconjuntos. En realidad, los acordes SP son triviales. Tienen que ser de la forma , donde X es una nota. Sin embargo, los acordes vecinos a estos sí son interesantes. Consideremos el acorde SP y su acorde cercano (si, do, do♭); se quiere construir una conducción de voces entre (re♭, do, si) y (si, re♭, do). El procedimiento es similar al caso anterior de las simetrías de inversión. Primero, se transforma el primer acorde a uno con simetría, en este caso de permutación, que es (do, do, do), como en (a) de la figura; a continuación se aplica una retrogradación y se reordenan las voces y se obtiene una conducción de voces entre (do, do, do) y el acorde final (parte (b) de la figura). Por último, se suprime el acorde auxiliar, el de la simetría y ya tenemos la conducción buscada (parte (c)). Figura 16: Conducciones de voces eficientes entre acordes usando la simetría de permutación (figura tomada de [Tym11]) Como se puede deducir de los ejemplos anteriores, el procedimiento para construir la conducción de voces es el mismo; solo cambia el tipo de acorde y su simetría que se emplea en cada caso.   Bibliografía [BJ11] S. Brown and J. Jordania. Music evokes vicarious emotions in listeners. Psychology of Music, 41(2):229–248, 2011. [Góm18] Paco Gómez. La geometría de la música (i), consultado en octubre de 2018. [Tym11] Dimitri Tymoczko. A geometry of music: harmony and counterpoint in the extended common practice. Oxford University Press, 2011. [Tym18] Dmitri Tymoczko. Página web de dmitri tymoczko, consultado en septiembre de 2018.
Lunes, 26 de Noviembre de 2018 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Música y matemáticas
Autor:Paco Gómez Martín (Universidad Politécnica de Madrid)
1. Geometría y Música Este año de 2018 inaugura una serie de artículos sobre la geometría y la música, o más exactamente sobre métodos y modelos geométricos de la música. De manera natural, la estructura geométrica aparece en multitud de contextos musicales, sencillamente como reflejo visual de la propia estructura musical. Pensemos sin ir más lejos en el círculo de quintas, en las representaciones circulares de los ritmos de clave [DGMM+08], en el tonnetz de Euler, en las representaciones en forma de árbol de la teoría generativa de la música [LJ83], la representación interna de la música mediante cadenas de Markov [Góm18], o la nomenclatura de acordes de Forte [For77], entre otras muchas. En esta serie hablaremos principalmente de la modelización geométrica en la armonía. Para ello, sin duda alguna, Dimitri Tymoczko [Tym18] es una de los autores más originales y profundos que ha tratado esta cuestión. Este compositor y teórico de la música de la Universidad de Princeton ha sido el primer autor en publicar en la prestigiosísima revista científica Science el primer artículo [CQT08] sobre teoría de la música en la historia de la revista, lo cual constituye un logro en sí mismo. También es muy conocido Tymoczko por su libro A Geometry of Music [Tym11], donde estudia modelos geométricos en relación a la armonía clásica y moderna, incluyendo escalas, conducción de voces y armonía funcional. Esta serie de artículos consistirán en una recensión del libro de Tymoczko (véase la portada en la figura de abajo). Figura 1: A Geometry of Music [Tym11] En esta primera entrega de la serie cubriremos fundamentalmente conceptos musicales, que luego nos servirán de base para el resto de los artículos. El artículo del mes que viene será más matemático y el resto consistirá en una combinación de conceptos musicales y métodos geométricos. El libro de Tymoczko es extenso y profundo, organizado en 10 capítulos con 450 páginas en total y cubriendo temas que van desde la tonalidad clásica hasta la práctica común extendida pasando por el jazz. Glosarlo exhaustivamente no es el objetivo de esta columna; daremos los ejemplos más representativos de cómo usar métodos geométricos para el análisis de la música. 2. Los cinco componentes de la tonalidad En el capítulo uno, Tymoczko empieza con una discusión del término tonalidad. Se puede entender tonalidad en un sentido restrictivo como la música occidental de los siglos XVIII y XIX principalmente. Así, la música de Arvo Pärt, Varèse o Xenakis se pueden concebir como música post-tonal (o como humorísticamente lo pone el autor asaltos sonoros organizados). Sin embargo, el término tonalidad se puede emplear en un sentido más amplio y entonces comprende músicas tales como el impresionismo, rock, el folk, el minimalismo y por supuesto el jazz. El propósito del libro de Tymoczko es “proporcionar al lector categorías generales para discutir música que no es ni clásica ni completamente atonal”[Tym11, p. 3 y 4]. Y, en efecto, el libro tiene un nivel de abstracción que lo hace enriquecedor y atractivo; esto no obsta para que encontremos múltiples ejemplos que ilustran dichos conceptos abstractos. En primer lugar, Tymoczko define lo que él llama los cinco componentes de la tonalidad. Estos son: 1. Movimiento melódico por grados conjuntos. Esta característica aparece en muchas culturas, no solo en la occidental. Varios autores han analizado la estructura de lo que se consideran buenas melodías y han concluido que el uso de grados conjuntos es una de sus características; véase [RB06] y las referencias allí mencionadas. Las otras características de las buenas melodías son la repetición y el sentido de finalidad. Figura 2: Movimiento por grados conjuntos En la melodía de la izquierda de la figura anterior vemos una melodía por grados conjuntos que acaba en un do final. En la melodía de la derecha, en cambio, la melodía presenta saltos de más de una octava; esto hace que el oído perciba dos melodías entrelazadas, una la del registro superior, mi-fa-fa-sol, y otra en el el registro inferior, re-mi-fa-sol. El primer tipo de melodía se prefiere al segundo en la mayor parte de las culturas musicales. 2. Consonancia acústica. Aquí se refiere el autor a los intervalos considerados consonantes, tales como la octava, la quinta o la cuarta. Muchos estilos musicales muestran una clara preferencia por este tipo de intervalos de tal modo que se les asigna funciones melódicas y armónicas de más importancia que a otros intervalos. Izumi [Izu00] llevó a cabo un interesante estudio en que prueba que los monos pueden distinguir intervalos consonantes y disonantes. Parece que la consonancia acústica podría ser un candidato a universal musical más allá del ser humano. 3. Consistencia armónica. Esta es una característica ligeramente más general que la anterior. Alude al uso de sonoridades que se parecen unas a otras. Siguiendo el ejemplo que Tymoczko da en la página 6 y que se puede ver en la figura de abajo, vemos tres sucesiones de acordes. La sucesión (a) consiste en una serie de acordes mayores y menores que auditivamente son similares. La sucesión (b) también presenta acordes con un cierto grado de similitud a pesar de las disonancias presentes. Por último, la sucesión (c) muestra acordes que son distintos entre sí y que apelan a sonoridades dispares. Figura 3: Consistencia armónica (figura tomada de [Tym11]) 4. Macroarmonía limitada. Este término apunta al hecho ampliamente constatado que en la mayor parte de las culturas musicales se usa un número relativamente pequeño de notas. En el caso de la música occidental, las escalas más frecuentes son la pentatónica, la diatónica y la cromática. Con esas notas se construyen las armonías y las melodías. El juego musical consiste en muchos casos en afirmar la escala dada y salir de esta para la creación de tensión. A veces ni siquiera esto y salir de la escala no está en el estilo musical; la tensión se crea con mecanismos confinados a la propia escala. 5. Centralidad. La centralidad alude a la presencia de ciertos tonos que son más importantes o centrales que otros. Estos tonos sirven como puntos de apoyo o como notas finales en las melodías y progresiones armónicas. Cuando un tono es central una melodía tiene una interpretación diferente a cuando otro tono es el central. Una melodía como do-re-mi-fa se interpreta de distinta manera si do es el tono estable a si lo es fa, por ejemplo. Cuando lo es do, esa melodía pide una continuación. Si el tono estable es fa, entonces la oímos más como un final de melodía. El componente más cultural es, sin duda, la consistencia armónica. La idea de que la música tiene una estructura subyacente de acordes que cambian relativamente rápido es bastante occidental. En otras culturas, en cambio, esta idea no existe o si hay cambios de acordes, estos ocurren con una frecuencia mucho menor que en la música occidental. En la página 7 de su libro Tymoczko hace una interesante descarga de responsabilidad. Afirma que, aunque un oyente típico crecido en la cultura occidental prefiere música que presente estas cinco cualidades, el autor no declara que la música occidental sea intrínsecamente mejor que otras músicas que no posean tales cualidades. En efecto, es claro que, independientemente de la enculturación que hayamos recibido, lo tonal no es sinónimo de bueno en música. Por cierto, que tampoco lo popular es bueno. De hecho, la pregunta de qué es buena música permanece sin respuesta en la bibliografía de la investigación. Para más información sobre la pregunta cercana de qué es un buen músico, véase la tesis de Pablo Romero [Rom18]. 3. Cuatro afirmaciones fundamentales A Geometry of Music se desarrolla en base a cuatro principios fundamentales, que son los que desarrollamos a continuación. Los tres primeros son aseveraciones musicales bastante razonables, que se pueden considerar como plausiblemente verdaderas en la música occidental y en otras tradiciones, y la última es, en cambio, una idea no tanto novedosa como una idea ya conocida pero llevada hasta proporciones inesperadas y aplicada con métodos bastante modernos. Dicha idea es la de que la música tiene estructura geométrica y que, por tanto, se puede analizar con métodos geométricos. En esta afirmación subyace la impresión de que Tymoczko considera que los métodos clásicos de análisis musical no dan cuenta de ese territorio que linda entre la música tonal y la práctica común extendida. Los métodos geométricos que propone el autor consiguen un análisis más amplio y unificado que otros métodos más clásicos. 3.1. La armonía y el contrapunto se restringen mutuamente Esta afirmación es conocida de sobra por compositores desde hace tiempo. Tymoczko la establece aquí como premisa de trabajo y adoptando un tono pedagógico claro y ameno la ilustra. Para los lectores menos familiarizados con la música, reproducimos algunos de sus ejemplos. Si tomamos como acorde base el de do mayor, en un primer momento y buscando la máxima consonancia podríamos escoger entre dos opciones, ilustradas en la figura de abajo. En la opción (a), todas las notas pertenecen al acorde. Esto podría dar una melodía relativamente restringida y algo monótona. En la opción (b), se usan notas de paso y las notas del acorde, entonces, quedan en las partes fuertes. Estas notas de paso unen por grados conjuntos las notas del acorde. Esto da lugar a melodías más variadas. Figura 4: Armonizaciones simples de melodías (figura tomada de [Tym11]) El mecanismo de las notas de paso es válido para acordes ”sencillos”, como es el mayor. En el siguiente ejemplo, en cambio, ya vemos que no funciona. Figura 5: Armonizaciones de melodías con acordes complejos (figura tomada de [Tym11]) En la parte (b) de la figura se ve como hay que introducir muchas notas de paso para ligar las notas del acorde, lo cual descuadra la melodía. Los ejemplos anteriores sirven de soporte a la afirmación de que la armonía y la melodía se restringen mutuamente. Tymoczko presenta un concepto más, el de conducción de voces eficiente, que será primordial en el resto del libro. Siguiendo su ejemplo, supongamos que queremos unir dos acordes, do mayor y fa mayor, mediante tres melodías independientes pero con la restricción de que se muevan lo más posible por grados conjuntos. Esto es posible porque do mayor y fa mayor tienen la propiedad de que cada nota de un acorde está cerca de otra nota del otro acorde; véase la figura 6 (a). En la parte (b) de la figura vemos una posible realización de esa conducción de voces. Figura 6: Conducciones de voces (figura tomada de [Tym11]) Dado que el movimiento entre las voces es lo más pequeño posible (grados conjuntos) estamos ante una conducción de voces eficiente. Esta visión melódica de la armonía es el contrapunto. 3.2. La escala, la macroarmonía y la centralidad son independientes Para Tymoczko, una escala es una medida de distancia musical. Si hablamos de la escala pentatónica do-re-mi-sol-la, do y re está a distancia uno. En la escala cromática estarían a distancia dos. Y si una escala musical es una regla de medir distancias, entonces la macroarmonía es el número total de notas usadas en un periodo acotado de tiempo musical. En principio, y a falta de mayor perspicacia, ambas parecen estar muy interrelacionadas. Sin embargo, es posible separar ambos fenómenos. Es factible tal cosa en pasajes politonales (y no olvidemos que Tymoczko busca explicar música más allá de la práctica común). En un ejemplo que da y que se puede ver en la figura siguiente, vemos una voz, la superior, que se mueve en la escala diatónica de do mientras que la voz inferior se mueve en la pentatónica de sol bemol. El pasaje de abajo usa una escala pentatónica y una diatónica para crear una armonía cromática. El concepto de escala nos permite describir la estructura de cada voz y la macroarmonía, la estructura global. Figura 7: Pasaje politonal (figura tomada de [Tym11]) 3.3. Toda modulación implica conducción de voces Según Tymoczko, la música tonal usa las mismas técnicas de conducción de voces en dos niveles temporales. En el primero, el de las progresiones de acordes, se usan las conducciones eficientes de voces para ligar acordes que son estructuralmente similares. En el segundo, las modulaciones, se usan esas conducciones eficientes para ligar escalas estructuralmente similares. Como se puede apreciar, el punto de vista de este autor es que las progresiones de acordes ligan escalas en lugar de triadas. 3.4. La música puede entenderse desde un punto de vista geométrico Esta afirmación de Tymoczko es la tesis más contundente de su libro y la razón de ser de su trabajo. Las estructuras geométricas ya se habían usado en la música en el pasado, y es quizás el círculo de quintas con su estructura de grupo la más conocida. Pero Tymoczko quiere ampliar el rango de aplicaciones y busca explicar teorías armónicas más complejas que la música tonal. Para ello, tiene que emplear modelos más complejos, topológicos, en tres dimensiones, que cuenten con propiedades profundas capaces de reflejar la riqueza de la estructura de la música. En la figura de abajo se puede ver un grafo tridimensional que representa todas las conducciones de voces a distancia de semitono entre las triadas mayor, menor, aumentada y disminuida. En las siguientes entregas de esta serie estudiaremos a fondo este tipo de modelos. Figura 8: Modelos tridimensionales de conducciones de voces (figura tomada de [Tym11]) 4. Conclusiones Tras esta primera exposición de las ideas de Tymoczko, advertimos que el libro de este autor esta dirigido a un compositor ideal, esto es, la intención es describir estructuras conceptuales que puedan servir para crear música más que una investigación histórica de cómo han compuesto música compositores del pasado. También notamos que no tiene mucho interés en la parte perceptual (aunque claramente no la ignora por completo). Tymocko insiste a propósito de este extremo que “no debería suponerse que las estructuras cognitivas que hallan presentes cuando se hace música son las mismas que cuando se percibe esta”.   Bibliografía [CQT08] Clifton Callender, Ian Quinn, and Dmitri Tymoczko. The distance geometry of music. Science, 320:346–348, 2008. [DGMM+08] Erik D. Demaine, Francisco Gomez-Martin, Henk Meijer, David Rappaport, Perouz Taslakian, Godfried T. Toussaint, Terry Winograd, and David R. Wood. The distance geometry of music. Computational Geometry: Theory and Application, 2008. [For77] Allen Forte. The Structure of Atonal Music. The Yale University Press, Madison, WI, 1977. [Góm18] Paco Gómez. Cadenas de markov con restricciones aplicadas a modelos cognitivos en la improvisación del jazz, consultado en septiembre de 2018. [Izu00] A. Izumi. Japanese monkeys perceive sensory consonance of chords. Journal of the Acoustical Society of America, 108:3073–3078, 2000. [LJ83] F. Lerdahl and R. Jackendoff. A Generative Theory of Tonal Music. MIT Press, Cambridge, Massachussetts, 1983. [RB06] Rudolf E. Radocy and J. David Boyle. Psychological Foundations of Musical Behavior. Charles C Thomas, Illinois, 2006. [Rom18] Pablo Romero. El buen músico: una definición por consenso en los acervos clásico y flamenco, consultado en septiembre de 2018. [Tym11] Dimitri Tymoczko. A geometry of music: harmony and counterpoint in the extended common practice. Oxford University Press, 2011. [Tym18] Dmitri Tymoczko. Página web de Dmitri Tymoczko, consultado en septiembre de 2018.
Miércoles, 17 de Octubre de 2018 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Música y matemáticas
Autor:Paco Gómez Martín (Universidad Politécnica de Madrid)
1. Society for Mathematics and Computation in Music En esta primera columna del curso querría hablar del congreso Mathematics and Computation in Music 2019, que se celebrará entre los días 18 y 21 de junio de 2019. Está organizado por Mariana Montiel, de la Universidad Estatal de Georgia (GSU), el autor de esta columna, de la Universidad Politécnica de Madrid (UPM), y el Real Conservatorio Superior de Música de Madrid (RSCMM). Es un honor y un placer asumir la organización de este congreso, pero es también una enorme responsabilidad. En estas breves líneas queríamos mostrar al lector el origen y circunstancias del congreso, que constituye una exposición de todo el esfuerzo de investigación y conocimiento que se está haciendo en el fascinante campo de la Teoría Matemática de la Música. Este congreso es el órgano de expresión de la Society for Mathematics and Computation in Music [SMC18] (Sociedad para las Matemáticas y la Computación en la Música o SCMC). Está sociedad fue fundada en 2006 por Guerino Mazzola [Wik18] (su actual presidente) y otras figuras destacadas del campo (Thomas Noll, Moreno Andreatta, David Clampitt, entre otros). La reunión inaugural tuvo lugar en Berlín en mayo de 2007, en el Instituto Estatal de Musicología [fM18]. Allí se constituyó la sociedad formalmente y ha venido funcionando desde entonces con eficacia y gran fuerza. Se puede consultar un resumen de su actividad en sus boletines informativos (http://www.smcm-net.info/newsletter/SMCM_Newsletter_9.pdf). Si el lector está interesado en hacerse miembro de la sociedad, el enlace para el alta es http://www.smcm-net.info/registration.html Figura 1: La sociedad para las matemáticas y la computación en la música El Journal of Mathematics and Music [TFC18] es la revista oficial de la SCMC, de cuya publicación se encarga la prestigiosa editorial Taylor & Francis [Fra18]. Los campos de publicación de la revista son, de acuerdo a lo que reza en su página web, enfoques matemáticos a las estructuras y procesos musicales. La naturaleza de la revista es esencialmente interdisciplinar, como no se podía esperar otra cosa de este campo. Entre sus contenidos se pueden encontrar artículos que abordan cuestiones ontológicas y epistemológicas hasta modelos computacionales o matemáticos de objetos musicales, tratados con metodologías muy diversas, desde las propias de la ingeniería, las matemáticas hasta las cognitivas o lingüísticas. La revista está en el índice del JCR (las revistas con revisión por pares) y su factor de impacto en 2017 fue de 0.143. Es la principal referencia en las revistas del campo. Figura 2: La revista Journal of Mathematics and Music 2. Mathematics and Computation in Music 2019 La edición de 2019 no es la primera de este congreso. El congreso de la SMCM se celebra bianualmente y empezó en mayo de 2007, en Berlín, en Instituto Nacional de Musicología (el Staatliches Institut für Musikforschung). Abajo está la lista de los anteriores organizadores de este congreso; en 2014 hubo un congreso extra celebrado en Puerto Vallarta, México. MCM 2017: Universidad Nacional Autónoma de México, Facultad de Matemáticas, México. http://www.mcm2017.org/ MCM 2015: Queen Mary University of London, organizado Escuela de Ingeniería Eléctrica y Computación (Centro para la Música Digital) y la Facultad de Matemáticas. http://mcm2015.qmul.ac.uk/ International Congress on Music and Mathematics, organizado por la Universidad de Guadalajara, el INBA y la Universidad Nacional Autónoma de México en noviembre de 2014 en Puerto Vallarta, México. http://icmm.cucei.udg.mx/ MCM 2013: McGill University, Schulich School of Music y el CIRMMT, Montreal, Canada. http://www.music.mcgill.ca/mcm2013/ MCM 2011: Institut de Recherche et Coordination Acoustique/Musique (IRCAM), París. http://mcm2011.ircam.fr/drupal/?q=node/1 MCM 2009: Universidad de Yale, New Haven, Connecticut, Estados Unidos. http://www.mcm2009.info/ MCM 2007: Staatliches Institut für Musikforschung, Berlin. Como ya dijimos arriba, el MCM 19 va estar organizado por la UPM, GSU y el RSCMM. Este congreso interdisciplinar tendrá actividad científica (ponencias, paneles especiales, conferencias plenarias, mesas redondas) y actividad musical (conciertos). La actividad científica tendrá lugar en la Escuela Técnica Superior de Ingeniería de Sistemas Informáticos (ETSISI), situada en el Campus Sur de la UPM (en el kilómetro 7 de la carretera de Valencia) y la actividad musical en el RSCMM, en su sede de Atocha. Hay una página web, https://mcm19.etsisi.upm.es y cuya portada se puede ver más abajo, donde se encuentra toda la información relevante de este congreso. Figura 3: La página web del congreso Los temas del congreso son los siguientes: Modelos y enfoques matemáticos y computacionales de la música, incluyendo aspectos lógicos, filosóficos y metodológicos. Musicología, teoría musical y análisis musical. Composición, interpretación e improvisación. La percepción y cognición de cualquier aspecto de la estructura musical. Música y emoción. Aspectos educativos and la práctica de la Teoría Matemática de la Música. Interacción musical y gestos. La historia de las matemáticas y la computación en la música. Aplicaciones de la teoría matemática y computacional de la música y herramientas computacionales para músicos, musicólogos y otros practicantes de la actividad musical. El estudio de los objetos derivados de la teoría matemática de la música. Las fechas importantes son estas: La fecha límite para todos los tipos de artículos: el 15 de enero de 2019. Notificación de aceptación: el 5 de marzo de 2019. Fecha para la inscripción anticipada: el uno de mayo de 2019. Fechas del congreso: del 18 al 21 de junio de 2019. El programa musical del MCM 2019, que tendrá lugar en el RSCMM, es el siguiente: MA - Music of Change. Naoki Kita, violín; Guerino Mazzola, piano; Heinz Geisser, batería y percusiones. Integral of sonatas para piano y guitarra de Diabelli y la sonata para piano y guitarra de Ponce. Octavio Alberto Agustín-Aquino, guitarra y Emilio Lluis-Puebla, piano. Desnudas de palabras. Conjunto de Pablo Romero Luis. Math’n’ Pop Concert: How to turn a Poem into a Song (with a little help of mathematics). Moreno Andreatta. Seguiremos informando sobre esta apasionante aventura matemático-musical.   Bibliografía [fM18] Staatliches Institut für Musikforschung. Página web. https://en.wikipedia.org/wiki/State_Institute_for_Music_Research, consultado en agosto de 2018. [Fra18] Taylor & Francis. Página web. www.tandfonline.com/, consultado en agosto de 2018. [SMC18] SMCM. Society for mathematics and computation in music. http://www.smcm-net.info/, consultado en agosto de 2018. [TFC18] Thomas Thomas Fiore and Clifton (editors) Callender. Journal of mathematics and music. www.tandfonline.com/JMM, consultado en agosto de 2018. [Wik18] Wikipedia. Guerino mazzola. https://en.wikipedia.org/wiki/Guerino_Mazzola, consultado en agosto de 2018.
Miércoles, 12 de Septiembre de 2018 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Música y matemáticas
Autor:Paco Gómez Martín (Universidad Politécnica de Madrid)
1. ¿Es posible un curso de teoría matemática de la música para universitarios de ambos campos? En el campo de la Teoría Matemática de la Música (TMM de ahora en adelante) se tiende a pensar que es minoritario porque solo lo pueden ejercer quienes tienen una sólida formación en música y en matemáticas. Esto es cierto, sobre todo si hablamos de la formación necesaria para investigar en esta fascinante disciplina. Sin embargo, no estoy de acuerdo en absoluto en que solo se puedan acercar a este campo quienes hayan estudiado a fondo ambas disciplinas, digamos con un doble grado o similar. No es necesario estudios oficiales para disfrutar de la TMM. Para una introducción a la TMM basta un programa inteligente e imaginativo, que sepa combinar los aspectos técnicos con los conceptuales con habilidad, un programa que rete al alumno en ambas facetas, la matemática y la musical. Pero haciendo honor a la verdad, no se puede decir que haya un abundante material de calidad en la bibliografía. Por ejemplo, el libro de Jan Beran [Ber04] Statistics in Musicology está escrito para el experto y, hasta donde alcanza nuestro conocimiento, no hay ningún texto de cierta calidad que presente el material básico de estadística al futuro musicólogo sistemático a nivel de grado o de máster. En los cursos en que se suele enseñar estadística a músicos o bien son demasiado superficiales —haciendo del alumno una especie de usuario final experto en procedimientos pero no en conceptos— o son demasiado técnicos y no se adaptan al perfil del alumno de música —y esto le produce una frustración notable—. Hay unas cuantas excepciones a esta tendencia. Entre ellas citamos las siguientes: Music: A Mathematical Offering [Ben06], de David Benson; Foundations of Diatonic Theory [Joh03], de Timothy Johnson; A Generative Theory of Tonal Music [LJ83], de Lerdahl y Jackendoff (aunque este es para cursos avanzados); The Math Behind the Music [Har06], de Leon Harkleroad; y, por último, Mathematics and Music [Wri], de David Wright. Esta lista no es exhaustiva, pero sí tiene voluntad de ser representativa. Se puede obtener más información sobre libros de TMM en la columna de Divulgamat del mes de febrero de 2017 [Góm17] y en las referencias allí contenidas. Para la columna de este mes de junio nos quedamos con el libro de David Wright Mathematics and Music, que consideramos que tiene muchas virtudes para impartir un curso de TMM a alumnos de los primeros años de universidad. Entre esas virtudes destacamos la concisión en la presentación del material así como el buen diseño de los problemas. En su libro se encuentra el número mínimo de conceptos para adquirir una comprensión sólida del material. Además, los ejercicios, problemas y proyectos propuestos están diseñados con una doble intención: son difíciles como suponer un reto al lector y son realmente interdisciplinares (hay aplicaciones constantes de la música a las matemáticas y viceversa). En la introducción del libro, el propio Wright escribe unas bellas palabras sobre la relación entre las matemáticas y la música, que sirven como una declaración de intenciones. He aquí dichas palabras (nuestra traducción): It has been observed that mathematics is the most abstract of the sciences, music the most abstract of the arts. Mathematics attempts to understand conceptual and logical truth and appreciates the intrinsic beauty of such. Music evokes mood and emotion by the audio medium of tones and rhythms without appealing to circumstantial means of eliciting suc h innate human reactions. Therefore it is not surprising that the symbiosis of the two disciplines is an age old story. (Se ha observado que las matemáticas es la más abstracta de las ciencias; se ha observado que la música es la más abstracta de las artes. La matemática intenta entender la verdad conceptual y lógica y apreciar la belleza que hay en dicha verdad. La música evoca estados de ánimo y emociones por el medio sonoro, usando tonos y los ritmos y sin apelar a los medios circunstanciales que generan tales reacciones humanas innatas. Por tanto, no sorprende que la simbiosis de ambas disciplinas sea una historia que viene de antiguo.) La columna de este mes consistirá en una breve reseña del libro de Wright y cómo es posible usarlo en un curso de introducción a la TMM. David Wright es profesor de matemáticas en la Universidad de Washington en San Luis. Se doctoró en la Universidad de Columbia, en Nueva York, en matemáticas. Es un notable investigador en el campo de la geometría afín algebraica, donde publica con regularidad y participa en congresos internaciones como estrella invitada. Como músico, Wright es arreglista y compositor de música vocal. Su trabajo toca estilos tales como el jazz, blues, gospel, country, doo-wop, entre otros. Es el director asociado del prestigioso coro St. Charles Ambassadors of Harmony. Wright es también consultor musical, sobre todo de música vocal y es bastante conocido como historiador de la música. Aparece en numerosos programas de radio y TV como divulgador de las matemáticas y la música. 2. El temario Para empezar, presentamos el temario del curso de Wright, que, como veremos, está muy bien concebido y es bastante autocontenido (algo importante en un curso de estas características). En la lista de abajo comentamos los principales conceptos que se presentan. Nótese cómo el temario está asociado fuertemente al concepto de número. Conceptos básicos. En este capítulo expone los primeros conceptos básicos de las matemáticas y la música: conjuntos, relación de equivalencia, funciones, gráficas, números enteros, números racionales, números reales; altura del sonido o tono, claves, notas, intervalos musicales, escalas y armadura. Estructura horizontal. El segundo capítulo se ocupa de la dimensión horizontal de la música: notas, compases y forma. En este capítulo no hay matemáticas (tampoco en el siguiente). Armonía y la numerología relacionada. Este capítulo versa sobre la estructura vertical de la música: acordes, notación de la armonía, definición y clasificación de los acordes por su notación numérica (de ahí lo de numerología). Proporciones e intervalos musicales. En este capítulo se explican los intervalos musicales como proporciones. Logaritmos e intervalos musicales. En este capítulo se desarrolla la teoría aditiva de intervalos, lo cual lleva a los logaritmos y las funciones exponenciales. Escalas cromáticas. Aquí se presentan los hechos básicos de la teoría de afinaciones y en particular el temperamento igual. Aquí hace falta algo de álgebra abstracta, pero se puede presentar según se vaya necesitando, como prueba sobradamente Wright en la exposición del material. La identificación de la octava. Este tema tiene su base matemática en la aritmética modular, donde el autor cubre bastante material: el principio del buen orden, la división y sus algoritmos, clases de equivalencias modulares, definición de grupo, homomorfismos de grupos, ejemplos de grupos en la música, grupos cíclicos y generadores. Propiedades de los enteros. En este capítulo se profundiza más en el álgebra abstracta y se ve cómo algunas propiedades son relevantes a ciertos fenómenos musicales. Los enteros como intervalos. En este capítulo los enteros positivos se interpretan como intervalos musicales y se traslada dicha interpretación al teclado. Se discuten ideas previas al concepto de serie armónica. El timbre y las funciones periódicas. El capítulo 10 es uno de los más densos. Contiene una excelente introducción a conceptos tales como el timbre, la influencia de los armónicos en este, funciones continuas, funciones periódicas y teoremas básicos del análisis armónico. No se dan demostraciones (no es el objetivo de este curso) y el material guarda un exquisito equilibrio entre profundidad y rigor. Los números racionales como intervalos. En este capítulo se expone la teoría básica de la afinación: afinación pitagórica, afinación justa, comas, las quintas del lobo, entre otros. La exposición constituye un buen ejercicio sobre el concepto de número racional. La afinación racional. Finalmente, el capítulo 12 describe varios sistemas de afinación basados en ciertos intervalos. 3. El material para el alumno La manera en que está estructurado el texto de Wright está cerca a los métodos de aprendizaje activo, un poco al estilo del método Moore. El material en principio se limita a una serie de definiciones, bien conectadas entre sí y bastante concisas. A continuación se proponen una serie de ejercicios, que van desde los de mera comprobación de la aplicación de los conceptos hasta pequeñas pruebas matemáticas. Algunos problemas se pueden adaptar fácilmente a proyectos de corta duración para los alumnos. Es frecuente en los problemas del libro que se pida interpretar o que se formulen los problemas en forma de pregunta y no solo de cálculo o de procedimiento. El material musical y matemático se mezcla sin solución de continuidad, como podemos en un ejemplo del capítulo 1 en la figura 1. Figura 1: Ejemplo de problemas del libro de Wright (figura tomada de [Wri]) Obsérvese que en el problema 4 se pide la demostración de un resultado matemático y en el problema 5 una identificación de objetos musicales. En el ejemplo siguiente, tomado del capítulo 2, vemos ejercicios que alternan los contenidos matemáticos y musicales. En el último se trata de identificar la forma de una serie de canciones. Con esto vemos que el autor del curso quiere que haya una componente práctica en la música, y no solo meramente teórica. Figura 2: Ejemplo de problemas del libro de Wright (figura tomada de [Wri]) En el capítulo 7, donde ya hay acumulado mucho material, los problemas se vuelven más complejos. Figura 3: Ejemplo de problemas del libro de Wright (figura tomada de [Wri]) 4. Conclusiones Es posible dar un curso de TMM para universitarios y un buen ejemplo de ello es el libro de Wright, el cual, por cierto, tiene una descripción precisa sobre la planificación y el alumnado a quienes va dirigido el libro; véase su introducción. En castellano en cambio no hemos encontrado ningún libro que pueda servir para un curso serio de TMM. El libro de Wright tiene la audacia de poner al alumno en la tesitura de enfrentarse a problemas de ambas disciplinas casi partiendo desde cero, sin más armas que su lógica y su capacidad de aprendizaje. En efecto, para seguir el libro hace falta más predisposición y lógica que una gran base matemática o musical, entendida esa base en el sentido tradicionales.   Bibliografía [Ben06] David Benson. Music: A Mathematical Offering. Cambridge University Press, 2006. [Ber04] J. Beran. Statistics in Musicology. Chapman & Hall/CRC, 2004. [Góm17] P. Gómez. Una recensión subjetiva de libros sobre matemáticas y música, febrero de 2017. [Har06] Leon Harkleroad. The Math Behind the Music. Cambridge University Press, Cambridge, 2006. [Joh03] Timothy Johnson. Foundations of Diatonic Theory. Key College Publishing, 2003. [LJ83] F. Lerdahl and R. Jackendoff. A Generative Theory of Tonal Music. MIT Press, Cambridge, Massachussetts, 1983. [Wri] David Wright. Mathematics and Music.
Lunes, 11 de Junio de 2018 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

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