Santaló volvió a Gerona y de allí fue destinado a aviación, en el ejército republicano. De las notas que toma nacerá  su primer libro: Historia de la Aeronáutica, [51]. Exiliado  en Francia, Santaló es ingresado en el campo de concentración de Argelers. Posteriormente Élie Cartan le  invita a impartir unas conferencias en el Instituto Henri Poincaré de París (marzo de 1939). Una vez en París es detenido y es el propio Cartan quien acude a la cárcel para liberarlo.

El 12 de octubre de 1939, gracias a los buenos oficios de Rey Pastor y Esteve Terrades,  Santaló llega a Buenos Aires. Allá lo recibe, en representación de Rey Pastor, Manuel Balanzat, posteriormente coautor y buen amigo de Santaló. Obtiene una plaza en Rosario, provincia de Santa Fe. Se crea el Instituto de Matemáticas de la Universidad del Litoral, dirigido por Beppo Levi, con Santaló como subdirector. Crean e impulsan la revista científica Mathematicae Notae en la que Santaló publicó a lo largo de su carrera una treintena de artículos. Más tarde Santaló recordaría: Puedo decir que soy rosarino, si bien estuve más tiempo en Buenos Aires que en Rosario. Los primeros diez años, los que impactan por las novedades y por todo lo que se extraña, los pasé en Rosario.

En 1945 se casa con Hilda Rossi y en 1947 nace su primera hija Tesi. Los años 1948-49 los pasa en Princeton, con una beca de la fundación Guggenheim. También imparte un curso en Chicago, invitado por M. H. Stone.  De regreso a Argentina, en 1949, se incorpora a la universidad de La Plata, capital de la provincia de Buenos Aires. Dirige su primera tesis. En 1957 es nombrado profesor Titular del Departamento de Matemática de la Facultad de Ciencias Exactas y Naturales de la Universidad de Buenos Aires.

Empiezan los primeros reconocimientos públicos a su trayectoria: Primer Premio Nacional de Cultura, 1954; Premio de la Sociedad Científica Argentina, 1959; Ingreso en la Academia Nacional de Ciencias Exactas y Naturales, 1960. En Buenos Aires se consolida la fama de Santaló como gran docente. En sus clases se apela más a la intuición geométrica que al formalismo, en contraste a las corrientes dominantes en aquella época.  Se relaciona, impartiendo cursos y conferencias,  con los docentes de las escuelas medias. Muchas de sus ideas sobre pedagogía se recogen en el libro “L’educació matemàtica avui”, Ed. Teide, 1975.

También en España, aunque algo tardíamente, se reconocen sus méritos.  Académico de la Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales de Madrid, 1955. Académico de la Real Academia de Ciencias y Artes de Barcelona, 1970. Doctor Honoris Causa por la Universitat Politècnica de Catalunya, 1977.  Premio Príncipe de Asturias de Investigación Científica, 1983. Medalla Narcís Monturiol a la Ciència i a la Tecnologia de la Generalitat de Catalunya, 1984. Doctor Honoris Causa por la Universitat Autònoma de Barcelona, 1986. Doctor Honoris Causa por la Universidad de Sevilla, 1990. La Universitat de Girona crea el 27 de julio de 2000 la Cátedra Santaló. Condecorado con la Medalla de la Universidad de Valencia, 1993. Creu de Sant Jordi, de la Generalitat de Catalunya, 1994. Encomienda de Alfonso X el Sabio, 1996.

Geometria Integral

Digamos algunas palabras sobre la rama de la Geometría que cautivo a  Santaló: La Geometría Integral.

La Geometría Integral proviene de las probabilidades geométricas. Tiene sus raíces en el famoso problema de la aguja de Buffon, que aparece en Essai d’arithmétique morale, 1777, y en las fórmulas de Crofton, de aproximadamente 1868, en On the theory of local probability.

Para aplicar la idea de probabilidad a elementos dados al azar que son objetos geométricos (como puntos, líneas, geodésicas, conjuntos congruentes, movimientos o afinidades), es necesario primeramente definir una medida para tales conjuntos de elementos. Poincaré fue el primero en aclarar explícitamente este punto en Calcul des probabilités, 1912.

Por ejemplo se miden todas las posiciones de un cuerpo que se mueve en el plano o el espacio. Las fórmulas que entonces aparecen se llaman fórmulas cinemáticas, para recoger la idea de movimiento.

Santaló, buen conocedor de la geometría hiperbólica, aborda problemas de geometría integral en el marco de la geometría hiperbólica, pudiéndosele considerar junto a su condiscípulo en Hamburgo, S. S. Chern, como el fundador de la geometría integral hiperbólica, ver [8].

Para recordar la fórmula cinemática fundamental de Santaló para espacios no euclidianos daremos la expresión en dimensión 2 y 3 ya que la fórmula general es algo distinta según la dimensión sea par o impar (obsérvese la belleza de las siguientes fórmulas ):

Para n=2

Para n=3

dónde D₀, D₁ son dominios con borde regular en el espacio no euclidiano de curvatura εK, ε=0,1,-1;  L,F,V,M  (con el subíndice correspondiente) denotan longitud, área, volumen e integral de la curvatura media respectivamente, y χ es la característica de Euler. Recordemos que el caso ε=-1 corresponde a la geometría hiperbólica. Se supone que D₀ está fijo y que D₁ se mueve, indicando dK₁ la  medida infinitesimal (densidad cinemática) de estos movimientos. Es decir, dK₁ “cuenta” todas las posiciones de K₁.

Sorprendentemente el caso n=3 es el único caso en que la fórmula cinemática no depende de la curvatura del espacio.

Destaquemos la fórmula de Santaló sobre la medida de rectas hiperbólicas. Demuestra que  dG = cosh pdpdθ, donde p es la distancia de la geodésica, o recta hiperbólica, a un origen prefijado y θ es el ángulo que  ésta distancia forma con una dirección prefijada. La notación dG proviene de “diferencial de geodésicas”. Es lo que debemos integrar para obtener la medida de geodésicas. Obtiene la fórmula de Crofton en el plano  hiperbólico:

dónde C es una curva, n=n(G) es el número de cortes de la recta G con la curva C, y L es la longitud hiperbólica de la curva.

Santaló siguió siempre muy de cerca las aplicaciones de la geometría integral a diversas ramas de la ciencia, publicando él  mismo artículos sobre el tema, como por ejemplo [12]. Ver también el interesante artículo de L. M. Cruz-Orive Estereología: Punto de encuentro de la geometría integral, la probabilidad y la estadística, Num. 1/2003, Dep. Matemáticas Estadística y Computación, Universidad de Cantábria.

Geometría diferencial

Pero, a parte de la geometría integral, hay muchos más temas de Geometría que aparecen en la extensa obra del Profesor Santaló. Una mirada a sus publicaciones nos hace ver cómo, a parte de los artículos que podríamos clasificar propiamente  de Geometría Integral, aparecen muchos otros temas. Por ejemplo, en [13], su primer artículo de 1934, estudia  el área engendrada  por un segmento que se mueve conservándose normal a una línea y describiendo una superficie desarrollable. En 1944  retoma este tema en [20].

En diversas ocasiones se preocupa de caracterizar círculos y esferas, como en [14], [19], [28] y [35]; o de la desigualdad isoperimétrica, cómo en [15] y [17]. Muchas veces usa métodos de geometría integral para atacar problemas de geometría diferencial, por esto esta división que entre geometría diferencial e integral  estamos haciendo no se debe tomar cómo algo taxativo, sino sólo a efectos de organizar un poco su extensa bibliografía.

Estudia  también las propiedades afines de curvas y superficies en una serie de artículos que podríamos clasificar como de geometría diferencial afín: [18], [24], [25] [26], [27], [29], [30], [31] y [32].

O relacionando la geometría integral con las propiedades afines como en [21], [34] y [38]. 

Enseñanza de las Matemáticas

Comentemos también las muchas ocasiones en que Santaló se preocupa en sus publicaciones de la enseñanza de las matemáticas, y destaquemos  algunas de ellas.

Por ejemplo, en 1986  escribía: El mundo actual necesita hombres con una mente creativa, que sepan conservar los avances de la ciencia y la tecnología y que sean capaces de utilizarlos con éxito a favor del bienestar general, al mismo tiempo que los hagan progresar en posibilidades y eficacia. Es necesario también educar en el trabajo y en el esfuerzo. El placer del descanso se disfruta plenamente solo después del esfuerzo, y una tendencia al “facilismo”  sobre retardar el rendimiento general no contribuye en absoluto a una vida más feliz del interesado. Los alumnos disponen de una gran cantidad de energía, física e intelectual, que necesitan gastar continuamente. La escuela ha de canalizar esta energía hacia caminos útiles y provechosos. Si la escuela es fácil, el alumno dirigirá sus energías hacia ocupaciones extraescolares no siempre recomendables.

En el artículo ‘La didàctica de la matemàtica en l’obra de Lluís Santaló’, À. Alsina, J. Callís, T. Calabuig, Homenatge al professor Lluís Santaló i Sors, Univesritat de Girona, 2002, se destacan y desarrollan los factores que, según Santaló, influyen en una formación matemática efectiva: Matemática utilitaria y matemática abstracta (Les aplicaciones [de la matemática] son el estímulo y, muchas veces, la guía de la matemática pura; pero sin ésta, la matemática aplicada se agota rápidamente y se convierte en poco tiempo en un cúmulo de recetas rutinarias sin perspectiva de progreso); matemática adaptada a la realidad, significativa y flexible (La matemática es a la vez arte, ciencia y técnica); matemática generadora de opinión y capacidad crítica; matemática reveladora de generalización; matemática integradora de nuevos contenidos (aboga por la introducción de la enseñanza de probabilidad y estadística); matemática activa (El alumno ha de participar en el aprendizaje y  ha de sentirse motivado por los problemasE).

En el  mismo artículo se destacan los rasgos fundamentales de su línea metodológica: Adaptar la enseñanza de las matemáticas a los intereses del alumnado;  cambiar los procedimientos metodològicos para obtener más participación del estudiante; aprendizaje lúdico,  aprendizaje intuitivo, vivencial y manipulativo; potenciación de la estimación de resultados aproximados esperados; saber interpretar y potenciar la comunicación matemática; integración de las nuevas tecnologías.