Nuevo curso, nuevos proyectos

De vuelta de nuevo, os adelantamos alguna producción que promete ser interesante, repasamos acontecimientos sucedidos estos meses de verano junto a alguna recomendación, y os damos las soluciones al, cada vez más, disputado concurso del verano.

● Se anuncia el inicio del rodaje de Enchantress Of Numbers, película biográfica sobre otra mujer matemática, Ada Lovelace, hija de Lord Byron, precursora de la programación, y por tanto de la informática. Lo que se sabe en principio del reparto es que el papel principal lo protagonizará la actriz Zooey Deschanel (actriz no muy conocida aún que entre otros trabajos participó en El asesinato de Jesse James por el cobarde Robert Ford, Novia por contrato, El incidente y Di que sí), junto a Billy Crudup y Toby Jones. La dirección correrá, si no hay cambios, a cargo de Bruce Beresford (director de Paseando a Miss Daisy, Doble Traición y The Contract, 2006). El guión, del que toma además el título, está basado en la biografía de la especialista Betty Alexandra Toole.

● Os recomiendo que echéis un vistazo al cortometraje Cambiar la gráfica de producciones Colargol, de los que ya os aconsejamos hace tiempo (reseña16)  otros interesantes trabajos relacionados con las matemáticas. En este caso, nos alertan contra la obsesión (cómica en este caso) que puede producir el tomarse demasiado a pecho las cifras y las estadísticas. Carlos Fierro y Genoveva Navarro vuelven a bordar sus respectivos papeles. Me ha gustado mucho.

● Gracias a Marta Macho pude por fin ver la película española 3:19 Nada es casualidad, sobre el azar y el determinismo. No está mal (aunque alguna otra compañera me había advertido que no perdiera el tiempo viéndola), es entretenida aunque un poco deprimente en algunos momentos. Contiene una interesante Animación sobre Galois. Podéis leer una reseña amplia en la revista SUMA nº 62 (Nov. 2009, pp. 115-123) realizada por nuestro compañero José María Sorando, que también incluye en su sección de cine de su página web.

● También este verano disfrutamos de dos interesantes cursos en los que aparecían el cine y las matemáticas, el ya veterano Una mirada a las Matemáticas a través del cine y la televisión en su quinta edición (en la imagen Abel Martín, responsable de la pagina MathsMovies probablemente el mayor experto en matemáticas en los Simpson, y yo mismo), y Cultura con M de Matemáticas, celebrado en Bilbao, y que contó con la presencia de expertos que relacionaron de un modo ameno y de gran interés las matemáticas con distintas áreas de la cultura (teatro, literatura, pintura, arquitectura, escultura y cine). Un lujo y una auténtica gozada.

● Finalmente me gustaría recomendaros un libro y una web que también he descubierto este verano. El libro es Las Torres de Hanoi, de Carlo Frabetti del que tenéis una reseña crítica personal aquí, y la web es Viaje a Itaca con Manoli (una compañera docente) que no duda en acercarnos las matemáticas desde el ángulo más insospechado (en particular la del Turismo, aunque ya se acabe el verano).

SOLUCIONES CONCURSO VERANO 2010

Cuestiones:

1.- En la figura, PB y QC son los radios de los círculos P y Q respectivamente, cada uno de medida 5 cm. Como ∠PAB = ∠QDC = 30º (el estuche es un triángulo equilátero), se tiene que

sen 30º = 1/2 = 5/AP, de donde AP = 10.

cos 30º = √3 / 2 = AB/10, de donde AB = 5√3= CD

Por otro lado BC = PQ = 10 cm., por lo que AD = 10 + 10√3 (≈ 27.32 cm.), longitud de cada lado del estuche.

2.- Para calcular la superficie que encierra cada estuche necesitamos su altura. Del teorema de Pitágoras se sigue que:

h² = [10(1+√3)]² – [5(1+√3)]² = 150(2+√3), de donde h = 5(3+√3).

Por tanto la superficie del estuche es ½ [10(1+√3)] [5(3+√3)] = 50 (3 + 2√3) cm².

El área que ocupan los tres quesos será 3π5² = 75π. El hueco que deja el estuche es por tanto  50 (3 + 2√3) – 75π ≈ 87.58 cm², bastante más que la superficie que ocupa uno de los quesos, 25π ≈ 78.54 cm².

3.- Es evidente que la mejor forma de apilar los quesos es como suele hacerse, es decir, dentro de un cilindro de altura 3H, siendo H la altura de cada queso, y radio los 5 cm. de cada uno. Este volumen sería (25π)(3H) = 75πH cm³ aprovechados al máximo (sin huecos) y el gasto en madera (o el material que emplee) sería el correspondiente al área total de dicho cilindro, 30πH + 20π = 10π (3H + 2). El prisma triangular de su estuche tendría una superficie total de

(30 + 30√3)H + 100 (3 + 2√3).

Para valores de H pequeños (una altura de queso razonable) la disposición cilíndrica es mucho más ventajosa, pero curiosamente para H > 49.49 cm., el gasto de material para construir los estuches cambia (no hay más que calcular el punto de corte de las rectas en la variable H que proporcionan cada uno de los casos). Pero obviamente un queso de altura 50 cm. no es muy conveniente, sobre todo para transportarlo.

4.- El padre es quesero. Aunque ya se ha comentado en los apartados previos que los círculos son quesos, es evidente que para averiguar el oficio del padre es preciso saber la película (o novela) de la que se está hablando (cuestiones 22 y 23).

Cuadrados anti-mágicos

5.- Esta pregunta creo que no se entendió porque las respuestas han sido un tanto “extrañas”. Se refería a indicar alguna cuestión que hoy por hoy se desconociera de los cuadrados mágicos. Por ejemplo, que no se conoce una fórmula general que indique el número total de cuadrados mágicos de orden n, o un método para componer algunos tipos concretos de cuadrados mágicos.

6.- Cualquier ordenamiento posible con los números 1, 2, 3 y 4 produce  un cuadrado con sumas 3, 4, 5, 5, 6 y 7.

7 y 8.- La solución del apartado 8 es válida para el 7. Se trata del cuadrado “complemento a 10” del dado. En ambos casos la trayectoria que sigue la torre es una espiral que va del 1 al 9.

Triángulos anti-mágicos

9.- En esta cuestión ha habido un pequeño error. En efecto como indican algunos participantes con los datos dados sólo pueden obtenerse siete sumas y no ocho. El dato que falta es que se toman las sumas de los lados a partir de dos dígitos (es decir en el triángulo que se indica, la base, el 1, no la tomamos porque es un solo dígito). Así en este triángulo que indico obtendríamos:

Lados: 6, 11, 12; suma de vértices: 8; suma de valores interiores: 13, fila intermedia con el triángulo colocado como en la figura: 9; fila intermedia diagonal sentido horario (3+4): 7; fila intermedia diagonal sentido antihorario (4+6): 10. O sea todos los números del 6 al 13.

Para la puntuación, la decisión salomónica ha sido la siguiente: los que comentaron que no era posible con los datos dados y dieron una propuesta en la que sólo faltaba un valor, 10 puntos; los que no se dieron cuenta del error, y dieron una solución: 5 puntos.

10.- La única forma en la que las quince bolas forman un triángulo en diferencias es la adjunta. El coronel George Sicherman inventó este problema que se propuso en la columna de Martin Gardner de la revista Scientific American en abril de 1977. Una prueba de dicha unicidad puede verse en el artículo Exact Difference Triangles de G. J. Chang, M. C. Hu, K. W. Lih, T. C. Shieh en el Bulletin of the Institute of Mathematics Academia Sinica, volumen 5, junio de 1977, pp. 191 – 197. Se puede descargar de http://www.math.sinica.edu.tw/bulletin/bulletin_old/51/5120.pdf

Aunque pueda parecer simplemente un problema recreativo, los conjuntos de triángulos en diferencias son útiles en la transmisión de la información. Existen varios algoritmos para su obtención basados en construcciones combinatorias. Fueron introducidos en 1962 por J.A. Lindon, especialista en palíndromos.

Cuestión de lógica

11.- La clasificación quedó del siguiente modo (entre paréntesis se indica la posición de cada participante en la primera y segunda etapa, respectivamente):

1º.- D. Ramón (3º, 1º) que conducía el camión.
2º.-  D. Ricardo (1º, 4º) con la furgoneta.
3º.- Pancho (2º, 3º) con el tractor.
4º.- Gerardo (5º, 2º) que llevaba la moto.
5º.- D. Moisés (4º, 5º) en el jeep.

Las posiciones de D. Ricardo y Pancho son intercambiables dado que obtienen la misma puntuación, y no se especifica modo de ordenarlos. La lógica indicaría que iría primero D. Ricardo ya que quedó primero en una de las etapas.

Pan y Naranjas

12.- La barra de riche es el nombre particular en el que en Valladolid se llama a las barras de flama de unos 250 gramos. El riche es un poco más pequeño, de unos 100 gramos. En la comarca de Aranda de Duero (puede que en otros lugares también) es el pan sin sobar. La barra sobada tiene una corteza más blanquecina y la miga es mucho más compacta.

El lechuguino es un pan típico de Valladolid, de forma circular, de corteza ligeramente dura que cruje al presionarla. En su superficie presenta cortes laterales regulares, con estructura hexagonal o heptagonal. En la parte central posee un dibujo característico formado por unos alvéolos pequeños y colocados a distancia constante, formando un dibujo similar a una flor. Se le conoce también como Pan Cantero. Su peso varía entre 250 y 500 gramos por unidad y era muy apreciado por su largo periodo de conservación (en tres días estaba como el primer día, pero al cabo de una semana aún es posible hincarle el diente sin demasiada dificultad). Su nombre viene de su cuidado aspecto, pues en el mundo rural se llamaba así a aquellas personas a las que les gustaba ir excesivamente arregladas, presumidas y emperifolladas.

13.- Hay varias formas de apilar 200 naranjas justas en forma piramidal (no vale una única fila rectangular de 4 x 50). La mejor sería la que tenga menos naranjas en la cima porque le ocupan al tendero menos espacio. Ésta sería 1 x 18, 2 x 19, 3 x 20, 4 x 21, aunque se han dado por válidas también otras como 5 x 6, 6 x 7, 7 x 8, 8 x 9.

Itinerario rural

14.- Disponiendo las iniciales que representan cada uno de los pueblos en forma de grafo como se ve en la figura (en las aristas la distancia kilométrica entre cada localidad), existen varios algoritmos (eficientes, pero no óptimos; problema del viajante, aún no resuelto) que nos proporcionan un árbol generador mínimo, esto es, el recorrido con suma de pesos (las distancias) mínima. (algoritmo de Kruskal, de Prim, entre otros). Empleando el algoritmo de Kruskal, que básicamente es ir eligiendo sucesivamente las aristas de peso mínimo sin formar ningún ciclo (sin volver a pasar dos veces por el mismo pueblo), seleccionaríamos CE (es la de menor peso, 17.5 Km.). A continuación, a partir de E, la menor es la de 31.2, y así sucesivamente. Esto nos lleva al final a C – E – B – A – D – F (es decir, Salas de los Infantes – Sto. Domingo de Silos – Lerma – Aranda de Duero – Tórtoles de Esgueva – Peñafiel, o el mismo en sentido contrario) con un total de 160.4 Km.

15.- Las distancias que se marcan entre localidades son las óptimas sin tener en cuenta el tipo de carretera. Muchas veces recorrer 10 Km. por una comarcal es menos práctico en tiempo, gasto de gasolina y deterioro del vehículo que hacer 40 Km. por una autovía o una nacional. En el caso que nos ocupa es claro que es preferible ir de Lerma a Salas de los infantes y luego a Silos, que el trayecto que indicaba el algoritmo que es menor en distancia, pero peor en la calidad del asfalto (me refiero al tramo Lerma – Silos yendo por comarcales que es donde se recorren los 31.2 Km. que se indican en la tabla.

Así pues, una alternativa, más larga en kilometraje, pero probablemente no en tiempo, sería

Peñafiel – Aranda de Duero – Tórtoles de Esgueva – Lerma – Salas de los Infantes – Santo Domingo de Silos, o Peñafiel – Tórtoles de Esgueva – Aranda de Duero – Lerma – Salas de los Infantes – Santo Domingo de Silos

Riego y Adivinación

16.- Una solución sencilla sería la propuesta por uno de nuestros concursantes, Emilio Diaz Rodríguez (imagen de la derecha).

17.- Las cartas que aparecen determinan, según el sistema que el Sr. Cayo (Francisco Rabal) explica, la fecha 3 de Abril de 1986, que será a la postre la fecha de la muerte de Victor Velasco (Juan Luis Galiardo). Los tres asistentes a la “predicción” se toman a chufla esta historia, sobre todo, Rafael Corral (Iñaki Miramón).

Entre las respuestas recibidas, una afirma ser la fecha del estreno de la película (eso sí hubiera sido una buena adivinación, ya que por mucho que se intente estrenar una película en una fecha, siempre hay causas que normalmente retrasan cualquier previsión). Pero casi, casi, porque la película (El disputado voto del Sr. Cayo dirigida por Antonio Jiménez Rico) se estrenó en Madrid el 3 de Noviembre de 1986; sólo falla la cifra del mes.

18.- Es obvio que el sistema no sirve porque la baraja española no permite componer cualquier fecha del año. Por ejemplo, sólo podríamos morir del 1 al 10 de cada mes (si decidimos que la sota es el 8, el caballo el 9 y el rey el 10; si les asignamos sus valores faciales, entonces no se podría morir los días 8, 9 o 10, ni en los meses que designan esas cifras, agosto, septiembre, octubre). Si tomáramos la baraja española de póquer (la que tiene ochos, nueves y dieces), no podríamos poner fechas desde el 13 al 31.

19.- La probabilidad de que 3 personas cualesquiera no celebren su cumpleaños el mismo día es

La explicación es sencilla: son sucesos independientes (multiplicamos por tanto las probabilidades de cada persona), cualquier persona tiene probabilidad 1 de tener cumpleaños un día (porque habrá nacido algún día); fijada esa fecha, al siguiente le quedan 364 de 365 posibilidades, y descartadas ambas, al segundo le quedan 363 de 365. El suceso complementario, la probabilidad de que las tres personas cumplan años el mismo día (la pregunta que se hace) será pues de 1 – 0.9917 = 0.008204165884 ≈ 8.2 10^–3., que es con diferencia bastante mayor que la que la presentadora indica 1/300000 ≈ 3.3 10^–6. Sería del orden de 1/122, es decir, encontraríamos un caso entre 122, no uno entre 300000. En descargo de los guionistas del programa, la probabilidad de coincidencia de tres personas de una misma familia aparentemente debería ser menor No sabemos de donde sacaron el dato o cómo lo calcularon. Si alguno conoce a los amigos de “la nave del misterio” que se lo pregunten y luego nos lo cuenten.

Sopa de letras y Ángulos

20.- Se trataba de encontrar los nombres de 15 mujeres matemáticas ilustres. La solución es

Sólo ha habido un concursante que ha dado los 15 nombres correctamente. Algunos han creído ver en MORENO o en ANNA una matemática famosa, pero la que fallaron era curiosamente la única española que aparece, María Antonia Canals.

21.- Podríamos añadir a la lista, según su medida, además de agudo, recto y obtuso, ángulo convexo (<180º), cóncavo (> 180º), llano (=180º),  nulo (=0º), completo (=360º), y según su posición, aparte de adyacentes, y opuestos por el vértice, consecutivos (aquellos con un vértice y un lado en común), según su suma, aparte de complementarios, suplementarios si suman 180º.

Cuestiones Finales

22.- Obviamente a Miguel Delibes, fallecido el pasado 12 – 3 – 2010, (las películas elegidas se basan en dos de sus novelas), y un poco más rebuscado, Martin Gardner, del que se han tomado prestadas las preguntas relativas a los triángulos y cuadrados antimágicos (concretamente del libro, Juegos y Enigmas de otros mundos, editado en Barcelona por Gedisa en 1987, capítulo 8), que murió el 22 – 5 – 2010.

23.- La imagen de la pizarra y los ángulos corresponde a El camino (Ana Mariscal, 1963), mientras que los diálogos son de la serie para televisión del mismo nombre dirigida por Josefina Molina en 1977. La otra película es El disputado voto del Sr. Cayo (Antonio Jiménez Rico, 1986).

24.- Castrillo de la Vega, a nueve kilómetros de Aranda de Duero, en la provincia de Burgos. Es fácilmente deducible a partir de la última pista, la del actor Jason Priestley (Brandon, de la serie Sensación de Vivir) que rodó por allí parte de un episodio de la serie documental Hollywood and Vines (13 episodios, el octavo y el noveno dedicados a España). Según se dijo en el periódico Diario de Burgos (ver noticia), el actor “elaborará su propio vino en Bodegas Conde-Neo”, lo cual creo que aún está por ver.

Puntuaciones

Ciertamente la cosa ha estado muy, muy reñida este año, y las diferencias han sido mínimas. Enhorabuena a tod@s. Los cinco primeros puestos han quedado del siguiente modo:

1º.- Elías Villalonga Fernández.- 187 puntos.
2º.- Emilio Díaz Rodríguez.- 186 puntos.
3º y 4º.- Celso de Frutos de Nicolás y Emi Kobala.- 175 puntos
5º.- María José Fuente Somavilla.- 92 puntos.

Muchas gracias por participar y simplemente confío en que os hayáis divertido.