No sólo existe el cine norteamericano de alto presupuesto y los grandes festivales ampliamente difundidos por los medios de comunicación. El cine es universal, como las matemáticas. Nos acercamos en esta ocasión a una de las provincias castellanas que menos ruido hace, pero que propone certámenes cinematográficos de interés, y donde también se ruedan producciones relacionadas con las matemáticas.

Del 25 de febrero al 5 de marzo ha tenido lugar la 20 Muestra de Cine Internacional de Palencia en la que además de presentar algunos largometrajes de notable interés cinematográfico fuera del circuito comercial y su tradicional concurso de cortometrajes, ha extendido su oferta a los centros educativos de la ciudad y provincia, y al Centro Penitenciario de Dueñas. Exposiciones, conciertos y un ciclo de conferencias, sobre el rock, la astronomía y las matemáticas, todas ellas en relación con el Séptimo Arte, han complementado en esta edición el visionado de películas.

Además, en Palencia y su provincia se ha filmado íntegramente el mediometraje que a continuación os presentamos (entre las diferentes localizaciones pueden reconocerse el campus universitario de La Yutera y la calle Mayor de la ciudad), y que aún no se ha estrenado comercialmente (sólo se ha hecho un pase de producción el pasado 6 de noviembre para la prensa, sponsors y equipo de producción junto a una exposición de fotografías del rodaje en el Cine Avenida). Según reza la publicidad de la película se trata de “una historia sobre el cálculo de probabilidades y las relaciones personales”.

Logaritmo Neperiano: una probabilidad entre un millón

Título Original: Logaritmo Neperiano: una probabilidad entre un millón. Nacionalidad: España, 2011. Director: Abbé Nozal. Guión: Abbé Nozal. Fotografía: Abbé Nozal , en Color. Montaje: Abbé Nozal. Producción: Páramo Films. Duración: 43 min.

Intérpretes: Nuria de Luna (La profesora), Javier Ambrossi (Jotajota), Christopher Mulhern (el conductor), Vanesa Lobera (Karol), Rocío Monteagudo (Beet), Kati Feliz (Sortija), Inés Andrés (la farmacéutica), Erica González (la doctora), Teresa Aisha (la diosa), Nerea Pérez (Compañera), Teresa Núñez (Abuela 1), Abundia Miguel (Abuela 2), Rodrigo Zarzuelo (Moscón 1), Héctor Ruiz Rojo (Moscón 2), David Rodríguez Leal (Moscón 3), Carlos Dávila (Moscón 4), Esteban Fernández Rojo (Enfermero 1), Juan Llacer Centeno (Enfermero 2), Félix De La Vega (Cura), Félix Riali (Saxofonista).

Argumento: Los alumnos del último año de ciencias exactas reciben las calificaciones del examen sobre cálculo de probabilidades. El único alumno suspendido, que ha estado mucho tiempo  obsesionado con un error en su examen, defiende frente a la profesora una particular teoría. Sus argumentos probabilísticos llaman poderosamente la atención del “pivón” de la clase y del conductor del autobús universitario. Paralelamente tiene lugar una transformación colectiva alrededor de una sola actividad inmutable. El amor aparece al final de manera sorpresiva: una probabilidad entre un millón...de billones... de trillones...

Es obvio que nos encontramos ante una comedia, cuyo tráiler puede verse aquí. También parece claro del titulo de la película que los logaritmos deberían tener alguna relevancia en su desarrollo. Veamos cómo.

Toca desempolvar el Feller (un libro clásico sobre cálculo de probabilidades de moda en los tiempos en que estudié la licenciatura). En uno de los momentos clave de la película, el alumno protagonista, Jotajota, expone ante la profesora y el resto de sus compañeras (es el único chico de la clase) que ha encontrado un procedimiento que le permite acertar siempre la combinación ganadora de la lotería primitiva. Su razonamiento comienza calculando el número de posibles combinaciones que pueden darse en un sorteo (se ve claramente en la pizarra): 49 elementos tomados de 6 en 6, es decir,

,

aproximadamente 14 millones de combinaciones.

Por otro lado, la probabilidad de que un número aparezca en la combinación ganadora es (ya se sabe, casos favorables entre casos posibles)

y de ahí escribe  retorno = 1/0.1224 = 8.17, es decir  cada número aparece en la combinación ganadora, en media, cada 8.17 sorteos.

A continuación considera que la aparición de cada número en el tiempo sigue un proceso de Poisson. Recordemos brevemente este concepto.

En probabilidades y estadística, la distribución de Poisson es una distribución de probabilidad discreta que expresa la probabilidad que un determinado número de eventos ocurran en un determinado periodo de tiempo, dada una frecuencia media conocida e independientemente del tiempo discurrido desde el último evento. Fue dada a conocer por Siméon-Denis Poisson (1781–1840) en 1838.

La función de probabilidad (nos da la probabilidad de que un evento suceda precisamente x veces) para esta distribución viene dada por

donde x es el número de ocurrencias del evento y λ es un parámetro positivo que representa el número de veces que se espera que ocurra el fenómeno durante un intervalo dado. En las aplicaciones es necesario reemplazar el intervalo de tiempo unitario por un intervalo de longitud arbitraria t, lo que nos lleva a la expresión

que es la que aparece escrita en la pizarra de la película.

Después aparece descrita la función generadora de momentos, función generatriz de momentos de una variable aleatoria X, o función masa, correspondiente a esa distribución.  En general se define mediante

siempre que esta esperanza (E es la esperanza matemática) exista. La función generadora de momentos se llama así porque, si existe en un entorno de z = 0, permite generar los momentos de la distribución de probabilidad:

En el caso de un proceso de Poisson esta función es , que es la que aparece escrita en el encerado. A continuación calcula las derivadas parciales descritas en la expresión previa, y las evalúa en z = 0. Si uno se toma la molestia de calcularlas, obtendrá

, y de ahí 

Sin embargo, en la parcial segunda, Jotajota escribe , y ahí tiene un pequeño error ya que el resultado correcto es λt + λ²t², salvo que desprecie los términos de grado mayor que uno, que pudiera ser.

Un poco más a la derecha, escribe “A partir de las funciones obtenidas y tomando logaritmos para estabilizar la varianza en el tiempo” y escribe la fórmula de Stirling

y de esa escribe

ln x! ~ x ln x – n

con lo que el protagonista comete otro pequeño lapsus (¿lo ve el lector?). En efecto, la última n debe ser una x, con lo que debería haber puesto

ln x! ~ x ln x – x

La errata es del todo disculpable ya que normalmente la fórmula de Stirling aparece descrita para los naturales en la forma   ln n! ~ n ln n – n

Finalmente, aparece una expresión inventada, un argmin de una integral extendida a R⁶ y en el integrando una norma cuadrática (la dimensión seis se debe a que son seis los números a acertar en la lotería primitiva). De ahí pasa a deducir los números que saldrán en el próximo sorteo, que son el 3, el 7, el 10,…, y en ese momento la profesora le corta, mostrando su contrariedad y malestar por especular con tales predicciones.

La verdad es que, en comparación con otras películas, en este caso sus responsables se han preocupado muy mucho de que lo que se plantea sea verosímil matemáticamente hablando (obviamente salvo la expresión final que es la parte inventada), lo cual es de agradecer. Para ello han tenido el asesoramiento del profesor Roberto San Martín Fernández, del departamento de Estadística e Investigación Operativa de la Universidad de Valladolid, al cual hay que agradecerle también el haber ideado un asunto en el que aparecieran logaritmos y casara con el guión.

Hay alguna otra referencia a las matemáticas pero de menor interés y colocada casi a título anecdótico, como el desvarío que Jotajota parece tener constantemente por su equivocación en su examen a cuenta del logaritmo neperiano. Esto se pone de manifiesto cuando está, se supone que pasándolo estupendamente, con otra de las protagonistas, y sólo se le ocurre hablar de factores, infinito elevado al cubo, etc.

Logaritmos, Stirling y Poisson

Hacia el siglo XVI los cálculos que se precisaban (comerciales, astronómicos, de navegación, etc.) empezaban a ser de una magnitud un tanto prohibitiva. Había que encontrar algoritmos que facilitaran tales cálculos. Aparecen así, por dos vías distintas (John Napier y Jobst Bürgi) los logaritmos. Su origen se puede encontrar sin embargo ya en Arquímedes, en la comparación de sucesiones aritméticas y geométricas. Para entenderlo de un modo sencillo, observemos la siguiente tabla:

La primera fila es una sucesión aritmética de diferencia la unidad, y la segunda una geométrica de razón dos. Queremos multiplicar dos números de la segunda fila, por ejemplo, 16 x 64. A todos nos parece más sencillo sumar que multiplicar, sobre todo si son números grandes. Pues bien la idea de los logaritmos es la de sumar para multiplicar (en el ejemplo, el número de la fila superior correspondiente al 16 es el 4, y al del 64, el 6; sumamos 4 + 6 = 10; el número correspondiente al 10 de la segunda fila es el 1024, que es precisamente 16 x 64), restar para dividir (con la misma técnica del ejemplo anterior, si queremos dividir 1024:16, basta con hacer 10 – 4 = 6; el resultado de la división es 64, el valor que corresponde al 6 en la segunda fila), y multiplicar para elevar un número a una potencia (idea añadida por Michael Stifel en 1544). La primera fila corresponde a los logaritmos, y la segunda a los llamados antilogaritmos.

De este modo, perfeccionando esta idea, surgen las famosas tablas de logaritmos, que muchos hemos utilizado antes de la universalización de las calculadoras de bolsillo y posteriormente de los ordenadores personales.

El método de cálculo mediante logaritmos fue propuesto por primera vez, públicamente, por John Napier (latinizado Neperus) en 1614. Jobst Bürgi, un relojero suizo concibió la idea años antes, pero publicó su descubrimiento después que Napier. Inicialmente este procedimiento no fue aceptado pero el apoyo entusiasta de Kepler y otros astrónomos y matemáticos fueron poco a poco rompiendo esa resistencia a su utilización. Además de su utilidad en los cálculos, los logaritmos también ocuparon un importante lugar en las matemáticas más avanzadas; el logaritmo natural presenta una solución para el problema de la cuadratura de un sector hiperbólico ideado por Gregorie de Saint-Vincent en 1647, y como muestra la película son imprescindibles en estadística, entre otras cosas en la estabilización de las varianzas, tal y como aparece escrito en la pizarra de la película.

Inicialmente, Napier llamó "números artificiales" a los logaritmos y "números naturales" a los antilogaritmos. Más tarde, Napier usa la palabra logaritmo en el sentido de un número que indica una proporción: logos, razón, y arithmos, número. Número de  razones, de proporciones. En cualquier texto de historia de las matemáticas (C.B. Boyer, por ejemplo, o en la wikipedia) puede encontrarse el razonamiento que hizo Napier y porqué aparece como base el número e. De ahí también el que se utilice su nombre logaritmo neperiano para los logaritmos en dicha base. Posteriormente Henry Briggs, fascinado con los logaritmos, visita a Napier en Edimburgo y mantienen una discusión en la que Briggs argumenta que el que debería tomar valor 1 debería ser el logaritmo de 10. Nacen así los logaritmos decimales o logaritmos de Briggs. En la actualidad, el tratamiento que se hace de los logaritmos es más parecido al que hizo Bürgi. Ironías de la vida. El término antilogaritmo fue introducido a finales de siglo XVII y, aunque nunca se utilizó ampliamente en matemáticas, perduró en muchas tablas, hasta que cayó en desuso.

La fórmula de Stirling es una herramienta fundamental tanto para demostrar importantes resultados teóricos, como para obtener aproximaciones numéricas.

n! ~ nⁿ e^─n

El significado del símbolo ~ indica que el cociente de ambos miembros tiende a la unidad cuando n tiende a infinito. Es uno de los infinitos más conocidos por los estudiantes a la hora de calcular límites, siempre que la expresión en la que se sustituya esté formada exclusivamente por productos y/o cocientes. No obstante para valores pequeños de n la fórmula también es una aceptable aproximación:

n	n!	nn e─n
1	1	0.9221370088
2	2	1.919004351
3	6	5.836209591
4	24	23.50617513
5	120	118.0191679
6	720	710.0781846
7	5040	4980.395831
10	3.6288 x 106	3.59869 x 106
100	9.33262 x 10157	9.32484 x 10157

Puede comprobarse en la tabla adjunta que el error (diferencia entre la tercera y la segunda columna) va decreciendo conforme n va aumentando. De hecho decrece uniformemente, razón por la que es una excelente aproximación, aunque esto no es fácil explicarlo con palabras sencillas y sin entrar en detalles técnicos.

En la gráfica puede apreciarse como a partir del valor 10, el comportamiento de ambos miembros de la equivalencia prácticamente coinciden

Al parecer la fórmula fue descubierta originalmente por Abraham DeMoivre (1667 – 1754) en la forma

n! ~ (Constante) n^n+1/2 e^─n

La contribución de Stirling fue la del cálculo de la constante .

La fórmula resulta útil en áreas diversas, como la mecánica estadística, donde aparecen con frecuencia ecuaciones que contienen factoriales. En la materia ordinaria los sistemas macroscópicos típicos tienen del orden de 10²³ partículas, con lo que la fórmula de Stirling resulta una buena aproximación. Por otra parte la fórmula de Stirling es diferenciable lo que permite su utilización en el cálculo aproximado de máximos y mínimos en expresiones que contienen factoriales.

El matemático escocés James Stirling (1692 – 1770) es recordado fundamentalmente por dicha fórmula, aunque su biografía guarda algunas sorpresas. Nace en una familia partidaria de los jacobitas. Los Jacobitas eran un movimiento político que intentaba conseguir la restauración en los tronos de Inglaterra y Escocia a los miembros de la Casa Estuardo (incluso con posterioridad a 1707 cuando ambos títulos se unieron de facto en el trono del Reino Unido después del Acta de Unión). El movimiento toma su nombre del rey católico Jacobo II, destronado en 1688 y remplazado por su yerno protestante Guillermo de Orange, que reinó como Guillermo III, casado con María Estuardo, hija del propio rey Jacobo II. La peripecia de este movimiento es amplia, La resumiremos diciendo que motivaron hasta una guerra civil, pero que finalmente nunca consiguieron consolidar en forma militar el gran apoyo que encontraron entre los países continentales.

El caso es que Stirling se fue de su país, a pesar de los buenos contactos que tenía con científicos de la talla de Isaac Newton. Se establece en Venecia en 1717 como profesor de matemáticas, pero tuvo que huir en 1722 temiendo por su vida acusado de difundir los secretos de los vidrieros de esa ciudad. Fue precisamente la influencia de Newton la que le permitió salir airoso. En Londres permaneció diez años, manteniendo una fértil correspondencia con algunos de los más destacados matemáticos de su época, incluido Euler.

En 1726, es nombrado Fellow de la Royal Society. En 1730 publica su mejor obra “Methodus differentialis, sive tractatus de summatione et interpolatione serierum infinitarum”, un compendio de series infinitas, métodos de interpolación y cuadratura. En 1735, envía a la Royal Society el artículo “On the Figure of the Earth, and on the Variation of the Force of Gravity at its Surface.” Al parecer su trabajo como matemático no le llegaba para vivir  a su gusto y ese mismo año se presenta como director de una compañía minera en Leadhills.

En 1745 publica “A Description of a Machine to Blow Fire by Fall of Water” para la Royal Society en donde se pone de manifiesto lo aprendido de los vidrieros venecianos. Al año siguiente Stirling es considerado el sucesor de Colin Maclaurin en Edimburgo, pero su apoyo a la causa jacobita le impide acceder al cargo.

En 1752 hizo un estudio topográfico del río Clyde para mejorar las comunicaciones marítimas y  convertir a Glasgow en la capital comercial de Escocia. Según numerosos estudiosos existe un considerable volumen de cartas, manuscritos y artículos sobre temas aplicados como pesos y medidas escritos por Stirling que aún no han sido estudiados a fondo.

Finalmente, unas breves líneas sobre la distribución de Poisson. Hay cierta controversia entre algunos autores que la denominan ley de los sucesos raros o de los números pequeños, y los que no comparten tal apelativo. El caso es que entre las numerosas aplicaciones a las que puede aplicarse están el estudio de la probabilidad de ruina de una compañía aseguradora, el del número de partículas emitidas en los procesos de desintegración radiactiva, el número de llamadas telefónicas a un número equivocado, la cantidad de clientes que entran a una tienda, el numero de coches que pasan por una autopista, la llegada de personas a una fila de espera, el conteo de bacterias, el intercambio de cromosomas en las células, por citar algunos de los más conocidos.

Apuntes finales sobre la película (y sobre Palencia)

La película se rodó en dos partes, del 31 de mayo a 5 junio, y entre el 11 y el 12 de septiembre de 2010. Su realizador, el pintor y cineasta Abbé Nozal, puso en marcha una curiosa forma de financiación: poniendo a la venta un cuadro realizado por él mismo para posteriormente trocearlo en 36 fragmentos que fueron adquiridos por todos aquellos que han querido colaborar en el proyecto y que aparecen en los créditos como productores honoríficos. El propio autor nos presenta su partenogénesis. A destacar también su interés por convertir la provincia de Palencia en un plató natural ideal para el rodaje de películas. Desde luego razones no le faltan, sobre todo paisajísticas, aunque lo mismo podría decirse de prácticamente toda la geografía española.

Finalmente recordemos que a Palencia llegó también un merecidísimo Goya al Mejor Cortometraje Documental por Memorias de un cine de provincias, de Ramón Margareto.

Noticias Breves

Se ha convocado el I Concurso de cortos Universidad de Valladolid. En el enlace están las bases. A ver si alguien se anima a reflejar algo relacionado con las matemáticas y le dedicamos también una reseña.

Asimismo nos hacemos eco de la buena aceptación que la película Aficionados de Arturo Dueñas, bibliotecario de la UVa, está teniendo tras su selección en diferentes festivales y su estreno comercial. Se tarta de un trabajo realizado por gente de la ciudad, actores no profesionales, rodado sin subvención alguna (matemática financiera de por medio por tanto) lo cual la hace un rara avis dentro del panorama cinematográfico nacional. El rodaje se inició en noviembre de 2008 sin tener un guión claro, ya que los actores fueron elaborando sus personajes a medida que iban rodando, al mismo tiempo que se iba haciendo el guión del largo. La única idea clara era que todo iba a girar en torno al círculo familiar, profesional e íntimo, por lo que algunos de los actores interpretan sus propias vidas. El título, según explica el director, es una metáfora de la vida.

Año Internacional de la Química

Otro químico y profesor universitario un tanto despistado. Entre sus experimentos puede consignarse un aditivo para aumentar la eficiencia de la gasolina en motores de explosión consistente en mezclar tres partes de carbono, cinco de hidrógeno, una parte de nitrógeno y tres partes de oxígeno. El resultado es fácilmente imaginable, ¿verdad?.

Según los expertos conforma uno de los tipos clásicos de químicos en el cine. ¿De que película se trata? ¿A qué tipología responde? Las respuestas, para los más perdidos, el mes que viene.