Conceptos de Matemáticas

Objetivo:
Los alumnos comenzarán a trabajar con poliedros regulares. Basándose en el número de caras que se encuentran en el vértice de un sólido, determinarán que tan sólo pueden existir cinco.

Requisitos previos
Conocimiento de los polígonos básicos (“Figuras geométricas”) y saber definir una figura bidimensional frente a una tridimensional (“Figuras bidimensionales y tridimensionales”)

Tiempo necesario
Una o dos clases de 45-60 minutos.

Materiales
Dos Kits Creador del Sistema Zome para 25-30 alumnos.
Tres o cuatro paquetes de varillas verdes adicionales del Sistema Zome, si es posible.
Unas tijeras por equipo.
Un rollo de cinta adhesiva por equipo.
Polígonos de cartulina  (Ver la sección de “Materiales”)

Procedimiento
Comienza la clase con un repaso de los polígonos y los poliedros. ¿Qué es un polígono? ¿Qué nos dicen sus nombres? ¿Qué es un polígono regular? (El que tiene todos sus vértices y ángulos iguales). ¿Qué es un poliedro? ¿Todos los poliedros están formados por polígonos? ¿Cómo se llaman los poliedros? Durante esta lección estudiaremos un tipo de poliedro llamado poliedro regular. Son sólidos cuyas caras son todas polígonos regulares y todas iguales. El mismo número de caras coinciden en cada vértice. Muestra a los alumnos un cubo hecho con el sistema Zome (varillas azules) como ejemplo de sólido regular cuyos lados son cuadrados. Todas las caras son cuadrados y en cada vértice coinciden tres caras.
Divide la clase en grupos y reparte las piezas del Sistema Zome, las tijeras, la cinta y los polígonos de cartulina. La tarea de los equipos es descubrir cuántos poliedros regulares existen. ¿Cómo podemos saber cuántos poliedros regulares existen? ¿El número es infinito o no? Pide a los alumnos que anoten lo que crean en sus cuadernos. Comentad las diferentes estrategias que de los alumnos.
Deja 20-30 minutos a los alumnos para que construyan  los sólidos regulares que puedan. Comentad cada uno de los sólidos que construyan. ¿Todas sus caras son el mismo polígono? ¿Coincide el mismo número de caras en todos los vértices? En esta primera fase son válidos los sólidos con caras que no sean polígonos regulares. ¿Cuántos han encontrado los alumnos?
A continuación, los alumnos deben observar todos los vértices, utilizando los distintos polígonos regulares, comenzando por el más sencillo. ¿Cuál es el polígono regular más sencillo? (El triángulo). ¿Pueden coincidir distinto número de aristas en un vértice? ¿Y qué ocurre con los ángulos de los vértices? ¿Pueden variar? ¿Cuántos formarán un vértice? ¿Dos triángulos forman un vértice? ¿Y tres? Los alumnos deben intentar construir cada vértice por turnos. Si dispones de varillas verdes, podrás formar todos los vértices con triángulos regulares. Si no es así, tienen que utilizar conjuntamente varillas rojas y azules para formar el vértice formado por tres triángulos y el vértice formado por cuatro triángulos. Pega los triángulos de cartulina a las aristas para que se vea mejor cómo ajustan. ¿Cuál es el número máximo de triángulos que coinciden en un vértice? (El máximo es cinco. Seis triángulos formarán un hexágono plano, lo que no es un vértice).
Cuando se alcanza el límite con los triángulos, pasad a la siguiente figura. ¿Cuál es el siguiente polígono regular? ¿Cuántos cuadrados se ajustan para formar un vértice? ¿De cuántas formas pueden formar un vértice los cuadrados? ¿Cuántos formarán una figura plana? Ayúdate del sistema Zome para comprobarlo. ¿Cuál es el siguiente polígono regular? ¿Cuántos se ajustan para formar un vértice? Continúa hasta que los equipos vayan averiguando los distintos límites. Los hexágonos sólo se ajustan en estructuras planas y, por encima de seis lados, los ángulos en los vértices son demasiado grandes  (<120º) para colocarlos juntos más de tres.
¿Cuántos vértices han encontrado?  Observando los vértices, ¿podemos saber cómo será el sólido completo? Los alumnos deben escribir sus observaciones e intentar formular una regla que describa los vértices tridimensionales que pueden formarse mediante polígonos regulares. Los equipos deben guardar los vértices construidos, tantos los de papel como los construidos con el Sistema Zome.
Los sólidos regulares han sido objeto de estudio a lo largo de la historia. El filósofo griego Platón clasificó estas formas hace 2400 años. Estableció que sólo pueden construirse cinco sólidos mediante la repetición de un polígono regular para formar un poliedro tridimensional. Utilizó como criterio que todos los elementos de los sólidos debían ser regulares, caras, ángulos y vértices iguales, sin solaparse y sin dejar huecos.
La lección de “Sólidos platónicos II” continúa con el estudio de estos poliedros.

Evaluación
Observa a los alumnos mientras construyen las figuras y toma nota de su trabajo. Revisa sus cuadernos.
Para alcanzar los contenidos mínimos de la lección, los alumnos deben construir los vértices tanto a papel como con el Sistema Zome y saber cuántos hay. Superan ampliamente esos contenidos mínimos si establecen una regla que explique que tan sólo puede haber cinco vértices.

Estándares del NCTM
Resolución de problemas matemáticos como método de investigación y aplicación (Estándar NCTM 1)
Las matemáticas como razonamiento (Estándar NCTM 3)
El estudio de la geometría de dimensión 1, 2 y 3 en distintas situaciones (Estándar NCTM 12).

Posibilidades de ampliación
Continuar trabajando con poliedros (“Sólidos platónicos II”, “Sólidos arquimedianos” y construcciones 4, 5, 6 y 8 del Manual del Sistema Zome). Más trabajo con mosaicos tridimensionales (“Teselas triangulares tridimensionales” y “La ciudad colmena”)