La historia de las matemáticas se encuentra plagada de anécdotas y situaciones que se pueden utilizar con éxito para plantear problemas recreativos de toda índole. La exclamación ¡EUREKA! nos recuerda la recreación del descubrimiento realizado por Arquímedes de la famosa ley física “Todo cuerpo sumergido en el agua … sale mojado” para determinar si la corona del rey Hierón III estaba falsificada con otro material que no fuera oro. ¿Cómo? ¿Que ya te he contado esto? ¡Cierto!, en el número 54 de este rincón.

El hecho de determinar una pieza de distinto peso entre un conjunto de objetos del mismo aspecto exterior ha sido objeto de muchos problemas de ingenio (te recomiendo, por ejemplo, el libro Aritmética Recreativa, de Yakov Perelman). El método empleado para la solución de estos problemas se ha utilizado también en forma de juego de magia y en este portal lo hemos tratado varias veces, por ejemplo en el citado número 54 de este portal así como en el número 52.

En aquella ocasión, siguiendo el artículo de Jesús García Gual titulado "Juegos basados en sistemas de numeración", mostrábamos que la clave para resolver este tipo de problemas consistía en representar cada elemento en el sistema de numeración ternaria (en el número 73 de este rincón aprovechamos nuevamente este sistema de numeración para adivinar un número pensado). Ahora bien, el artículo citado contiene otras ideas para diseñar juegos de magia con cartas.

El primer juego se basa en el resultado conocido de que es posible determinar con tres pesadas cuál es la moneda falsa (puede pesar más o menos que las demás) entre un conjunto de 12 monedas del mismo tamaño. Se usan entonces las siguientes 12 cartas a cada una de las cuales asociamos un número en base tres, según las reglas:

• la primera cifra identifica el palo de la baraja (oros = 0; copas = 1; espadas = 2);
• la segunda indica el valor dentro de un palo ( as-dos-tres = 0; cuatro-cinco-seis = 1; sota-caballo-rey =2);
• la tercera indica divisibilidad (múltiplo de 3 = 0; múltiplo de 3 más uno = 1; múltiplo de 3 más dos = 2).

[Observar que, entre paréntesis, está escrito el complementario del número, es decir el que sumado al anterior da 222.]

Realizaremos las pesadas del modo siguiente:

• Primera pesada: 001, 010, 011, 012 contra 200, 201, 202, 220 (primera cifra cero contra primera cifra 2).

  Si pesan más los de cero, escribimos en un papel un cero; si pesan lo mismo, escribimos un uno; si pesan más los de 2, escribimos un dos.

• Segunda pesada: 001, 200, 201, 202 contra 120, 121, 122, 220 (segunda cifra cero contra segunda cifra 2).

  Escribimos a la derecha del número escrito anteriormente un 0, 1 ó 2 según la misma regla anterior.

• Tercera pesada: 010, 120, 200, 220 contra 012, 112, 122, 202 (tercera cifra cero contra tercera cifra 2).

  Nuevamente, escribimos a la derecha del número escrito anteriormente un 0, 1 ó 2 según la misma regla anterior.

Habremos conseguido al final un número de tres cifras escrito en nuestro papel. La regla para identificar la carta correspondiente es la siguiente:

Si dicho número corresponde a una carta, ésta será la elegida y pesa más que el resto. Si corresponde a un número entre paréntesis, la carta pesa menos que el resto.

Una forma práctica de realizar el juego podría ser imprimir en unas cartulinas las cartas correspondientes a cada pesada. Tendríamos así:

Una solución más efectiva y completa es la conseguida por uno de nuestros matemagos de cabecera, Werner Miller, quien ya ha sido citado en este rincón (por ejemplo en el número 43, el número 49 y el número 50). En el juego titulado "The odd card", nos regala un programa (para Windows) que consiste en tres fases: adivinar una carta más pesada entre las trece de su mismo palo, adivinar una carta menos pesada entre las mismas trece cartas, y adivinar una carta entre doce sin saber si pesa más o menos.

La pregunta que nos surge ahora es: ¿cuántas pesadas se necesitan para realizar el juego utilizando toda la baraja?

Casualmente, otro problema clásico de ingenio afirma que, si disponemos del conjunto de pesas {1, 3, 9, 27} y una balanza de dos platillos, se puede pesar cualquier objeto de peso comprendido entre 1 y 40 en una pesada.

Ahora bien, ¿cómo hacer dicha pesada? Un método preciso, y precioso, consiste en escribir en base tres el peso del objeto.

Viendo la tabla, encontramos dos tipos de números:

• Los números que, en su representación ternaria, sólo tienen unos y ceros (están en negro en la tabla anterior), se pesan colocando directamente las pesas indicadas por el valor 1, en el platillo contrario al del objeto.

• Los que tienen algún dos en su representación ternaria (están en rojo en la tabla anterior), deben modificarse según la tabla (mediante sumas y restas) de modo que el valor -1 indica que el peso correspondiente debe colocarse en el platillo que contiene el objeto.

[Observar la regla de formación de los números en el sistema de numeración “modificado”: en la cifra de las unidades se van alternando los valores 0, 1, -1; en la cifra de las decenas cada valor se repite tres veces; en la cifra de las centenas, cada valor se repite nueve veces y así sucesivamente.]

¿Cómo aplicar esta idea para adivinar cualquier carta pensada de una baraja española?

Con cuatro cartulinas que contengan las cartas, en la cara izquierda las correspondientes al 0 y en la cara derecha las correspondientes al 1.

Tenemos así las cuatro tarjetas mostradas a continuación (pincha sobre cada una de ellas para descargarla):

TARJETA 1	TARJETA 2
TARJETA 3	TARJETA 4

El funcionamiento es como el utilizado en el primer juego: un espectador piensa una carta de la baraja española y, al mostrarle las cartulinas, indica si su carta está en el lado izquierdo (en cuyo caso anotamos mentalmente el número cero) o en el derecho (en cuyo caso anotamos mentalmente el número 1) o en ninguno (donde anotamos el número -1). La tarjeta 1 corresponde a la cifra de las unidades, la dos a la de las decenas, la 3 a la de las centenas y la 4 a la de las unidades de millar.

Al final tendremos un número de cuatro cifras el cual, mediante la tabla anterior, corresponde a un único número del 1 al 40. Este número representa la carta pensada por el espectador.

Dejo en tus manos el método más adecuado para realizar la correspondencia entre el número y la carta, y que el espectador no tenga que esperar eternamente.

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