El año 2014 ha sido declarado Año Internacional de la Cristalografía, una de las ciencias más vinculadas a la geometría del espacio. Parece oportuno dedicar un tiempo a uno de los poliedros más cristalográficos: el octaedro truncado, también llamado sólido de Kelvin. La imagen de inicio está realizada en cerámica de Delft y se conserva en el Rijksmuseum de Ámsterdam.

Con sus ocho caras hexagonales y sus seis cuadradas, el octaedro truncado, tiene varias propiedades interesantes, entre ellas la de ser el único poliedro de Arquímedes que llena el espacio y además también el único que lo hace con sólo tres sólidos en cada vértice. En Rumania, cerca de la ciudad de Constanza, tuvieron el acierto de mostrar en grandes dimensiones el ensamblado de estos poliedros.

La propiedad del llenado del espacio hace que el poliedro tenga curiosas aplicaciones, como su utilización en los juegos infantiles de soga. El juego requiere una estructura modular y el sólido de Kevin es el más adecuado. La estructura portante adopta formas variadas pero la maraña de poliedros que se van escalando son invariablemente octaedros truncados. Reproducimos un juego localizado en la muralla de Núremberg.

Una bonita escultura de Rafael Laoz, llamada oportunamente Estructura hiperpoliedrica del espacio, y que se encuentra en el museo al aire libre de la Castellana de Madrid está formada con los tres poliedros del sistema cúbico que llenan el espacio: el propio cubo, el dodecaedro rómbico y nuestro octaedro truncado. Los vacíos poliedros se van ensamblando alternativamente uno dentro de otro hasta que la vista se pierde.

El sólido de Kelvin nos marca la celdilla que le correspondería a cada átomo en el sistema cúbico centrado en el cuerpo. Uno de los elementos que utiliza este sistema es el hierro. Una asociación obligada del poliedro la encontraremos entonces en lo que se ha convertido en el símbolo de Bruselas: el Atomium, la representación de la estructura cristalina del hierro. Si trazamos los planos mediadores de cada una de las barras nos aparecerá el octaedro truncado.

Lord Kelvin tras estudiar la relación área/volumen de distintas burbujas comprobó que el octaedro truncado superaba al dodecaedro rómbico y formalizó una conjetura que ha durado un siglo: la forma óptima, la de mayor volumen para la superficie, era la octaédrica truncada. Un matemático tan perspicaz como Hermann Weyl, en su precioso libro Simetría, decía: me inclino a creer que la configuración de Lord Kelvin da el mínimo absoluto, pero por lo que yo sé, esto no ha sido probado.

La optimización puede resultar caprichosa: para el apilamiento de esferas el óptimo es el sistema cúbico centrado en las caras (o hexagonal compacto) asociado al dodecaedro rómbico pero para burbujas es mejor el octaedro truncado.

En 1993 Denis Weaire y su estudiante Robert Phelan, dos físicos del Trinity College de Dublín, demuestran con un contraejemplo la falsedad de la conjetura de Kelvin de 1887: con un dodecaedro pentagonal deforme (piritoedro) y un tetrakaidecaedro (dos caras hexagonales y doce pentagonales) se tiene una estructura que llena el espacio ahorrando superficie. La estructura de Weaire–Phelan empezó entonces su reinado y la naturaleza mostró que también la usaba.

Resulta curioso no haber encontrado octaedros truncados en la marquetería como ocurre con muchas de la figuras de Leonardo para La Divina proporción de Pacioli, de la que ya hemos hablado.

Donde no falta el octaedro rómbico es en la decoración escultórica de los memoriales ingleses como el de Thomas Bodley en el Merton College de Oxford.

Terminamos mostrando dos objetos prácticos: un reloj de sol del Museo Galileo de Florencia y una lámpara adosada a la catedral de Toledo.