Recordamos una película de culto, rodada en España, y con más matemáticas (y otras cosas) de las que a priori podría pensarse.

El pasado mes de julio se cumplió el quincuagésimo aniversario del estreno de la película El bueno, el feo y el malo (Il buono, il brutto, il cattivo, Sergio Leone, Italia, 1966), rodada en su mayor parte en tierras españolas.Con tal motivo han tenido lugar varios eventos en los lugares más destacados de dicho rodaje: Salas de los Infantes (Burgos) y Los Albaricoques (Almería). En el primer caso fueron cuatro intensos días en los que hubo conferencias (espectacular el grupo de personalidades que la Asociación Cultural Sad Hill logró reunir: Sir Christopher Frayling, probablemente el autor internacional mejor conocedor de la obra del director Sergio Leone; el escritor y crítico Carlos Aguilar, autoridad no menos relevante en el tema; Peter J. Hanley, Anita Haas, Ángel García Romero, la hija del diseño de vestuario Carlo Simi, el montador de la película Eugenio Alabiso, figurantes de la zona, entre una larga lista; y aunque no en persona, no faltaron Clint Eastwood, ni Ennio Morricone, aunque fuera de un modo virtual), conciertos, proyecciones, y sobre todo la recuperación como recurso turístico del cementerio de Sad Hill, en el valle de Mirandilla (Sierra de la Demanda, en el término de Santo Domingo de Silos, Burgos), donde tiene lugar el desenlace final del film con el famoso trielo (un duelo con tres pistoleros; algunos autores lo denominan truelo, por analogía a duelo. Yo prefiero trielo, por aquello del prefijo tri-, y porque así lo he visto desde siempre en los títulos de la banda sonora original de Ennio Morricone. En la red se encuentra información con ambas expresiones, y supongo que ambas son válidas: ninguna aparece en la última versión del diccionario de la Real Academia Española de la Lengua).

Seguramente muchos conozcan ya que la puesta en escena de este singular enfrentamiento es una de los más celebrados ejemplos de la teoría de juegos en el cine, comentado en numerosos blogs, páginas web, libros sobre cine y matemáticas, etc. (Para mi resulta un recuerdo entrañable ya que constituyó todo un acontecimiento a nivel personal que el diario El País me hiciera una entrevista allá por el 2007 a propósito de esta escena, ya que las charlas que daba entonces siempre las terminaba con los casi diez minutos del trielo desgranando el cruce de miradas de cada personaje y justificándolas desde el punto de vista matemático; por supuesto también tuvo que ver mi nada disimulada devoción por la trilogía del dólar de Leone y el que hubieran sido rodadas tan cerca de mi). Por si hay algún despistado recordamos brevemente la escena, que es el desenlace del film (diez minutos de reflexión matemática ¡¡¡ después de 150 minutos de metraje !!!).

La teoría de juegos es una rama de las matemáticas que estudia todo aquello que tenga que ver con las confrontaciones entre entidades, sean éstas personas, empresas, países, etc., y uno de sus objetivos es detectar las estrategias óptimas a llevar a cabo de acuerdo con sus objetivos. Está íntimamente relacionada con el cálculo de probabilidades. De hecho, en el caso que nos ocupa, para entender mejor la resolución de la escena, se suelen asignar probabilidades a cada personaje (por ejemplo, que “el feo” acierte uno de cada tres intentos, “el malo” dos de cada tres y “el bueno” tres de tres, que para eso es el “bueno” y lo interpreta Clint Eastwood, y se supone que, en principio, se efectúa un único disparo; las cuentas se pueden ver con detalle, por ejemplo, en el libro de nuestro compañero José María Sorando Aventuras Matemáticas en el Cine, pp. 140 - 142). La cuestión es a quien debe disparar cada uno, no sólo por sobrevivir, sino por poder acceder a un fabuloso botín escondido en algún lugar del cementerio en el que se encuentran, y que “el bueno”, el único que sabe el verdadero paradero de ese botín, ha dejado escrito en un pedrusco en el centro del círculo. El deleite con el que el director diseña la escena, mostrándonos las expresiones de los rostros en primer plano, nos permite intuir la evolución del pensamiento de cada uno, que “casualmente” coincide con lo que idealmente nos dicen las matemáticas (incluyendo aquello de que lo mejor para el peor tirador sea disparar al aire, aunque en la película eso suceda por otras causas: el que la ha visto sabe a qué me refiero, y el que no, que la vea). Por otro lado, en situaciones reales pueden presentarse circunstancias que escapan del planteamiento inicial, lo cual también está presente en el argumento (mismo comentario del paréntesis anterior). Los más cinéfilos recordarán además que esta estupenda escena ha sido homenajeada, plagiada, imitada, estropeada (cada uno que ponga el adjetivo que desee) en muchas ocasiones por otros realizadores con muy desigual fortuna. (En la imagen, el que esto escribe en el lugar de los hechos tal y como se encuentra en la actualidad; disculpen no tener la prestancia ni el talle de ninguno de los protagonistas, pero es lo que hay).

Merece la pena detenerse un momento en el montaje de dicha escena. El cineasta Max Tohline ha realizado un análisis de los 65 planos que la componen (puede verse en https://vimeo.com/86125935), demostrando cómo no hay ni uno solo superfluo, teniendo cada uno su justificación para estar ahí. Y lo curioso es que la estructura general obedece a un patrón matemático. ¿De cuántas maneras distintas pueden tres objetos ser dispuestos? Evidentemente de seis, no hay más que escribirlas, aunque a poco que escarbemos en nuestra memoria escolar, ni siquiera eso hace falta: se trata de una permutación de tres elementos, que se obtiene con la operación factorial de tres, tres por dos por uno, esto es, seis. En el video mencionado vemos desmenuzados esos planos, comprobando que aparecen esas seis disposiciones de los personajes (Bueno – Feo – Malo) sucesivamente, primero en un plano medio (los tres actores se muestran de rodilla hacia arriba), después un plano con la cámara por encima del hombro de cada uno de ellos mostrando a quien mira cada uno marcando las relaciones espaciales entre los personajes, otro plano mostrando sus revólveres, luego un plano de sus rostros, otro de los mismos rostros aún más cerca, lo que hace un total de quince planos. La última permutación aparece iniciando una nueva serie de otros veinticinco planos diferentes de sus rostros en los que se aprecia el problema de la decisión indicado al inicio. Los detalles del número de planos que se lleva cada personaje, así como su disposición en parejas nos lleva a nuevas sorpresas que tratan (y consiguen) definir otras relaciones entre ellos, acompañados de un progresivo aumento en la cadencia de la banda sonora hasta completar esos 65 planos. ¿Estaba pensando matemáticamente el montador? ¿Salió así por casualidad? Es  bastante probable asumir lo segundo, pero lo cierto es que esa estructura está, y que ha permitido componer uno de las más impactantes enfrentamientos de la historia del cine (y así lo confirman todos los expertos, no es pasión del que esto escribe, que también), que no olvidemos aparece después de dos horas y media de metraje, en el que el espectador podría estar un poco cansado, y sin embargo lo mantiene pegado a la butaca y sin sensación de hastío durante nueve minutos y pico más.

Por otro lado, en una de las reseñas dedicadas al tradicional concurso del verano de esta sección, 15.- Concurso del verano de 2006, también introduje un problemilla geométrico relacionado con esta película; su solución se encuentra en la reseña siguiente.

Pero no es éste únicamente el tema que se pretende traer a colación en esta reseña. Otro de los objetivos de la Asociación Cultural Sad Hill ha sido la recuperación del paraje donde “tuvieron lugar los hechos”, trabajo fatigoso y largo, ya que uno puede imaginarse el estado del lugar cincuenta años después de que, salvo los vecinos de los pueblos cercanos, las vacas y algún que otro excursionista despistado se hayan acercado por allí (se accede por pista forestal pedregosa, bastante empinada y estrecha). Por supuesto poco quedaba del cementerio creado para la ocasión, aunque afortunadamente sí se ha conservado el círculo de piedra (totalmente tapado por la hierba eso sí). Desde posiciones elevadas se aprecia perfectamente la extensión y la forma del decorado original, incluso quedaban algunos montículos dispersos. Se dispone de las escenas filmadas de la película que permiten reproducir algunas de las tumbas más cercanas a los protagonistas, pero ¿cómo reconstruirlo del modo más parecido al original? Alguno puede dar como posible solución algo virtual, generado por el móvil de cada uno, similar al juego del Pokemon Go, pero a los espectadores a la vieja usanza y vaqueros entrados en años nos gustaría algo más real y tangible, la verdad. Y en ello está la citada asociación, que poco a poco va levantando nuevas tumbas apadrinadas por todo aquel que lo desee.

En la escena final de la película, la cámara sigue al “bueno” a caballo en una panorámica aérea alejándose cada vez más. En 1966 se trató de filmar desde un helicóptero, (en la fotografía adjunta, Eastwood sujetando a Leone desde el helicóptero) pero tras unas pruebas, la idea se desestimó por la vibración que se producía y transmitía a la cámara. Finalmente se rodó desde un punto fijo en un tortuoso camino que asciende una peña que circunda el valle (exactamente desde donde hice la panorámica de la foto adjunta; el círculo de piedra del trielo se aprecia perfectamente).  A día de hoy cualquier complicación de este estilo es soslayada con un buen CGI (Computer Graphic Image). La mayor parte de las producciones cinematográficas e incluso los anuncios publicitarios recrean paradisíacos paisajes o mundos de otros planetas gracias a la geometría fractal. Los fractales son objetos matemáticos que pretenden simular con mayor realismo que las líneas rectas de la geometría euclidea los objetos y fenómenos de la naturaleza (nubes, costas, montañas, rayos, etc.) en los que estén presentes estructuras fragmentadas (de ahí el nombre de fractal, del latín fractus). Hay diferentes formas de construirlos y generarlos, y algunos de ellos poseen una propiedad característica, la autosemejanza, esto es la repetición exacta de una estructura a diferentes escalas, por muy grande o pequeña que sea. Desde su concepción, son muchos y muy variados los campos en los que se han encontrado aplicación, entre ellos el cine y los efectos especiales, incluyendo el modelado de paisajes. Desde su utilización en Star Trek II: La ira de Khan (Nicholas Meyer, 1982) o El retorno del Jedi (Richard Marquand, 1983), parecía asociarse su utilización a definir lugares imaginarios de ciencia ficción; sin embargo, la mejora en la potencia de los equipos informáticos han permitido la generación de algoritmos de formación más complejos y realistas a una escala más detallada

Aunque el proceso de formación inicial sea determinista (responde a una fórmula establecida que siempre devuelve valores que pueden por tanto determinarse con precisión), el algoritmo que diseñemos puede irse modificando en los momentos que queramos de un modo aleatorio (introduciendo una nueva fórmula o un nuevo mecanismo de formación que decidamos), tratando de adecuarse mejor a lo que en realidad sucede en la Naturaleza (no olvidemos, la única que nos provee de ejemplos de aleatoriedad pura). Veamos un ejemplo sencillo. Partimos de cuatro puntos, las esquinas de un cuadrado, por ejemplo. Sobre esta base levantaremos nuestro “paisaje”. Tomamos cuatro valores aleatorios que definan las alturas de cada uno de esos puntos, y elegimos una escala d para cada una de ellas. Dividimos a continuación ese cuadrado en cuatro rectángulos, de los que elegimos nuevamente las esquinas. Esto nos proporciona más puntos sobre los lados del cuadrado inicial, y otros en su interior. Las alturas de los nuevos puntos se deciden, a elección, por dos procedimientos diferentes: Para los “puntos del borde” se calcula la media de las alturas de sus dos esquinas vecinas, y luego añadimos un valor aleatorio, que se escala por un factor relacionado con el d anterior mediante una nueva fórmula; para los puntos del interior, se calcula la media de las cuatro esquinas originales, y luego se añade un valor al azar, escalado como los anteriores, por ejemplo. Se procede a continuación del mismo modo con los cuatro rectángulos (procede el ordenador, por supuesto) el número de veces que queramos, con la precaución de tomar el factor de escala en cada etapa cada vez más pequeño; para aseguramos de que cuanto más cerca observemos el paisaje, los “montículos”' en la superficie sean más pequeños, tal y como sucede en un paisaje real. Concluimos el proceso cuando consideremos que tenemos el suficiente número de puntos. Entonces viene la labor de “maquillado”: los unimos de un modo realista (básicamente no mediante rectas), le añadimos colores, texturas, sombras, etc., y tendremos un paisaje más o menos “real”, como el mostrado en la imagen, realizado con un proceso similar al descrito. Con un poco de imaginación, no es demasiado complicado “perfeccionar” nuestra labor “creacionista”. Afortunadamente, para los más románticos añoradores del cine de siempre, aún nos queda Tarantino que prescindió por completo de los CGI en Los odiosos ocho (The Hateful Eight, 2015), y rodaron literalmente en una nevera (el cobertizo en el que transcurre la mayor parte de la película) para que se apreciara como debe ser el vaho exhalado por los personajes, y en unos paradisíacos paisajes nevados.

Volviendo al Simposio del verano, fue un auténtico placer charlar con tantos expertos y testigos de aquel rodaje, más aún comprobando cómo todos eran personas cercanas y amables. Así, hablando, como no, de cine y matemáticas con Sir Christopher Frayling, me comentó una escena relacionada con La muerte tenía un precio. Por supuesto, le comenté, la última, en la que echar cuentas (matemáticas muy elementales, pero matemáticas al fin y al cabo) sobre lo que va a cobrar de recompensa salva la vida al Manco (Clint Eastwood) al percatarse de que falta el cadáver de un forajido. Pero no, para mi sorpresa, Mr. Frayling me indicó otra secuencia diferente en la que la orientación geográfica es crucial en un momento dado. Algún día quizá os lo cuente.

Para los que quieran profundizar un poco más en la obra de Sergio Leone, os sugiero dos textos realmente imprescindibles: Algo que ver con la muerte, de Sir Christopher Frayling, y Sergio Leone, de Cátedra, de Carlos Aguilar (la edición original está agotada).

Y para acabar: mitómanos o no del cine, acérquense si pueden al valle de Mirandilla y otros enclaves del rodaje de la película. La panorámica no les defraudará, y allí nada es virtual.

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