84. EL HEXÁGONO DENTRO DEL CUBO

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84. EL HEXÁGONO DENTRO DEL CUBO
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La sección producida en un cubo por un plano determinado es un hexágono regular. Hallar el área de dicho hexágono en función de la arista del cubo. Calcular su perímetro y estudiar casos en los que el hexágono no es regular.

Llamando l a lado del cubo y ABCDEF el hexágono regular que determina el plano al cortar el cubo.

De acuerdo al dibujo y a las condiciones del problema podemos escribir que el lado del hexágono es igual a:

Además, por ser regular, el hexágono, sus diagonales AD y BE son iguales.

Imponiendo la condición de igualdad y teniendo en cuenta que la diagonal principal del hexágono es igual al doble del lado ( compruébalo), por tanto:

Operando con estas tres igualdades y simplificando llegamos a que : a = b = l/2 Por tanto el lado del hexágono es igual a:

Mientras que el área es igual a

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