Autor: Juan Pedro Rubio Esta dirección electrónica esta protegida contra spambots. Es necesario activar Javascript para visualizarla

Dividiendo entre 2, 4, 8, 16..... 

El pliegue que se produce al aplanar un papel de forma que dos puntos definidos del mismo vengan a coincidir es la mediatriz del segmento que tiene por extremos dichos puntos.

El trazado de una mediatriz por el método clásico, con regla y compás, es un poco más laborioso.

Si plegamos el papel de modo que vengan a coincidir no dos puntos, sino dos rectas definidas en el mismo mediante sendos segmentos, estamos trazando la bisectriz del ángulo comprendido entre dichos segmentos. El trazado de una mediatriz con regla y compás es bastante más laborioso.....

...especialmente si el vértice del ángulo no es accesible.

Vemos así que la división entre dos, tanto de ángulos como de segmentos, es una operación sencilla y natural en papiroflexia .De hecho, muchos de los modelos existentes consisten casi exclusivamente de pliegues de esta naturaleza, si excluimos los pliegues "sin referencias",cuya posición y orientación no están determinadas geométricamente. La mayoría de los pliegues del barquito de papel, de la pajarita, del avión flecha, y de muchos otros modelos tradicionales, son el resultado de bisecciones sucesivas de ángulos y segmentos que el propio proceso de plegado va definiendo en la hoja de papel. Lo mismo puede decirse de multitud de modelos más complejos. Si el lector es practicante de esta afición, podrá comprobarlo revisando los modelos que haya plegado recientemente. Si no lo es, puede que el encanto del modelo que presentamos para su análisis estimule su interés por la papiroflexia. Se trata de la Rata de Eric Joisel.

Dividiendo entre tres. Teoremas de Haga.

Hemos argumentado que la bisección sucesiva de ángulos y segmentos es una operación natural en papiroflexia, abundante en numerosos modelos. Dividir un segmento o un ángulo en 2, 4, 8, 16 o, en general, en 2 n partes iguales es sencillo. Sin embargo, la trisección exacta de ángulos y segmentos dista de ser una operación intuitiva.

No todo esbisección en papiroflexia. Muchos modelos, especialmente entre aquellos que llamamos "geométricos", tales como cajas, poliedros, etc, requieren de trisecciones o divisiones entre otros números naturales de ángulos y segmentos.

En la "nube de papiroflexia" que Thoki Yenn dejó flotando en el espacio electrónico de La Red tras irse de este mundo, encontramos hermosos ejemplos de modelos con trisecciones o divisiones más complejas. Al escribir estas líneas, la nube de Thoki Yenn se encontraba aquí.

A continuación vamos a presentar una sencilla construcción que triseca con exactitud el lado de un cuadrado o bien, con algunas operaciones adicionales, cualquier segmento. Se trata del llamado "primer teorema de Haga". No nos ocupamos en lo sucesivo delas divisiones de ángulos. Nos despedimos de ese problema, que podría ser objeto de un futuro artículo, con una fuerte afirmación:

La trisección de un ángulo no es, en el caso general, un problema resoluble con regla y compás. Mediante plegados, puede trisecarse cualquier ángulo contenido en una hoja de papel.

El primer teorema de Haga puede enunciarse en los siguientes términos:

Sea un cuadrado de vértices A, B, C, D. Si se pliega el cuadrado sobre sí mismo llevando el vértice A al punto medio del lado BC , entonces el lado AD cortará al lado CD en un punto G tal que la distancia entre C y G es igual a las dos terceras partes del lado del cuadrado.

Este teorema fue originalmente enunciado por el Dr. Koji Fusimi (Mathematics Seminar, enero 1979) con el nombre de "Teorema de Haga". Más tarde el propio Kazuo Haga añadió el ordinal tras descubrir otras dos construcciones geométricas estrechamente relacionadas con la anterior, a las que llamó segundo y tercer teoremas, respectivamente, que llevan al mismo resultado y que se incluyen a modo de ilustración.

Demostremos el primer teorema.

Como paso previo, observemos que los triángulos BEA, CAG y DFG son semejantes.

En efecto, los tres son triángulos rectángulos en B, C y D respectivamente, por ser esos tres puntos vértices del cuadrado.CAG y DFG son semejantes por ser ambos rectángulos y tener el mismo ángulo en el vértice común G. BEA y CAG son semejantes por ser rectángulos y tener ángulos complementarios en el vértice común A.

Comprobemos que no sólo son semejantes sino, además, notables y entrañables. Se trata de triángulos rectángulos con lados de longitudes relativas 3, 4 y 5, que los egipcios usaban en la antigüedad para construir pirámides y los profesores de secundaria usan en la actualidad para construir problemas de gratificante solución.

En efecto,si hacemos unitario al lado para simplificar los cálculos sin perder generalidad, observamos que BA=1/2 (la mitad de un lado) y que BE+EA=1 (un lado). El teorema de Pitágoras nos permite calcular las longitudes de los tres lados del triángulo BEA: (BE)² + (1/2)² = (1 - BE)², de donde BE=3/8, BA=4/8 y EA=5/8.

Por tanto, los lados del triángulo BEA son proporcionales a 3, 4 y 5 respectivamente. Lo mismo puede afirmarse de CAG y DFG por su semejanza con BEA.

La demostración del primer teorema de Haga es ahora inmediata, si observamos la semejanza del triángulo BEA, las longitudes de cuyos lados acabamos de calcular, con el triángulo CAG: CG es a BA como AC es a EB. En otros términos, CG/(1/2) =(1/2)/(3/8), de donde CG = 2/3, como se quería demostrar.

En la próxima entrega, generalizaremos este método para dividir el lado de un cuadrado en un número arbitrario de partes iguales.

Bibliografía:

Kazuo Haga, “Fold paper and enjoy Math: Origamics”, en Origami 3: Third International Meeting of Orgami Science, Mathematics, and Education, Editado por Thomas Hull. Editorial A.K. Peters (2002), páginas 307-328