ESPACIO DE-MENTE (12)

¿IGUALES?

Dos hermanos heredan un terreno rectangular y quieren dividirlo en dos partes de la misma superficie. Un vecino propone como forma de hacerlo elegir un punto cualquiera del terreno y trazar los segmentos que unen ese punto con los cuatro vértices: así se obtienen cuatro triángulos. Basta con que cada uno de los hermanos elija los dos que están unidos por el vértice.

¿Realmente la superficie de los dos trozos es igual? En caso afirmativo haz los razonamientos necesarios que hagan ver claramente la razón.

                        b

Grandes o pequeños (solución)

El área (o superficie como quieras) que ocupa el círculo grande es el mismo que los que ocupan los cuatro pequeños, con lo cual, por muchas veces que repitas el proceso la suma de las áreas de todos los circulitos que obtengas será igual a la del círculo original. Para verlo puedes razonar utilizando la fórmula del área del círculo (π por el cuadrado del radio) y tener en cuenta que en cada etapa el radio se divide por dos, pero también puedes hacerlo usando semejanzas. Y ahora una generalización del problema. En vez de en el plano estamos en el espacio: un cubo con una esfera inscrita. Ese cubo lo dividimos en cubos de lado mitad. ¿Cuántos cubos obtenemos? Si en cada uno de estos cubos inscribimos una esfera, ¿cuál es la relación entre el volumen de la esfera grande y la suma de los volúmenes de todas esferas pequeñas?