4.3. Temperamentos cíclicos regulares

Los temperamentos cíclicos surgen en la práctica para evitar, entre otros, los problemas que acabamos de analizar. Lo que se hace es disminuir las quintas “templar” de manera que se repita la primera nota, pero claro está, de manera que el resultado sea aceptable.

A continuación analizaremos los dos temperamentos más utilizados en nuestros días: El temperamento igual de 12 notas, que es un temperamento regular e igual y el temperamento de Holder, que es un temperamento regular mesotónico.

Matemáticamente, la forma de obtener los temperementos cíclicos es muy sencilla. Si queremos obtener un temperamento cíclico de n notas dividimos el intervalo [1, 2] en n subintervalos iguales. Para obtener el extremo inferior del 2º subintervalo multiplicamos por x el extremo inferior del 1º, para obtener el del 3º multiplicamos el del 2º, es decir x² por el 1, y así sucesivamente hasta obtener el último que sería xⁿ por 1, etc.

Con este proceso lo que aseguramos es que si multiplicamos el 1 por x n veces debemos obtener el 2, es decir

xⁿ x 1 = 2 => x =

Por tanto, las notas afinadas en un temperamento cíclico de n notas serán:

Temperamento igual de 12 notas

Divide la octava en 12 semitonos iguales. Fue el español Bartolomé Ramos de Pareja (1440 - 1491) quien lo sistematizó en 1482, cuando ejercía como profesor de Música en la Universidad de Salamanca y en Bolonia. En su tratado Música Práctica (1482) se encuentran teorías renovadoras y maneras de calcular diferentes clases de intervalos. Este sistema, que tardó mucho tiempo en imponerse, lo consagró J. S. Bach (1685 - 1750) en su obra El Clave Bien Temperado donde realiza 48 Preludios y fugas (en dos libros) en todas las tonalidades.

A pesar de su pobreza, debida a que elimina algunas notas naturales que vienen dadas por la escala de armónicos, el temperamento igual de 12 notas es el sistema más empleado por sus ventajas teóricas y prácticas.

Por propia construcción, la distribución de semitonos en el sistema temperado de 12 notas resulta totalmente uniforme:

Temperamento de Holder

William Holder (1614-1697) utiliza un procedimiento mediante el cual divide la octava en 53 partes, notas o comas, de esta forma un tono contiene 9 comas, el semitono cromático 5 y el diatónico 4. El sistema utilizado por Holder no es más que una adaptación del sistema Pitagórico y, de hecho, cuando se compara ambos sistemas dan resultados prácticamente iguales.

En el temperamento de Holder, si nos quedamos con las notas más habituales, 7 notas naturales, 5 notas con sostenido y 5 notas con un bemol, la distribución que se obtiene es prácticamente la misma que en la afinación pitagórica:

Ventajas y desventajas de los temperamentos

El Temperamento de 12 notas

Ventajas
Como hemos señalado, en este temperamento cada una de las doce partes es un semitono temperado. Todos los semitonos son iguales, por tanto, las notas enarmónicas coinciden, así La#=Si^b, Mi#=Fa, etc. Obviamente, en este sistema sólo existe un tipo de tono y de quinta, lo que le proporciona grandes ventajas:
a) Puede modularse libremente a cualquier tonalidad sin que existan intervalos impracticables.
b) El número de notas resulta muy apropiado para la práctica musical.

Inconvenientes
a) No existen intervalos justos. Al obtener los intervalos mediante números irracionales, éstos no se corresponden exactamente con la serie armónica de ninguna nota.
b) Aunque las quintas son bastante buenas, las terceras mayores están muy desviadas.
Según J. J. Goldáraz (Goldáraz, 1992) la desafinación de las terceras, junto con la igualdad de los semitonos “que empobrecían la expresividad musical, fue lo que hizo que se retrasase su aplicación general al menos dos siglos a partir de las primeras formulaciones del siglo XVI”. Sin embargo, en la actualidad, estamos tan acostumbrados a este temperamento que el intervalo justo de tercera nos suele parecer excesivamente apagado.
En cualquier caso, surge un orden de prioridades a la hora de valorar las propiedades de los temperamentos. En términos generales, es perferible la perfección en las quintas que en las terceras (Lattard, 1988; Goldáraz, 1992).

El Temperamento de Holder

Desde el trabajo del profesor Robert Dussaut, Explicación de las comas en los distintos sistemas acústicos (Chailley, Challan, 1965), el sistema de Holder se ha considerado como un sistema de afinación idóneo para trabajar con la afinación pitagórica.

Ventajas
Las ventajas de este sistema de afinación aparecen en los estudios teóricos. Las diferencias con el sistema pitagórico son inapreciables, sin embargo el hecho de dividir la octava en 53 comas-holder iguales hace que sea mucho más fácil de manejar.

Inconvenientes
En cuanto a los inconvenientes, posee los de cualquier temperamento: los intervalos que aparecen no se corresponden exactamente con los sonidos de la serie armónica. Pero sin duda, el mayor inconveniente práctico de este sistema es que 53 notas por octava resulta un número excesivamente grande.

Como muestra de las diferencias entre los sistemas que hemos analizado, podemos observar las frecuencias de las notas más habituales en los cuatro sistemas de afinación:

NOTA: Para elaborar esta tabla se ha fijado el diapasón, La₄ , a 440 Hz.