Estrellas bidimensionales y tridimensionales (Conceptos intermedios)
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Conceptos de Matemáticas

Objetivo:
Los alumnos verán como el proceso llamado estrellamiento puede generar figuras de estrella en dos y tres dimensiones. Estudiarán también el concepto de progresión geométrica.

Requisitos previos
Conocimiento de la nomenclatura en geometría (“Poniendo nombre a las figuras bidimensionales y tridimensionales”). Saber identificar y construir el icosaedro y el dodecaedro (“Sólidos platónicos I”, “Sólidos platónicos II”).

Tiempo necesario
Dos clases de 45-60 minutos.

Materiales
Dos Kits Creador del Sistema Zome para 25-30 alumnos.

Procedimiento
figuraExplica a la clase que van a estudiar un proceso muy interesante para transformar figuras geométricas. Divide la clase en grupos de 3-4 alumnos. Su primera tarea es construir un pentágono equilátero y extender los lados del pentágono hasta que esos lados se crucen. ¿A qué se parece la figura resultante? ¿Cuántos brazos tiene la figura? ¿Es simétrica?
El proceso de extender los lados de un polígono o de un poliedro se llama estrellamiento. La figura resultante en este caso se llama pentágono estrellado o pentagrama. No se sabe quién descubrió esta figura, pero el matemático y filósofo griego Pitágoras la conocía. La escuela pitagórica la utilizaba como símbolo secreto, conocido sólo por los miembros. En realidad, ahogaron a un miembro por revelárselo a alguien que no era un miembro.
figura¿Qué figura formaríamos si conectamos los cinco puntos exteriores?
Da tiempo a los equipos para que completen la figura. ¿Qué color de varillas hay que utilizar? ¿De qué longitud? ¿Puede la figura volver a ser estrellada? ¿Qué forman los puntos exteriores? ¿Los pentágonos están aumentando la misma medida en cada paso? ¿Cuánto podemos alargar este proceso? Extender una figura de la misma forma de forma continua se llama progresión geométrica o progresión fractal.
figura¿Podemos también hacer una estrellación de esta forma en tres dimensiones?
Pide a los alumnos que construyan un icosaedro con las varillas azules cortas. Una vez que lo construyan, deben hacer una estrellación. Pasea entre los alumnos y ayúdales si es necesario para que encuentren la solución. ¿Qué lados deben extender? ¿Qué varillas van a necesitar? La estrellación producirá un poliedro estrellado. Basándose en cómo se ha puesto nombre a la figura bidimensional, ¿cuál es un buen nombre para la nueva figura tridimensional? (Icosaedro estrellado). ¿Qué tipo de figuras forman las puntas de la estrella? (Pirámides triangulares) ¿Cuántas pirámides de ese tipo contiene la figura? (Veinte) ¿Qué figura se define por los puntos exteriores? (Dodecaedro). ¿Puede hacerse una estrellación de esta figura a su vez? ¿Cuál es el nombre del poliedro estrellado? (Dodecaedro estrellado). ¿Qué figura forman los puntos? (Pirámides pentagonales) ¿Cuántas de estas pirámides tiene la figura? (Doce). ¿Qué figura definen ahora los puntos exteriores? (Icosaedro). ¿Resulta familiar? ¿Podemos continuar para hacerla más grande? ¿Y más pequeña? ¿Qué tipo de progresión?
Los alumnos deben terminar la lección escribiendo una definición de estrellamiento en sus cuadernos. También deben intentar de describir la dualidad del icosaedro y el dodecaedro.

Evaluación
Observa a los alumnos mientras construyen sus figuras y toma nota de las presentaciones. Revisa sus cuadernos. Para alcanzar los contenidos mínimos de la lección, los alumnos deben construir stellations bidimensionales y tridimensionales. Para superar ampliamente esos contenidos deben comentar la progresión geométrica de las estrellaciones.

Estándares del NCTM
Las matemáticas como medio de comunicación (Estándar NCTM 2).
El estudio de la geometría de dimensión 1, 2 y 3 en distintas situaciones (Estándar NCTM 12).

Posibilidades de ampliación
Otras transformaciones de figuras geométricas “Sólidos arquimedianos”). Estudio  del crecimiento geométrico en la naturaleza (“Simetría múltiple” y “Diviértete con Fibonacci”)

 
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