Teorema de Ptolomeo |
Si el cuadrilátero ABCD está inscrito en una circunferencia entonces la suma de los productos de lados opuestos es igual al producto de las diagonales: Existen multitud de demostraciones de este bello teorema. Aquí reproducimos la incluida en el libro Modern College Geometry, de David R. Davis, Addison-Wesley,1949. Para realizar la demostración, se recurre a un punto auxiliar que llamaremos E, y que tiene las siguientes propiedades: a)E pertenece al segmento BD b)El ángulo BAC es igual al ángulo DAE. De acuerdo a esta construcción, se verifica que los triángulos DAE y ABC son semejantes. De donde: Además por ser también semejantes los triángulos BAE y CDA,se verifica: De las dos igualdades, y del hecho que BE + ED = BD , obtenemos que : Que es lo queríamos demostrar. |