52. El TRIANGULO Y LOS CIRCULOS |
Demostrar que en todo triángulo rectángulo se cumple que la suma de los catetos es igual a la suma de los diámetros de los círculos inscrito y circunscrito. El triángulo rectángulo es PQR. La circunferencia inscrita está marcada en rojo, tiene como puntos de tangencia con el triángulo los puntos A, B y C. M es el punto medio del lado PR, y O es el centro de la circunferencia inscrita.. Si llamamos R y r a los radios de la circunferencia circunscrita e inscrita respectivamente. En estas condiciones es fácil demostrar que 2R = hipotenusa = PR, mientras que 2r = QC+QB( ya que OBQC es un cuadrado). Por tanto la suma de los dos catetos = QR+QP=(QC+CR)+(QB+BP)= =(QC+AR)+(QB+PA)= =(QC+QB)+(AR+PA)= 2r+2R |