92. EL PARALELOGRAMO
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Demostrar que que si se tienen 6 puntos en el plano de manera que 8 de las distancias entre ellos son iguales, entonces hay necesariamente 4 de estos puntos que forman un paralelogramo.

Si Suponemos que la distancia que se repite entre ocho de los pares de puntos es d. Para resolver el problema podemos pensar que los puntos son vértices de una gráfica que están unidos por una arista si la distancia que hay entre ellos es d. Sean V1, V2;....; V6 los vértices de la gráfica.

Si ai es la cantidad de aristas que tiene el vértice Vi, entonces tenemos que el número de aristas de la gráfica está dado por (a1+a2+...+a6)/2

Por tanto podemos concluir que debe de haber un vértice de donde salen al menos tres aristas (de lo contrario no podríamos tener más de seis aristas). Supongamos que este vértice es V1 y que está unido con los vértices V2, V3 y V4 por una arista cada uno. Si entre los vértices V2, V3, V4 hay dos aristas, entonces se forma un cuadrilátero con cuatro lados iguales, es decir un paralelogramo. Tenemos entonces dos casos:

(i) No hay aristas entre los vértices V2, V3, V4. En este caso tenemos que cada uno de los vértices V5 y V6 sólo puede estar unido con a lo más dos vértices del conjunto (V1; V2; V3; V4) sin que se forme un cuadrilátero con cuatro lados iguales. Como falta una arista, ésta tiene que ser la que une V5 con V6 y forzosamente se forma un paralelogramo con los vértices V1, V5, V6 y alguno de los restantes.

(ii) Hay una arista entre los vértices V2, V3, V4. Podemos suponer que esta arista es la que une V2 con V3. Si V5 _o V6 se unen con dos de los vértices del conjunto (V1; V2; V3; V4), entonces se forma un paralelogramo. Supongamos que se unen con a lo más un vértice de este conjunto. Como faltan al menos dos aristas, una de ellas tendrá que ser la que une V5 con V6, pero al poner la última arista forzosamente se forma un paralelogramo.



 
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