50. PROBLEMA COMBINATORIO DE L. EULER

Este es un problema muy conocido sobre la teoría combinatoria y la teoría de la probabilidad. Su autor fue el gran matemático L. Euler.

Tomamos n tarjetas numeradas correlativamente del 1 al n. Se toman tres tarjetas al azar.

A) Calcular la probabilidad de que resulten extraidas tres tarjetas consecutivas.

B) Calcular la probabilidad de que resulten extraidas dos tarjetas consecutivas, pero no tres.

C) Probabildad de no obtener dos tarjetas consecutivas

a) Si tomamos tres tarjetas cualesquiera, se pueden presentar de 6 maneras distintas( las permutaciones simples de los tres elementos en grupos de tres). Como para elegir tres tarjetas seguidas de entre n tarjetas existen únicamente n-2 formas. El número total de casos favorables es igual a (n-2).6. Como el número total de sucesos posibles son las variaciones sin repetición de las n tarjetas en grupos de tres. Tenemos que la probabilidad pedida es igual a :

b) Para analizar los sucesos favorables. Estudiamos algunos casos particulares y de allí sacaremos la fórmula general. Por ejemplo si tenemos las tarjetas numeradas con el 1y 2 otra tarjeta cualquiera que no sea el 3. El número de casos será:6.(n-3).

Si ahora suponemos que se obtiene el 2 y el 3 y otro número que no sea el 1 ó el 4. El número de casos que se obtiene es : 6. (n-4)

Si suponemos que se obtienen el 3 y el 4 y otro número que no sea el 2 ó el 5. El número de casos que se obtiene es : 6.(n-4)

Ahora suponemos que se obtienen el n , el n-1 y otro número que no sea el n-2 El número de casos que se obtiene es : 6.(n-3)

De aquí deducimos que el número de sucesos favorables son : 2.6.(n-3)+(n-3).6.(n-4) Y por tanto la probabilidad es igual a :

c) Es un problema que requiere una cierta paciencia a la hora de contar todas las posibilidades. El resultado final es igual a

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