65. LAS RAICES DEL POLINOMIO
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Pruebe que el polinomio:



no puede tener todas sus raíces reales y positivas, cualquiera sea el número real a.

Si suponemos que el polinomio dado admite tres raíces reales y positivas r, s y t.

A partir de las relaciones entre las raíces y los coeficientes de un polinomio, resulta que la suma de las mismas es 2 y su producto es 1/3. Ahora bien, sabemos que la media geométrica de tres números positivos no supera a su media aritmética, por lo tanto obtenemos.



Por lo tanto tenemos que



Si elevamos al cubo esta desigualdad resulta que 3 es mayor o igual que 27/8, lo que claramente es una contradicción. Esta contradicción viene impuesta por haber supuesto que existen tres raices reales positivas distintas.

 
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