117. LOS NÚMEROS NATURALES
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Hallar tres números naturales en progresón aritmética de diferencia( o razón) 2,
tales que la suma de sus cuadrados sea un número de 4 cifras iguales.


 

Si bien este problema es relativo a las progresiones aritméticas  no es necesario conocer muchos conocimientos relativos a ese campo.  De acuerdo al concepto de progresión aritmética de razón 2 , los números buscados son :

                                        n - 2, n y n + 2.

 Una vez planteado este supuesto, el resto del problema se resuelve usando conceptos de divisibilidad.

 La suma de los cuadrados de los tres números es:

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que, necesariamente, de acuerdo al enunciado del problemas,  será de la forma:  M (1.111) para alguna cifra  M del 1 al 9.

Ahora bien el número M (1.111) - 8 y también el número 4M – 8 son divisibles por 3 (comprobar este último resultado). Si recordamos las ecuaciones diofánticas podemos poner :

4M - 8 = 3A, o de manera equivalente que : 4M – 3A = 8 , en la que rápidamente observamos que   M = 2; A = 0 es una solución.

Otras posibilidades son M = 5; A = 4 y M = 8; A = 8.  

Ahora bien teniendo en cuenta :

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  Se ha de verificar que: 

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   Este último valor además de ser entero, debe ser un cuadrado.

 Pero esto solo ocurre para M = 5 en el que obtenemos n = 43, por tanto los números buscados son: 41, 43 y 45.

 

 

 

 
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