Fermat (La tangente a la Parábola en el Methodus de Fermat)
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Fermat (La tangente a la Parábola en el Methodus de Fermat) |
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| Escrito por Pedro Miguel González Urbaneja | ||
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La tangente a la Parábola en el Methodus de Fermat Os considero como el más grande geómetra de toda Europa. «Lagrange y Laplace hacen remontar el origen del Cálculo Diferencial a los métodos de Fermat sobre máximos y mínimos y tangentes».
Fermat es uno de los matemáticos más extraordinarios de todos los tiempos. Fruto de un meticuloso estudio de las obras de Euclides, Arquímedes, Apolonio, Diofanto y Pappus, Fermat poseía una prodigiosa erudición matemática, que propició su apasionada afición a la Matemática y su encomiable labor de comentador y exegeta de los más eximios matemáticos griegos. De Diofanto nace su ingente contribución al nacimiento y desarrollo de la Teoría de Números; de Apolonio y Pappus –junto con Vieta– su creación de una Geometría Analítica y de ambas, al conectar con los trabajos de Arquímedes, resultarían los numerosos métodos y artificios de Cálculo Infinitesimal (Diferencial e Integral) que hacen de Fermat el ascendiente directo de casi todas las disciplinas matemáticas que aparecen en el siglo XVII, a lo largo del cual se desarrolla toda su actividad científica. En los originales y prácticos métodos de extremos y tangentes de Fermat brota por primera vez el «cociente incremental» que define la derivada. Aunque los extremos y su primera aplicación a las tangentes se mantienen en un ámbito algebraico sin cruzar la frontera entre lo finito y lo infinitesimal, desde el punto de vista formal Fermat da un paso trascendental hacia la algoritmización de la diferenciación de Newton y Leibniz. Fermat sólo escribió una parte de sus investigaciones y rehusó su publicación; lo esencial de su obra está en su asidua correspondencia con los científicos contemporáneos –donde muestra una sagaz inteligencia que inventa, explica, demuestra y debate con vehemente pasión– y en los márgenes de sus libros. Esto hace de Fermat una de las figuras más atractivas de la Historia de la Matemática, pero también ha contribuido a las lamentables vicisitudes históricas de la publicación de sus trascendentales descubrimientos matemáticos. Fermat deriva un procedimiento para construir las tangentes a las curvas algebraicas de sus métodos de máximos y mínimos. Describiremos brevemente su primer método de extremos y veremos cómo Fermat lo aplica al trazado de tangentes1. Fermat compone hacia 1629 la memoria “Método para la investigación de máximos y mínimos” (Methodus ad disquirendam maximan et miniman et de tangentibus linearum curvarum). Es un procedimiento puramente algorítmico desprovisto de todo fundamento demostrativo, donde introduce la técnica de la «adigualdad». Como segunda parte de este tratado, Fermat describe el primer ejemplo de aplicación del método de máximos y mínimos al trazado de las tangentes a las líneas curvas, la tangente a la parábola. Denominaremos a esta memoria el Methodus. En ella aparece como primicia histórica lo que se convertirá después en el algoritmo para obtener la primera derivada de una función algebraica; se trata de la fructífera idea de incrementar una magnitud asimilable a nuestra variable independiente, que desde entonces se ha convertido en la esencia del Cálculo Diferencial. Fermat se expresa con estas palabras: Método para la investigación de máximos y mínimos (Methodus, TH.OF.III.121–122) Toda la teoría de la Investigación de máximos y mínimos supone la consideración de dos incógnitas y la única regla siguiente:
He aquí un ejemplo: "Sea dividir una recta AC en E, de manera que AE x EC sea máximo".
Pongamos AC=b.
Es imposible dar un método más general. Nota:
La tangente a la Parábola (TH.OF.III.122–123) Fermat utiliza, en la segunda parte del Methodus, el método de «adigualdad» para trazar la tangente a una parábola en un punto. Es la primera descripción que hace Fermat de su método de tangentes y manifiesta que el procedimiento es una aplicación de su método para los máximos y mínimos, con estas palabras (TH.OF.III.122): «Nosotros reconducimos al método precedente la invención de las tangentes en puntos dados de curvas cualesquiera. [...]». Fermat continúa: Hay en este párrafo dos elementos significativos. En primer lugar señalar que el punto O que Fermat toma sobre la tangente, puede ser cualquiera. Esta observación contradice las anacrónicas interpretaciones de las construcciones de Fermat en términos de límites. Por otra parte, Fermat aplica implícitamente, en este párrafo, la propiedad de generación de las cónicas de Apolonio, en forma de proporción. Siguiendo a Fermat, escojamos en el segmento de tangente BE un punto O cualquiera y tracemos la ordenada OI, así como la BC. De la propiedad de la parábola tendremos, según Apolonio (Las Cónicas, I.11): Además, OI>PI, por tanto se verifica: Ahora, de la semejanza de los triángulos rectángulos BCE, OIE (Euclides, VI.4), se tiene: De las dos últimas relaciones deducimos finalmente: Pongamos CD=d, CI=e. Hemos de determinar el segmento subtangente, CE=a. A partir de la última desigualdad, se tiene: de donde resulta: y de aquí: Ahora Fermat sustituye esta desigualdad por la«adigualdad»: y manifesta: Fermat continúa trasponiendo términos y dividiendo por e: ignora el término que todavía contiene la e, y obtiene: de donde resulta finalmente: Fermat comenta el resultado: Y termina diciendo (TH.OF.III.123): y–y0 = y0(x–x0) / 2x0 . Al hacer operaciones resulta: yy0 = p(x+x0), ecuación habitual de la tangente a la parábola. Observemos, no obstante, que en el cálculo de la tangente, Fermat busca y encuentra simplemente la longitud de la subtangente, pero todavía no llama especialmente la atención sobre el ángulo determinado por el eje y la tangente –lo que para nosotros es la pendiente de la recta tangente–. Fermat ni siquiera considera la tangente como límite geométrico de las secantes determinadas por el punto de tangencia y los puntos de la curva “próximos” a él. De modo que debemos prevenirnos de las anacrónicas interpretaciones del método de tangentes de Fermat en términos de límites y derivadas. Las primeras memorias de Fermat sobre la construcción de las tangentes eluden el origen y los fundamentos de su ocurrente aplicación del método de extremos al trazado de estas líneas, y desde luego no queda nada claro ni su valor demostrativo, ni siquiera qué cantidad extrema se somete al método de máximos y mínimos en el trazado de una tangente. Y ello por mucho que Fermat escriba al principio de su aplicación del método a la obtención de la tangente a la parábola (TH.OF.III.122): «Nosotros reconducimos al método precedente la invención de las tangentes en puntos dados de curvas cualesquiera. [...]»; y también, al final (TH.OF.III.123): «Este método nunca falla, y puede ser aplicado aun gran número de cuestiones muy hermosas; [...]». Y es muy cierto que la aplicación del método funciona a la perfección para las curvas algebraicas, de ahí la confianza ilimitada de Fermat en su método. Pero la amplia y enérgica controversia pública que suscitó en el ámbito científico del Padre Mersenne, en especial con Descartes, va a obligar a Fermat, cada vez con más intensidad, a que explique los fundamentos y en particular a que dilucide en qué forma concreta el método de tangentes deriva del método de máximos y mínimos, es decir, qué valor extremo puede encontrarse relacionado con el trazado de una tangente. Así lo hará Fermat en sucesivas memorias en las que con la intervención de la nueva metodología de La Geometría de Descartes y su propia Geometría Analítica de La Introducción a los Lugares Planos y Sólidos, Fermat resolverá de forma eminente las dificultades e inicia en su pensamiento matemático la transición hacia "lo aproximadamente igual", en el camino hacia lo infinitesimal.
Bibliografía
Obras originales de Fermat. |
ba – a2.
Fermat considera la parábola BDN con vértice D y diámetro DC, y se plantea trazar la tangente en un punto B de la misma. Sea ésta BE, que interseca al eje en el punto E.