193. (Mayo 2021) Combinatoria con cartas
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Escrito por Pedro Alegría (Universidad del País Vasco)   
Martes 04 de Mayo de 2021

La especialidad matemática llamada Combinatoria (que ya se ha asomado a este rincón en el número 159 de abril de 2018) tiene como punto de partida el desarrollo de técnicas eficientes para contar el número de elementos de un conjunto. Esto es fácil de hacer con los dedos si los conjuntos son pequeños pero muchos problemas interesantes, tanto de matemática "recreativa" como de matemática "seria", tratan con conjuntos muy grandes y no tan fáciles de identificar. Un par de ejemplos, uno fácil y uno difícil: ¿cuántos números menores de un millón son capicúas?; ¿cúantos números menores de un millón se pueden descomponer como suma de números consecutivos?

Si eres asiduo a este rincón, ya sabrás que se pueden plantear muchos problemas de Combinatoria con una simple baraja de cartas, desde los clásicos ¿cuántas posibles ordenaciones pueden presentarse en una baraja? o ¿cuántas ordenaciones de una baraja hacen que los colores de las cartas estén alternados?, hasta los más elaborados, algunos de los cuales veremos a continuación.

Por cierto, la imagen que encabeza el artículo corresponde a una solución de otro problema clásico ya que muestra una posible disposición de las 16 figuras de una baraja (incluyendo los ases) en forma de cuadrado greco-latino: no hay dos cartas del mismo palo ni del mismo valor en ninguna fila, ninguna columna y ninguna diagonal. ¿Cuántas posibles soluciones tiene este problema?

En el artículo titulado "Impressions of Conway" (publicado en la revista The Sciences en 1994), el matemático y periodista científico Charles Seife observa que el famoso matemático (fallecido en 2020) John Horton Conway disfrutaba realizando ante sus allegados el siguiente juego (en cuya traducción he tenido que introducir algunas modificaciones obvias):

John saca una baraja de su estuche y va pasando cartas de arriba abajo, una a una, mientras deletrea la palabra A-S (una carta por cada letra). Gira la siguiente carta y resulta que es un as. Deletrea a continuación la palabra D-O-S pasando nuevamente una carta de arriba abajo por cada letra. Al girar la siguiente carta, se trata de un dos. Entrega la baraja a su colega y le pregunta: ¿quieres probar? El colega deletrea la palabra T-R-E-S pero, al girar la siguiente carta, es un comodín. ¡No!, exclama John. Le arrebata la baraja y deletrea T-R-E-S y gira la siguiente carta: es un tres. Vuelve a pasar la baraja a su interlocutor y este deletrea la palabra C-U-A-T-R-O. De nuevo, la siguiente carta es un comodín. El juego continúa de la misma forma, la víctima siempre vuelve un comodín y John siempre vuelve la carta correcta. Por último, John recoge todas las cartas, las ordena adecuadamente y las guarda en el estuche, preparadas para el siguiente voluntario inocente.

Seguro que no necesitas mi ayuda para descubrir el orden inicial de las cartas con las que conseguir este efecto. Por si acaso, te doy aquí una posible solución y algunas variantes.

Parece que Alexander Kraus es el autor de este otro deletreo numérico, bastante impactante si se realiza con suficiente destreza:

Busca una baraja y ordena todas las cartas como se indica en las figuras:

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  1. Gira la primera carta y déjala sobre la mesa: As de Picas.

  2. Gira la siguiente y déjala sobre la mesa: Dos de Picas.

  3. Como es un dos, pasa una carta de arriba abajo y gira la siguiente, dejándola sobre la mesa: Tres de Picas.

  4. Como es un 3, pasa dos cartas de arriba abajo y gira la siguiente, dejándola sobre la mesa: Cuatro de Picas.

  5. Como es un 4, pasa tres cartas de arriba abajo y gira la siguiente, dejándola sobre la mesa: Cinco de Picas.

  6. Repite la misma operación, pasando tantas cartas de arriba abajo como el valor de la última carta girada, excepto la última, que se gira y se deja sobre la mesa. Así irán apareciendo todas las cartas, en orden, de los palos de picas, corazones y rombos.

  7. Por último, gira todas las cartas de la mano y aparecen en orden todas las cartas del palo de tréboles.

Ya que citamos a Alexander Kraus, comentaremos el juego titulado «Sum total» que publicó como problema en el número 12 de la revista de magia Ibidem, en diciembre de 1957 (excelente añada), y cuya solución publicó en el número 13 de la misma revista, en marzo de 1958. El juego está basado en un principio matemático, conocido posteriormente con el nombre —cómo no— de principio de Kraus.

  1. Ordena la baraja como en el juego anterior.

  2. Ahora realiza la siguiente secuencia de movimientos:

    • Corta para dejar el 3P como carta superior.

    • Deja sobre la mesa, cara arriba, la primera carta.

    • Deja en un segundo montón, contando cara abajo y una por una, tantas cartas como el valor de la última carta cara arriba (el as vale 1, la J vale 11, la Q vale 12 y la K vale 13). Como se trataba de un tres, reparte tres cartas en un montón. Gira cara arriba la carta superior de dicho montón.

    • Repite la operación formando un tercer montón que tiene tantas cartas como el valor de la última carta cara arriba y gira la última carta de ese montón.

    • Al terminar de repartir todas las cartas, suma los valores de las cartas que están cara arriba. El resultado es 52, igual al número de cartas de la baraja.

El mismo resultado se obtiene si se empieza colocando como carta superior el 4P, 5P, …, 10P. La razón es que dichas cartas forman un ciclo al ser las únicas que se giran cara arriba durante el proceso descrito.

En su artículo, Alexander Kraus demuestra que la ordenación propuesta tiene la propiedad de que, si se empieza el proceso con cualquier otra carta, en algún momento se alcanza una de las cartas del ciclo, de modo que, a partir de entonces, ya no se sale del ciclo.

Comentarios finales

  • Se puede probar que cualquier permutación de las 52 cartas debe contener algún ciclo: al empezar por cualquier carta y recorrer toda la baraja, si se termina en la primera carta, esta ya forma un ciclo; si no, esta carta no pertenece al ciclo. Al seguir la cuenta, se llegará a una carta por segunda vez. Esta ya pertenece al ciclo y, a partir de ella, ya no se sale del mismo. El ciclo más pequeño es el formado por los cuatro reyes, espaciados cada trece cartas, cuya suma es, evidentemente, igual a 52.

  • Un método sencillo de conseguir un ciclo —como observó Tom Ransom en el mismo número 13 de «Ibidem»— es tener ordenadas en la parte inferior de la baraja trece cartas con valores ordenados del as al rey, siendo el as la carta inferior. Así cualquier recorrido llegará a una de estas cartas con la que se termina el ciclo. De hecho, con esta preparación, no importa el número de cartas que tiene el paquete pues la suma de los valores de las cartas giradas será igual al número de cartas de dicho paquete.

  • Es posible que un ciclo tenga que recorrer la baraja más de una vez; en este caso, la suma de sus valores es igual a 52 multiplicado por el número de veces que se recorra la baraja. Es fácil destruir este ciclo eliminando una de sus cartas. En este caso, la suma final será 51.

  • Una cuestión no resuelta es: ¿existe algún ciclo con el que se utilizan todas las cartas? Si fuera así, debe recorrer la baraja siete veces debido a que 7 x 52 = 364, que es la suma de todas las cartas.

  • Un par de efectos que utilizan el principio de Kraus están ideados por el mago e informático Alex Elmsley (publicado en el segundo volumen de «The Collected Works of Alex Elmsley» de Stephen Minch en 1994) y por el banquero Arthur McTier (descrito en el libro «Card Concepts», publicado en 2000).

  • En los años 70, el principio de Kraus se convirtió en el principio de Kruskal cuando el físico Martin Kruskal lo modificó ligeramente para convertirlo en un método de adivinación de una carta después de un proceso sugerido por la idea de Kraus, un camino pseudoaleatorio que converge a un lugar concreto de la baraja. De este modo, un tema de Combinatoria se convirtió en una cuestión relacionada con la Teoría de Probabilidades. El capítulo 12 del libro «Impossible?» de Julian Havil desarrolla la teoría de probabilidades necesaria para analizar el principio de Kruskal. En este rincón también rendimos cuentas a este principio, en el número 46, allá por enero de 2008.

  • El Dr. Maths, seudónimo de Steve Humble (inventor del juego «Triangle Mysteries» que describimos en el número 185 de septiembre de 2020), realizó una actuación en Alchemist Cafe de Dublin (2010), donde presentó un juego basado en el principio de Kruskal, involucrando a varios espectadores. El video con esta entretenida presentación puede verse en YouTube.

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(Universidad del País Vasco - Euskal Herriko Unibertsitatea)

 
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