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Hace un tiempo, nada menos que en la duodécima entrada de este rincón (diciembre de 2004), propusimos el siguiente problema:
Estando el mago a una distancia considerable, su asistente, quien ejercerá de médium, deja la baraja a un espectador, el cual elige cinco cartas cualesquiera y las entrega al asistente. El asistente devuelve una de las cartas al espectador para que la oculte y muestra las otras cuatro al mago. Entonces, sólo viendo estas cuatro cartas, el mago adivina la carta que oculta el espectador.
El problema, que abandonamos a su suerte en aquella ocasión (aunque ya considerado en el artículo "Códigos secretos y teoría de la información en la magia", publicado en la revista Sigma el año 2005), tiene una larga historia, una hermosa solución, pero también unas implicaciones muy profundas. Con el fin de corregir aquel descuido, describiremos algunos de estos aspectos del juego, que Michael Kleber bautiza como “The best card trick” en la revista Mathematical Intelligencer, vol. 24 (2002).
Larga historia
Vayamos con la historia, como la cuentan Gérard Michon en el portal Numericana y el propio Michael Kleber en el artículo citado.
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En 1950, Wallace Lee publica el libro Math Miracles dedicado, ¡sí, has acertado!, a la magia matemática. En el capítulo XV presenta el juego “Telephone Stud”, del cual afirma que puede realizarse por teléfono. Atribuye la invención del juego al mago y matemático William Fitch Cheney Jr. (1894-1974), profesor de la Universidad de Connecticut, pero mejor conocido por haber sido el primer matemático en conseguir el doctorado (PhD) en el Massachusetts Institute of Mathematics el año 1927.
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En 1957, Russell Duck publica en su revista de magia The Cardiste una solución -imperfecta- al problema de determinar la quinta carta en el caso de que el propio espectador selecciona qué carta quiere ocultar entre las cinco elegidas.
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En el libro “El ahorcamiento inesperado y otras diversiones matemáticas” de 1969, Martin Gardner menciona el problema y propone una ingeniosa solución al problema planteado por Russell Duck. En base a esta idea, Juan Carlos Ruiz de Arcaute realiza un programa para hacer el juego donde el ordenador adivina la carta que el propio espectador ha seleccionado entre las cinco elegidas.
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En 1986, el matemático y calculista Arthur Benjamin populariza el juego al proponerlo como problema en un programa para estudiantes destacados de matemáticas en la educación secundaria.
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En 1994 es propuesto como problema en el antiguo grupo de noticias rec.puzzles y una primera solución es ofrecida por Bob Vesterman.
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Robert Orenstein ofrece la primera versión interactiva del juego (página abandonada durante mucho tiempo y recuperada recientemente por Thomas Ace), sin indicar la solución. Esa fue la primera noticia que tuve del juego, resolvimos el problema entre Juan Carlos Ruiz de Arcaute y yo y el propio Juan Carlos elaboró un programa en Visual Basic con ese juego y algunas otras variantes, como se explican en el artículo citado Códigos secretos y teoría de la información en la magia. Este y otros juegos son la base de algunos espectáculos y charlas de magia matemática que hemos compartido durante mucho tiempo.
Además de las ya citadas, podemos encontrar otras versiones interactivas del juego:
Existen multitud de referencias a este juego y sus posibilidades didácticas. Dos de las más significativas, aparte de la ya mencionada de Michael Kleber, son:
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Artículo titulado “All you need is cards”, de Colm Mulcahy (bajo el pseudónimo de Brain Epstein, jugando con el título “All you need is love”, de Los Beatles, y su famoso mánager Brian Epstein), publicado en la recopilación “Puzzlers’ tribute: a feast for the mind” (AK Peters, 2002).
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Artículo titulado “Using a card trick to teach Discrete Mathematics”, de Shai Simonson y Tara Holm, publicado en PRIMUS, vol. 13 (2003).
Hermosa solución
Hay cuatro componentes matemáticas, muy sencillas pero combinadas de manera ingeniosa, que permiten desarrollar una estrategia de comunicación entre el asistente y el mago.
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Gracias al principio del palomar, es seguro que dos de las cartas elegidas por el espectador son del mismo palo. Estas dos cartas son las que detecta rápidamente el asistente.
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Gracias al orden lexicográfico, todas las cartas de la baraja están ordenadas: dadas dos cartas, será menor la de menor valor; en caso de que las cartas sean del mismo valor, será menor la del menor palo. ¿Y cómo están ordenados los palos? Como hayan acordado el mago y su asistente. Nosotros adoptamos el sistema que los programas informáticos tienen por defecto, el orden alfabético en inglés: tréboles < rombos < corazones < picas.
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Por culpa de la aritmética modular, si colocamos todas las cartas de un mismo palo en un círculo, dadas dos cartas, siempre se puede llegar de una a la otra en un máximo de seis pasos.
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Una propiedad básica de combinatoria establece que existen seis diferentes permutaciones con tres elementos. Si dichos elementos son P (pequeña), M (mediana) y G (grande), las seis permutaciones son 1=PMG, 2=PGM, 3=MPG, 4=MGP, 5=GPM, 6=GMP.
Con estas cuatro ideas, será fácil construir una estrategia óptima. Además del artículo citado al principio, puedes encontrar explicaciones más detalladas en los blogs Grey Matters y Random Thoughts. Busca alguien que se la aprenda contigo y practica el juego ante cualquier público. Entonces disfrutarás de la verdadera magia de las matemáticas. ¿No es mágico que la baraja tenga cuatro palos y, al elegir cinco cartas, seguro que hay dos del mismo palo? Así que una de ellas permite transmitir el palo de la oculta. ¿Y no es mágico que la distancia máxima entre esas dos cartas del mismo palo sea precisamente seis? Esto permite ocultar la carta a la que se puede llegar sumando al valor de la otra un número menor o igual a seis. ¿Y no es mágico que seis es exactamente el número de permutaciones que se pueden obtener con las tres cartas restantes? Ordenando estas tres cartas de manera apropiada, el mago sabrá qué número sumar al valor de la carta que comparte el mismo palo que la oculta.
Si da la impresión que el método es óptimo, la magia no ha hecho más que empezar: existen soluciones mejores, hasta el punto que el espectador puede elegir qué carta ocultar entre las cinco. A pesar de que el principio del palomar ya no es aplicable (el espectador puede ocultar una carta cuyo palo no coincida con ninguna de las otras cuatro), hay alguna estrategia para poder codificar el valor de la carta oculta. Sigue leyendo.
Profundas implicaciones
El juego se ha estudiado con profundidad y se han propuesto diversas variantes y modificaciones. Dos de las direcciones en las que se han propuesto mejoras son:
(1) El juego de las seis cartas
Una mezcla de estas dos variantes es la nueva versión propuesta por Hang Chen y Curtis Cooper, de la Universidad de Missouri Central, en el artículo “n-card tricks”, publicado en College Mathematics Journal, 40 (2009), págs. 196-201. Así como las soluciones que existían en el caso de que el espectador eligiera cinco cartas y él mismo ocultara una de ellas tenían una componente mágica, el método de Chen y Cooper proporciona una solución perfecta -y exclusivamente matemática- del juego.
Esta es la versión que proponen:
Un espectador elige seis cartas a la vista del médium y oculta una de ellas. El médium recoge las otras cinco, las ordena de forma apropiada y las muestra al mago. Sólo observando la posición de estas cartas, el mago es capaz de adivinar la carta oculta por el espectador.
La solución es la siguiente:
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En primer lugar, consideramos ordenados los palos bajo algún convenio, digamos
tréboles < rombos < corazones < picas,
y las cartas ordenadas por su valor, es decir,
As < 2 < 3 < ... < J < Q < K.
Así, dadas dos cartas, será menor la de menor valor y, si ambas son del mismo valor, será menor la del menor palo. El orden completo sería
AT < AR < AC < AP < 2T < 2R < 2C < 2P < … < KT < KR < KC < KP.
[Este es el orden lexicográfico que hemos utilizado en el juego original.]
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El médium coloca como primera carta vista aquella cuya posición en el conjunto de cinco cartas, según su ordenación de menor a mayor, corresponda al palo de la carta oculta, la primera indica tréboles, la segunda rombos, la tercera corazones y la cuarta picas. Es decir, si la carta oculta es de tréboles, busca la menor de las cinco; si es de rombos, la segunda más pequeña; si es de corazones, la tercera más pequeña y si es de picas, la cuarta más pequeña.
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La segunda carta que coloca el médium será aquella cuya posición en el conjunto de las cuatro cartas restantes, siempre de menor a mayor, indique si la carta oculta es menor o mayor que la primera carta vista, utilizando el orden circular. Para ello se utiliza la menor si la oculta es menor que la primera, o la mayor si la oculta es mayor que la primera.
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Las otras tres cartas se colocarán según una de las seis permutaciones posibles: 1=PMG; 2=PGM; 3=MPG; 4=MGP; 5=GPM; 6=GMP (donde P indica pequeña, M indica mediana y G indica grande) para formar un número comprendido entre 1 y 6. Dicho número se suma o resta al valor de la primera carta, según que la segunda sea la mayor o la menor, para obtener el valor de la carta oculta. En el caso de que la carta oculta tenga el mismo valor que la primera carta, basta colocar como segunda carta cualquiera de las dos intermedias entre las cuatro restantes. Esto indica que la carta oculta no es mayor ni menor que la primera carta, de modo que pueden colocarse las otras tres cartas de cualquier manera.
Ejemplos
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La primera carta, 7P, es la tercera de las cinco, ordenadas de menor a mayor: la carta oculta es de corazones.
La segunda carta, AP, es la menor entre las cuatro restantes: la carta oculta es menor que 7, a distancia comprendida entre uno y seis.
Las tres cartas restantes, ordenadas mayor-intermedia-menor, indican que la oculta está a distancia seis de la primera. La carta oculta es el AC.
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La primera carta, AT, es la primera en la ordenación de menor a mayor: la carta oculta es de tréboles.
La segunda carta, JT, es la mayor entre las cuatro restantes: la carta oculta es mayor que 1, estará comprendida entre 2 y 7.
Las tres cartas restantes están ordenadas mayor-menor-intermedia: se suma cinco, lo que indica que la carta oculta es el 6T.
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La primera carta, 6T, es la segunda más pequeña en la ordenación: la carta oculta es de rombos.
La segunda carta, 9P, es la mayor entre las cuatro restantes: la carta oculta es mayor que 6, a distancia comprendida entre uno y seis.
Las tres cartas restantes, ordenadas mayor-menor-intermedia, indican que la oculta está a distancia cinco de la primera: la carta oculta es la JR.
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La primera carta, 2P, es la primera en la ordenación: la carta oculta es de tréboles.
La segunda carta, 5T, es la menor entre las cuatro restantes: la carta oculta es menor que 2, a distancia comprendida entre uno y seis.
Las tres cartas restantes, ordenadas menor-mayor-intermedia, indican que la oculta está a distancia dos de la primera: la carta oculta es la KT.
(2) El juego de las cinco cartas
El juego inicial de las cinco cartas, cuya solución nos pareció durante mucho tiempo inmejorable, también ha sido mejorado por Cooper y Chen, bajo la condición de que el propio espectador oculta una de las cinco cartas, en el artículo citado. Es cierto que cuatro cartas permiten sólo 24 permutaciones, justo la mitad del número de cartas que quedan en la baraja. Hace falta mucho ingenio para solventar esta dificultad.
Esta es su solución:
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En primer lugar, consideramos ordenadas las cuatro cartas de menor a mayor, que denotaremos como 1-2-3-4, según el orden lexicográfico ya citado. La primera carta que muestra el asistente indicará el palo de la oculta: si es la carta 1, la oculta es de tréboles; si es la 2, será de rombos; si es la 3, de corazones; si es la 4, de picas.
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Quedan tres cartas que, ordenadas de menor a mayor, llamamos ahora 1-2-3. La segunda carta que muestra el asistente indica si el valor de la carta oculta es mayor o menor que la primera: si es la 1, la carta oculta es menor que la primera, a distancia menor o igual que seis; si es la 2, la carta oculta es del mismo valor que la primera; si es la 3, la carta oculta es mayor que la primera, a distancia menor o igual que seis.
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¿Quedan dos cartas? No, dos cartas cara arriba (P=pequeña, G=grande) y una oculta (X). Las tres cartas pueden colocarse de seis maneras, indicando cada una de ellas un número entre uno y seis, valor que se sumará o restará al de la primera carta para conocer el valor de la oculta: 1 = PGX, 2 = PXG, 3 = GPX, 4 = GXP, 5 = XPG, 6 = XGP.
Con un poco de práctica podrás realizar también esta versión del juego, indicando previamente la imposibilidad matemática de conseguirlo. Sólo debes justificar de alguna forma el uso de la carta oculta entre las otras cuatro.
(3) El juego de las cuatro cartas
Colm Mulcahy y nosotros hemos obtenido dos soluciones diferentes al siguiente juego:
Un espectador selecciona cuatro cartas de una baraja y se las entrega al asistente del mago. El asistente devuelve una de las cartas al espectador para que la guarde y deja sobre la mesa las otras tres, no necesariamente caras arriba. El mago mira las cartas de la mesa y adivina la carta que oculta el espectador.
Ambos métodos están explicados en los trabajos citados: Math Horizons / Revista SIGMA. Pero también Cooper y Chen proponen en su artículo una tercera solución, un poco menos elegante.
Puedes practicar una versión interactiva del juego, realizada por Michael Trick, de la cual desconozco su método.
(4) El póquer del diablo
Esta variante se realiza con las trece cartas de un mismo palo. El juego consiste en lo siguiente:
El espectador elige cinco cartas y entrega las ocho restantes al asistente del mago. Este elige otras cinco cartas y deja a la vista las otras tres, ordenadas de cierta manera. El mago, viendo solamente estas tres cartas, adivina las cinco cartas que tiene el espectador (y, por supuesto, las cinco del ayudante).
¿Te atreves a encontrar una estrategia que permita al asistente seleccionar y ordenar adecuadamente las tres cartas para que el mago averigüe las cartas del espectador? Todas las respuestas serán bienvenidas (puede servir de ayuda la información contenida en esta página).
Referencias adicionales
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102. (Febrero 2013) El truco de las N cartas (N=4,...,6)