Como anunciábamos en la entrega anterior, vamos a continuar la historia del truco de las 21 cartas aportando algunos aspectos matemáticos del juego. Tenemos varias preguntas pendientes de contestar y las respuestas nos sugerirán nuevas cuestiones pero también darán lugar a interesantes variantes del juego original.

La primera pregunta que planteábamos era: ¿por qué la carta elegida pasa a ocupar la posición central del paquete?

Para averiguar la respuesta, vamos a examinar un ejemplo que nos permitirá deducir la situación general. Apreciaremos de forma más visual todo el proceso eligiendo adecuadamente las cartas a utilizar. Así pues, buscamos las siete primeras cartas de picas, de tréboles y de corazones y las repartimos en tres montones sobre la mesa, donde el montón superior contiene las cartas de tréboles, el central las cartas de corazones y el inferior las cartas de picas. Ilustramos esta situación en la figura siguiente:

Primer reparto

Supongamos que el espectador nos dice que ha pensado una carta que está en el montón central. Recogemos el montón superior, giramos las cartas y las colocamos en la mano; recogemos a continuación el montón central, lo giramos también y lo colocamos en la mano sobre las cartas que ya tenemos; recogemos por último el montón inferior y repetimos las acciones anteriores. Realizamos ahora el segundo reparto: tomamos la primera carta, la giramos y la dejamos sobre la mesa formando el montón superior, tomamos la segunda, la giramos y la dejamos bajo la anterior formando el montón central, tomamos la tercera, la giramos y la dejamos bajo las anteriores formando el montón inferior. Seguimos repartiendo de este modo el resto de las cartas, colocándolas sucesivamente en el montón superior, central e inferior, hasta terminar las 21 cartas. La figura siguiente muestra el resultado.

Segundo reparto

Lo primero que se observa es que las cartas rojas están en el centro de los montones: al menos hay dos cartas negras en los extremos de cada montón. Supongamos ahora que el espectador indica que su carta está en el montón inferior. Por tanto, recogemos el montón superior, luego el inferior y, por último, el central (del mismo modo como hicimos en la recogida anterior). Volvemos a repartir las cartas, también de la misma forma que en el reparto anterior, quedando las cartas como se ilustra en la figura.

Tercer reparto

En este momento, la carta pensada por el espectador estará ocupando la posición central en su paquete. Por ejemplo, si se encuentra en el montón central, sabemos que se trata del cinco de corazones. Por tanto, al recoger los montones como se ha indicado -primero el montón superior, luego el montón central y por último el montón inferior- la carta elegida ocupará la undécima posición, tanto desde arriba como desde abajo.

Si queremos encontrar una fórmula general que sirva para cualquier número de cartas, vamos a sustituir los valores de las cartas por sus posiciones, empezando por cero para que los cálculos sean más simples, y vamos a observar cómo cambian dichas posiciones después de cada proceso de reparto y recogida indicados en el ejemplo anterior. De este modo, en el juego de las 21 cartas, la posición inicial de las cartas sigue el orden natural: 0, 1, 2, 3, ..., 19, 20. Después del primer reparto y la primera recogida, recordando que el montón que contiene la carta elegida debe recogerse en segundo lugar, esta carta ocupará alguna de las posiciones 7, 8, 9, 10, 11, 12 o 13. Es evidente que, durante el segundo reparto, la carta elegida no puede ser ninguna de las siete primeras ni de las siete últimas. Al recoger por segunda vez los montones, la carta elegida debe tener al menos nueve cartas encima y nueve cartas debajo. Es decir, debe ocupar alguna de las posiciones 9, 10 u 11. En el tercer reparto, la carta elegida no será ninguna de las nueve primeras ni de las nueve últimas, así que tiene tres cartas por encima y tres cartas por debajo, dentro de su montón. Al recoger este montón en segundo lugar, la carta elegida tendrá diez cartas por encima y diez cartas por debajo, de modo que está en el centro de la baraja, ocupando la posición 10. La tabla siguiente resume este proceso.

Puedes encontrar otra explicación del mismo juego en el blog "The math mom".

¿Nos atrevemos a repetir este argumento en el caso general? Vamos a intentarlo. Para ello, llamamos "m" al número de montones repartidos y "c" al número de cartas en cada montón. Necesitamos que ambos números sean impares para que tengan sentido dos pasos clave: en cada recogida, el montón que contiene la carta elegida debe quedar en medio de los demás y, al final, la carta elegida debe quedar en medio de la baraja. Cada iteración del proceso consiste en repartir las cartas en "m" montones y recogerlos de modo que la carta elegida quede en el montón central. Si p_k es la posición de la carta elegida (empezando a contar en cero) después de la k-ésima iteración, se puede comprobar que

p_k = [p_k-1/m]+ (m-1)·c/2,

donde el símbolo [x] representa la parte entera del número x, es decir el mayor entero que es menor o igual que el número x.

Es evidente entonces que el truco funcionará siempre que después de n iteraciones se llegue a p_n = [m·c/2], lo que significa que la carta elegida ocupa la posición central del paquete de cartas.

El ejemplo que hemos desarrollado corresponde al caso m = 3 y c = 7, y hemos comprobado que, después de tres iteraciones, la carta elegida ocupa la posición p₃ = [m·c/2] = [10,5] = 10.

Otros ejemplos sencillos son los mostrados en las siguientes tablas:

Curiosamente, si utilizamos 25 cartas y repartimos cinco montones, basta repetir el proceso dos veces para que la carta elegida quede en la posición central. Observamos también que, haciendo m = 3 (tres montones), hacen falta tres iteraciones tanto en el caso c = 5 como c = 7.

El mes pasado nos preguntábamos cuál era el número máximo de cartas con las que funciona el juego si se realizan tres repartos. Dicho número no es 21, como cabía esperarse por ser más popular el juego de las 21 cartas. Con 27 cartas, es decir m = 3 y c = 9, también son suficientes tres iteraciones para que la carta elegida ocupe la posición central. De hecho, matemáticamente es más natural porque 27 = 3 x 3 x 3.

Ahora te estarás preguntando si 81 cartas serán suficientes para que el juego funcione haciendo cuatro iteraciones con tres montones cada vez. Efectivamente, así es. Se cree que la popularidad del juego de las 21 cartas reside en que el número de cartas no es tan elevado para que el proceso repetitivo de repartir y recoger montones resulte aburrido para el espectador.

Como adelantábamos en la entrega anterior, quienes saben del asunto cuentan que el primero en analizar y generalizar el juego de los tres montones fue el gran matemático francés Joseph Diaz Gergonne (personaje de la imagen adjunta) en el artículo "Récréations mathématiques. Recherches sur un tour de cartes" publicado en la revista que él mismo fundó Annales de mathématiques pures et appliquées, 4 (1813-1814), p. 276-283 (su intensa dedicación a la revista hizo que fuera conocida popularmente con el nombre de Annales de Gergonne). No sé si por desconocimiento de la historia (como ha sido mi caso) o de forma deliberada, en el entorno científico el truco y sus variantes se conoce como el "truco de Gergonne" en lugar de llamarse el "truco de Galasso". Compruébalo tú mismo escribiendo las palabras Gergonne trick en cualquier buscador de internet.

En su artículo, Gergonne analiza el juego titulado "Une personne ayant secrètement pensé una carte, la faire trouver dans le jeu au nombre qu'ell aura demandé" (Hacer aparecer una carta pensada por una persona en la posición indicada por ella), que corresponde a la trigésima recreación (en el apartado de juegos de cartas que requieren destreza manual) del tercer tomo del libro "Nouvelles récréations physiques et mathématiques", de Edmé-Gilles Guyot, publicado por primera vez en 1769. No nos detendremos ahora en glosar la figura de Guyot pero el libro causó un gran impacto en la época por revelar los secretos de muchos juegos clásicos de magia.

Esto nos lleva a la última pregunta planteada el mes pasado: ¿por qué la carta elegida pasa a ocupar la posición central del paquete? Una interesante interpretación del sistema de numeración en base tres permite realizar una interesante variante del juego mediante el cual la carta elegida va a parar a una posición previamente escogida por el público. Esta variante es la que describe Guyot y analiza Gergonne. Terminaremos esta "bilogía" dedicada al juego de los tres montones con la explicación de esta versión.

Supongamos que nos piden que la carta elegida aparezca en la posición número 15. Mentalmente, o con ayuda de algún dispositivo electrónico, realizaremos el siguiente cálculo:

• Se resta una unidad al número elegido. En nuestro ejemplo, 15 - 1 = 14.

• Se escribe el resultado en el sistema de numeración de base tres. Así pues, 14 = 112₍₃₎.

• Se recuerdan las cifras del resultado de derecha a izquierda. En nuestro ejemplo se trata de la secuencia 2 - 1 - 1.

• Se aplican a dichas cifras la clave: 0 = arriba, 1 = centro, 2 = abajo. En nuestro ejemplo, debemos recordar la secuencia abajo-centro-centro pues equivale a los números 2-1-1.

Ya podemos realizar el juego en su forma clásica, es decir, repartimos las 27 cartas formando tres montones sobre la mesa y pedimos a un espectador que piense una de las cartas y nos indique el montón donde se encuentra. Recogemos los tres montones teniendo en cuenta que el montón que contiene la carta elegida se recoge en la posición indicada por la clave que hemos aplicado. Como la primera palabra clave es "abajo", recogemos el montón de la carta elegida en primer lugar para que quede debajo de los otros dos.

Repetimos el reparto una segunda vez y pedimos al espectador que nos indique el montón que contiene la carta elegida. Como la segunda palabra clave es "centro", recogemos ese montón en segundo lugar para que quede en el centro de los otros dos.

Repetimos el reparto por tercera y última vez, volvemos a preguntar por el montón que contiene la carta elegida y recogemos este montón en segundo lugar, ya que la tercera palabra clave es "centro".

Sólo queda repartir las cartas una por una hasta llegar a la décimoquinta. Muéstrala con suspense y comprueba que se trata de la carta elegida.

Observaciones finales.

1. En el libro "Mathematics, magic and mystery", Martin Gardner describe otra versión del juego donde el mago se encuentra de espaldas, el espectador realiza los repartos y recoge los montones en el orden que le apetece y, sin embargo, el mago adivina la carta elegida. También puedes encontrar la explicación en el libro "Magia por principios".

2. Para profundizar en otros aspectos matemáticos del juego, pueden consultarse los siguientes trabajos:

   • Roy Quintero, El truco de las 21 cartas a través de permutaciones, EDUCERE, 2006.

   • Ethan Bolker, Gergonne's card trick, positional notation and radix sort, Mathematics Magazine, 2010.

   • Carlos Vinuesa, Matemagia básica, La Gaceta de la RSME, 2011.

   • h2g2, Why the 21 card trick works.

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