150. (Junio 2017) Alternando colores
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Escrito por Pedro Alegría (Universidad del País Vasco)   
Jueves 01 de Junio de 2017

Alternando coloresEl concepto de paridad es uno de los más sencillos de explicar y entender pero todavía encierra algunos aspectos misteriosos que no logramos interpretar correctamente. Por una parte, resulta muy fácil distinguir si una cantidad de objetos es par o impar: se van apartando grupos de dos objetos hasta que se acaben todos (en cuyo caso el número era par) o hasta que sobre uno (en cuyo caso el número era impar). Ahora bien, en varias ocasiones han aparecido en este rincón algunas curiosidades sorprendentes relacionadas con la dualidad par-impar: en el número de octubre de 2014 (matemagia 120) podrás encontrar la última aparición del principio y algunas referencias a entregas anteriores, referencias que llegan incluso a la primera entrada de este rincón, allá por el mes de marzo de 2004 (matemagia 1).

Volvemos otra vez a tratar este tema introduciendo una variante que ha tenido mucha repercusión en el mundo de la magia y que vuelve a rescatar del anonimato a uno de los personajes más interesantes en el contexto de la magia matemática.

Bob Hummer (1906-1981) fue un mago americano de carácter... digamos que peculiar. Ya hemos comentado aquí algunos aspectos de su extravagante personalidad (ver por ejemplo los comentarios expresados en la entrega de julio de 2013, matemagia 107) pero se puede encontrar una descripción más detallada en la introducción del libro de Karl Fulves "Bob Hummer's collected secrets" (1980), escrita por Martin Gardner, gracias a que lo conoció personalmente desde 1940, época en la que ambos vivían en Chicago. En palabras de Martin Gardner,

Bob Hummer fue una de las personalidades de la magia moderna más extrañas y originales. Aunque Bob no recibió ninguna formación académica en matemáticas, de hecho en ninguna otra rama de conocimiento, era obvio para cualquier seguidor de sus trucos que fue un genio aplicando a la magia curiosos principios matemáticos, especialmente los relacionados con la dualidad par-impar en el campo de la Combinatoria.

Vivió siempre al borde de la miseria pero no perdía ocasión de mostrar su contagioso sentido del humor incluso durante los últimos años de su vida, que pasó "visitando" regularmente hospitales para enfermos mentales.

En el campo de la magia no matemática es famoso -y todavía se comercializa de forma regular- su truco "the whirling card" (la carta flotante) que realizaba en sus espectáculos de magia cómica. Pero una de sus contribuciones más fructíferas está relacionada con la magia matemática y comienza en 1942, año en el que publica por primera vez el folleto titulado "Face up face down mysteries", donde se incluyen juegos como "Hummer's 18 card mystery" o "The little moonies" (también descritos en el libro Matemática, magia y misterio de Martin Gardner), los cuales están basados en lo que llamaremos a partir de ahora el principio de Hummer.

Para entender este principio, veamos un ejemplo práctico. Así que consigue un grupo de cartas, una cantidad par de ellas, y colócalas de modo que se alternen los colores (no importa si el orden es roja-negra-roja-negra-... o bien negra-roja-negra-roja-...). Con este grupo de cartas en la mano, vas a realizar la llamada mezcla CATTO (acrónimo de la expresión «Cut And Turn Two Over» acuñada por el mago Charles Hudson, aunque ahora es más común llamarla simplemente mezcla CATO).

  1. Separa las dos cartas superiores del paquete, gíralas como si fueran una carta y déjalas otra vez sobre el paquete.

  2. Corta el paquete por cualquier lugar y completa el corte.

  3. Repite los pasos 1 y 2 las veces que quieras. Te quedará un paquete con algunas cartas cara arriba y otras cartas cara abajo.

  4. Por último, reparte las cartas en dos montones sobre la mesa, izquierda-derecha-izquierda-derecha-... Gira uno de los dos montones y colócalo sobre el otro.

El resultado final es que todas las cartas negras están en un sentido y todas las cartas rojas están en el otro sentido.

En el capítulo 1 del libro "Magical mathematics" de Persi Diaconis y Ronald Graham aparece una detallada explicación del principio, ¡hasta con teoremas matemáticos!, y algunos interesantes juegos basados en él. Puedes encontrar otra selección de juegos relacionados con el principio de Hummer en el capítulo 5 del libro "Magia por principios". También hay un video y algunas explicaciones en la página Mathaware dedicada a Martin Gardner.

No vamos a repetir aquí ninguno de esos juegos sino a proponer una variante de este principio -una especie de extensión al caso bidimensional- tal como aparece en la columna "Card Colm" de febrero de 2006, mantenida por Colm Mulcahy.

Así funciona el juego:

  1. El mago entrega la baraja a un espectador para que forme sobre la mesa un rectángulo de cartas, eligiendo libremente qué cartas estarán cara arriba y qué cartas estarán cara abajo.
    Supongamos, por ejemplo, que el espectador ha decidido colocar 28 cartas en la disposición que se muestra en esta imagen:

  2. Con el mago de espaldas, el espectador elige cuatro cartas entre las que están en la mesa que sean vértices de un rectángulo y gira las cuatro cartas, dejándolas nuevamente en su lugar.
    Siguiendo con el ejemplo, supongamos que el espectador ha seleccionado el rectángulo marcado en la imagen siguiente y ha girado los cuatro vértices, as de picas, tres de trébol, seis de trébol y ocho de picas. El resultado es el mostrado a continuación:

  3. El espectador puede repetir dicho proceso todas las veces que quiera, eligiendo otros cuatro vértices de un rectángulo y girando las cartas correspondientes, de modo que es posible que una misma carta se gire varias veces.
    En nuestro ejemplo, si el segundo rectángulo elegido por el espectador es el que se muestra en la imagen, la nueva disposición de las cartas sería la siguiente:

  4. En un determinado momento, el espectador elige una carta del retículo y la gira, recordando de qué carta se trata. Después de ello, puede seguir seleccionando rectángulos de cartas y girando sus cuatro vértices.

  5. Por último, el mago se vuelve de cara a la mesa y, de un rápido vistazo, descubre cuál es la carta elegida por el espectador.

No vamos a entrar en los detalles de la explicación, pues basta saber que el juego está basado en el principio de paridad. Quizá algún lector pueda también encontrar alguna relación entre este juego y el descrito en la entrada de febrero de 2011 (matemagia 80), no sólo por la presentación y el resultado final sino por la similitud de su funcionamiento.

Como ocurre muy a menudo, una combinación de diferentes principios matemáticos permite diseñar juegos de magia más elaborados y sorprendentes. Uno de ellos es el titulado "Grados de libertad", que aparece en el libro Querido Mr. Fantasy de John Bannon y está descrito en el blog magiaporprincipios.

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