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 Si ya es suficientemente amplio el conjunto de propiedades matemáticas que se pueden encontrar al realizar diferentes tipos de mezclas de cartas, mucho mayor es la diversidad de ideas y aplicaciones a los juegos de magia que tienen dichas propiedades. En este rincón hemos ofrecido muchas pruebas de ello, así que vamos a aportar alguna más. Esta vez nos detendremos de nuevo en la mezcla australiana, que apareció por primera vez en el juego "Salvado por las matemáticas", de mayo de 2006, y posteriormente aplicado al juego "El truco de cartas de Einstein", de mayo de 2010. También puedes ver algunas propiedades matemáticas de esta mezcla en el artículo La leyenda de Josefo y la mezcla australiana, publicado en la revista Eureka (2012).
Antes de describir el juego, recordemos rápidamente en qué consiste la mezcla australiana: con las cartas en la mano, se retira la carta superior y se deja sobre la mesa; la siguiente carta se pasa de arriba abajo del paquete; la siguiente carta se deja sobre la mesa, encima de la anterior; la siguiente carta se pasa de arriba abajo del paquete; el proceso se repite hasta que se han repartido todas las cartas sobre la mesa.
En realidad, hay dos tipos de mezclas australianas: una de ellas es la que hemos descrito y la otra es la misma salvo que, en lugar de dejar en la mesa la primera carta, se pasa debajo del paquete, la siguiente se deja sobre la mesa y así sucesivamente, alternando una carta bajo el paquete, una carta sobre la mesa. En inglés se distinguen las dos mezclas con los nombres DOWN-UNDER o bien UNDER-DOWN, contracciones de la frase «DOWN on the table-UNDER the packet». Es fácil comprender que el resultado final es distinto y las cartas quedan dispuestas en un orden diferente según se realice una mezcla o la otra. Esta diferencia será importante en el transcurso del juego.
Pasamos a describir el juego, cuyo título original es «Jackula» y aparece en el libro "Impromptu card magic", compilación realizada por el siempre recordado Aldo Colombini. El juego es una versión desarrollada por Michael de Marco a partir del titulado "Capture by ritual", que publicó Karl Fulves en el libro "Vampire Chronicles" (1997).
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Busca en la baraja las dos jotas negras, que serán los detectives con los que podrás encontrar cualquier carta perdida.
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Saca otras nueve cartas cualesquiera y mézclalas. Reparte ahora sobre la mesa -caras hacia abajo- tres montones de tres cartas cada uno, selecciona y toma uno de estos tres montones, mira y recuerda la carta inferior (la única que ves al girar el montón), coloca este montón sobre cualquiera de los dos restantes y coloca este nuevo montón sobre el tercer montón de cartas.
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Tienes ahora de nuevo un paquete de nueve cartas, entre ellas la elegida. Coloca las dos jotas en los extremos del paquete, pero caras hacia arriba, como se muestra en la imagen.
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Para encontrar la carta elegida, los detectives siguen el siguiente proceso de eliminación:
Pasa la primera carta -que será una jota- a la parte inferior del paquete; deja sobre la mesa la siguiente carta; pasa de arriba abajo la siguiente carta del paquete; deja sobre la mesa, encima de la anterior, la siguiente carta; pasa de arriba abajo la siguiente carta del paquete, y así sucesivamente, una carta sobre la mesa, una carta de arriba abajo hasta repartir todas las cartas. En resumidas cuentas, realiza una mezcla UNDER-DOWN.
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Recoge el paquete que se ha formado y abre una pequeña extensión: comprobarás que las jotas han "atrapado" tres cartas. ¿Será la elegida una de ellas? Trataremos de quedarnos solo con una siguiendo un nuevo proceso de eliminación.
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Deja la primera carta sobre la mesa; pasa de arriba abajo la siguiente carta del paquete; deja sobre la mesa la siguiente carta; pasa de arriba abajo la siguiente carta del paquete, y así sucesivamente, ya sabes cómo seguir el proceso, que se acaba cuando has repartido sobre la mesa todas las cartas. En este caso, has realizado una mezcla DOWN-UNDER.
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Extiende de nuevo las cartas y observa que las jotas tienen "atrapada" ahora a una sola carta. ¿Es la carta elegida? ¡Espero que sí!
Comentarios finales:
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La mezcla australiana, en sus dos versiones, permite plantearse algunos problemas o idear algunos puzles. El interesante libro de Geoffrey Mott-Smith titulado Mathematical puzzles for beginners and enthusiasts (publicado en 1954) contiene, entre otros, los siguientes:
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¿En qué orden deben colocarse todas las cartas de un mismo palo para que, al realizar una mezcla australiana, queden ordenadas de menor a mayor? ¿Y si se trata de toda la baraja?
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Supongamos que dispones de una baraja de 971 cartas, cada una de ellas contiene un número (del 1 al 971). Se reparte sobre la mesa la número 1, se pasa debajo del mazo la número 2, se deja sobre la mesa la número 3, se pasa debajo del mazo la número 4, y así sucesivamente hasta repartir todas las cartas. ¿Cuál será la última carta repartida? ¿En qué momento se repartirá la carta con el número 288? ¿Qué número tendrá la 643-ésima carta repartida?
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Matemáticamente, una mezcla equivale a una permutación del conjunto de cartas porque el único efecto que produce mezclar cartas es cambiar el orden de las mismas. Por ejemplo, si ordenamos las diez cartas numéricas de un palo del as al diez y realizamos una mezcla DOWN-UNDER, el orden final de las cartas es (4, 8, 10, 6, 2, 9, 7, 5, 3, as), pero si realizamos una mezcla UNDER-DOWN, la disposición final es (5, 9, as, 7, 3, 10, 8, 6, 4, 2).
Sorprendentemente (o no), hacen falta 21 mezclas consecutivas del tipo UNDER-DOWN para devolver las diez cartas a su orden inicial pero solo se necesitan seis mezclas del tipo DOWN-UNDER para conseguir el orden numérico inicial. En matemáticas se dice que 21 es el orden de la permutación UNDER-DOWN y que 6 es el orden de la permutación DOWN-UNDER en un conjunto de diez elementos.
El reto que te planteo es calcular el orden de estas dos permutaciones en el conjunto de 52 elementos, es decir cuántas mezclas consecutivas de cada uno de estos dos tipos son necesarias para devolver toda la baraja a su orden inicial. En el camino descubrirás propiedades inesperadas.
Aunque no sea época habitual de concurso, seguro que las respuestas correctas obtenidas entrarán en el sorteo de un obsequio por cortesía de la redacción de Divulgamat.
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(Universidad del País Vasco - Euskal Herriko Unibertsitatea)
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158. (Marzo 2018) Los detectives de la baraja