190. (Febrero 2021) Magia poliédrica
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Escrito por Pedro Alegría (Universidad del País Vasco)   
Miércoles 03 de Febrero de 2021

Magia poliédricaUna de las propiedades más mágicas de las matemáticas se expresa con esta misteriosa fórmula:

C + V = A + 2.

¿Qué propiedad es esta? ¿Qué es eso de sumar letras y números? Para responder a estas cuestiones, en primer lugar debemos aceptar que sólo existen cinco poliedros regulares (como los ilustrados por Kepler en la imagen de cabecera), comúnmente conocidos como sólidos platónicos porque Platón, en su obra Timeo, asoció a cada uno de ellos un elemento de la Naturaleza: fuego al tetraedro, aire al octaedro, agua al icosaedro y tierra al hexaedro. ¿No falta uno? Sí, el dodecaedro, asociado por Platón al Universo (claro, ya no le quedaban elementos para asignar).

Un poco más elaborada fue la teoría del astrónomo Johannes Kepler —que denominó Misterio Cósmico— mediante la cual los seis planetas conocidos hasta el momento describían órbitas contenidas en esferas concéntricas, con el Sol en el centro, entre las cuales se encontraban perfectamente encajados los cinco sólidos platónicos: un cubo entre Saturno y Júpiter, un tetraedro entre Júpiter y Marte, un dodecaedro entre Marte y Tierra, un icosaedro entre Tierra y Venus y un octaedro entre Venus y Mercurio. En el artículo «Las formas del mundo», Javier Sampedro nos recuerda que estas figuras no surgen únicamente del intelecto humano sino que son componentes fundamentales de la naturaleza, aunque en un sentido diferente al que Platón y Kepler propugnaban.

Volviendo a la enigmática fórmula inicial, si contamos el número de caras (C), vértices (V) y aristas (A) en cada sólido platónico, encontramos esta tabla:


Caras Vértices Aristas
Tetraedro 4 4 6
Hexaedro 6 8 12
Octaedro 8 6 12
Dodecaedro 12 20 30
Icosaedro 20 12 30

Ahora se puede entender mejor la fórmula que hemos avanzado al principio: en cada figura, el número de caras más el número de vértices es siempre dos unidades mayor que el número de aristas. Pues bien, el famoso matemático suizo Leonhard Euler demostró (con algunos errores) que esa fórmula es válida para cualquier figura tridimensional convexa formada por caras poligonales. Si la importancia de un resultado matemático se mide por el número de demostraciones que tiene, en la página de David Eppstein «The Geometry Junkyard», se recogen veinte de ellas, todavía muy lejos de las 122 pruebas del teorema de Pitágoras que Alexander Bogomolny coleccionó en el portal «Cut-the-Knot» hasta su fallecimiento en 2018.

Como ya es tradición en este rincón, seguimos las normas de buena conducta educativa en sentido inverso y, en lugar de motivar el estudio de los sólidos platónicos mediante un juego de magia —como haría cualquier docente enamorado de su trabajo—, lo que hacemos es justificar el juego de magia que vamos a describir mediante la introducción matemática de los elementos involucrados. Así pues, utilizaremos estas importantes figuras geométricas como herramientas para la magia.

Como de costumbre, una mirada retrospectiva a lo ya publicado en este rincón nos permite confirmar que no es la primera vez que aparece algún sólido platónico. Empezando por lo más obvio, en la magia con dados es fundamental el uso del cubo o hexaedro, algunas de cuyas propiedades se utilizaron en los capítulos 26 y 27 (de marzo y abril de 2006) y en el 155 (de diciembre de 2017).

Nos limitaremos en esta ocasión a describir algunos juegos en los que se utiliza el cubo como elemento protagonista y dejaremos para la próxima ocasión otros juegos en los que explotaremos las propiedades del tetraedro y el octaedro.

El primero de los juegos es el ha despertado mi curiosidad por recorrer su historia y conocer las variantes que se han ideado a lo largo del tiempo. Empezaré con la idea básica del juego, para cuya realización se necesita solamente un dado:

  1. Un espectador piensa un número del uno al seis.

  2. El mago, sin mirar al dado en ningún momento, lo lanza sobre la mesa y muestra al espectador tres de sus caras. Luego le pregunta si ve el número pensado.

  3. El mago gira el dado para mostrar otras tres caras y pregunta al espectador si ve el número pensado.

  4. El mago gira por última vez el dado y muestra otras tres caras volviendo a preguntar al espectador si ve el número pensado.

  5. A partir de esta respuesta, el mago adivina el número pensado.

Este juego aparece por primera vez en el folleto titulado «Three Pets», publicado por Bob Hummer en 1945. En la fantástica obra «Mathematics, Magic and Mystery» (1956), Martin Gardner vuelve a publicar el juego y, como explicación, indica que basta una pequeña reflexión para saber que tres preguntas son suficientes para eliminar todas las posibilidades excepto una, pero no entra en más detalles. En 1980, Karl Fulves publica la recopilación «Bob Hummer's Collected Secrets» y también recoge este juego, bajo el título "The moon die mystery". En este caso, la descripción —como veremos a continuación— es más precisa y detallada:

  1. El mago lanza el dado y lo tapa con una mano para no ver cómo ha quedado. Lo coloca de modo que el espectador pueda ver tres de las caras y le pregunta si ve su número.

  2. Independientemente de su respuesta, tapa el dado con las dos manos y lo gira 180 grados en la dirección de la flecha A (la cara superior tocará ahora contra la mesa). Aparta las manos y vuelve a preguntar si ve su número.

  3. Nuevamente, sin importar su respuesta, tapa el dado y lo gira 180 grados en la dirección de la flecha B (pasando otra vez la cara superior a la parte inferior). Retira las manos de nuevo y pregunta por última vez si ve su número.

  4. Para adivinar el número pensado el mago sumará uno si la primera respuesta es afirmativa, dos si la segunda respuesta es afirmativa y cuatro si la tercera respuesta es afirmativa.

  5. Con el número así obtenido el mago gira el dado a partir del modelo de la figura, pasando a la parte superior la cara donde estaría dicho número en este dado.

Por ejemplo, si el espectador ha visto su número las dos primeras veces, el mago recuerda el número tres y, como en el dado modelo está a la derecha, gira el dado para colocar arriba esta cara. El número que aparezca ahora en la cara superior será el pensado por el espectador.

Un año después, el propio Karl Fulves publica el libro «Self-working table magic: 97 foolproof tricks with everyday objects» donde aparece el juego que titula "Mental die". La explicación que acompaña al juego no es correcta así que la hemos corregido convenientemente.

  1. El comienzo es igual al anterior: un espectador elige secretamente un número del uno al seis.

  2. El propio espectador, con el mago de espaldas, gira el dado un cuarto de vuelta hacia la derecha (en sentido horario), indicado por la flecha A, si ve su número y gira el dado un cuarto de vuelta hacia delante (pasando arriba la cara que está a la izquierda), según indica la flecha B, si no ve su número. Este proceso se repite tres veces y, al final, el espectador tapa el dado con un sombrero (o un cubilete o un pañuelo).

  3. El mago se coloca otra vez de cara frente al espectador y le pregunta si ha visto su número todas las veces. Si no es así, mete la mano bajo el sombrero y gira el dado un cuarto de vuelta hacia delante (pasando arriba la cara de su derecha). Si la respuesta es sí, no hace nada. Se levanta el sombrero y el número elegido aparece en la cara superior del dado.

Fulves propone no hacer la última pregunta y jugar con la suerte, pues cinco de cada seis veces el espectador habrá dejado de ver su número alguna vez.

En la última edición del homenaje a Martin Gardner Celebration of Mind 2020, Joe Turner dictó una charla titulada "Dice, dice, baby", en la que mostraba su propia versión del juego. Su idea inspiró a Mariano Tomatis quien presentó el juego sustituyendo el dado por un cubo de Rubik en el episodio 216 de su canal de Youtube «Mesmer in pillole». Esta vez el mago es quien realiza los movimientos en el cubo.

  1. El mago coloca un cubo de Rubik sobre la mesa y pide al espectador que elija uno de sus seis colores.

  2. Dejando tres de las caras del cubo a la vista del espectador, el mago pregunta si ve entre ellas el color elegido (según la figura adjunta, el espectador estará viendo las caras roja, verde y blanca). Si la respuesta es sí, el mago gira el cubo un cuarto de vuelta hacia la derecha (en sentido horario). Si la respuesta es no, el mago gira el cubo un cuarto de vuelta hacia sí mismo (pasando la cara superior al lateral izquierdo).

  3. Vuelve a preguntar al espectador si ve el color elegido. A continuación, realiza el mismo movimiento del cubo según la respuesta.

  4. Repite por última vez la pregunta y el giro del cubo. En este momento, el color elegido por el espectador ocupa la cara lateral que está a la derecha del mago, con lo que puede desvelarla como prefiera.

Hay una excepción a esta regla: si el espectador ha respondido que sí a todas las preguntas, el color elegido está en la cara superior (pues siempre se ha mantenido allí).

El último juego que queremos compartir está basado en un principio diferente y aparece también en el citado libro «Self-working table magic» de Karl Fulves. Se titula "Logic dice" y, para realizarlo, necesitas también un dado. Tú serás mi asistente y yo controlaré a distancia tus movimientos para adivinar el resultado final.

  1. Lanza el dado sobre la mesa.

  2. Si el número de la cara superior es impar, gira el dado un cuarto de vuelta hacia delante; si el número de la cara superior es par, gira el dado un cuarto de vuelta hacia la derecha.

    En el ejemplo de la figura, como hay un 3 en la cara superior, al realizar el giro indicado la cara superior tendrá un 5. Si fuera par, que no es el caso, el 6 pasaría a ocupar la cara superior después del giro.

  3. Realiza la misma operación unas cuantas veces para comprobar la cantidad de posibilidades y observar que la cara superior va tomando diferentes valores.

  4. En un determinado momento, aparecerá un 1 en la cara superior. Realiza el giro correspondiente una última vez.

Concéntrate en el número de la cara superior. ¡Ya lo tengo! Es un 4.

Como diría Martin Gardner, con un poco de reflexión podrás descubrir por ti mismo el secreto del juego. Si, a pesar de ello, necesitas una pequeña ayuda, aquí la encontrarás.

Comentario final

Ya que hemos estado tratando con dados, quiero proponer un juego —muy relacionado con el juego del NIM que describimos en julio de 2016 (número 140 del rincón matemágico)— pero sin la aparente ventaja del mago respecto al espectador. Esta versión fue ideada por el mago estadounidense Stewart Judah y era uno de sus juegos favoritos:

Se lanza un dado y su resultado será el valor de partida. A continuación, cada jugador —por turnos— gira el dado un cuarto de vuelta en la dirección que prefiera, para obtener un nuevo número. Dicho número se suma al resultado anterior obteniéndose un nuevo valor, con el que se continúa el juego. El jugador que, después de girar el dado como se ha indicado y sumar el valor resultante al número acumulado anterior, alcance el número 31 o bien obligue a su oponente a superar dicho número en su siguiente jugada, es el ganador. El jugador que se vea forzado a superar el número 31, es el perdedor.

¿Serías capaz de encontrar alguna estrategia ganadora teniendo en cuenta las características numéricas de los dados? En el excelente libro de George Kaplan titulado "El arte de la magia" se explica con bastante detalle el procedimiento que garantiza la victoria del mago.

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(Universidad del País Vasco - Euskal Herriko Unibertsitatea)

 
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