28. El nudo pentagonal II |
Escrito por José Ángel Iranzo Sanz | |||
Domingo 01 de Junio de 2008 | |||
“Además de embarcaciones hay una papiroflexia más complicada, casi geométrica, matemática. La de hacer pajaritas como aquellas en que entretenía sus ocios el maestro Miguel de Unamuno…” Empiezo este segundo artículo sobre el nudo pentagonal con unas palabras del premio Nóbel de literatura guatemalteco Miguel Ángel Asturias sobre Miguel de Unamuno. Es sabida la relación de Unamuno y la papiroflexia, y como muestra de ello son las figuras que inventó o cuadros como el de la fotografía, donde Unamuno aparece retratado por Zuloaga junto con una de sus figuras, el “avechucho”. Además también escribió sobre papiroflexia, sobre todo en su novela “Amor y pedagogía”(en el apéndice “Apuntes para un tratado de cocotología”). Pero Unamuno aparece en este artículo por el siguiente poema acerca del nudo pentagonal: El poema aparece junto con el dibujo del nudo pentagonal que hay sobre él y se describe tanto el nudo pentagonal como la estrella que se forma al hacerlo. Esta estrella es la que aparece al trazar todas las diagonales de un pentágono: Si tomamos una tira de papel no demasiado gruesa y hacemos un nudo, como explicamos en el artículo anterior, obtenemos un pentágono. Pero si miramos el nudo al trasluz se puede apreciar el contorno de la estrella casi al completo, sólo falta una de las diagonales del pentágono. Basta entrelazar una de las tiras salientes una vez más en el nudo para poder ver la estrella completa: Esta estrella de cinco puntas, conocida también como pentagrama o pentáculo, tiene mucha leyenda detrás y, como todo lo relacionado con el pentágono, la estrella también tiene una estrecha relación con el número áureo (se puede encontrar información sobre la estrella de cinco puntas en http://es.wikipedia.org/wiki/Pentagrama_(geometría)). En papiroflexia hay una figura sencilla conocida como “Lucky Star” (estrella de la suerte) que parte del nudo pentagonal para hacer una estrella de cinco puntas en 3D. Veamos cómo se hace: 1º_Cogemos una tira larga de papel y hacemos un nudo en uno de los extremos (pasos 1, 2 y 3). El trozo de tira más pequeño que salga del nudo se dobla como en el paso 4 y se introduce en el bolsillo interior que queda en el nudo. 2º_Doblamos una y otra vez el extremo más largo envolviendo al pentágono, de forma que la tira dobla en el borde del pentágono (como en los pasos 5, 6 y 7). Esto debe hacerse siempre en el mismo sentido hasta acabar la tira de papel y sin aplastar excesivamente los dobleces. 3º_El trozo de tira sobrante (paso 8) se dobla sobre el borde del pentágono y se introduce en el interior del bolsillo que hay en el mismo. Por último (paso 9), empujamos con cuidado sobre cada lado del pentágono para que la estrella tome forma tridimensional. 4º_Estrella terminada: Podéis ver un vídeo de cómo se hace (¡incluso un blog entero sobre ella!) en www.foldastar.com (en inglés). También una bonita galería de fotos con cientos de estrellas de este tipo en: http://divulgamat2.ehu.es/www.flickr.com/photos/creativeliberties/sets/72157600072940760 Vamos ahora con los deberes del artículo anterior. Sabemos cómo se hace un nudo para formar un pentágono, pero ¿es posible hacer un hexágono haciendo un nudo a partir de una tira de papel siguiendo el mismo método?¿y un heptágono?, y en general ¿se podrá hace un polígono de n lados haciendo un nudo con una tira de papel? ¡Ya tenemos el nudo heptagonal! Pero no nos olvidemos que nos hemos saltado uno, el hexágono. Vamos a demostrar que no se puede hacer, para ello veamos unas nociones sobre aritmética modular (también llamada aritmética de reloj). 100 = 12 + 12 + 12 + 12 + 12 + 12 + 12 + 12 + 4 = 12x8 + 4 Por tanto, si ahora la saeta apunta al 5, pasadas 100 horas la saeta apuntara al 5+4=9. Funcionará de manera similar. Si son las 5 y pasan 6 horas la saeta pasara a apuntar al 3. y el número 35 = 8 + 8 + 8 + 8 + 3 = 8x4 + 3 estará representado por el 3. En general, para saber a qué hora corresponde un número cualquiera en este reloj basta hallar el resto de la división del número entre 8. Z8 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} Y por ejemplo, como el 35 equivale al 3 lo expresaremos como 35 ≡ 3 (mod 8), o si sobreentendemos que estamos trabajando sobre el reloj de 8 horas Z8 podemos escribir simplemente 35 ≡ 3. Podríamos decir que, usando los números de Z8, el 35 y el 3 son el mismo número. Además, si multiplicamos un número por otro, nuestra aritmética de reloj también funciona. Por ejemplo: 10 ≡ 2 (mod 8), si multiplicamos por 3 ambos lados de la igualdad tenemos que 30 ≡ 6 (mod 8), y así es, 30 = 8x4 + 6. Pasemos ahora al problema de cómo hacer nudos con una tira de papel para obtener un polígono cualquiera. La forma de hacer el octógono ha sido la siguiente:
Si intentamos hacer un nudo hexagonal de forma análoga, trabajando sobre Z6 = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, hemos de elegir un número ( 2, 3 ó 4 ) de forma que al sumarlo una y otra vez generemos todos los elementos de Z6. Pero:
En los tres casos se repiten una y otra vez los números sin rellenar conseguir todos los de Z6. No existe el número buscado y por tanto es imposible hacer un nudo hexagonal de esta manera. Hemos visto que se puede hacer un pentágono, un heptágono y un octógono, y que no que no se puede hacer un hexágono. En general, ¿se podrá hacer de esta manera un polígono de n lados? Para ellos nos situamos en Zn = {0, 1,..., n-2, n-1} y lo que buscamos es un número k entre los números 2, 3, …, n-3, n-2 de manera que cumpla que {k, k+k, k+k+k,..., k+..(n)..+k} = Zn Es decir {k, 2k, 3k,..., nk} = Zn.
Con esto, para formar el nudo, sólo es necesario buscar un número k entre los números 2, 3,…, n-3, n-2 que sea unidad. Hay que decir que en la práctica no es sencillo hacer un nudo con un tira de papel que tenga más de 7 lados (incluso el hacer el nudo heptagonal no es sencillo). Pero es posible.
Gracias a David Lister por toda la información y ayuda que me ha proporcionado para escribir este artículo. |