11. Plegado del pentágono óptimo
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Escrito por David Dureisseix   
Lunes 01 de Agosto de 2005

Tras una primera incursión en los polígonos óptimos a través del hexágono (ver el artículo del mes pasado), vamos a ver ahora el caso del pentágono. Presenta una dificultad adicional: la existencia de un ángulo más difícil de construir, es decir, Image(ó 36 grados).

 

Hay que señalar, de entrada, que el juego consiste en doblar, a partir de un cuadrado de papel, el pentágono óptimo, es decir, el pentágono regular más grande posible, de forma matemáticamente exacta y con un número finito de dobleces.

Demos al César...

En la literatura sobre la geometría y el origami, podemos encontrar numerosos doblados de pentágonos; al menos, existen numerosas variantes de doblados de pentágonos aproximados. Mucho menos numerosas son las técnicas de doblado exactas (desde un punto de vista matemático). No obstante, podemos encontrar dos en [5], páginas 89 y 253.

Además, si buscamos el doblado del pentágono óptimo, hasta la actualidad, tan solo existía el método de Roberto Morassi [6]. La figura 3 representa someramente el diagrama de dicha técnica.

La nueva técnica, desarrollada de forma independiente y propuesta aquí en la figura 2, me parece más sencilla. Utiliza el principio empleado para el hexágono [3]: laconstrucción de la versiónestrellada del polígono. Como todos los polígonos óptimos, el pentágono óptimo es simétrico respecto a una diagonal del cuadrado y un vértice toca cada lado del cuadrado, como en la figura 1.

Pentágono óptimo y su versión estrellada

Figura 1. Pentágono óptimo y su versión estrellada

Descripción del plegado

Paso 1: el número de oro.

Siendo D el punto medio del lado, dividimos por dos el sector angular Image. Este doblez permite construir el número de oro: Image.

Paso 2:1/5 de π.

Doblar llevando el punto C sobre el doblez horizontal a media altura, en F. Podemos observar que el doblez creado no pasa exactamente por D, pero acabamos de construir el ángulo Image.

Paso 3: 1/10 de π, doblando la bisectriz de Image.

Paso 4: la longitud l.

Al doblar la bisectriz de Image, se obtiene un segmento BIcuya longitud es exactamente igual a la del lado del pentágono óptimo estrellado, lde la figura 1. Sólo queda por llevar dicha longitud al lugar adecuado; éste es el propósito de los últimos pasos.

Paso 5: para colocar correctamente el lado del pentágono, como en la figura 1, primero hay que llevar el punto I sobre la diagonal, en J.

Paso 6: doblar la mediana.

Paso 7: KL es uno de los lados buscados. Por lo tanto, sólo queda completar el modelo para obtener el pentágono estrellado utilizando el método que se prefiera.

Doblado del pentágono óptimo

Figura 2. Doblado del pentágono óptimo

 

Figura 3
Figura 3
Figura 3
Figura 3

Figura 3. “The elusive pentagon” de Roberto Morassi

 

Para aquellas personas que deseen detalles sobre la construcción de la figura 2, he aquí algunos pasos intermedios: para un cuadrado inicial de lado a (figura 1), la longitud de un lado del pentágono óptimo es Image

Sabemos que Image.

A la vista de la construcción clásica del número de oro realizada, Image, de donde se deduce que Image.

Algunas cuestiones técnicas

Los cuadrados, los triángulos y los octógonos óptimos son, por este orden, los más fáciles de construir, y el hexágono y el pentágono óptimos son los siguientes en la lista.

En 1837, M. L. Wantzel demostró en [8] cuales eran los polígonos regulares construibles desde un punto de vista teórico, utilizando únicamente la geometría euclidiana, es decir, con regla y compás. Una condición necesaria es que estos polígonos tengan 2nf1f2...fs lados (con n y s números enteros), siendo fi números primos todos diferentes y con la forma 2m + 1, siendo m un número entero. Este resultado se puede simplificar un poco ya que una condición necesaria para dichos fies que tienen que ser números de Fermat, es decir, de la forma 22m+ 1 ; ahora bien, los únicos números de Fermat primos conocidos actualmente (ver [9]) parecen ser 3, 5, 17, 257 y 65537.

Si se utiliza la técnica debida a Lill y utilizada por primera vez en origami por M. P. Beloch en [1] (capaz de resolver las ecuaciones de tercer grado mediante doblado), se puede generalizar este grupo de polígonos mediante la serie de los 2m3qp1p2... ps, donde los pi son todos diferentes, con la forma 2n3r +1, y primos, siendom, n, q, r, s, números enteros (véase por ejemplo [7]).

Sin embargo, sigue habiendo fallos en esta criba: por ejemplo, el primer polígono regular al que no se puede aplicar esta construcción es el endecágono (11 lados). ¿Para cuándo una secuencia de plegado lo suficientemente sencilla como para que se admita en el conjunto de las construcciones básicas en origami y que permita construir el endecágono regular?

Referencias

  • M. P. Beloch. Sul metodo del ripiegamento della carta per la risoluzione dei problemi geometrici. Periodico di Mathematiche, IV, vol. XVI, N° 2, Págs. 104-108, 1936.
  • D. Dureisseix. Searching for optimal polygon, application to the pentagon case. Septiembre 1997, nota no publicada, disponible en:
    http://origami.kvi.nl/articles/polye.ps
  • D. Dureisseix. Un pliage de 1 hexagone optimal. Le Pli N° 77, p. 11, 1999.
  • H. Huzita, editor. Proceedings of the First International Meeting of Origami Science and Technology, Ferrara, 1989.
  • K. Kasahara. El Mundo Nuevo. Sanrio, 1989.
  • R. Morassi. The elusive pentagon. In [4], Págs. 27-37, 1989.
  • B. Scimeni. Draw of a regular heptagon by the folding. In [4], Págs. 71-76, 1989.
  • M. L. Wantzel. Recherches sur les moyens de reconnaître si un problème de géométrie peut se résoudre à la règle et au compas. Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, vol. 2, Págs. 366-372, 1837.
  • E. W. Weisstein. The CRC Concise Encyclopedia of Mathematics, 1998.
  • http://mathworld.wolfram.com/FermatNumber.html

 
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