31. Génesis de un pentágono
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31. Génesis de un pentágono |
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| Escrito por Belén Garrido Garrido |
| Lunes 23 de Marzo de 2009 |
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Un día, doblando un papel cuadrado me surgió una pregunta que rápidamente convertí en una hipótesis de trabajo: “¿Existirá en un papel cuadrado un punto P tal que al llevar sobre él las cuatro esquinas del papel queda marcado un pentágono regular?”  Comencé a hacer pruebas. Doblando un cuadrado por la mitad y llevando las esquinas inferiores A y B sobre distintos puntos de la línea media; obtuve distintos valores para los ángulos α (1). Ayudándome con un transportador de ángulos conseguí el punto P y los valores de 108º para dichos ángulos (2).Después doblé sobre P las esquinas A´ y B´ (3) y al desdoblar comprobé que el pentágono construido no era regular (4). Reformulé la hipótesis de trabajo: “Existe en un rectángulo de papel un punto P tal que al llevar sobre él las cuatro esquinas del papel quede marcado un pentágono regular”. Empecé a juguetear con un papel doblado hasta el paso (3). Se me ocurrió doblar en montaña por CD y probé a doblar los puntos C y D sobre P y desdoblé. Al analizar el pentágono formado comprobé que era bastante regular. ¡¡BRAVO!!.  La siguiente hipótesis de trabajo fue: “Existe en un rectángulo de papel un punto P tal que al llevar sobre él las cuatro esquinas del papel quede marcado un pentágono regular y es posible hallar mediante doblado las dimensiones de este rectángulo y el punto P”  Tome varios cuadrados de papel de las mismas dimensiones que los usados anteriormente y marqué en ellos los puntos P, C y D. Empecé a hacer dobleces no arbitrarias analizando posteriormente las marcas (a) y (b).Observé que al hacer dobleces en el cuadrado para marcar un triángulo equilátero (b) el vértice superior del triángulo, a simple vista quedaba a la misma altura que los puntos C y D.  CONCLUSIÓN: Mediante doblado se pueden hallar un rectángulo de proporciones 2: √3 en el que al doblar sobre un punto interior los cuatro vértices se marca un pentágono regular. Este punto interior también se halla mediante doblado. El método es el siguiente:  Aunque el pentágono así obtenido no es totalmente regular (los ángulos internos que se calculan a partir del patrón de doblado miden, cuatros de ellos, 107,362º y el valor del ángulo superior es de 109,472º) la aproximación es bastante aceptable. En el Origami Tanteidan Magazine n. 79 (marzo 2003), Kazuo Haga propone un desarrollo semejante a este para obtener un pentágono a partir de un DIN A4. Demostración matemática:  Centrándonos en el patrón de doblado que se produce en el paso 5, por construcción se cumple:
Si CE=1 –> AC=PC=√3 –> sen m=CE/CP=1/√3 –> m=35,264º –> m=n=35,264º 2s + n = 180º –> s=72,368º –> s=r=72,368º El ángulo GFC =n+s = 107,632º ; r+w =180º –> w=180º-72,368º = 107,632º El triángulo PJK se cumple: 90º+v+m= 180º –> v=180º -90º - 35,264º = 54,736º El ángulo superior del pentágono tiene el valor de 2v= 2· 54,736º = 109,472º  Después de analizar el procedimiento que propongo, José Ignacio Royo Prieto y Martí Bayer-Raich me han sugerido cuestiones muy interesantes, que paso a comentar.Nos podemos preguntar: ¿Cuál ha de ser la proporción del rectángulo con el que, siguiendo la secuencia de doblado propuesta en este artículo, se llegue a obtener un pentágono regular exacto?. Será el rectángulo procedente del paso (5) cortando por CD y aquí dibujado. en el que se cumple x/y=0,850651, valor muy aproximado a 2/√3 = 0,866025. En este rectángulo se observa que el punto P coincide con el cruce de dos diagonales adyacentes del pentágono y además con el vértice del pentágono inverso cuya base está en el lado del rectángulo contrario al dibujado. El siguiente paso que habría que resolver es demostrar si este rectángulo es construible mediante papiroflexia, cuestión que voy a dejar para otro artículo. Animo a los amantes de la papiroflexia aplicada a las matemáticas a que intenten dar con la solución.
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