9. (Junio 2020) Paseo melancólico, matemático y artístico por un grabado alemán del siglo XVI
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Escrito por Vicente Meavilla Seguí   
Martes 23 de Junio de 2020

1. Introducción

Paseo melancólico, matemático y artístico por un grabado alemán del siglo XVI

Alberto Durero. Melencolia I (1514, 28 x 18,8 cm)
Galería Nacional de Arte de Karlsruhe

El famoso y popular (entre el público matemático) grabado Melancolía I es obra del artista alemán Alberto Durero.

Paseo melancólico, matemático y artístico por un grabado alemán del siglo XVI

Paseo melancólico, matemático y artístico por un grabado alemán del siglo XVI

Alberto Durero (1471 – 1528)

Firma de A. Durero

Junto con los grabados El caballero, la muerte y el diablo y San Jerónimo en su gabinete integra la trilogía Estampas maestras.

Paseo melancólico, matemático y artístico por un grabado alemán del siglo XVI Paseo melancólico, matemático y artístico por un grabado alemán del siglo XVI

Contemplada con ojos matemáticos, Melancolía I propone dos ambientes bien diferenciados: el aritmético y el geométrico.

En el primero (parte superior derecha del grabado), se representa un cuadrado mágico 4 x 4 con los dieciséis primeros números naturales. En el segundo (parte izquierda) puede verse un poliedro peculiar (el sólido de Durero) y una esfera.

Paseo melancólico, matemático y artístico por un grabado alemán del siglo XVI

Paseo melancólico, matemático y artístico por un grabado alemán del siglo XVI

Aritmética

Geometría

Paseo melancólico, matemático y artístico por un grabado alemán del siglo XVI

Boceto de Durero para el poliedro Melancolía

2. El ambiente aritmético

En la parte superior derecha de su Melancolía, debajo de la campana, Durero nos  presenta una distribución numérica, en forma de cuadrado, en la que intervienen los dieciséis primeros números naturales (1, 2, 3, . . ., 14, 15, 16).

16 3 2 13
5 10 11 8
9 6 7 12
4 15 14 1

Notemos que la suma de los cuatro números de cada fila es igual a 34. Lo mismo sucede con la suma de los cuatro números de cada columna y con la suma de los cuatro números de cada diagonal.

Además, los números 15 y 14 de la cuarta fila indican el año en que se estampó el grabado.

Entre los matemáticos, cualquier distribución numérica similar a la de Durero se llama cuadrado mágico normal de orden 4.

En general, se llama cuadrado mágico de orden n a un cuadrado formado por números naturales diferentes tales que los n números de cada fila, columna o diagonal, tienen la misma suma a la que se llama constante mágica [= M] del cuadrado.

El cuadrado mágico de orden n se llama normal si los números que lo forman son los primeros números naturales.

En el cuadrado mágico de Melancolía I, la suma de los números de las casillas grises en los diagramas siguientes también es igual a 34 [= M].

16
3
2
13
5
10
11
8
9
6
7
12
4
15
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1
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1

Estas propiedades se pueden generalizar para cuadrados mágicos 4 x 4 en los siguientes términos:

  • En todo cuadrado mágico de orden 4 la suma de los elementos que ocupan las esquinas es igual a la constante mágica.
  • En todo cuadrado mágico de orden 4 la suma de los elementos que ocupan el cuadrado central de orden 2 es igual a la constante mágica.
  • En todo cuadrado mágico de orden 4 la suma de los elementos que ocupan las esquinas de cualquier rectángulo medio es igual a la constante mágica.

3. El ambiente geométrico

Antes de entrar de lleno en el estudio del sólido de Durero vamos a considerar otro poliedro llamado romboedro. El motivo de esta decisión es que, como se verá, aquél se genera a partir de éste.

Paseo melancólico, matemático y artístico por un grabado alemán del siglo XVI

El romboedro es un hexaedro cuyas seis caras son rombos idénticos. Adviértase que el cubo es un caso especial de romboedro en el que las caras son cuadradas.

Si se corta el romboedro del diagrama anterior por dos planos π y π´ perpendiculares a una de sus diagonales (por ejemplo, la CE) y tales que sus distancias respectivas a C y E sean iguales, entonces el romboedro se descompone en dos pirámides triangulares idénticas y en un poliedro dos de cuyas caras son triángulos equiláteros iguales y las seis restantes son pentágonos idénticos. Este último cuerpo geométrico es, precisamente, el poliedro Melancolía.

Paseo melancólico, matemático y artístico por un grabado alemán del siglo XVI

Poliedro Melancolía

Si el romboedro generador es un cubo, entonces el desarrollo del sólido de Durero toma la apariencia siguiente.

Paseo melancólico, matemático y artístico por un grabado alemán del siglo XVI

4. El ambiente artístico

El poliedro Melancolía y el cuadrado mágico contenido en el grabado Melancolía I están presentes en diversas expresiones artísticas.

Sirvan de ejemplo las siguientes.

Paseo melancólico, matemático y artístico por un grabado alemán del siglo XVI

Hans Erni. Panta rhei (1979, detalle)[1]. Auditorio del Museo Hans Erni (Lucerna)
Cortesía de la Hans Erni Foundation

Paseo melancólico, matemático y artístico por un grabado alemán del siglo XVI

Giuseppe Modica. Mediterraneo-melanconia (2011). Óleo sobre tela,  20 x 25 cm.
Cortesía del autor

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Giuseppe Modica. Melanconia-frammenti (2011). Óleo sobre tabla, tríptico, 150 x 225 cm.
Cortesía del autor

Paseo melancólico, matemático y artístico por un grabado alemán del siglo XVI

John Cornu. Melencolia (2011). 25 x 20 x 16 cm cada escultura. Cortesía del autor

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John Cornu. Melencolia (2011). 163 x 120 x 120 cm
Cortesía del autor

Paseo melancólico, matemático y artístico por un grabado alemán del siglo XVI

Román Jiménez Iranzo y Pedro Soler García. Melancolía (1992)[2]

Paseo melancólico, matemático y artístico por un grabado alemán del siglo XVI

Sello de correos (Angola)

Paseo melancólico, matemático y artístico por un grabado alemán del siglo XVI

Vicente Meavilla. Barcelona[3] (2004)

Paseo melancólico, matemático y artístico por un grabado alemán del siglo XVI

George Widener. Magic Square (2009). 15,5 x 13 x 4 pulgadas
Cortesía de la Andrew Edlin Gallery (New York)

5. A modo de epílogo

Acabamos de dar un breve paseo por un grabado (Melencolia I) creado por el artista alemán Alberto Durero y estampado en 1514.

A lo largo de esta corta excursión hemos pasado revista a los aspectos aritméticos (cuadrado mágico normal de orden cuatro y constante mágica 34), geométricos (poliedro Melancolía)  y artísticos de una obra maestra del arte universal.

Con ello, hablando desde una óptica didáctica, hemos pretendido lanzar el siguiente mensaje a los docentes: cuando diseñéis actividades de enseñanza y aprendizaje procurad poner de manifiesto la relación de las Matemáticas con otras facetas de la cultura humana.

Que así sea.

 

Referencias bibliográficas

  • MEAVILLA SEGUÍ, V. (2004). Figuras imposibles. Geometría para heterodoxos. Granada: Proyecto Sur de Ediciones, S. L
  • MEAVILLA SEGUÍ, V. (2016). El arte de las matemáticas. Córdoba: Editorial Guadalmazán.

Referencias online



[1] A la izquierda de la imagen aparece Erasmo y a la derecha Lutero

[2] La escultura de los arquitectos Jiménez Iranzo y Soler García estaba integrada en una fuente que se ubicó en la Plaza de la Ciudad de Brujas (Valencia). Dicha plaza estuvo en obras y, en la actualidad, desconocemos el paradero del sólido de Durero.

[3] La distribución numérica encerrada en la B de Barcelona no es propiamente un cuadrado mágico de orden 4, dado que los números 10 y 14 se repiten dos veces.
Este cuadrado cuasi-mágico está presente en la fachada de la Pasión de la Sagrada Familia (Barcelona). Notemos que la constante mágica es igual a 33 (edad de Cristo).

 
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