114. (Marzo 2021) Escalas multioctavas
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Escrito por Emmet Crowley y Paco Gómez Martín   
Lunes 15 de Marzo de 2021

Las escalas multi-octavas

La música es un fenómeno altamente estructurado que depende de una serie de principios organizativos. Con estos principios, que posibilitan su existencia, están familiarizados tanto músico como oyentes, si bien a menudo de forma inconsciente. Entre esos principios se cuenta la organización rítmica y melódica, y dentro de esta última destacan las escalas. El concepto de escala está presente en la mayoría de tradiciones musicales. La escala, en su papel estructural, constituye una forma de determinar el contenido tonal de una pieza. Aunque existe una gran variedad de escalas en el mundo, diferentes en muchos sentidos, la mayoría tiene ciertos elementos en común. Como señala Patel [Pa08] en Music, Language and the Brain, las escalas generalmente contienen de 5 a 7 notas por octava, progresan por grados continuos de entre 1 y 3 semitonos y normalmente no son simétricas. Una característica muy extendida, y que suele ser parte de la propia definición de escala en la mayoría de los casos, es que la escala consta de una serie de notas que se repite en cada octava. Esto no es sorprendente teniendo en cuenta que está demostrado que los seres humanos percibimos las notas a distancia de octava como equivalentes, seguramente uno de los pocos universales de la música; véase [BJ11] para más información sobre los universales musicales.

Lo anterior nos lleva a preguntarnos: ¿es la repetición en la octava un requisito indispensable de toda escala? ¿Es posible una escala en que no repitiese en la octava? ¿Tendría sentido musical? Aunque para la mayoría sea un fenómeno seguramente desconocido, la realidad es que sí existen escalas que no se repiten en la octava. De hecho, hay culturas musicales centenarias en las que el contenido tonal es determinado por escalas que no se repiten en la octava o escalas multi-octava. La escala del Znamenny Rospev –el canto litúrgico de la iglesia ortodoxa rusa, probablemente de origen bizantino [Sw40]– es un claro ejemplo. Como se puede observar en la figura 1, consta de una serie de tetracordios mayores consecutivos, repitiendo así en la cuarta, en vez de en la octava. Mientras que la primera octava contiene la nota si natural, la segunda contiene un si bemol y si se prolongara la estructura a lo largo de más octavas, irían apareciendo cada vez más notas diferentes en cada octava. Este tipo de escala es común en la música folclórica rusa, así como de países de la región tales como Albania, Georgia, Azerbaiyán o Bulgaria [N16].

Escalas multioctavas

Figura 1: Construcción de escalas – La escala Znamenny

Las escalas multi-octavas, aunque poco comunes, fueron utilizadas y estudiadas a mediados de la primera mitad del siglo XX por músicos y musicólogos como Nicolás Slonimsky, Joseph Shillinger, Elliot Carter, Alfred Schnittke; también por músicos de jazz como David Liebman, David Baker o Dennis Sandole; así como por compositores actuales como Joel Hoffman, Gao Weijie o Ramón Paús.

Estas escalas suelen estar construidas de una de las siguientes maneras:

  • Escalas simétricas a partir de un intervalo que divide un determinado número de octavas de manera equidistante; véanse [Sl47], [Sh46] y [Ym13].
  • Por una sucesión de tetracordios diferentes; véanse [P61], [Ba90] y [Li91].
  • Por una sucesión de tetracordios similares; véase [P61].
  • Por la combinación de dos escalas de una octava con una misma tónica; véanse [P61][Ym13].

La gran variedad de música que ha brindado este concepto justifica la validez del mismo, pero, por ahora, pocos investigadores se han dedicado a estudiar las características y propiedades estructurales de estas escalas. Por razones evidentes, la escala que más ha sido estudiada en este sentido ha sido probablemente la escala mayor. Estudios de investigadores como Carlton Gamer [Ga67], Clough y Douthett [CD91], Clough y Myerson [CM85], o Carey y Clampitt [CM89], han conseguido desvelar propiedades auténticamente sorprendentes y fascinantes de esta colección tan determinante en la historia de la música. A continuación, vamos a describir brevemente algunas de estas características con la siguiente pregunta en mente: ¿Es posible construir una escala multi-octava que comparta algunas de estas características?

Propiedades de la escala mayor

La escala diatónica, así como la escala pentatónica, son sin duda de las escalas más relevantes en la historia de la música. Han definido y estructurado el contenido tonal en múltiples culturas musicales y épocas. Lo cierto es que están íntimamente relacionadas y sus propiedades han sido estudiadas por numerosos investigadores de lo que se denomina la teoría diatónica. Para un excelente resumen de la teoría diatónica, véase el primer capítulo de la tesis de Carey [Ca98]. Tomemos un momento para pensar en el teclado del piano, que consta de 7 teclas blancas y 5 teclas negras por octava. Las teclas blancas corresponden a la escala mayor (en concreto a la escala de Do mayor) y las teclas negras corresponden a la escala pentatónica (en concreto a la escala pentatónica de Sol bemol mayor). Por lo que, si tomamos las doce notas de la colección cromática y omitimos las siete notas de la escala mayor, quedan las cinco notas de la escala pentatónica. Muchos investigadores se refieren a este hecho como el complemento de la escala mayor. Es llamativo que la cardinalidad de estas escalas –esto es, el número de notas de la escala–, cinco y siete, sean primos relativos con 12, el número de semitonos en que se divide la octava (primos relativos significa que no tienen divisores comunes). Con estas cardinalidades es imposible la formación de escalas simétricas1. Además, ambas escalas comparten el mismo intervalo generador, la quinta, ya que sus notas pueden ser obtenidas recorriendo el ciclo de quintas siete y cinco pasos, respectivamente. Como muestra la figura 2, si recorremos siete pasos desde la nota fa, obtenemos las notas de la escala de do mayor, mientras que, si recorremos solo cinco, obtenemos las notas de la pentatónica de fa mayor. Si repitiéramos esto desde cada una de las 12 notas en el ciclo de quintas, obtendríamos los 12 tonos de la escala mayor y pentatónica, respectivamente.

Escalas multioctavas

Figura 2: Intervalo generador

En las siguientes secciones estudiaremos algunas propiedades estructurales de la escala diatónica.

Escalas de regularidad máxima o escalas euclídeas

Para definir este tipo de escalas, supondremos que tenemos una colección de notas, llamada el universo cromático o la colección cromática, de la cual elegiremos un subconjunto de notas que formará la escala. En las escalas occidentales, el universo cromático suele estar formado por 12 semitonos y el número de notas de las escalas más comunes suele ser 5 o 7. La propiedad de regularidad máxima fue definida por Clough y Douthett [CD91] y consiste en exigir que las notas de la escala estén distribuidas de la manera más regular posible entre las notas del universo cromático. Una analogía común para explicar este fenómeno es el de una mesa redonda en la que hay 12 sillas distribuidas de manera uniforme, fijadas de manera que no se pueden cambiar, y hay que distribuir a los invitados de la manera más regular posible. En el caso de seis invitados, solo hay una solución correcta, como muestra la figura 3. En el caso de, por ejemplo, siete invitados, como en la escala mayor, la solución no es tan evidente. No es posible distribuir siete en doce de una manera totalmente uniforme, por lo que hay que buscar la manera más uniforme posible o de máxima regularidad (maximally even). Las escalas con regularidad máxima se llamarán ME (por sus siglas en inglés).

Escalas multioctavas

Figura 3: Distribución uniforme de 6 en 12

En lo que sigue, vamos a referirnos al artículo de esta misma columna de marzo del 18 Ritmos euclídeos y ritmos equilibrados [Go18]. Ilustraremos el proceso con un ejemplo de escalas. Supongamos que tenemos 17 semitonos y queremos distribuir de forma regular 7 notas entre los 17 semitonos. Estas 7 notas formarán la escala heptatónica en un universo cromático de 17 semitonos. Sigamos los pasos dados en la figura 4. Primero, alineamos las notas de la escala y añadimos notas que no son de la escala hasta completar las 17 notas totales. Esto se representa por siete unos (la escala) y diez ceros (el resto); véase la figura 4-paso (1). A continuación, formamos grupos de 7, los cuales corresponden a efectuar la división de 17 entre 7; obtenemos, pues, 7 grupos formados por [1 0] (en columnas en el paso (2) de la figura 4). Sobran tres ceros, lo cual indica que en el paso siguiente formaremos grupos de 3. Tras formar el primer grupo —véase el paso (3) de la figura 4— nos quedamos sin ceros. Continuamos agrupando de 3 en 3 tomando los grupos de la otra caja, en la que quedan 4 columnas (figura 4-paso (4)). Procedemos así que queden uno o cero grupos; de nuevo, esto es equivalente a efectuar la división de 7 entre 3. En nuestro caso, queda un solo grupo y hemos terminado (paso (5)). Finalmente, la escala se obtiene leyendo por columnas y de izquierda a derecha la agrupación obtenida (paso (6)).

Escalas multioctavas

Figura 4: Escalas regulares

Tras este proceso hemos obtenido una escala microtonal de 7 notas en un universo cromático de 17 notas.

Para más información sobre distribuciones regulares en ritmos y escalas, véanse [DGMM+09], [GTT09a] y [GTT09b].

Por último, querríamos incluir la observación de que, si una escala es de regularidad máxima (ME), entonces su complementario también lo es. El complementario de una escala se construye intercambiando notas de la escala por notas que no lo son y viceversa. En términos de la notación de ceros y unos de arriba, el complementario consiste en intercambiar ceros y unos. La idea que hay detrás de este hecho es que toda distribución regular de notas en un universo cromático implica también una distribución regular de las notas que no están en la escala.

Las escalas profundas o de multiplicidad única

Esta propiedad fue definida por Carlton Gamer [Ga67] en 1967. Las escalas con la propiedad de profundidad (deep scale property) muestran una propiedad denominada multiplicidad única de distancias (unique multiplicity property). Esta propiedad significa que cada intervalo se repite un número único de veces, donde se cuentan todos los intervalos posibles entre las notas de la escala. La escala mayor contiene, por ejemplo, dos intervalos de segunda menor (o séptima mayor), cinco intervalos de segunda mayor (o séptima menor), cuatro intervalos de tercera menor (o sexta mayor), tres intervalos de tercera mayor (o sexta menor), seis intervalos de cuarta justa (o quinta justa) y un intervalo de cuarta aumentada (o quinta disminuida). Esta relación se refleja en las notas en común en las diferentes transposiciones de la escala; dos escalas mayores a distancia de semitono tendrán dos notas en común, dos escalas a distancia de tono tendrán cinco notas en común, etc.

Para que una escala tenga la propiedad de la profundidad tiene que generarse mediante un intervalo primo relativo con el número de semitonos de la colección cromática completa. Además, el número de notas de la escala corresponderá a la mitad o la mitad más uno de la colección cromática. Si el número de notas es d y la colección cromática completa es n, el número de notas de una escala profunda será d = [n/2] o d = [n/2] + 1. En el caso de la escala mayor, su intervalo generador es la quinta– que abarca siete semitonos, siendo así relativamente primo a la colección cromática de 12– y su número de notas sería 7= 12/2 + 1.

Las escalas bien formadas

Esta propiedad la definieron Carey y Clampitt [CC89] en un conocido artículo de 1989. En esencia, implica que la simetría de su intervalo generador se mantiene al reordenar las notas dentro de una octava por grados conjuntos para formar la escala. Esto se entiende mejor de una manera gráfica. La figura 5 muestra las notas de la escala de do mayor en un ciclo de quintas. A la izquierda, las notas han sido unidas siguiendo el ciclo de quintas; a la derecha por grados conjuntos (do-re-mi-fa-sol-la-si-do). Como se puede observar, ambas opciones resultan en polígonos con simetría rotacional.

Escalas multioctavas

Figura 5: Simetría en la escala mayor (figura tomada de [CC89])

También es el caso de la escala pentatónica, como podemos observar en la figura 6:

Escalas multioctavas

Figura 6: Simetría en la escala pentatónica (figura tomada de [CC89])

Pero no es así si recorremos, por ejemplo, seis pasos en el ciclo de quintas para formar una escala hexátona, como en la figura 7:

Escalas multioctavas

Figura 7: Ejemplo de escala en la que simetría del intervalo generador no se mantiene en la escala (figura tomada de [CC89])

En busca de escalas multi-octava con buenas propiedades estructurales

Posiblemente, en parte, gracias a las sorprendentes propiedades estructurales descritas en la sección anterior, la colección diatónica es sin lugar a duda la más utilizada de las 462 posibilidades teóricas de escalas heptatónicas de una octava. La pregunta que nos hacemos en este artículo es bastante natural: ¿es posible encontrar las mismas propiedades en una escala multi-octava?

Las propiedades de escala profunda y de ser bien formada parecen, a priori, imposibles de aplicar en un contexto de escala multi-octava. En primer lugar, si las notas de la escala deben poder obtenerse por un intervalo generador ¿cómo se ordenan luego para formar una escala? En el caso de una escala de una octava la solución es evidente (se ordenan por grado conjunto de grave a agudo dentro de una octava), pero, al abarcar la escala más octavas, ¿cómo se disponen las notas a lo largo del registro completo sino es de manera arbitraria? Este problema se amplifica cuando consideramos que una escala multi-octava puede contener potencialmente los 12 tonos a lo largo de su registro total. ¿De qué nos sirve el concepto de intervalo generador para obtener las notas de la escala si finalmente las vamos a incluir todas? No obstante, en esta sección nos vamos a armar de valor y embarcar en la búsqueda de una escala multi-octava que muestre las tres propiedades descritas anteriormente en relación a la escala mayor.

Escalas de regularidad máxima

La cantidad de escalas multi-octava posibles es prácticamente infinita, por lo que es importante delimitar nuestra búsqueda. Nos restringiremos a las escalas de dos octavas. Vamos a empezar por la propiedad de regularidad máxima, que es relativamente sencilla de aplicar a este tipo de escalas. Cualquier número de notas d pueden ser distribuidas de la manera más uniforme a lo largo de un rango total de c semitonos, en el caso de dos octavas, 24. Evidentemente, no todas las opciones tienen sentido como escala. Si elegimos un número demasiado grande para d, tendremos que agrupar las notas demasiado para lo que solemos entender como escala; por ejemplo, si d = 23, la escala será prácticamente cromática. Por lo contrario, si d es un número demasiado pequeño, los espacios entre las notas serán demasiado grandes para funcionar como escala; imaginemos, por ejemplo, las posibles agrupaciones de d = 2. Por esta razón, vamos a imponer tres restricciones en cuanto a la sucesión de intervalos dentro de las escalas, comunes a la mayoría de escalas utilizadas en la música occidental2 (véanse [Ty04] y [Pr78]):

  1. No consideraremos escalas en las que existan intervalos de dos semitonos consecutivos.
  2. No consideraremos escalas en las que existan intervalos mayores a tres semitonos.
  3. No consideraremos escalas en las que existen dos intervalos de tres semitonos consecutivos.

Con estas tres restricciones garantizaremos que nuestras escalas tengan una construcción interválica equivalente a la mayoría de las escalas que utilizamos. En dos octavas, consideraremos, por lo tanto, escalas en las que d sea un número entre 10 y 15. En d ≤ 9 e inferior no podremos cumplir con las condiciones b) y/o c). Si d ≥ 17, no podremos cumplir con la condición a). Considerando d =16 solo hay dos opciones que cumplen las tres condiciones, siendo la secuencia interválica de estas, respectivamente:

1-2-1-2-1-2-1-2-1-2-1-2-1-2-1-2

2-1-2-1-2-1-2-1-2-1-2-1-2-1-2-1

Estas dos secuencias son rotaciones de la misma escala y corresponden al segundo modo de transposición limitada de Messiaen [Me44], también conocido como escala disminuida u octotónica. Esta escala repite en la octava, por lo que no nos interesa para nuestros propósitos.

Con lo cual, nos quedan seis opciones para formar escalas de dos octavas bien formadas, que detallaremos a continuación:

ME d = 10

Secuencia interválica: 3-2-2-3-2-3-2-2-3-2

Escalas multioctavas

ME d = 11

Secuencia interválica: 3-2-2-2-2-2-3-2-2-2-2

Escalas multioctavas

ME d = 12

Secuencia interválica: 2-2-2-2-2-2-2-2-2-2-2-2

Escalas multioctavas

ME d =13

Secuencia interválica: 2-1-2-2-2-2-2-2-1-2-2-2-2

Escalas multioctavas

ME d = 14

Secuencia interválica: 2-2-1-2-2-2-1-2-2-1-2-2-2-1

Escalas multioctavas

ME d = 15

Secuencia interválica: 2-1-2-2-1-2-1-2-2-1-2-1-2-2-1

Escalas multioctavas

De estas descartaremos, naturalmente, d = 10 (escala pentatónica en dos octavas), d = 12 (escala simétrica de tonos enteros en dos octavas) y d =14 (escala mayor en dos octavas) al ser en realidad escalas que repiten a la octava. De las escalas bien formadas que quedan, d = 15 tiene máximo común divisor (mcd a partir de ahora) mcd(24, 15)=3. Esto hace que la escala presente simetrías (para más información sobre por qué ocurre esto, véase [GTT09a]). Al ser el mcd(24, 15)=3, la escala divide el rango de dos octavas en tres partes iguales, siendo cada uno de los tres tramos de escala interválicamente idénticos. Nicolas Slonimsky recoge una gran cantidad de escalas de este tipo en su Thesaurus of scales and melodic patterns [Sl47]. La escala regular con d = 15 corresponde a la escala nº 707 del Thesaurus. Las escalas regulares con d = 11 y d =13 cumplen que mcd(24, d)=1 y parecen estar relacionadas, ya que d =13 contiene la totalidad de d =9, donde la diferencia entre ambas escalas es únicamente dos notas.

Escalas profundas y bien formadas

Para poder empezar a hablar de las siguientes dos propiedades, es necesario solucionar el problema del intervalo generador. ¿Cómo se disponen las notas generadas por un intervalo generador i a lo largo del registro completo c si no se hace de manera arbitraria? Si mi escala puede incluir potencialmente las 12 notas ¿qué sentido tiene un intervalo generador? La solución puede ser más sencilla de lo que parece. El pensar un rango modular de 12 notas es lógico, ya que, como indicábamos antes, los seres humanos percibimos notas a distancia de octava como equivalentes (dos notas se piensan equivalentes si están a una distancia de una octava). Pensar en las clases de equivalencias de las alturas (pitch-class equivalence) de esta manera tiene sentido incluso en escalas multi-octava, puesto que aporta información valiosa sobre la sonoridad de las mismas; cuantas más notas de la colección cromática contenga, más densa será su sonoridad, por ejemplo. Pero, por otro lado, las escalas que estamos estudiando transcurren en un rango modular de 24 semitonos, no de 12. Entonces, para poder entender mejor sus propiedades estructurales ¿no sería más revelador pensar en una equivalencia dentro de módulo 24 en vez de módulo 12? De esta manera do1 sería equivalente a do3, do2 equivalente a do4, etc.  La figura 8 muestra un ciclo de 24 semitonos que abarca 2 octavas.

Escalas multioctavas

Figura 8: Ciclo de 24 semitonos

Ahora vamos a comenzar nuestra búsqueda de una escala de dos octavas con la propiedad de la profundidad. Trasladando el caso de la escala mayor, una escala profunda cumple , a dos octavas, estaríamos buscando una escala de 13 notas. Ahora nos falta un intervalo generador i, relativamente primo con el rango cromático n, del que obtener las notas de nuestra escala. Como podemos observar en la escala mayor, el número de semitonos que abarca el intervalo generador i corresponde al número de notas d de la escala, es decir i = d. Por ejemplo, la escala mayor contiene siete notas y el intervalo generador de la escala mayor, la 5ª, abarca siete semitonos. El que d = i sea una propiedad de la colección diatónica fue demostrado definitivamente por Clough y Dhoutett [CD91]. Siguiendo esta lógica, nuestro intervalo generador en dos octavas debería abarcar 13 semitonos. La figura 9 muestra un ciclo de 13 semitonos dentro de un rango modular de 24 semitonos; al ser ambos números i y n relativamente primos, esto es, mcd(i,n)=1, el ciclo abarca los 24 tonos.

Escalas multioctavas

Figura 9: Ciclo de 13 semitonos dentro de un rango modular de 24 semitonos

Ahora podemos reparar en un hecho asombroso. Si recorremos 13 pasos en el sentido de las agujas del reloj desde la nota Eb1, obtenemos la colección de la escala regular con d =13; si recorremos 11 pasos, obtenemos la colección de la escala regular d =11. Tenemos dos escalas regulares con mcd(d,n)=1, que se diferencian en tan solo dos notas y tienen un mismo intervalo generador. ¿Nos resulta familiar? Efectivamente, guardan la misma relación entre sí que la pentatónica y la escala mayor. De hecho, la escala regular d =11 es el complementario de la escala regular d =13. Si omitimos las 13 notas de la escala d =13 de la colección completa n, nos quedamos con las 11 notas de la escala d =11.

Es más, si nos fijamos en el número total de intervalos de la escala regular d =13, veremos que la escala es profunda, puesto que contiene cada tipo de intervalo un número limitado de veces. Para observar esto es necesario considerar los intervalos en un rango modular de 24 semitonos como en el cuadro 1. Si recorremos un paso en un sentido, es necesario recorrer 23 en el sentido contrario para llegar al mismo punto, no 11 como en un rango modular de 12. Por lo que las equivalencias interválicas, en vez de ser 1-11, 2-10, 3-9, 4-8, 5-7, 6-6, como de costumbre en un rango modular de 12, serán 1-23, 2-22, 3-21, etc.

La siguiente tabla muestra el vector interválico (las ocurrencias de las distancias interválicas) de la escala regular de 13 notas, evidenciando que se trata de una escala profunda.

Vector interválico módulo 24 de la escala regular con d = 13

Clase de intervalo

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Número de ocurrencias

2

11

4

9

6

7

8

5

10

3

12

1

Cuadro 1: Vector interválico módulo 24

Considerar el vector interválico en un rango modular de 24 semitonos es esencial para poder apreciar esta propiedad, ya que en el vector interválico en un rango modular de 12 semitonos no se aprecia la propiedad de multiplicidad única. En cambio, el vector interválico en un rango modular de 12 semitonos sí es útil para evidenciar el alto contenido cromático de esta escala (cuadro 2).

Vector interválico módulo 12 de la escala regular con d = 13

Clase de intervalo

1

2

3

4

5

6

Número de ocurrencias

14

14

14

14

14

7

Cuadro 2: Vector interválico módulo 12

Ahora únicamente queda por comprobar que esta escala está bien formada. Para ello, comprobamos si la simetría del intervalo generador (como en la figura 7) se mantiene al agrupar las notas por grados conjuntos para formar la escala. Como muestra la Figura10, definitivamente es el caso:

Escalas multioctavas

Figura 10: Simetría en las escalas regulares con d =13 y d =11

Conclusión

Aunque no es un hecho conocido y pueda parecer sorprendente, gracias a una idea tan sencilla como considerar las propiedades estructurales de una escala de dos octavas dentro de un rango modular de 24 semitonos, es posible encontrar escalas que comparten propiedades importantes con la escala diatónica y su complementario, la escala pentatónica. En el caso de escalas de dos octavas, estas son la escala regular d = 13 y su complementario, la escala regular con d = 11. Un dato a considerar es que la escala regular con d = 13 contiene las 12 notas de la colección cromática, lo cual permitiría a un compositor crear música en un contexto cromático que a la vez muestra propiedades importantes en común con la escala diatónica. Será interesante descubrir cómo este dato tan contundente a nivel teórico se traduce en la práctica musical.

 

Bibliografía

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Notas:

[1] Es cierto que el número once también muestra esta característica, pero en vista de que contiene prácticamente la colección cromática completa, no es una opción muy viable para una escala de una octava.

[2] Este hecho ha sido observado por investigadores como Tymoczco o Pressing.

 
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