30. (Noviembre 2011) Medidas matemáticas de síncopa (II)
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Escrito por Paco Gómez, Andrew Melvin, David Rappaport y Godfried Toussaint   
Miércoles 02 de Noviembre de 2011

Este artículo es la segunda parte de la serie sobre medidas matemáticas de síncopa. Esta serie proviene del trabajo Mathematical measures of syncopation, presentado en el congreso BRIDGES: Mathematical Connections in Art, Music, and Science de 2005. Los autores son Andrew Melvin (Buckinghamshire Music Service, Inglaterra), David Rappaport (School of Computing, Queen's University), Godfried Toussaint (School of Computer Science, McGill University) y el autor de esta columna.

1. Medidas de síncopa

Desde el punto de vista matemático, la música se ha formalizado y estudiado mucho, pero parece que han despertado más interés los fenómenos relacionados con la altura del sonido, tales como escalas, acordes y melodía  [17121615239], que los relacionados con fenómenos rítmicos. Varios autores han puesto remedio a esta situación con el estudio de fascinantes cuestiones abiertas sobre el ritmo (véase, por ejemplo, [1813112196202122234]). Muy pocos autores, sin embargo, han abordado los muchos problemas que surgen alrededor de la síncopa (véase [11148]). Por ejemplo, dados dos ritmos con la misma métrica, ¿cuál es más sincopado? ¿Existe una medida que pueda ordenar un conjunto de ritmos según su grado de síncopa? O ¿existe una medida matemática de síncopa que coincida con la medida humana de la síncopa? En [11], dentro del contexto de una teoría sobre el ritmo y la métrica, Johnson-Laird estudia la síncopa desde un punto de vista cualitativo, pero no describe una medida de síncopa para ritmos. La síncopa se ha estudiado en el contexto de los modelos de inducción de pulsos [8]. En el capítulo final de [12], Keith considera el problema de definir una medida matemática de síncopa y da una definición basada en combinatoria. Asimismo, en [23] se presenta una medida de preferencia para música africana del área subsahariana, la llamada medida de contratiempo, que se basa en teoría de grupos. La medida de contratiempo no solo parece ser una buena medida de preferencia, sino que también puede servir como medida de síncopa. El índice de asimetría rítmica [156] puede considerarse también como una aproximación a un medida de síncopa. Se basa en la partición de ritmos con ciertas propiedades. En este trabajo definimos una nueva medida de síncopa que no está basada ni en combinatoria ni en teoría de grupos, sino en el concepto de duración de distancia entre notas. En las siguientes secciones revisaremos medidas de síncopa definidas por otros autores e introduciremos la medida de la distancia ponderada de nota a parte.

1.1. Índice de asimetría rítmica

Simha Arom [1] descubrió que los pigmeos aka usan ritmos que tienen lo que él llama la propiedad de asimetría rítmica [65]. Un ritmo con un tramo temporal consistente en un número par de unidades de tiempo tiene la propiedad de asimetría rítmica si no hay dos notas que partan el ciclo (el tramo temporal entero) en dos subintervalos de igual longitud. Tal partición se llama un bipartición igual. Nótese que la propiedad de asimetría rítmica se define solo para tramos temporales de longitud par. Para tramos de longitud impar todos los ritmos tiene esa propiedad, lo que desprovee a la medida de todo interés. Aunque limitada, esta propiedad es un primer paso hacia una definición matemática de síncopa. Desafortunadamente, la capacidad de esta propiedad de discriminar ritmos según la síncopa es su mayor limitación. Considérese, por ejemplo, las diez ritmos de clave de campana de la música del África del Oeste y del Sur; estas claves están formadas por siete notas en un tramo temporal de doce unidades, con cinco intervalos de longitud dos y dos intervalos de longitud uno (véase [21] para más detalles). Los diez ritmos y sus vectores de intervalos son:

Ritmo Vector de intervalos Partitura
Soli (2 2 2 2 1 2 1) PIC
Tambú (2 2 2 1 2 2 1) PIC
Bembé (2 2 1 2 2 2 1) PIC
Bembé-2 (1 2 2 1 2 2 2) PIC
Yoruba (2 2 1 2 2 1 2) PIC
Tonada (2 1 2 1 2 2 2) PIC
Asaadua (2 2 2 1 2 1 2) PIC
Sorsonet (1 1 2 2 2 2 2) PIC
Bemba (2 1 2 2 2 1 2) PIC
Ashanti (2 1 2 2 1 2 2) PIC

Figura 1: Vector de intervalos para algunas claves africanas para campanas.

Estos diez ritmos se obtienen a partir de rotaciones adecuadas de tres patrones canónicos (de nuevo, véase [21]) . Estos ritmos pertenecen a un conjunto más general de ritmos, que en total son veintiuno. La propiedad de asimetría no aparece en ninguno de ellos. Aún más, entre los diez ritmos usados aquí, algunos son más sincopados que otros, pero la propiedad de asimetría rítmica no capta esa diferencia.

Toussaint [21] propuso una generalización de esta propiedad que tenía más capacidad de discriminación. Originalmente, Simha Arom [1] definió la propiedad de asimetría rítmica de una manera estrictamente dicotómica, blanco o negro, todo o nada, esto es, el ritmo o tiene la propiedad o no la tiene. Este concepto se puede generalizar a una variable que tome más valores y que mida la cantidad de asimetría rítmica que un ritmo posee. Esta variable de asimetría rítmica se define como el número de biparticiones iguales que admite un ritmo. Cuantas menos biparticiones un ritmo admita, más asimetría rítmica tendrá.

1.2. La medida de contratiempo

Consideremos en primer lugar los ritmos definidos sobre un tramo temporal de 12 unidades de tiempo. Un intervalo de 12 unidades se puede dividir de manera exacta, sin resto, por cuatro números mayores estrictamente que 1 y menores que 12. Estos números son 6, 4, 3 y 2. Dividir el círculo de 12 unidades por estos números da lugar a un segmento, un triángulo, un cuadrado y un hexágono, respectivamente. Normalmente, la música africana incorpora un tambor u otro instrumento de percusión que toca al menos una porción de estos patrones. A veces la música se acompaña con ritmos de palmas que usan alguno de estos patrones. Por ejemplo, la musica funeral neporo del noroeste de Ghana emplea el triángulo, el cuadrado y el hexágono en sus ritmos de palmas [24]. En cualquier caso, el ritmo tiene un pulso que podemos asociar con la posición “cero” en el ciclo. En la música polirrítmica estos cuatro subpatrones forman los posibles patrones métricos. Dos de estos patrones, el segmento y el cuadrado, son binarios y dos, el triángulo y el hexágono, ternarios. Por tanto, las notas que se tocan en otras posiciones están en posiciones de contratiempo en un sentido fuertemente polirrítmico. Hay cuatro posiciones que no aparecen en ninguno de estos cuatro patrones. Esas posiciones son 1, 5, 7 y 11. Las notas en esas posiciones se llamarán notas a contratiempo. Un ritmo que contenga al menos una nota en una de esas posiciones se dirá que tiene la propiedad del contratiempo. La medida de contratiempo es el número de notas a contratiempo que contiene. Estas notas a contratiempo (1, 5, 7, y 11) tienen una interpretación en términos de teoría de grupos. Las 12 posiciones para las 12 posibles notas forman un grupo cíclico de orden 12 designado por C12. Los valores de las posiciones de las notas a contratiempo corresponden a los tamaños de los intervalos que tienen la propiedad de que, si se recorre el ciclo empezando en “cero” en sentido horario en saltos de tamaño igual al tamaño de uno de estos intervalos, entonces en algún momento se vuelve al punto de inicio tras haber visitado todas las 12 posiciones. Recíprocamente, si las longitudes de los saltos se toman del conjunto complementario {2,3,4,6,8,9,10}, entonces el punto de inicio se alcanzará sin haber visitado las 12 posiciones del ciclo. Por esta razón, los elementos 1, 5, 7 y 11 se llaman generadores del grupo C12.

Los números que indican la posición de las notas a contratiempo en el ciclo también tienen una interpretación desde el punto de vista de la teoría de números. Consideremos un tramo temporal de n unidades. Las posiciones de las notas a contratiempo se conocen como coprimos1 de n (véase [7]) . Los coprimos de n son los enteros positivos menores que n que son primos relativos con n. Dos números son primos relativos si el único divisor que tienen en común es 1. La función indicatriz de Euler2, designada por φ(n), es el número de coprimos de n, y es por tanto el valor máximo que la medida de contratiempo puede tomar para un ritmo con un tramo temporal de n unidades.

Volviendo a los diez ritmos de campanas de África del Oeste en 12/8 que introdujimos antes, la medida de contratiempo no solo discrimina mejor que el índice de asimetría rítmica en términos de síncopa, sino que muestra que un valor más alto de la medida de contratiempo tiene una correlación más alta con la aceptación popular del ritmo. El ritmo del bembé es el patrón que se usa más frecuentemente. Entre estos diez ritmos, el valor más alto para la medida de contratiempo es 3 y solo el bembé alcanza dicho valor.

Ya que cada grupo cíclico Cn tiene un conjunto de generadores, la medida de contratiempo descrita se puede generalizar a ritmos definidos sobre tramos temporales de n unidades, donde n puede tomar otros valores distintos a 12. Aunque la medida funciona mejor con valores pares de n, tiene alguna aplicabilidad para valores impares de n. Por otra parte, si n es un número primo p, entonces todos los números entre 1 y p - 1 son coprimos con p. En tal caso la medida es infructuosa, ya que todas las posiciones entre 1 y p - 1 serían notas a contratiempo bajo la presente definición de contratiempo.

1.3. La medida de Keith

En [12] Keith examina varios fenómenos de naturaleza rítmica y lleva a cabo un análisis matemático de ellos. Como ejemplo ilustrativo, Keith aborda el problema de medir el grado de síncopa de un ritmo dado. Su definición se apoya en la distinción de tres eventos: retardo, cuando una nota empieza en parte fuerte3 y termina fuera de ella; anticipación, cuando la nota empieza fuera de parte y termina sobre parte; y síncopa, que se concibe como una combinación de los dos eventos previos (véase la figura 2; de izquierda a derecha: retardo, anticipación y síncopa).

PIC

Figura 2: Retardo, anticipación y síncopa.

De manera algo arbitraria, Keith asigna valores de 1 al retardo, de 2 a la anticipación y de 3 a la síncopa. Esta asignación parece, por lo menos, subjetiva y el propio Keith reconoce que “el problema de decidir la “fuerza” rítmica relativa del retardo, la anticipación y la síncopa es un interesante problema filosófico”.

La medida de Keith se limita a métricas compuesta de n pulsos, donde n es una potencia de 2. Vamos a dar su definición detallada con el fin de entender esta limitación. Su idea principal es que, dadoa un evento musical (una nota), para saber si está en parte fuerte o no hay que compararla con una plantilla métrica, que indica las partes fuertes y débiles según el tamaño (duraciones) del evento. Por ejemplo, si la potencia de 2 es 3, entonces habrá 23 = 8 corcheas y las plantillas de partes fuertes y débiles se ilustra en la tabla abajo (F es para la parte fuerte y D para la débil).









F D D D D D D D








F D D D F D D D








F D F D F D F D








F F F F F F F F








Figura 3: Diferentes niveles métricos en la definición de síncopa de Keith.

Un evento de tamaño 8 se compara con la primera plantilla (léase de arriba abajo). Los eventos de tamaño entre 4 y 7 se comparan con la segunda plantilla; los que van de 2 a 3, con la tercera plantilla; y finalmente, las corcheas, de tamaño 1, con la última plantilla, que solo está formada por partes fuertes.

Podemos representar un ritmo de n notas por una sucesión circular (s0,s1,…,sn-1). Usaremos también la sucesión de intervalos entre notas (δ01,…,δn-1), donde δi = si+1 - si, para 0 ≤ i < n. El número δn es igual a L - sn-1, siendo L la longitud del ritmo completo. La localización de las partes fuertes es una función de la longitud del intervalo entre notas consecutivas. Una hipótesis implícita es que la métrica es siempre binaria y que las partes fuertes ocurren en algún múltiplo de una potencia de dos. Para cualquier nota dada si, la partes fuertes adyacentes se pueden describir como j2k y (j + 1)2k, donde k es el entero tal que 2k ≤ δi < 2k+1, y j es el entero tal que j2k ≤ si < (j + 1)2k.

Ahora expresamos este método más precisamente mediante un algoritmo (figura 4).

PIC
Figura 4: Algoritmo para la medida de síncopa de Keith.

Hagamos un ejemplo que ilustre cómo se calcula la medida de síncopa de Keith para el ritmo de la bossa-nova; véase la figura 5. La bossa-nova tiene la sucesión de notas (0,3,6,10,13,16) y la sucesión de intervalos entre notas (3,3,4,3,3). Nótese que la sucesión que damos para la bossa-nova tiene una nota de más para enfatizar el carácter circular de la sucesión. La siguiente tabla muestra los cálculos para obtener 9, el valor de la medida de síncopa, que está dado por la suma de los pesos wi.

PIC


0 1 2 3 4 5
si 0 3 6 10 13 16
δi 3 3 4 3 3
wi 1 2 3 1 2
j × p 0 × 2 2 × 2 1 × 4 5 × 2 6 × 2

Figura 5: Anotación de los cálculos de la medida de síncopa de Keith para el ritmo de la bossa-nova.

1.4. La medida ponderada de nota a parte

En la definición de nuestra medida centramos nuestra atención en los ataques de las notas entre partes fuertes en lugar de la estructura métrica, como hace Keith, o en el número de generadores de Cn, como ocurre en el caso de la medida de contratiempo. Nuestra definición se basa en el concepto de distancia y es más flexible en cuanto que nos permite cuantificar el nivel de síncopa de un amplio abanico de ritmos. Por ejemplo, consideremos los ritmos que se muestran en la figura 6; ni la medida de Keith ni la medida de contratiempo son adecuadas para medir ritmos de esta complejidad.

PIC
Figura 6: Ritmos que no pueden medirse con la medida de contratiempo o con la medida de Keith.

Sin embargo, con la medida ponderada de nota a parte sí es posible medirlo; de hecho, tiene valor igual a 41∕8.

Otro ejemplo más radical se puede encontrar en la obra Aïs, de Iannis Xenakis (figura 7).

PIC
Figura 7: Ritmos complejos de medir en la obra Aïs, de Iannis Xenakis.

La distancia ponderada de nota a parte (a partir de ahora DPNP) se define como sigue. En primer lugar, supondremos que cada nota termina donde empieza la siguiente. Sean pi,pi+1 dos partes fuertes de la métrica. Sea sj una nota que empieza después o sobre la parte fuerte pi pero antes de la parte fuerte pi+1; primero definimos T(sj) = mín{d(sj,pi),d(sj,pi+1)}, donde d es la distancia entre notas en términos de duraciones. Aquí la distancia entre dos partes fuertes se toma como la unidad, y, por tanto, la distancia d es siempre una fracción. Por ejemplo, las negras en un compás de 4/4 son partes fuertes, y, si las notas de la figura 8 se refieren a la parte fuerte más cercana:

PIC
Figura 8: Síncopa medida con la DPNP measure.

entonces, las distancias respectivas T(sj) son 1 2,1 4,1 4,1 3,1 3,1 5.

En la medida de síncopa de Keith la parte fuerte más cercana a una nota estaba implícita. Para permitir una mayor variedad de ritmo la medida DPNP exige especificar cuales son las partes fuertes. En el ejemplo anterior las partes fuertes están dadas por el compás. Así, en el ejemplo de la figura 6 las partes fuertes se encuentran a intervalos de negra. La medida DPNP está especialmente diseñada para entradas en notación estándar, ya que las partes fuertes se deducen del compás.

La medida DPNP D(sj) de una nota sj se define entonces como sigue: 0, si sj = pi; T1(x)-, si la nota sj ≠ pi termina antes o en pi+1; -2-- T(sj), si la nota sj ≠ pi termina después de pi+1 pero antes de o en pi+2; y -1-- T(sj), si la nota sj ≠ pi termina después de pi+2. Sea n el número de notas de un ritmo. Entonces la medida DPNP de un ritmo es la suma D(sj), para todas las notas sj, dividida por n. La tabla de la figura 11 proporciona una lista de los valores DPNP para varios ritmos.

Usaremos la notación que introdujimos antes para representar un ritmo como una sucesión circular, junto con una sucesión de intervalos entre notas y las partes fuertes dadas por el compás para escribir el algoritmo de la medida DPNP. Consideremos una nota si. Esta nota puede empezar en una parte fuerte pj o puede caer entre dos partes fuertes consecutivas. Definimos di como

         ((         )  (          ))             -si --pj-    pj+1---si di = m´in    pj+1 - pj ,  pj+1 - pj   .

Ahora asignamos un peso wi a una nota si como sigue:

si si = pj
entonces wi ← 0
si pj < si < si+1 ≤ pj+1
entonces wi ← 1∕di
si pj < si < pj+1 < si+1 < pj+2
entonces wi ← 2∕di
si pj < si < pj+1 < pj+2 ≤ si+1
entonces wi ← 1∕di

Nótese que asignamos el mayor valor de síncopa a una nota si en el caso en que si y si+1 caigan entre dos partes fuertes consecutivas.

Detallamos a continuación el algoritmo para calcular la medida DPNP.

PIC
Figura 9: Algoritmo para la medida DPNP.

En la figura 10 hemos registrado los cálculos para determinar la medida DPNP para el ritmo de la bossa-nova. Nótese que el compás implica que las partes fuertes son las blancas. Esto se traduce en un vector de partes fuertes igual a (0,4,8,12,16).

PIC


0 1 2 3 4 5
si 0 3 6 10 13 16
di 0 1/4 1/2 1/2 1/4
wi 0 2 × 4 2 × 2 2 × 2 1 × 4

Figura 10: Anotación de los cálculos de la medida DPNP para el ritmo de bossa-nova.

Nótese que si n no se introduce en la definición de DPNP, entonces la medida crece según lo hace el número de notas del ritmo. Eso daría como resultado una medida incorrecta. En la tabla 11 hay una columna que muestra la suma de las distancias D(x). Se puede apreciar cómo se comporta tal suma en términos de n y la influencia del número de notas en la medida.

Rhythm Musical Scores xD(x) DPNP
Hesitation PIC 2 1/2
Anticipation PIC 2 1/2
Syncopation PIC 6 6∕5 = 1.2
Triplet PIC 6 6/6=1
Quintuplet PIC 15 15/8=1.875
Bembé PIC 21 21/7=3
Son PIC 14 14/5=2.8
Bossa-Nova PIC 20 20/5=4
Irregular Rhythm PIC 35 35/7=5

Figura 11: Ejemplos de la medida DPNP.

Los pesos que aparecen en la definición de la medida merecen una explicación. Es razonable dar un peso a una nota que se toca fuera de una parte fuerte. Nuestra medida da menos peso cuando la nota aparece entre dos partes fuertes consecutivas y, según se aproxima la nota a la siguiente parte fuerte, gana más peso. Sin embargo, hay una gran diferencia si la nota cruza una parte fuerte o sencillamente termina antes o en la siguiente parte fuerte. En el primer caso hay una sensación de síncopa más fuerte que en el segundo. Por tanto, recibe más peso con el fin de reflejar este hecho musical.

Se puede ver que, según una nota x se aproxima a una parte fuerte, su distancia T(x) decrece, y en consecuencia, su medida de síncopa D(x) crece. Parece que si T(x) tiende a cero, entonces D(x) tiende a infinito. Sin embargo, debe establecerse un límite inferior de manera que si una nota x está a cierta distancia de una parte fuerte su distancia se toma como cero. Considérese el ejemplo de la figura 12.

Ritmo DPNP Measure Rhythm DPNP Measure
PIC 2 PIC 8
PIC 4 PIC 0

Figura 12: Límite inferior para la medida WNBD.

En este ejemplo, excepto en el último ritmo, la medida de síncopa de cada ritmo crece ya que la nota se aproxima a la nota blanca. El último ritmo tiene distancia cero porque la segunda nota es de adorno. La cuestión de cómo elegir ese límite inferior a partir del cual se considera una nota como de adorno es difícil. Es razonable suponer que dependa de la velocidad a la que se toquen los ritmos (con tempi rápido el límite debería ser inferior que en tempi lentos). Para ritmos que comparten una unidad mínima de duración, la medida DPNP funciona bastante bien, ya que el tempo no es importante para comparar los ritmos.

2. Conclusiones

En este artículo hemos definido las principales medidas de síncopa. En el próximo compararemos las medidas entre sí midiendo varios conjuntos de ritmos, tanto binarios como ternarios. Analizaremos también la robustez de las medidas en términos de sus pesos.

 

Notas:

1 Totatives se llaman en inglés.

2 En inglés, totient function.

3 La terminología española es parte fuerte para lo que en inglés llaman strong beat o sencillamente beat; a veces el término pulse se usa como equivalente a parte fuerte.

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