88. (Enero 2018) Medidas de complejidad rítmica (III)
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Escrito por Paco Gómez Martín (Universidad Politécnica de Madrid)   
Miércoles 03 de Enero de 2018

1. Introducción

Este artículo es la continuación de la serie sobre medidas de complejidad rítmica. Los dos primeros artículos fueron las columnas de octubre [Góm17a] y noviembre [Góm17b], respectivamente. En estas dos columnas se presentaron las principales medidas de complejidad rítmica, que se dividieron en dos grandes categorías: la primera, las medidas métricas, las medidas basadas en patrones y las medidas basadas en distancias; la segunda, las medidas formales de complejidad, tales como las medidas basadas en la entropía de la información, las basadas en los histogramas de intervalos entre notas consecutivas y las llamadas de irregularidad matemática, que incluyeron el índice de asimetría rítmica y la medida de contratiempo. En esta tercera columna, la última de la serie, tratamos la evaluación perceptual de esas medidas. Sabemos que cada medida ha sido diseñada poniendo atención a ciertos aspectos del fenómeno rítmico. El objetivo final es que las medidas reflejen lo más fielmente posible la medida humana de la complejidad rítmica. Tal medida humana es, por sí misma, un objetivo muy difícil de definir y aun más de medir. Varias preguntas de manera natural e inmediata surgen. ¿Es la percepción humana de la complejidad rítmica un universal? Si no lo es, ¿depende de la cultura?, ¿de la exposición a determinado estilo?; ¿varía con la predisposición genética? Para un individuo fijo, ¿es dicha percepción consistente en el tiempo?; ¿o depende del estado emocional, de su cansancio o de otros factores?; y si es así, ¿de qué factores? En general, ¿cómo se debería medir la complejidad rítmica? ¿Como ritmos puros o bien inmersa en la melodía o en un contexto armónico? En este último caso, ¿cómo se aísla la complejidad melódica de la complejidad rítmica? ¿Qué factores generales afectan la percepción de la complejidad rítmica? Por ejemplo, Vinke [Vin10], en su tesis de maestría, identifica varios factores tales como tempo, formación musical, timbre, acciones motrices asociadas o producidas durante la percepción de los ritmos, pero sabemos que hay otros factores, como el agrupamiento.

En su tesis de maestría Thule [Thu08] contesta en parte a estas preguntas, apoyándose en experimentos que psicólogos de la música habían llevado a cabo para tratar de medir la complejidad rítmica. El mérito de Thul y Toussaint, su director de tesis, fue usar esas medidas cognitivas para evaluar la bondad de las múltiples medidas que se habían propuesto, pero que inexplicablemente no se habían evaluado. Puede parecer extraño que un investigador presente una medida de complejidad rítmica y no la evalúe con datos reales para determinar su efectividad. Sin embargo, esta ha sido la situación para la gran parte de las medidas examinadas por Thul.

2. Las medidas humanas de complejidad rítmica

En esta sección examinaremos los datos experimentales de tres trabajos diferentes, el de Povel y Essens [PE85], el de Shmulevich y Povel [SP00], y el de Fitch y Rosenfield [FR07], y que sirvieron de base para obtener las medidas humanas de complejidad rítmica. Los dos primeros estudios usan los mismos ritmos como estímulo de entrada, los cuales se pueden ver en la figura 1 más abajo. El primer estudio, el de Povel y Essens, data de 1985 y en él estos autores investigaron la medida de la complejidad rítmica de la ejecución. Estrictamente hablando, no es una medida de la complejidad rítmica, pero la hipótesis subyacente era que la complejidad rítmica y de reproducción están estrechamente relacionadas. Al fin y al cabo, un ritmo complejo debería ser más difícil de reproducir que uno que no lo es. Quince años más tarde, en 2000, Shmulevich and Povel usaron los mismos ritmos para su propio estudio, pero esta vez el objetivo sí era la complejidad rítmica. En 2007 Fitch y Rosenfeld estudiaron la complejidad de la ejecución así como la complejidad métrica; estos autores usaron otros ritmos diferentes a los de los dos primeros estudios.

2.1. Los datos de Povel y Essens

Povel y Essens decidieron en su estudio usar ritmos sintetizados por un ordenador con el fin de aislar variables tales como el timbre o la altura del sonido. Los ritmos se pueden ver en la figura 1.

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Figura 1: Ritmos usados en los experimentos (figura tomada de [Thu08])

La pregunta de investigación que se plantearon estos autores tenía un carácter muy cognitivo. Querían comprobar si los ritmos que inducen un carácter métrico fuerte generan mejores representaciones internas que los ritmos que tienen un carácter métrico débil. En el lenguaje de Povel y Essens, el carácter métrico es descrito como un reloj interno. Los ritmos que usaron en sus experimentos tienen una estructura muy fija. Son todas las permutaciones del patrón de los intervalos de duraciones entre notas consecutivas (IDNC) del conjunto {1,1,1,1,1,2,2,3,4}. Según estos autores, este conjunto solo admite variaciones estructurales. Nos queda la duda, sin embargo, de qué resultados se habrían obtenido con un conjunto de ritmos más variado. Por ejemplo, los ritmos en este estudio tienen el mismo número de notas, pero sabemos que la medida de complejidad variaría notablemente con el número de notas.

El estudio usa 24 sujetos, los cuales tenían que reproducir un ritmo que acababan de oír. El ritmo se podía oír tantas veces como el sujeto quisiera y además podían tocarlo a la vez si así lo querían (de hecho, en el experimento se les animaba a que así lo hiciesen). Pero cuando daban al botón de parar la reproducción del ritmo, entonces tenían que tocarlo y no tenían la oportunidad de volverlo a tocar. Se exigía al sujeto una reproducción de al menos cuatro veces seguidas. Si un sujeto no estaba satisfecho con la reproducción de un ritmo, podía empezar el proceso desde el principio para ese ritmo concreto. La manera en que Povel y Essens midieron la complejidad rítmica de la reproducción fue a través de un porcentaje que medía la discrepancia de las reproducciones de los sujetos con respecto al ritmo presentado. Los resultados de los experimentos se puede ver en la columna que reza human performance complexity en la figura 1.

2.2. Los datos de Povel y Shmulevich

En el experimento de Shmulevich y Povel, como hemos dicho, se usaron los mismos ritmos que antes. Los sujetos fueron reclutados de la Universidad de Nijmegen y todos eran músicos con una media de 9,2 años de experiencia musical. Los ritmos se presentaron a los sujetos sintetizados por MIDI con un sonido de marimba y de manera aleatoria. Los participantes tenían que puntuar los ritmos según la complejidad rítmica en una escala de números enteros que iba de 1 (más sencillo) a 5 (más complejo). En la última columna de la tabla de la figura 1, la que reza human perceptual complexity.

2.3. Los datos de Fitch y Rosenfeld

En 2007, Fitch y Rosenfeld llevaron a cabo dos experimentos, uno de reproducción rítmica y otro de complejidad métrica. Los estímulos de sus experimentos se pueden consultar en la figura 2. Los ritmos fueron generados de tal manera que la cantidad de síncopa variara sustancialmente, y donde la síncopa se midió usando la medida de Longuet-Higgins y Lee (véase [LHC84] y [Góm17a]). Los 16 participantes tenían entre 0 y 15 años de experiencia musical y realizaron las dos tareas propuestas en el experimento.

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Figura 2: Ritmos usados en los experimentos de Fitch y Rosenfeld (figura tomada de [Thu08])

En estos experimentos el ordenador toca un pulso sobre el cual se oye el ritmo y sobre el cual los sujetos tienen también que reproducir dicho ritmo. En el segundo experimento, después de cierto tiempo se supreme el pulso de referencia y el sujeto tiene que seguir reproduciendo el ritmo y además el pulso. Antes de que se suprima el pulso, el ordenador cambia un poco el tempo. Se producen así errores de ritmo que sirven a Fitch y Rosenfeld para evaluar la complejidad rítmica. En la figura 2 las columnas human performance complexity y human metrical complexity corresponden a las medidas obtenidas. La tercera columna se refiere a otro experimento que no hemos descrito aquí.

3. La comparación de las medidas de complejidad

Una vez que tenemos las medidas formales de complejidad rítmica y las medidas humanas (los datos experimentales), ¿cómo se lleva a cabo la comparación entre ellas? Cada medida formal debe ser validada con los datos experimentales. Una posible técnica es la correlación. La correlación es una técnica estadística para detectar relaciones entre dos variables, sean aquellas causales o no. Tal detección puede ser muy útil cuando el objetivo es predecir el comportamiento de una variable en función de otra. Cuando una variable es la causa de la otra, entonces hablamos de causalidad. Cuando hay causalidad, se produce correlación entre las variables, pero al revés no es cierto. Es el famoso cántico que entona todo investigador constantemente: correlación no implica causalidad. Para ver ejemplos muy llamativos y también simpáticos de correlaciones que no implican causalidad, véase la página web de Tyler Virgen, Spurious correlations [Vir17], donde uno se entera de que hay una alta correlación el porcentaje de matrimonios en Kentucky y el número de personas que se ahogaron tras caerse de un bote al mar. Para más información sobre la correlación, véanse  [CC83] para los detalles técnicos y [Wik17] para un tratamiento más general.

¿Cómo se cuantifica el grado de correlación entre dos variables? La técnica habitual es a través del llamado coeficiente de correlación de Pearson. Supongamos que X e Y son dos variables (en nuestro caso las medidas), que toman valores n valores xi, yi, respectivamente; ademas, sean X e Y sus medias. El coeficiente de correlación lineal r se define por

        ∑         --      --     ------ni=1(xi --X-)(yi --Y-)--- r = ∘ ∑n-----------2∑n----------2-         i=1(xi - X )  i=1(yi - Y)

El coeficiente r toma valores entre -1 y 1. Valores cercanos a bien -1 o 1 indican una alta correlación lineal, esto es, que las variables dependen la una de la otra en la forma de una ecuación lineal del tipo Y = aX + b, donde a,b son ciertas constantes. Si r está próximo a cero, entonces se entiende que no hay dependencia lineal. Esto, por supuesto, no implica que no haya otro tipo de dependencia (cuadrática, exponencial, etc.). De hecho, hay otros coeficientes para medir otros tipos de dependencia aparte de las lineales. Para un tratamiento riguroso y ameno de los problemas de interpretación de la correlación, recomendamos vehementemente al lector el libro de Ellenberg How Not To Be Wrong. The Power Of Mathematical Thinking [Ell15].

Sin embargo, los coeficientes de correlación como el de arriba no son aplicables en nuestro caso porque las variables son ordinales, esto es, reflejan un orden entre objetos. Para el caso concreto de variables ordinales se usa otro coeficiente, el llamado coeficiente de correlación de rangos de Spearman. Aquí la palabra rango significa el orden del objeto (en nuestro caso medidas de complejidad rítmica) en la clasificación general. Si designamos por di la diferencia entre los rangos xi e yi, y n el número de datos, entonces el nuevo coeficiente, rs, se define por:

          ∑n    2 r =  1- 6---i=1-di  s      n (n2 - 1)

Esta fórmula solo es válida si los rangos no contienen repetidos; ese fue el caso de las medidas de complejidad rítmica.

Otro problema matemático que surge ahora es cómo visualizar adecuadamente todos esos coeficientes de correlación. Nótese que el coeficiente de arriba, rs, se tiene que calcular n2 veces, una vez por cada par de medidas. Una vez hecho esto, es posible aplicar una técnica de visualización de análisis de grupos llamada árboles filogenéticos [HB06]. Esta técnica está tomada de la Bioinformática, donde se usa para visualizar la evolución de especies. En este campo, la distancia entre dos especies se toma como la distancia de edición entre el ADN. Para obtener un árbol filogenético hace falta una distancia. En nuestro caso no tenemos una distancia propiamente dicha, pero se pueden transformar los coeficientes de correlación en una distancia con la fórmula ds = 1 - rs.

Las etiquetas que aparecen en la figura 3 son las distintas medidas con sus variantes que Thul calculó. No todas las medidas de su tesis han sido descritas aquí. La potencia de los árboles filogenéticos es que la distancia entre dos nodos en el árbol se corresponde con la distancia real en la matriz. Así, por ejemplo, observando la figura de arriba, a la derecha en la parte superior, vemos que están las medidas humanas de complejidad (las etiquetas human perceptual complexity y human performance complexity), y que las medidas más cercanas a ellas son la medida DPNP (WNBD2 en el gráfico), el índice de contratiempo (offbeatness) y la medida de Keith (keith).

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Figura 3: Árboles filogenéticos para el análisis de grupos (figura tomada de [Thu08])

4. Conclusiones

A lo largo de estas tres columnas hemos estudiado un buen grupo de medidas formales de complejidad rítmica, cómo se obtienen medidas humanas de complejidad rítmica y cómo se correlacionan las unas con las otras para ver cuáles son las más adecuadas. Varias observaciones críticas se pueden hacer al proceso. Por una parte, nos damos cuenta de que algunas medidas formales se definieron de una manera abstracta, sin atender a principios musicales y cognitivos. Un ejemplo de esta categoría podría ser la medida de Lempel-Ziv o la medida de Keith. Esta última se basa en combinatoria y asigna los pesos de las plantillas de manera bastante arbitraria. Por otro lado, las medidas humanas fueron generadas a partir de experimentos no siempre directamente relacionados con la complejidad rítmica y en algunos casos usando conjuntos de ritmos ciertamente limitados. En este sentido, es claro que hacen falta nuevos experimentos para mejorar las medidas humanas. Por último, hace falta un marco teórico más claro con respecto a lo que queremos decir cuando hablamos de complejidad rítmica. En la propia tesis de Thul se listan unos cuantos problemas abiertos.

 

Bibliografía

[CC83] J. Cohen and P. Cohen. Applied Multiple Regression/Correlation Analysis for the Behavioral Sciences. Lawrence Erlbaum Associates, 1983.

[Ell15] Jordan Ellenberg. How Not To Be Wrong. The Power Of Mathematical Thinking. Penguin, 2015.

[FR07] W.T. Fitch and A. J. Rosenfeld. Perception and production of syncopated rhythms. Music Perception, 25(1):43–58, 2007.

[Góm17a] Paco Gómez. Medidas de complejidad rítmica (I), 2017.

[Góm17b] Paco Gómez. Medidas de complejidad rítmica (II), 2017.

[HB06] Daniel H Huson and David Bryant. Application of phylogenetic networks in evolutionary studies. Mol Biol Evol, 23(2):254–267, 2006.

[LHC84] H.C. Longuet-Higgins and C.S. The rhythmic interpretation of monophonic music. Music Perception, 1:424–441, 1984.

[PE85] D. Povel and P. Essens. Perception of temporal patterns. Music Perception, 2:411–440, 1985.

[SP00] I. Shmulevich and D.-J. Povel. Measures of temporal pattern complexity. Journal of New Music Research, 29(1):61–69, 2000.

[Thu08] Eric Thul. Measuring the complexity of musical rhythm. Master’s thesis, McGill University, Canada, 2008.

[Vin10] Louis Nicholas Vinke. Factors affecting the perceived rhythmic complexity of auditory rhythms. Master’s thesis, Bowling Green State University, United States of America, 2010.

[Vir17] Tyler Virgen. Spurious Correlations. http://www.tylervigen.com/spurious-correlations, consultado en diciembre de 2017.

[Wik17] Wikipedia. Correlation and dependence. https://en.wikipedia.org/wiki/Correlation_and_dependence, consultado en diciembre de 2017.

 
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