47. Olimpiadas Matemáticas
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Escrito por Alfonso Jesús Población Sáez   
Martes 09 de Febrero de 2010

El mes pasado hablamos de uno de los trabajos del director George Paul Csicsery. Abordamos en esta ocasión el documental Hard Problems, una visión de la Olimpiada Matemática Internacional desde diferentes perspectivas.

Hard ProblemsEl origen de esta película tuvo lugar cuando el Presidente de la Mathematical Association of America (MAA, http://www.maa.org/) Joseph A. Gallian (el de la foto), Joseph A. Gallianpropuso al director George Paul Csicsery la realización de un documental en torno al equipo norteamericano participante en la 47 edición de la Olimpiada Matemática Internacional (IMO, por sus siglas en inglés, http://www.imo-official.org/) celebrada en el 2006 en Ljubljana, Slovenia. Como ya comentamos en la reseña del mes pasado, George Paul Csicsery ha dirigido varios documentales sobre matemáticos célebres, siendo éste el primero en el que se narran las vivencias de matemáticos no profesionales, lo que para el realizador suponía un aliciente añadido. La idea era dar a conocer al público en general las dificultades que entraña prepararse para este evento, considerado el mayor acontecimiento a nivel mundial de entre la gran cantidad de concursos matemáticos que se proponen, y uno de los más complejos tanto en la organización como en la dificultad de los problemas que se plantean. Csicsery empleó finalmente 19 meses en el rodaje para obtener unas 100 horas de metraje. La película se estrenó el 8 de Enero de 2008 y se editó en DVD el 11 de Abril de ese mismo año. Pasemos a describirla con más detalle. Empezamos como siempre por una pequeña ficha técnica.

Ficha Técnica de la película

Título Original: Hard Problems. The Road to the World's Toughest Math Contest. Nacionalidad: EE. UU, 2008. Director y Productor: George Paul Csicsery, según una idea de  Joseph Gallian. Fotografía: Skip Sweeney (U.S.A.), András Tóth-Szöllös (Slovenia), Lance Douglas (Cambridge), en Color. Montaje: Tal Skloot. Música: Todd Boekelheide, Alex Lu. Gráficos, Animación y Asistente de Montaje: Andrea Hale. Duración: 82 min. Página web oficial: http://hardproblemsmovie.com.

Intérpretes: Equipo Norteamericano para la IMO 2006: Zachary Abel, Zarathustra (Zeb) Brady, Taehyeon (Ryan) Ko, Yi Sun, Arnav Tripathy, Alex Zhai.
Equipo Norteamericano para la IMO 2007: Sherry Gong, Brian Lawrence, Tedrick Leung, Eric Larson, Arnav Tripathy, Alex Zhai.
Responsables del equipo norteamericano de la IMO: Steve Dunbar (Director AMC), Zuming Feng, (Jefe de equipo), Alex Saltman (Adjunto al Jefe de Equipo).
Responsables de la USAMO en la entrega de premios en Washington, D.C.: James Carlson (Clay Mathematics Institute), Carl C. Cowen (Presidente de la MAA), Tina Straley (Representante de la MAA).
Responsables de la pruebas:  Razvan Gelca, Oleg Golberg, Chris Jeuell, Anders Kaseorg, Ian Le, Po-Ru Loh, Thomas Mildorf, Josh Nichols–Barrer, Melanie Matchett Wood, Yan Zhang.
Y un montón de personas más entre estudiantes participantes en las USAMO y MOP, padres, familiares, profesores de los alumnos, etc., que tampoco viene al caso especificar.

La película

La acción comienza el 19 de Abril de 2006 en San José, California, en una tranquila, aunque tensa, aula de clase. Un grupo de alumnos se “entrenan” para afrontar el examen de acceso a la Olimpiada. A lo largo de todo el país, otros 500 estudiantes, aproximadamente, realizan pruebas similares, las USAMO (United States of America Mathematical Olympiad, http://www.unl.edu/amc/e-exams/e8-usamo/usamo.shtml), organizadas por el CAMC (Comiteee on the American Mathematics Competitions; responsables en total de cinco pruebas: las AMC, las AIME y las USAMO). La CAMC es el organismo que proporciona los medios necesarios para localizar y preparar a los estudiantes de Secundaria con mejores aptitudes para las matemáticas en los EE. UU, algo similar a nuestros proyecto ESTALMAT, pero con más medios y de forma coordinada a lo largo de todo el país. Las USAMO son el paso previo al proceso de selección final del equipo que representará en la IMO a los Estados Unidos. Consta de 6 problemas, realizados en 2 días y distribuidos en 9 horas de duración en total (idéntico procedimiento, como veremos después, que el de la IMO). Su origen se remonta al año 1972.  Todos sus problemas pueden resolverse utilizando argumentos de un nivel previo a un curso básico de Cálculo. A estas pruebas se invita a las mejores puntuaciones obtenidas en los American Mathematical Contests (AMC). Sólo pueden participar alumnos con residencia legalizada en los Estados Unidos y Canadá.

Los AMC constan de 25 cuestiones tipo test con 5 opciones para cada una. Hay tres niveles:

AMC 8 (alumnos de grado menor o igual al octavo, que corresponde con nuestro 2º ESO, es decir hasta 12 años). Comenzaron en 1985. Se suelen presentar alumnos entre los grados 6 al 8. La prueba se realiza a finales de Noviembre. Los problemas no incluyen trigonometría ni cuestiones de álgebra demasiado costosas. Suelen ser de progresiones, teoría de números elemental, interpretación de datos gráficos y de tablas y geometría. El 5-10 % de mejores calificaciones son invitados ese mismo curso a participar en el AMC 10 para que vayan cogiendo experiencia en certámenes de instituto.

AMC 10 (alumnos de grado menor o igual al décimo, que corresponde con nuestro 4º ESO, es decir hasta 14 años). Empezaron en el 2000. Prácticamente todos los que se presentan son de grados 9 y 10. Los tópicos evaluables son geometría, álgebra, probabilidad, combinatoria, geometría analítica, teoría de números y estadística elemental. Se realiza a principios de Febrero.

AMC 12 (alumnos de grado menor o igual al duodécimo, 6º ESO, es decir hasta 16 años). Es la prueba de este tipo de mayor tradición pues datan de 1950. Se realiza a finales de Febrero y participan bastantes estudiantes que han realizado el AMC 10. Las materias son todas las citadas en las pruebas anteriores, aunque normalmente no se corresponden con ninguna en particular, sino que aquí hay ya campo libre para proponer problemas de todo tipo que combinan varias áreas, incluyendo los de ingenio e “idea feliz.” Descartan todavía asuntos relacionados con el cálculo infinitesimal.

Los alumnos que superan los 100 puntos en el AMC 12 son invitados a participar en la siguiente prueba en orden de dificultad, el AIME (American Invitational Mathematics Examination). El AIME es un examen de tres horas y consta de 15 problemas. La respuesta a cada problema es siempre un entero entre 000 y 999, ambos valores incluidos. Su origen se remonta a 1980. Sólo las 12 mejores puntuaciones en estas pruebas accederán al paso final (un último examen, llamado TST, Team Selection Test) que se celebra en el programa de verano de la Olimpiada Matemática en la Universidad de Nebraska cuya duración es de cuatro semanas (este programa se denomina MOSP, Mathematical Olympiad Summer Programme). Esa docena de estudiantes seleccionada mediante la USAMO, antes de ingresar en el MOSP, son invitados a una ceremonia de premios en Washington, D.C. patrocinados por la MAA (Mathematical Association of America), Microsoft Corporation y la Fundación Matilda Wilson.

Los seis participantes que mejor puntuación obtengan entre ese test final de Selección (TST) y las pruebas de la USAMO serán los elegidos finalmente para representar a los EE. UU. En la IMO. La primera IMO se celebró en Rumania en 1959 y sólo participaron 7 países. EE. UU. Participa desde 1974; a la edición 47, la que describe la película, acudieron 90 países con 498 participantes. En la última edición celebrada hasta el momento, la 50, celebrada esta pasado verano en Bremen, Alemania, participaron  104 países con 565 “atletas” (506 hombres, 59 mujeres; la presencia femenina siempre ha sido bastante más baja que la masculina).

Tras esta pequeña introducción informativa, volvemos a la película. Cuando los doce candidatos se acercan a la Universidad de Nebraska a realizar el TST, la tensión y el suspense se aprecian en sus rostros. Al finalizar la prueba, los estudiantes son entrevistados: algunos no las tienen todas consigo sobre lo que han hecho, mientras que otros están convencidos plenamente de su clasificación. De las expresiones de los evaluadores se deduce claramente quienes estarán finalmente en el equipo.

Zach AbelArnav TripathyLos seleccionados finalmente y “actores principales” de la película (cuyas fotografías aparecen a lo largo del texto) son Zach Abel de la Greenhill School, en Addison, Texas; Zarathustra “Zeb” Brady de la Magnolia Science Academy, en Reseda, California; Ryan Ko de la Phillips Exeter Acad emy, en Exeter, New Hampshire; Yi Sun de la Harker School, en San Jose, California; Arnav Tripathy de la East Chapel Hill High School,  Chapel Hill, Carolina del Norte; y Alex Zhai (foto sin nombre) de la University Laboratory High School, Champaign, Illinois.

protagonistas del documental

La película va entrevistando a todos los participantes seleccionados, a sus “entrenadores”, a familiares, a profesores, etc., y vamos descubriendo la historia que hay detrás de cada uno de ellos. Así conocemos que Zhai se animó a participar en este tipo de pruebas matemáticas a través de su profesor. Propuso a Zhai y a sus padres que participaran en una competición para estudiantes de primaria llamada MathCounts (Las Matemáticas Cuentan). “Cuando tenía 6 o 7 años se divertía haciendo cálculo mental: sumas, restas, multiplicaciones, cosas así”, comenta Yan Lin, la madre de Alex, “También le encantaba descubrir patrones en los números, como cuando descubrió que la diferencia entre los cuadrados de dos números consecutivos es la suma de esos números” (Parece evidente una vez dicho, ¿verdad?  (a +1)2 - a2 = 2a + 1 = a + (a + 1)). “Lo primero que realmente captó mi atención en la escuela fueron las matemáticas, en lugar de todas esas otras disciplinas aleatorias que nos imparten”, cuenta Zhai al director, “Así es cómo básicamente aprendí, leyendo y trabajando sobre problemas que me parecían interesantes”.

En el documental Zhai aparece jugando al ajedrez, uno de sus temas de interés fuera de las matemáticas. Sus compañeros de equipo también poseen otros talentos y aficiones: Yi Sun se ha presentado a todas las Olimpiadas relacionadas con la Ciencia que existen (Biología, Química, Física, Matemáticas y Ciencias de la Computación), a Tripathy puede considerársele un pianista profesional, Brady programa, y Zach Abel ganó un campeonato de salto con pértiga. La película trata de demostrar que el trabajo duro, el talento y la pasión es lo que permite a la gente potenciar sus cualidades. Aparte de estas otras ocupaciones, estos seis componentes del equipo norteamericano poseen obviamente una gran pasión por las matemáticas. Para ellos es como una droga sin la que no pueden vivir. Como Joanne Mason, la profesora de matemáticas de Yi Sun, explica a la cámara, estos estudiantes tienen la habilidad de concentrarse en las matemáticas de tal manera que ignoran todo lo que sucede a su alrededor. “Yo no voy a las concursos matemáticos por competir, sino para mejorar y explorar nuevos procedimientos”, comenta Zhai, y añade “Para mi las matemáticas tienen más de exploración que de conocimiento”.

Abel describe esta forma de pensar en una de sus intervenciones. Afirma que puede quedarse toda la noche leyendo libros de matemáticas y trabajando en problemas. Sus padres tienen a menudo que preguntarle si ha terminado sus deberes o si ha comido o cenado.

A pesar de su ardua preparación, cuando el equipo viaja a Slovenia para participar en la Olimpiada, se les ve nerviosos y temerosos del papel que lograrán hacer.

imagen de la IMOLa IMO tiene una duración de dos días y enfrenta a los estudiantes a seis problemas. Durante el primer día, los participantes disponen de cuatro horas y media para trabajar los tres primeros. Al día siguiente se les proponen los tres restantes con la misma cantidad de tiempo. Cada problema se evalúa sobre siete puntos (cuarenta y dos es por tanto la puntuación máxima). Cuando los 498 participantes de 90 países diferentes toman asiento el primer día, el ambiente se podría cortar. Todo el mundo quiere tener un buen comienzo que le tranquilice un poco e ir obteniendo la mayor cantidad de puntos posible. Fotograma de la película mostrando a Ryan Ko, uno de los participantesEntonces suena el silbato de salida y todos los lapiceros comienzan a garabatear símbolos y/o dibujos sobre el papel. Todos parecen estar en una profunda meditación. Algunos se tocan el pelo, otros, como Zhai, hace girar su lápiz con su pulgar describiendo un giro completo sobre su mano sin caerse, una y otra vez. Pasado el tiempo, la señal vuelve a sonar y parece que los integrantes del equipo norteamericano están satisfechos, a pesar de que no lograron resolver todos los problemas. (Imagen: fotograma de la película mostrando a Ryan Ko, uno de los participantes).

En la segunda jornada, los chicos están cansados. Zhai está tan agotado que durante la noche sufrió un pequeño desvanecimiento. Pero no es el único. La cámara muestra como algunos participantes descansan sus cabezas sobre los pupitres y cierran los ojos en los momentos previos al comienzo de esta segunda parte. El silencio reinante en la sala es sustituido en el montaje de la película por una música dramática al más puro estilo Bernhard Hermann de las películas de suspense. Los estudiantes cogen lentamente la hoja y reanudan la tarea. Cuando la prueba acaba, los vigilantes no pueden hacer nada por ellos, pero manifiestan su empatía hacia los comentarios que oyen en los equipos, discutiendo sus resoluciones. El espectador se hace en este momento las mismas preguntas que ellos: ¿cuántos problemas habrán resuelto y cuantos puntos lograron?

capitán del equipo estadounidenseUno de los aspectos que el director intenta transmitir es que a pesar de la genialidad de los participantes, del duro entrenamiento, de la difícil selección entre las mentes más prodigiosas del país, siempre queda espacio para la mejora. Ninguno pudo resolver los seis problemas. Como equipo, Zhai y sus compañeros quedaron en quinta posición. China ganó la Olimpiada y Rusia fue finalista. A pesar de su medalla de plata individual y quedarse a sólo cinco puntos de la de oro, Zhai manifiesta que tiene aún mucho que mejorar: “Podía haber hecho mucho más. No habría sido tan difícil de conseguir sólo cinco puntos más. Lo haré el próximo año”. En efecto, Zhai volvió como representante del equipo norteamericano en la edición 48 en 2007 en Hanoi, Vietnam,  y ganó una medalla de oro.

En YouTube pueden visualizarse algunos fragmentos de la película (pincha en los enlaces para acceder a ellos directamente)

  1. Tráiler de la película (3:47).
  2. Resolución de los problemas del primer día de la IMO 2006 (8:23).
  3. Resolución de los problemas del segundo día de la IMO 2006 (9:33).

En total 22 minutos, una cuarta parte que puede servirnos para hacernos una idea. En las dos últimas entradas, los participantes comentan cómo resolvieron (o intentaron) los seis problemas. Son los siguientes:

Logo de la IMO 2006Problema 1. Sea ABC un triángulo con incentro I. Un punto P en el interior del triángulo verifica que

PBA + ∠ PCA = ∠ PBC + ∠ PCB.

Demostrar que AP AI y que la igualdad se cumple, si y sólo si P = I.

Problema 2. Se dice que una diagonal de un polígono regular P de 2006 lados es buena si sus extremos dividen al borde de P en dos partes, cada una de ellas formada por un número impar de lados de P. Los lados de P también se llaman en este caso, buenos.
Supongamos que P se ha dividido en triángulos trazando 2003 diagonales de modo que  ningún par de ellas se cortan en el interior de P. Encontrar el máximo número de triángulos isósceles que pueden haber tales que dos de sus lados sean buenos.

Problema 3. Determinar el menor número real M tal que la desigualdad

|ab(a2b2) + bc(b2c2) + ca(c2a2)| ≤ M (a2 + b2 + c2)2

se cumpla para todos los números reales a, b, c.

Problema 4. Determinar todas las parejas de enteros (x, y) tales que

1 + 2x + 22x+1 = y2.

Problema 5. Sea P(x) un polinomio de grado n > 1 con coeficientes enteros y sea k un entero positivo. Considere el polinomio Q(x) = P(P(. . . P(P(x)) . . .)), donde P aparece k veces. Demostrar que hay a lo sumo n enteros t tales que Q(t) = t.

Problema 6. Asignando a cada lado b de un polígono convexo P el área máxima que puede tener un triángulo que tiene a b como uno de sus lados y que está contenido en P. Demostrar que la suma de las áreas asignadas a los lados de P es mayor o igual que el doble del área de P.

Si alguien se rinde con alguno, en la red podéis encontrar las soluciones completas (http://imo2006.dmfa.si/imo2006-solutions.pdf), que son las que comentan los protagonistas. Al parecer el último problema fue el que más quebraderos de  cabeza les dio. Posteriormente se muestra la parte más entretenida de una Olimpiada, las visitas a lugares pintorescos del lugar y la confraternización de los integrantes de todos los países. También se plantea el complicado asunto de las correccciones y puntuaciones de los ejercicios, y finalmente las repercusiones que para los concursantes tiene el ganar una medalla de oro, plata o bronce individualmente. En la presentación de la película el realizador subrayó que el objetivo principal que se marcó fue la divulgación ante el ciudadano medio del trabajo y el esfuerzo que estos jóvenes afrontan en su preparación y que vean las matemáticas, como los propios protagonistas, como “una de las más desafiantes y reconfortantes búsquedas que el Ser Humano puede emprender”.

A pesar de su interés, la película tiene algunas lagunas, entre ellas, el centrarse exclusivamente en el equipo norteamericano y no haber recabado al menos las opiniones y comentarios de ganadores y finalistas, por ejemplo.

El DVD contiene algunos extras añadidos: una versión “reducida” del documental de 45 minutos para ser utilizada en el aula, un reportaje sobre matemáticos en las finanzas (11:16), otro sobre familia y la escolarización (15:55), chicas en la IMO (17:03), historia de la IMO (7:12), y un fichero pdf de 82 páginas con problemas y soluciones de la IMO, de las pruebas USAMO de los años 2006 y 2007 y los Tests de Selección de los Equipos (TST).

Prácticamente todas los enlaces que he incluido en esta reseña son de gran interés gracias al abundante e interesante material que incluyen. Ciertamente uno puede sentir envidia sana del importante trabajo que se toman tanto en la preparación de los estudiantes como en la gran cantidad de información que proporcionan. Por supuesto, en lo que atañe a la realización de películas de contenido matemático como las que estamos comentando, que además son seguidas tanto en sus pases por televisión como en la edición en DVD por mucha gente. En España, …., bueno en España debemos agradecer también a los muchos compañeros que del modo más desinteresado posible ponen su tiempo y conocimientos al servicio de chicos como los de la película y de la enseñanza de las matemáticas. Ojala las instituciones que los sostienen tuvieran el apoyo económico necesario para desempeñar su buen hacer de un modo más adecuado. Desde http://www.rsme.es/content/blogsection/11/116/ se puede acceder a la información más relevante sobre este evento en nuestro país.

En la dirección http://www.unl.edu/amc/d-publication/d1-pubarchive/2006-7pub/07-AIME-TM/TM-%20AIME,2007.pdf podéis descargaros un amplio dossier redactado para los profesores sobre el funcionamiento de las Competiciones Matemáticas Americanas AIME (American Invitational Mathematics Examination) con las normas, formularios que padres, profesores y alumnos deben firmar, y algunos problemas ejemplo con sus soluciones. Es llamativo hasta qué punto están reglamentados todos estos certámenes.

 
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