64. Un mortal hilo de seda
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Escrito por Alfonso Jesús Población Sáez   
Miércoles 09 de Noviembre de 2011

El Cubo de Rubik, la banda de Moebius, las construcciones imposibles de Escher, son algunos objetos matemáticos que el cine fantástico ha utilizado en sus guiones. Añadimos uno más: la Esponja de Menger. Además un pequeño apunte televisivo en una popular serie .

El pasado verano volví a coincidir en Avilés con Abel Martín en la sexta edición del Curso que la Universidad de Oviedo dedica a las Matemáticas a través del Cine y la Televisión. Como sin duda ya sabréis los interesados en este tema, Abel y su hija Marta mantienen el portal http://www.mathsmovies.com/ además de impartir un montón de cursos y conferencias. Abel es uno de los que más tiempo y esfuerzo ha dedicado a las referencias matemáticas presentes en la serie de animación Los Simpson. Pues bien, además de compartir con ellos una agradable comida, obviamente hablamos de películas y me pasó la referencia de la película que vamos a comentar en la reseña de este mes.

Se trata de una película producida en Taiwán y no estrenada comercialmente en nuestro país, aunque de relativamente sencillo acceso a su visionado a través de la Red. No contiene demasiadas referencias matemáticas, pero me ha resultado curiosa e interesante cinematográficamente hablando, a pesar de que el terror no es precisamente un género que me apasione, básicamente por la cantidad de exageraciones y magufadas que suele contener. Para los que no conozcan el término, se denomina “magufo” a todo aquello relacionado con lo esotérico y paranormal, sin ninguna base científica, aunque muchas veces los que lo difunden tratan de barnizar sus discursos con jerga seudo-científica. El término lo acuñaron los llamados “escépticos”, otro grupo dedicado a desmontar todas las patrañas que los anteriores utilizan. Existe un montón de literatura, blogs, programas en radio y televisión, se imparten conferencias, etc., por parte de ambos grupos, y a veces, sólo a veces, uno no sabe quien es quien, dado que ni unos ni otros demuestran nada, (ya sabéis la máxima de la matemática: si no hay prueba, y bien hecha y razonada, no hay nada de nada), aunque evidentemente se está más cerca de alguna certeza partiendo del escepticismo que de la creencia.

Pero vayamos a lo nuestro. Como siempre, lo primero, una pequeña ficha técnica y artística, y una breve sinopsis del argumento:

Un mortal hilo de sedaSILK

Título Original: Gui si. Nacionalidad: Taiwan, 2006. Director: Chao-Bin Su. Guión: Chao-Bin Su. Fotografía: Arthur Wong, en Color  Montaje: Ka-Fai Cheung. Música: Peter Kam. Duración: 108 min.

Intérpretes: Chen Chang (Tung), Yôsuke Eguchi (Hashimoto), Kar Yan Lam (Wei), Barbie Hsu  (Su), Bo-lin Chen (Ren), Chun-Ning Chang (Mei), Fang Wan (Fantasma de la madre), Kuan-Po Chen (Fantasma del niño), Chi Chin Ma (Madre de Tung), Leon Dai (Jefe SWAT), Kevin S. Smith (James)

Sinopsis:

A una habitación sellada de un edificio abandonado accede un fotógrafo al que se ha encargado hacer fotografías a una habitación vacía. Sin entender nada va sacando instantáneas hasta que en una de ellas aparece misteriosamente un niño. Antes de que intente intuir qué sucede, el fotógrafo se desploma muerto, víctima de estrepitosas convulsiones.

A continuación conoceremos a Hashimoto, un físico que investiga la anti-gravedad y que ha sido contratado por el gobierno después de algunos avances en el tema. Entre ellos, unos periódicos que aparecen durante los títulos de crédito, nos desvelan que ha descubierto la “Esponja de Menger” (¿Qué curioso, verdad? Lo normal hubiera sido llamarla “Esponja de Hashimoto”) “un agujero negro para las ondas electromagnéticas”, según se lee. Ya se sabe, para atrapar la atención hay que exagerar, y sobre todo parecer misterioso porque si no, no hay película.

El caso es que sin saberse muy bien que relación tiene con esto de la anti-gravedad, parece ser que por puro azar, el grupo de investigadores que trabaja con Hashimoto (éste utiliza una muleta para poder andar; luego sabremos que tiene una pierna inútil como consecuencia de la diabetes) han conseguido atrapar el fantasma de un niño mediante la esponja (seguramente el guionista pensó que si una esponja normal retiene líquidos, ésta otra podría capturar energía; demasiado literal, ¿no?). Lo han aislado en la habitación donde el fotógrafo de marras lo descubrió. El niño parece seguir una rutina y mueve los labios como si hablara, pero nadie logra entenderlo. Por eso Hashimoto, en un asalto de lucidez del que más tarde carecerá, deduce que necesitan a alguien que sepa leer los labios, a ver si averiguan algo sobre este fantasma.

Un mortal hilo de sedaDe este modo conoceremos a Tung, agente de un grupo de operaciones especiales y de riesgo de la policía, tipo SWAT, capaz de leer los labios perfectamente. Tung, como Hashimoto, es una persona desconfiada y de difícil trato, a causa de diferentes traumas y preocupaciones sufridas a lo largo de sus vidas. Tung tiene a su madre enferma terminal por una esclerosis lateral, enfermedad que sabe que es hereditaria. Además tendremos la típica chica enamorada de Tung, y correspondida por éste, pero que no se atreve a declararse por su incierto futuro, la científica “trepa” que quiere sacar provecho de su dedicación a la causa fantasmal, y alguna cosilla más que mejor no cuento para no arruinar del todo la película.

¿Y que hay de interesante? Pues realmente (opinión subjetiva) poco, pero lo hay, Me gustó que la sucesión de sustitos, imprescindible en este tipo de películas, no sea tan exagerada como suele ser, que tiene su razón de ser (dentro por supuesto del esquema mental de los protagonistas), que el desarrollo sea en torno a la investigación del pasado del niño (es decir, tiene interesantes elementos de thriller y suspense) y al drama que “vive” con su madre, su ritmo, y finalmente que pretende transmitir un cierto mensaje, aunque no sea demasiado novedoso (sobre la moraleja final, mil veces mejor el reverendo protagonizado por Robert Mitchum en la genial y mucho más inquietante y sin necesidad de efectos especiales La noche del cazador (Charles Laughton, 1955); ya sabéis, aquel que en cada dedo de cada mano llevaba escrito HATE (Odio) y LOVE (Amor), respectivamente).

El cine asiático ha producido en los últimos años gran cantidad de películas de terror bastante originales (The Ring (Ringu, 1998), La maldición (Ju On, 2000), Audition (Ōdishon, 1999), por citar sólo algunas) y posteriormente re-hechas, y en general estropeadas, por la industria yanqui. En ellas destacan no sólo los temas, sino una forma diferente de rodaje al estilo manga, con arriesgados e irreales movimientos de cámara y un uso reiterativo de la grúa Se trata pues de una más que sumar a esta serie, que en conjunto y a pesar de lo comentado se deja ver y entretiene.

Un mortal hilo de sedaMe resultó curioso que la peor amenaza que se le ocurre al agente del gobierno para presionar a Hashimoto sea el “pudrirse en la Universidad dando clases de Física” (¿Es eso lo que hacemos los que nos dedicamos a la docencia?), y también es aleccionador el destino final del propio Hashimoto y de su ayudante Su, cuando empiezan a creer más en las “magufadas” de las que hablaba al principio que en su trabajo como científicos. Hashimoto dice envidiar al fantasma, entre otras cosas por “no tener que ir a la Universidad, no necesitar el sexo”, etc., etc, lo que le hace preguntar a Tung en un momento dado “¿Cómo sabes que es mejor vivir que morir?”. El tema más interesante, con mucho, que se plantea es cómo afrontar la existencia de una enfermedad grave en una familia, algo a lo que la sociedad parece dar la espalda cuando se presenta porque le es más cómodo.

Como curiosidad, el director de la película, Chao-Bin Su, hace un cameo interpretando al guardia de seguridad que vigila el abandonado edificio.

Fractales

La Geometría clásica nos proporciona una primera aproximación a la estructura de los objetos físicos que nos rodean: puntos, rectas, objetos y regiones planas, cuerpos y superficies tridimensionales. Desde que Euclides estableciera de un modo ordenado y metódico los fundamentos de esta disciplina matemática no se ha dejado de profundizar en su estructura. En el camino han ido surgiendo visiones diferentes que parecían echar por tierra aquellos fundamentos, aunque finalmente se comprendió que todas ellas no sólo eran compatibles, sino que en realidad lo que hacían era responder a problemas y aspectos nuevos de la propia realidad (geometría proyectiva, geometrías no euclídeas, etc.). Una nueva vuelta de tuerca aparece con la geometría fractal, la geometría que pretende explicar de un modo más realista la estructura de la Naturaleza.

Como casi todas las cosas, los conjuntos fractales no surgen de golpe, sino que fueron apareciendo de un modo espontáneo, trabajando en otros asuntos. A finales del siglo XIX, matemáticos como Cantor, Peano, Hilbert, Sierpinski o Von Koch realizan construcciones geométricas un tanto extrañas, “monstruosas” como fueron calificadas en un principio por otros colegas, aunque estéticamente eran sugerentes e incluso bellas, fundamentalmente por su simetría. En aquellos años, los matemáticos estaban enfrascados en sesudos debates, cada uno defendiendo la concepción que tenía de esta ciencia. Algunos de estos objetos no eran más que contraejemplos a la rígida posición de una de esas corrientes, la formalista; posteriormente, y siguiendo el procedimiento establecido en su construcción, fueron apareciendo más, simplemente como un entretenimiento.

En los años sesenta del siglo pasado, en pleno desarrollo de la informática, el recientemente desaparecido Benoit Mandelbrot en la Universidad de Harvard y el Centro de Investigación Watson de la empresa IBM, entre otros, comprueban que este tipo de objetos presentan características comunes, entre ellas la sibisemejanza (por muchas iteraciones que hagamos del proceso de construcción del objeto, lo que le hace tener más definición, estar más detallado, siempre se conserva la misma estructura; mantienen una homotecia interna, son copia de si mismos) y la dimensión no entera.

Dimensiones Fraccionarias

Esta última idea es la que más tuvo que trabajarse puesto que rompe completamente los esquemas clásicos, pero a la vez, la que más fortaleció el concepto fractal una vez que se comprobó su coherencia. Sin entrar en demasiados detalles a fin de no aburrir al personal con excesivos tecnicismos, cualquiera asume sin mayor dificultad que se defina el punto como un objeto sin dimensión (o dimensión cero), como una mota de polvo, casi invisible, un microscópico átomo que según donde se localice, representa un valor concreto. A partir del punto podemos deducir (y asumir) una infinidad de ellos, tan apiñados y compactos que conforman un objeto con una entidad mayor: la recta. Ésta posee dimensión uno ya que representa la longitud física, y además, algebraicamente hablando, se expresa en términos de una variable (ejemplos de rectas: x, x─2, 2x+1, etc.). El siguiente paso sería describir un plano, mediante la región de puntos determinado por dos rectas, con dimensión dos, longitud y anchura, que permite definir cualquier objeto plano como los triángulos, cuadrados, rombos, polígonos en general, circunferencias, elipses, etc. Su expresión algebraica viene dada por dos variables, (x, y). Y finalmente los volúmenes, los cuerpos que presentan tres dimensiones, longitud, anchura y altura, y en cuyas ecuaciones aparecen tres variables, (x, y, z). ¿Puede pensarse en algún objeto con dimensión 2.5, 1.7 o  0.3?

Un mortal hilo de sedaExisten varias definiciones de dimensión además de la euclidea en las que no vamos a entrar (dimensión topológica, dimensión fractal, dimensión efectiva, etc.). Veamos a continuación una manera sencilla e intuitiva para estimar la dimensión fractal (Haussdorfff-Besicovitch). Tengamos en mente que tratamos de dar sentido al concepto de autosimilitud descrito previamente. Para entenderlo, lo mejor es explicarlo mediante un ejemplo.  Tomemos un trozo de cuerda de longitud 1 (en la medida que queramos, metros, centímetros, nos da igual). Si queremos dividirla en dos partes iguales, es obvio que cada una de ellas medirá ½. Si lo hacemos en tres partes iguales, cada una de ellas medirá 1/3 de la longitud original. En general necesitamos k partes de longitud 1/k para completar el objeto inicial. Si llamamos N al número de trozos y r al factor de reducción, es claro que

N = (1/r)

Si tomamos ahora un cuadrado de área una unidad, necesitamos cuatro cuadrados de lado ½ para cubrir por completo el cuadrado original, y nueve cuadrados de lado 1/3 para hacer lo mismo (es decir tenemos que reducir a la mitad o a la tercera parte ambas dimensiones, el largo y el ancho para seguir teniendo cuadrados). En este caso,

N = (1/r) 2

De manera similar, en un cubo tendremos que N = (1/r) 3, y en general, N = (1/r) D, siendo D la dimensión euclídea. Tomando logaritmos para despejar D, se tiene entonces que

Un mortal hilo de seda

Nótese que como r ∈ (0,1), D > 0. Así pues esta expresión “funciona” para líneas, superficies y volúmenes convencionales. Tratemos de aplicarla a un fractal: el triángulo de Sierpinski

Un mortal hilo de seda

En la primera etapa, del triángulo equilátero inicial se eligen los puntos medios de cada lado y se unen para formar un nuevo triángulo invertido (en blanco) que eliminamos. El factor de reducción que hemos aplicado es por tanto r = ½, y el número de “trozos” que conservamos (los triángulos equiláteros en negro) es 3. Por tanto, para la primera etapa,

D = (ln 3) / (ln 2) 1.585…..

Observemos la siguiente iteración del proceso, en el que se hace lo mismo en cada nuevo triángulo, es decir, eliminar el triángulo central que surge al unir los puntos medios de cada lado. Aparecen 9 (= 32) triángulos, y el factor de reducción respecto del triángulo original ahora es r = ¼, por lo que

D = (ln 32) / (ln 22) = (2 ln 3) / (2 ln 2) = (ln 3) / (ln 2)

Generalizando el proceso, en m etapas obtenemos,

D = (ln 3m) / (ln 2m) = (m ln 3) / (m ln 2) = (ln 3) / (ln 2),

lo que garantiza de algún modo que nos encontramos ante un invariante. No obstante, para los puristas, existen resultados y demostraciones más rigurosas de este concepto.

Interpretando el resultado obtenido, podemos decir que el triángulo de Sierpinski (ver última etapa dibujada, que no final, porque el proceso puede iterarse de modo infinito) constituye un objeto que no es lineal (obvio) pero tampoco llega a ser una superficie (debido a sus infinitos agujeros). No es descabellado por tanto decir que su dimensión es mayor que uno y menor que dos, y más precisamente, del orden de 1.585 (valor que nos permitirá la comparación con otros objetos de esta naturaleza).

Un nuevo ejemplo, relacionado con la película, la alfombra de Sierpinki, es decir cada una de las caras que forman la esponja de Menger. Su construcción es la siguiente:

Un mortal hilo de seda

Si razonamos como con el caso precedente, la dimensión fractal será ahora

D = (ln 8) / (ln 3) ≈ 1.8928…..,

valor que nos indica que, en efecto, es mucho más compacta que el triángulo de Sierpinski, pero sin llegar a tener dimensión dos a causa de sus agujeros.

La esponja de Menger se obtiene aplicando a un cubo un proceso similar al utilizado para crear la alfombra de Sierpinski. En el primer paso, se divide el cubo inicial en 27 cubos más pequeños (tres a lo largo, tres a lo ancho y tres a lo alto), eliminándose los cubos centrales de cada cara y el cubo central. Eso nos deja con 27– 6 – 1 = 20 cubos, a los que se les aplica una y otra vez el mismo procedimiento. El resultado es una figura que guarda un cierto parecido con una esponja de mar (de ahí su nombre) y que, atendiendo a las explicaciones precedentes, tiene por dimensión

D = (ln 20) / (ln 3) ≈ 2.7268…..,

Un mortal hilo de sedaAdemás de la dimensión, los objetos de este tipo tienen otras peculiaridades curiosas relacionadas con el cálculo de su longitud, área o volumen. Por ejemplo, el triángulo y la alfombra de Sierpinski encierran un área finita, pero su perímetro (la longitud de la línea que rodea tal área) es infinito. Parece absurdo, pero si uno echa las cuentas verá que es así. Veamos lo que le sucede a la esponja de Menger respecto a su volumen y la superficie. Damos los resultados finales (que cada uno eche sus cuentas y compruebe si le coinciden):

El número de cubos en la iteración n-ésima es: 20n

El tamaño de los lados en la iteración n-ésima es: (1/3)n

La Superficie de los cubos en la iteración n-ésima es: 6 (1/9)n 20n

El Volumen de los cubos en la iteración n-ésima es: (1/27)n 20n

Un mortal hilo de sedaCalculando el límite cuando n tiende a infinito de las dos últimas expresiones observamos que la esponja de Menger encierra un volumen nulo mediante una superficie infinita (la curva “copo de nieve” de Koch o el triángulo de Sierpinski encierran un área finita mediante un perímetro de longitud infinita).

Son objetos por tanto no continuos, porosos, con agujeros, que asemejan formas presentes en la Naturaleza como la forma de la nubes, el perfil de las costas, la compleja red que conforman nuestros capilares, venas y arterias, etc.

Posteriormente se comprobó que otro tipo de fenómenos aparecidos en experimentos físicos también tenían características similares (movimiento browniano, sistemas L, sistemas dinámicos caóticos), con lo que se planteó intentar definir estas estructuras de un modo riguroso, formalizándose la hoy conocida como Geometría Fractal.

Los objetos fractales tienen muchas aplicaciones aparte de describir formas más o menos curiosas o bellas (recordemos que se convocan certámenes en todo el mundo como el Concurso Internacional de Arte Fractal Benoit Mandelbrot) como el modelizado del tráfico en redes de comunicaciones, la compresión de imágenes, análisis bursátiles y de mercado, la evolución de determinadas poblaciones, el análisis de los patrones sísmicos, etc., etc.

Quién fue Menger

El matemático Karl Menger (Viena, Austria, 13 de Enero de 1902 – Highland Park, Illinois, Estados Unidos., 5 de Octubre de 1985) era hijo del célebre economista Carl Menger, fundador de la Escuela Austriaca de Economía. En 1924 se doctoró en la Universidad de Viena, habiendo sido alumno de Hans Hahn. Como docente tuvo una dilatada trayectoria que comenzó en 1925 en la Universidad de Amsterdam, invitado por L. E. J. Brouwer. Dos años más tarde retornó a Viena, trasladándose en 1930 a los Estados Unidos, como profesor invitado en la Universidad de Harvard y en 1931 en el Instituto Rice. De 1937 a 1946 fue profesor en la Universidad de Notre Dame y desde 1946 hasta 1971 en el Instituto de Tecnología de Illinois en Chicago. En 1983 esta institución le concedió un doctorado honorífico por su trayectoria profesional. En la actualidad este Instituto concede un premio anual con su nombre al estudiante que mejores calificaciones obtenga durante el curso académico.

Un mortal hilo de sedaSu contribución matemática más famosa, realizada en 1926, es el cuerpo tridimensional que lleva su nombre, la esponja de Menger, muchas veces erróneamente denominada esponja de Sierpinski por su similitud en la construcción con el conocido triángulo (el triángulo de Sierpinski data de 1916). Sin embargo su trabajo matemático es mayor que el de haber concebido esa popular figura. Se le considera junto a Arthur Cayley uno de los fundadores de la geometría de la distancia, por haber formalizado las nociones de ángulo y curvatura en términos de cantidades medibles físicamente. En ellas aparecen los denominados determinantes de Cayley–Menger.

También fue un activo integrante del llamado Círculo de Viena, grupo que mantuvo en los años veinte del siglo pasado profundas discusiones en ciencia social y filosofía. En esta época demostró un importante resultado sobre la paradoja de San Petersburgo (recuérdese su aparición en la película de Tom Stoppard Rosencrantz y Guilderstern han muerto) que tuvo aplicaciones muy interesantes en la teoría de la utilidad en Economía. Más tarde realizó algunas contribuciones en el desarrollo de la teoría de juegos junto a Oskar Morgenstern.

Lecciones “magistrales” en “Cuéntame cómo pasó”

En los capítulos 222 (“Ni exclusivo ni excluyente”) y 223 (“Estandartes y Banderas”) de la presente temporada, Carlitos (Ricardo Gómez) se ha apuntado a una asignatura de matemáticas en el ICADE (Instituto Católico de Administración y Dirección de Empresas, centro que desapareció en 1978 integrándose en la Universidad Pontificia de Comillas; sin embargo la acción de esta temporada se sitúa en 1979, luego anacronismo al canto), básicamente para estar al lado de Arancha (Nazaret Aracil).

En el primero escuchamos al docente de fondo mientras el chico intenta desde fuera de clase que ella salga. Lo que oímos es coherente:

Un mortal hilo de sedaEl principio de ordenación de los números naturales no es aplicable a los números enteros. Por ejemplo, el propio conjunto Z no tiene elemento inferior porque para todo n perteneciente a Z, hay un n – 1 que es menor que n. Ahora bien, hay un principio análogo que se puede aplicar a unos conjuntos denominados acotados inferiormente. Un subconjunto de Z se puede decir que está acotado inferiormente siempre y cuando exista un número entero k perteneciente….” En el fotograma se puede observar que aparece escrito exactamente lo que está diciendo.

Sin embargo en el siguiente capítulo, ante una pizarra encabezada por “Estructura Algebraica de Anillo”, al que siguen la definición de Grupo Abeliano, y algunos ejemplos de anillos (Z, +, ▪), (Q, +, ▪),(R, +, ▪) y (C, +, ▪) (en realidad algunos son más que anillos como sabemos), el profesor parece no saber de que habla en algunos momentos (los he resaltado en otro color):

Después tenemos que comprobar que las dos operaciones son compatibles. Para ello tendremos que hacer que la segunda operación se distribuya en la primera operación. Un mortal hilo de sedaSi vemos que estos dos primeros pasos se cumplen, podemos empezar a realizar la segunda operación. Para que la primera operación sea anillo debe ser grupo abeliano, con identidad o sin identidad

Lo último es de juzgado de guardia: ¿un grupo sin elemento identidad? ¿Qué significa que una operación se “distribuya” en otra? ¿Se referirá a la propiedad distributiva de una respecto de otra? Una operación puede ser ¿un anillo? Si la primera escena resulta coherente, esta es un disparate. Como veis, algunos aún piensan que con meter un rollete con un par de palabrejas técnicas es más que suficiente para ilustrar una clase de matemáticas. En esta escena Carlos se queda dormido en clase, fruto del ajetreo de la noche anterior, pero ante estas explicaciones no queda sino decirle “Haces bien, hijo”.

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