67. Integral Fields Forever (PdM III)
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Escrito por Alfonso Jesús Población Sáez   
Jueves 09 de Febrero de 2012

¿Tiene el alumno español alguna fijación con las integrales? ¿Y los realizadores en el cine? Echamos un vistazo este mes a un par de títulos en los que el denominador común son las clases y las integrales. Mirada nostálgica a otros tiempos, no muy lejanos, que quizá nos hagan reflexionar sobre el presente.

Quizá sea pertinente explicar en primer lugar a que se debe el título elegido para encabezar esta reseña. Cuando el que esto escribe se encontraba estudiando 3º de BUP, el libro de texto de la editorial SM proponía una página de ejercicios de cálculo de primitivas en la que habría unas ochenta divididas en varias columnas, pero ocupando una sola página. Su simple aparición era impactante, como para pensárselo. En la mesa contigua a la mía se sentaba un compañero que, como yo, nos encantaban las canciones de The Beatles. Y de ahí surgió el título de “Campos de Integrales para siempre”, cuya letra por cierto no desentonaba de la percepción que teníamos de aquel objeto matemático. Ahora “no se lleva” resolver primitivas a diestro y siniestro (las hacen los ordenadores, nos dicen; y es verdad, pero también es cierto que aquellos ejercicios nos proporcionaban una soltura y agilidad operativa, que probablemente se haya perdido para siempre), sino que basta con hacer media docena, una de cada tipo, como mucho. A mi me gustaba calcular primitivas, como simple entretenimiento (como quien hace un crucigrama), y luego en la Facultad, las series infinitas y el cálculo de límites (ya ven, rarillo que es uno)

Por otra parte en abril de 2009 empezamos una mini serie de películas en las que de una u otra manera aparecían como protagonistas las aulas. Un sub-género que en el libro Las Matemáticas en el Cine califiqué como sub-género escolar. Desde luego se quedó en mini-mini porque sólo pusimos dos (en el citado libro, hay muchas más). Gran parte de las películas que pueden inscribirse bajo esa denominación incluyen cuestiones de matemáticas, no en vano nuestra asignatura es una de las más “populares” entre los alumnos de todas las edades, países y condiciones. La abreviatura PdM quiere decir por tanto, “Profesores de Matemáticas”.

Traemos a colación dos películas de ese tipo, y ambas españolas.

MI GENERAL

Integral Fields Forever (PdM III)Nacionalidad: España, 1987. Director:Jaime de Armiñán. Guión: Jaime de Armiñán, Fernando Fernán-Gómez, Manuel Pilares. Fotografía: Teo Escamilla, en Color. Montaje:. Música: Jordi Doncos. Producción:. Duración: 110 min.

Intérpretes: Fernando Rey (Director Almirante), Fernando Fernán-Gómez (General Mario del Pozo), Héctor Alterio (General Víctor Mendizábal), Mónica Randall (Beatriz Palomares), Rafael Alonso (General Izquierdo), José Luis López Vázquez (General Federico Torres), Joaquín Kremel (Capitán Antonio Sarabia), Álvaro de Luna (Comandante Barbadillo), Alfred Lucchetti (General Álvaro Piñeiro), Joan Borrás (Teniente Coronel Pazos), Juanjo Puigcorbé (Capitán Eusebio Pujol), Manuel Torremocha (General Serrano), Amparo Baró (Señora Crespo).

Breve Sinopsis: El ejército español quiere modernizarse. Por eso, a cinco jóvenes capitanes, sobradamente preparados como se dice ahora, se les encomienda la misión de dar cursillos al personal más veterano, generales para más señas, de la más moderna y avanzada técnica espacial. Para que nada los interrumpa ni distraiga se trasladan a una residencia militar en una ciudad de provincias. Todo parece normal al principio, hasta que a los señores generales les sale de donde ya se sabe que les sale a los militares (al menos de esa época, años 80 y bien entrados los 90; soporté un año de “mili” durante el curso 90/91) tomárselo a cachondeo. Y afloran abusos de autoridad (muy ligeritos; se trata de una comedia), asuntos del pasado, rivalidad, romance con una paisana del pueblo, y también, camaradería ante el compañero enfermo.

Evidentemente, estando el gran Fernando Fernán Gómez involucrado en el guión, hay escenas con “mucha mala leche”. No obstante, el resultado es más bien discreto. Se deja ver, en varios momentos se puede dibujar alguna sonrisa (sobre todo para los que han vivido la “mili”, como dije antes), y poco más. Eso sí, el elenco actoral es magnífico, no en vano hay gran parte de lo mejor del cine español, y salvan más de una situación que hoy parece muy trasnochada.

Y como no, en algunas de las clases, aparecen las matemáticas. El profesor de matemáticas está encarnado por Juanjo Puigcorbé (en la foto; en efecto, para los más despiertos, el logotipo de La 2 es bastante antiguo, pero es que mi colección de VHS también lo es). Al principio está un poco acobardado ante los veinte generales que tiene enfrente. Integral Fields Forever (PdM III)Comienza exponiendo el honor y la responsabilidad que le supone estar allí (“mis méritos no son grandes, pero mi voluntad si lo es”). A continuación se dispone a pasar lista. Al momento, el general Del Pozo (F. F. Gómez) lo interrumpe: “Perdone usted, capitán, creo que debería evitar formalidades. Si pasando lista perdemos 3 minutos aproximadamente, hemos reducido el tiempo de clase en 9 horas y 24 minutos, poco más o menos, y por desgracia no podemos permitirnos ese lujo

Cuestión: ¿Está bien echada la cuenta? ¿Cuántas horas va a impartir el capitán Pujol?

Nervioso y dubitativo, responde, “Tiene usted razón, mi general. Muchas gracias. Será como usted mande”. Decide en ese momento entrar en materia: “La era atómica ha quedado atrás. En una guerra futura, tan insólita sería una explosión nuclear como lo hubiera sido en 1945 el paso de los Alpes por los elefantes de Aníbal (Sonrisas y murmullos. Al profe no le agradan y suelta un Shhh, en este caso exagerado).Todos ustedes saben de cierto las posibilidades de que un cuerpo pese poco. O nada. Y aún más, menos que nada (caras de circunstancias) Partamos de la conocida fórmula de Einstein E = m c2” (la escribe en la pizarra, y todos de forma automática comienzan a escribir, sin entender nada, por supuesto).

Cuando acaba la clase se produce un descanso. Se forman los típicos corrillos. El general Torres (J. L. López Vázquez), que sabemos que está bajo medicación, aunque de momento no conocemos la gravedad, muestra ante sus compañeros su disgusto (no será la única vez, aunque a partir de un momento dado, sus manifestaciones comienzan a preocupar a sus amigos):

Integral Fields Forever (PdM III)G. Torres: Si me sacan de las matemáticas de Miranda Podadera, no cojo una.

G. Mendizábal: Gramática. Las matemáticas eran de Puig Adam.

G. Torres: Más a mi favor. Yo me quedé en la analítica.....

G. Mendizábal: La Analítica ya no existe, Fede..

En efecto, los numerosos tratados de Luís Miranda Podadera, lingüista, eran de Gramática, análisis gramatical, ortografía, etc. De Puig Adam, supongo que no hace falta decir quien fue…

El caso es que frente a la puerta de entrada al aula, el general Torres se lo piensa mejor, y decide no seguir. A sus años, se niega a seguir estudiando. Él no tiene cabeza para eso, dice. Sus compañeros intentan que recapacite, y en estas, sale el capitán Pujol, con el que se despacha a conciencia. Enumera todo lo que ha tenido que estudiar en su carrera militar (bomba nuclear, de hidrógeno, misiles, etc.), acabando con “…Y la estrategia bacteriológica, ¡la madre de Dios! No se puede ser general del Estado Mayor sin saber cuántas moscas hay que mandar al enemigo para que contagien a no sé qué promedio de ciudadanos. Y a mi todo esto no me cabe aquí (se señala la cabeza). ¡No me cabe!”

El siguiente profesor, el capitán Sarabia (Joaquín Kremel) les imparte un cursillo sobre “Neoelectrónica militar”. Éste será menos considerado con sus excelencias.

Integral Fields Forever (PdM III)Según pasan los días, los alumnos generales se van tomando más libertades, al punto de pasar de sus profesores, no atender, interrumpir las explicaciones, hacer chistes y bromas un tanto infantiles, cuestionar a los profesores, copiar en los exámenes, etc. La ultima escena en que aparece “rubéola” (el mote del capitán Pujol) dando clase es insoportable para él. Comienza así

El llamado sendero intergaláctico o de Tomacak se resume de la siguiente forma: integral circular de A diferencial de l igual a integral de superficie rotacional A diferencial de S, cuyo índice es 10 elevado a…” No le dejan seguir, con ruidos de moscardón, tirándole avioncitos, etc. La expresión que ha leído del encerado es

Integral Fields Forever (PdM III)

¡Una integral de línea (no circular como dice) y una integral de superficie en una película española!

Integral Fields Forever (PdM III)En realidad la cuestión es más de Física que de matemáticas. El reactor Tokamak (el actor lo pronuncia mal) es un dispositivo de almacenamiento magnético de forma toroidal, y uno de los más candidatos más investigados para producir energía de fusión termonuclear. Los campos magnéticos se utilizan como recursos de almacenamiento ya que ningún material sólido podría soportar la extremadamente elevada temperatura del plasma. En la imagen una representación de los campos de fuerza dentro de una superficie toroidal. La palabra Tokamak es un acrónimo ruso (TOroidal'naya KAMera s AKsial'nym magnitnym polem - cámara toroidal en un campo magnético axial)

La película es, por otra parte, un buen punto de partida para analizar diferentes estereotipos que pueden darse en una comunidad educativa, exagerados bastante y por tanto fácilmente identificables. Aparece el pelota/chivato, el travieso, el que hace “novillos”, el “empollón”, el listo, etc., y pueden plantearse temas tan variopintos como las bromas de buen o mal gusto, la desobediencia a la autoridad; el aprendizaje, los prejuicios hacia la educación permanente, la lucha generacional (profesores más jóvenes que los alumnos), los mecanismos de defensa, el sentido de grupo, la vuelta a situaciones de infancia, el poder, la rebeldía contra el que enseña, etc.

La segunda propuesta con integrales es

LOS CHICOS DEL PREU

Integral Fields Forever (PdM III)Nacionalidad: España, 1967. Director: Pedro Lazaga. Guión: Pedro Masó, Rafael J. Salvia,  Antonio Vich. Fotografía: Juan Mariné, en Color. Montaje: Alfonso Santacana. Música: Antón García Abril. Producción: Pedro Masó. Duración: 88 min.

Intérpretes: Alberto Closas (Don José Alcaraz), José Luis López Vázquez (Padre de Lolo), Emilio Gutiérrez Caba (Andrés Martín Alonso), María José Goyanes (Alejandra Jiménez Salvador, 'Talento'), Cristina Galbó (Loli), Karina (Yolanda Baeza Márquez, 'Yoyo'), Oscar Monzón (Julio Ferrer), Camilo Blanes (Manuel García Salcedo, 'Lolo'), Pedro Díez del Corral (Josele), Gonzalo González (Miguel Campuzano), Rafaela Aparicio (Sirvienta en casa de Lolo), María Baizán (Mercedes Morales Serrano), Mary Carrillo (Madre de Andrés), Margot Cottens (Madre de Lolo), Gemma Cuervo (Sra. de Alcaraz), Alfonso Del Real (Empresario musical), Ángel Terrón (Profesor de matemáticas), José Orjas (Don Joaquín, profesor de Filosofía), Ramón Durán (Profesor de Química)

Argumento: Típica comedia de la época, a mayor gloria de sus jóvenes protagonistas (cantantes varios de ellos) sobre las inquietudes, problemas, amores, amistades, desencuentros y experiencias de un grupo de jóvenes que emprenden un nuevo curso escolar, el preuniversitario, que les dará acceso a la Universidad. Todo muy correcto, blandito y casto.

Alberto Closas ya fue profesor de matemáticas en Muerte de un ciclista (Juan Antonio Bardem, 1955). Allí un adjunto, aquí todo un catedrático, con un hijo examinable (no lo hará él, sino sus compañeros, y para que no hubiera dudas sobre la honorabilidad de los profesores españoles del Régimen, le suspenderán, por supuesto, con el consiguiente enfado por parte del chico y el inevitable sermón moralista posterior). Los estudiantes repetidores le llaman “el 4 y medio”, porque a la mínima equivocación te deja con esa nota. Según éstos, “un hueso duro de roer; más difícil de superar que el muro de Berlín”. Su hijo se sorprende de conozca el apodo. Con toda naturalidad el padre le explica, “Los catedráticos y los políticos siempre sabemos lo que se dice de nosotros”. Durante una cena tiene lugar la siguiente conversación entre padre e hijo:

Hijo: Ese chico ha dicho que si tú nos examinas este curso, ya vamos listos.

Padre: Ese chico tiene mucha imaginación. El que estudia aprueba, y el que no,…

Hijo: ¿Y tú siempre estás seguro de quién es el que merece ese medio punto más o medio punto menos?

Padre: Debo estarlo. Es mi obligación.

Hijo: Pero a veces por medio punto se puede perder un año entero.

Padre: ¿Te parecería bien que al que merezca cinco le diera cuatro, o tres?

Hijo: Claro que no.

Padre: Pues tampoco puedo darle más al que no llegue. ¿Lo comprendes?

Hijo: .

Padre: Me parece que a ti te ha molestado más que a mí que me llamen cuatro y medio.

En la primera clase que se muestra, de matemáticas por supuesto, la mayor parte de los alumnos está distraído (no así las alumnas). El profesor tiene la pinta típica (ver imagen).

Integral Fields Forever (PdM III)Profesor: Equis más uno, por equis menos uno, menos el cuadrado de equis, más equis, más dos igual a cero. A ver, Sr. Martín. ¿Cómo obtendría el valor de equis?

Se pone en pié, duda.

Profesor: ¿No dice usted nada? Empezó usted el curso muy bien y se está viniendo abajo. No comprendo porqué. Siéntese. Sr. Ferrer, ¿quiere usted intentarlo?

Julio, el alumno cuatripitidor tose, carraspea.

Profesor: Experiencia no le falta. ¿Qué le pasa?

Ferrer: Constipado.

Profesor: Usted también se ha vuelto mudo.

Mientras, “Talento”, una alumna de buenas calificaciones, le escribe la solución en un papel, y se la da,

Ferrer: No, no señor. (Entre toses) Cuadrado de equis menos uno, menos cuadrado de equis, más equis, más dos.

Dos compañeros: Apunta, que a lo mejor es la quiniela del domingo.

Profesor: ¡Basta! Y me alegro de que empiece usted a progresar. Sr. Alcaraz, ¿quiere para terminar decirnos el valor de equis?

Alcaraz: Equis igual a uno.

Profesor: ¿Está seguro?

Alcaraz: Si señor.

Profesor: El resultado es equis igual a menos uno. Todos podemos equivocarnos. El error es disculpable, pero no puede serlo el que no ponga interés en esta asignatura fundamental. Mañana hablaremos de la regla de Cramer y repasaremos lo de hoyPueden salir.

¡Dios mío, la regla de Cramer! Ya por entonces (a mi en COU también me dijeron que así se resolvían los sistemas, y este mismo curso 2011–2012 me he encontrado una alumna a la que me ha costado un montón convencerla de que esa regla es sólo un resultado teórico muy bonito, pero nada práctico. ¿Qué hacemos con los sistemas con más incógnitas que ecuaciones, por ejemplo? ¿Esos no se resuelven? Claro, así encontramos a veces alumnos que resuelven determinantes de matrices no cuadradas. Por favor, responsables de la Selectividad, háganles ver a los profesores de Secundaria que la eliminación gaussiana es lo que tienen que enseñar. Queremos las matemáticas útiles, necesitamos las matemáticas útiles. Las eminentes y bellas sólo son para los matemáticos, y cada vez menos.

Siguiendo con la película, cuando los alumnos salen, el profesor manda quedar a Josele, el hijo del catedrático de matemáticas Alcaraz. A la salida sus compañeros se interesan por lo que el profesor le ha dicho ya que le ven un poco abatido. En efecto, le han leído la cartilla porque “debe dar ejemplo”. Tan disgustado está que acto seguido se pelea a puñetazo limpio con el cuatripitidor por llamar a su padre cuatro y medio y por sugerir que siendo su hijo, le iban a regalar el aprobado.

Otra escena con las matemáticas a vueltas es un diálogo entre Lolo (¿lo reconocen? Es un cantante que después sería muy famoso) y su padre. Ha suspendido todas en el primer trimestre y en matemáticas ha sacado un cero.

Lolo: ¡Es que las matemáticas son muy difíciles!

Padre: Será para ti. Dos por dos, cuatro; cuatro por dos, ocho; ocho por siete,..., siete por ocho, ¡Cincuenta y seis! ¿Lo has visto?

Lolo: Muy bien. Ahora sácame la raíz cúbica de Pi.

Padre: ¿Quién es Pi?

Lolo: Pi es 3.1416, y sigue.

Padre (chillando): ¡Me vas a tomar el pelo encima!

En otro momento, la panda de chicos protagonista queda en casa de Josele para estudiar matemáticas. Uno de ellos, Miguel, que se está poniendo morado a bollos, afirma que es una buena idea quedarse a estudiar por la noche en casa de alguno. El diálogo sigue así:

Josele: Sabemos que la cuadratura nos viene dada por una integral definida. Bueno, pero ¿cómo se obtiene la integral definida?

Lolo: Cualquiera sabe.

Julio: Oye, ¿el libro de texto no lo ha escrito tu padre?

Josele:

Miguel: Pues tiene que tener la solución de los ejercicios en algún sitio. ¿Por qué no los buscas?

Josele: ¡Bah, las tendrá bien guardadas! Y a lo mejor aparece en cualquier momento.

En efecto, en ese instante el catedrático Alcaraz abre la puerta y los ve; su hijo con los libros abiertos, otro comiendo bollos sin parar y los otros fumando.

Alcaraz: Buenas noches.

Julio: ¡Ay, madre! (Se levantan todos para saludar, prácticamente cuadrándose como en la mili)

Alcáraz: Siéntense, por favor. ¿Qué tal va eso?

Miguel: Estudiando como locos. Su asignatura, precisamente.

Julio: Es la que más empollamos.

Alcaraz: Su cara no me es desconocida.

Julio: Si, he tenido la desgracia,… no, no, perdón, he tenido el honor de examinarme tres veces con usted.

Alcaraz: ¿Y las tres…? (Hace el gesto con el pulgar de los césares al condenar a los perdedores en el circo romano).

Julio: Si, señor, si.

Alcaraz: Bueno, pues a ver si la cuarta

Julio: ¡Con un poco de suerte!

Alcaraz: Y de estudio.

Julio: Y de estudio, si señor. Ahora mismo estábamos con la cuadratura

Miguel: Pero se atascó el carro.

Alcaraz: Pues a empujarlo amiguitos. (A su hijo) No te acuestes, tarde. Buenas noches. Ah, y si tienen la desgracia de que me toque examinarles, confío en poder darles algo más que un cuatro y medio.

Muy sonriente pero un poco borde el Sr. Catedrático, ¿no? Si unos estudiantes te dicen que no entienden algo que tu les puedes explicar, lo lógico es hacerlo, ¿no? Más que nada por buena educación. En fin, en su defensa digamos que la escena que veía al abrir la puerta, probablemente no invitara a pensar que estaban estudiando.

No falta la fiesta del Centro (ahora se llama semana cultural, jornadas culturales o similares) en la que escenifican “La tragedia del examen”, ante alumnos y profesores. Josele hace de alumno, y Julio, de profesor examinador. El catedrático Alcaraz está de espectador, y parece muy divertido:

Examinador: ¡Se acabó el tiempo! Léame el ejercicio el señor examinando y entréguelo. ¿Puso bien el enunciado del problema?

Alumno: Si señor. Un hombre tiene 48 años más equis, y pesa 67 kilos menos equis. Con estos datos averiguar cuántos ajos, hijos, tiene, y saber si el domingo va a llover.

Examinador: Correcto, correcto (mirando una ristra de papeles continuos). Solución exacta. ¡Ah! ¡Se ha olvidado de poner un rabito al siete!

Alumno: Pero hombre, por un rabito más o menos.

Examinador: Lo siento Sr. examinando, pero 4 y medio.

Los compañeros de Alcaraz lo miran pensando que va a montar en cólera pero se lo toma con buen sentido del humor. Y una profesora, tocándole la rodilla, añade, “Eso demuestra que todavía es joven”. Él pone también su mano sobre la de ella, amistosamente (aparentemente).

De cara al examen, unos estudian, otros hacen chuletas. Julio va a llevar un pañuelo en el que está descrita toda la asignatura. Hará de nuevo la pamema del acatarrado y tendrá el pañuelo constantemente en la mano, pero al final no le servirá de nada. En la pizarra observamos una cuestión sobre cálculo de primitivas. Se hace un travelling desde la posición que ocupan los alumnos hacia la mesa de los profesores, pasando por el encerado. Como no hay una visión completa de la pizarra, he tenido que poner dos fotografías para ver el ejercicio en su totalidad.

Integral Fields Forever (PdM III)

Se trata de una integral racional típica, aunque se describe completamente el procedimiento (cosa que deberían saber los examinandos), indicando cómo hay que descomponer el cociente en fracciones simples. Si uno mete el lápiz comprobará que M = 2, N = 0 y P = 1, por lo que la primitiva es muy elemental (casi trivial):

I = 2 Ln|x – 1| + Arctg x + C.

Integral Fields Forever (PdM III)Un ultimo detalle sobre el catedrático Alcaraz que sí nos pasa a muchos: la víspera del examen “parece que se examinara él”, dice su hijo, por lo agobiado e intranquilo que se encuentra.

Dos canciones componen la banda sonora de la película, “Chicos del PREU” e “Igual que hoy”, con letra y música de Los Pekenikes, cantadas por Karina (que interpreta a Yoyo), con Los Pekenikes y Los Botines con su flamante cantante Camilo Blanes (Lolo), antes de convertirse en Camilo Sesto. Echando un vistazo a las letras; no deja lugar a dudas sobre el tipo y la época de la película. La película está completa en YouTube. Aquí puede verse la presentación y los primeros diez minutos.

Cuestioncilla para muy mate-cinéfilos: Pedro Díez del Corral, el actor que interpreta a Josele, el hijo del catedrático, también anduvo pegado con las matemáticas en otra película ¿Cuál?

La película se estrenó en 1967. El último curso que estuvo en vigor el antiguo PREUNIVERSITARIO, conocido popularmente como PREU, como indica el título de la película (la Secundaría consistía en 6 cursos + 1 PREU), fue el curso 1970–1971. El curso siguiente ya aparece el COU (Curso de Orientación Universitaria) que estaba precedido de tres cursos de BUP (Bachillerato Unificado Polivalente). El último curso del COU fue el 1997–1998, empezando el curso siguiente el Bachillerato LOGSE cuyo segundo curso es el equivalente a aquel PREU y aquel COU. Quizá lo menos lioso es tener en cuenta que todos ellos (PREU, COU, 2º Bachillerato LOGSE se cursaron cuando el alumno tenía 17 años, si no había repetido ningún curso ni dejado los estudios en algún momento. Ya lo dice el cartel anunciador: “A los 17 años todo es importante”.

Todos estos datos son generales, puesto que en algunos centros hubo un COU-piloto antes del de 1971–1972, y respecto a la LOGSE, las diferentes Comunidades Autónomas, las diferentes provincias, e incluso los diferentes centros, la adoptaron en momentos distintos. Además, al principio de cada plan muchas veces se mezclaban el plan cesante y el entrante durante algunos cursos; por ejemplo, hubo alumnos que empezaron el plan de 6 cursos + Preuniversitario, cursaron los seis primeros y, sin embargo, les alcanzó el cambio e hicieron el COU en lugar del PREU, cuando otros alumnos posteriores que cursaron COU, antes del COU habían cursado los tres años del BUP. Parece que dentro de poco tendremos nuevo sistema, y quizá nuevas siglas que aprender.

Otras rocambolescas situaciones que a veces conviene recordar es que en el curso 1967–1968, en los Centros de Secundaria (tradicionalmente conocidos como Institutos) había 6 niveles de bachillerato, desde 1º (11 años), a 6º (16 años), y un curso final, el Preu (17 años). Después durante mucho tiempo los centros tuvieron solamente cuatro niveles, tres de bachillerato, de 1º de BUP (14 años), a 3º de BUP (16 años), y el COU. Más tarde, los centros volvieron a tener alumnos desde los 12 años hasta los 17, situación actual. ¿Será esto a lo que se referirían los estoicos, y después Nietzsche con aquello del Eterno Retorno? Debe ser eso, que los que nos gobiernan intentan enseñarnos filosofía a su manera.

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