76. Resaca Navideña
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Escrito por Alfonso Jesús Población Sáez   
Jueves 17 de Enero de 2013

Y pasaron otras Navidades, las de la crisis. Para muchos la vuelta a la rutina hace que hayan quedado ya muy atrás. Aún así, echemos un vistazo a lo que han dado de sí desde el punto de vista cinematográfico-matemática, casualmente con la crisis también a vueltas.

No se puede decir que haya habido demasiadas novedades en cuanto a los estrenos de cartelera en salas comerciales, ni en las reposiciones televisivas propias de estas fechas. Por no haber, tampoco los lectores de esta sección se han animado a aportar algún título a la propuesta que se lanzaba en la anterior reseña de películas o libros infantiles o juveniles con algún contenido matemático relevante. La crisis expande sus siniestros tentáculos por doquier. Menos mal que algún vigía aún queda manteniendo el pabellón como puede.

Resaca NavideñaEs prácticamente una tradición el que alguna cadena de televisión programe ¡Qué bello es vivir! (It's a Wonderful Life, Frank Capra, EE. UU., 1946) cada Navidad. Todo el mundo lo acepta como normal dado su argumento que de alguna manera nos traslada al clásico Cuento de Navidad de Charles Dickens, pero lo que quizá no sea tan conocido es que durante bastante tiempo los derechos de autor de esta moralizante cinta no fueron renovados por lo que la emisión de la película salía gratis a las cadenas de televisión.

Su director, Frank Capra, realizador inconfundible estilo, ha sido asociado con el paso del tiempo a un tipo muy concreto de películas. Menos conocida es su faceta de divulgador científico. Una de las frases más citadas atribuidas a Frank Capra es: “El cine es uno de los tres idiomas universales, los otros dos: las matemáticas y la música”. En la siguiente entrada del blog La fórmula del lápiz, Arte y ciencia, una misma cultura podéis descubrir algunas de las películas que hizo de tipo divulgativo. En esta otra se explica la inclusión del Quinteto de de Stephan en la película. Sin embargo el traer a colación esta película en esta sección tiene más que ver en esta ocasión con la matemática financiera.

El protagonista, George Bailey (James Stewart) dirige una compañía de empréstitos (Bailey BROS. Building & Loan Association) fundada por su padre, cuyo fin es el de prestar dinero a aquellas familias a las que el banco de la localidad no les concede ningún préstamo por sus bajos ingresos o no disponer de propiedades o personas que los avalen. El capital obtenido sirve para construir viviendas a aquellos que las necesitan, que van devolviendo el préstamo y los intereses según van pudiendo. Resaca NavideñaEn la ciudad vive también un ricachón, el Sr. Potter (Lionel Barrymore), que poco a poco va haciéndose con todo aquel negocio rentable del lugar. Por ejemplo, alquila viviendas bastante deplorables a aquellos que no tienen una propia. Es accionista también de la compañía. Su propósito es esperar el momento adecuado y conseguir que quiebre, para aumentar su negocio de alquileres. De hecho, con el crack de 1929, (por si alguien no lo sabe, fue la mayor crisis económica norteamericana habida hasta la actual), el banco se queda sin efectivo (resulta familiar, ¿verdad?) y Potter lo avala, quedándose así también con la propiedad del banco.

Veamos con un poco más de detalle que es un empréstito. Se trata de una modalidad de financiación por la que una entidad (empresa, organismo público, etc.) que necesita fondos, acude directamente al mercado, en lugar de ir a una entidad financiera, normalmente porque el capital que necesita es tan elevado que resulta difícil obtener dichos fondos de un solo acreedor. Se opta entonces por fraccionar la deuda en pequeños préstamos (participaciones), representados en títulos, que son suscritos por un número elevado de prestamistas (obligacionistas, inversores o bonistas). Así, se puede definir el empréstito como un macro-préstamo de cuantía elevada que para facilitar el concurso de muchos acreedores se divide en partes iguales, que se instrumentan en títulos. Todos los "títulos-valores" correspondientes a una misma emisión presentan las mismas características: importe, tipo, vencimiento, etc.

Los "títulos-valores" ofrecen al inversor los siguientes derechos:

a) Recibir periódicamente intereses por los fondos prestados

b) Recuperar los fondos prestados al vencimiento del empréstito

Estos derechos se convierten en la obligación para la sociedad emisora. En el lenguaje financiero la parte igualitaria del empréstito se reconoce con varios nombres: título-valor, título, obligaciones, título de la obligación si la emisión se hace a más de cinco años y bonos cuando la emisión es a cinco o menos años.

Resaca NavideñaExisten varios tipos de empréstitos, atendiendo a diferentes criterios:

a) Según el emisor: deuda pública (emitida por entidades públicas) y deuda privada (emitida por empresas).

b) Según el vencimiento: deuda amortizable (si tiene vencimiento) y deuda perpetua (no tiene vencimiento; no obstante, el emisor se suele reservar el derecho de amortizarla cuando lo considere oportuno).

c) Según la modalidad de amortización: con vencimientos periódicos parciales (en cada periodo se amortizan, bien un número determinado de títulos, bien una parte de todos los títulos) y con una única amortización al vencimiento.

d) Según el valor de emisión de los títulos: títulos emitidos a la par (se emiten por su valor nominal), títulos bajo la par (se emiten a un precio inferior a su valor nominal) y títulos sobre la par (se emiten a un precio superior a su valor nominal).

e) Según su valor de amortización: reembolsables por el nominal (su precio de amortización coincide con su valor nominal) y reembolsables con prima de amortización (su precio de amortización es superior a su valor nominal).

f) Según el pago de intereses: pago de intereses periódicos (periódicamente el inversor va recibiendo sus intereses) y "cupón cero" (un único pago de intereses en la fecha de vencimiento final del empréstito).

g) En función de la duración del empréstito: Pagarés (vencimiento inferior a 18 meses), Bonos (vencimiento entre 2 y 5 años) y obligaciones (vencimiento normalmente a más de 5 años).

En los préstamos, en particular en los empréstitos, es muy frecuente establecer el correspondiente cuadro de amortización, que no es otra cosa que un estudio de la aplicación de la anualidad (una anualidad es la entrega anual de una cantidad fija). Tales anualidades devengan, generalmente, interés compuesto desde la fecha de entrega hasta el término de la operación. Las entregas pueden realizarse también por periodos menores al año, y son numerosas las combinaciones que pueden efectuarse. Hay diferentes tipos de anualidades, siendo las más comunes las de imposición (o capitalización), y las de amortización. En este segundo caso, el que nos ocupa, una parte de la anualidad sirve para el pago de los intereses del y el resto para ir amortizando el capital recibido. Como es lógico, la cantidad destinada a pagar intereses es cada vez menor mientras que la destinada a amortización va aumentando (de modo similar a lo que sucede en el pago de hipotecas).

Cuando los préstamos se efectúan sin emisión de títulos, se puede destinar a amortización todo lo que sobre del pago de intereses. En cambio, cuando el empréstito es con obligaciones, la cantidad destinada a amortización debe ser un múltiplo del valor nominal de cada título. El sobrante, junto con los intereses que produce en un año, se agrega a la anualidad del año siguiente.

Echemos algunas cuentas. Veamos cómo amortizar en n años un préstamo de C euros mediante la entrega anual de A euros, a un rédito r (en tanto por uno). El capital prestado, al cabo de los n años, tiene un montante de C(1+r)n. Las entregas anuales de A euros también devengan intereses, y su valor al cabo de los n años es

Resaca Navideña

Para que la operación quede completamente liquidada debe existir igualdad entre los valores, es decir,

C(1+r)n = Resaca Navideña .

De esta última expresión se pueden despejar los valores que necesitemos.

Volviendo a la película, se citan varias situaciones a partir de las que plantear diferentes cuestiones de cálculo de amortizaciones y anualidades. Al inicio, el Sr. Potter recrimina a Peter Bailey (interpretado por Samuel S. Hinds, el padre del protagonista, fundador de la compañía de empréstitos) que no embargue a alguien que no puede hacer frente a sus 5000 dólares de deuda. Bailey le pide que le conceda 30 días de aplazamiento (“¿Regenta usted un negocio, o una institución de caridad?”, señala Potter). Posteriormente, fallecido Peter por un ataque al corazón, es George el que debe salir al paso en una reunión del consejo de administración de la compañía para avalar el préstamo concedido a Ernie Bishop (Frank Faylen), un modesto taxista, para construir una casa. Potter propone “disolver la sociedad y que todos los bienes activos y pasivos pasen al depositario” (o sea, a él). Argumenta para ello que la compañía resulta ruinosa debido a una gestión idealista pero fuera de toda lógica empresarial:

Por ejemplo, este empréstito concedido a Ernie Bishop, ese individuo que se pasa todo el día sentado en su taxi. Casualmente sé (sarcástico el tío) que el banco le negó el dinero, pero vino aquí y le estamos construyendo una casa que vale 5000 dólares. ¿Por qué?”

En ese momento, George explica que él preparó toda la documentación. Se le asegura sobre su sueldo y él mismo avala su integridad.

Respuesta: “¿Lo ven? Basta que sean amigos de un empleado para que vengan a pedir prestado ¿Y qué ganamos nosotros? Una clientela muy dudosa en lugar de una responsable”.

Llevemos a la práctica este caso para confeccionar un cuadro de amortización. Veamos en primer lugar el caso de que no haya emisión de títulos. El importe del préstamo es de 5000 dólares, a devolver en 5 años, a un 10% de interés compuesto.

Resaca Navideña

Cada año, Ernie debe pagar entonces 1318.98 dólares.

CUADRO DE AMORTIZACIÓN

Año

Cantidad Adeudada
(1)

Intereses
(2)

Cantidad Amortizada
(3)

Total Amortizado
(4)

1

5000.00

500.00

818.98

818.98

2

4181.02

418.10

900.88

1719.86

3

3280.14

328.02

990.97

2710.83

4

2289.17

228.92

1090.06

3800.89

5

1199.11

119.91

1199.10

4999.99

La columna (1) corresponde, como se indica, a la cantidad que se debe. La columna (2), los intereses, es el 10% de las cantidades de la columna (1). La columna (3) es la diferencia entre la cantidad destinada a los intereses y la anualidad. La cuarta columna se forma incrementando las cantidades amortizadas anualmente en la columna (3).

Si sumamos los intereses pagados, veremos que el prestamos le hace pagar 1594.95 dólares a mayores, es decir 6594.95 dólares, que supone un incremento de aproximadamente el 32 %. (obsérvese que corresponde a la anualidad, 1318.98 multiplicada por los 5 años que está pagándola)

¿Cuál sería la diferencia si la compañía emite obligaciones? Supongamos que se emiten 100 títulos a 50 dólares cada uno (obviamente el producto, 100 x 50, deben ser los 5000 dólares prestados). Para comparar, dejamos igualmente 5 años y un interés del 10%. La anualidad sigue siendo la misma

Resaca Navideña

Año

Anualidad
(1)

Capital Pendiente
(2)

Títulos Pendientes
(3)

Intereses
(4)

Amortización Teórica
(5)

Amortización realizada
(6)

Sobrante
(7)

Sobrante Intereses
(8)

Títulos Amortizados
(9)

Total
(10)

1

1318.98

5000

100

500

818.98

800

18.98

20.88

16

16

2

1339.86

4200

84

420

919.86

900

19.86

21.85

18

34

3

1340.83

3300

66

330

1010.83

1000

10.83

11.91

20

54

4

1330.89

2300

46

230

1100.89

1100

0.89

0.98

22

76

5

1319.96

1200

24

120

1199.96

1200

–0.04

 

24

100

La columna (1) se forma añadiendo a la anualidad el total de la columna (8) del año anterior. La columna (2) es la diferencia entre el capital y lo amortizado de acuerdo a la columna (6). La columna (3) es la diferencia entre el número de títulos y los títulos amortizados, según la columna (9). La columna (3) multiplicada por el nominal de un título da la cantidad de la columna (2). La columna (4) es el 10% de la columna (2). La columna (5) es igual a la columna (1) menos la (4). La columna (6) es el mayor múltiplo de 50 dólares, comprendido en la columna (5). La columna (7) es la diferencia entre la (5) y la (6). La columna (8) es igual a la columna (7) más el 10% en un año. La columna (9) es igual a la columna (6) dividida entre 50. La columna (10) se forma acumulando las partidas de la columna (9).

Si sumamos las cantidades aportadas por el tomador del préstamos obtenemos 6650.52 dólares, algo más que en el caso en que no salen títulos (bonos, en este caso al ser el tiempo no superior a 5 años) ya que debe amortizar también esa emisión de bonos. Obviamente la empresa que gestiona el empréstito prefiere la emisión de bonos o de títulos porque así tiene todo el dinero desde el principio (siempre que haya compradores de los bonos, por supuesto). Para incentivar a que haya personas que compren esos bonos, el valor de emisión de dichos bonos suele ser inferior al valor nominal (emisión bajo la par) y se dice que hay una prima de emisión. En el momento de la amortización, la empresa abona al dueño del título/bono una cantidad superior al valor nominal (el denominado valor de reembolso), con objeto de hacer atractiva la inversión, y se dice en este caso que hay una prima de amortización.

En definitiva que los beneficios tanto de la empresa que gestiona el préstamo como de los inversores, corre con ellos el de siempre, el que adquiere el préstamo.

Ejercicio: Si después de estos ejemplos prácticos, algún lector se anima, le propongo una nueva situación: componer el cuadro de amortización para el mismo empréstito, es decir un capital de 5000 dólares, con emisión de 100 bonos a 50 dólares cada uno, a devolver en 5 años, pero añadiendo la emisión de unos cupones anuales pospagables, los dos primeros años de 80 dólares por cupón, el tercer año de 50 dólares por cupón, y los dos últimos de nuevo a 80 dólares el cupón (estos cupones son los que marcan el tipo de interés al que pagar los intereses). La amortización se realizará, desde el primer año, y por el valor nominal de los títulos, añadiéndose además la condición de que cada año deben amortizarse 20 títulos más que el anterior.

Volviendo a la película, al presentarse la crisis de 1929, el banco retira todo el crédito de la compañía de los hermanos Bailey, quedándose ésta sin efectivo y con decenas de personas agolpándose ante las ventanillas queriendo que les reintegren los títulos que invirtieron porque el banco ha cerrado, y necesitan dinero para sus gastos básicos (comida, luz, calefacción, etc.). Potter telefonea a George Bailey, y tiene lugar el siguiente ofrecimiento:

Potter: Corre el rumor de que habéis cerrado las puertas. Estoy dispuesto a ayudarte en esta espantosa crisis. Acabo de garantizar al banco los fondos suficientes para cubrir sus necesidades. Cerrarán una semana y volverán a abrir. Tal vez pierda una fortuna pero estoy dispuesto también a garantizaros a vosotros. Diles que me traigan sus acciones a mí, y se las pagaré a 50 centavos el dólar.

Evidentemente, George no acepta porque eso supondría dejar la compañía en manos de Potter. Entonces decide utilizar, a sugerencia de su mujer, los 2000 dólares que le dieron de regalo de bodas (iba a marcharse de viaje con su recién desposada compañera) para pagar a la gente. Después de pagar a todos los que lo solicitan, aún le sobran 2 dólares:

George: Papá dólar y Mamá dólar (los mete en una caja). Y si queréis que la Compañía de empréstitos siga trabajando, conviene que tengáis familia lo antes posible.

Annie: ¡Ojalá fueran conejos!

George: Sí, ojalá.

¿Referencia a la sucesión de Fibonacci? Seguramente no, pero conociendo de qué va la historia (la de esa sucesión), entendemos mejor los deseos de George.

Finalmente, el tío Billy extravía 8000 dólares justo cuando un inspector de Hacienda va a hacer una auditoria, lo que motiva la intención de George de suicidarse (siempre he pensado que el que debería haber tenido ese impulso es el despistado tío, que es el que provoca esa situación, pero claro, no es el protagonista principal).

Y el final ya se sabe: toda la ciudad se pone a recolectar dinero para que George haga frente al fisco. A mi personalmente, sólo me parece ñoña (esa es la crítica más recurrente sobre la película) esa escena final con el efectismo de los niños, la Navidad, la esposa, el angelito que recupera sus alas, etc., etc. Pero en realidad el resto me parece no sólo muy bien llevado y contado, sino incluso bastante realista. Es cierto que el angelito Clarence (Henry Travers) está de más, pero es un recurso (el de las apariciones celestiales, demoníacas, angelicales, fantasmales, etc.) muy utilizado por el cine y la literatura. Casi un sub-género. Hagan memoria y verán (Extraño Cargamento (Strange Cargo, Frank Borzage, 1940), El diablo dijo no (Heaven Can Wait, Ernst Lubitsch, EE. UU., 1946), El día de los enamorados (Fernando Palacios, España, 1959), Vuelve San Valentín (Fernando Palacios, España, 1962), las dos versiones de Al diablo con el diablo (Bedazzled, Stanley Donen, 1967 y Harold Ramis, 2000), El cielo puede esperar (Heaven Can Wait, Warren Beatty, EE. UU., 1978), la serie Autopista hacia el cielo (Highway to Heaven, varios directores, EE. UU., 1984-1989), etc.). Pero, a pesar de haberla visto tantas veces, tantos años, se ve que sólo han tomado ejemplo de ella los muchos Potter que por el mundo hay, algunos muy cercanos que pretenden privatizarnos la vida en todos sus aspectos. Recuerden lo que dice George: “Ya se ha apoderado del banco, de la línea de autobuses y de los grandes almacenes. Ahora viene a por nosotros (actualicemos: léase Sanidad, Educación, etc.). ¿Por quéEs muy sencillo. Porque le estorbamos en su negocio. ¿No os dais cuenta? Potter no vende, sólo compra. Nosotros tenemos pánico, y él no. Está haciendo grandes negocios”. Pues eso, que a lo mejor, ¡Que bello es vivir! no es tan ñoña, ni está tan desfasada.

Resaca NavideñaPor cierto, este es el reloj que tienen en la oficina de la compañía de empréstitos. Tiene los 31 días del mes alrededor, pero no hay una manecilla ni nada que señale el día. Entonces, ¿para que sirve esas marcas? Si alguien tiene alguna explicación plausible, que nos la cuente.

Resaca NavideñaOtro día de las pasadas Navidades, también aterrizó en nuestro hogares Mary Poppins (Robert Stevenson, EE. UU., 1964). Una nueva referencia a la crisis financiera: todos los clientes del banco donde trabaja el padre de los niños protagonistas, Mr. Banks (David Tomlinson; en la foto con los ancianos componentes del Consejo de Dirección del Banco), deciden sacar su efectivo a la vez, provocando la ruina de la entidad. Todo por un malentendido, en el que la gente entendió que no querían devolverle en el banco un dólar a unos de los hijos de Banks. Tampoco es una situación absurda, ni irreal: este pasado 2012, yo personalmente he querido traspasar 10000 euros de un banco a otro (ya saben, es mejor tener los ahorros repartidos y procurar no superar en cada entidad el fondo de garantía actual, 100000 euros por titular), y desde la Caja de Ahorros en la que sacaba el dinero me dieron la turra, ROGANDOME que no sacara esa cantidad, que procurara ajustar más mi gasto. Evidentemente, hice lo que me dio la gana.

Y también se programó La gran familia (Fernando Palacios, España, 1962) con alguna escena matemática también ¿La recuerdan?

Breves

Resaca Navideña1.- La Sociedad Matemática de Profesores de Cantabria (SMPC) publicó su Boletín nº 14. En él aparece la propuesta del Concurso del Verano de la Sección "Cine y Matemáticas" que hicimos en DivulgaMAT. Agradecemos el detalle a sus responsables. Resaca NavideñaPodéis disfrutar la revista completa en la dirección

http://www.sociedadmatematicacantabria.es/boletin/Boletin14_SMPC.pdf

2.- Se anuncia una nueva película de espionaje de título "MÖBIUS" (Eric Rochant, Francia, 2013), interpretada por Jean Dujardin, Cécile De France y Tim Roth, entre otros. Hay una escena en la que se explica qué es esta famosa superficie de una sola cara (Trailer). Probablemente no sea más que el "gancho" para llamar la atención, pero bueno, es una nueva propuesta cinematográfica en torno a un concepto matemático, que no es poco. (Gracias a Marta Macho por este apunte que he sacado de http://ztfnews.wordpress.com/2013/01/12/mobius-para-espias)

 
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