Recientemente La2 emitió una comedia española en la que se mostraban algunos ancestrales tópicos (que en determinados contextos perviven), entre ellos, el de que determinadas materias no son adecuadas según el género. Debería ser un asunto obsoleto al que acercarnos exclusivamente desde un punto de vista cómico, pero lamentablemente nos queda mucho camino y muchas mentalidades que pulir.

Vamos a empezar el curso reivindicando, en órdenes y aspectos muy diferentes. El pasado 17 de septiembre en Historia de nuestro cine, se emitió la película Los que no fuimos a la guerra (Julio Diamante, España, 1962), una poco conocida producción basada en la novela homónima de Wenceslao Fernández Flores, ópera prima de su director. El argumento no tiene aparentemente nada reseñable más que el de una típica comedia ambientada durante la época de la Primera Guerra Mundial (1914-1918), y sucede en un pequeño pueblo en el que los habitantes están divididos entre francófilos y germanófilos, los bandos mayoritarios de la citada confrontación. Sin embargo, desde el inicio, uno se percata de que las situaciones cómicas basadas en equívocos con estos dos bandos, tienen bastantes similitudes con situaciones cotidianas, con un aire de crítica bastante mordaz, y por supuesto, con la no tan lejana Guerra Civil (la película se rueda en plena post-post-guerra). La presentación previa a cargo del crítico y escritor cinematográfico Carlos Aguilar nos informó precisamente de que fueron suprimidos hasta 25 minutos de metraje por problemas con la censura, lo que en algunos momentos se manifiesta en alguna que otra incoherencia en el argumento.

Yendo a la fuente original, la novela publicada en 1930, difícil de localizar, ésta, como la película, no consiste más que en una serie de anécdotas y chascarrillos en los que el autor critica de forma satírica todo tipo de fanatismo ideológico, además de dejar patente el absurdo de las guerras.  Tampoco se corta a la hora de ridiculizar aspectos incipientes en la época (hoy no corregidos, pero sí aumentados) como el engaño manifiesto de la publicidad, o poner de vuelta y media a los que especulan con la carestía y la pobreza de sus convecinos. Entre los temas que aborda se encuentra también el de la situación de la mujer en aquella sociedad, asunto que es el que ha motivado estas líneas a propósito de su valía o no para con las ciencias, el cálculo en particular.

Entre las distintas tramas y subtramas nos encontramos a dos novios, Aurora (Laura Valenzuela) y Javier (Agustín González), vecinos de portal, de esos que se conocen de toda la vida, y que probablemente nunca lleguen a nada. Él no tiene oficio ni beneficio, y en un momento dado, ella decide ponerse a trabajar en una tienda del pueblo. En la presentación/entrevista con el gerente del establecimiento, ella indica que ha estudiado contabilidad en el colegio, que tiene buena letra, sabe escribir a máquina, y lo más relevante para el jefe, “me conformo con ganar poquito”. “Una buena cualidad”, responde el sujeto, “Y eso se une a una linda presencia”. Javier, el novio, la ha espiado, y a la salida la reprende ya que supone (el celoso ibérico siempre alerta) que estaba tonteando:

Aurora: No es eso. Lo que ocurre es que he decidido trabajar.

Javier: Pero, ¿y qué van a decir tus padres?

Aurora: Se tendrán que aguantar. No es ninguna deshonra.

Javier: ¡Una señorita como tú! ¡Estar a la vista de todo el mundo! Si quieres trabajar, trabaja en algo más recomendable. No sé, ¡ilumina tarjetas postales!

Aurora: No. Voy a ser cajera. ¿Qué incompatibilidad existe entre las matemáticas y el ser mujer? Si hago sumas, ¿me saldrá la barba?

Javier: ¡Son cosas de hombres!

Aurora: Eso decís vosotros. La mujer no es más que una madre. Pero cuando os lanzáis a esa estupidez de la guerra y os faltan brazos y cerebros, se ve que nosotras podemos hacer de todo: guiar un tranvía, despachar expedientes….

Javier (sin más argumentos): ¡Bonita moral, bonita moral! ¿Es tu última palabra?

Aurora: ¡Sí!

Javier: Muy bien, pues entonces, adiós.

Curiosamente (o a lo mejor no), unos años antes, otra película española, Solo para hombres (Fernando Fernán Gómez, 1960), ambientada a finales del siglo XIX, versa sobre como una joven, Florita Sandoval (Analía Gadé, en este caso) decide ir contra todo lo establecido y colocarse como empleada pública. En este caso, es una adaptación de la comedia teatral de Miguel Mihura, Sublime decisión (no confundir con la película homónima norteamericana, que nada tiene que ver), escrita en 1955, y la idea de la “incapacidad” de la mujer para ciertas tareas es similar. Aprobado el ingreso de Florita en un ministerio, su familia en pleno la acompaña a su primer día de trabajo para asegurarse de que la dejan “en buenas manos”. Una vez allí, su jefe inmediato no sabe qué tarea encomendarla, además de no querer alterar “la organización habitual” de sus empleados que tardan tres días en escribir unos sobres de unas cartas, etc. En cualquier caso, el recibimiento es

− ¿Se ha traído alguna cosita para coser?

Al final escribe esos sobres que estaban sin acabar, y pidiendo más cosas para hacer, el Sr. Hernández, el segundo de a bordo, se estruja las meninges para ver cómo quitársela de encima. Tiene lugar este diálogo:

Sr. Hernández: ¿Usted que está haciendo, Pablito?

Pablo: La multiplicación.

Sr. Hernández: Esa que no le sale nunca.

Pablo: Es que es muy difícil.

Sr. Hernández: Pues a lo mejor esta señorita que es muy lista….

Florita: Sí, démela.

Pablo: No, este no es un trabajo para una mujer.

Florita: ¿Quién sabe? A lo mejor me sale a mí.

Pablo: ¡De ninguna manera! No se moleste.

Sr. Hernández: Désela, Pablo. Y así probamos. Y usted mientras vaya abriendo el correo.

Pablo: Sí, señor, como usted mande. Tome usted señorita, y lo siento mucho.

Florita: No se preocupe.

Pocos minutos después:

Florita: Bueno, ya está la cuenta.

Sr. Hernández: ¿La cuenta?

Florita: Sí señor, ya la he multiplicado. Con la prueba por 9. Mire usted.

Sr. Hernández: Claro, con la prueba por…, eso. ¡Muy bien, señorita! ¡Muy bien! Vuelva a su sitio mientras yo la leo. Acérquese, Pablito. ¿Ha visto usted que bien queda con esa prueba?

Pablo: Es extraordinario. ¡Qué talento!

Sr. Hernández: Muy bien, señorita. Estamos muy contentos con usted. Y ahora descanse un rato, mientras yo (con fastidio) leo el periódico.

El asunto se convierte en un problema nacional, siendo reseñado en los periódicos (ver imagen), y debatido en el Parlamento. De hecho, un diputado expone muy airadamente:

− Y aunque así fuera, ¿está por la Naturaleza capacitada la mujer para el trabajo intelectual? ¿Puede una mujer ser capaz de echar cuentas o escribir un sobre con letra seria? Nosotros lo ponemos en duda.

Ambas películas están en tono de comedia, y seguramente en su momento harían gracia. Hoy debería hacernos también, y más si cabe, si estuviéramos en condiciones de observarlas como una añoranza de tiempos pasados, casi antediluvianos. Pero es que, en la actualidad, al menos al que esto escribe, lo que le provocan es un cabreo absoluto, y no por las películas, sino porque, siglo XXI, acabando el año 2018, diariamente nos despertamos con más y más noticias que denigran a la mujer, que lejos de lograr una igualdad justa y de sentido común, nos acercamos peligrosamente a situaciones que no sé ni cómo considerar. De barbarie, supongo. En contra se puede aducir que esas son situaciones aisladas, de cafres que perviven aún por ahí, pero, ¡es que son demasiados! ¿No les parece?

También enfada que esas parodias sobre el funcionariado, los partidos políticos, la chismología barriobajera, etc., sigan al tanto de la calle. Y volviendo a la primera película, a lo largo de todo el metraje, los asuntos del dinero y la economía están muy presentes, de manera que la motivación de prácticamente todos los personajes, por tener o por no tener, está unida al vil metal.

Aunque no tenga relación directa con las matemáticas, no me resisto a relatar una escena entre una anciana que va a ingresar 25 pesetas en El día de mañana, el banco del pueblo. El cajero detecta que uno de los duros es falso, y así se lo indica. El director del banco así lo corrobora:

Cajero: Doña Josefa, este duro es más falso que Judas.

Doña Josefa: ¿Pues qué tiene?

El director lo deja caer sobre el mostrador para escuchas cómo suena (y suena a lata)

Director: Lo que no tiene es ni pizca de plata.

Doña Josefa (riendo): ¿Y a usted qué más le da? Un banco es un banco, y con tantos duros como manejan, tampoco importa que uno sea más bueno que otro. (Ahora, tras la gracia, pasa al ataque). Algo tienen que hacer por mí, que les traje dos clientes hace diez días (guiñando un ojo).

Director (tomando el duro): Transijo por esta vez, pero que sea la última. El condenado se parece más a un higo que a un duro, y me voy a ver negro para echármelo de encima. En fin, dele su recibo.

Y Cuando se quedan solos el director y el cajero:

Director (después de guardarse los duros “buenos”): Procure endosárselo a alguien.

Cajero (babeante y sonriente): Sí, sí señor.

Ahí tienen un buen ejercicio: ¿cuántos delitos distintos se han ilustrado en esta escena? Recordemos que la novela se escribió en 1930, y la película es de 1962. Así pues, echando un ojo a nuestra actualidad, lo que ocurre últimamente casi a diario, ¿no estará íntimamente ligado a nuestros genes ibéricos? Pero es que acto seguido, el director del banco encarga a Javier que entregue al Sr. Gil (¿premonición?) en una oscura dirección cien pesetas, y a cambio recoja un millón y medio de marcos.

Director: El marco está ahora bajísimo. Por eso es el momento de comprar. Es una gran combinación. He invertido en ella grandes sumas de dinero, pero tan pronto suba el marco, habré hecho una fortuna. El mundo es de los que se arriesgan.

Javier: Hablando de dinero, ¿no podría usted adelantarme una pequeña cantidad?

Director (dándole una palmada en el hombro; cinismo puro): No se preocupe de las cosas materiales. Y piense en su futuro. ¡Ale, ale! ¡A labrarse un porvenir!

Desafortunadamente para Javier, el Sr. Gil no está cuando él va, y acaba encontrándose con un amigo, Aguilera (Juanjo Menéndez) que lo acaba camelando para que apueste las cien pesetas del director del banco en una ruleta ilegal y casera instalada en la misma dirección en la que debía hacer la entrega. No pueden fallar, tienen una combinación infalible. ¿Resultado? El obvio. Lo pierden todo (aquí sí, con un mínimo de cálculo de probabilidades hubiera bastado para no arriesgarse. Pero la gente sigue tirando el dinero: vean esta noticia de hace unos días; no hay que saber demasiado de gráficas para entender la que ilustra dicha noticia).

Por cierto, Solo para hombres también fue emitida, en marzo de 2016, en el programa Historia de nuestro cine, un necesario espacio gracias al cual podíamos visionar diariamente producciones no demasiado conocidas o no fácilmente localizables de una cinematografía, la española, que, contrariamente a lo que mucha gente cree (por desconocimiento, obviamente), no sólo se ha forjado con películas de consumo fácil y argumento trivial (lo que se viene a conocer con el despectivo adjetivo de “españoladas”), de comedias setenteras erótico-festivas, de dramas de la guerra civil u otras intelectualoides lentas y/o incomprensibles, surrealistas y almodovarianas. Éstas y otras lindezas que se suelen adjudicar al cine español justifican sobradamente la necesidad de programas que lo pongan en su justo lugar (ni mejor ni peor) y que nos enseñen a reconocer las virtudes (y los defectos, por supuesto) que paradójicamente ensalzan y copian desde otras latitudes a las que curiosamente nos plegamos como modelo a seguir. Desgraciadamente, estas ideas no son compartidas por los programadores (suponemos que con datos de audiencias en la mano) que han reducido drásticamente la sesión cinematográfica desde este mes a un único día a la semana. Aun así, esperemos que dure.

La prueba del nueve

Algún lector estará pensando qué, salvo unas cuentas y alguna mención muy tangencial, ¿dónde hay matemáticas en esta ocasión? Bueno, hoy tocaba reflexión. Pero por no dejarlos con las ganas, hablemos, siquiera someramente, de una de las más famosas (al menos en nuestro país) “demostraciones” que explicaban los maestros con anterioridad a 1965 (pongo ese año un tanto aventuradamente, ya lo comprobaré; la razón es que es cuando yo nací, y a mí no me lo contaron nunca, pero a mi padre, por ejemplo, sí). De hecho, obsérvese la imagen adjunta: pertenece al libro Aritmética. Segundo grado, de la Editorial Luis Vives, editado en Zaragoza en 1949. Aparte de explicar en qué consiste la citada “prueba”, propone un ejemplo en el que, a pesar de que dicha prueba indica que la multiplicación es correcta, es evidente que está mal sin más que fijarnos cómo se ha colocado la fila del segundo factor en la multiplicación. De hecho, al explicarla debe advertirse de que, si la prueba “no sale”, efectivamente la multiplicación tiene algún error; pero sí sale bien, no podemos garantizar que el producto sea correcto. Por eso he colocado siempre unas comillas en la palabra prueba o demostración, ya que sólo puede darnos “la mitad” de la información. ¿Qué sucede en realidad?

Recordemos que dos números a y b se dice que son congruentes modulo m, y se representa mediante a ≡ b (mod m), cuando ambos tienen el mismo resto al dividirlos por m. Eso sucede además cuando a – b son múltiplos de m. Por ejemplo, 9 ≡ 7 (mod 2), porque 7 y 9 tienen el mismo resto al dividirlos por 2; 14 ≡ 24 (mod 5) por idéntica razón. Y en ambos casos 9 – 7 es múltiplo de 2, y 24 – 14 es múltiplo de 5. Pues bien, si a ≡ b (mod m) y  c ≡ d (mod m), entonces

(I)   a + c ≡ b + d (mod m)

(II)           ac ≡ bd (mod m)

Pero, atención, se trata de una condición necesaria, pero no suficiente; es decir que siendo cierta la conclusión, la hipótesis no tiene porqué serlo. En términos de lógica, si la proposición P implica la proposición Q (esto se indica simbólicamente mediante P ⟹ Q), el reciproco no tiene porqué ser cierto (ejemplo de andar por casa: tengo una radio que funciona a pilas; proposición P: mi radio funciona; proposición Q: tengo pilas; sin embargo, ¿que mi radio funcione es porque tengo pilas? No necesariamente. Tiene que tener las conexiones bien, no estar estropeada por algún otro motivo, etc., o sea que el que Q sea cierto, el que tenga pilas, no asegura P, que mi radio funcione). Ahora bien, si Q es falso, automáticamente P es falso (no Q ⟹ no P: si no tengo pilas, mi radio no funciona). Pues esto es lo mismo que sucede con la prueba del 9: si “no da”, hay error, pero “si da bien”, no puede asegurarse que la operación esté hecha correctamente. En el ejemplo de la multiplicación que muestra la página del libro anterior (8347 x 653 = 5450591), obsérvese que, si nos hubiera dado 5440691, nos hubiera dado la prueba “bien”, y sin embargo es claramente falsa. Así pues, la “prueba del 9” sólo decide algo si dicha prueba (bien aplicada claro, sin confusiones en ella) no cuadra; si no, no sirve para nada. Por otro lado, no sólo puede aplicarse a multiplicaciones, sino también a sumas, restas y divisiones, es decir, a cualquier operación, gracias a las propiedades I y II descritas arriba de la suma y del producto de las congruencias. Antes otra cuestión.

¿Y porque se elige 9 como valor para m? ¿Por qué no tomamos 2, 3 o cualquier otro número? Sencillo: porque al dividir por 9 no hace falta dividir para saber qué resto se obtiene; basta con sumar los dígitos del número en cuestión varias veces hasta quedarnos con una sola cifra. Por ejemplo, queremos saber cuál es el resto de dividir 12345 entre 9. No hace falta que hagas la división, basta con que sumes los dígitos del número: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15, y con el resultado vuelvas a hacerlo: 1 + 5 = 6, hasta que quede un único dígito. Ese es el resto, y se llama raíz digital del número. Por tanto, como es tan fácil calcular el resto entre 9, por eso se toma ese y no otro. Este es el fundamento además de muchos trucos del tipo adivinar el número que has pensado, etc.

¿Cómo se usa la prueba del nueve para sumas? Tenemos una suma que queremos comprobar si es correcta, por ejemplo 83 + 64 = 137 (¿para qué vamos a complicarnos más?, números sencillos). Está mal, lo sabemos, pero vamos a ver qué nos diría la prueba del nueve. Calculamos los restos de todos esos números al ser divididos por 9:

Primer sumando: 8 + 3 = 11, 1 + 1 = 2. 2 es el resto (la raíz digital de 83)

Segundo sumando: 6 + 4 = 10, 1 + 0 = 1. 1 es el resto (la raíz digital de 64)

Por la propiedad I, el resto de la suma al dividir por 9, debe ser 2 + 1 = 3. Veamos.

Resultado de la suma: 1 + 3 + 7 = 11, 1 + 1 = 2. No da 3, luego la suma es INCORRECTA.

La suma “buena” es 147. La prueba del 9 hubiera dado 1 + 4 + 7 = 12, 1 + 2 = 3. ¿Podríamos haber afirmado entonces que la suma estaba bien hecha? No, porque si nos hubiera dado 237 (2 + 3 + 7 = 12, 1 + 2 = 3), también nos coincidirían los valores, y sin embargo, está mal. Espero que, con este ejemplo, quede meridianamente claro lo que pasa. Igualmente haríamos con restas y divisiones.

La prueba del nueve es un procedimiento de verificación muy antiguo. No se conoce con certeza quien lo desarrolló, las fuentes más antiguas y fiables parece que están en la India. Lo que sí es seguro es que los árabes lo introdujeron en Europa. Leonardo de Pisa, Fibonacci, lo describe en su Liber Abaci, publicado en 1202.

Un truco de adivinación

El siguiente juego puede plantearse de muchas maneras, adivinar un número, u otra cosa que se nos ocurra, y dejarlo escrito en un papel tapado antes de empezar para sorpresa del amigo al que se lo hagamos. Es decir, es adaptable, en cuanto veamos la mecánica. Se le dice a la persona en cuestión que, sin decírnoslo, elija un número del 1 al 9. A continuación debe seguir los siguientes pasos:

1.- Multiplicar el número por 2.

2.- Restar 1 al resultado.

3.- Multiplicar el resultado por 9.

4.- Sumar los dígitos del número resultante hasta que solo quede uno (lo de la raíz digital de antes; si le sale 34, hacer 3 + 4 = 7, etc.).

5.- Tomar de la siguiente frase “mágica” la letra que corresponda al número obtenido

El compás y la regla molan un montón

6.- Pensar en un postre lácteo que empiece con esa letra, y que mire el papel en el que lo habremos escrito antes de empezar el juego.

TAREA: Intentar demostrar porqué, elijas el número que elijas al inicio, indefectiblemente esa cadena de órdenes siempre nos lleva al yogurt.

Cerrando el círculo, casualmente aparece publicada una reseña en un periódico con la misma idea que yo pretendo mostrar desde el cine que leo con mucho interés, sobre todo porque es uno de mis referentes en esto de la divulgación matemática, el genial Ian Stewart, catedrático emérito de la universidad de Warwick. Se trata de un extracto de su reciente libro Mentes maravillosas (editorial Crítica, Barcelona, septiembre 2018), en el que también se reflexiona sobre la capacidad del sexo femenino para esto de las matemáticas. Está claro que el patriarcado machista no es cuestión de nacionalidades. ¿No habrá un complejo de inferioridad y de incompetencia manifiestas en todo ello? Hasta el mes que viene.

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