Y recíprocamente, cuatro puntos alineados se pueden transformar en otros cuatro si la razón doble de los primeros es la misma que la de los segundos.
En particular cuando (ABCD)=(A'B'C'D'), se dice que los cuatro puntos forman una cuaterna armónica. Una de las aportaciones importantes de Desargues fue la construcción del cuarto armónico, es decir dados tres puntos alineados A, B, C encontrar un punto D tal que (ABCD)=-1

es un cuadrado mágico de orden 3 cuyo número mágico es el 15. Cuenta la leyenda que este cuadrado, llamado Lho shu, fue comunicado a los hombres por una tortuga del río Lo en la época del emperador Yu hace 5.000 años. Demuestra que sólo hay un tipo de cuadrados de orden 3 que puede expresarse del siguiente modo:

Donde a, b y c son tres números enteros cualesquiera.
Sin embargo, la construcción de cuadrados mágicos de orden superior a tres se hace muy complicada y tan sólo para los de orden impar es posible encontrar algunas fórmulas generales. La insospechada dificultad de estos cuadrados intrigó a los chinos, a los árabes, a la cultura hindú de la India y posteriormente a los matemáticos y artistas del Renacimiento como de La Hire o Durero que incluyó uno de estos cuadrados en su célebre grabado "Melancolía". Tal vez Durero eligió este cuadrado porque los dos números centrales de la última fila coinciden con la fecha de ejecución del grabado: 1514.

¿Sabrías encontrar más cuadrados mágicos similares a este?

Todavía más difícil resulta la construcción de un cubo mágico:

Superponiendo estos cuatro cuadrados mágicos, Fermat obtuvo un cubo mágico: la suma de los números sobre cada dirección paralela a las aristas, o los de las diagonales, es constante, igual a 130.