Juego con calendarios (explicación)
Observemos, en primer lugar, que cada uno de los cuatro
números seleccionados está en una fila y columna diferentes. Además la suma de ellos es la misma que la suma de los números
en la diagonal principal (llamada traza de la matriz).
Veamos por qué:
Supongamos, por ejemplo, que la suma de los números de la primera fila es
a + (a+1) + (a+2) + (a+3) = 4a + 6.
Si cambiamos uno de ellos por el correspondiente de la segunda fila, gracias a la disposición
de las fechas en el calendario, la suma aumenta en 7; al cambiar otro de ellos
por el correspondiente de la tercera fila, la suma aumenta en 14; y al cambiar
el restante por su correspondiente de la cuarta fila, la suma aumenta en 21.
En definitiva, independientemente del elemento que cambiemos, la suma total será
Al dividir por cuatro el resultado final y restar 12 al cociente se obtiene el extremo superior izquierdo del cuadrado elegido.
Es fácil ahora deducir el resto de números teniendo en cuenta las características de los calendarios.
Resultados similares pueden obtenerse utilizando cuadrados de distintos tamaños. Para ello han de aplicarse las propiedades de las progresiones aritméticas y sus sumas. Por ejemplo, si se utiliza un cuadrado 3 x 3, se divide por tres el resultado final y se resta ocho para obtener el número superior izquierdo del cuadrado.
Toda disposición cuadrada con estas características recibe el nombre de cuadrado mágico reversible. Posee las siguientes propiedades generales:
- La suma de dos números situados en esquinas opuestas de cualquier diagonal es igual a la suma de los dos números de las esquinas en la diagonal opuesta.
- La suma de los dos extremos en cualquier fila o columna es igual a la suma de los dos números interiores de dicha fila o columna.
Los cuadrados reversibles pueden construirse de la siguiente forma general:
- Elegir un número.
- Descomponerlo en ocho sumandos.
- Formar la tabla de sumar con los sumandos.
- El resultado de sumar cuatro números de distinta fila y columna es independiente de las filas y columnas escogidas.
Ejemplo. Para construir un cuadrado mágico reversible cuya suma sea 30, podemos hacer la descomposición 30 = 2 + 5 + 10 + 1 + 3 + 6 + 1 + 2 y formar la tabla siguiente:
| 2 | 5 | 10 | 1 | |
| 3 | 5 | 8 | 13 | 4 |
| 6 | 8 | 11 | 16 | 7 |
| 1 | 3 | 6 | 11 | 2 |
| 2 | 4 | 7 | 12 | 3 |
Por último se eliminan los números que encabezan las filas y las columnas y el cuadrado que resulta tiene la característica deseada.
Este método permite construir cuadrados reversibles con cualquier número de filas y columnas. Basta seguir las indicaciones anteriores descomponiendo el número mágico en más o menos sumandos.
Pedro Alegría (Universidad del País Vasco)