Actividades Cónicas

(**) Con una linterna cuyo haz luminoso forme un cono, ilumina una hoja de papel con diferentes inclinaciones. Observa la forma del recinto luminoso y trata de relacionarla con las diferentes posiciones del papel y de la linterna.

(**) Utilizando Internet recopila imágenes de objetos y fenómenos en los que aparezcan las cónicas. Ejemplos

(**) Comprueba que una elipse es el lugar geométrico de los centros de circunferencias que pasan por uno de los focos y son tangentes a la circunferencia que tiene su centro en el otro foco y radio 2a. Ayuda: Apóyate en la construcción 3 de la elipse.
Sol: Archivo DefElip1 o http://www.miajas.com/DibujoTec/conicas.htm

(**) Comprueba que una hipérbola es el lugar geométrico de los centros de circunferencias que pasan por uno de los focos y son tangentes a la circunferencia que tiene su centro en el otro foco y radio 2a.
Sol: Archivo DefHipe1 o http://www.miajas.com/DibujoTec/conicas.htm

(**) Comprueba que la parábola es el lugar geométrico de los centros de las circunferencias que pasan por el foco y son tangentes a la directriz. Ayuda: apóyate en la construcción 1
Sol: Archivo DefPara1 o http://www.miajas.com/DibujoTec/conicas.htm

(**) Hallar la ecuación de la circunferencia de centro (3, -4) y radio r=5.

(**) Dibuja la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos (2, 1), (3, 4) y (-2, 5).

(**) ¿Cómo se halla la ecuación de la circunferencia, si se conocen las coordenadas de los extremos A y B de uno de sus diámetros? Aplícalo al caso A (0, -3), B (2, 0). Dibújala.

(***) ¿Qué curva representa la ecuación x²+y²+4x-11y-12=0? Dibújala y halla el área del cuadrilátero cuyos vértices son los puntos de intersección con los ejes de coordenadas.

(***) Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos (2, 1), (3, 4) y (-2, 5).
Ayuda: Sustituye los tres puntos en la ecuación x²+y²+Ax+By+C=0 y resuelve el sistema de tres ecuaciones, que has obtenido.

(**) Halla las coordenadas de los focos de la elipse:

(**) Calcula la ecuación reducida de la elipse que pasa por el punto P (3, 4) y cuya excentricidad es 3/5.

(**) ¿Es suficiente, para determinar la ecuación de una elipse, conocer un punto suyo y la distancia focal? ¿Por qué?

(**) Determina los focos y la excentricidad de la hipérbola:

(**) Si los ejes de una elipse miden 10 cm y 8 cm, respectivamente, calcula la excentricidad y la ecuación reducida. Dibújala.

(**) Halla los focos, vértices y excentricidad de la elipse 4x²+9y²=36.

(**) Halla la excentricidad, coordenadas de los focos, de los vértices y las asíntotas de la hipérbola

. Dibuja la hipérbola y sus asíntotas.

(**) Halla los puntos de corte con los ejes coordenados, el vértice y el eje de la parábola: y = x² - 2x - 15.

(**) Hallar la ecuación de la parábola y = ax² + bx + c, sabiendo que pasa por el punto P (4, -4) y tiene el vértice en el punto V (8, -5).

(**) Construye las rectas tangentes a una circunferencia que sean paralelas a una recta dada.
Solución: Archivo RectagCi

(**) Traza las circunferencias tangentes a dos circunferencias dadas.
Solución: Archivo Cirextang.

(**) Dadas dos circunferencias C₁ y C₂, construye las circunferencias de radio dado que sean tangentes externas a C₁ y C₂.
Solución: Archivo Cirextang2.

(**) Construye las rectas tangentes a la elipse paralelas a una recta dada.
Solución: enlace con el Archivo RectanEl

(**) Construye con las rectas tangentes a la hipérbola paralelas a una recta dada.
Solución: enlace con el Archivo RectagHi

(**) Construye la recta tangente a la parábola paralela a una recta dada.
Solución: enlace con el Archivo RectagPa

(***) La ecuación general de una cónica, salvo el caso de la hipérbola equilátera, cuando sus ejes son paralelos a los ejes de coordenadas es: Ax²+By²+Cx+Dy+E=0.
Dar a los coeficientes valores que cumplan las condiciones siguientes:
a)

, ambos coeficientes distintos de cero y signo(A) = signo(B).
c)

, ambos coeficientes distintos de cero y signo(A) ( signo(B).
   d) A = 0 ó B = 0, pero no nulos a la vez.
   e) A = B = 0.
    ¿A qué cónica da lugar en cada caso?

(***) Halla los focos, vértices y excentricidad de la elipse 7x²+16y²+42x-49=0. Dibújala.

(***) Dada la hipérbola de ecuación x²-4y²-4x-8y-4=0, halla sus elementos y represéntala gráficamente.

(***) ¿Cuánto ha de valer a para que la ecuación ax²-9y²=4 represente una hipérbola equilátera?

(***) Determina la coordenadas del foco y la ecuación de la directriz de la parábola y = x² - 2x - 15.

(***) Deduce la ecuación del lugar geométrico de los puntos que equidistan del eje de abscisas y del punto F (3, 4). Dibújalo.

(***) Determinar la ecuación de la parábola cuyo eje es la recta x = -1, sabiendo que pasa por el punto (2, 2) y que tiene un máximo en el punto (-1, 4).

(***) Conocidos la ecuación de una circunferencia y las coordenadas de un punto P. Explica cómo calcularías la potencia de este punto respecto a dicha circunferencia. Aplícalo al caso P(13, 11), x²+y²-6x-10y+9=0.

(***) Estudia analíticamente las posiciones relativas de la recta y=-x y la circunferencia (x-3)²+y²=4.
Ayuda: En los ejercicios sobre posiciones relativas.

(***) Determinar analíticamente la posición relativa de las circunferencias x²+y²-12x-16y=0 y x²+y²+2x-4y-4=0

(***) Estudia la posición relativa de la recta y=x-5 y la elipse 2x²+3y²=108.

(***) Halla las coordenadas del punto medio de la cuerda que intercepta la recta x+2y-1=0 y la elipse, x²+2y²=3.

(***) Conocidas las ecuaciones de una circunferencia y una elipse ¿cómo hallarías su posición relativa y las coordenadas de los puntos comunes si los tienen? Aplícalo al caso: x²+9y²=9; x²+y²-1=0.

(***) Hallar el valor de y para x = 2,1 en la curva y = 0,6x². ¿Cuál es la pendiente de la recta tangente a la curva en ese punto? ¿Cuál es la ecuación de la recta tangente en ese punto?

(***) Hallar los puntos de intersección de la parábola 2y² = 9x con la hipérbola: 3x² - y² = 3. Calcular el área del recinto limitado por las dos curvas.