11. 85. (Septiembre 2022) Demócrito, el matemático risueño

(Rubens. Demócrito, el filósofo que rie, Museo del Prado. Madrid) Demócrito de Abdera (460 a 370 a.C.) dejó escrita amplia e importante obra matemática, tal como nos cuenta Diógenes Laercio en el libro IX de las Vidas de los filósofos más ilustres: De la variedad de la regla o Del contacto del círculo y la esfera, De Geometría, Geométrico, Números, Líneas irracionales, De los sólidos, Extensiones y Tablas astronómicas. Las grandes síntesis alejandrinas, como los Elementos de Euclides, las Cónicas de Apolonio y el Almagesto de Ptolomeo, presentaban de forma coherente y sintética los resultados anteriores: en consecuencia las obras originales no han sobrevivido, y solo nos queda la memoria literaria. Se atribuye a Demócrito el factor del tercio para los volúmenes del cono y la pirámide en relación con sus correspondientes cilindro y prisma. Lo que no sabemos es si su determinación fue empírica o uso algún método exhaustivo como Eudoxo o Arquímedes. El mismo Laercio deja patente la formación universal del sabio abderita y su dominio de múltiples campos del saber. Parece que Domócrito gastó su herencia en viajes de formación: geometría en Egipto, aritmética y astronomía en Caldea y Persia, y matemática con los gimnosofistas de la India. La modernidad de Demócrito reside en la teoría atomista que aprendió de su maestro Leucipo y que fue recogida por Epicuro y su escuela. El propio término átomo fue acuñado por él. Precisamente la tesis doctoral de Karl Marx se dedicó a Demócrito. El sabio que ríe Durante el Renacimiento y sobre todo en el Barroco, Demócrito es representado profusamente por su valor moral, es su autodefensa contra la estupidez humana mediante la risa. El origen de esta visón se encuentra en las fuentes clásicas, reproducimos las de Séneca y  Juvenal. Debemos, pues, rendirnos á no tener por aborrecibles sino por ridículos todos los vicios del vulgo, imitando antes á Demócrito que á Heráclito. Este siempre que salía en público lloraba, y el otro reía. Este juzgaba todas nuestras acciones por miserias, y aquél las tenía por locuras. Súfranse todas las cosas con suavidad de ánimo, siendo más humana acción reírnos de la vida que llorarla. Y añade que en mayor obligación pone al género humano el que se ríe de él, que no el que le llora; porque el primero deja alguna parte de esperanza, y estotro llora neciamente aquello que desconfía poder remediarse. Y bien considerado todo, mayor grandeza de ánimo es no poder enfrenar la risa que el no poder detener las lágrimas. Séneca. Sobre la serenidad del espíritu (De tranquillitate animi). Traducción de Pedro Fernández Navarrete [1564-1632] En todas las tierras que hay desde Cádiz hasta la Aurora y el Ganges pocos saben discernir los verdaderos bienes de aquellos tan opuestos, despejada la niebla del error. También en su época encontró Demócrito materia de risa en todos los encuentros con hombres, y su perspicacia revela que los hombres más ilustres y llamados a dar grandes ejemplos, pueden nacer en la patria de los borregos y bajo un clima pesado, Se burlaba asimismo de las cuitas y alegrías de la gente. Juvenal. Sátiras X Demócrito y los abderitas (Panel de Demócrito e Hipócrates. Monasterio de San Vicente de Fora. Lisboa) La iglesia y monasterio de San Vicente de Fora domina con su impresionante mole el Este de Lisboa. La construcción actual, de finales del XVI e inicios del XVII, puede recordar el manierismo escurialense del que es casi contemporáneo. Los dos grandes patios del monasterio y sus escaleras están totalmente cubiertos en casi sus tres plantas de azulejos del siglo XVIII. Por si esto fuera poco, se exhiben allí además treinta y ocho bellos paneles de Las fábulas de Jean de la Fontaine. El panel numero once está dedicado a Demócrito y los abderitas: la población local considera loco al filósofo matemático hasta que una visita de Hipócrates les hace dudar de la opinión mayoritaria. El panel recoge el encuentro de ambos sabios. La historia puede ser apócrifa, veamos como la cuenta la Histoire critique de la philosophie (1756) de André François Deslandes: "Me gustaría", continuó Demócrito, "que todo el Universo se nos revele de repente. ¿Qué veríamos allí, esos hombres débiles, ligeros, preocupados, apasionados por las bagatelas, por los granos de arena; solo inclinaciones bajas y ridículas, que se enmascara con el nombre de virtud; solo intereses mezquinos, encuentros familiares, negociaciones llenas de engaño, por lo que nos felicitamos en secreto y que no nos atreveríamos a producir a plena luz del día; esos lazos formados por casualidad, semejanzas del gusto que pasan por una serie de reflexiones; ¡esas cosas que nuestra debilidad, nuestra extrema ignorancia nos llevan a considerar bellas, heroicas, brillantes, aunque al final solo son dignas de desprecio! Y después de eso, dejaríamos de reírnos de los hombres, burlándonos de su supuesta sabiduría y de todo lo que presumen tanto. " "Este discurso, que acorté a propósito, llena a Hipócrates de sorpresa y admiración. Se dio cuenta de que, para ser un verdadero filósofo, tenía que convencerse en detalle de que casi hay en el mundo, solo locos y niños. Tontos más dignos de piedad que de ira; niños que deben ser compadecidos y contra quienes nunca se les permite amargarse o enojarse. Tras el examen, Hipócrates declaró a Demócrito "sabio entre los sabios, solo capaz de apaciguar a los hombres". La risa de Demócrito era una risa triste y satírica, una forma de resistencia. Se ríe de la locura, el ridículo y, en general, la estupidez de los hombres. El mundo es cómico para Demócrito, trágico para Heráclito. Demócrito se contenta con el mundo tal como es y prefiere reírse de las fallas de la sociedad en lugar de llorar por ello. Considera que el espectáculo del mundo es inmutable y que la única alternativa a la melancolía es el hedonismo. Demócrito de Velázquez en Ruan Diego Velázquez no fue un gran pintor de filósofos como lo fue José Ribera. Ello hace que este Demócrito de Ruan tenga más valor añadido, si cabe. Demócrito, el filósofo que ríe, es una figura de tal complejidad que desafía los pinceles de cualquier artista: ¿Cuál es la razón de su risa? ¿Cómo expresarla? Ante Demócrito no podemos permanecer indiferentes, le tenemos que rehuir la mirada, esa risa nos desarma, es abisal. Demócrito es conocido como físico por el atomismo y como matemático por el volumen de la pirámide, pero en el barroco es representado una y otra vez con su enigmática sonrisa. El globo terráqueo revela su condición científica. Es probable que una de las fuentes de Diego Velázquez sea un Demócrito de Rubens que forma parte de los fondos del Prado. El tratamiento de uno y otro marca las diferencias: la serenidad de Velázquez concentra todo el impacto en la risa y en la mano que levita detenida a cierta distancia del mundo, mientras que en Rubens la fuerza sobrecogedora queda algo diluida. La colocación del cuadro en Ruan en un lugar destacado y de transición nos facilita verle una y otra vez, como una aproximación que amortigüe el choque. (Velázqez. Demócrito. Museo de Bellas Artes. Ruan) Demócrito de Ribera en El Prado Las pinturas de sabios de Ribera nos muestran a hombres del pueblo pobremente vestidos como si quisieran insistir en la modestia y en la riqueza del espíritu frente a lo mundano, todo ello muy propio de la piedad barroca. La pintura del Españoleto ha sufrido diversas identificaciones del personaje hasta apuntar a Demócrito, la tenue y profunda sonrisa resuelve el problema. Durante mucho tiempo ha sido conocido como Arquímedes pues el compás muestra el carácter matemático del filósofo. (José Ribera. Demócrito. Museo del Prado. Madrid) Los Demócrito de Giordano en Brescia y Hamburgo La herencia del pintor de Xàtiva afincado en Nápoles –José Ribera- se pone de manifiesto en su discípulo Luca Giordano extremando más si cabe su barroquismo. Como muestra: están los impresionantes retrato de Demócrito, el filósofo matemático padre del materialismo, en Brescia y Hamburgo. Como en los retratos de Ribera -y otros que le siguen- la figura del sabio va asociada a la pobreza, el abandono del cuerpo, la concentración mental, el alejamiento y el desprecio del mundo. La característica del atomista es además la risa, Demócrito es el filósofo que ríe. Risa que no sabemos si es ironía, condescendencia o enajenación. (Luca Giordano. Demócrito. Museo Tosio Martinengo. Brescia) Cuerpo semidesnudo con trapos que sirven para portar los escritos que a juzgar por el que lleva en la mano son astrológicos: horóscopos. Los horóscopos se representan mediante tres cuadrados anidados de forma que el vértice de uno se sitúa en la mitad del lado del otro. Compás en la mano o en la faltriquera. Astrónomo, astrólogo y matemático han sido términos casi indistinguibles hasta el siglo XVII, siendo Kepler quizá la culminación y disolución de esa figura múltiple. Las pinturas de Giordano se conserva en las pinacotecas Tosio Martinengo de Brescia y en el Kunsthalle de Hamburgo. El Demócrito de Hamburgo resalta más sus conocimientos matemáticos y astronómicos, conservando el astrológico que como decía Diego Torres Villarroel es lo que da de comer al matemático. (Luca Giordano. Demócrito. Kunsthalle. Hamburgo) Demócrito de Rembrandt Rembrandt fue otro de los grandes que representa a Demócrito, lo hace solo con su risa. Dificilísimo pintar un rostro risueño que no represente un loco o un idiota sino pensamiento profundo. La pintura pertenece a una colección privada. (Rembrandt. Demócrito. Colección privada) El Demócrito de Breslavia Otra representación de Demócrito como matemático la encontramos en el Museo Nacional de Breslavia, hoy Wrocław en Polonia. La pintura se atribuye al suizo Giuseppe Antonio Petrini (1667-1759), un barroco tardío y tenebrista. Sonrisa, esfera y compás son los atributos ya consolidados del sabio abderita. (Perini. Demócrito. Museo Nacional. Breslavia) Las risas exageradas (Hendrik ter Brugghen. Demócrito. Museo Nacional. Breslavia) De lo sublime al ridículo. De la inteligencia a la locura. Algunas representaciones no superan el reto. Los Demócritos de Hendrik ter Brugghen  (1588 – 1629) en el Rijksmuseum y de Johannes Moreelse (1603 – 1634) en el Centraal Museum de Utrecht son muestra del extravío. Ambas representaciones comparten un globo estelar. La dedicación a la ciencia astronómica es puesta de manifiesto. (Johannes Moreelse. Demócrito. Centraal Museum. Utrecht)

Lunes, 05 de Septiembre de 2022 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

12. 127. (Agosto 2022) Divulgación científica en el congreso Mathematics and Computation in Music 22

La columna de este agosto caluroso está dividida en tres partes. En la primera, haremos unas cuantas reflexiones sobre la divulgación científica en general; en la segunda parte, aplicaremos esas reflexiones a la divulgación científica en el campo de la Teoría Matemática y Computacional de la Música (TMCM en adelante); y, por último, pondremos ejemplos de acciones de divulgación científica que tuvieron lugar en el reciente congreso Mathematics and Computation in Music 22 (MCM22) celebrado en Atlanta bajo la excelente organización de Mariana Montiel de la Universidad Estatal de Georgia (GSU en sus siglas inglesas). 1. Ciencia y divulgación La ciencia es una aventura intelectual en la que las ideas de progreso y creatividad son esenciales. Además, la ciencia es una parte fundamental de la cultura moderna. El objetivo de la ciencia es construir conocimiento sólido, verificable, y a través de ese conocimiento llegar a la comprensión del mundo. De esa comprensión, surgen aplicaciones asombrosas y ubicuas que transforman nuestra sociedad constantemente. La ciencia, además y como parte de su genésis y praxis, nos plantea dilemas morales y éticos. Los científicos tienen un compromiso con la sociedad en la que trabajan. La sociedad les ha proporcionado formación y medios para desarrollar su tarea. A cambio, deberían explicar los resultados que obtienen, pero no en forma de publicación en una revista de prestigio o en un congreso especializado, sino en un contexto y en unos términos adecuados para que el gran público entienda su relevancia y aplicaciones. Los científicos tenemos la obligación de divulgar y popularizar la ciencia que producimos. Igual que la universidad nos exige ser buenos profesores, buenos investigadores, buenos gestores, debemos ser también buenos divulgadores (de los sistemas de calidad universitaria hay mucho que hablar y nada bien desde luego). Sin embargo, en general, los científicos no hacen tal esfuerzo en divulgar sus resultados y este esfuerzo debe hacerse a todos los niveles de la educación, desde la educación infantil cuando sea posible hasta los adultos y especialmente en la primaria y secundaria. Por su parte, la sociedad debería apreciar la naturaleza y los objetivos de la ciencia. Con frecuencia, la sociedad reacciona con resistencia o incredulidad ante los objetivos y resultados de la ciencia. Los científicos, a nuestra vez, no deberíamos reaccionar a tal resistencia con rechazo e indiferencia, como lamentablemente es el caso con harta frecuencia. Antes al contrario, deberíamos crear una diálogo abierto y libre de condescendencia con el gran público. Mi teoría personal es que parte de esta resistencia reside en lo que el escritor C. P. Snow (1905–1980) llamó la gran división de las dos culturas; aquí por las dos culturas se refiere a las humanidades y a las ciencias, respectivamente. En una famosa conferencia que pronunció en 1959 en el Senate House en Cambridge, hizo una crítica en términos intelectuales y económicos de esa división y sus consecuencias. Desde que tengo uso de razón he presenciado una división inmediata de las personas entre persona de ciencias y persona de letras, división que, por cierto, el propio sistema educativo propicia (aquí en España y en otros muchos países occidentales). La “gente de letras” no conocen los más elementales hechos científicios ni está familiarizada con la más mínima lógica científica. La “gente de ciencia” ignora las grandes obras de la literatura y su capacidad de experiencia emocional y explicación del mundo. En su libro Las dos culturas [Sno77], Snow lo expone con bastante elocuencia. El extracto que reproduzco a continuación se refiere a la actitud de los no científicos ante la ignorancia de los científicos ante la cultura tradicional. En otras partes del libro, se queja amargamente de la situación contraria. Leamos a Snow: Pero ¿qué ocurre del otro lado? También se han empobrecido —quizás más seriamente porque se enorgullecen de ello. Todavía les agrada fingir que la cultura tradicional es toda la “cultura”, como si no existiese el orden natural. Como si la exploración del orden natural no tuviese interés alguno de suyo ni por sus consecuencias. Como si el edificio científico del mundo físico no fuera, en su hondura intelectual, su complejidad y su coherencia, la obra colectiva más bella y maravillosa de la mente humana. Pero los no científicos no tienen ningún conocimiento del edificio. Aunque quieran tenerlo, no pueden. Es como si todo el grupo fuera incapaz de percibir el sonido de la cuerda inmensa de la experiencia intelectual. Solo que esa sordera no se tiene por naturaleza, sino por educación, o más bien por falta de educación. Y como no perciben todos los tonos, no saben lo que se pierden. Hacen una mueca de risa piadosa al saber que hay científicos que no han leído jamás una obra importante de la literatura inglesa. Los descartan como especialistas ignorantes. Y sin embargo su propia ignorancia y su propia especialización son igualmente pasmosas. Muchas veces he estado en reuniones de gentes consideradas muy cultas según las normas de la cultura tradicional, y que con sumo placer expresaban su incredulidad ante la ignorancia de los hombres de ciencia. Una o dos veces me he incomodado y he preguntado a los presentes cuál era la segunda ley de la termodinámica. La respuesta fue fría, y también negativa. Sin embargo, yo estaba preguntando algo que es el equivalente científico de “¿Ha leído usted alguna obra de Shakespeare?” Ahora pienso que si hubiese preguntado algo más simple —como que era la masa, o la aceleración, científicamente equivalente a preguntar ¿Sabe leer?—no más de una entre diez de las personas muy cultas habría sentido que yo hablaba el mismo idioma que ella. Así el gran edificio de la física moderna se va levantando, y la mayoría de la gente más inteligente del mundo occidental tiene de ello más o menos la misma consciencia que habrían tenido sus antepasados neolíticos. Una manera de romper esta división, este muro invisible pero impermeable, es a través de la divulgación científica. La divulgación es narración, es contar historias, es dotar a los resultados científicos de valor emocional y moral. 2. Divulgación científica en la TMCM La Teoría Matemática y Computacional de la música (TMCM) es una disciplina científica de pleno derecho. Analiza un fenómeno muy complejo: la música; con herramientas muy potentes: las matemáticas y la computación. La música está llena de patrones, reglas; está altamente estructurada, es compleja, rica en matices, desafiante desde un punto de vista cognitivo, altamente gratificante desde un punto de vista emocional y con importantes funciones sociales (véase [RB03] para mayor desarrollo de estas cuestiones). Las matemáticas es la ciencia que estudia los patrones en abstracto, desde el rigor, la ciencia que describe la estructura a altos niveles de complejidad; es también una disciplina altamente desafiante desde un punto de vista cognitivo. En la evidente convergencia de estas dos disciplinas nace la TMCM. Y como disciplina, los practicantes de la TMCM tenemos la obligación de hacer divulgación científica. Hay muchas ventajas y facilidades para hacer tal cosa. La música siempre es atractiva para el gran público. Y con frecuencia, conceptos matemáticos simples pueden dar explicación novedosas a fenómenos musicales. Las matemáticas junto con la computación pueden proporcionar maneras muy efectivas y potentes de visualizar la música. Cierto es que el material de divulgación tiene que ser diseñado con creatividad y meticulosidad, además de adaptarlo con precisión al público final. 3. Divulgación científica en el MCM22 En los congresos de nuestro campo, especialmente en los dos últimos, se ha hecho hincapié en la divulgación. En el congreso MCM 22 (https://mcm2022.org/) en particular se realizaron una serie de actividades divulgativas que nos gustaría glosar aquí como muestra del interés y el compromiso de nuestra comunidad con la divulgación científica. En la tarde del 23 de junio de 2022 se llevó a cabo en el Museum of Design Atlanta (MODA; see https://www.museumofdesign.org/) una jornada de divulgación científica y que describimos a continuación. 3.1. Jeremy Kastine y su actividad Can you canon? Jeremy Kastine, que fue el organizador del evento, presentó una actividad en que los participantes tenían que componer canones monofónicos con ciertas restricciones. Los participantes aprendieron que este problema se puede formular en términos de encontrar los cliques maximales de un grafo. El software con que se construían los cánones fue programado por el propio Kastine. Figura 1: Jeremy Kastine y su actividad Can you canon? 3.2. Thomas Noll y The Collective Public Fourier Performance En esta actividad hay tres participantes que controlan los coeficientes de Fourier de una onda sonora variando la altura de ciertas banderas. Estas alturas son captadas por dispositivos móviles, los cuales las transfieren a un ordenador que sintetiza una onda sonora. Se trata de una representación física de la transformada de Fourier. Desde un punto de vista musical, se hace una performance con los participantes. Figura 2: Thomas Noll and The Collective Public Fourier Performance 3.3. Paco Gómez y los ritmos euclídeos En esta actividad, presenté algunos resultados sencillos de divisibilidad y los conecté con la teoría del ritmo. De ahí pasamos a tocar con los famosos tubos afinados boomwhacker. Es esta una actividad que permite varios niveles de complejidad que se adaptan fácilmente al nivel del público. Figura 3: Paco Gómez y Matherhythm or rhythm is a killer 3.4. Luis Nuño y su rueda armónica Luis Nuño presentó una actividad basada en su rueda armónica, un dispositivo físico que consiste en el tonnetz pasado a coordenadas polares y donde se pueden ver las transformaciones entre distintas escalas. Figura 4: Luis Nuño y su rueda armónica 3.5. Maria Manonne y su CubeHarmonic Maria Mannone presentó su CubeHarmonic, un intrumento musical novedoso que emplea el concepto de triada en el tonnetz representado en el cubo de Rubik. Figura 5: Maria Mannone y su CubeHarmonic   Bibliografía [RB03] R. E. Radocy and D. J. Boyle. Psychological Foundations of Musical Behaviors. Charles C. Thomas, Springfield, Ill., 2003. [Sno77] C. P. Snow. Las dos culturas. Editorial: Alianza, 1977.

Lunes, 01 de Agosto de 2022 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

13. 126. (Julio 2022) Modelos computacionales de ritmo y métrica (IV)

1. Introducción Esta es la cuarta entrega de la serie Modelos computacionales de ritmo y métrica. En la columna anterior [Góm22b] estudiamos las palabras de Christoffel y su relación con la teoría del ritmo; en particular, vimos cómo convertir palabras de Christoffel en ritmos y las operaciones que se podían hacer sobre estos ritmos. En la segunda entrega [Góm22a] examinamos los métodos de generación y recuento de ritmos, sobre todo los ritmos aksak. Y, finalmente, en esta columna vamos a estudiar las sucesiones de Farey y su relación con la teoría del ritmo. 2. Sucesiones de Farey Las sucesiones de Farey son representaciones elegantes y útiles de las duraciones relativas en subdivisiones métricas. Una sucesión de Farey de orden n, Fn, es la sucesión de fracciones reducidas que se encuentran en el intervalo [0,1]. En la figura de abajo se ven las sucesiones de Farey desde orden 1 hasta orden 8. Las fracciones se suelen presentar en orden creciente. La primera fracción es siempre y la última . Existen calculadores en línea de las sucesiones de Farey; véase, por ejemplo, Think Calculator [Cal22]. Figura 1: La sucesión de Farey de orden 8 Las sucesiones de Farey presentan una estructura recursiva. En efecto, la sucesión Fn es igual a la sucesión Fn más los dos términos y (este hecho es relativamente fácil de probar). Podemos escribir, pues: Otras propiedades que cumplen las sucesiones de Farey son: Si y son dos términos consecutivos de una sucesión de Farey, entonces se cumple que bc - ad = 1; Si ,, son tres términos consecutivos de una sucesión de Farey, entonces se tiene que = ; la fracción c∕d se dice que es la mediante de las fracciones a∕b y e∕f; Si n > 1, entonces no hay dos términos consecutivos con el mismo denominador. Sea |Fn| el cardinal de la sucesión de Farey de orden n y φ(n) la función de Euler, la cual da el número de primos relativos con n. Entonces, se cumple la bonita relación: En la tabla siguiente se muestras los primeros valores para |Fn|: Figura 2: Primeros valores de |Fn| (tabla tomada de [Ovs17]) Las sucesiones de Farey son simétricas en el sentido en que la subsucesión que de hasta es la imagen especular de la subsucesión que va desde hasta . En la figura siguiente se ilustra este hecho con la sucesión F5 (la sucesión se presenta en orden decreciente esta vez). Figura 3: Simetría de las sucesiones de Farey (figura tomada de [Ovs17]) 3. Ritmo y sucesiones de Farey Dado que las sucesiones de Farey de orden n representan todas las fracciones irreducibles en el intervalo [0,1], basta con identificar dicho intervalo con el pulso y entonces tendremos representadas todas las divisiones del pulso. Por ejemplo, F2 = genera la subdivisión en corcheas de una negra. Por otro lado, los tresillos corresponden al conjunto . F3 es la unión de las corcheas y los tresillos: F3 = . La figura de abajo ilustra estos hechos. Figura 4: Subdivisiones rítmicas asociadas a las sucesiones de Farey (figura tomada de [Boe18]) Se sigue de este razonamiento que las sucesiones de Farey de orden n contiene todos los ataques de los polirritmos en orden creciente para un pulso dado. Sin embargo, es posible librarse de la restricción de tener que considerar un solo pulso. Una sucesión de Farey puede representar las duraciones de una frase rítmica o de una pieza entera de hecho. Para hacer esto es necesario aumentar el orden de la sucesión (en un modo relacionado con la duración mínima de la pieza en cuestión) y quitar aquellas fracciones que no se correspondan con un ataque en la pieza. Boenn [Boe18] llama a estas sucesiones sucesiones de Farey filtradas. Otra restricción que se puede eliminar es la del rango de Fn, que hasta ahora es el intervalo [0,1]. La manera de hacerlo es escalar la sucesión original Fn al nuevo rango. Sea [x,y] un intervalo con x < y. Se designa por Fn[x,y] a la sucesión de Farey en [x,y] obtenida escalando Fn en dicho intervalo. Como ejemplo, consideremos F4, que es: Las sucesiones F4[0,1∕2] y F4[1∕2,1] son entonces: F4[0,1∕2] = F4[1∕2,1] = Es posible ahora considerar la unión de estas dos sucesiones de Farey (el término 1∕2 aparece solo una vez): F4[0,1∕2] ∪ F4[1∕2,1] = ∪ = Nótese que F4[0,1∕2] ∪ F4[1∕2,1 ⊂ F8. Por completitud, F8 es: Este método de generar nuevas sucesiones a partir de sucesiones de Farey se llama concatenación. Las sucesiones de Farey son particularmente adecuadas para estudiar los polirritmos. Boenn [Boe18] en su libro estudia la música de varios compositores a través de estas sucesiones, compositores como de Stravinsky (analiza La consagración de la primavera), Messian o Ockeghem (analiza su famosa misa Missa prolationem). En la tabla de abajo se muestran patrones polirrítmicos (dados en notación SNMR) y sus correspondientes sucesiones de Farey filtradas. Figura 5: Polirritmos y sucesiones de Farey filtradas (figura tomada de [Boe18]) 4. Notación SNMR Cuadro con la notación SNMR: Figura 6: La codificación SNMR (figura tomada de [Boe18])   Bibliografía [Boe18] Georg Boenn. Computational Models of Rhythm and Meter. Springer, New York, Berlín, 2018. [Cal22] Think Calculator. Farey sequences, junio de 2022. [Góm22a] P. Gómez. Modelos computacionales de ritmo y métrica (II), abril de 2022. [Góm22b] P. Gómez. Modelos computacionales de ritmo y métrica (III), junio de 2022. [Ovs17] Valentin Ovsienko. Partitions of unity in SL(2, г), negative continued fractions, and dissections of polygons. Research in the Mathematical Sciences, 5, 10 2017.

Jueves, 07 de Julio de 2022 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

14. 172. EL CONCURSO DEL VERANO 2022

Nuestro concurso llega a la mayoría de edad. Esperemos que sigáis disfrutando de él como en ediciones pasadas. Aunque el mecanismo es muy sencillo, recordamos las características de este concurso de forma escueta: ■ A partir de las pistas que se dan en el texto, se trata de averiguar el título de una película oculta (clásica normalmente, o al menos con cierta antigüedad), y de paso, responder unas preguntillas (las de tipo matemático en color rojo; las culturales, en azul). Quien o quienes mayor puntuación alcancen serán los ganadores, a los que la dirección de DivulgaMAT les hará llegar algún obsequio, en la medida de sus posibilidades. ■ Se intentan (no siempre se logra) plantear cuestiones de todos los niveles (sencillas, medias, difíciles pocas), pero como nadie sabe a qué categoría pertenece cada una (además de que la dificultad es un concepto subjetivo), ninguna a priori debería evitarse. Trataremos de no exceder el nivel de 2º de Bachillerato, es decir, matemáticas elementales (lo que no quiere decir triviales). Tampoco deberían dejarse de enviar las respuestas, aunque sólo se sepa una (quien sabe, a lo mejor, nadie ha acertado más; cosas más raras se ven diariamente). ■ No hay un orden establecido ni a la hora de describir escenas de la película, ni a la hora de descifrar el contenido de las cuestiones. Puede que sepamos responder antes a la pregunta quinta que a las anteriores. Pero todas pueden ayudar en averiguar el título de la película. Los fotogramas que se incluyen son todos de la película en cuestión. XVIII CONCURSO Es posible que alguna vez hayáis leído que existen procedimientos basados en las matemáticas para escapar de un laberinto. Y es posible que alguna vez hayáis resuelto alguno de los que se proponen en la sección de pasatiempos de las revistas o periódicos. La película de este año es bastante laberíntica por muchos motivos, así que podemos empezar tratando de resolver un par de ellos, uno más matemático (M – 1 , pero que con cierta dosis de paciencia sale), y otro más tradicional (C – 1; C – 2). Otra característica presente en todo el metraje de la película son los juegos (C – 3; M – 2) y los juguetes. Uno de los protagonistas es un amante de los juegos y los enigmas (éstos son parte de su trabajo) (M – 3). Además, hay muchos objetos dispersos en cada escena de la película (C – 4), pero en algún momento los relojes tienen cierta relevancia (C – 5; M – 4). Por otra parte, si observamos el modo en que está embaldosado el suelo en algunos lugares, observamos una disposición con cuadrados y rectángulos de diferentes tamaños que finalmente forman una zona cuadrada perfecta (M – 5). De entre esos muchos objetos que juegan algún papel en la trama de la película hay un joyero que contiene lo que su nombre indica (M – 6). También se encuentra la figura que vemos en la imagen, que quizá pueda ayudar a descubrir el oficio al que se dedica uno de los protagonistas de la historia (C – 6; C – 7). Y también aparece una diana (M – 7). Además de lo comentado, la película es singular por el elenco que muestra (C – 8). Y por el giro que toman los acontecimientos (M – 8). Por cierto, ¿quién no ha ido alguna vez al cuarto de baño con alguna tarea con la que entretenerse? En la película, al lado del retrete, en una pared, podemos observar el enorme crucigrama de la imagen (M – 9). En concursos pasados, los participantes siempre han manifestado que es de cierta ayuda conocer el año de estreno de la película. Normalmente proponemos una cuestión en cuya resolución aparece ese año. En esta ocasión, diremos que se hizo una nueva versión de la película, ya en este siglo, cuya aportación aparte de la estética, es bastante cuestionable, a pesar de que el nuevo guion contara con todo un premio Nobel como responsable. Supongamos que escribimos los números naturales desde el 2, en cinco columnas del siguiente modo Pues bien, el año de la película, el de su remake, el año actual, y la diferencia de años entre el año actual y la primera versión, se encuentran en columnas diferentes. La diferencia entre el año actual y la segunda versión comparte la misma columna que el año de esa segunda versión, y para que no tengáis que contemplar demasiados casos, digamos que esas diferencias entre el año actual y el estreno de ambas versiones son las dos múltiplos de cinco (M – 10; C – 8). Y para acabar (M – 11; C – 9; C – 10; C – 11). CUESTIONES MATEMÁTICAS M – 1.- Imaginemos que nos topamos con el siguiente cuadro Nos situamos en la casilla a la que apunta la flecha (tiene un + 1). Ese valor indica el número de pasos que se pueden dar en cualquiera de las 4 direcciones: arriba, izquierda, derecha, abajo. En este caso, al estar en un borde, no podríamos abajo, ya que una vez en el laberinto, no es posible saltar fuera de la cuadrícula (siempre debemos permanecer dentro de los límites). El objetivo es alcanzar el centro de la cuadrícula, es decir, llegar a la baldosa 0 (donde nos espera nuestro anfitrión). Pero NO se puede repetir nunca una cuadrícula ya visitada. Hay dos modalidades que hay que resolver: la sencilla, que es alcanzar con esas normas la casilla 0, sin tener en cuenta los signos + y – que aparecen; y la del experto, en la que la suma de las casillas visitadas teniendo en cuenta los signos de cada una, debe ser igual a 0 al llegar a la casilla 0. M – 2.- En uno de los juegos aparecen bolas, a las que cada jugador impulsa cuando juega. Una de ellas se desliza por una superficie rugosa. En el primer segundo recorre 10 centímetros, disminuyendo la velocidad a medida que avanza recorriendo en cada segundo 2/3 de la distancia recorrida en el segundo anterior. ¿A qué distancia del inicio se detendrá? M – 3.- No sería difícil pensar que, en su intento de poner en evidencia a otro de los protagonistas, o más bien, demostrar su superioridad sobre él, le propusiera un juego como éste: se trata de formar un número de diez dígitos. Comienza él mismo escribiendo cualquier dígito que no sea cero en el primer lugar sobre un papel. Después su invitado debería escribir un dígito diferente que escribe en segundo lugar, turnándose posteriormente y agregando un dígito al número que va formándose. En cada turno, el dígito seleccionado debe ser diferente de todos los dígitos anteriores, y el número formado por los primeros n dígitos debe ser siempre divisible por n. Por ejemplo, 321 pueden ser los primeros tres movimientos del juego, ya que 3 es divisible por 1, 32 es divisible por 2 y 321 es divisible por 3. Cuando un jugador no pueda escribir un nuevo dígito cumpliendo estas normas, pierde el juego. Si se consigue llegar a los diez movimientos (es decir, se pueden escribir los diez dígitos), se declara un empate. (i) Demostrar que el juego puede terminar en empate. (ii) Demostrar que el anfitrión tiene una estrategia ganadora y describirla. (iii) ¿Sería más justo el juego si cambiamos la segunda condición por la de que el número formado al poner un nuevo dígito sea siempre divisible por el dígito que se añade (considerando el 0 como divisible por 10)? Por ejemplo 3210 sería posible porque 3 es divisible por 3, 32 es divisible por 2, 321 es divisible por 1, 3210 es divisible por 10, etc. M – 4.- ¿Cuántas veces las manecillas de un reloj forman un ángulo recto al cabo del día? ¿A qué horas? (Basta con detallar el cálculo de una de ellas, pongamos, por ejemplo, aquella que está entre las 7 y las 8, aunque se describan todas). M – 5.- Supongamos que tenemos solamente dos tipos de baldosas cuadradas. El primero tiene una longitud de lado 1 cm y el otro tiene una longitud de lado 2 cm. ¿Cuál sería el cuadrado más pequeño que podríamos hacer con el mismo número de baldosas de cada tipo? M – 6.- Además de un collar de rubíes hay otros con perlas, esmeraldas, etc. Este último está formado por una cadena de hexágonos regulares en los que se han incrustado las esmeraldas en forma de triángulos equiláteros como vemos en la imagen. Sabemos que el área de cada hexágono es de 96 unidades. ¿Cuál es entonces la superficie de cada esmeralda? M – 7.- Aunque uno de los protagonistas es un experto lanzador de dardos y acierta en el centro de la diana a la primera, evidentemente eso no es lo normal. Supongamos que somos nosotros los que lanzamos tres dardos (lo usual en el juego, como seguramente sabréis), apuntando al centro. En nuestra imaginaria partida, el segundo dardo cae más lejos del centro que el primero. ¿Cuál es la probabilidad de que el tercer lanzamiento esté más lejos del centro que el primero? Supondremos que nuestra habilidad de lanzamiento es constante. M – 8.- Se proponen nuevos juegos por parte de otros personajes. Imaginemos una mesa circular. Dos jugadores se turnan para colocar monedas en ella sin que se superpongan. El jugador que no pueda hacer un movimiento pierde. ¿Tiene alguno de los jugadores una estrategia ganadora? Si existe, ¿puedes describirla? M – 9.- Para no ser menos, vamos a proponer un crucigrama de contenido matemático. Y por respetar la nacionalidad de la película, las soluciones deben ponerse en inglés. Al final del texto están las definiciones y el crucigrama. M – 10.- Años de estreno de ambas películas. M – 11.- ¿Cuál es la película enigma de este concurso? CUESTIONES CULTURALES C – 1.- Resolver el siguiente laberinto (elige la opción que quieras: o llegar al centro desde la entrada exterior, o desde el centro, salir fuera). C – 2.- Indica al menos tres lugares del mundo en los que haya laberintos reales, describiendo un poco su historia (para qué se diseñaron, por quien, etc.). Se valorarán más aquellos que cumplan las siguientes condiciones: estar en España, estar lo más cerca posible del lugar del rodaje de la película, antigüedad. C – 3.- Haz un listado de todos los juegos que aparecen o se mencionan a lo largo de la película. C – 4.- Uno de ellos es este guitarrista troglodita que aparece además en otras películas. Una de ellas la protagoniza un cantante que trató de emular a otro, de actualidad estos días (¿Quién y por qué?), aunque ese sucedáneo ni triunfó, ni siquiera fue conocido fuera de su país. ¿A qué cantante nos referimos y en qué otras películas aparece el guitarrista troglodita como parte del atrezo? C – 5.- ¿Por qué? C – 6.- ¿Cuál es dicho oficio? ¿Por qué es célebre el protagonista? ¿Qué otros autores y sus creaciones son nombrados y/o representados en fotografías en la película? C – 7.- Repetidas veces vemos el retrato de un personaje importante en el argumento, el de la imagen adjunta, pero que nunca aparece físicamente. ¿Quién es? ¿A qué actriz real corresponde? ¿Por qué aparece precisamente esa actriz? ¿Hay alguna otra imagen suya a lo largo de la película diferente a la de este retrato? C – 8.- ¿Observas alguno “extraño” en los títulos de crédito? ¿A qué se debe? Enumera al menos tres películas más en las que el número de protagonistas sea menos o igual al de ésta. A ser posible de nacionalidades y épocas diferentes. C – 9.- ¿Qué diferencias observas en ambas versiones? Aparte de basarse en la misma obra común, y por tanto tener un argumento “similar”, ¿encuentras alguna cosa súper evidente que coincida en ambas? C – 10.- Para muy cinéfilos: uno de los protagonistas hace una referencia a otra célebre película directamente relacionada con él, aunque de un modo un tanto enigmático. ¿Puedes explicarlo? Y de paso indica algún actor que rechazó participar en esta película. C – 11.- Opinión sobre la película (o películas). ¿Te han gustado? ¿Las conocías? ¿Te han llamado la atención algún aspecto de ellas (algún tema que abordan, por ejemplo)? ¿Cuál te ha gustado más? CRUCIGRAMA PROPUESTO (M – 9) Horizontales: 1.- Conjetura en teoría de números que es una de los siete problemas con premios del Clay Mathematics Institute 11.- Comete esta galleta blanca y negra mientras haces tareas para el hogar 12.- Úsalo para escuchar conferencias de teoría de números 13.- Euclides Alejandría 15.- La fracción continua [1; 1, 1, 1, …] no es The Silver Sum, ni The Copper Product, sino The Golden _____ 17.- Un número con tantos dígitos como su nombre (recordamos que en inglés) 19.- Este símbolo es una función teórica numérica que se define igual a +1 o a -1 21.- Lo que uno espera hacer con una conjetura 24.- Un primo de Sophie Germain es, por definición, un primo p tal que 2p + 1 es 26.- Su último teorema fue garabateado en el margen de una copia de la Aritmética de Diofanto 29.- Función ____ de Riemann 30.- Él originó los símbolos f(x), e, i, p, y Σ 32.- Un ejemplo de un par de números de Ruth-Aaron son (714, 700 + n), donde n = 34.- Probó que M67 = 267 – 1 es compuesto en la 1903 reunión de la American Mathematical Society. 37.- Divisor 42.- Período de tiempo 43.- Cómo ver tu tarea si la electricidad desaparece 44.- La E en John E. Littlewood, quien fue famoso por su asociación con Hardy 45.- Si n se escribe como suma de dos cuadrados, entonces ningún primo de la forma 4k + 3 puede aparecer en una potencia ____ de la descomposición en factores de n 47.- Organización norteamericana fundada en 1888 para motivar la enseñanza y la investigación de las matemáticas 48.- Fue el primero en dar la solución general a las ecuaciones diofánticas lineales 49.- El ganado de Arquímedes pastaba una vez en los campos de esta isla mediterránea (no olvides que hay que escribir la solución en inglés) 50.- Una verificación elemental de la multiplicación que hace uso de la congruencia 10n ≡ 1(mod 9), se denomina en inglés “casting ___ nines” 51.- Fundó, en 1996, la página the Great Internet Mersenne Prime Search 53.- Primera y última letra en la abreviatura de un millón de ciclos por segundo 54.- En 1971, Brillhart y Morrison pudieron factorizar el Número de Fermat Fn, donde n es igual a 60.- Todos los números perfectos pares mayores que 6 tienen una raíz ____ de uno 62.- Tanto él como su padre eran profesores de matemáticas en Oxford, pero se hizo famoso por su relación con la hija del decano de Christ Church, Oxford 65.- Autor del rompecabezas de la Torre de Hanoi 67.- 2 no es una ____ para un triángulo pitagórico (recuerda que está en inglés) 69.- Completó trabajos sobre teoría de números y la curvatura de las superficies antes de morir de cáncer de mama en 1831 70.- Roger Federer, campeón de tenis de Wimbleton en 2004, y Leonhard Euler tienen esto en común 72.- El hermano menor de Littlewood murió a los 8 años al caer en uno de estos 73.- Colección finita o infinita de objetos 74.- Ciudad natal del matemático José Anastacio de Cunha 75.- Según F. R. David, no vienen de manera sencilla Verticales: 1.- La serie de recíprocos de todos los primos gemelos converge a un valor que lleva el nombre de este noruego, Viggo ____ 2.- Abreviatura latina de “eso es” 3.- No es la función floor, sino otra. La misma en la que se encontraba el violinista 4.- Pascal y Fermat usaron las matemáticas para estudiar los juegos y las posibilidades de 5.- Si destacas en teoría de números, puedes estar cualificado para un trabajo en esta organización criptológica 6.- El orden de 12 módulo 13 7.- La forma más obvia de calcular 1210 (mod 23) es multiplicar 12 veces cierto valor calculando el resto al dividir por 23 en cada multiplicación 8.- Robert P. Langlands, quien recibió el Premio Cole en Teoría de Números en 1982 por su trabajo pionero sobre formas automórficas, recibió su doctorado de esta escuela 9.- Debes hacer esto en tu libro de texto de teoría de números 10.- El de 2 (mod 7) es 3 14.- Cualquier número entero positivo se puede expresar como suma de este número de cuadrados 15.- En el popular esquema de encriptación RSA, la letra “R” representa a esta persona 16.- Canción popular de los Beatles “Let” (dos palabras) 18.- A qué velocidad gira un motor (abreviatura) 19.- Si p(n) denota el número de particiones del entero, entonces el _____ cuando n tiende a infinito [p(n)]^(1/n) es 1 20.- El conjunto de enteros positivos de 2 dígitos < 50 que se pueden expresar como suma de dos cuadrados en dos maneras distintas 22.- Si la congruencia x2 ≡ 5 mod 31 tiene solución, entonces 5 es una ____ cuadratica de 31 23.- Si ϕ denota la función phi de Euler, entonces ϕ (n) ≡ c (mód 2), ∀ n > 2; entonces c es igual a esto 24.- Pasa la 25.- El castillo de un célebre personaje de ficción 26.- Estas medallas en matemáticas son los equivalentes de los Premios Nobel 27.- Iniciales de un famoso inventor estadounidense nacido en Ohio 28.- Título que se otorga al completar un doctorado 31.- Los de Galois incluyen una de éstas de los enteros módulo p, con p primo 33.- Una ____ continua es una representación de los números reales en términos de una sucesión de números enteros 35.- Matemático alemán que obtuvo estimaciones asintóticas de cuántos enteros son ≤ x que son expresables como suma de dos cuadrados 36.- Su famoso teorema dice que para cualquier número irracional x existen infinitos p/q racionales tales que 38.- El símbolo “∨” en p ∨ q representa esto 39.- El italiano Maurolico demostró que todo número par perfecto es también numero ____ 40.- Conjeturó que siempre existe un primo entre un número y su doble 41.- Su nombre se asocia a una fórmula de inversión y a una tira de papel. 43.- Los números enteros al cuadrado se pueden escribir como producto de un cuadrado y esto 46.- Pi ___ se celebra el 14 de marzo 49.- El teorema de los cuatro cuadrados afirma que todo número natural es el ____ de 4 cuadrados enteros 52.- Abel, Eisenstein y Ramanujan todos murieron a causa de este (abreviatura) 55.- “Bueno, he hecho una cosa que tú nunca podrías haber hecho, que es haber colaborado con Littlewood y Ramanujan en términos de _____" 56.- Demostró con éxito el último teorema de Fermat 57.- Durante su vida, Gauss produjo todas estas pruebas de la Ley de Reciprocidad Cuadrática 58.- El número de primos menor o igual que cualquier x dado es aproximadamente igual a x dividido por su 59.- El de un conjunto es el menor número ordinal mayor que el rango de cualquier miembro del conjunto 61.- El símbolo del germanio 63.- Este tipo de intervalo no incluye sus extremos 64.- Si completas este rompecabezas, eres un matemático _____ (recuerda, en inglés) 65.- Primera y última letra de la abreviatura de menor múltiplo común 66.- Agencia gubernamental que proporciona al Presidente inteligencia de seguridad nacional (ya que él no suele tener mucha) 68.- Aquí es donde Hardy y Ramanujan encontraron el número 1729 70.- Grado que la mayoría de los estudiantes de licenciatura en matemáticas reciben (abreviatura) 71.- Más vale ___ que arre, dice el dicho borruno popular. Baremo: Todas las cuestiones, tanto las rojas (las matemáticas), como las azules (cine y demás), se valorarán con 10 puntos como máximo. En total, 220 puntos en juego, si las cuentas no me fallan. Todo comentario, sugerencia, queja, etc., será bien recibido. Si no salen algunas cosas, no importa; lo que cuenta es tratar de pasar un buen rato, disfrutar de la película (que el verano da para mucho), y mantener las neuronas un poco activas. Confío que no haya demasiados errores en las cuestiones. Se han repasado varias veces, pero algunas, al ser inventadas o retocadas de otros enunciados, podrían tener alguna errata. Sed benévolos con vuestros calificativos si tal cosa sucediera. El plazo para enviar las respuestas, es como en años precedentes, hasta las 00:00 del jueves 1 de Septiembre de 2022, a la dirección apoblacion@uva.es, indicando en el asunto Verano 2022. ¡¡¡¡Buen Verano Cine-matemático!!!!

Jueves, 30 de Junio de 2022 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

15. 125. (Junio 2022) Modelos computacionales de ritmo y métrica (III)

1. Introducción Seguimos con la serie Modelos computacionales de ritmo y métrica y en la columna de este mes vamos a examinar la combinatoria de palabras aplicada a la música, en particular a la teoría del ritmo. En el primer artículo [Góm22a] de esta serie tratamos la definición de ritmo desde un punto de vista conceptual así como la presentación de diversos métodos de notación rítmica. En el segundo artículo [Góm22b] se estudiaron métodos de generación y recuento de ritmos, sobre todo los ritmos aksak. La combinatoria de palabras —combinatorics on words en inglés —es una rama de la matemática discreta que pertenece a su vez al campo de la combinatoria. El campo de la combinatoria de palabras es relativamente nuevo y su objeto de estudio son las palabras y los lenguajes formales, con especial atención a los patrones. La combinatoria de palabras como tal se formaliza modernamente en el libro Combinatorics on words [Lot83], libro escrito por un grupo de matemáticos que tomó el nombre de Lothaire. Sin embargo, hay precedentes tan tempranos como Bernouilli en 1771 con su estudio de las fracciones continuas o los trabajos de Christoffel (1829–1900), de donde toman el nombre las palabras de Christoffel que estudiaremos en la columna de este mes. Para un buen examen histórico de la combinatoria de palabras, véase el artículo de Berstel y Perrin The origins of combinatorics on words [BP07]. La teoría de las palabras de Christoffel empieza a finales del siglo XIX, pero el término no se acuña oficialmente hasta 1990, y es Berstel [Ber90] quien lo hace por primera vez. Desde entonces, las palabras de Christoffel se han estudiado a fondo y hay muchas caracterizaciones y resultados, algunos de los cuales veremos aquí. 2. Palabras de Christoffel Empezaremos con la definición geométrica de las palabras de Christoffel. Sean a,b dos números naturales tales que su máximo común divisor es 1, esto es, que, salvo el 1, no tienen divisores comunes. Cuando esto ocurre decimos que a y b son primos relativos entre sí o coprimos y es costumbre en el campo de la combinatoria de palabras escribir a ⊥ b. Consideremos a continuación la recta que une (0,0) y (a,b) en el retículo ℤ × ℤ (en lugar de en ℝ2). Llamemos (0,0) → (a,b) al segmento dirigido que une (0,0) y (a,b). El camino inferior de Christoffel, o simplemente el camino inferior, es el camino que se ve en rojo en la parte izquierda de la figura 1. Está definido como sigue: Es una poligonal de lados paralelos a los ejes que empieza en (0,0) y acaba en (a,b). La región interior comprendida entre el segmento (0,0) → (a,b) y la poligonal no contiene ningún punto del retículo ℤ × ℤ. Figura 1: Definición geométrica de las palabras de Christoffel (figura tomada de [BLRS08]) De manera análoga, se define camino superior de Christoffel. En todo lo que sigue, solo consideraremos el camino inferior, por lo que por camino siempre entenderemos el camino inferior de Christoffel. Si ahora asociamos a cada segmento horizontal unidad la letra x y a cada segmento vertical unidad la letra y, obtendremos una sucesión. Esta sucesión es una palabra de Christoffel sobre el alfabeto A = . El conjunto de las palabras formadas con elementos del alfabeto se designa por * y en dicho conjunto está la sucesión vacía, designada por ε. El número de elementos de una sucesión se llama la longitud de la palabra; la longitud de ε es cero y la de una palabra arbitraria la suma del número de símbolos x e y. Si miramos la figura 1 de nuevo, vemos que (a,b) = (7,4) y que la palabra de Christoffel asociada es C(a,b) = xxyxxyxxyxy; donde C(a,b) es el símbolo para dicha palabra. Obsérvese que la pendiente de la recta que pasa por el segmento (0,0) → (a,b) es 4∕7. C(0,1) = y es la palabra de Christoffel de pendiente +∞; C(1,1) = xy; y la palabra vacía ε no es una palabra de Christoffel porque 0 no es relativamente primo consigo mismo. Las palabras de Christoffel tienen la bonita propiedad de que toda palabra de longitud 2 o más es la concatenación de dos únicas palabras de Christoffel; véase [BLRS08] para una prueba de este resultado. Para los lectores amantes de la computación, a continuación presentamos un algoritmo para generar palabras de Christoffel; aparece en el capítulo 6 del libro de Boenn [Boe18]. Figura 2: Algoritmo de generación de palabras de Christoffel (tomado de [Boe18]) 3. Generación de ritmos a partir de palabras de Christoffel 3.1. Conversión de palabras en ritmos La manera de generar ritmos a partir de palabras de Christoffel es bastante directa. Escojamos como alfabeto el conjunto A = , donde haremos que 1 represente una nota y 0 un silencio. Las palabras de Christoffel son ahora sucesiones formadas de por ceros y unos (por bits), que no son otra cosa que representación de ritmos, como vimos en la primera columna de esta serie. Por ejemplo, la palabra C(5,7) es la sucesión xyxyxyyxyxyy, pero cuando se la transforma en un ritmo es [1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0] (por claridad de lectura, pondremos los ritmos entre corchetes). Este ritmo no es sino la conocida clave son 6/8 de la tradición musical afrocubana. Un ritmo que proviene de una palabra de Christoffel se llamará ritmo de Christoffel. 3.2. Operaciones sobre ritmos de Christoffel Matemática y musicalmente, vienen a la mente varias operaciones. La primera es el complementario, esto es, intercambiar los ceros por los unos y viceversa. Si C(a,b) es un ritmo de Christoffel, su complementario se designará por ¬C(a,b). Por ejemplo, si C(3,5) = [1 1 0 1 1 0 1 0], entonces el complementario será ¬C(3,5) = [0 0 1 0 0 1 0 1]. Otra operación, menos obvia de concebir, es la operación ν, que lleva un recuento de las repeticiones en dos elementos consecutivos. ν(C(a,b)) se define como sigue: El primer bit del ritmo se queda como está en ν(C(a,b)); Si en C(a,b) el k-ésimo bit es igual al anterior, con k = 2,…,a + b, entonces el k-ésimo bit de ν(C(a,b)) es 0; en otro caso, es 1. Abajo tenemos ejemplos de las operaciones anteriores: C(3,5) = [1 1 0 1 1 0 1 0]; ¬C(3,5) = [0 0 1 0 0 1 0 1]; ν(C(3,5) = [1 0 1 1 0 1 1 1] ¬ν(C(3,5) = [0 1 0 0 1 0 0 0] Otras operaciones son posibles tales como las operaciones lógicas de o lógico ∨ o de y lógico ∧ (siempre que los ritmos tengan la misma longitud). La rotación de ritmos de Christoffel es otra operación muy común. La rotación a la izquierda de k posiciones de un ritmo C(a,b), donde 0 ≤ k ≤ a + b, consiste en leer el ritmo desde la posición k hacia la izquierda volviendo al principio cuando se llega a la última posición del ritmo. La rotación a la izquierda de 3 posiciones de C(3,5) es el ritmo [1 1 0 1 0 1 1 0]. Análogamente, se pueden definir las rotaciones a la derecha. Las rotaciones a la izquierda de k posiciones se designan por ϱk(C(a,b)), donde k puede ser positivo o negativo. Por último, una operación muy natural es la inversión del ritmo, que no consiste en otra cosa que en leer el ritmo de derecha a izquierda empezando por el último bit. Se usa la notación R(C(a,b)) para designar la inversión de C(a,b). La inversión de C(3,5) es R(C(3,5)) = [0 1 0 1 1 0 1 1]. No es muy difícil probar la igualdad: C(b,a) = R(¬C (a,b)) 4. Ritmos de Christoffel en música Los ritmos de Christoffel se encuentran en la música y en la poesía griega. La poesía griega se basaba en un sistema de pies métricos. Un pie es la unidad de medida métrica y está compuesto por combinaciones de sílabas largas y cortas. Esto se traslada a la música combinando notas largas y cortas. Este sistema de pies métricos se ha usado con frecuencia para analizar la música occidental. La siguiente tabla muestra algunos ejemplos. En la primera columna se encuentra el nombre de los pies rítmicos, después su notación moderna, seguido por la notación SNMR y, por último la correspondiente palabra de Christoffel. Ritmo Notación Notación SNMR Palabra de Christoffel Yambo X C(1,2) = 110 Troqueo > ϱ(C(1,2)) = ν(C(1,2)) = 101 Tribaco i C(0,3) = 111 Espondeo II C(2,2) = 1010 Anapesto :I C(1,3) = 1110 Tabla 1: Ritmos de Christoffel en los pies métricos de la poesía griega También encontramos ritmos de Christoffel en las claves de las tradiciones musicales africanas y afro-americanas. Una clave es un ritmo que se toca a lo largo de una pieza y que tienes varias funciones, entre ellas la de estabilizador rítmico, marcar el fraseo o establecer referencia temporal. Para más información sobre las claves, véanse [Lon04] o [DGMM+09] y las referencias allí contenidas. La tabla siguiente muestra varias claves de diversas culturales musicales que son ritmos de Christoffel. Los ritmos están escritos en compás de 4/2. El punto en la segunda fila significa concatenación de ritmos. Ritmo Notación Notación SNMR Palabra de Christoffel Clave son 2-3 - H - - - ϱ4(C(11,5) = 0010100010010010 Clave rumba 3-2 - H - I H ϱ(C(7,3)) ⋅ C(1,1) ⋅ C(3,1) = 1001000100101000 Bossa Nova - - H - - ϱ2(C(11,5) = 1001000100100100 Soukous - -H XI C(7,3) ⋅ ν(C(5,1)) = 1001001000110000 Tabla 2: Ritmos de Christoffel en los pies métricos de la poesía griega En la música turca, los ritmos de Christoffel aparecen con mucha frecuencia. La tabla siguiente muestra unos cuantos de esos ritmos. Figura 3: Ritmos de Christoffel que se encuentran en la música turca (lista tomada de [Boe18]) Para acabar esta columna, vamos a explorar la relación entre los ritmos de Christoffel y los ritmos euclídeos. La siguiente sección es una breve exposición de los ritmos euclídeos y sus propiedades. 5. Ritmos euclídeos En lo que sigue vamos a seguir la exposición del trabajo Si Euclides lo supiese... se sentiría orgulloso [Góm09] del propio autor de estas líneas. Los ritmos euclídeos reciben este nombre porque provienen de la aplicación del algoritmo de Euclides. Este algoritmo lo inventó Euclides para calcular el máximo común divisor de dos números y consiste en hacer divisiones sucesivas para hallar el máximo común divisor de dos números positivos (m.c.d. de aquí en adelante). Si queremos hallar el m.c.d. de dos números a y b, suponiendo que a > b, primero dividimos a entre b, y obtenemos el resto r de la división. Euclides se dio cuenta de que el m.c.d. de a y b era el mismo que el de b y r. Para verlo, observemos que al dividir a entre b, hallamos un cociente c y un resto r de tal manera que se cumple que: a = c⋅b+ r,  0 ≤ r ≤ b- 1 Esta ecuación nos dice que todo divisor común de a y b tiene que serlo también de r. En particular, el m.c.d. de a y b es el m.c.d. de b y r. En efecto, si d es un divisor común de a y b, entonces y, por tanto, r divide a d. Esto implica que m.c.d(a,b) = m.c.d.(b,r). Pero ¿por qué parar aquí? Aplicamos el mismo argumento a b y r y obtenemos una sucesión de restos estrictamente decreciente. En algún momento esa sucesión alcanza el 0. Se puede probar que el último resto no nulo es precisamente el máximo común divisor de a y b. Por ejemplo, calculemos el máximo común de 17 y 7. Como 17 = 7 ⋅ 2 + 3, entonces el m.c.d.(17, 7) es igual al m.c.d.(7, 3). De nuevo, como 7 = 3 ⋅ 2 + 1, entonces el m.c.d.(7, 3) es igual al m.c.d.(3, 1). Aquí es claro que el m.c.d. entre 3 y 1 es simplemente 1. Por tanto, el m.c.d entre 17 y 7 es 1 también. ¿Cómo se transforma el cálculo del máximo común divisor en un método para generar patrones distribuidos con regularidad máxima? Ilustraremos el proceso con un ejemplo de ritmos. Supongamos que tenemos 17 pulsos y queremos distribuir de forma regular 7 notas entre los 17 pulsos. Sigamos los pasos dados en la figura 4. Primero, alineamos el número de notas y el número de silencios (siete unos y diez ceros); véase la figura 4-paso (1). A continuación, formamos grupos de 7, los cuales corresponden a efectuar la división de 17 entre 7; obtenemos, pues, 7 grupos formados por [1 0] (en columnas en el paso (2) de la figura 4). Sobran tres ceros, lo cual indica que en el paso siguiente formaremos grupos de 3. Tras formar el primer grupo —véase el paso (3) de la figura 4— nos quedamos sin ceros. Continuamos agrupando de 3 en 3 tomando los grupos de la otra caja, en la que quedan 4 columnas (figura 4-paso (4)). Procedemos así que queden uno o cero grupos; de nuevo, esto es equivalente a efectuar la división de 7 entre 3. En nuestro caso, queda un solo grupo y hemos terminado (paso (5)). Finalmente, el ritmo se obtiene leyendo por columnas y de izquierda a derecha la agrupación obtenida (paso (6)). Figura 4: El algoritmo de Euclides para generar ritmos regulares. Aquí cada 1 representa una nota [x] y cada 0, un silencio [.]. El ritmo que hemos generado con nuestra notación se escribe entonces como [x . . x . x . . x . x . . x . x .]. Los ritmos generados por este método se llaman ritmos euclídeos. El ritmo euclídeo de k notas y n pulsos se designa por E(k,n). Otra manera útil de designar un ritmo es mediante las duraciones de las notas en términos de pulsos. El ritmo euclídeo que acabamos de obtener con esta notación se escribe E(7,17) = [x . . x . x . . x . x . . x . x .]= (3232322). Para más información sobre ritmos euclídeos, véase el artículo Si Euclides lo supiese... se sentiría orgulloso [Góm09] del propio autor de estas líneas. Demain y sus coautores [DGMM+09] probaron formalmente que este algoritmo proporciona, salvo rotaciones, la única manera de distribuir k objetos entre n del modo más regular posible. Aún más, había varios algoritmos propuestos de manera independiente y ellos probaron que, en realidad, eran todos equivalentes al viejo algoritmo de Euclides. Damos a continuación una pequeñísima muestra de ritmos euclídeos que se encuentran en las músicas tradicionales del mundo. E(5,8) =[x . x x . x x .]= (21212) es el cinquillo cubano, así como el malfuf de Egipto, o el ritmo coreano para tambor mong P’yon. Si el ritmo se empieza a tocar desde la segunda nota aparece un popular ritmo típico de Oriente Próximo, así como el timini de Senegal. Si se empieza en la tercera nota tenemos el ritmo del tango. E(5,12) =[x . . x . x . . x . x .]= (32322) es un ritmo muy común en África central que tocan los pigmeos aka. Cuando se toca desde la segunda nota es, entre otros, la clave columbia de la música cubana y el ritmo de la danza chakacha de Kenya. E(5,16) =[x . . x . . x . . x . . x . . . ]= (33334) es el ritmo de la bosa-nova de Brasil. Este ritmo se toca a partir de la tercera nota. Existen cerca de dos centenares de ritmos de músicas del mundo documentados que son generados por el algoritmo de Euclides. De nuevo, véase el artículo The distance geometry of music de Demain y sus coautores [DGMM+09]. He aquí una lista de las principales propiedades de los ritmos regulares o ritmos euclídeos: Los ritmos euclídeos tienen solo una o dos duraciones. En el caso de dos duraciones, estas difieren exactamente en una unidad. Por ejemplo, en este ritmo euclídeo (21212) hay dos duraciones de valor 2 y 1. Cuando el número de notas no es primo relativo del número de pulsos, los ritmos euclídeos están formados por la repetición de un patrón. En caso contrario, el ritmo está compuesto por un patrón repetido un número máximo de veces más un único patrón más pequeño, que además es subpatrón del patrón que se repite. Los patrones que forman los ritmos euclídeos son a su vez euclídeos. Esto crea una jerarquía de ritmos euclídeos anidados. La rotación de un ritmo euclídeo es también euclídeo. Esto es consecuencia de que los ritmos euclídeos maximizan las distancias intercordales entre las notas y dichas distancias no cambian con las rotaciones. Tomar el complementario de un ritmo euclídeo (esto es, intercambiar ceros por unos) devuelve un ritmo euclídeo. 6. Ritmos de Christoffel y ritmos euclídeos Boenn prueba en su libro [Boe18] que si, dados a,b con a ⊥ b, existe un k ∈ ℕ tal que a-kb = 1, entonces el ritmo de Christoffel C(a,b) es igual al ritmo euclídeo E(b,a + b). Aquí por E(b,a + b) nos referimos al ritmo obtenido directamente del algoritmo de Bjorklund expuesto más arriba en la figura 4. En el caso en que no se cumpla la condición anterior, el ritmo de Christoffel C(a,b) es igual a una rotación del ritmo euclídeo E(b,a + b). Boenn presenta la siguiente tabla de ritmos euclídeos y sus correspondientes ritmos de Christoffel para ilustrar los resultados mencionados. Figura 5: Ritmos euclídeos que son ritmos de Christoffel (figura tomada de [Boe18]) 7. Notación SNMR Cuadro con la notación SNMR: Figura 6: La codificación SNMR (figura tomada de [Boe18])   Bibliografía [Ber90] Jean Berstel. Tracé de droites, fractions continues et morphismes itérés. Mots, pages 298–309, 1990. [BLRS08] Jean Berstel, Aaron Lauve, Christophe Reutenauer, and Franco Saliola. Combinatorics on Words: Christoffel Words and Repetition in Words. American Mathematical Society, Rhode Island, USA, 2008. [Boe18] Georg Boenn. Computational Models of Rhythm and Meter. Springer, New York, Berlín, 2018. [BP07] Jean Berstel and Dominique Perrin. The origins of combinatorics on words. European Journal of Combinatorics, pages 996–1022, 2007. [DGMM+09] Erik D. Demaine, Francisco Gomez-Martin, Henk Meijer, David Rappaport, Perouz Taslakian, Godfried T. Toussaint, Terry Winograd, and David R. Wood. The distance geometry of music. Computational Geometry: Theory and Application, 42(5):429–454, 2009. [Góm09] Paco Gómez. Si Euclides lo supiese... se sentiría orgulloso. http://www.upm.es/sfs/Rectorado/Vicerrectorado\%20de\%20Investigacion/Oficina\%20de\%20Transferencia\%20de\%20Resultados\%20de\%20Investigacion\%20(OTRI)/Divulgacion/documentos/Si_Euclides.pdf, Noviembre, 2009. [Góm22a] P. Gómez. Modelos computacionales de ritmo y métrica (I). https://www.divulgamat.net/index.php?option=com_content&view=article&id=18789&directory=67, abril de 2022. [Góm22b] P. Gómez. Modelos computacionales de ritmo y métrica (II). https://www.divulgamat.net/index.php?option=com_content&view=article&id=18810&directory=67, abril de 2022. [Lon04] Justin London. Hearing in Time. Oxford University Press, Oxford, England, 2004. [Lot83] M. Lothaire. Combinatorics on words. Addison-Wesley Publishing Co., Reading, Massachusetts., 1983. Encyclopedia of Mathematics and its Applications, vol. 17.

Viernes, 10 de Junio de 2022 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

16. 84. (Junio 2022) Matemáticas sobre marfil

(Astrónomo. Cáliz de las Artes Liberales. Museo del Duomo. Milán) El marfil es un material noble fácil de moldear y que ha sido muy apreciado. Los huesos han servido desde la prehistoria como utensilio o como decoración. La matemática no ha sido ajena a estos usos. Los compases de proporción ingleses, llamados sectores, se solían hacer con marfil, como las reglas de precisión o los conocidos huesos de Neper para la computación. A los delicados poliedros de marfil del gusto de las cámaras de arte y curiosidades de los Príncipes del Renacimiento ya hemos dedicado una instantánea anterior. Ahora destacamos otros objetos artísticos con representaciones matemáticas. El Cáliz Gótico de las Artes Liberales del Duomo de Milán Iniciamos con un cáliz gótico del siglo XIV, perteneciente a la Catedral de Milán, formado por diez gallones de marfil representando las Artes Liberales y la Medicina. La joya se encuentra en la Sala del Tesoro, en la oscura entrada al Museo del Duomo, un edificio situado a la derecha de la catedral. Museo que   permite apreciar en detalle y disfrutar la decoración del edificio principal. (Alegoría de la Geometría. Cáliz de las Artes Liberales. Museo del Duomo. Milán) El Cáliz ya aparece mencionado en 1440 como parte del Tesoro de la Capilla Ducal de San Gottardo. El trabajo en marfil se considera alemán (Colonia). El pie metálico y su pedrería son de manufactura lombarda posterior. El bello objeto ha sido restaurado recientemente con esmero usando como referencia su gemelo: la copa de Madrid. La iconografía es la clásica en el gótico tardío: Medicina con ampolleta, Música con las campanas (tintinabulum), Geometría con escuadra y compás, Aritmética con tablilla de números arábigos y Astronomía con astrolabio plano. (Cáliz de las Artes Liberales. Museo del Duomo. Milán) El cáliz milanés tiene un pariente próximo en Madrid. Si una pieza es valiosa, las dos redoblan el placer. No se conocen otros trabajos similares. Copa de las Artes Liberales del Lázaro Galdiano El Museo Lázaro Galdiano de la Calle Serrano de Madrid no solo tiene el encanto de su extensa colección y la diversidad de objetos que alberga, también flota en el ambiente la gran pasión con la que se realizó la recopilación. La Copa gótica en marfil de las Artes Liberales es una muestra elocuente de los tesoros del museo. El cáliz de Milán que se exhibe en todo su esplendor con un único objeto acompañante y levemente resaltado en una sala en tinieblas. La escenografía de la Copa del Lázaro es, en cambio, muy modesta: se encuentra en una gran vitrina rodeada y bien acompañada por el resto de los marfiles y huesos, como un dado real.   (Copa de las Artes Liberales. Museo Lázaro Galdiano. Madrid) La copa madrileña es más completa que la lombarda pues tiene doce gallones en lugar de diez. El interior de los arcos ojivales de la copa está trilobulado. Los dos gajos adicionales se utilizan para ampliar las escenas de la Medicina y  la Dialéctica. Ambas le dan más encanto al conjunto. La Dialéctica en solitario se limita a su discurso, mientras que con las dos escenas se nos presenta la disputatio dialectica, elemento clave en la educación escolástica. La escena de la Medicina se amplia a una posible mujer médico, justo reconocimiento a las mulieres salernitanae que como Trotula de Ruggiero, Rebeca Guarda Abella Salernitana, Mercuriade, o Costanza Calenda sentaron las bases de la futuras facultades de Medicina. La Geometría está personificada por una figura barbada con compás y posible escuadra desaparecida pero en distinta mano que la de Milán. La Aritmética con tablilla no marca ningún número reconocible. El Astrónomo del Lázaro tiene un astrolabio plano con indicadores de giro pero sin la alidada, uno es el reverso del otro. (Astrónomo. Copa de las Artes Liberales. Museo Lázaro Galdiano. Madrid) La Alegoría de la Astronomía en un bargueño de Burdeos (Alegoría de la Astronomía. Museo de Artes Decorativas. Burdeos) Los museos de Artes Decorativas son también lugares interesantes para encontrar objetos de interés matemático. Una confirmación destacable de lo mucho que merecen la pena es el Museo de Artes Decorativas de Burdeos. Dos bargueños (cabinet, en francés) nos permiten encontrarnos con la Astronomía, uno en su forma alegórica y otro con su aplicación práctica. Nos centramos en el alegórico, un hermoso arca de Amberes de 1610, construido en ébano, marfil y hueso. La decoración exterior de las dos puertas muestra una alegoría de la Justicia, a la derecha, y otra de la Astronomía, a la izquierda. La alegoría es una deliciosa imagen clásica con globo terráqueo sobre el hombro y compás en la otra mano; el diseño proviene de un grabado de Lukas Kilian (1579–1637). (Cabinet de las Artes Liberales. Museo de Artes Decorativas. Burdeos) El cabinet de la Aritmética en Bruselas Los Museos Reales de Arte e Historia del Cincuentenario exhiben un cabinet de inicios del siglo XVII decorado con cinco de las siete alegorías de las Artes Liberales. Solo son visibles las dos exteriores: la Aritmética y la Lógica. El cabinet es de las mismas características que el del Museo de Artes Decorativas de Burdeos. El mueble fue ejecutado en madera de ébano y marfil. Las alegorías están pintadas con tinta negra sobre las láminas de marfil. Los dibujos se ajustan a los grabados de Crispijn de Passe el Viejo (1610) que son diseños de los pintores manieristas flamencos Frans Floris y Maarten de Vos. La Aritmética aparece calculando sobre una tablilla y la Lógica se representa con su doble serpiente enrollada. (Alegoría de la Aritmética. Museo Reales de de Arte de Historia. Bruselas) Las Artes con Minerva en el Liebieghaus El Liebieghaus es una villa de finales del siglo XIX a orillas del río en Fráncfort del Meno que alberga un museo de esculturas, la Städtische Galerie Liebieghaus, que forma parte del conjunto museístico de la ciudad. (Minerva con las Artes Liberales. Museo Liebieghaus. Fránfort) El conjunto en marfil de Minerva y las Artes Liberales es una obra delicada de finales del XVII que pertenecería a una Kunstkammer, un gabinete de curiosidades principesco. La Geometría tiene un compás metálico y un globo terrestre dorado, la Astronomía lleva una esfera armilar y la Aritmética calcula con una tablilla. (Detalle de las Artes Matemáticas. Museo Liebieghaus. Fránfort) El joven matemático de la peluca empolvada del Victoria and Albert El Museo V&A de Londres tiene, entre su extensísimas colecciones, una placa del siglo XVIII en marfil que representa a un joven matemático con sus instrumentos sobre la mesa. Puede tratarse de la representación de un futuro marino con sus útiles de geometría y cálculo. La placa fue tallada por David Le Marchand en 1720. Sobre la mesa hay un compás, un sector inglés (compás de proporción), un cuadrante y un papel con figuras geométricas. (Joven matemático. Museo V&A. Londres)

Miércoles, 01 de Junio de 2022 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

17. 124. (Mayo 2022) Modelos computacionales de ritmo y métrica (II)

1. Introducción En esta segunda columna de la serie Modelos computacionales de ritmo y métrica, vamos a tratar el recuento y la generación de ritmos con técnicas combinatorias.. En la primera columna [Góm], hicimos una breve recensión de los dos primeros capítulos del libro Computational Models of Rhythm and Meter de Boenn [Boe18]. En el primer capítulo se examinaba la definición de ritmo desde un punto de vista abstracto y filosófico; en el segundo, se definió la notación SNMR. 2. Recuento de listas Esta sección tendrá un carácter indagatorio y orgánico. Empezamos considerando un entero positivo n > 1. Este entero representará el número total de pulsos de nuestro ritmo. Asociado a todo ritmo, tenemos k, otro entero positivo con 1 ≤ k ≤ n, que representa las notas del ritmo o ataques. Así, el ritmo lo representamos por la lista R1 = (2,2,2,3). Marcamos en negrita la palabra lista como definición, la cual quiere decir que el orden de los elementos es importante y distingue entre listas (ritmos). Así, el ritmo R2 = (3,2,2,2) tiene un orden distinto de los elementos y es, por tanto, una lista y un ritmo distintos. 2.1. Permutaciones sin y con repetición Investiguemos las listas un poco más en abstracto (el lector se lo merece). Tomemos un conjunto A = de n elementos donde los elementos son distintos entre sí (esto es, ai≠aj si i≠j). ¿Cuántas listas distintas se pueden formar con los elementos de A? Este es un argumento clásico. Para el primer elemento de la lista, tenemos n posibilidades, los n elementos de A. Para el segundo elemento, dado que no podemos usar el elemento de la primera posición, hay n - 1 posibilidades. Razonando así hasta completar la lista entera, llegamos a que hay n ⋅ (n - 1) ⋅… ⋅ 2 ⋅ 1. El número anterior se llama factorial de n y se escribe Este argumento se puede ilustrar con el siguiente árbol, donde hemos hecho que A = : El número de listas formadas por un conjunto de n elementos no repetidos se llama permutaciones sin repetición y se designa por Pn. Por lo visto antes, Pn = n!. ¿Qué ocurre si a continuación eliminamos la restricción de la repetición? Supongamos que tenemos un conjunto A de n elementos formado como sigue: donde n = k1 + k2 + … + km. ¿Cuántas listas distintas se pueden formar con los elementos de A? Si hay repetidos, esto quiere decir que las permutaciones entre los elementos repetidos del mismo tipo dará lugar a la misma selección. Las repeticiones se quitan dividiendo por las permutaciones de la repetición. Por tanto, el número de listas ordenadas formadas con elementos de A, donde hay m grupos de elementos repetidos es: Este número se designa por PRnk1,…,km, donde k1,…,km son los elementos repetidos En el caso del ritmo de arriba R1 = (2,2,2,3), está claro que el conjunto de listas distintas es: de las cuales hay 4. Si calculamos ese número, obtenemos PR43 = = = 4, como era de esperar. 3. Los ritmos aksak Los ritmos aksak son ritmos que tienen solo dos duraciones posibles en términos de distancias, 2 o 3, y han de contener al menos un 2 y al menos un 3. Este tipo de ritmos aparecen en varias tradiciones musicales, entre ellas la música turca o la música búlgara. Autores como Simha Arom [Aro04], Brăiloiu [Bra51], Cler [Cle94], y en conexión con los ritmos euclídeos Demain y coautores [DGMM+09]. Arom clasificó los ritmos aksak para valores del número de pulsos n entre 5 y 29 y proporcionó una clasificación teórica. En su clasificación de ritmos aksak delinea tres categorías: Un ritmo aksak se dice que es auténtico si n es primo. Cuando n es impar pero no es primo, el ritmo aksak es llamado quasi-aksak. En caso de que n sea par, el ritmo aksak se denomina pseudo-aksak. A continuación listamos algunos ritmos aksak junto con sus categorizaciones (los representamos con la notación de notas y silencios, la notación de distancias y la notación SNMR): Ritmos aksak auténticos: [×⋅×⋅ ⋅ ]= (23))=I-, ritmo que se encuentra en la música clásica y en la música de entre otros Grecia, Macedonia, Namibia o Ruanda. [×⋅×⋅×⋅ ] = (223)=II-, ritmo que se encuentra en la música de Bulgaria, Grecia, Sudán y Turquía. [×⋅ ⋅×⋅ ⋅×⋅ ⋅×⋅ ]=(3332)=—I, ritmo que puede oír en la música del sur de la India. [×⋅×⋅×⋅×⋅×⋅ ⋅ ]= (22223), ritmo que se encuentra en Bulgaria, el norte de la India y en Serbia, por nombrar unos pocos ejemplos. Los ritmos [×⋅ ⋅×⋅×⋅ ⋅×⋅×⋅ ⋅ ]=(32323)=-I-I- y [×⋅×⋅×⋅×⋅×⋅×⋅ ⋅ ]=(222223)= =IIIII- se encuentran en la música de Macedonia. Otros ritmos aksak auténticos de la tradición búlgara son: (3232322), (22222223), (32232232), o (323232323). Como ejemplos de ritmos quasi-aksak tenemos: [×⋅×⋅×⋅×⋅ ⋅ ]=(2223)=III-, que se pueden escuchar en la música de Grecia, Macedonia, Turquía o Zaire. El ritmo búlgaro [×⋅×⋅×⋅×⋅×⋅×⋅×⋅ ⋅ ]=(2222223)=IIIIII-. Por último, los siguientes son ritmos pseudo-aksak: [×⋅ ⋅×⋅ ⋅×⋅ ]=(332)=–I, ritmo que se encuentra con frecuencia, por ejemplo, en la música de África central, Grecia, India, Latinoamérica, África del oeste o Sudán. [×⋅ ⋅×⋅×⋅ ⋅×⋅×⋅ ]=(32322)=-I-II, que se encuentra en música de Macedonia o Sudáfrica. Sea R un ritmo aksak de n pulsos con r doses y s tres. El número de ritmos aksak que hay con esos r doses y s treses es: Además, se cumple la siguiente relación entre n,r y s: Esta última relación es una ecuación diofántica y se puede usar para generar y contar ritmos aksak. Una ecuación diofántica es una ecuación de la forma c = ax + by, donde a,b,c son números enteros. El siguiente teorema determina cuándo hay solución y cuando existen cómo se calculan las soluciones. Cuando hay solución, existen infinitas soluciones como vemos en el enunciado del teorema. Teorema. Resolución de ecuaciones diofánticas. Sean a,b,c tres números enteros, y sea d = mcd(a,b). Se considera la ecuación diofántica c = ax + by. Entonces: (1) Si d no divide a c, entonces la ecuación diofántica no tiene solución. (2) Si d divide a c, entonces la ecuación diofántica tiene infinitas soluciones de la forma x = x0 + m, y = y0 -m donde m ∈ ℤ y x0,y0 son soluciones particulares de la ecuación diofántica. Aplicando el teorema a la relación (1) de arriba, vemos que el máximo común de 2 y 3 es 1 (son primos ambos números) y, por tanto, la ecuación (1) siempre tiene solución por el apartado (2) del teorema. La solución particular es, por ejemplo, x0 = -n,y0 = n, ya que 2x0 + 3y0 = -2n + 3n = n. Se sigue que la solución general es: Fijado n, basta encontrar los valores de m que dan valores positivos de x,y (recuérdese que un ritmo aksak exige que haya al menos un 2 y un 3). Pongamos el ejemplo de los ritmos aksak de n = 17 pulsos. Según el teorema, las soluciones de x e y son, respectivamente, x = -17 + 3m,y = 17 - 2m. El valor m = 6 es el primer valor para el que x e y son positivos. La taba siguiente muestra los resultados: m x = -17 + 3m y = 17 - 2m Ritmo SNMR 4 1 5 (233333) I- - - - - 5 4 3 (2222333) I I I I - - - 7 1 2 (22222223) I I I I I I I - Tabla 1: Ritmos aksak de 17 pulsos 4. Combinaciones sin y con repetición La diferencia entre una lista y un conjunto es que en la primera el orden importa y en el segundo no. En los conjuntos el orden no importa; de hecho, la definición de conjunto habla de una colección no ordenada de elementos. Sea A = un conjunto de n elementos distintos. El número de listas de tamaño n es, como sabemos, Pn = n!. Si ahora queremos contar el número de subconjuntos tenemos que usar argumentos adicionales para contarlos. En primer lugar, vamos a estudiar cómo contar el número de listas de tamaño k, donde 1 ≤ k ≤ n. Usando el argumento de más arriba, tenemos n posibilidades para la primera posición de la lista, n - 1 para la segunda y, siguiendo este proceso, tendremos n - k + 1 para la posición número k. Por tanto, el número final será n ⋅ (n - 1) ⋅… ⋅ (n - k + 1). Este número se llama variaciones sin repetición de n tomados de k en k o más corto V n,k. Este número se puede escribir como: Continuemos. Sea L = (ai1,…,aik) una de esas listas. Cuando esta lista se transforma en un subconjunto, cualquier permutación de L da lugar al mismo subconjunto. Hay k! permutaciones de L y, por tanto, el número de subconjuntos de tamaño de k de A, al que llamaremos Cn,k, es: Se llaman combinaciones sin repetición de conjuntos a los subconjuntos de tamaño k formados con los elementos de un conjunto dado, donde se supone que en el conjunto no hay elementos repetidos. Se designarán por Cn,k o por (n k) . Por último, pedimos al lector que trate de resolver la ecuación donde n,k son números enteros no negativos. ¿Alguna idea? He aquí una ingeniosa idea para resolverla. Consideremos el conjunto formado por un palote ∣ y un signo +. Queremos formar todas las listas distintas con n palotes y k - 1 signos más. Como los palotes y los signos más son indistinguibles entre sí, las listas difieren en la posición de los palotes y signos más. Cada lista da lugar a la solución de la ecuación x1 + x2 + … + xk = n sin más que contar los palotes entre dos signos más consecutivos. Y viceversa, una solución de x1 + x2 + … + xk = n da lugar a una lista de palotes y signos más. Vamos a contar esas listas pues. En vista de lo aprendido arriba, hay Pn+k-1 = (n + k - 1)! listas. Como se repiten los palotes, de los que hay nk, y las signos más, de los que hay k - 1, tendremos que dividir por n! y (k - 1)!. Así que el número de las listas es: que son las combinaciones de n + k - 1 tomadas de k - 1 en k - 1. 5. Particiones de enteros y ritmos Dado un ritmo de n pulsos, las soluciones positivas de la ecuación x1 + x2 + … + xk = n nos da todos los ritmos de k notas. La sucesión de distancias de ese ritmo sería sencillamente R = (x1,x2,…,xk). La siguiente tabla muestra cómo se generan ritmos a partir de esta ecuación: x1 x2 x3 x4 x5 Ritmo SNMR 5 (5) H˜- 4 1 (41) H- 3 2 (32) - I 3 1 1 (311) - . . 2 2 1 (221) I I . 2 1 1 1 (2111) I . . . 1 1 1 1 1 (11111) . . . . . Tabla 2: Las particiones de 5 y los ritmos asociados Dado un ritmo R = (x1,x2,…,xk), donde los xi son positivos todos, hay ritmos posibles con esa configuración de distancias. Por ejemplo, del cuarto ritmo de la tabla de arriba (3,1,1) hay 3!∕2! = 3 ritmos distintos, que son (3,1,1),(1,3,1),(1,1,3). Obsérvese que aquí k = 3 porque x4 = x5 = 0. Cuando todas las xi son diferentes, el número de ritmos es simplemente k!.   6. Notación SNMR Cuadro con la notación SNMR: Figura 1: La codificación SNMR (figura tomada de [Boe18]   Bibliografía [Aro04] Simha Arom. L?aksak: Principes et typologie polyphony and polyrhythm. Cahiers de Musiques Traditionnelles, pages 12–48, 2004. [Boe18] Georg Boenn. Computational Models of Rhythm and Meter. Springer, New York, Berlín, 2018. [Bra51] C. Brailoiu. Le rythme aksak. Revue de Musicologie, pages 71–108, 1951. [Cle94] J. Cler. Pour une théorie de l?aksak. Revue de Musicologie, pages 181–210, 1994. [DGMM+09] Erik D. Demaine, Francisco Gomez-Martin, Henk Meijer, David Rappaport, Perouz Taslakian, Godfried T. Toussaint, Terry Winograd, and David R. Wood. The distance geometry of music. Computational Geometry: Theory and Application, 42(5):429–454, 2009. [Góm] P. Gómez. Modelos computacionales de ritmo y métrica (I)

Martes, 17 de Mayo de 2022 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

18. 171. Aventuras de un matemático

Reciente producción no estrenada en España sobre el matemático Stanislaw Ulam y su trabajo en el proyecto Manhattan. Ficha Técnica: Título Original: Adventures of a Mathematician. Nacionalidad: Alemania, Polonia y Reino Unido, 2020. Dirección: Thor Klein. Guion: Thor Klein, basada en el libro homónimo del matemático Stanislaw Ulam. Fotografía: Tudor Vladimir Panduru, en Color. Montaje: Agnieszka Liggett y Matthieu Taponier. Música: Antoni Lazarkiewicz. Producción: Nell Green, Joanna Szymanska y Lena Vurma. Duración:  102 min. Ficha artística: Intérpretes: Philippe Tlokinski (Stan Ulam), Esther Garrel (Françoise Aron), Sam Keeley (Jack Calkin), Joel Basman (Edward Teller), Fabian Kociecki (Johnny von Neumann), Ryan Gage (Robert Oppenheimer), Sabin Tambrea (Klaus Fuchs), Mateusz Wieclawek (Adam Ulam), James Sobol Kelly (Norris Bradbury), Alberto Ruano (Carlos), Richard Mason (George Dyson), Camille Moutawakil (Mici Teller), Sally Cowdin (Irene), Anne-Catrin Märzke (Jacky), Philipp Christopher  (Henry Hitchens), Lucy Bromilow (Molly), Martin Müller (Matemático en Los Alamos), Sonia Epstein (Stefania Ulam), Finbar Lynch (G.D. Birkhof). Argumento La emotiva historia del inmigrante y matemático polaco Stan Ulam, que se mudó a los Estados Unidos en la década de 1930. Stan lidia con las difíciles pérdidas de familiares y amigos mientras ayuda a crear la bomba de hidrógeno y la primera computadora. Comentario Australia, Brasil, Francia, Alemania, Indonesia, Italia, Polonia, Rusia, Emiratos Arabes Unidos, Reino Unido, Estados Unidos. Son algunos de los países en los que se ha estrenado esta película. España no, por supuesto. Para no variar. Aquí sólo se apuesta por superhéroes yanquis, comedias casposas con estrellonas en declive que alguna vez fueron alguien y bodrios ZZZ impuestos por las multinacionales para poder adquirir lo más comercial. Ah, perdonen, que no me había enterado: que el cine en sala está en franca desaparición porque el público sólo consume telefilmes y series de plataformas que sólo desean hacer cuanta más caja, mejor, repantingados en un sofa engullendo cervezas y marranadas de plástico, mientras se leen y contestan whatssapps sin parar. Los dramas, el cine reflexivo, el independiente, la historia desde un ángulo crítico, los problemas sociales, etc., todo eso para freakies amargados (una minoria) que se apañen en algún cine club o festival de cine medio marginal, que es lo que merecen. Por supuesto en el lote entra todo lo relativo a la ciencia y otras sesudas disciplinas. Es lo que hay (aunque el cine ya tuvo otras crisis en los cincuenta con la competencia de la televisión, en los ochenta con los videoclubs, y ha ido sobreviviendo; esperemos que la cosa siga así, renqueante pero no extinta). Y las autoridades competentes (política de por medio) no parecen muy por la labor de ilustrar a los niños y ciudadanos en general sobre qué es una imagen, un producto audiovisual, cómo debe verse y analizarse, qué interés tiene sobre otros medios de comunicación, porqué una pantalla de móvil, de tableta o de televisión no sirve como reproductor para según que filmaciones, etc. Ellos sólo obedecen a intereses partidistas y económicos (aunque luego se quejan de que hay pirateria, sin pensar porqué; es verdad, ¡¡qué despiste!! Pensar no es un verbo adecuado en estos contextos). Acabado el infructuoso pataleo por no poder disfrutar de películas de este tipo comercialmente en nuestro país, vayamos a lo nuestro. El libro Como leemos en el cartel promocional, la película se sitúa en el marco de la bomba H (bomba de hidrógeno), y por tanto, el proyecto Manhattan, sobre el que se han hecho otras muchas producciones cinematográficas. En este caso, el eje sobre el que se desarrolla el argumento es el matemático judío de origen polaco Stanislaw Ulam (13 de abril de 1909 – 13 de mayo de 1984; viene muy a cuento por tanto dedicarle esta reseña de mayo), una de las mayores mentes científicas del siglo XX. Un año antes de fallecer, en 1983, publicó una autobiografía que se ha tomado como base para el guion de la película. Aunque creía que no había edición en español, un compañero de la UVa, Miguel M. Panero, fiel seguidor a estas reseñas me ha hecho llegar la referencia de la editorial Nivola publicada en 2001. En el libro, abundan las reflexiones sobre la utilización y aplicaciones de la física nuclear (desgraciadamente a día de hoy de rabiosa y profética actualidad; es curioso que sea una de las películas que más recientemente se hayan estrenado en Polonia y Rusia, y sin embargo no les haya permeado nada de lo que se reflexiona, sobre todo a los rusos), junto a muchas anécdotas personales. Ulam fue miembro del Laboratorio Nacional de Los Álamos desde 1944, desde el que trabajó y motivó la utilización de la energía nuclear aplicada a distintos avances tecnológicos, como la propulsión de vehículos espaciales (el domingo 1 de mayo, La 2 de Televisión Española emitió el documental El reino de Saturno:la épica exploración de la sonda Cassini; en él se explica que la sonda Cassini se lanzó el 15 de octubre de 1997, es decir, lleva 25 años de viaje, más de una decena de los previstos, ha recorrido 4000 millones de kilómetros, viaja a 124000 kilómetros por hora, y sigue enviando fotografías e información: ¿Cómo hubiera sido posible sin la energia nuclear?). Ulam fue también uno de los primeros defensores de la utilización de ordenadores (computadoras se llamaban por entonces) en el trabajo científico y en la vida cotidiana, y sus contribuciones matemáticas están en campos tan diferentes como la teoría de números, la teoría de conjuntos, la teoría ergódica y la topología algebraica. Desarrolló junto con John Von Neumann el método de Montecarlo, y asimismo lo recordamos como creador de la espiral de Ulam. En la última edición del libro, Daniel Hirsch y William Mathews desvelan en una introducción el papel fundamental de Ulam en la creación del Super, en los albores de la era nuclear, al que se añade un epílogo de su esposa, Françoise Ulam, y Jan Mycielski que arroja nueva luz sobre el carácter y la originalidad matemática de Stan. Una lectura absolutamente recomendable. Asimismo la editorial venezolana Monteávila publicó en 1969 Matemáticas y Lógica de Mark Kac y Stanislaw M. Ulam, de modo que sí están en nuestro idioma los trabajos de divulgación de Ulam, aunque seguramente no sea fácil encontrarlos en la actualidad. La película Dirigida por el cineasta alemán Thorsten Klein (es su segundo largometraje después de Lost Place (2013), película de suspense/terror en la que cuatro adolescentes, buscando un tesoro mediante un GPS, encuentran una estación de torre de radio militar estadounidense abandonada que fue parte de un programa militar secreto con horribles efectos secundarios; no se molesten en buscarla: tampoco se ha estrenado por aquí), se proyectó en la sección oficial del último Bergamo Film Meeting. La película comienza en 1935, cuando Ulam es invitado al Instituto de Estudios Avanzados de Princeton por el matemático húngaro John von Neumann, Johnny, como Ulam lo llamaba. Aparecen intercambiando comentarios ingeniosos, muy del humor de los matemáticos, y bromeando sin ningún pudor con chistes sobre judios (Ulam era judio). Días antes de que estalle la guerra, Ulam se establece como profesor en Harvard, haciendose cargo de su hermano menor Adam. Los dos hermanos están muy preocupados por su hermana Stefania y sus padres en una  Polonia ocupada por los nazis. En su faceta docente, Ulam disfruta mostrándoles a sus alumnos trucos de cartas basados en la teoría de probabilidad. “El Cálculo es la parte aburrida de las matemáticas”, les dice, “pero podéis hacer cosas fascinantes con él, como ir a Las Vegas y ganar en los juegos de cartas”. En la imagen lo vemos con una baraja en la mano (hay más momentos de ese tipo a lo alrgo del metraje; no en vano, a Ulam le apasionaban los juegos de cartas), frente a sus alumnos. En Cambridge, más adelante, Stan conoce a una estudiante francesa de intercambio, Françoise Aron, con la que acabará contrayendo matrimonio para evitar que regrese a un país ocupado y en guerra. La vida de nuestro protagonista toma un giro inesperado cuando Johnny le propone trabajar en la construcción de una bomba atómica. En Los Alamos tendrá ocasión de conocer a científicos que siempre había admirado, como Robert Oppenheimer, coordinador del proyecto Manhattan, o Enrico Fermi. En Los Alamos su contribución fue importante gracias al desarrollo del método Montecarlo, con el que pudieron realizar simulaciones de procesos físicos como una reacción en cadena con el apoyo de unos primitivos ordenadores que utilizaban para generar cadenas de números aleatorios, aunque previamente (no podía faltar el aspecto dramático que “anime” la acción) es increpado por algún compañero para que aporte algo relevante al trabajo del grupo. Grupo que en varias ocasiones se cuestiona la moralidad de lo que están haciendo (por supuesto el propio Ulam es un hervidero de inseguridades, de dudas, de sufrimiento). Sin embargo, la presión acerca de que los alemanes están trabajando también en una bomba nuclear es su principal motivación: lograr su objetivo antes de que lo haga Hitler. El dilema es: ¿acabar la guerra o acabar con la civilización? Cuando los norteamericanos lanzan la bomba sobre Hiroshima y se conocen sus consecuencias, la culpa aumenta. “Somos científicos, no dioses”, medita en un momento de incertidumbre. En fin, no les destripo más. Según las crónicas del festival mencionado anteriormente, la película está realizada de manera impecable, con un destacado diseño de producción y vestuario. De lo segundo podemos hacernos a la idea a partir del trailer, aunque del resto, insisto, deberiamos verla al completo para juzgar con más información, aunque seguramente ahondará más en el drama ético y moral que en el científico (aunque siempre nos quedarán esas pizarras llenas de matemáticas que tanto gustan a los cineastas, …, como decorado). Les recuerdo que la reseña del próximo mes aparecerá a finales de junio, con la clásica propuesta del Concurso del Verano.¡¡Buenos exámenes para quien tenga que hacerlos, proponerlos y/o corregirlos!!

Lunes, 09 de Mayo de 2022 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

19. 83. (Mayo 2022) Matemáticas en las puertas

(Alegoría de la Geometría. Palacio Ducal, Urbino) La puerta tiene gran valor simbólico. El umbral separa lo divino de lo humano cuando estamos ante el portal de un templo. Una puerta limita lo público de lo privado y muchas veces indicará lo que hay más allá. Las puertas encierran y a la vez protegen la intimidad. Las grandes catedrales góticas de Chartres, Sens, Auxerre, Burgos, Friburgo, Ruan o París son algunas de las iglesias que tienen portales con alegorías matemáticas. La tradición de puertas matemáticas se mantiene como pone de manifiesto el templo de la Sagrada Familia de Gaudí. Aquí vamos a dejar a un lado los pórticos de los templos y nos limitaremos a mostrar algunas puertas menos grandiosas con interés matemático. La puerta con objetos o alegorías matemáticas hacen patente que entramos en un lugar donde se busca la sabiduría. Alegorías matemáticas en el Palazzo dei Priori de Perugia (Alegorías de la Geometría y Aritmética. Palazzo dei Priori, Perugia) Perugia se autodefine como Ciudad del Arte. Quizá con razón. La Galleria Nazionale dell´Umbria conserva obras del Perugino, Pinturiccio y Piero della Francesca que son imprescindibles. La Galleria se encuentra en el Palazzo dei Priori y se accede desde la calle por el Portale de las Virtudes y las Artes Liberales del siglo XIV. La alegoría de la Geometría muestra un compás y un globo terráqueo mientras la Aritmética, debajo de ella en un cuadrifolio, hace operaciones con una mano y sostiene un pergamino con la otra, probablemente con números que se han borrado. (Portal de las Artes Liberales. Palazzo dei Priori, Perugia) La puerta sapiencial de taracea en Urbino La puerta sapiencial de taracea del Palacio Ducal de Federico da Montefeltro en Urbino nos muestra que vamos a adentrarnos en el mundo del conocimiento. Durante el recorrido de la visita programada, la puerta se ve tras el impresionante studiolo, el mejor en su género, pero en su momento fue el acceso desde el cortile a las habitaciones privadas. La representación de las Artes Liberales en la zona externa muestran su intención: Aritmética, Geometría, Astronomía, Música, Gramática y Dialéctica indican al visitante que se interna en una zona de meditación filosófica y científica. (Puerta de las Artes Liberales. Palacio Ducal, Urbino) La taracea de madera se atribuye, como el resto de la intarsia lígnea del studiolo a Baccio Pontelli (1450-1496) pero se trata de una autoría controvertida. Pontelli fue un buen arquitecto con mucha obra realizada, además fue un adelantado de la nueva fortaleza renacentista. La Astronomía (doncella sujetando una esfera) y la Música ocupan el panel alto. La parte central, la más visible, está ocupada por la Geometría (con compás) y la Aritmética (tablilla de cálculo). Abajo se localizan la Gramática y la Dialéctica. Los diseños son deliciosos y parecen florentinos, como los de Pisa, siguiendo dibujos de los talleres de Botticelli o Lippi. La puerta con poliedros de San Domenico en Bolonia La sillería del coro de la Iglesia de San Domenico en Bolonia es una de las cimas de la intarsia prospettiva del Renacimiento. La taracea lígnea era ya un arte en su cenit. Con Fra Damiano Zambelli casi se alcanza la perfección. La colaboración de Fra Damiano con Vignola (y otros artistas) produce a mediados del XVI obras difíciles de superar. Después de disfrutar del coro y del museo no se deben perder de vista las puertas de la sacristía. La puerta muestra dos poliedros, un rombicuboctaedro y un tetraedro vacío, y además una regla y una escuadra. (Puerta de la sacristía. San Domenico, Bolonia) Las puertas de tarace alemana de San Lorenzo de El Escorial Felipe II encargó a los talleres de Bartolomé Weisshaupt de Augsburgo dos puertas monumentales. El encargado de traer los muebles artísticos de Alemania fue Jeremías, hijo de Wentzel Jamnitzer, el orfebre autor de Perspectiva corporum regularium. Las puertas muestran en su friso y sobre las hojas, al modo de lo maestros italianos, las perspectivas de distintos sólidos geométricos. En el Monasterio de San Lorenzo de El Escorial podemos encontrar representados los sólidos platónicos en la biblioteca, la iglesia y el palacio. Las puertas del Salón de Embajadores en la zona palaciega representan sólidos arquimedianos, destacando tres icosidodecaedros sólidos y uno más con las aristas resaltadas. Quien esperara audiencia con Felipe II se encontraba bien guardado por el icosidodecaedro. (Puerta de la antecámara. Monasterio de San Lorenzo de El Escorial) (Icosidodecaedro. Monasterio de San Lorenzo de El Escorial) Alegorías de las artes liberales en la puerta del Juleum de Helmstedt (Alegorías de las artes liberales. Puerta del Juleum. Helmstedt) La Academia Julia, la primera universidad protestante del norte de Alemania, Baja Sajonia, nos enseña una espectacular puerta de filigrana policroma. La universidad de Helmstedt tuvo sus momentos de esplendor desde 1575 hasta 1625, cuando la peste y la guerra de los treinta años diezmaron la población. En sus mejores años Giordano Bruno dio clase en Helmstedt, y cuando fue decadente universidad provinciana tuvo por alumno a Gauss. Nos fijamos en la puerta, finales del XVI, por su decoración con las artes liberales: Aritmética con tablilla y Geometría mostrando figuras. Los números son todavía romanos, mientras que en El Escorial ya eran arábigos. La puerta no es especialmente bella, tiene un aire de pastel, pero el conjunto de la plaza es admirable. Matemáticas en la Puerta de la Cancillería de Sion (Alegoría de la Aritmética. Puerta de la Chancillería. Sion) La Bourgeoisie de Sion es una curiosa entidad separada de la municipalidad que conservó su identidad medieval tras la Constitución Federal Suiza de 1848. El Hotel de Ville es un sobrio edificio renacentista tardío de 1657. Interesa especialmente la puerta de acceso a la Chancellerie, obra de 1668 del ebanista Antoine Zer Kichen. En el marco externo están representadas Minerva y las siete Artes Liberales con un gracioso diseño. En la Cancillería es donde se reúne el Consejo General del Catón del Valais. Las puertas sapienciales son buen reflejo de la preocupación por el saber en la época: las decisiones colectivas hay que tomarlas con conocimiento. La Astronomía lleva un báculo de Jacob y a sus pies yace un  astrolabio. La Aritmética porta una vara de medir y a sus pies la tablilla con  números. Las sobrepuertas matemáticas del Prado en Madrid Los bajorrelieves que pueden visitarse en la segunda plata del Museo del Prado formaban parte del proyecto decorativo encargado por Fernando VI para el Palacio Real Nuevo de Madrid. El padre Martín Sarmiento, que estableció el programa iconográfico, fue quien diseño cuarenta y seis medallones decorativos como sobrepuertas. (Alegoría de la Matemática. Museo del Prado. Madrid) Los trabajos en mármol no se iniciaron hasta 1753 y no todos pudieron acabarse pues a Carlos III le parecieron excesivos, de forma que en 1760 se paralizó el proyecto. Los medallones conservados se reparten hoy entre el Museo del Prado y la Real Academia de Bellas Artes de San Fernando.Los contenidos incluían como motivos el conocimiento, la religión, el buen gobierno y las batallas. El Prado exhibe siete de los que destacamos dos: las alegorías de las Ciencias Matemáticas y la Filosofía. La Alegoría de la Matemática fue esculpida por Andrés de los Helgueros y pueden verse dos representaciones del teorema de Pitágoras, la tabla de multiplicar y diversos instrumentos. Puerta volteriana en Cirey sur Blaise Voltaire y Gabrielle Émilie Le Tonnelier de Breteuil protagonizaron en el Château de Cirey sur Blaise uno de los episodios más productivos para la extensión de la física newtoniana en el continente. La marquesa ofreció refugio a Voltaire en su castillo próximo a la frontera alemana y durante unos años (1734-1738) tuvieron allí su lugar de residencia. Cirey fue punto de encuentro de sabios y foco de correspondencia con los principales científicos del momento. Una inmensa biblioteca, hoy desaparecida, y un bello teatro, que se puede visitar, dan cuenta de la actividad de una pareja cuya respeto intelectual se mantuvo intacto tras su relación sentimental. (Puerta diseñada por Voltaire. Château de Cirey sur Blaise) Durante su estancia en Cirey, Voltaire diseñó la puerta principal de acceso, decorándola con motivos alegóricos a las ciencias y las artes. Así, en la parte derecha vemos una esfera armilar para la astronomía y un conjunto de regla, transportador y compás para la matemática. El interior tiene motivos marinos para reflejar el origen de la vida y la unidad del conocimiento. (Detalle de la puerta diseñada por Voltaire. Château de Cirey sur Blaise)

Miércoles, 04 de Mayo de 2022 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

20. 123. (Abril 2022) Modelos computacionales de ritmo y métrica (I)

1. Introducción En las siguientes columnas de matemáticas y músicas vamos a tratar de un tema apasionante: los modelos computacionales del ritmo y la métrica. Este tema ya ha sido tratado en otros artículos de esta columna. Por ejemplo, las medidas matemáticas de la síncopa ([Góm11] y siguientes y también [Góm18b]); medidas de complejidad rítmica ([Góm17] y siguientes); y ritmos euclídeos [Góm18a]. Haremos un examen de esta área a la luz de un libro de 2018, escrito por Georg Boenn, profesor del Departamento de Música de la Universidad de Lethbridge (Alberta, Canadá). Ese libro se llama nada más y nada menos que Computational Models of Rhythm and Meter [Boe18] y la portada se puede ver en la imagen de abajo. Figura 1: Portada del libro Computational Models of Rhythm and Meter [Boe18] Esta serie de artículos sobre el tema en cuestión es a la vez una revisión crítica del libro de Boenn y una exploración en sí misma de los modelos computacionales del ritmo y la métrica. El libro está dividido en varios capítulos que cubren varias áreas de este tema: El capítulo 1 es una introducción en que explica la estructura del libro. El capítulo 2 se titula Phenomenology of rhythm and meter y constituye una reflexión filosófica sobre el fenómeno del ritmo y de la métrica. En el tercer capítulo, el autor sienta las bases de notación para el resto del ritmo. Describe las principales notaciones del ritmo. En este capítulo, ya trata algunas consecuencias cognitivas del ritmo y analiza el fenómeno de la agrupación rítmica. Al final del capítulo, presenta ejemplos musicales reales (cosa que hace a lo largo de todo el libro). Los capítulos 4 a 7 versan sobre los modelos computacionales y matemáticos del ritmo y la métrica. El capítulo 4 trata de la agrupación rítmica; el 5, del uso de la rueda de Burrows-Wheeler como herramienta de análisis rítmico así como de composición; el 6, es un estudio de los ritmos de Cristoffel; el 7, trata las sucesiones de Farey. Los dos últimos capítulos, el 8 y el 9, es un profundo estudio de la métrica, la percepción del tiempo y la cuantización rítmica. Boenn acompaña su libro de un proyecto de código abierto llamado Chunking (https://github.com/gboenn/chunking), donde se pueden encontrar los algoritmos más relevantes presentados en el libro. En esta primera columna glosaremos los capítulos 2 y 3 del libro de Boenn. 2. ¿Qué es el ritmo? “Hay una continuidad causal en la música”. Con esta poderosa afirmación comienza el capítulo 2 del libro de Boenn. En efecto, con una prosa concisa y abstracta, el autor describe cómo el sonido es causa y efecto. Argumenta que un sonido produce un efecto que es a su vez causa del siguiente, cómo el fluir de los sonidos teje una red de relaciones causa-efecto. Todo esto tiene un efecto en nuestra mente en forma de una compleja red de expectativas musicales. Estas expectativas crean entre otras cosas, fuerzas musicales, la tensión y el reposo musicales, en cuya dialéctica se basa mucha de la música existente. Boenn afirma, en referencia a que “si en tiempo de ejecución, esas fuerzas se equilibran por los sonidos durante el paso del tiempo, el fin último de la unidad se habrá alcanzado y la experiencia de la belleza surgirá” (página 7). A continuación, Boenn argumenta que el ritmo está en el centro de esta causalidad y lo hace en su calidad de agente organizador de los eventos musicales. En particular, apela al hecho de que la organización rítmica está relacionada directamente con los modos perceptuales y cognitivos del oyente. Dicha organización temporal de los eventos musicales acaba en última instancia creando significado musical en el oyente. Este autor hace una comparación que me parece particularmente acertada: “el ritmo es a la música lo que la articulación es al lenguaje”. En este capítulo también se aborda el papel del ritmo desde el punto de vista del compositor —como creador de la organización del material musical a través del ritmo—y del intérprete —como transmisor y a la vez oyente también del material musical—. Tras esta introducción de tipo filosófica, el autor se enfrenta a la definición de ritmo. Como muchos otros autores, arranca de la idea de una sucesión ordenada de sonidos en el tiempo. En concreto, Boenn se refiere a pulsaciones quasi-isócronas, haciendo referencia aquí a que lo que se percibe como isócrono, cuando se mide con precisión, resulta no serlo. Se admite el evento isócrono dentro de unos límites temporales y perceptuales. También examina el papel del tempo como elemento que configura la percepción del ritmo, hecho bien conocido. El tempo tiene un papel importante en la percepción del significado musical del ritmo. Si el tempo es demasiado lento, entonces los eventos no se conectan bien entre sí; si es demasiado rápido, los eventos no se perciben como una unidad. Véase el libro de Justin London [Lon04] para un excelente análisis de esta cuestión. Para Boenn, el metro es “la reiteración cíclica de un ritmo simple” (página 8). Como se puede ver, este autor ha optado por una definición abstracta, más bien buscando que sea operativa y aplicable a una gran variedad de situaciones. Imagino que algunos autores se quejarían de una cierta falta de matiz en la definición. Sin duda, para los propósitos de este libro, que son ambiciosos, no obstante, tiene la potencia conceptual suficiente. El autor advierte que los pulsos que constituyen una métrica pueden ser (quasi-)isócronos o no isócronos. Un polirritmo es la superposición de ritmos (página 8). De esta superposición salen patrones musicales que se pueden describir en términos de duración, acento, agrupación, fraseo, timbre, alturas o cambios de armonía. El alineamiento con el metro, que determina las partes fuertes, refuerza la sensación de métrica. En la sección 2.3 de su libro, Boenn se pregunta en qué sentido tiene una pieza forma orgánica. Aquí, tomando una cita de Schoenberg, el autor construye una comparación entre una pieza musical y un organismo vivo (lo apoya incluso etimológicamente). Un organismo vivo nace, vive y muere; una pieza musical tiene una introducción, un desarrollo y una conclusión o cierre. Como ocurre en la biología, donde hay órganos pequeños que contribuyen a crear órganos mayores, una pieza musical está formada por partes pequeñas que contribuyen a un todo musical. 3. La notación del ritmo En el capítulo 3, Boenn estudia la notación del ritmo, tanto desde un punto de vista teórico como práctico, aplicándolo a diversas tradiciones musicales. Presenta el llamado SNMR o notación abreviada de ritmos musicales (shorthand notation for musical rhythms en sus siglas inglesas). Es una forma simple y operativa de anotar ritmos y métricas; el autor presenta una extensión del sistema estándar de SNMR (que está basado en el trabajo del percusionista suizo Giger). El SNMR está basado en la presencia de un pulso y no en las convenciones habituales de la notación musical occidental. Otra ventaja de esta notación es que se puede escribir en texto y en ASCII con suma facilidad. En la sección 3.2, el autor hace una revisión bibliográfica de las principales notaciones que se encuentran en la práctica musical. Lo hace desde un punto de vista histórico, comenzando con la notación de la música árabe y acabando con las notaciones modernas (notación de caja, círculo, etc.). Para describir su sistema SNMR, Boenn empieza por la siguiente codificación de ritmos (tomada del trabajo de Giger), llamada ritmoglifos: Figura 2: Los ritmoglifos de Giger donde los unos representan ataques de notas y los ceros silencios. Estos elementos básicos o primitivas del ritmo son llamados grupos (Boenn usa la palabra inglesa chunk). A continuación, vemos patrones más complejos como consecuencia de la combinación de diferentes ritmoglifos. Figura 3: Combinación de ritmoglifos Originalmente, los ritmoglifos contienen los símbolos de un triángulo y un cuadrado, que no son imprimibles por el código ASCII. Con el fin de hacer el sistema de notación accessible en modo texto, Boenn sustituye estos dos símbolos por otros y amplía el catálogo de símbolos para recoger combinaciones complejas de ritmos. La tabla final es: Figura 4: La codificación SNMR Obsérvese que se supone que la unidad mínima del pulso es la corchea. Posteriormente, incluye divisiones rítmicas de la corchea. En otra tabla, se muestran tales subdivisiones rítmicas. El sistema consiste en poner el número que marca la subdivisión delante de la codificación SNMR. Figura 5: La codificación SNMR de subdivisiones rítmicas En el resto del capítulo, el autor ilustra la potencia del sistema de notación SNMR en varias músicas y compositores, que van desde la música Ewe, la música latinoamericana, los ritmos de la poesía griega, Messian, Beethoven, Mussorgsky, o Debussy. En la figura de abajo, vemos la notación SNMR aplicada a claves de la tradición africana y latinoamericana. La segunda columna marca las distancias entre ataques de notas en un compás de 16 semicorcheas (o equivalentes). Figura 6: La codificación SNMR Como se puede ver, el sistema SNMR es muy práctico para la transcripción, para el procesamiento computacional, para la visualización de los grupos dentro del ritmo, pero no tanto para la interpretación.   Bibliografía [Boe18] Georg Boenn. Computational Models of Rhythm and Meter. Springer, New York, Berlín, 2018. [Góm11] P. Gómez. Medidas matemáticas de la síncopa - I, octubre de 2011. [Góm17] P. Gómez. Medidas de complejidad rítmica - I, octubre de 2017. [Góm18a] P. Gómez. Ritmos euclídeos y ritmos equilibrados, marzo de 2018. [Góm18b] P. Gómez. Más sobre medidas de síncopas, mayo de 2018. [Lon04] Justin London. Hearing in Time. Oxford University Press, Oxford, England, 2004.

Miércoles, 13 de Abril de 2022 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico