41. 119. (Octubre 2021) Grafos Parsimónicos para los Tricordos y Tetracordos más Comunes

Una vez más tengo el placer de contar como autor invitado a Luis Nuño, catedrático de universidad en la Universidad Politécnica de Valencia y autor de la Rueda Armónica, página web que presenta herramientas para el aprendizaje de la teoría de la música con una base matemática. Esta vez nos trae un fascinante artículo sobre grafos parsimónicos en triadas y tetracordos. Estamos ante un artículo profundo y bello a la vez. Espero que los lectores de esta columna lo disfruten tanto como lo he hecho al leerlo. Paco Gómez Martín 1. Introducción La prestigiosa revista internacional Journal of Mathematics and Music ha publicado este año 2021 un número especial titulado “Pattern in Music” (Patrones en Música), que incluye ocho artículos. A continuación se va a explicar resumidamente uno de ellos, titulado “Parsimonious graphs of the most common trichords and tetrachords” (Nuño, 2021b). La referencia completa de este artículo se encuentra en la Sección 6. Con el objetivo de que esta exposición sea de la máxima utilidad y para una variedad de lectores lo más amplia posible, se ha simplificado sustancialmente la parte teórica, pero se ha mantenido íntegramente la parte práctica. Así mismo, los acordes se han representado mediante la notación inglesa y con los símbolos más comúnmente utilizados. Entre las estructuras que se repiten de manera recurrente en las composiciones musicales tenemos las denominadas “transformaciones parsimónicas”, las cuales han sido ampliamente utilizadas en épocas y estilos musicales tan diferentes como el período Clásico, el Romanticismo, la música Latina o el Jazz, siendo por tanto unos patrones musicales perfectamente establecidos. Su análisis puede llevarse a cabo mediante la “teoría neo-riemanniana”, que surgió en la década de los años 1980 para analizar ciertos pasajes cromáticos de determinados compositores del s. XIX y está todavía en proceso de evolución gracias a las aportaciones del álgebra y la geometría. Según Gollin (2005), esta teoría se caracteriza por tres elementos: grupos matemáticos de transformaciones, conducción parsimónica de las voces y sus representaciones gráficas. El ejemplo por excelencia lo constituyen el grupo “PLR” y el Tonnetz, aunque se limitan únicamente a las tríadas mayores y menores. P, L y R son las operaciones básicas “Paralelo”, “Cambio de Sensible” (en inglés, Leading-tone exchange) y “Relativo”, las cuales transforman, respectivamente, por ejemplo, C mayor en C menor, C mayor en E menor y C mayor en A menor; y viceversa. Como punto de partida podemos tomar una regla básica en Armonía para conectar unos acordes con otros, que es la “ley del camino más corto” (Schönberg 1983, p. 39, citando a Bruckner). Esto significa mantener las notas comunes y mover las demás según los mínimos intervalos posibles. A este respecto, Douthett y Steinbach (1998) establecen que dos acordes de la misma “cardinalidad” (es decir, con el mismo número de notas) guardan entre sí una relación “Pm,n” si uno de ellos puede transformarse en el otro manteniendo las notas comunes y, en cuanto a las demás, moviendo m notas un semitono y n notas un tono. Entonces, diremos que dicha relación es “parsimónica” si los valores de m y n son bajos, generalmente m + 2n ≤ 2. El caso más simple es, lógicamente, P1,0, que denominaremos “monosemitonal” (en inglés, single-semitonal). Además, Douthett y Steinbach (1998) aportan también varios grafos parsimónicos de especial relevancia, como el “Chicken-Wire Torus” (grafo dual del Tonnetz) y el “Cube Dance” para los tricordos “más uniformes” (es decir, en los que los intervalos entre cada dos notas consecutivas son similares) o el “Towers Torus” y el “Power Towers” para los tetracordos más uniformes. Veinte años antes, sin embargo, Waller (1978) ya publicó un toroide equivalente al Chicken-Wire, pero que, además, mostraba claramente su división en hexágonos, así como los ciclos PL, PR y – aunque algo más difíciles de visualizar – los LR. Estas y otras relaciones PLR compuestas han sido estudiadas exhaustivamente por Cohn (2012). Por su parte, Tymoczko (2006) hace un planteamiento diferente, desarrollando una teoría para representar los acordes de n notas en una especie de banda de Möbius generalizada, que llamaremos “n-orbifold”. Además, proporciona las figuras del 2-orbifold y parte del 3-orbifold, antes de “torcerlos y doblarlos” para obtener los verdaderos orbifolds. Callender, Quinn y Tymoczko (2008) aportan nuevas representaciones de este tipo, aunque, en la práctica, dada su especial complejidad, solo se suelen representar las regiones centrales de los orbifolds. En este trabajo se presentan unos nuevos grafos circulares cíclicos, que he denominado “Cíclopes”, que incluyen un mayor número de tricordos y tetracordos que las representaciones anteriores, donde estos están conectados entre sí mediante transformaciones monosemitonales. Así mismo, proporcionan una visión más amplia de las regiones centrales de los correspondientes orbifolds. Por consiguiente, permiten representar un mayor número de obras musicales de una forma práctica y pueden utilizarse tanto para el análisis musical como para la composición. Se asume que el lector está familiarizado con los “nombres de Forte” (Forte 1973) y las “clases de conjuntos”, también llamadas “clases de acordes”. En este trabajo, las clases de acordes “no inversionalmente simétricas” se dividen en dos “tipos de acordes” relacionados entre sí por “inversión”, llamados “a” y “b”, de acuerdo con las definiciones dadas por Nuño (2020a). Todos estos conceptos pueden, de forma alternativa, consultarse en español en Nuño (2020b) y Nuño (2021a). Por otra parte, este estudio trata también, en gran medida, sobre la “geometría de los acordes” (Tymoczko 2011) y las “transformaciones de los acordes más uniformes” (Cohn 2012), aunque los principales conceptos se explican también aquí. 2. Selección de los Tricordos y Tetracordos Tal como se explica en las anteriores referencias, hay 12 clases diferentes de acordes de 3 notas, los tricordos, 5 de los cuales son inversionalmente simétricos, mientras que cada uno de los restantes 7 se puede dividir en dos tipos de acordes relacionados por inversión, lo que hace un total de 19 tipos de acordes. Y hay 29 clases diferentes de acordes de 4 notas, los tetracordos, 15 de los cuales son inversionalmente simétricos; y, dividiendo en dos los restantes 14, obtenemos un total de 43 tipos de acordes. En ambos casos, el número de tipos de acordes es demasiado elevado como para poder relacionarlos en unos grafos que sean visualmente sencillos y de utilidad práctica. Por tanto, nos centraremos únicamente en los tricordos y tetracordos “más comunes”. Veamos cómo podemos seleccionarlos. En el período de la práctica común (aproximadamente, 1650-1900), las armonías se forman mediante superposición de terceras sobre los siete grados de las escalas mayor, menor armónica y menor melódica (veáse, por ejemplo, Schönberg 1983 o Piston 1988). De aquí resultan las 4 tríadas y los 7 acordes de séptima básicos, cuyos nombres de Forte son 3-10, 3-11a, 3-11b, 3-12 y 4-19a, 4-19b, 4-20, 4-26, 4-27a, 4-27b, 4-28, respectivamente. A estos hay que añadir los acordes de sexta aumentada 3-8a (italiana) y 4-25 (francesa). Todos estos tipos de acordes son, por tanto, predominantes en la música occidental. Para una cardinalidad dada (3 o 4 notas en nuestro caso), las clases de acordes están ordenadas desde la que tiene las notas lo más juntas posible, es decir, en secuencia cromática hasta la que las tiene separadas lo más uniformemente posible (tríadas aumentadas y acordes de séptima disminuida, según se trate de acordes de 3 o de 4 notas). Así, el criterio seguido aquí ha sido seleccionar “series completas de tipos de acordes”, desde los “más cromáticos” de los grupos anteriores (3-8 y 4-19) hasta los más uniformes (3-12 y 4-28). Tabla 1. Tipos de tricordos y tetracordos considerados aquí. Un superíndice en los nombres de Forte indica el grado de simetría transposicional, en caso de ser mayor que 1. Un asterisco (*) significa “omit 5” y un doble asterisco (**) “omit b3”. Los acordes mayores (M) se representan, normalmente, mediante su fundamental, sin ningún símbolo adicional. El símbolo “(9)” significa “add 9”, mientras que el símbolo “9” significa añadir tanto la séptima menor como la novena mayor. Las formas interválicas empiezan desde la fundamental. Tricordo Símbolo Forma Int. Tetracordo Símbolo Forma Int. 3-8a 7* 462 4-19a mΔ 3441 3-8b Ø** 642 4-19b Δ#5 4431 3-9 sus4 525 4-20 Δ 4341 3-10 dim 336 4-21 9* 2262 3-11a m 345 4-22a (9) 2235 3-11b M 435 4-22b m4 3225 3-123 + 444 4-23 7sus 5232 4-24 7#5 4422 4-252 7b5 4242 4-26 m7 3432 4-27a Ø 3342 4-27b 7 4332 4-284 O 3333 La Tabla 1 muestra esos tricordos y tetracordos con los símbolos empleados aquí para representarlos y sus “formas interválicas” (Nuño 2020a) empezando desde la fundamental. La forma interválica de un tipo de acorde es la secuencia de intervalos, en semitonos, entre cada dos notas adyacentes, incluyendo el intervalo entre la última nota y la primera; o cualquiera de sus permutaciones circulares. Los acordes añadidos a los grupos anteriores son los siguientes: 3-8b, 3-9, 4-21, 4-22a, 4-22b, 4-23 y 4-24, los cuales se interpretan, en ocasiones, como acordes cromáticos, incompletos o de paso. En otros estilos musicales, como el Pop, la música latina o el Jazz se utilizan con frecuencia todos los tipos de acordes de la tabla (véase, por ejemplo, el listado de acordes proporcionado por Sher 1991, p. iv). Por tanto, la selección realizada de esta manera contiene un número razonable de tipos de acordes, a la vez que incluye, en todo caso, los más relevantes. 3. Grafos Parsimónicos Las Figuras 1 y 2 son unos grafos circulares que he denominado 3-Cíclope y 4-Cíclope, que muestran, respectivamente, los tricordos y tetracordos de la Tabla 1 conectados mediante transformaciones monosemitonales. Así, en cada grafo se pasa de un acorde a otro cambiando una nota un semitono, el cual puede ser ascendente, si giramos en sentido horario, o descendente, si lo hacemos en sentido antihorario. Los números que hay en los extremos de las líneas que conectan los acordes indican las notas inicial y final referidas a las fundamentales de dichos acordes, donde 1, 3, 4 y 5 representan intervalos justos o mayores, que pueden alterarse mediante # y b, mientras que las séptimas mayores, menores y disminuidas se representan mediante Δ, 7 y d7, respectivamente. Haciendo la analogía con la carátula de un reloj, cada acorde se ha colocado en una “zona”, que viene definida por “la suma de sus notas”, módulo 12 (Cohn 2012, p. 102). Así, por ejemplo, el acorde de C mayor está en la zona 0 + 4 + 7 = 11 del 3-Cíclope y el acorde BØ en la zona 11 + 2 + 5 + 9 = 27 = 3 (módulo 12) del 4-Cíclope. De esta manera, si se sube un semitono una nota de un acorde, pasamos a la siguiente zona girando en sentido horario. Además, esto hace que, en el 3-Cíclope, los tricordos del mismo tipo cuyas fundamentales están a distancia de 4 semitonos estén situados en la misma zona. Y lo mismo ocurre en el 4-Cíclope con los tetracordos del mismo tipo cuyas fundamentales están a distancia de 3 semitonos. Por otra parte, los acordes que tienen un grado de simetría transposicional “s” mayor que uno tienen, lógicamente, conexiones múltiples a acordes del mismo tipo. Este es el caso de las tríadas aumentadas (s = 3), los acordes de sexta aumentada francesa (s = 2) y los acordes de séptima disminuida (s = 4). Entre los grafos parsimónicos desarrollados hasta la fecha cabe destacar, para el caso de los tricordos, el “Cube Dance” de Douthett y Steinbach (1998), que muestra las transformaciones monosemitonales entre las tríadas aumentada (3-12), menor (3-11a) y mayor (3-11b), el cual contiene solo un tipo de acorde por zona. Tymoczko (2011, p. 105) representa estos mismos acordes en un cubo. Pero con anterioridad a ambos tenemos el Tonnetz, que es una representación de los acordes mayores y menores conectados mediante transformaciones PLR. Por su parte, el 3-Cíclope puede considerarse como un Cube Dance o un Tonnetz “de orden superior”, ya que incluye también los tipos de acordes 3-8 a 3-10. En total, contiene 7 tipos de acordes frente a los 3 del Cube Dance o los 2 del Tonnetz. Además, en él se visualizan claramente las transformaciones básicas PLR: P y L son líneas “oblicuas” con respecto a las circunferencias centradas en el grafo, y R son líneas que “atraviesan” las tríadas aumentadas, entrando y saliendo por la misma letra (“a”, “b” o “c”). Simbólicamente, P = /, L = \ y R = ^. Figura 1. El 3-Cíclope, con los tricordos considerados en la Tabla 1. Con respecto a los grafos parsimónicos para los tetracordos tenemos el “Power Towers” de Douthett y Steinbach (1998), que muestra las transformaciones monosemitonales entre los acordes disminuido (4-28), semidisminuido (4-27a), de séptima de dominante (4-27b) y menor con séptima (4-26), el cual contiene también solo un tipo de acorde por zona. Cannas (2018) añade a ellos los acordes mayores con séptima mayor (4-20), obteniendo el “Clover graph”. En cambio, tanto el “4-Cube Trio” de Douthett (Cohn 2012, p. 158), como la representación de Tymoczko en el 4-orbifold (2011, p. 106), lo que añaden son los acordes de sexta aumentada francesa (4-25), completando de esta manera un hipercubo en cuatro dimensiones o “teseracto” (tipos de acordes 4-25 a 4-28). Por su parte, el 4-Cíclope puede considerarse como un 4-Cube Trio “de orden superior”, ya que incluye también los tipos de acordes 4-19 a 4-24. En total, contiene 13 tipos de acordes frente a los 5 del 4-Cube Trio o el Clover graph, un número bastante alto que hace que este grafo sea más complejo que el 3-Cíclope. Figura 2. El 4-Cíclope, con los tetracordos considerados en la Tabla 1. 4. Patrones de Acordes Tanto el 3-Cíclope como el 4-Cíclope son especialmente adecuados para representar ciertos patrones de acordes que aparecen en determinadas composiciones musicales, los cuales se indican en la Tabla 2. Estos patrones también pueden representarse en el Tonnetz, pero solo hasta cierto punto, ya que este solo contiene las tríadas menores (3-11a) y mayores (3-11b); y, cuando se utilizan acordes de séptima de la clase 4-27, lo normal es reducirlos eliminando la séptima en los acordes “7” y la tónica en los acordes “Ø”. Cohn (2012) y Tymoczko (2011) analizan muchos ejemplos de este tipo, pero incluyen también las tríadas aumentadas (3-12); y, con respecto a los tetracordos, ambos consideran los cinco tipos más uniformes (4-25 a 4-28). Sin embargo, el 3- y el 4-Cíclope incluyen más del doble de tipos de acordes (3-8 a 3-12 y 4-19 a 4-28, respectivamente), por lo que permiten analizar un mayor número de piezas musicales, así como obtener unas representaciones más simples y compactas. Tabla 2. Patrones de acordes idóneos para ser representados en el 3- y el 4-Cíclope.   3-Cíclope   4-Cíclope     Progresiones Parsimónicas de Tricordos   Progresiones Parsimónicas de Tetracordos     Mismos Tipos de Tricordos a distancia de tercera mayor   Mismos Tipos de Tricordos a distancia de tercera menor   Consideremos, en primer lugar, varios ejemplos basados en tricordos a distancia de tercera mayor, los cuales están situados en la misma zona del 3-Cíclope, y que incluyen también progresiones parsimónicas. En cuanto a los acordes “7” y “Ø”, consideraremos sus formas incompletas, “7*” y “Ø**”, que son mejores aproximaciones a los acordes reales que las utilizadas en el Tonnetz y, lo que es muy ventajoso, conducen a representaciones mucho más compactas. Comencemos por la Sonata para Violín y Piano en Fa mayor, Op. 24 de Beethoven. Las armonías en el segundo movimiento, compases 38-54, son las siguientes:         donde cada acorde o cada pareja de acordes unidos por un guión dura un compás y el símbolo “%” significa repetir el compás anterior. Los acordes relacionados con una misma tríada consonante se han agrupado mediante llaves. Esta progresión de acordes se ha representado en la Figura 3 en el 3-Cíclope, donde el acorde inicial se ha marcado de manera especial. Los tres acordes menores (Bbm, F#m, Dm) están a distancia de tercera mayor descendente, al igual que los tres acordes mayores relacionados con ellos mediante operaciones L y P (Gb, D, Bb). Estos últimos se afirman mediante cadencias con acordes de séptima de dominante y de subdominante, estando cada uno de estos tipos de acordes situados en una misma zona. Debido a la utilización de los acordes “7” en su forma incompleta, es decir, “7*”, el resultado es muy compacto y solo ocupa tres zonas cercanas entre sí: 4, 5 y 8. Si hubiéramos usado los acordes “7” sin la séptima, como se hace en el Tonnetz, entonces estarían localizados en la zona 2 de la Figura 1. En cuanto a sus formas completas con 4 notas, estarían situadas en zonas diferentes (1, 5, 9) de la Figura 2, dejando de estar agrupados. Analicemos ahora la Consolación en Re bemol mayor, Op. 102, No. 3 de Liszt, compases 23-43, cuyas armonías son         donde algunos acordes se tocan sobre una nota pedal, lo cual se representa mediante una barra seguida de la nota pedal. Esta progresión de acordes se ha representado en la Figura 4 en el 3-Cíclope (sin los pedales) y se puede comparar con Cohn (2012, p. 187), quien aporta, además, una animación Web. Ahora los tres acordes mayores (Db, F, A) están a distancia de tercera mayor, pero ascendente, y solo hay dos acordes menores (Fm, Am) relacionados con ellos mediante operaciones L y P, los cuales se afirman mediante cadencias más largas. Hay, además, un acorde “Ø”, cuya forma incompleta (es decir, Ø**), junto con las de los acordes “7” (es decir, 7*), dan lugar a una representación muy compacta, que se extiende únicamente sobre dos zonas consecutivas (1 y 2). De hecho, el 3-Cíclope es también especialmente adecuado para representar las cadencias V7–I(m) y IIØ–V7–I(m), con acordes tónicos mayores o menores. En particular, el tema de Jazz “Giant Steps” de Coltrane (Sher 1991) está estrechamente relacionado con esto, ya que consta únicamente de cadencias V7–IΔ y IIm7–V7–IΔ a distancia de tercera mayor.   Figura 3. Beethoven, Sonata para Violín y Piano en Fa mayor, Op. 24, segundo movimiento, compases 38-54.   Figura 4. Liszt, Consolación en Re bemol mayor, Op. 102, No. 3, compases 23-43. En cuanto a ejemplos con el 4-Cíclope, consideremos el Concierto para Piano No. 2 en Do menor, Op. 18 de Rachmaninoff. En el primer movimiento, compases 1-8, hay una progresión puramente monosemitonal, representada en la Figura 4 en el 4-Cíclope mediante una simple línea: [Fm(5)]  DbΔ  DØ Fm7  F7  Fm7  DØ DbΔ Aquí, una nota entre paréntesis significa añadir dicha nota al acorde. Así, Fm(5) es Fm con la quinta duplicada (C). Este acorde se ha escrito entre corchetes porque no aparece en el 4-Cíclope, pero se ha incluido en la figura para ilustrar mejor el ejemplo. Son precisamente esos dos C los que suben y bajan por semitonos a lo largo de la progresión, excepto al pasar por F7. Hay un pedal F–C (en triple octava), que pertenece a todas las armonías y que da robustez a toda la progresión. También hay otro pedal Ab (en doble octava), excepto en F7. El primer acorde, Fm(5), pasa a DØ a través de DbΔ en lugar de DO, posiblemente porque este último no incluye el pedal C y además contiene dos tritonos, mientras que DbΔ no contiene ninguno. El siguiente ejemplo es Indudable (Bossa Nova) de Nuño (2012), cuyos compases 19-27 constan de los siguientes acordes (algunos de los cuales, en realidad, contienen más tensiones) G#m7  C#Δ  Fm7  BbΔ  Dm7  G6  Bm7  E7sus  G#m7 Esta progresión de acordes se ha representado en la Figura 6 en el 4-Cíclope. Los cuatro acordes menores con séptima (G#m7, Fm7, Dm7, Bm7) están a distancia de tercera menor, por lo que están situados en la misma zona. En cuanto a los demás acordes, sus tónicas están también a distancia de tercera menor, pero en lugar de tener la secuencia homogénea C#Δ, BbΔ, GΔ, EΔ, los dos últimos acordes (marcados con línea discontinua en la Figura 6) se han sustituido por G6 (enarmónico de Em7) y E7sus, respectivamente. En todo caso, la representación es nuevamente simple y compacta.   Figura 5. Rachmaninoff, Concierto para Piano No. 2 en Do menor, Op. 18, primer movimiento, compases 1-8.   Figura 6. Nuño, Indudable (Bossa Nova), compases 19-27. Como último ejemplo tomaremos el Preludio en Mi menor, Op. 28, No. 4 de Chopin, una de las piezas más interesantes analizadas por Tymoczko (2011, pp. 287-293) y Cohn (2012, pp. 160-166), los cuales aportan, además, animaciones Web. La figura 7 es una partitura simplificada con los compases 1-12. Figura 7. Chopin, Preludio en Mi menor, Op. 28, No. 4, compases 1-8. Melodía y estructura armónica. Figura 8. Chopin, Preludio en Mi menor, Op. 28, No. 4, compases 1-8. Armonías de las tres voces inferiores. Como se verá, esta composición se entiende mejor analizando primero las armonías de las tres voces inferiores, representadas en la Figura 8 en el 3-Cíclope, las cuales pasan por todos los tipos de tricordos considerados en este grafo, excepto las tríadas aumentadas (¿quizás son demasiado disonantes?). Chopin incluye, además, los tipos de acordes “m7*” (3-7a) y “Δ*” (3-4a), definidos por las formas interválicas y , que son los acordes tónicos de séptima incompletos de las tonalidades menor natural y mayor, respectivamente. Desde el segundo acorde (F#m7*), las tres voces inferiores realizan estrictamente una progresión monosemitonal (P1,0) descendente, que cubre algo más de una vuelta completa en el grafo. Después, se utilizan otras transformaciones parsimónicas para terminar la frase, las cuales se indican en la partitura. Figura 9. Chopin, Preludio en Mi menor, Op. 28, No. 4, compases 1-8. Armonías completas. Por su parte, la austera melodía describe también una línea descendente, B–A–G#–F#, que completa las armonías y conduce a una representación más compleja en el 4-Cíclope (Figura 9). Aparte de los acordes considerados en este grafo, Chopin también incluye el “(b9)” (4-18a) y el “Δb5” (4-16a), definidos por y , respectivamente. 5. Conclusiones Se han presentado dos nuevos grafos, denominados Cíclopes, que relacionan los tricordos y tetracordos más comunes mediante transformaciones monosemitonales. Ambos incluyen más del doble de tipos de acordes que los grafos publicados hasta la actualidad, por lo que permiten analizar un repertorio más extenso de forma práctica. Estos grafos son especialmente adecuados para representar progresiones de acordes parsimónicas, tricordos a distancia de tercera mayor y tetracordos a distancia de tercera menor, así como las cadencias V7–I(m) y IIØ–V7–I(m), con acordes tónicos mayores o menores. En todos estos casos, los resultados que se obtienen son simples y compactos, lo que nos permite visualizar claramente las relaciones entre los acordes involucrados y entender mejor los patrones de composición utilizados, a la vez que constituyen un excelente recurso mnemotécnico. Por todo ello, podemos concluir que estos grafos son unas herramientas de gran utilidad tanto para el análisis musical como para la composición. 6. Referencias Callender, Clifton, Ian Quinn, and Dmitri Tymoczko. 2008. “Generalized Voice-Leading Spaces.” Science 320 (5874): 346–348. Cannas, Sonia. 2018. “Geometric Representation and Algebraic Formalization of Musical Structures.” Ph.D. dissertation, Université de Strasbourg and Università degli Studi di Pavia e di Milano-Bicocca. Cohn, Richard. 2012. Audacious Euphony: Chromatic Harmony and the Triad’s Second Nature. New York: Oxford University Press. Douthett, Jack, and Peter Steinbach. 1998. “Parsimonious Graphs: A Study in Parsimony, Contextual Transformations, and Modes of Limited Transposition.” Journal of Music Theory 42 (2): 241–263. Forte, Allen. 1973. The Structure of Atonal Music. New Haven: Yale University Press. Gollin, Edward. 2005. “Neo-Riemannian Theory.” Zeitschrift der Gesellschaft für Musiktheorie (ZGMTH) 2 (2–3): 153–155. Nuño, Luis. 2012. Puesta de Sol. Vol. 1. Madrid: Acordes Concert, S.L. Nuño, Luis. 2020a. “A Detailed List and a Periodic Table of Set Classes.” Journal of Mathematics and Music 1–21. https://doi.org/10.1080/17459737.2020.1775902 Nuño, Luis. 2020b. “La Tabla Periódica Musical (1/2).” DIVULGAMAT, Centro virtual de divulgación de las matemáticas, RSME: Real Sociedad Matemática Española, No. 111. 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Lunes, 11 de Octubre de 2021 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

42. 164. Cuando la probabilidad puede traernos problemas legales

El recuerdo de una novela y posterior película sobre el descubrimiento del amor en unos jóvenes superdotados nos permite evocar la existencia de un personaje que trajo de cabeza a las autoridades francesas con su método probabilístico para ganar las apuestas de caballos. Ficha Técnica: Título: Un pequeño romance. Título Original: A Little Romance. Nacionalidad: EE. UU., 1979. Dirección: George Roy Hill. Guion: Allan Burns y Claude Klotz, basado en la novela E = MC² mon amour, de este último bajo el seudónimo Patrick Cauvin. Fotografía: Pierre-William Glenn, en Color. Montaje: William Reynolds. Música: Georges Delerue. Oscar a la mejor música original. Producción: Robert Crawford Jr. y Yves Rousset-Rouard. Duración: 110 min. Ficha artística: Intérpretes: Laurence Olivier (Julius), Diane Lane (Lauren), Thelonious Bernard (Daniel), Arthur Hill (Richard King), Sally Kellerman (Kay King), Broderick Crawford (Brod), David Dukes (George de Marco), Andrew Duncan (Bob Duryea), Claudette Sutherland (Janet Duryea), Graham Fletcher-Cook (Londet), Ashby Semple (Natalie), Peter Maloney (Martin), Claude Brosset (Michel Michon), Jacques Maury (Inspector Leclerc), Argumento Daniel, hijo de un francés de clase media, y Lauren, niña de familia rica norteamericana. Los dos tienen en común algo excepcional: un altísimo coeficiente intelectual, son superdotados. Se gustan y empiezan a verse furtivamente, construyendo una incipiente historia de amor. La novela (y la película) narra sus ilusiones, sus planes, sus problemas con los adultos. Conocen a un anciano que les relata fabulosas historias de su vida viajera, aunque la realidad quizá sea diferente. Los tres se escapan a Venecia, donde Lauren y Daniel vivirán una romántica historia. Comentario, análisis y curiosidades Hace unos días, echando un ojo a los libros de la casa de mis suegros, cogí por casualidad un libro que había visto mil veces, pero que nunca había abierto, dado que aparentemente su argumento no me interesaba lo más mínimo (un libro para adolescentes de los años setenta, nada menos, al estilo de Nacida Inocente o Sara T.; los que han vivido esa época entenderán el tipo de libros que son). En esta ocasión, lo abrí, ¡¡y apareció una fórmula matemática!! (poco usual en las novelas). Lo curioso es que dicha fórmula estaba equivocada. Reproduzco su contenido: “Necesito acostumbrarme a la idea: estoy demasiado adelantada para mi edad. En realidad, hace poco que me he dado cuenta. Nos encontrábamos en la clase de matemáticas, y la tarada que tenemos de profesora me daba la lata desde hacía tres horas con sus ecuaciones, cuando de pronto se equivocó y se puso a relinchar burlonamente, enseñando sus enormes encías rosadas, y diciéndonos para deslumbrarnos: – Craso error de mi parte. Esto nos dará una ecuación de segundo grado, y vosotros no conoceis la fórmula para resolverla. Observé a mis congéneres que babeaban de admiración con sus miradas estúpidas (aborrezco a las norteamericanas), y dije: – Podriamos intentar encontrar esa fórmula … Se puso a reir de tal manera que, además de las encías, nos mostró la faringe y la masa pulmonar. – Adelante -dijo-, encuéntrela y la invito a champán. Ella denomina a eso un rasgo de ingenio. Todos los retrasados me miraron con sus ojos bobalicones y yo comencé a embarullarme con los signos. Al cabo de un rato descubrí el hilo salvador, como si fuera el hilo que sobresale de un ovillo complicado, y que al tirar de él se deshace fácilmente. Entonces dije: – x = , lo que resuelve su problema insoluble. La querida miss Flanaghan se sentó como si acusara una repentina crisis hepática y creí que iba a vomitar sobre su escritorio. Se volvió tan amarilla como diez mil otoños y dijo: – Enseñeme su cuaderno, Lauren. Le alcancé mi borrador y me miró como si yo fuera Frankenstein. […] Entonces tomó el aspecto de una masa repelente de mermelada de manzana y gimoteó: – Es preciso que su madre venga a verme con urgencia. Cuando mamá se presentó, le dio un tratado sobre los niños prodigio. Lo he leido a hurtadillas y ahora sé que no soy muy normal”. Mi primera impresión al leer el párrafo fue que no hace tanto que no nos preocupábamos tanto por lo “políticamente correcto”, teniendo en cuenta además que era un libro dirigido a adolescentes. Pero centrandonos exclusivamente en la parte matemática, desde luego ese alto concepto que la protagonista manifiesta de si misma, no va acompañado de la precisión que supone, ya que es evidente que la fórmula es incorrecta (no por el mas menos de la raíz, ya que podría conformarse con localizar una única solución, sino por el claro error del –b). En páginas posteriores hay más referencias a las matemáticas. Por ejemplo, Lauren afirma un poco más adelante: “… empezaba a secarme como una solterona. Nueve días aquí y ya iba por mi catorceavo libro, uno de los cuales tenía mil doscientas páginas y trataba de cálculo integral”. En otro momento, al inicio del curso escolar, Lauren está cuchicheando con un compañero en clase, y el profesor de matemáticas, molesto, la increpa: – Muy bien. ¿Quiere repetir lo que estaba diciendo a su compañero cuando la he interrumpido? Y no intente inventar. – Le decía que espero que este curso estudiemos con usted la geometría no euclidiana. El adversario vacila ligeramente. Ya no debe de tener la seguridad de antaño para ser profe. Se aferra a la caja de tiza y se lanza al asalto con sarcasmo: – ¿Es usted una especialista del postulado de Riemann? Risas serviles de los tres pelotas de la primera fila. – No, soy partidaria de Lobatchevsky. Hundimiento de Eisenhower; parece que va a perder la segunda guerra mundial. – Sientese. Hablaremos de eso más tarde, exactamente después de las clases de hoy, durante la hora de castigo. ¡Daniel! – Pero ... – Siéntese. Gran silencio. Pertenece a la raza de los que dicen: “Para estar tranquilo durante durante todo el curso, no hay como imponer algún castigo al principio, para que sirva de ejemplo”. El ejemplo soy yo. Tras esa lectura rápida, recordé la película que se hizo sobre este best-seller (fue muy popular y vendió muchos ejemplares), y traté de localizarla por comprobar si aparece algún momento relacionado con las matemáticas. La localicé sin dificultad en este enlace. La película, aún tratando de respetar el espiritu del libro, es más convencional en cuanto a las expresiones, las reacciones de los jóvenes, etc., lógico tratándose de una producción para que su distribución fuera la mayor posible. El libro, como casi siempre, es más rico en cuanto a detalles, descripción de los personajes, y difiere en algunas cosas respecto a la película. Ésta no incluye ninguna de las citas escolares descritas. En un momento dado (digamoslo así para no desvelar demasiado) los protagonistas necesitan dinero para hacer un viaje juntos. El modo de conseguirlo es diferente en novela y película, pero en ambas hay un trasfondo matemático. Describo ambos. En la novela: “Tenemos lo que él ha gando en la radio, pero no es suficiente. A mi me toca ahora arreglármelas. Desde hace mucho tiempo me ronda una idea por la cabeza, pero hasta hoy no había necesitado ponerla en práctica. Los problemas financieros me interesan más bien poco. Pero todo cambia. A grandes rasgos, consiste en lo siguiente: ganar en quince días el máximo de dinero con la mínima inversión. Parecerá idiota, pero estoy segura de poderlo conseguir. Para ello necesito un ordenador. Y no uno pequeño. Por esa razón me encuentro aquí esperando a Agamenón. ¡Ojala comprenda la situación! De todas maneras, no le cuesta mucho prestarme un ordenador durante media hora. Si me explica un poco por encima cómo funciona, creo que me las arreglaré sola para programarlo. No debe ser nada del otro mundo, sobre todo si, como imagino, funciona con sistema binario. Si es así, no hay problema; el negocio está hecho. Sin asomo de vanidad, puedo asegurar que hay pocas cosas que no pueda obtener con ese sistema. He aquí mi idea en líneas generales. Es una hipótesis, por supuesto, pero dada la materialidad de las premisas me parece más que probable. Si abrimos a la vez todos los periódicos del mundo por la página financiera, nos daremos cuenta de que hay una parte cifrada idéntica en todos ellos y que, para mayor comodidad, denominaremos por la letra K. La sección resume todo el mercado interior, los mercados internacionales, la fluctuación de las divisas, el patrón oro, las paridades fijas, la cotización de las acciones ... En una palabra, todo el aspecto numérico que posee la doble propiedad de ser a la vez periodicamente variable y ciclicamente estable. Me explicaré: es evidente desde un punto de vista matemático que un conjunto inestable formado con datos variables, unos con respecto a otros, dentro de unos límites precisos y que oscilan entre una base fija a la que llamaremos P, después de un periodo T más o menos largo, tiene que repetirse de una forma tan ajustada que acaba en una cuasi identidad de su modelo, lo que nos da: P(K/T)– k2 k’ Si tomo con referencia el conjunto k de hace tres años, encontraré en el periodo subsiguiente otro conjunto k’ que será el calco de k. Si entre k y k’ ha transcurrido un tiempo T igual a dieciocho meses, podré conocer el mercado bursatil y financiero de mañana remontandome al que tuvo lugar hace un año y medio. Habrá que maniobrar, por supuesto, tomando en consideración los cambios políticos habidos desde la época en cuestión; o sea, jugar con los componentes no cifrados, aunque de todas maneras podré cuantificar la importancia  precisando los valores exponenciales al utilizar con rigor una axiomática experimental. Resumiendo, un verdadero juego de niños. Entonces, partiendo de una aportación fija –lo que supone, si rompo mi hucha, 75 francos y pico-, y aplicando mi sistema, puedo, dentro de unos límites de tiempo y aprovechando los distintos mercados, multiplicar mi inversión por una cantidad que oscila entre 95 y 105, con un margen de error de 1,5 a 1,8, porcentaje a todas luces despreciable según la escala de las cantidades utilizadas. En conclusión, si todo marcha bien, a final de mes debemos tener Dany boy y yo la simpática suma de 10000 francos. El millón”. Su padre la recibe, cambia algunas impresiones con él, y al poco su secretaria los avisa de que un técnico informático de la empresa la puede atender. Se llama Martin, y lo describe como extremadamente taciturno y de una estatura de metro y medio. “ Le explico con detalle lo que pretendo. Me observa atentamente mientras hablo, lanza un gruñido, intenta por tres veces encender dos cigarrillos con cinco cerillas, cuatro de las cuales ya habían sido utilizadas anteriormente, y concluye: – Gracioso. Tiempo de silencio. – ¿Le parece estúpido mi plan? –pregunto. Se rasca la frente, me sopesa con la mirada, resiste visiblemente a la violenta tentación de meterse un dedo en la nariz, y termina por decir: – ¿Le importa si participo en la aventura con un poco de dinero? – Eso no estaba previsto –le corto. Acusa el golpe. – De acuerdo –me dice-. Le endoso el diez por ciento de mis beneficios. ¿Vale? – Digamos el quince por ciento, y así hacemos los dos un buen negocio. Suspiro intenso de Martin. – De acuerdo, pero hay un enorme trabajo de tratamiento. – No hay mal que por bien no venga –le respondo. Me instalo en seguida en el pupitre. Tal como imaginaba, está basado en el principio binario. Una pequeña maravilla de la técnica. Durante diez días seguidos acudo a la oficina por las tardes, después del colegio. Al final, la hipótesis no parece tan formidable como había supuesto de manera tan rotunda. Además, los imponderables económicos han introducido unas distorsiones que falsean bastante los resultados, sobre todo en lo concerniente a Río Tinto, De Beers y todas las monedas demasiado dependientes del dólar. La cotización del escudo también me ha creado serios problemas. Y el florín no se ha mostrado muy sumiso. Reconozco, pues, sinceramente, que me equivoqué en mis cálculos. Esperaba obtener siete mil quinientos francos y sólo he conseguido seis mil trescientos. Pero, como dice Martin, con una aportación inicial de setenta y cinco francos ha resultado una operación rentable. ¡Puñetero Martin! Los últimos días se ha mostrado inagotable, pero en el fondo no me ha servido de mucho, ya que, a fin de cuentas, si quieren que les diga lo que pienso, se exagera la capacidad de los ordenadores. En la película, vemos desde el inicio que Daniel está muy pendiente de los ganadores de las carreras de caballos. Su taxista padre apuesta diariamente, y pierde dinero. Daniel en cambio parece acertar de acuerdo a un método que ha desarrollado. Va apuntando sus ganancias si hubiera apostado, y comprobamos que llevaría ganados 850.000 francos. Como en la novela, quieren dinero para el viaje. Lauren indica que tiene ahorrados 150 dólares. Daniel está decidido a “invertirlos” en las apuestas con su método. Lauren le pregunta por su frecuencia de ganancia. Daniel le dice que el 45% de las veces. – Y el 55% pierdes. – No soy una computadora. “Un ordenador ayudaría”, comenta, “porque podría tomar las variables de cada caballo en cada carrera, considerar diferentes jockeys, diferentes distancias, etc”. Lauren, igual que en el libro, acude a su padre que le pone en contacto con el informático Martin. El diálogo entre ellos (Martin y Lauren) es como sigue: – ¿Qué información necesitas? – Los tres mejores caballos con probabilidad de ganar mañana en las ocho carreras de Longchamp. Necesito programar los gráficos de rendimiento de cada caballo en el último año y luego cruzar los datos considerando las variables de tiempos y distancias. – Olvidalo. – ¿Por qué? Martin mira a todos los datos para verificar que nadie los escucha. En voz baja, dice: – Hace un año que intento crear ese programa. Ni siquiera ando cerca. – ¿Podría mostrarme su teoría? – ¿Mostrarte mi teoría?¿Quieres que te de 10 meses de cálculos? – Dijo que no funciona. Tal vez pueda ayudarlo. Un tanto reticente inicialmente, finalmente se levanta, abre un cajón y extrae una carpeta, sin dejar de escudriñar a todos los lados, previniendo que no haya curiosos. Saca un montón de hojas de papel continuo. La escena termina, pero acto seguido vemos correr a Lauren en busca de Daniel muy contenta de haber encontrado la solución. Con la colaboración del anciano Julius (ellos no pueden apostar por tener sólo once años), van ganando una y otra vez. A pesar de los consejos de Julius de no arriesgar todo el dinero, Daniel está muy convencido y decidido a ganar el máximo posible. Pero en la última carrera, lo pierden todo. Daniel está muy contrariado. Finalmente, Julius les sorprende porque al final, por una corazonada, no apostó al caballo que Daniel le dijo, sino a otro. Pero esto, lejos de contentar al chaval, lo enfada muchísimo: “Una semana evaluando esos caballos, y ¿usted gana por intuición?” La realidad supera la ficción Seguramente el nombre de Patrice des Moutis (o Monsieur X) no les diga nada a los  lectores. Patrice des Moutis (1921 – 1975) fue un atractivo ingeniero y matemático francés, encantador y bien educado, de familia aristocrática, empleado ejemplar en una empresa de seguros, que desde finales de la década de 1950 y principios de la de 1970, puso en jaque al sistema de apuestas estatal francés, el PMU (Pari Mutuel Urbain), que tuvieron que cambiar varias veces las normas de las apuestas para evitar que continuara ganando las fabulosas cantidades que logró, y sobre todo evitar que cundiera su ejemplo. Con ayuda de aquellos primeros ordenadores, desarrolló un sistema basado en probabilidades bayesianas con el que ganar en todas y cada una de las carreras de caballos y en consecuencia ganar en las apuestas. El 12 de noviembre de 1958, ganó la trifecta (tiercé) 35 veces seguidas y otras 35 veces no seguidas, ganando 5 millones de francos por una apuesta de 294.000 francos (20 veces la apuesta). Se convirtió en un jugador compulsivo y continuó jugando  aumentando las sumas apostadas, y llegando a ganar la trifecta 500 veces seguidas y 2.500 veces más en desorden el 14 de julio de 1961. Esas ganancias (llegó a obtener más de 490 millones de francos; se llevó en más de ocho ocasiones el premio en metálico Arco del Triunfo) le llevaron a ser portada de revistas y medios de comunicación, constituyendose en un héroe para el ciudadano medio, que aplaudia con pasión sus éxitos. Des Moutis se convirtió en asesor de periódicos turfistas (como "Le Meilleur") bajo el nombre de "Monsieur X", que era el nombre con el que el PMU se había referido a él durante mucho tiempo. El 16 de mayo de 1962 apareció un decreto para cambiar las reglas de la trifecta, estipulando que un apostador no podía apostar más de 60 francos en total. El 9 de diciembre de 1962, para el Gran Premio de Burdeos, 83 apostadores (entre los que se encontraban 45 que fueron condenados) de toda Francia apostaron por la misma combinación y ganaron un total de más de 4 millones de francos. La justicia ordenó entonces la incautación del premio, presentando una denuncia contra X. Se le prohibió apostar en Francia, Gran Bretaña e Irlanda, pero lo sigue haciendo, especialmente entre 1967 y 1969 con su familia. En 1973 se le relacionó con un caso de apuestas amañadas; algunos jinetes son acusados ​​de haber perdido deliberadamente la carrera, en beneficio de ciertos apostadores, incluido Des Moutis. Ingresa en la prisión de Fresnes el 21 de febrero de 1975 en prisión preventiva durante 142 días. Poco después de su salida de la cárcel, en la mañana del 17 de octubre de 1975, fue encontrado muerto en su domicilio de Saint-Cloud, sin que se aclararan las circunstancias de su muerte. Des Moutis debía comparecer el 24 de octubre de 1975 ante el Tribunal de Grande Instance de Marsella, sobre el premio Entressem, donde gente influyente había ganado mucho dinero. Algún tiempo después, su hijo, que cuestionó públicamente las circunstancias de la muerte de su padre, también fue encontrado muerto, y la policía también concluyó suicidio ... Conclusión: es peligroso apostar, pero más lo es ganar, al parecer. La novela E = mc2 mon Amour, y su secuela Claude Klotz (1932 – 2010) fue un escritor y guionista francés. Su padre, trabajador ferroviario, lo convirtió en un adicto a la pantalla llevándolo muy temprano a ver multitud de películas estadounidenses. Humphrey Bogart encarna entonces, a sus ojos, la imagen emblemática del cine. Se licenció en Filosofia en La Sorbona en 1954. A su regreso de la guerra de Argelia, enseñó literatura en una escuela secundaria de la región de París, viviendo con cierta humildad en Sarcelles. Marcado por la guerra de Argelia, escribió con su nombre real una serie de trece historias de detectives sangrientas con un héroe recurrente bautizado como Reiner, y posteriormente rebautizado como Raner. Cansado de este duro universo, Claude Klotz crea una historia de amor en 1974. Su editor le aconseja que no la publique con su nombre, utilizando seudónimo de Patrick Cauvin, el apellido de su madre. "Estaba lejos de imaginar que Cauvin ganaría a Klotz, que vendería más libros y que esta doble identidad [...] seguiría confundiendo a la gente". En 1977, mientras Monsieur Papa (publicado en 1976) se estrenaba en las pantallas dirigida por Philippe Monnier, Cauvin publica E = mc2 mon amour, una historia de amor entre dos jóvenes superdotados, éxito rotundo. Un año después, esta historia también será adaptada al cine, la película que estamos comentando. Alternando entre la violencia de Claude Klotz y la ternura de Patrick Cauvin (“Siempre es la historia la que decide quien de ellos toma la pluma”), su fascinación por el cine norteamericano y sus técnicas, está presente en muchas de sus novelas: “Mi ambición es convertir al lector en espectador. Mediante diálogos, que son mi herramienta para componer plano y contraplano”. Sus otras dos pasiones confesadas eran el mar y el fútbol. Veintidós años después de la publicación de E = mc2 mon amour, los dos protagonistas, Lauren y Daniel, se reencuentran en 1999 en Pythagore, je t'adore (Pitágoras, te amo), que vuelve a ser un gran éxito. Aunque el novelista se había prometido no continuar la historia, la nostalgia de sus primeras intrigas lo decide, finalmente, a revivir a sus jóvenes héroes. La trama comienza varios años después de lo sucedido en la historia original: Lauren King se ha mudado de regreso a los EE. UU., y ya no está en contacto con Daniel Michon, aunque vuelven a re-encontrarse. No se ha editado en español.

Martes, 05 de Octubre de 2021 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

43. 197. (Octubre 2021) La magia de Charles Peirce

[Visualización artística de siete "mezclas lecheras" de Roger Antonsen.] Como apéndice al artículo publicado el mes pasado en este rincón (dedicado al principio disléxico) sobre la revisión de las contribuciones a la magia matemática de Charles Peirce realizada por Persi Diaconis y Ron Graham en el artículo "The magic of Charles Sanders Peirce", quiero referirme a la última parte de este artículo, que contiene un descubrimiento reciente y un juego que oculta algunas sorpresas matemáticas. Diaconis y Graham desvelan parte del contenido de una carta que envió Charles Peirce a su amigo y mentor —así como también aficionado a los juegos de magia con cartas— Chauncey Wright el 2 de septiembre de 1865, carta que se encontró recientemente entre los papeles de éste, los cuales están recopilados por la Sociedad Filosófica Americana (y cuya reproducción puedes leer en este enlace). En dicha misiva y después de compartir algunas ideas sobre filosofía, Peirce explica a su colega un nuevo principio matemático relacionado con ciertas mezclas de cartas. Para comprenderlo, propongo que hagamos juntos una versión simplificada del juego con las cartas en la mano. Busca una baraja y sigue leyendo: Selecciona las cartas del as al cinco de los cuatro palos y ordénalas formando un paquete como el de esta figura (el orden de los palos es irrelevante, sólo es importante que todos los palos estén ordenados de la misma forma): Manteniendo las cartas con las caras hacia abajo, realiza una mezcla lechera —también llamada mezcla Klondike— TRES VECES. Si no recuerdas cómo se hace esta mezcla, puedes repasar el número 122 de este rincón, correspondiente a diciembre de 2014. De nuevo con las cartas cara abajo en la mano, cuenta las cuatro primeras, invirtiendo su orden, mientras las pasas de una mano a la otra. Cuenta las cuatro siguientes cartas, sin invertirlas, y las pasas a la otra mano debajo de las cuatro primeras. Repite esta doble mezcla, contar las cuatro cartas superiores invirtiendo su orden y pasarlas sobre las de la otra mano y contar las siguientes cuatro cartas sin invertir su orden y pasarlas bajo las de la otra mano, continuando el mismo proceso hasta que hayas pasado todas las cartas de una mano a la otra. Por último, gira cara arriba el paquete de cartas y reparte sobre la mesa cuatro montones. Observarás que las cartas han vuelto a colocarse en el orden inicial. La secuencia que consiste en pasar grupos de cuatro cartas de una mano a otra, uno de ellos arriba y el otro abajo, es una generalización de la mezcla Monge, que también hemos descrito en este rincón (por ejemplo, en el número 127 de mayo de 2015). En la mezcla Monge original, sólo se pasan las cartas de una en una pero nadie se había planteado antes (que sepamos) el reparto por bloques de cartas. Lo interesante y sorprendente del juego que acabamos de describir es que se puede hacer con cualquier cantidad de cartas que sea múltiplo de cuatro, no necesariamente con cuatro conjuntos de cinco cartas. Pero, además, el número de mezclas lecheras siempre será tres, independientemente del número de cartas con las que se haga el juego. Ya se conocen muchas propiedades de las permutaciones obtenidas al realizar una mezcla Monge (por ejemplo, que después de 12 mezclas, una baraja de 52 cartas recupera su orden inicial) pero —que yo sepa— no se han estudiado, aparte de lo que ocurre en este juego de Peirce, las propiedades de la mezcla Monge generalizada. En la postdata de la carta que Diaconis y Graham analizan en su artículo, Charles Peirce regala a Chauncey Wright un par de juegos relacionados con el anterior, el segundo de ellos adornado con una historia de encuentros y desencuentros. Incluye además las fórmulas y los cálculos realizados para conseguir el resultado deseado. Puedes leer todos los detalles en el citado artículo. Para terminar, quiero compartir mi sorpresa al descubrir que Charles Sanders Peirce sigue entre nosotros, de modo que, si quieres conocer sus pensamientos, sus ideas filosóficas y lógicas y demás aspectos de su vida y obra, puedes seguirle en su perfil de Facebook (aunque, para disimular, haya puesto como foto de portada una recreación de la imagen de Karl Marx). Pedro Alegría (Universidad del País Vasco - Euskal Herriko Unibertsitatea)

Lunes, 04 de Octubre de 2021 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

44. 76. (Octubre 2021) Mercurio matemático

(Mercurio en el Cielo de Roccabianca– Milán) Fuese a Egipto donde a la sazón había varones sabios; y allí con la grandeza de su ingenio, tanto aprovecho en letras principalmente en Aritmética y Astrología, que fue llamado Mercurio. Philosophia secreta (1585) de Juan  Pérez de Moya Los dioses de la gentilidad no desaparecieron tras el triunfo del cristianismo pues toda la cultura clásica estaba impregnada por ellos, desde La Iliada a las Metamorfosis de Ovidio. Los dioses se mutaron en héroes o alegorías morales, y seguirán encontrando cobijo en los astros del cielo. Las constelaciones y los planetas mantienen vivos los mitos astrales de los caldeos y griegos que fueron retomados por Roma. Los nombres de los días de la semana son testimonio actual de la supervivencia. Atenea (Minerva) era la diosa de la sabiduría (y la guerra). Apolo con las musas ocupa su hueco sapiencial. Mercurio el alado es ante todo el veloz mensajero pero en muchas ocasiones tomara el papel de maestro del conocimiento, del alfabeto, la música y sobre todo de la matemática y la astronomía. De alguna manera son los atributos de Nebo, el dios astral Mercurio de los caldeos. Será Marciano Capella en sus Nupcias de Filología y Mercurio (siglo IV) uno de los autores que muestra la relación de Mercurio con las Artes Liberales. Pero aquí Mercurio es comparsa del objeto de sus amores. Será avanzando la Edad Media cuando Mercurio va adoptando otros papeles más vinculados a las matemáticas. Su oficio de viajero y mensajero los vincula a los mercaderes, que tomarán de él su nombre, y la tradición islámica caldea le dará su valor matemático. La representación de Mercurio con instrumentos geométricos y astronómicos se extiende a fines del Medioevo y el Renacimiento.  Mostraremos algunos ejemplos de Mercurios matemáticos. En algunos casos encontraremos a Mercurio con Minerva pero esos no los detallamos. El Mercurio matemático del Castello Sforzesco en Milán El Castello Sforzesco de Milán expone los frescos del cielo astronómico de la fortaleza de los Rossi en Roccabianca, provincia de Parma (1460). Las paredes laterales cuentan la Historia de Griselda, la desventurada esposa puesta cruelmente a prueba una y otra vez en uno de los cuentos del Decamerón de Boccaccio. El conjunto constituye la Camera Picta, un delicioso conjunto de pinturas del Renacimiento temprano. (Mercurio en el Cielo de Roccabianca -Detalle– Milán) El cielo de la bóveda está formado por 24 compartimentos y contiene hasta 87 figuras de planetas, constelaciones y astros; como corresponde a su época tiene valor astrológico. La disposición de las estrellas se ha relacionada con la astronomía antigua de Arato, cuyos manuscritos se superponían a los del Almagesto ptolomeico. Nos fijamos en un Mercurio matemático con cuadrante y compás. Mercurio como el resto de los planetas, la Luna y el Sol es a la vez divinidad pagana, planeta y metal. Mercurio en el Salone de Padua El Salone, la inmensa sala abovedada de carpintería que ocupa la planta superior del Palazzo della Ragione, tiene 81 m de larga y 27 de ancha y de alta. La casualidad ha querido que la razón 3 se haya beneficiado de la lectura en metros y aparezcan potencias de 3 por doquier. La impresionante bóveda estuvo primero decorada con frescos de Giotto, y tras su destrucción por un incendio fueron sustituidos por el ciclo astrológico que aún adorna la sala. Nos fijamos a modo de detalle en la representación de Mercurio  con su esfera armilar por el papel que representaba Hermes como imagen de la sabiduría y sus misterios. (Mercurio en el Palazzo della Ragione – Padua) El programa astrológico está inspirado en el humanista Pietro d´Abano, figura interesante donde las haya y que recuerda algo en inquietudes y en su calvario a nuestro ocultista Enrique de Villena. El Mercurio del Victoria and Albert Museum de Londres Splendor solis es el más bello libro de alquimia hermética que se haya escrito. Sus veintidós laminas iluminadas reflejan las relaciones de la astrología con la alquimia  y la matemática. De las distintas ediciones del siglo XVI destaca la catalogada en la British Librery como manuscrito The Harley 3469. Parece que la ciencia moderna tuvo que pasar una fase no tan racional para desprenderse de otro racionalismo que ahogaba su desarrollo: el aristotélico. (Mercurio en el Victoria & Albert Museum – Londres) La primera sala del Victoria & Albert Museum dedicada al Renacimiento inglés muestra un interesante fresco proveniente de un palacio próximo a Canterbury con las representaciones astrales de la Luna y Mercurio. Debajo de Mercurio en su carro tirado por gallos aparecen un alquimista y un astrólogo. Los dioses astrales solían representarse en los carros que los mueven por el cielo. La iconografía está tomada del Splendor solis que, como vemos más abajo, reproduce en su parte inferior las actividades asociadas con el planeta: aritmética, geometría, astronomía, música y bellas artes. (Mercurio en Splendor solis – Siglo XVI) La lujosa estampa en color, dominada por un matraz que representa a la reina blanca alquimista, contrasta con la sencilla grisalla del mural de la época de Enrique VIII. La vertiente alquimista de Isaac Newton muestra que el despegue de la ciencia moderna no estaba exento de contradicciones. Una curiosa figura de John Dee, contemporánea del mural, importante matemático y ferviente mago, nos dan idea de la compleja realidad renacentista. Atmósfera que recrea muy bien este mural. Tapiz de Mercurio del Museo Nacional Bávaro en Munich El Bayerische Nationalmuseum, fundado por Maximiliano II en 1855, debe contemplarse en toda visita a Munich. La colección es variada y de gran interés, incluido el matemático. No faltan los instrumentos científicos y objetos con representaciones alegóricas a las matemáticas. (Tapiz flamenco de Mercurio – Bayerische Nationalmuseum) Al entrar ya nos encontramos con un tapiz renacentista de los talleres de Bruselas alusivo a Mercurio. El díos mensajero está subido en su carro tirado por gallos en una escena dominada por la música. A la derecha unos sabios hacen geometría y medicina; pudiera ser también una referencia a las artes ocultas tan extendidas en la época: la astrología y la alquimia. Los sabios se corresponden en actitud y tareas con los del Splendor solis. Mercurio matemático en el Palacio de Münster El barroco Palacio del Príncipe Obispo Maximiliano Friderico en Münster, que se construyo en 1767, es hoy el rectorado de su importante Universidad. Detrás del palacio se puede visitar un apacible Jardín Botánico,  rodeado por un gracioso canal pentagonal curvilíneo, y que ha cumplido dos siglos. (Mercurio en el Palacio del Príncipe Obispo – Münster) El palacio se adorna con un elaborado conjunto escultórico tanto en su fachada principal como en los soportes de los balcones. En la parte frontal se encuentran los doce signos del zodiaco con los humores que la superstición atribuye a cada uno, mientras que en la parte trasera se representan las divinidades astrales grecorromanas. Los dioses más proclives a las matemáticas suelen ser Minerva, guerra y sabiduría, Apolo, la razón y el Sol, y Mercurio. A partir del Renacimiento es frecuente encontrar en Mercurio los atributos del geómetra. En el Palacio del Obispo veremos un compás, una escuadra y un transportador de ángulos. Mercurio en el Salón de Nobles de la Reina en Versalles Si en las Grandes Habitaciones del Rey en Versalles nos encontramos a Mercurio con las Artes Liberales, lo mismo ocurre en las Habitaciones de la Reina, incluso con más profusión matemática. (Mercurio en el Salón de Nobles de la Reina – Versalles) El Salón de Nobles de la Reina tiene un techo pintado por Michel II Corneille que representa el esplendor de Mercurio reforzado por Atenea y toda la corte de las Artes Liberales. Lugar especial ocupa la alegoría de la Geometría con el Teorema de Pitágoras. No es el único motivo de gran interés ya que a la derecha podemos ver una escena del Olimpo donde los personajes realizan cálculos geométricos; la estructura de la composición recuerda a los Sacerdotes Egipcios de la Biblioteca de San Lorenzo de El Escorial. Además en las esquinas superiores se localizan grupos de erotes, estucos dorados, que simbolizan las Artes, como el de la Aritmética. Mercurio en los frescos matemáticos del Monasterio Strahov en Praga El Monasterio de Strahov es una antigua fundación del siglo XII remodelada de forma que en su aspecto actual dominan el barroco y el neoclasicismo. Las dos bibliotecas, la Teológica y la Filosófica, son de gran valor tanto por su estética como por su contenido. En ambas hay frescos alegóricos a la actividad matemática. El monasterio se localiza en el alto de Mala Strana, cerca de la plaza con la moderna escultura de Kepler y Brahe. La Biblioteca Filosófica (c. 1779) es más alta y clasicista. Los frescos son continuos y en grandes escenas; en el lateral derecho se puede observar a los sabios Tales, Pitágoras o Euclides trabajando en su actividad con distintos instrumentos y dibujos geométricos. Los focos colocados recortan la visibilidad. La figura inclinada con compás recuerda la Escuela de Atenas de Rafael. Mercurio como inspirador de la actividad matemática está presente en la pintura adjunta. (Mercurio en el Monasterio Strahov - Praga) La Biblioteca Teológica (c. 1670) expone algunos globos, es más baja y los frescos están enmarcados entre estucos. El primero de ellos muestra una discusión entre sabios mientras otro con un compás realiza las mediciones sobre un globo. Curiosamente la cita del Eclesiastés es una de las usadas por Galileo contra los teólogos ortodoxos: Dios entregó el mundo para que fuera debatido. Al fondo se pueden ver los rótulos con el contenido de los libros: aparecen Math y Arith. Mercurio en el Palazzo Rosso de Génova El Palazzo Rosso de Génova es uno de las cuarenta y dos casonas aristocráticas que se han incluido en la lista del Patrimonio de la Humanidad de la UNESCO. La antigua residencia de un dogo es hoy una pinacoteca. Hubo un tiempo como decía Quevedo que el dinero era en Génova enterrado. Los palacios nos dan testimonio. Después todo se desplazó al Atlántico. El Palazzo Rosso no solo exhibe una importante colección, también posee un conjunto de frescos barrocos que permanecen en su lugar original. Destacamos una bóveda de Giovanni Andrea Carlone dedicada a Mercurio y las Artes Liberales. Las Alegorías de la Aritmética y la Geometría se encuentran a los pies de Hermes. Dos niños practican la ciencia tumbados en el suelo. En otra de las lunetas tenemos a la Astronomía y la Música con otra figura con compás y plomada. (Mercurio en el Palazzo Rosso - Génova)

Lunes, 04 de Octubre de 2021 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

45. 118. (Septiembre 2021) Afinación y temperamento (III)

1. Introducción En los dos artículos anteriores [4, 5] hicimos un recorrido por los principales sistemas de afinación y por algunos temperamentos. En el primero, cubrimos los fundamentos físicos de la afinación y la afinación pitagórica; en el segundo, la afinación justa y los sistemas mesotónicos. En este tercer artículo, estudiaremos los temperamentos irregulares y el temperamento igual. 2. Temperamentos irregulares Un temperamento irregular —que también recibe el nombre de temperamentos circulares o buenos temperamentos—son temperamentos que partiendo de los sistemas mesotónicos modifican algunas notas para la quinta del lobo desaparezca o al menos se atenúe. Otra manera de expresarlo es que se modifican notas para que la “espiral” de quintas se convierta en un verdadero círculo de quintas donde sea posible la modulación. De hecho, la aparición de los temperamentos irregulares están fuertemente ligados a la necesidad de modulación que de modo creciente se estableció a partir del siglo XVI. Los temperamentos irregulares coexistieron con los sistemas mesotónicos y al menos estuvieron en uso dos siglos antes de que el temperamento igual se generalizara como sistema de afinación estándar. Hay estudios sobre el Clave bien temperado que defienden la idea de que Bach lo escribió para temperamentos irregulares, ya que musicalmente es más rico que si se toca en el sistema mesotónico. Para una buena revisión histórica breve y concisa, véanse el libro de Benson [2] (páginas 206 y siguientes) y el capítulo 7 del libro de Barbour [1]. La quinta del lobo del sistema mesotónico es 35 cents más aguda de lo que debería ser. En general, los temperamentos irregulares se pueden clasificar en función de cómo tal diferencia se distribuye por el resto de las notas. Uno de los temperamentos irregulares más usados fue el llamado Werckmeister III. Siguiendo la notación de Eitz introducida en el artículo anterior y designando por p la coma pitagórica, su diagrama está en la figura de abajo. mi-p si-p fa#-p do#-p sol#-p do0 sol-p re-p la-p mi-p mi♭0 si♭0 fa♭0 do0 Figura 1: Temperamento irregular de Werckmeister III Si miramos a la segunda fila, observaremos que la coma pitagórica está distribuida a partes iguales entre las quintas do-sol-re-la y si-fa♯. A partir del la, la sucesión de notas sigue por quintas puras (pero partiendo desde la-p hasta el si-p, donde ahora salta a fa#-p. Y desde aquí sigue de nuevo por quintas puras. Estos temperamentos permitían obtener resultados más o menos satisfactorios cuando se modulaba a tonalidades relativamente lejanas de la principal. También dieron lugar a “personalidades” en las tonalidades, con frecuencia asignadas de manera subjetiva. Por ejemplo, Daniel Schubart en su obra Ideen zu einer Aesthetik der Tonkunst asigna las personalidades que se ven en la tabla de abajo (la tabla está tomada de la entrada de Wikipedia Tonalidad [6]). En algunos casos las descripciones de estas personalidades resultan algo excesivas. No es el único autor que confeccionó este tipo de tablas de personalidades o características afectivas (piénsese en la teoría de los afectos del periodo barroco). Tonalidad Personalidad Do mayor Alegre, guerrero, completamente puro. Su carácter es de inocencia y de simplicidad. Do menor Oscuro y triste. Declaración de amor y a la vez lamento de un amor no correspondido. Anhelos y suspiros. Do ♯ mayor Miradas lascivas. Pena y éxtasis. No puede reír, pero puede sonreír. No puede aullar, solo puede hacer una mueca de su llanto, bello. Caracteres y sentimientos inusuales. Do ♯ menor Sentimientos de ansiedad, angustia y dolor profundo en el alma, desesperación, depresión, sentimientos sombríos, miedos, indecisiones, escalofríos. Si los fantasmas hablaran se aproximarían a esta tonalidad. Re mayor Feliz y muy guerrero. El triunfo, aleluyas, júbilo, victoria. Re menor Grave y devoto. Melancolía femenina. El rencor. Mi ♭ mayor Crueldad, dureza, amor, devoción, conversación íntima con Dios. Mi ♭ menor Horrible, espantoso. Mi mayor Querellante, chillón, gritos ruidosos de alegría, placer al reírse. Mi menor Afeminado, amoroso, melancólico. Fa mayor Furioso, arrebatado, nostalgia solemne, maravilloso, dulce. Fa menor Oscuro, doliente, depresivo, lamento funerario, gemidos de miseria. Fa ♯ mayor Triunfo sobre la dificultad, libertad, alivio, superación de obstáculos, el eco de un alma que ferozmente ha lidiado y finalmente conquistó. Fa ♯ menor Pesimista, triste, sombrío, oscuro, terco a la pasión, resentimientos, descontentos. Sol mayor Dulcemente jovial, idílico, lírico, calmado, pasión satisfecha, gratitud por la amistad verdadera y el amor esperanzado, emociones gentiles y pacíficas. Sol menor Serio, magnífico, descontento, preocupado por el rompimiento de los esquemas, mal templado, rechinamiento de dientes, disgusto. La ♭ mayor Gravedad, muerte y putrefacción. La ♭ menor Quejándose todo el tiempo, poco complaciente, insatisfecho, corazón sofocado, lamentos, dificultades. La mayor Alegre, campestre, declaración de amor inocente, satisfacción, la esperanza de volver lo que le pertenece a uno de nuevo al regresar de una partida, juventud, aplausos y creencia en Dios. La menor Tierno, lloroso, piedad femenina. Si ♭ mayor Magnífico, alegría, amor alegre, conciencia limpia, metas y deseos por un mundo mejor. Si ♭ menor Oscuro, terrible, criatura pintoresca y curiosa, ropa de noche, tosco, maleducado, burlesco, descortés, descontento con sí mismo, sonidos del suicidio. Si mayor Duro, doliente, deslumbrante, fuertemente coloreado, anunciando pasiones salvajes, enfado, odios y resentimientos. Si menor Solitario, melancólico, ermitaño, paciencia, fe y sumisión esperando el perdón divino. La idea de concentrar la distribución de la coma en ciertas notas y no en otras es la de hacer ciertas tonalidades más aceptables que otras. Con esta estrategia, las terceras de las tonalidades “buenas” suenan casi como las terceras justas, como es el caso de la triada de do mayor do0-mi0-sol-p∕4 del sistema de Werckmeister III (la diferencia es de 4 cents). Si embargo, las terceras construidas sobre do♯ o fa♯ suenan más agudas (ahora la diferencia es de 22 cents, que es una diferencia notable). Para una lista completa y exhaustiva junto con el contexto histórico, consúltense los libros de Goldáraz [3] y Barbour [1]. 3. Temperamento igual Los temperamentos descritos hasta ahora tienen el problema de que la elección de las notas esencialmente favorecía una tonalidad en particular junto a sus vecinas y dejaba el resto con afinaciones deficientes. Los esfuerzos por distribuir la coma pitagórica o sintónica de algunos temperamentos entre las quintas, como en el caso de los temperamentos irregulares, llega a su punto natural con el temperamento igual, cuyo principio consiste en dividir la octava en 12 partes iguales. O dicho de otro modo, hacer que todas las quintas tengan el mismo tamaño. Históricamente y matemáticamente, esto fue difícil. Históricamente, fueron los constructores e intérpretes de instrumentos de afinación fija (órganos, clavecines, laudes, guitarras, etc.) los que empezaron a explorar el temperamento igual. Según Barbour [1] (página 56), Giovanni Maria Lanfranco en 1533 fue el primero en abogar y sistematizar el temperamento igual. Lanfranco recomienda que “las quintas se achiquen de manera que no sean agradables del todo al oído y que las terceras se puedan soportar”. Matemáticamente, la dificultad era construir de manera geométrica (con regla y compás) el número irracional , que es la proporción con que se construye el temperamento igual. En el temperamento igual, una octava se divide en 12 partes iguales; esto equivale a decir que la proporción entre dos notas consecutivas es 2 : 1 o, si se miden en cents, simplemente 100 cents. La tabla siguiente resume la construcción del temperamento igual. Notas Do Do♯ Re Re♯ Mi Fa Fa♯ Proporción 1/1 2 : 1 2 : 1 2 : 1 2 : 1 2 : 1 2 : 1 Cents 0 100 200 300 400 500 600 Notas Sol Sol♯ La La♯ Si Do Proporción 2 : 1 2 : 1 2 : 1 2 : 1 2 : 1 2 Cents 700 800 900 1000 1100 1200 Tabla 1: Temperamento igual Las terceras del temperamento igual son 14 cents más agudas que las terceras justas. Y como dice Benson en su libro [2] (página 204), “suenan nerviosas y agitadas” (estoy de acuerdo con esta afirmación). En la siguiente tabla se ven de nuevo las proporciones de la afinación pitagórica y su comparación con el temperamento igual (medido en cents). Notas Do Sol Re La Mi Si Fa# Do# Sol# Proporción 1/1 3/2 9/8 27/16 81/64 243/128 729/512 Cents 0 701.96 203.91 905.87 407.82 1109.78 611.73 113.68 815.64 Notas Do Fa Si♭ Mi♭ La♭ ~Sol# Proporción 1/1 4/3 9/16 32/27 128/81 Cents 0 498.04 996.09 294.13 792.18 Tabla 2: Afinación pitagórica para la escala cromática En general, la afinación justa y el sistema mesotónico producen terceras con más sensación de calma. Los temperamentos irregulares tienen la ventaja de dotar a cada tonalidad de una personalidad y un color distintos, como consecuencia de la distribución irregular de la coma. En el temperamento igual todas las tonalidades tienen esencialmente la misma personalidad. 4. Para saber más A continuación ponemos algunos vídeos con música en el temperamento Werckmeister III. Empezamos con una sonata de Domenico Scarlatti, la sonata en la menor K. 54. Figura 2: Sonata en la menor K. 54 en el temperamento Werckmeister III Figura 3: Preludio en do mayor del Clave bien temperado de Bach en 7 temperamentos (incluido Werckmeister III)   Bibliografía [1] J. Murray Barbour. Tuning and temperament: a historical survey. New York: Dover Publications, Inc., 1951. [2] D. Benson. Music: A Mathematical Offering. Cambridge University Press, 2006. [3] J. Javier Goldáraz. Afinación y temperamentos históricos. Madrid: Alianza Editorial, 2004. [4] Paco Gómez. Afinación y temperamento (I). http://www.divulgamat.net/index.php?option=com_content&view=article&id=18644&directory=67. web page. accedido el 20 de julio de 2021. [5] Paco Gómez. Afinación y temperamento (II). http://www.divulgamat.net/index.php?option=com_content&view=article&id=18645&directory=67. web page. accedido en agosto de 2021. [6] Wikipedia. Tonalidad_(música). https://es.wikipedia.org/wiki/Tonalidad\_(msica). web page. accedido el 10 de julio de 2021.

Jueves, 09 de Septiembre de 2021 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

46. 163. SOLUCIONES CONCURSO DEL VERANO DE 2021

Saludos a todos los lectores de la sección. Empezamos el nuevo curso académico con la publicación de las respuestas al XVII Concurso del verano. Dada la extensión del artículo, sin más preámbulos, vamos con ello. CUESTIONES MATEMÁTICAS M – 1.- La suma es 715663 + 79003 + 781196 = 1575862. Por no extender en demasía la reseña, no indico la solución pormenorizada del criptograma. Si alguien la desea, se la puedo enviar. Por otro lado, al puntuar la cuestión, se han dado los 10 puntos completos a aquellos concursantes que han razonado dicha solución. A aquellos que sólo han dado la solución final, se les ha asignado un 7. M – 2.- Teniendo en cuenta la información del enunciado, llamemos x al número de billetes del que más recibe, y, z las partes de los otros dos, y n el número total de billetes de 5000 cruzeiros. En ese caso, tenemos que x +  + y + z = 5000n Parece razonable que sean y, z los dos cuya suma sea el del que más dinero recibe. Entonces, y + z = x En ese caso la primera ecuación se reduce a + x = 5000n Es decir,  21x = 50000 n. Eso indica que n debe ser un múltiplo de 21. Como nos dicen que el número de billetes debe ser la cantidad mínima posible que cumpla todas las especificaciones, n = 21. En ese caso, x = 50000 (o sea 10 billetes de 5000), x/10 =5000 (es decir, 1 billete), y + z = 50000 (que deben ser 6 y 4 billetes, o 2 y 8, porque ambos han de ser una cantidad par). Finalmente nos dicen que al generoso personaje le sobran tantos billetes como la suma de dos de sus agraciados amigos. Como de nuevo el número de billetes debe ser el mínimo posible, entonces 10 + 1 + 10 (6 + 4, o 2 + 8) = 21 billetes ha entregado Para ver los que le sobran consideramos todas las posibles sumas dos a dos, y tomamos la menor. Ésta surge en el caso 2 + 1. Por tanto, el número de billetes que pide inicialmente es 21 + 3 = 24 billetes. A quien da cada cantidad es subjetivo, aunque a tenor de las imágenes parece que a Chiquita le da los 10 billetes, al dependiente/camarero 1, al cadi 2, y a la señora 8, por ejemplo, aunque se da por válido cualquier otro apaño. M – 3.- Hay dos personajes a los que no se da nombre: una chica (a la que designaremos en principio como C), y un hombre (al que denominaremos como H). En el enunciado se nos dan los siguientes comensales, agrupados en dos frases: Ron, C, H, Joan; y Ann, H, C, H, C, marido de Pam. La chica a la izquierda del marido de Pam, no es Pam, así que debe ser Joan. Por tanto, tenemos Ann, Ron, Pam, H, Joan, marido de Pam. Steve está sentado a la derecha de la chica que está sentada a la derecha de Harry. Así que la configuración debe ser Ann, Ron, Pam, Harry, Joan, Steve. Por tanto, Steve era el marido de Pam. M – 4.- Esta ha sido una de las cuestiones que más quebraderos de cabeza parece haber causado. En efecto, era uno de los más “abstractos”, valga la expresión, y la prueba es más teórica, y con cierta “idea feliz”. Un primer dato importante es que en el enunciado se dice que los números son enteros, por tanto, sí pueden tomar valores negativos. Dos concursantes hallaron la solución correcta, uno de ellos con un razonamiento deductivo impecable (el otro se limitó a dar la solución correcta, supongo que mediante prueba-error). Escribo una demostración “algebraica”: Llamemos x1, x2, …, x100 a los números descritos en sentido horario, con x100 + i = xi, al ser la mesa circular. Tenemos, para i = 1, 2, ...., 100 (he aquí la “idea feliz”: considero todos a partir de uno concreto, el xi, y repito los dos primeros que consideré, xi y xi +1) xi + xi +1 + …. + x100 + x1 + …. xi - 1 + xi + xi +1 = 100 + xi + xi +1 y como hay 102 = 6 x 17 términos en esta suma, agrupándolos cada 6 consecutivos, tenemos 100 + xi + xi +1 ≤ 102 O lo que es lo mismo xi + xi +1 ≤ 2 Entonces, 100 = (x1 + x2) + (x3 + x4) + … + (x99 + x100) ≤ 2 x 50 Dándose la igualdad con x2i - 1 + x2i = 2, si, y sólo si i ≥ 1 Ahora bien, también podemos escribir 100 = (x2 + x3) + (x4 + x5) + … + (x100 + x1) ≤ 2 x 50 De donde x2i + x2i + 1 = 2, si, y sólo si i ≥ 1 Como x1 = 6, entonces x2 = – 4, y por recurrencia, para i = 1, 2, …, 50, x2i - 1 = 6, x2i = – 4, valores que satisfacen las condiciones dadas. M – 5.- 1.- Designemos por a la cantidad de libras, y b la de peniques, de manera que el precio vendrá dado por a.b. De acuerdo con las condiciones del enunciado tenemos entonces que (100a + b) = 100b + a + donde x se encuentra entre los valores , para considerar los posibles redondeos. Simplificando la ecuación tenemos 197a = 298b + x Si x = 0, la solución es a = 298, b = 197, ya que 197 y 298 son primos entre sí. Sin embargo esa solución no sirve ya que b (los peniques), deben cumplir que 0 ≤ b ≤ 99. Si x = 1, encontramos fácilmente la solución mediante el algoritmo de Euclides (recuérdese la conocida como identidad de Bezout; mediante el algoritmo de Euclides obtenemos una combinación lineal de dos números igual a su máximo común divisor, en este caso la unidad al ser primos entre sí): 1 1 1 19 5 → Cocientes 298 197 101 96 5 1 101 96 5 46 0 → Restos 1 = 96 – 19 ‧ 5 = 96 – 19 (101 – 96) = 96 ‧ 20 – 19 ‧ 101 = (197 – 101) ‧ 20 – 19 ‧ 101 = 197 ‧ 20 – 39 ‧ 101 = 197 ‧ 20 – 39 (298 – 197) = 197 ‧ 59 – 298 ‧ 39 Por tanto, a = 59, b = 39 es solución válida, y el precio del libro sería 59.39. Para x = –1, obtenemos el mismo valor, y cantidades mayores exceden de los dos dígitos bien en las libras, bien en los peniques. Varios concursantes han utilizado medios informáticos para encontrar la solución (hojas de cálculo, etc.). He dado la solución como correcta (bueno, lo valoré como 9, en vez de 10), aunque, bueno, desde el punto de vista estrictamente matemático, podría cuestionarse. 2.- La pregunta viene a cuento porque la libra está dividida en 100 peniques desde la decimalización de 1971; anteriormente la libra se dividía en 20 chelines (shilling), y el chelín en 12 peniques (penny, plural pence), por lo que una libra tenía 240 peniques. En este caso, con un razonamiento similar al anterior se comprueba que no hay solución si sólo se consideran dos dígitos para libras y peniques. Necesitaríamos un dígito más, pero un libro como el que vemos en la película, no podría ser tan caro. M – 6.- Son cien lingotes de oro. Si entre todos pesan 495987 libras, cada uno pesa 4959.87 libras. Teniendo en cuenta que una libra (medida de peso) es equivalente a 0.453592 kilogramos, eso supondría que cada uno pesaría 2249.75 kilogramos (o sea 2 toneladas y pico). Difícil que puedan cogerlos. No obstante, bien por error, bien por mostrar las limitaciones de los personajes (eso no lo podemos saber, pero ya sabemos cómo es el humor inglés), es posible que intencionadamente el guionista haya querido jugar con las libras (pounds) no como unidad de peso, sino como libras esterlinas (como valor monetario). En ese caso, como el precio del oro, según dicen en la película, es de 240 chelines la onza, es decir 12 libras esterlinas la onza, dado que 4959.87:12 = 413.32 onzas, un lingote pesaría 413.32:16 = 25.83 kg. (una libra son 16 onzas).  Sin embargo, en joyería, lo usual es trabajar con onzas troy. Una onza troy son 0.37324 kg. Entonces, 0.37324:12 = 0.0311 kg., por lo que un lingote pesaría 413.32 x 0.0311 = 12.85 kg., valor totalmente coherente con el peso de un lingote de 400 onzas troy que es de 12.5 kg. Esa similitud da que pensar que, en efecto, está hecho así adrede. M – 7.- Me ha sorprendido el que bastantes concursantes no respondieran a esta cuestión, una de las más sencillas (bajo mi punto de vista), habida cuenta de que se daba la libertad de que cada uno eligiera los datos que necesitara en base al modelo estándar de lingote de oro. Teniendo en cuenta la forma que suelen presentar los lingotes de oro (en la película también), es determinar las dimensiones de un prisma de base trapezoidal, imponiendo únicamente que el grado de inclinación (del lado oblicuo del trapecio obviamente) fuera de 5º, y que pesara 1 kilogramo. Un modo de hacerlo podría ser el que nos indica Alejandro, uno de los concursantes: Como la densidad del oro puro es 0.01932 kg/cm3, entonces el volumen debe ser Con los nombres dados a los lados del dibujo, el volumen del prisma es Conocido el volumen, tenemos tres valores desconocidos (b, h y L). Fijando dos de ellos, determinamos el tercero. Podemos decidir fijar la altura h y la base menor b, o cualquier otro par, pero cumpliendo con la expresión anterior. M – 8.- La relación entre los volúmenes de los cuerpos semejantes es igual a la que existe entre los cubos de sus alturas respectivas. Si el pisapapeles pesa 7.300.000 veces menos que la torre original (en el caso de un kilogramo), su volumen debe ser 7.300.000 veces menor, luego el pisapapeles debe ser (7300000)^(1/3) =193.9877414 ≈ 194 veces más bajo que el real. Es decir, 300/194 = 1.546 metros (un poco grande para pisapapeles). En el caso de que quisiéramos que pesara ½ kg, la proporción debería ser (7300000 x 2)^(1/3) = 244.4092388 veces más bajo que el real, con lo que sería 300/244.41 = 1.2274 metros, que no es la mitad de alto, precisamente. Afortunadamente, las réplicas no son perfectamente semejantes con el modelo original. M – 9.- La densidad del oro es 19.32 gr/cm3 = 19.32 kg/dm3. Si tuviéramos el oro líquido, un litro pesaría 19.32 kilogramos. A partir de la conocida relación entre densidad, masa y volumen, Y de ahí, la constante de proporcionalidad sería k = 0,0030335. Con ese valor, reproducir la torre de 1 kilogramo de oro puro nos llevaría a una altura de 1.147 metros, y el de medio kilo 91 cm, un tanto grandes en ambos casos. Viendo los pisapapeles de la película, su altura estaría en torno a los 30 cm., de modo que habría que hacer un número excesivo para repartir todo el oro que dicen que roban. M – 10.- Lo primero que a uno se le ocurre es representar gráficamente los puntos dados. En la imagen aparecen en color rojo, junto a los tres en verde de la base. Si quitamos los signos menos de la primera coordenada de los puntos en rojo, completamos por simetría lo que sucedería en la parte positiva del eje OX (puntos azules). Es bastante claro que representa el perfil de una famosa torre (la torre Eiffel, por si aún no lo hemos descubierto de todas las pistas del enunciado del concurso). Para unir los puntos de un modo medianamente realista, se puede hacer en varias etapas (interpolación segmentaria o por partes). En la base (puntos verdes), aproximamos los tres puntos por una parábola (rectificando ligeramente los valores para tener la simetría perfecta; ya se sabe que, si se toman datos de la realidad, a ojo, se pueden cometer pequeños errores que luego “mejoramos” matemáticamente). Los cinco puntos rojos siguientes están unidos también por interpolación (obtenemos un polinomio de grado cuatro; el que aparece en la imagen), pero es igualmente válido hacer un ajuste por mínimos cuadrados a una parábola (un polinomio de segundo grado) quedando bastante realista también. Los tres siguientes idénticamente se pueden unir por interpolación o ajuste, al igual que el tramo final, mediante una recta, por ejemplo. El lado derecho lo completamos por simetría. No incluyo las expresiones de los polinomios obtenidos porque son grandes y lo que importa es el procedimiento, pero si algún lector está interesado, se las mando sin ningún problema. M – 11.- Si designamos por x el peso del primer metal del que está formado el pisapapeles y por y el del segundo, se tiene que x + y = 750. Por otro lado, los volúmenes respectivos con cada metal serán x/19.50 e y/10.50, por lo que Al resolver el sistema lineal, se obtiene que x = 487.50 gr., y = 262.50 gr. M – 12.- En la película se dice que se han perdido 6 pisapapeles valorados en 25000 libras. Cada uno por tanto 12500/3 libras. Antes del 15 de febrero de 1971, ya se ha comentado que la libra eran 240 chelines, por tanto, cada pisapapeles está valorado en 250000/3 chelines. Cada onza vale 240 chelines. Por tanto, cada pisapapeles pesa 250000/(3 x 240) onzas = 25000/(72 x 16) libras de peso (1 libra son 16 onzas), que son aproximadamente  21,7 libras, o sea 21,7 x 0,453592 ≈ 9,84 kg. En el caso de considerar libras troy, serían 25000/(72 x 12) ≈ 28.93 libras troy ≈ 10.7978 Kg. Un poco pesados para que la niña lo maneje con tanta soltura. M – 13.- El ascensor baja a una velocidad de 2 m/seg, y cubre 300 metros, por lo que tarda 150 segundos, que son 2 minutos y medio. En internet se indica que desde arriba había exactamente 1665 escalones (en realidad ellos no bajan tantos, porque lo hacen desde la 2ª planta). Si tuvieran que llegar a la vez, deberían bajar 1665/2.5 = 666 escalones pon minuto (una cantidad “endiablada”, ja ja ja). Eso viene a ser 11.1 escalones por segundo. Sí parece justificado el mareo que tiene, bajando además circularmente. M – 14.- Para calcular el área encerrada por esa curva, pueden utilizarse diferentes procedimientos (aunque para todos necesitamos integrales definidas, obviamente). En cualquier caso, es obvio que podemos aprovechar las simetrías de la figura. Al resolver el ejercicio pensé en las parábolas, todas simétricas. En la imagen adjunta, observamos en rojo tres puntos que me definen todo lo que necesito (cada concursante puede elegir libremente dónde los coloca; la única condición es que la forma final se “parezca” a la propuesta). Esos puntos son (3.5, 1.7), (1.7, 3.5) y (–1.7, 3.5). Con los dos últimos y el (0, 3) (muy obvio de la imagen), obtenemos, por interpolación, la parábola Si quisiéramos dibujar las otras tres parábolas, basta con intercambiar x e y, para las de izquierda y derecha (y un signo menos para una de ellas), y multiplicar por (–1) la dada para la inferior, quedando las siguientes expresiones: pero no son necesarias para el cálculo de la superficie que se pide (sólo para obtener el dibujo de la imagen). Lo que si necesitamos es la ecuación de la recta que une (3.5, 1.7) con (1.7, 3.5), que es Estaremos de acuerdo con que la superficie pedida es cuatro veces al área rayada en morado, más la de verde, menos el trocito que nos pasamos de la parábola de la derecha. Expresándolo mediante integrales será: O sea, unos 38 metros cuadrados, si las medidas fueran en metros. La mayor parte de los concursantes han optado por una resolución teórica en modo exacto, sin medidas concretas, obteniendo (9 – p)r2, siendo r el radio del círculo inscrito entre las parábolas. Por supuesto, también se ha considerado bien resuelto. M – 15.- Todas las formas posibles de elegir un par de alumnos distintos de un conjunto de cinco es De éstos sólo necesitamos eliminar aquellos que tengan como diferencia un año, que son exactamente cuatro: (6, 7), (7, 8), (8, 9) y (9, 10). Por tanto, la probabilidad de seleccionar al menos dos con edades que se diferencien en dos años es 6 de 10, o lo que es lo mismo 3/5. M – 16.- El año de producción Es evidente que el año debe ser de la forma 19** (no es una película muda para que fuera anterior, y tampoco del 2000 en adelante. ¿Qué cuadrados perfectos pueden obtenerse con 10 + x? Sólo 16 o 25, por lo que la suma de las dos cifras desconocidas es 6 o 15. Analicemos todas las posibilidades: Suma 6: pueden ser 1933, 1924, 1942, 1915 o 1951. De ellos sólo son primos 1933 y 1951. Suma 15: pueden ser 1978, 1987, 1969 o 1996.  Sólo es primo 1987. Analicemos con esos tres casos, la última condición que nos dan: al revertir las cifras el número es compuesto. Los números serían 3391, 1591 y 7891. Así descartamos el 1933. Quedan por tanto 1951 y 1987. Pero claramente la película no puede ser de 1987 (blanco y negro, aún existe la escalera de caracol de la Torre Eiffel que se desmontó en 1983, etc.). De modo que el año de producción es 1951. M – 17.- Una palabra clave Se nos dice que el cuadrado de la imagen con las cifras del 1 al 16 es mágico, y que la suma de las casillas de las esquinas (en verde) y las del centro (en rojo) también suman la constante mágica. Al ser un cuadrado de orden cuatro, esa constante mágica es 34 (ya saben (1 + …. + 16)/4). Como los números de la diagonal principal suman ya 26, los otros dos deben ser 1 + 7, o 3 + 5. Por otro lado, la primera fila suma ya 30, de modo que los que restan deben ser 1 + 3 (2 + 2 no puede ser porque no se repite ningún número). Razonemos por reducción al absurdo para ir descartando casos. Supongamos que a11 = 3 y a12 = 1. Entonces, a33 = 5, y de ahí se deduce que a41 = 6, y a21 = 12. En ese caso pueden suceder: 1.- a32 = 10, a42 = 8, de donde a34 = 6. Imposible porque el 6 ya estaba colocado. 2.- a32 = 8, a42 = 10, de donde a34 = 8. Imposible porque el 8 ya estaba colocado. Por tanto, debe ser a11 = 1 y a12 = 3. En esa situación a33 = 7, y por la condición de las cuatro esquinas tenemos que a41 = 8, y de ahí a21 = 12. En la segunda columna tenemos una suma de 18, por lo que a32 + a42 = 16. Teniendo en cuenta los números ya colocados, esa suma sólo podría ser 10 + 6 o 6 + 10. Suponiendo que fuera a32 = 6, entonces a34 = 8. Imposible porque el 8 ya estaba colocado. Por tanto, a32 = 10, y de ahí terminamos el resto de valores sin dificultad (a la derecha el cuadrado mágico terminado; en rojo los valores que hemos ido colocando). En el enunciado se nos indica que “las casillas marcadas con fondo naranja (seis de ellas; una ya se da, la del número 14), encubren esa palabra que puede ser una pista definitiva para desvelar la película en cuestión”. Los números de esas casillas son 1, 14, 12, 5, 7, 9, que en el orden alfabético usual corresponden a las letras A, N, L, E, G, I. Jugando con ellas, nos cuesta encontrar una palabra con sentido en español, hasta que, si somos un poco metódicos damos con EALING. Evidentemente esa palabra no nos dirá nada, salvo que sepamos algo de cine o de geografía londinense (lo siento; era la cuestión rebuscada de esta edición). Ealing es un municipio del oeste de Londres en donde se encontraban los Estudios Ealing que produjeron la película que nos ocupa. M – 18.- La película es Oro en barras (The Lavender Hill Mob, Charles Crichton, Reino Unido, 1951). CUESTIONES CULTURALES C – 1.- Quizá esta cuestión haya confundido a los lectores porque en la película el loro no dice nada. La cuestión simplemente era aprovechar que aparecía el loro para meter el criptograma. De hecho, en el enunciado indica “podría decir”. Lo que se preguntaba era por el significado del criptograma, en resumidas cuentas, por qué le llamaríamos “Polly”. El nombre genérico "Pol" para un loro se remonta a Inglaterra desde al menos principios del siglo XVII. En su comedia de 1606 Volpone, el dramaturgo del Renacimiento y amigo cercano de William Shakespeare, Ben Jonson asignó a muchos de los personajes animales que reflejaban su verdadera naturaleza. El astuto personaje principal, por ejemplo, es un zorro, mientras que su sirviente parasitario es una mosca. Dos personajes cómicos en relieve, Sir Politic Would-Be ("Sir Pol" para abreviar) y su esposa, son visitantes de Inglaterra que están tratando de congraciarse con la sociedad veneciana, y lo hacen simplemente imitando las palabras y el comportamiento de Volpone y sus asociados. Debido a su entrañable ignorancia de lo que realmente están diciendo cuando repiten frases que han aprendido, Jonson los describe como loros. No está claro si Jonson realmente acuñó el término "Pol" como un apodo general para los loros, o si simplemente lo popularizó. En cualquier caso, los indulgentes dueños de mascotas británicos finalmente convirtieron a "Pol" en el diminutivo "Polly", mucho más coloquial, y ambos nombres cruzaron el Atlántico. De hecho, el presidente de los Estados Unidos, Andrew Jackson, tenía un loro gris africano llamado Pol, que era famoso por soltar obscenidades a los dignatarios visitantes. Otra posibilidad que menciona otro concursante es acerca de la canción popular británica Pretty Polly, que narra la tragedia de una joven que es asesinada por un carpintero. Después del crimen, él huye en un barco. El protagonista, Holland, igual que ese carpintero, cometió un crimen y después huyó en barco. Recuerdo un célebre gag de los Monty Python, con un loro muerto, al que llaman Polly. C – 2.- Donald Lowndes fue el fundador del emporio de administración de propiedades Lowndes & Sons S.A. (1936), un emprendedor que provocó una revolución en el mundo empresarial de su tiempo, que persiste hasta nuestros días. Aún no tenía 20 años cuando se fue a estudiar a Inglaterra y allí descubrió empresas que prestaban asistencia a quienes necesitaban alquilar inmuebles, arrendar almacenes o gestionar inmuebles. Desconociendo todo de ese país, le encantó el servicio que le prestaron, recién casado, necesitando ayuda para instalarse en un domicilio mientras permanecía en la ciudad. Se graduó en ingeniería civil y económicas volviendo a su país, Brasil, donde se dispuso a poner en práctica las ideas que había visto. Fue responsable del primer desarrollo de oficinas en condominios en la historia de Brasil, revolucionando el mercado inmobiliario del país. Eso incluyó un banco, el Banco Lowndes (1941). Trasladó a sus empresas su ideal familiar, cercano, humanista, dotando a todas sus empresas de un restaurante para empleados, a los que ofrecía desayuno y almuerzo antes de empezar la jornada laboral, una clínica médica, cuyo uso se ampliaba a familiares de trabajadores, y un club. Para Donald Lowndes era muy importante que estuvieran encantados de trabajar con él. Así lo que vemos en la película no es un restaurante, sino las dependencias del Banco Lowndes de Rio de Janeiro. Mientras el cliente es atendido (fíjense que el protagonista entrega un cheque al presunto camarero, y hace la consulta al superior sobre si darle la cantidad que le pide) disfruta de un trato relajado entre amigos. El banco sigue existiendo en la actualidad, aunque no me consta que esa siga siendo la atención a los clientes. C – 3.- Se trata de Audrey Hepburn, haciendo de Chiquita, una amiga del protagonista. Inicialmente su papel iba a ser más amplio, pero sus compromisos teatrales no lo permitieron. Sir Alec Guinness, impresionado con la joven actriz, logró que al menos apareciera en un pequeño papel. Se considera que esta es su primera aparición en una película importante. C – 4.- En la película vemos que el título es You´d look swell in a shroud (algo así como Te encontrarías hinchado en una mortaja). No he encontrado ningún libro real que tenga ese título. C – 5.- En la versión doblada se dice 495980 libras. C – 6.- El extravío se debe a la diferente pronunciación fonética de la letra “erre” en el inglés y el francés. Se dieron instrucciones de no poner a la venta los souvenirs de la caja que tuviera marcada una “r”. En inglés, la “r” se pronuncia [ar], mientras que en francés es “egue”. En realidad, en francés la “r” se pronuncia de formas diferentes si va delante o detrás de una vocal, o si va delante o detrás de una consonante, y a veces, no se pronuncia. Está claro que en la película han utilizado esa letra no por casualidad, y han tratado de poner de manifiesto que para hacer las cosas bien (en este caso, el delito), hay que tener en cuenta los detalles más nimios, o todo se puede ir al traste. Además, tipográficamente la R y la A, escritas a mano y haciendo la parte superior de la A redondeada, pueden confundirse. C – 7.- Hay una escena en la que el protagonista observa el proceso de modelado de los lingotes de oro. Una mota de oro cae fuera del molde. La recoge con la punta de su paraguas. Indica entonces que “con el oro a 240 chelines la onza, esa partícula tiene un valor de 1 punto 25, y significa una pérdida aproximada de 6 chelines”. En la versión original y en el subtitulado se dice que el valor de la mota es 0.025. Con ese valor, que sí tiene sentido, sale perfectamente la cuenta (240 x 0.025 = 6). La confusión para los dobladores españoles de la época (¡¡unos genios!!), bien de que Alec Guiness pronuncia .025 mediante “point ou twenty-five”, y lo tradujeron como “un punto veinticinco”. Lo dicho: ¡¡unos genios!! Pero los concursantes son más exhaustivos y han descubierto más equivocaciones. Así, Alejandro Apezteguía nos desvela un par de ellos más: Hacia el minuto 26:38, en la planificación del robo, en la versión doblada dicen “tenemos que REMOVER 200 barras”, mientras que en la versión original se dice “MORE THAN 200 BARS” es decir, más de 200 barras (los subtítulos en castellano también salen mal pues lo traducen como “SON 200 BARRAS”. Posteriormente en el minuto 26:56 en ambas versiones se confirman que son exactamente 212 barras que son contadas mientras se cargan en el furgón blindado. Otro error a la inversa, aparece en la versión original pero no en la versión en castellano. En muchas escenas se puede ver la matrícula del furgón LKL238 e incluso la nombran correctamente casi siempre, pero en el minuto 31:27 de la versión original la nombran como LKL638 es decir cambian un 2 por un 6 (y en los subtítulos también parece este error). Esto no ocurre en la versión en castellano donde siempre nombran la matrícula correcta. C – 8.- Se trata de la Torre Eiffel, París, Francia. Aparte de su diseño y medidas arquitectónicas (para las que se precisan bastantes matemáticas), esta torre tiene grabados sobre el friso de sus cuatro caras los nombres de 72 científicos, entre los que figuran 20 matemáticos (eso sí, todos franceses). En https://www.toureiffel.paris/es/el-monumento/torre-eiffel-y-ciencias pueden consultarse. Por otro lado, es relevante, como Gustave Eiffel tuvo que contrarrestar la resistencia al viento. Puso una curva en los bordes exteriores para que la torre no se cayera. En la base de la Torre Eiffel, cuatro pilares curvos se inclinan interiormente en un ángulo de 54 grados. Ese ángulo es el que minimiza la resistencia al viento. A medida que los pilares se elevan y finalmente se unen, el ángulo de cada uno disminuye gradualmente. En la parte superior de la Torre, los pilares fusionados son casi verticales (cero grados). No obstante, la torre se mueve con el viento. En días con vientos fuertes y racheados, el viento puede alcanzar velocidades superiores a 100 mph en la parte superior de la torre. Los visitantes pueden sentir cómo la torre se balancea suavemente en el nivel superior. En tales condiciones de viento, suele estar cerrada al público, aunque siempre hay un ingeniero presente en la cumbre para monitorizar los equipos de telecomunicaciones. La magnitud del balanceo en la torre, en el peor de los casos, es de unas seis pulgadas. No hay peligro de que la torre se dañe por el movimiento inducido por el viento, ya que está diseñada para soportar movimientos fácilmente cinco veces superiores a los producidos por los vientos más fuertes jamás registrados. Hoy, los movimientos son monitorizados por un sistema de alineación láser. C – 9.- Entre otras, París que duerme (Paris qui dort, René Clair, Francia, 1924); El misterio de la torre Eiffel (Le mystère de la tour Eiffel, Julien Duvivier, Francia, 1927); El hombre de la torre Eiffel (The Man on the Eiffel Tower, Burgess Meredith, EE. UU., 1949); Una cara con ángel (Funny Face, Stanley Donen, EE. UU., 1957); Zazie en el metro (Zazie dans le Metro, Louis Malle, Francia, 1959); La torre de los rehenes (The Hostage Tower, Claudio Guzmán, EE. UU., 1980); Superman II. La aventura continúa (Superman II, Richard Lester, EE. UU./Reino Unido, 1980); Panorama para matar (A View to a Kill, John Glen, Reino Unido, 1985). También hay escenas en múltiples películas, aunque tomadas desde la parte turística, más que desde el interior de la estructura, como Ninotchka (Ernst Lubitsch, EE. UU., 1939) o Men in Black International (F. Gary Gray, EE. UU., 2019) por poner dos ejemplos en las antípodas cinematográficas, ja ja ja. C – 10.- En una escena de la película, el protagonista es seguido por un vehículo cuya matrícula se dice que es THX 375. THX es el nombre de una compañía estadounidense con sede en San Francisco, California, fundada en 1983 por George Lucas. Se dedica a desarrollar estándares de audio y video de alta fidelidad para salas cinematográficas, sistemas de sonido caseros, bocinas para computadoras, consolas de videojuegos, sistemas de audio para automóviles y videojuegos. El sistema THX no es una tecnología de grabación y tampoco especifica un formato de grabación; todos los formatos de sonido, ya sea digital o analógico, pueden mostrarse en THX. Básicamente THX es un sistema para garantizar la calidad, de tal manera que salas de cine o sistemas de sonido casero o profesional podrán reproducir el contenido tal cual fue concebido en la sala de mezclas. La segunda relación es obvia: Alec Guinness, el protagonista de esta película, es también Obi Wan Kenobi en la película Star Wars, dirigida por George Lucas. Los concursantes han encontrado otras relaciones, algunas sumamente enrevesadas, aunque se han valorado positivamente todas ellas. Eso sí, cuando sólo se da un detalle (se pedían dos), la puntuación ha sido la mitad, 5. C – 11.- Hacia el minuto 43 de la película, en la oficina de Scotland Yard, aparece un cartel que anuncia una exposición sobre el centenario del fallecimiento de Robert Peel (1850 – 1950). Robert Peel fue un estadista y político británico del Partido Conservador, primer ministro del Reino Unido en dos ocasiones. Introdujo una serie de importantes reformas en la legislación penal británica. La más destacada fue la creación de la London Metropolitan Police, posiblemente el primer cuerpo de policía moderno y precedente de Scotland Yard. Es curioso que inicialmente, a los policías se les denominaba un tanto despectivamente Peelers (peladores, mondadores), y después se transformaran en Bobbies (Bobby es el apodo de Robert), en ambos casos haciendo referencia a Robert Peel. Promovió además cambios en el Código penal para reducir el número de delitos castigados con la pena capital. Al final de la película, los protagonistas entran en la citada exposición, de la que presenciamos una demostración de coche inalámbrico, una muestra del trabajo del Departamento de Investigación Criminal de la policía británica (Criminal Investigation Department; CID, en siglas) sobre casos reales (para los cinéfilos, el actor Robert Shaw aparece como químico especialista en un breve cameo sin acreditar), y parte del Museo del Crimen (Black Museum), inaugurado en 1874, y que sigue existiendo en la actualidad allí mismo, en la sede de Scotland Yard, Londres SW1A 2JL. No está abierto al público, aunque ha aparecido en diferentes películas y programas de radio y televisión. Otra película que recorre alguna de sus salas es Jack, el destripador (The Lodger, John Brahm, EE. UU., 1944). C – 12.- Pregunta de opinión, en la que todos los concursantes han tenido, obviamente la puntuación máxima.   Puntuaciones Finales Este año se ha dado una circunstancia curiosa, que no había sucedido antes. Dos concursantes han alcanzado la misma puntuación máxima (las “penalizaciones” han sido además en cuestiones diferentes). Así que hay un empate técnico, un ganador ex aequo que dicen en los festivales 1.- Alejandro Apezteguia Torres  290 (170 + 120) 2.- Francisco Pi Martínez   290 (180 + 110) 3.- Michel Picquart   241 (131 + 110) 4.- Alba Diez Mariño    220 (110 + 110) 5.- Francisco Javier Morentín  212 (154 + 58) 6.- Celso de Frutos de Nicolás   187 (97 + 90) Como veis, todos ellos han tenido puntuación mayor o igual en la parte matemática (en rojo) que en la parte cultural (en azul). Agradezco a todos su buenísima disposición, la aceptación de la propuesta, y sus elogios. Espero que hayan pasado de verdad un buen rato. En breve recibiréis un mail, algunos para pediros una dirección postal a la que enviaros un pequeño obsequio de DivulgaMAT (ignoro a fecha de hoy el número de obsequios de los que dispone la organización), y a todos para detallaros las puntuaciones de cada cuestión, una vez hayáis leído las soluciones. ¡¡Enhorabuena a todos!!

Miércoles, 08 de Septiembre de 2021 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

47. 117. (Agosto 2021) Afinación y temperamento (II)

1. Introducción En el artículo anterior [Góm21], presentamos los conceptos básicos de afinación y temperamento (manejo de frecuencias, división de la octava, cents, la serie armónica) y la afinación pitagórica, cuyos generadores son la octava y la quinta. En este artículo vamos a estudiar los siguientes temas: la afinación justa, en su versión diatónica y cromática junto con algunas afinaciones históricas; hablaremos de los problemas armónicos que se derivan del uso de la afinación justa; continuaremos con los sistemas mesotónicos, de los cuales proporcionaremos los ejemplos más sobresalientes; y, por último, sugeriremos al lector vídeos y referencias para seguir ahondando en ambos; y eso sin olvidar sugerencias de música, por supuesto. 2. Afinación justa 2.1. Escala diatónica justa Si consideramos las proporciones de la afinación pitagórica, las cuales reproducimos por completitud en la tabla 1, observaremos que ciertas notas tienen proporciones complicadas, como pueden ser las notas mi, la y si. En la afinación justa se persigue simplificar estas proporciones. Después de la octava y la quinta, la siguiente proporción más simple es la cuarta 4:3. Sin embargo, concatenar cuartas y quintas, o viceversa, no produce nuevos intervalos. En efecto, si añadimos una cuarta justa a una quinta justa, entonces tenemos que ⋅ = 2 y se genera una octava. Tampoco la concatenación de cuartas a partir de la nota do produce proporciones sencillas para las notas mi, la y si. Notas Do Re Mi Fa Sol La Si Do Proporción 1/1 9/8 81/64 4/3 3/2 27/16 243/128 2/1 Cents 0 203.91 407.82 498.04 701.96 905.87 1109.78 1200 Tabla 1: Afinación pitagórica para la escala diatónica Una opción es usar la proporción 5:4, que es la proporción asociada al quinto armónico, como muestra la serie armónica de la figura 1 (encima de cada armónico aparece la diferencia en cents con respecto a la división igual de la octava redondeado al entero más cercano). Figura 1: Serie armónica (figura adaptada de [Wik21a]) La proporción 5:4 genera una tercera mayor más consonante que la tercera pitagórica, que está dada por la proporción 81:64. Para comprobar esta afirmación, pínchese en el vídeo de más abajo, en que se pueden escuchar dos terceras mayores, la primera pitagórica y la segunda justa. Figura 2: Diferencia entre las terceras pitagórica y justa Si tomamos esta nueva proporción como base de la triada mayor, su proporción es 4:5:6, que significa que 5:4 es la proporción para do–mi y 6:4 = 3:2, la del intervalo do–sol. Saltando por quintas hacia arriba a partir de mi, obtenemos la nota si con una proporción de ⋅ = ; y si en cambio saltamos hacia abajo, entonces llegamos a la nota la mediante el siguiente cálculo: Este sistema de generar las notas de la escala diatónica se llama afinación justa o entonación justa. La tabla 2 muestra las proporciones y los valores en cents de la afinación justa, así como las diferencias entre esta y el temperamento igual y la afinación pitagórica. Obsérvese que la diferencia con las notas mi, la y si son grandes. Notas Do Re Mi Fa Sol La Si Do Proporción 1/1 9/8 5/4 4/3 3/2 5/3 15/8 2/1 Cents 0 203.91 386.31 498.04 701.96 884.35 1088.26 1200 Diferencia con el temperamento igual 0 3.91 -13.68 -1.96 1.96 -15.64 -11.73 1200 Diferencia con la afinación pitagórica 0 0 -21.51 0 0 -21.51 -21.51 0 Tabla 2: Afinación justa para la escala diatónica La diferencia entre las quintas justas (que son iguales que las pitagóricas) y las de temperamento igual no es tan pronunciada. Escúchese el vídeo de más abajo para apreciar las diferencias. Figura 3: Diferencia entre las quintas pitagórica y justa La triada mayor es un acorde que aparece en muchas culturas musicales; en particular, en la música occidental es un acorde fundamental de su armonía. Las afinaciones justas ya eran conocidas por los griegos. Dídimo primero alrededor del siglo I a.C. y más tarde Ptolomeo en el siglo II d.C. estudiaron y desarrollaron estas afinaciones en que la proporción 5:4 aparecen como generador de la afinación o de la escala. La tercer pitagórica tiene una proporción de 81:64 y la justa de 5:4. Su diferencia es = = 1.0125 y esta recibe varios nombres: coma sintónica, coma de Dídimo, coma ptolemaica o coma ordinaria. Si la palabra coma en esta serie aparece sin ningún adjetivo, nos estaremos refiriendo a la coma sintónica. En el audio de abajo aparecen la diferencia entre un do (frecuencia de 261.63 hercios) y un do más una coma sintónica (frecuencia de 264.900375 hercios). Figura 4: Diferencia de una coma sintónica entre dos notas 2.2. Escala cromática justa La afinación justa es en esencia un sistema de afinación en que las triadas mayores siguen la proporción 4:5:6. Las variaciones en las afinaciones justas provienen de cómo generan el resto de las notas hasta conseguir la escala cromática. Con el fin de describir mejor las afinaciones justas cromáticas, vamos a presentar la notación de Eitz; para una buena exposición de su origen y manejo, véanse [Bar51] y [Ben06]. La notación Eitz fue desarrollada por el músico y matemático del mismo nombre en 1891. Se basa en la idea de poner superíndices y subíndices a las notas que indiquen la desviación por comas sintónicas de la quintas puras. Así, la afinación pitagórica se escribe como: do0 - re0 - mi0 - fa0 - sol0 - la0 - si0 - do0 El superíndice 0 significa que todas las quintas son puras. Una nota que diga, por ejemplo, do-1 es un do obtenido por quintas menos una coma sintónica; análogamente, ocurre si nos encontramos do+1. Las notas que están a una coma por debajo se colocan en la fila de arriba y las que están una coma por encima se abajo. Entonces, la afinación justa de la escala diatónica aparece como sigue: la-1 mi-1 si-1 fa0 do0 sol0 re0 Figura 5: Afinación justa en la notación de Eitz La idea de colocar las notas con desviaciones de las quintas puras encima y debajo se debe al teórico de la música y compositor Hugo Riemann (no confundir con el matemático Bernhard Riemann de la hipótesis de Riemann). La notación de Eitz se generalizado en varias direcciones, por ejemplo, poniendo notas con diferentes comas (coma pitagórica, coma septimal, etc.). Siguiendo el libro de Barbour [Bar51] por su excelente exposición, vamos a describir algunas de las afinaciones justas más importantes descritas por su notación de Eitz. Empezamos con la afinación de Ramis de Pareja presentada en su libro Musica Practica de 1482. En sentido descendente de Pareja afina por quintas justas las sucesión sol-la♭ y luego partiendo de re-1 sube por quintas hasta el do#-1. Los acordes que quedan “bien afinados” son los correspondientes a las tonalidades do mayor, fa mayor y si♭ mayor. re-1 la-1 mi-1 si-1 fa#-1 do#-1 la♭0 mi♭0 si♭0 fa0 do0 sol0 Figura 6: Afinación justa de Ramis de Pareja Otra afinación justa interesante es la de Mersenne, publicada en 1637 (figura 7), donde se ven tres sucesiones de notas afinadas por quintas justas donde cada sucesión empieza a distancia respectiva de +1 coma, 0 comas y -1 coma contado desde la línea inferior. En realidad, Mersenne divide el círculo de quintas en tres sectores que afina por quintas justas. Ahora se aprecia que hay más triadas con afinación justa. re-1 la-1 mi-1 si-1 si♭0 fa♭0 do0 sol0 sol♭+1 re♭+1 la♭+1 mi♭+1 Figura 7: Afinación justa de Ramis de Pareja Hay muchas otras afinaciones justas, con frecuencia adaptadas al tipo concreto de instrumento (laúd, vihuela, órgano, etc.). De nuevo, recomendamos el libro de Barbour [Bar51] para un tratamiento riguroso e histórico de estas afinaciones. A modo de resumen, presentamos las principales características de las afinaciones justas: Los semitonos cromáticos son más pequeños que los semitonos diatónicos. Así, por ejemplo, sol# es más grave que la♭. Esto obligaba en los instrumentos de tecla a tener dos teclas diferentes, como se puede ver en la figura 8. Figura 8: Teclados con teclas para los semitonos cromáticos (figura adaptada de [Wik21b]) Como hemos visto más arriba, las terceras mayores justas son más pequeñas que las terceras pitagóricas y que las terceras del temperamento igual. Sin embargo, la situación es la contraria cuando se observan las terceras menores justas, que son más pequeñas que las correspondientes pitagóricas y de igual temperamento. La nota sensible es más grave en la afinación justa que en el caso pitagórico y de temperamento igual. Todos los tonos no tienen el mismo tamaño. Hay tonos grandes, como do–re, fa–sol, la–si, y tonos pequeños, como re–mi y sol–la. Los tonos grandes son mayores que los temperados, pero los tonos pequeños son menores. 3. Problemas armónicos de la afinación justa Volvamos a la afinación justa presentada más arriba: la-1 mi-1 si-1 fa0 do0 sol0 re0 Fijemos como tonalidad de referencia do mayor. Las triadas más importantes son las de los grados I, IV y V. En esta afinación esas triadas son do0-mi-1-sol0, sol0-si-1-re0 y fa0-la-1-do0. Las triadas menores vi y iii y vi, en cambio, tienen otra estructura en términos de afinación, a saber la-1-do0-mi-1 y mi-1-sol0-si-1. El problema aparece con la otra triada menor, la de ii, que es re0-fa0-la-1. En realidad, debería ser re-1-fa0-la-1. Si hiciésemos tal cosa, entonces el acorde del quinto grado se convertiría en sol0-si-1-re-1, y no funcionaría como un auténtico acorde de dominante. Para mayor comprensión de los problemas armónicos de la afinación justa, tomemos una progresión armónica muy común en la música occidental: I – vi – ii – V – I Parece razonablemente musicalmente hablando que cuando dos acordes adyacentes compartan una nota, esta no cambie de altura dentro de la afinación. Suponiendo de nuevo que la tonalidad es do mayor, el grado I es do0-mi-1-sol0. Por la regla que acabamos de establecer, el grado vi es la-1-do0-mi-1. Entonces, el grado ii es ahora re-1-fa0-la-1 porque la-1 es una nota en común y para mantener la distancia de quinta entre la primera nota del acorde y la tercera tenemos que establecer el re como re-1. A continuación, estaría el acorde de sol mayor. Como la nota re-1 es común, obtendremos el acorde sol-1- si-2-re-1. Por último, al caer en el primer grado, llegamos al acorde do-1- mi-2-sol-1. Hemos acabado una coma sintónica más bajo que cuando empezó la progresión. Esto en términos musicales no es aceptable. Escúchese de nuevo el audio de la figura 4. Esta situación se repite en secuencias de acordes tan usuales como I–IV–ii–V–I y I–iii–vi–ii–V–I, entre otras. Por último, recomendamos la lectura el libro de Benson [Ben06], páginas 173–176, para una discusión más profunda sobre los problemas armónicas de la afinación justa. 4. Escalas mesotónicas En esta sección entramos ya en las escalas mesotónicas. Este tipo de escalas pueden deducirse bien por una afinación, esto es, usando siempre proporciones enteras, o por temperamento, introduciendo números irracionales. Mostraremos ambos casos y empezaremos por los temperamentos. La idea esencial del temperamento mesotónico es la de afinar por terceras mayores puras a partir de la proporción 5:4. La escala mesotónica más común es la llamada escala mesotónica clásica o escala mesotónica de cuarto de tono. Las notas que se encuentran entre las notas afinadas por terceras justas se toman equidistantes con el siguiente procedimiento. Empezamos por la primera tercera mayor do–mi, de proporción 5∕4. La nota equidistante, la nota re, se afina con la proporción = ∕2. Esto nos deja la secuencia do–re–mi con las proporciones 1:∕2:5∕4. Con estas proporciones se afinan las secuencias fa–sol–la y sol–la–si. Sin embargo, antes de hacer afinar esas dos secuencias hay que decidir donde empiezan el fa. Hay dos semitonos que fijar, mi–fa y si–do. Las secuencias do–re–mi, fa–sol–la y sol–la–si suman 5 tonos de proporción ∕2 cada uno y, por tanto, quedan dos semitonos. Como hay que hacerlos equidistantes, se dividen por la mitad exacta. Eso en términos de proporciones equivale a extraer la raíz cuadrada. El semitono tiene, pues, el valor de: En esta cuenta estamos restando de la octava (el 2) los 5 semitonos (el 5) y la raíz cuadrada exterior aparece por la división en dos partes iguales. Entonces, para calcular la proporción de la nota fa, tenemos ⋅ = . Las proporciones finales del temperamento mesotónico clásico son: Notas Do Re Mi Fa Sol La Si Do Proporción 1/1 ∕2 5/4 2/1 Cents 0 193.15 386.31 503.42 696.57 884.73 1082.89 1200 Tabla 3: Temperamento mesotónico clásico para la escala diatónica Como se aprecia fácilmente en la tabla, las quintas ya no son puras (500 cents) y las terceras mayores son más pequeñas que en el temperamento igual. La nota sensible es más grave que en el temperamento igual. En cambio el semitono diatónico mi–fa es más grande. En la página web teoria.com [JRA21] el lector puede escuchar el Preludio en la bemol mayor BWV 862 de J. S. Bach en temperamento mesotónico. Una afinación mesotónica se puede conseguir a partir de la afinación pitagórica tomando la serie de quintas sucesivas y bajándolas un cuarto de coma sintónica en cada paso. Si empezamos en do, el diagrama de Eitz de una afinación mesotónica es este: mi-1 si-5∕4 do0 sol-1∕4 re-1∕2 la-3∕4 mi-1 fa+1∕4 do0 En general, una escala cromática se puede completar aplicando los principios anteriores, bien del temperamento o de la afinación. A modo de ejemplo, aquí tenemos la afinación mesotónica de Pietro Aaron del siglo XVI. mi-1 si-5∕4 fai#-3∕2 do#-7∕4 do0 sol-1∕4 re-1∕2 la-3∕4 mi-1 la♭+1 mi♭+3∕4 si♭+1∕2 fa♭+1∕4 do0 Figura 9: Afinación mesotónica de Pietro Aaron Se supone que las notas comunes de ambos extremos del diagrama de Eitz son las mismas (el do0 y el mi-1). La quinta del lobo se produce entre do# y la♭. Haciendo un ejercicio de abstracción, se pueden tomar diferentes divisiones de la coma sintónica. En el ejemplo anterior fue 1∕4, pero en general puede ser un número α ∈ (0,1). Cuando se piensa así, el esquema general de las afinaciones mesotónicas queda como sigue: mi-4α si-5α fa#-6α do#-7α sol#-8α doo sol-α re-2α la-3α mi-4α mi♭+3α si♭+2α fa♭α do0 Figura 10: Afinación mesotónica general 5. Para saber más El catedrático Luis Nuño, de la Universidad Politécnica de Valencia, y autor invitado de pasadas columnas, ha sacado varios vídeos ilustrando las afinaciones justas y pitagóricas. Dejamos dos de ellos a continuación. Figura 11: Entonación Justa: Batidos Figura 12: Entonación Justa: Implementación Práctica Desde la perspectiva histórica, dejamos otro vídeo de Elam Rotem, este sobre la afinación justa en el Renacimiento: Figura 13: Afinación justa en el Renacimiento En este vídeo se puede escuchar las suites y transcripciones para clave de Jean-Henry d'Anglebert, interpretadas por Byron Schenkman en un clave afinado con temperamento mesotónico de cuarto de tono. Figura 14: Suites y transcripciones para clave de Jean-Henry d'Anglebert, interpretadas por Byron Schenkman Una opción más sencilla que el programa de Audacity se puede encontrar en esta web: https://onlinetonegenerator.com/binauralbeats.html   Bibliografía [Bar51] J. Murray Barbour. Tuning and temperament: a historical survey. Dover Publications, Inc., New York, 1951. [Ben06] D. Benson. Music: A Mathematical Offering. Cambridge University Press, 2006. [Góm21] Paco Gómez. Afinamiento y temperamento (I), accedido el 20 de julio de 2021. [JRA21] José José Rodríguez Alvira. 2,500 años de temperamentos musicales, accedido el 20 de julio de 2021. [Wik21a] Wikipedia. Harmonic serie, accedido el 10 de julio de 2021. [Wik21b] Wikipedia. Split sharp, accedido el 20 de julio de 2021.

Domingo, 01 de Agosto de 2021 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

48. 116. (Julio 2021) Afinación y temperamento (I)

1. Introducción Este artículo inaugura una serie sobre la afinación y el temperamento. Tras más de diez años de columna nunca habíamos tratado este fascinante e importante tema, cuyas implicaciones matemáticas, como veremos, son notables. Curiosamente, el primer artículo de esta columna, publicado nada menos que en enero de 2004 por Vicente Liern [Lie04], versaba sobre afinaciones y temperamentos. Ha llegado el momento de reparar semejante postergación y zambullirnos con entusiasmo en el fantástico reino de la afinación y el temperamento. Comenzamos aclarando la diferencia entre afinación y temperamento. Un sistema de afinación es la elección de notas en base a proporciones de números enteros entre frecuencias, esto es, en base a números racionales. Por ejemplo, una quinta en el sistema de afinación pitagórico tiene proporción 3:2. Un temperamento es un sistema de afinación en que algunos de los intervalos no se pueden expresar como números racionales. En el temperamento igual una quinta tiene proporción 2, que es claramente un número irracional. Intentar un examen de los sistemas de afinación y temperamento antes de la época de los griegos implica per se una alta cuota de especulación, ya que no han quedado restos escritos, únicamente restos arqueológicos fragmentarios y escasos. Como excepción, un grupo de arqueólogos descubrió en 2008 fragmentos de una flauta hecha perforando huesos de buitre y de mamut la cueva de Hohle Fels, al sur de Alemania [Jon15]. Estas flautas han recibido el nombre de flautas neardentales y su construcción se remontan a una horquilla de 42.000-43.000 años a.C. En el siguiente vídeo se muestra una reconstrucción de la flauta y se ve a un flautista profesional tocarla (véase del minuto 0:50 al 1:32). La flauta tiene 4 agujeros y las notas que emite corresponden aproximadamente a una escala diatónica (como se aprecia en el vídeo). Figura 1: Flauta neardental En este primer artículo vamos a cubrir los conceptos básicos de afinación y temperamento, que requieren solo matemáticas básicas, y a continuación a estudiar la afinación pitagórica. 2. Elementos básicos de la afinación y el temperamento 2.1. Frecuencias Empezaremos a la manera clásica, a partir del monocordio. El monocordio consiste en una cuerda montada sobre una caja de resonancia E como la de una guitarra o un violín. La cuerda está atada en el extremo A. Hay dos puentes movibles, B y C, que se usan para cambiar las frecuencias. D es una rueda movible y W es un peso, el cual se usa para estudiar la relación entre la tensión y la frecuencia; véase la figura 2. Para esta exposición, consideraremos que C está fijo y únicamente moveremos el puente B. El monocordio fue un instrumento con el que se enseñaba teoría de la música, especialmente intervalos y afinación, desde la antigüedad hasta la Edad Media. Figura 2: El monocordo (figura adaptada de [Wik21b]) Si ahora pulsamos la cuerda en algún punto del segmento BC, se producirá un sonido de frecuencia f. Si ahora movemos el puente B hasta la mitad del segmento AC, que es el punto F en la figura 3, y volvemos a pulsar la cuerda, ahora en algún punto intermedio de CF, el sonido producido tendrá frecuencia 2f.   Figura 3: Producción de un sonido una octava más agudo (figura adaptada de [Wik21b]) El sonido de frecuencia 2f lo oiremos como una octava más alto que el sonido de frecuencia f. Este hecho era ya conocido por los griegos y en especial por Pitágoras. Si tomamos la proporción entre la frecuencia del segundo sonido con respecto a la del primero, esta será de 2:1 y se corresponderá también con el cociente . Se pueden explorar otras proporciones, como por ejemplo, 3:2 o 4:3. Si movemos el puente B a un punto F de modo que , el sonido obtenido será el de una quinta perfecta. En general, dados dos sonidos de frecuencias f1,f2 con f1 < f2, el cociente da la diferencia de altura entre ellos. Así, si el cociente es 2, la diferencia es una octava; si el cociente es 3/2, es una quinta perfecta, y así sucesivamente. 2.2. División igual de la octava y cents Para precisar las diferencias entre los intervalos que aparecerán en los distintos sistemas de afinación y temperamento, necesitaremos un método para comparar intervalos. Hay muchos métodos, pero uno que permite una comparación cómoda y precisa es el de los cents. Formalmente, el cent es una unidad de comparación de frecuencias y se basa en la división de una octava en 1.200 partes. Un cent equivale a c = ≈ 1.00057778950655. Nótese que está definición se basa en el hecho de que las diferencias interválicas son factores multiplicativos de las frecuencias, como vimos en la sección anterior. En la escala cromática habitual, un semitono son 100 cents; una quinta, 700; y una octava, 1200. La ventaja de medir las diferencias de frecuencias con cents es que las octavas aparecen igualmente espaciadas y ello es porque los cents es una escala logarítmica. Si esas diferencias de frecuencias se miden en el espacio de las frecuencias, no aparecen igualmente espaciadas y la comparación es mucho más difícil. Dadas dos notas de frecuencias f1,f2, la diferencia en cents entre las dos (suponiendo f1 < f2) es Y, recíprocamente, si la frecuencia de la primera nota f1 es conocida así como el número de cents n hasta la segunda nota es En el temperamento igual, una tercera mayor son 400 cents, mientras que en la afinación pitagórica es de 407.82 cents; esta última cantidad se ha obtenido de introducir en la fórmula anterior la proporción entre las frecuencias, que es de , como veremos más adelante. 2.3. La serie armónica Para terminar esta sección, vamos a tratar la serie armónica, pues tiene importancia notable en los sistema de afinación y temperamentos. Muchos instrumentos musicales están basados en la emisión de frecuencias de una caja de resonancia, como por ejemplo en el caso de las cuerdas o de los instrumentos de viento. El sonido que se oye en esos instrumentos es una combinación de varias frecuencias que suenan a la vez. La frecuencia más grave se llama frecuencia fundamental y el resto de las frecuencias son los armónicos. Los armónicos tienen frecuencias que son múltiplos enteros de la frecuencia fundamental. Este conjuntos de armónicos asociados a una frecuencia fundamental se llama serie armónica. En la figura 4 se puede ver los primeros 20 términos de la serie armónica de un sonido de frecuencia 32.70, el do1 en notación científica. Encima de cada armónico aparece la diferencia en cents con respecto a la división igual de la octava redondeado al entero más cercano. Las notas marcadas en azul son resultan demasiado bajas y las notas en rojo, demasiado altas. En el caso del la♭, la diferencia es de +41 cents, que es casi un cuarto de tono, diferencia que es claramente perceptible por un oído normal. Figura 4: Serie armónica (figura adaptada de [Wik21a]) El segundo armónico es la octava, como se ve en la serie; el tercero es la quinta; el cuarto vuelve a ser la octava; el quinto es la tercera mayor (algo más baja que la tercera mayor de la división igual de la octava, unos 14 cents menos); y el sexto es la quinta. 3. Afinación pitagórica Los griegos tenían múltiples sistemas de afinación, que glosamos brevemente en la siguiente sección, pero la afinación que permaneció en la práctica común fue la afinación pitagórica. La afinación pitagórica establece las notas en base a los dos primeros intervalos de la serie armónica, esto es, la octava y la quinta, que tienen proporciones 2:1 y 3:2, respectivamente. Veamos cómo funciona tal construcción. Empecemos por tomar una nota cualquiera, digamos do. Usar la octava no da ningún intervalo nuevo distinto de la octava, de modo que aplicamos la proporción 3:2 para obtener nuevos intervalos. Como 3:2 es una quinta, llegamos a sol. Si multiplicamos la frecuencia de sol por 3:2, obtenemos re en la segunda octava, de proporción 9:4. Como queremos mantener las notas en una sola octava, pasamos este re a la primera octava dividiendo por 2. Esto da como resultado 9:8 como proporción del intervalo do–re; véase la tabla 1. Continuamos con este procedimiento y saltamos otra quinta desde re, multiplicando por 3∕2, y aterrizamos en la nota la, de proporción 27:16, que se mantiene en la octava de referencia. Damos otro salto, ahora a mi, pero salimos de la octava. Dividimos por dos la proporción y obtenemos 81:64. Por último, llegamos a la nota con otro salto de quinta y llegamos a la nota si, que nos da la proporción 243:128. En la tabla 1 se muestran todas las proporciones de la afinación pitagórica así como sus valores en cents. Se puede apreciar que todos los intervalos no son iguales con respecto al temperamento igual. Nótese además que la nota fa ha sido obtenida dan un salto hacia el registro grave en lugar de hacia el registro agudo. Su proporción se ha conseguido multiplicando por 2∕3 para bajar una quinta y por 2 para subir a la octava, lo que da una proporción de 4:3. Notas Do Re Mi Fa Sol La Si Do Proporción 1/1 9/8 81/64 4/3 3/2 27/16 243/128 2/1 Cents 0 203.91 407.82 498.04 701.96 905.87 1109.78 1200 Tabla 1: Afinación pitagórica para la escala diatónica La afinación pitagórica presenta varios problemas. El primero de ellos es el del tamaño de los semitonos. Un tono tiene proporción 9∕8, por ejemplo, do–re. Si tomamos el semitono si–do, que tiene proporción y formamos un tono con estos dos semitonos, obtenemos  ⋅ = ≈ 1.10985715, que claramente no es igual a 9∕8 = 1.125. El segundo problema viene dado por el círculo de quintas (más bien la espiral de quintas, como veremos). La tabla de arriba se puede completar de modo que incluya las 12 notas de la escala cromática. Se puede partir de un do y subir por quintas hasta el sol# y luego completar las notas que faltan, que son de do hasta la♭, descendiendo por quintas. La tabla de proporciones que resulta siguiendo este procedimiento se muestra a continuación: Notas Do Sol Re La Mi Si Fa# Do# Sol# Proporción 1/1 3/2 9/8 27/16 81/64 243/128 729/512 Cents 0 701.96 203.91 905.87 407.82 1109.78 611.73 113.68 815.64 Notas Do Fa Si♭ Mi♭ La♭ ~Sol# Proporción 1/1 4/3 9/16 32/27 128/81 Cents 0 498.04 996.09 294.13 792.18 Tabla 2: Afinación pitagórica para la escala cromática Si la tabla anterior la ponemos en forma de círculo de quintas, se entenderá el problema más claramente. En efecto, cuando se recorre el círculo de quintas en ambos sentidos las notas la♭ y sol# no coinciden, es decir, el círculo de quintas no se cierra. ¡En realidad, es una espiral de quintas! Y una espiral potencialmente infinita. Figura 5: Círculo de quintas con la afinación pitagórica (figura tomada de [Ben06]) La diferencia entre las notas la♭ y sol# se llama coma pitagórica o coma ditónica (el círculo en la figura) y corresponde a Esto significa que la afinación pitagórica funciona sobre el principio de que subir 12 quintas y bajar 7 octavas nos deja casi en el mismo sitio de que partimos. La diferencia es precisamente la coma pitagórica. Entre todas las quintas que produce el sistema pitagórico, la más desafinada es la quinta sol#-mi♭ (notada como una sexta disminuida). Recibe el elocuente nombre de quinta del lobo (se consideraba que se asemejaba al aullido de un lobo). Dado que los saltos de quinta nunca cierran el círculo, aparecen nuevas notas, como se muestra en la figura 6, donde se aprecia las dos primeras vueltas de la espiral. Figura 6: Espiral de quintas con la afinación pitagórica (figura tomada de [Ben06]) 4. Para saber más En música que no requiere cambios de tonalidad, como puede ser la música modal o la monodia, la afinación pitagórica es factible en la práctica musical; de hecho, ha sido así durante siglos y en muchas tradiciones musicales. A continuación, se mencionan varios ejemplos entre muchos posibles. El primero es del grupo Gothic voices, especializado en música antigua. Figura 7: Gothic voices - Il nome del bel fior El siguiente vídeo es un ejemplo en música instrumental, en este caso con un órgano portátil. Figura 8: Catalina Vicens - Audi Pontus, Audi Tellus, del Códice de Las Huelgas Para el lector ávido de profundizar en los sistemas de afinación y temperamento recomendamos el libro de Goldáraz Afinación y temperamentos históricos [Gol04] y con un sabor más matemático, el libro de Benson A mathematical offering [Ben06]. Un libro que brilla por su erudición es el de Barber [Bar51], de título Tuning and temperament: a historical survey. Recomendamos al lector la exposición de los sistemas de afinación griegos, que no han sido incluidos aquí por su excesiva longitud. Por último, no podemos dejar de recomendar los vídeos de Elam Rotem del proyecto Early Music Sources; el vídeo relevante en la columna de este mes es Temperaments - What you need to know [Rot20].   Bibliografía [Bar51] J. Murray Barbour. Tuning and temperament: a historical survey. Dover Publications, Inc., New York, 1951. [Ben06] D. Benson. Music: A Mathematical Offering. Cambridge University Press, 2006. [Gol04] J. Javier Goldáraz. Afinación y temperamentos históricos. Alianza Editorial, Madrid, 2004. [Jon15] Josh Jones. Hear the World's Oldest Instrument, the "Neanderthal Flute", Dating Back Over 43,000 Years, 10 de febrero de 2015. [Lie04] Vicente Liern. Afinación, enero de 2004. [Rot20] Elam Rotem. Temperaments - What you need to know, 9 de mayo de 2020. [Wik21a] Wikipedia. Harmonic series, accedido el 10 de julio de 2021. [Wik21b] Wikipedia. Monochord, accedido el 10 de julio de 2021.

Viernes, 16 de Julio de 2021 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

49. 196. (Septiembre 2021) El pricnipio deslíxico

La colección de libros The Mathematics of Various Entertaining Subjects (que va ya por su tercer volumen), editados por Jennifer Beineke y Jason Rosenhouse y publicados por Princeton University Press en 2015, 2017 y 2019, recoge las aportaciones de destacados especialistas en el área de la matemática recreativa dictadas en las conferencias MOVES (acrónimo de Mathematics Of Various Entertaining Subjects), organizadas cada dos años por el Museo Nacional de Matemáticas (MoMath) en Nueva York. En el prólogo del tercer volumen de la colección —cuyo subtítulo es precisamente "The magic of mathematics" (en la figura adjunta se muestra un fragmento de la portada)—, el medallista Fields Manjul Bhargava reflexiona sobre el concepto de matemática recreativa y el papel de cohesión que esta disciplina protagoniza para establecer las diferencias y similitudes entre matemática pura y matemática aplicada. Destaca también el gran éxito logrado por Martin Gardner al poner de manifiesto el poder de la matemática recreativa como fuente de inspiración de matemáticos y no matemáticos en su objetivo final de disfrutar de las matemáticas. Justifica con estas palabras la iniciativa de las citadas conferencias MOVES: Debe quedar claro que —con la creciente importancia del enfoque educativo conocido como STEM (acrónimo de Science, Technology, Engineering and Mathematics) para el avance de la sociedad y la humanidad— la matemática recreativa, además de ser divertida, también puede desempeñar un papel fundamental para alentar a la juventud a dedicarse a las matemáticas y campos relacionados. Es con este último objetivo en mente que la conferencia MOVES fue creada en 2013. MOVES reúne a maestros, estudiantes, aficionados y profesionales de todo el mundo para celebrar y compartir ideas y avances en matemática recreativa. En los últimos años, cada conferencia de MOVES ha tenido un tema. En 2017, el tema de MOVES fue "La magia de las matemáticas". Fue un gran placer participar en MOVES 2017 y un verdadero honor ser uno de sus dos oradores principales junto con mi maestro y gran amigo, Persi Diaconis. En el capítulo 12 del libro encontramos el artículo firmado por Persi Diaconis y Ron Graham titulado "The magic of Charles Sanders Peirce" (artículo que también puede encontrarse entre los papeles del recientemente fallecido Ron Graham). En dicho artículo tratan de desentrañar los secretos que ocultan los sofisticados juegos de magia que Charles Peirce publicó en 1908 y 1909 para la revista The Monist bajo el título común "Some amazing mazes". Casi simultáneamente a la conferencia de Diaconis y Graham, ya recogimos en este rincón (en el número 154 de noviembre de 2017) algunos intentos anteriores de comprender el fundamento matemático de la magia de Charles Peirce por parte de ilustres magos como Tom Ranson y Alex Elmsley pero profundizaremos un poco más recogiendo algunas ideas desarrolladas en este nuevo artículo. El artículo es muy extenso y prolijo así que nos limitaremos a describir un original principio contenido en los trabajos de Peirce y aclarado  por Diaconis y Graham, bautizado por estos como "principio disléxico". Lo ilustraremos con un ejemplo para el que necesitarás doce tarjetas o papeles rectangulares. En seis de ellos escribirás las seis primeras letras del alfabeto y en los otros seis escribirás los seis primeros números naturales. Coloca sobre la mesa las tarjetas formando dos filas, donde la fila superior contiene las seis letras, por orden alfabético, y la fila inferior contiene los seis números, en orden creciente. Te quedará algo como esta figura: Elige libremente cualquier tarjeta de la fila superior y cualquier tarjeta de la fila inferior. Luego intercambia sus posiciones; habrá un número en la fila superior y una letra en la fila inferior, pero no puedo saber dónde está cada símbolo. Repite esta misma operación con los otros cinco pares de letras y números. En cada paso elegirás una letra de la fila superior y un número de la fila inferior e intercambiarás sus posiciones. Evidentemente, cada vez la elección será menos libre porque habrá menos letras en la fila superior. Al final del proceso tendrás nuevamente dos filas de tarjetas pero ahora la fila superior tendrá sólo números y la fila inferior tendrá sólo letras. Lo más importante es que nadie puede saber el orden en que han quedado los símbolos en ambas filas. Si quieres sorprenderte a ti mismo, gira caras abajo las tarjetas de la fila inferior. Quedará algo parecido a esta figura (aunque el orden de los números será el que tú has elegido): Voy a tratar de adivinar qué posición ocupa la letra A. Para ello, sólo necesito saber cuál es el primer número de la fila superior. Si es un 1, la letra A será la primera carta de la fila inferior; si es un 2, será la segunda; si es un 3, será la tercera y así sucesivamente. En la imagen anterior, la letra A ocuparía la segunda posición de su fila. Seguro que sabrás encontrar también las posiciones de las demás letras. Por ejemplo, para saber dónde está la letra D, busca el valor de la cuarta carta de la fila superior; dicho valor indicará la posición del cuatro en la fila inferior. En nuestro ejemplo, como la cuarta carta es el 1, la letra D será la primera carta de la fila. Con un poco de reflexión, se comprende fácilmente el fundamento del juego: como sólo se intercambian las tarjetas por parejas, la posición de una de ellas determina el valor de la otra. Esto significa que no importa el número de tarjetas que tiene cada fila, el juego se puede realizar con cualquier cantidad de tarjetas. Además, se puede ocultar un poco el secreto si las tarjetas no se colocan inicialmente en el orden natural: para ello debes ser capaz de llevar la cuenta mental de las posiciones iniciales de cada tarjeta. Incluso, se puede jugar con otro tipo de tarjetas, dos palabras con las mismas letras pero con diferente significado (por ejemplo, ANCESTRO/CARTONES, BOLERAS/ARBOLES, ARSENICO/ESCARNIO, o cualesquiera que puedas descubrir en páginas generadoras de anagramas), dos conjuntos de cartas, digamos rojas y negras, como el juego original de Peirce o la versión de Diaconis y Graham, etc. Más interesante todavía es el resultado matemático del proceso seguido en el juego: resulta que las dos permutaciones obtenidas en las filas de tarjetas son inversas. No vamos a desarrollar aquí la teoría de grupos finitos que contiene el estudio de las permutaciones pero, si tienes ganas, el artículo de Diaconis y Graham detalla un poco más esta analogía. Aprovechando esta propiedad, se comprueba fácilmente que el juego también se puede realizar a partir de dos permutaciones inversas cualesquiera. En resumidas cuentas, los juegos de magia de Charles Peirce podían ser poco prácticos pero los principios matemáticos involucrados fueron muy originales y complejos y todavía no se ha desvelado todo su potencial. El propio Martin Gardner lo evaluaba con estas palabras: No puedo recomendarlo para quien quiera entretener a los amigos a menos que tengan pasión por la teoría de números, pero es excelente para un profesor que quiera motivar el interés de los estudiantes hacia la aritmética de congruencias. Pedro Alegría (Universidad del País Vasco - Euskal Herriko Unibertsitatea)

Lunes, 06 de Septiembre de 2021 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

50. 75. (Septiembre 2021) Lujosos estuches de instrumentos matemáticos

(Lujosos estuches de instrumentos matemáticos) La Revolución Científica del Renacimiento queda patente en la variedad y calidad de los instrumentos matemáticos. Los reyes, príncipes. aristócratas ilustrados, altos dignatarios y la élite profesional constituyen un mercado para los fabricantes de instrumentos de precisión. En forma de arcón, estuche, caja o armario se hacen juegos completos con variados instrumentos de cálculo, dibujo u observación. Pantómetras, compases, escuadras, astrolabios, transportadores, paralelógrafos, curvígrafos, pantógrafos, cuadrantes y otros objetos son fabricados con delicadeza. El material habitual es el latón, pero también se usaba la plata o el marfil. El cartón o la madera se utilizaba para instrumentos baratos, no nobles. Detallemos algunas de los estuches que pueden visitarse en museos y palacios. Arcón matemático de Carlos II El duque de Medinaceli encargó al padre José Zaragoza un cofre matemático para regalárselo a Carlos II con motivo de sus catorze años en 1675. El eminente matemático y teólogo jesuita cumplió y por ello hoy podemos disfrutarlo, protegido por una urna, dentro del Museo de la Biblioteca Nacional de Madrid. Entendemos que tan extraña ubicación del cofre se debe a la publicación por el padre Zaragoza de un manual de uso de los instrumentos. Libro que pasó por la imprenta y que podemos encontrar en varias bibliotecas, incluso ha sido digitalizado. Lamentablemente algunas copias no contiene las siete láminas desplegables con las figuras de los instrumentos. El arcón contiene instrumentos geométricos con uso para la fortificación, el dibujo, la música y el cálculo. Los instrumentos construidos fueron 14 como los años que cumplía el rey hechizado, la lista de instrumentos es la siguiente: Regla, Pantómetra [compás de Galileo generalizado], Triángulo , Cruz geométrica [ballestina], Rombo gráfico [pantógrafo], Triángulo equilátero mayor, Equilátero menor, Antojo de larga vista, Nomo [Compás armónico], Compás de varilla para la pantómetra, Cadenilla de diez pasos, Mesa de palosanto, Pies para la mesa e instrumentos y Escuadra de una vara. La generalidad de los instrumentos están construidos en latón y son de grandes dimensiones. Quizá el instrumento más interesante es la pantómetra, un gran compás de Galileo, generalizado y ampliado, que permite tanto cálculos al modo euclidiano como dibujar polígonos y también -por detrás- estudiar la armonía musical. Los cálculos con la pantómetra necesitan la ayuda de un compás convencional., (Arcón de Carlos II. 1675. Biblioteca Nacional. Madrid) Caja de Instrumentos de Wilhelm V en Kassel El Gabinete Astronómico-físico del Palacio de la Orangerie es el lugar donde se almacenan los instrumentos del Landgraf Wilhelm IV de Kassel-Hessen, un gobernante que no solo fue mecenas de la ciencia matemática emergente sino que el mismo fue fervoroso practicante. Tycho Brahe y Jost Bürgi dejaron su huella en Kassel. Destacamos el Estuche de Instrumentos Matemáticos de 1628 que perteneció a Wilhelm V, nieto de Wilhelm el Sabio. Los instrumentos son de bella factura de latón: pantógrafo, reglas, escuadras, inclinómetros, etc. Rodearse de instrumentos de observación, cálculo y dibujo se convirtió en algo habitual para los príncipes del Renacimiento y la tradición se conservó. (Estuche de Wilhelm V . 1628. Palacio de la Orangerie. Kassel) La caja de instrumentos matemáticos de Maguncia El Landesmuseum de Mainz muestra en exposición una lujosa caja de instrumentos matemáticos de 1712 que perteneció a Maximilian von Welsch, el ingeniero responsable de las obras de fortificación de la ciudad. (Uno de los tres cajones de von Welsch. 1712. Landesmuseum- Maguncia) La caja, más bien se trata de una pequeña maleta, tiene tres niveles. En el fondo se almacenan los instrumentos topográficos, la zona intermedia se dedica al dibujo y coloreado, y la parte superior a los compases, transportador, pantómetras, cuadrantes, escuadra, brújula, reglas, escalas… Los acabados en latón y acero son esmerados y de gran calidad. Los talleres alemanes venían mostrando desde el siglo XVI su destreza en la fabricación de instrumentos de precisión. Los cofres de instrumentos del Tesoro de Munich La Cámara del Tesoro del Palacio Real de Munich, Residenz, conserva dos lujosos cofres de instrumentos. Especialmente el arca de los hermanos Lencker, realizado en Núremberg hacia 1580. Se trata de un bello contenedor esmaltado ornado con alegorías de las distintas disciplinas. Reproducimos las representaciones de la Aritmética y la Geometría. (Cofrecillo de Lencker. 1580. Residenz. Munich) Johannes Lencker fue orfebre y artista gráfico. Junto con Wenzel Jamnitzer y Lorenz Stöer, es uno de los tres maestros de Núremberg que se ocupan de la perspectiva matemática en profundidad. La ciudad fue la primera en pagar un profesor de matemáticas desde la finanzas locales. El erote de la Aritmética tiene la correspondiente tablilla de números y el de la Geometría utiliza el compás sobre el globo. La caja está delicadamente esmaltada y ha perdido gran parte de su contenido. El único objeto matemático que permanece es una regla. El otro baúl es muy posterior, perteneció a María Luisa de Austria y fue fabricado en París en 1810. Se trata de una maleta de equipaje muy bien equipada, con utensilios muy diversos que van desde el aseo personal a las matemáticas. Resulta curioso encontrar un compartimiento con reglas (nácar y latón) y compases junto a jabones, cubiertos y cepillos. No olvidemos portar instrumentos geométricos, pues como decía Don Quijote de las matemáticas: siempre podemos tener necesidad de ellas. Instrumentos del “Historisches” en Fráncfort (Maleta de instrumentos astronómicos y topográficos. 1620. Historisches museum. Fráncfort) El laberíntico Historisches museum de Fráncfort del Meno ha reconstruido la historia de la ciudad imperial usando las colecciones de sus ciudadanos y las herramientas de sus artesanos. No podían faltar instrumentos científicos, medida y patrones que pertenecieron a Wilhelm Dilich (1571-1650), maestro de obras de la ciudad (Transportador de la colección Dilich. 1620. Historisches museum. Fráncfort) La calidad de los fabricantes de instrumentos se pone de manifiesto al final de la visita con los astrolabios, transportadores y otros artificios geométricos. La caja completa con astrolabio que mostramos es un buen ejemplo de la maestría alcanzada. Los estuches del Museo Galileo El Instituto y Museo de Historia de la Ciencia cambió su nombre por Museo Galileo en el año 2010. El Galileo de Florencia es uno de los mejores museos de instrumentos matemáticos históricos del mundo. Astrolabios, relojes de sol, esferas armilares, cuadrantes, cajas de instrumentos, telescopios, calculadoras mecánicas primitivas y un sinfín de objetos hacen que el museo sea el justo complemento de la cercana Galería de los Uffizi. Son las dos caras del esplendor de la ciudad renacentista: arte y ciencia. Los estuches son múltiples y muestran la evolución desde el siglo XVI al XVIII. (Estuche matemático. Siglo XVIII . Museo Galileo. Florencia) Las cajas de uso común (Estuche matemático. Siglo XVIII . Palacio de la Orangerie. Kassel) En contraste con los lujosos, reproducimos una caja más modesta y tardía que también se encuentra en el  museo de Kassel. Este tipo compacto fue el modelo práctico más usado hasta el siglo XIX por militares, marinos e ingenieros. Incluye la pantómetra como calculadora.

Miércoles, 01 de Septiembre de 2021 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico