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Música y matemáticas

El objetivo de esta sección es comprender la interesante y profunda relación de las Matemáticas con la Música.

Nuestro sincero agradecimiento a Francisco Gómez Martín (Universidad Politécnica de Madrid) por organizar y desarrollar esta sección, a sus anteriores responsables Rafael Losada y Vicente Liern, así como a todas las personas que colaboran con la misma.

Resultados 101 - 110 de 124

Cultura y matemáticas/Música y matemáticas
Autor:Francisco Gómez Martín (Universidad Politécnica de Madrid)
1. El concepto matemático de distancia Uno de los conceptos fundamentales con que enseguida nos topamos en matemáticas es el de distancia. La distancia matemática no es más que la abstracción del concepto de cercanía y su cuantificación. Ambas, abstracción y cuantificación, son necesarias para objetivar muchos fenómenos que se encuentran en la práctica matemática. Inicialmente, la distancia se refería al término físico de medir una magnitud física. Pero pronto los matemáticos la aplicaron a otros muchos dominios fuera de la física. En este artículo vamos a examinar el concepto de distancia en el campo de la música, en particular, en el campo de la similitud melódica. Veremos que la formalización del concepto de distancia de similitud melódica implica dificultades que hay que tratar con sumo cuidado, siendo la validación perceptual probablemente la de más envergadura. La generalización de la distancia física en matemáticas recibe el nombre de métrica, especialmente en geometría. Nosotros usaremos ambos términos como sinónimos. Dado un conjunto A, que puede ser lo abstracto y arbitrario que se quiera, una métrica es una aplicación d : A × A → [0,∞), que verifica las siguientes propiedades: Positividad de la métrica: d(x,y) ≥ 0, para todo par x,y ∈ A d(x,y) = 0 si y solo si x = y. Simetría: d(x,y) = d(y,x). Desigualdad triangular: d(x,z) ≤ d(x,y) + d(y,z). En la sencilla y juguetona recta real ℜ, la distancia entre dos números se reduce al conocido valor absoluto: d(x, y) = ∣x - y∣ donde x,y ∈ ℜ. En ℜ2, la distancia es la longitud del segmento que une dos vectores v1 = (x1,y1), v2 = ( x2,y2): Bien conocido es que está fórmula proviene del teorema de Pitágoras y que la distancia d(v1,v2) es la hipotenusa del triángulo rectángulo formado por los puntos (x1,y1), (x2,y1) y (x2,y2). La generalización de la distancia al pomposo y vertical espacio ℜn, de n dimensiones, de esas que no podemos ver, solo colegir, es: donde v1 = (x1,…,xn), v2 = (y1,…,yn). En estos espacios de altas dimensiones se suele hablar de distancia euclídea. Pero la fórmula anterior es solo una de las muchas maneras de definir distancias en ℜn. Tenemos las siguientes: La distancia L1: d(v1,v2) = ∑ni=1∣xi - yi∣. En general, la distancia Lp: d(v1,v2) = (∑ni=1∣xi - yi∣p)1∕p. La llamada norma infinito L∞: d(v1,v2) = limp→∞(∑ni=1∣xi - yi∣p)1∕p = max(∣x1 - y1∣,∣x2 - y2∣,...,∣xn - yn∣). La distancia en el espacio euclídeo es la longitud de la trayectoria más corta y este hecho se puede usar para generalizar el concepto de distancia a otros espacios más complicados, como es una esfera, donde la distancia se da por trayectorias geodésicas. En ese caso la distancia se calcula a través de fórmulas de longitud de arco. El concepto de distancia se generaliza a espacios geométricos no euclídeos a través de dichas fórmulas. Dado que la distancia proviene de un concepto tan general como el de cercanía, aparece en muchísimos más áreas de las matemáticas que la geometría, por más que esta área sea vasta. Tan ubicuo es el concepto de distancia que hay un libro de título Dictionary of distance [DD06], Diccionario de distancias, donde los autores hacen un recorrido por las áreas de la matemática en que la distancia tiene un papel relevante. Lo recomendamos vivamente al lector interesado. Así que como muestra de la ubicuidad e importancia vamos a enumerar a modo de telegrama, de fogonazo conceptual, de repaso ufano, las áreas en que aparece la distancia defendiendo sus fueros. DISTANCIAS Y MÉTRICAS Espacios topológicos, m-métricas, distancias topológicas, Métricas en conjuntos arbitrarios NORMAS Distancias geodésicas, geometría proyectiva y geometría afín, métricas riemannianas Teoría de la información Métricas en superficies, métricas intrínsecas, distancias en nudos, distancias en cuerpos convexos Métricas en grupos, métricas en relaciones binarias, métricas en mallas Distancias en cadenas, distancias en permutaciones Métricas en polinomios, métricas en matrices, métricas en espacios funcionales, métricas en operadores lineales Distancias entre variables aleatorias, distancias entre distribuciones Distancias en grafos ponderados, distancias en árboles, distancias entre códigos Distancias de SIMILITUD, distancias de correlación Distancias entre planificaciones de movimiento, distancias entre autómatas Distancias MOEA Métricas digitales Distancias de Voronoi, distancias entre imágenes, distancias entre sonidos, distancias entre redes Distancias entre genes, distancias entre proteínas Distancias en Química, distancias en Geofísica, distancias en Astronomía O más gráficamente: Figura 1: El concepto de distancia en diversas áreas de las matemáticas. 2. Distancias en la música Después de observar cuán flexible y ubicuo es el concepto de distancia, nos preguntamos cómo aparece en la música. En general, todo lo que se refiera a distancias perceptuales se sale de la intuición. Abajo tenemos tres sonidos, llamémosles S1, S2 y S3. Pongamos que la frecuencia de S1 son x hercios. Hacemos saber al lector que las frecuencias de S2 y S3 son, respectivamente, 2x y 3x. Tenga ahora el lector la amabilidad de pinchar sucesivamente en los sonidos de la figura de más abajo (súbase el volumen si es necesario). S1 S2 S3 Figura 2: Tres sonidos diferentes. ¿Le ha parecido al lector que había más distancia entre S1 y S2 que entre S2 y S3? ¿Quizás ha sido al revés? ¿O aún mejor no hay diferencia entre los dos saltos? Al fin y al cabo la diferencia en frecuencia entre cada par es constante. El lector -acaso un poco confundido- dirá que el salto entre S1 y S2 le ha parecido mayor que entre S2 y S3. Y, en efecto, así es. Nuestro oído, acorde con la famosa ley de Weber-Fechner, percibe la relación entre un estímulo y su percepción siguiendo una función logarítmica. Esto explica que el salto de S1 a S2, de proporción 2 : 1, se perciba como mayor que el de S2 a S3, de proporción 3 : 2, que es menor. El problema de la similitud musical -y de la obtención de una distancia- es de los más complejos e importantes. Como Pampal [PFW05] describe con acierto “desgraciadamente, el problema de la similitud melódica es muy complejo, multidimensional, fuertemente dependiente del contexto y de muy mala definición”. La similitud musical es un fenómeno que comprende tres niveles diferentes: el físico, el musical y el psicosocial. En el físico se estudian conceptos de acústica, relacionados con los aspectos físicos del sonido, tal como frecuencia fundamental, armónicos, energía, espectros, duraciones, etc. En el musical, se analizan variables como intervalos (como frecuencias percibidas), ritmos, métrica, armonía, conducción de voces, forma musical, fraseo, etc. Por último, en el nivel sociocultural se examinan variables como la emoción, la motricidad, el carácter, así como aspectos socioculturales. Un modelo de similitud melódica que aspire a ser fiel a la similitud humana ha de tener en cuenta estos tres niveles fenoménicos. Aucouturier y Pachet [AF04] advierten de que hay una limitación intrínseca si solo se modeliza la similitud con variables pertenecientes a uno solo de esos niveles; es necesario tener en cuenta todos. Estos autores hacen estas observaciones porque en el pasado se construyeron muchos modelos basados en la pura descripción física del sonido y, a pesar de su creciente complejidad, no conseguían los resultados esperados. Recientemente, se han empezado a incluir variables de los niveles musical y psicosocial. En esta serie de artículos no vamos a estudiar la similitud musical sino solamente la similitud melódica, que es un problema más pequeño pero no necesariamente más fácil. Perseguimos diseñar una distancia matemática de similitud melódica que refleje lo más fielmente posible la distancia de similitud melódica que tenemos los humanos. Veamos cómo. 3. Similitud melódica Empezaremos por definir formalmente lo que es una medida de similitud melódica, término que como veremos difiere ligeramente del de distancia de similitud melódica. Seguiremos en parte la exposición de Müllensiefen y Frieler [MF04]. Una medida de similitud melódica se define como una aplicación σ : M → [0, 1], donde M es el espacio de melodías, con las siguientes propiedades matemáticas: σ(m1,m1) = 1. La similitud de una melodía consigo misma toma el valor 1. σ(m1,m2) = 1 si y solo si m1 = m2. De hecho, ese valor no se alcanza en ninguna otra situación. σ(m1,m2) = σ(m2,m1). Propiedad de simetría. Sin embargo, dado que estamos en presencia de un fenómeno musical, la anterior definición no es del todo satisfactoria. Por ejemplo, dos melodías transpuestas se oyen claramente como la misma. Acorde a la definición anterior, tendría medida positiva, lo cual contradice la intuición musical. Definimos en M, el espacio de melodías, una relación de equivalencia: m1 está relacionada con m2 si y solo si m2 es una transposición por altura, por tiempo o por un cambio de tempo (velocidad) de m1. Transposición por altura quiere decir que las alturas de las notas de m1 y m2 difieren en una constante; transposición por tiempo significa que dos melodías iguales tocadas en instantes diferentes se consideran iguales; cambio de tempo significa que una melodía tocada a diferente tempo se considera la misma que tocada a su tempo original (esto último es dentro de unos límites razonables, pues se sabe que el tempo puede afectar a la percepción melódica). El espacio de las medidas de similitud es convexo. Dado un conjunto de medidas σ1,…,σn, y un conjunto de pesos ω1,…,ωn tal que ∑ni=1ωi = 1, la función es una medida de similitud. Una distancia de similitud cumple las propiedades enunciadas en la sección 1 al principio del artículo. Es bastante frecuente trabajar con distancias que cuentan el número de diferencias entre dos melodías en lugar de las similitudes, que puede ser más abstracto. Estas distancias se llaman de disimilitud. A partir de una distancia de disimilitud d se puede definir una medida de similitud σd sobre cualquier espacio finito de melodías como sigue: σd(m1,m2) = 1 - d(m1,m2)/δ donde δ = max. Se puede comprobar que si d cumple las propiedades de invariancia musical, entonces σd es una medida de similitud. Para que el lector sea consciente de la dificultad del problema de la similitud melódica, considérese las conocidas variaciones de Mozart K. 265 sobre el tema popular Ah, vous dirai-je, Maman. La melodía es diáfana, compuesta por intervalos simples y con una estructura sencilla, una subida y una bajada en la primera y dos bajadas en la segunda frase. En la figura 3 se puede ver la partitura; si se pincha en la partitura suena el tema completo, con la mano izquierda. Figura 3: El tema principal de las variaciones K. 265 de Mozart. La primera variación consiste en una versión ornamentada en corcheas del tema principal. Ahora las subidas y bajadas, casi todas por grados conjuntos, se multiplican y el oyente se da cuenta de esa fragmentación de la dirección melódica. También aparecen pequeñas dominantes secundarias que sugieren refuerzos de los grados V y VI (sol y la). En la figura 4 tenemos la partitura (de nuevo pinchando en la figura se puede oír la variación): Figura 4: La primera variación del K. 265 de Mozart. Por último consideremos la variación V, que consiste en cambios de figuración rítmica. Mozart pasa de las dos negras del tema a la figura negra, silencio de corchea y corchea. Más tarde esta figura a un puro contratiempo. Desde el punto de vista de las alturas, aparecen más intervalos cromáticos. Se puede ver la partitura en la figura 5. Figura 5: La quinta variación del K. 265 de Mozart. En el siguiente vídeo se puede ver una interpretación de las variaciones completas. En el minuto 2:05 está la quinta variación. Las preguntas son las siguientes: ¿Cuál de las dos variaciones, la I o la V, es más similar al tema principal? ¿Cómo se cuantifica tal diferencia? ¿En que variables se fundamenta la respuesta, cualquiera que sea el resultado? ¿Cómo obtener un modelo de similitud melódica que sea fiel a la medida humana de similtud? 4. Conclusiones Concluimos aquí este primer artículo sobre la distancias matemáticas y la similitud melódica. Primero, hemos repasado algunos conceptos matemáticos de distancia. Después hemos expuesto cómo se define en música la distancia de similitud melódica. En el siguiente artículo glosaremos las distancias más importantes y explicaremos cuál es la razón de ser de cada una. En el tercer y último artículo abordaremos la peliaguda cuestión de la validación perceptual de todas esas distancias. Bibliografía [AF04] J.-J. Aucouturier and Pachet F. Improving timbre similarity: How high is the sky? Journal of Negative Results in Speech and Audio Sciences, 1(1), 2004. [DD06] E. Deza and M. Deza. Dictionary of Distances. Elsevier Science, 2006. [MF04] D. Mullensiefen and K. Frieler. Cognitive adequacy in the measurement of melodic similarity: Algorithmic vs. human judgments. Computing in Musicology, 13:147–176, 2004. [PFW05] Elias Pampalk, Arthur Flexer, and Gerhard Widmer. Improvements of audio-based music similarity and genre classificaton. In ISMIR’05, pages 628–633, 2005.
Sábado, 21 de Mayo de 2011 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Música y matemáticas
Autor:Francisco Gómez Martín (Universidad Politécnica de Madrid)
1. Introducción El discurso musical progresa a través de múltiples transformaciones de su material musical. Estas transformaciones ocurren en el ámbito melódico, rítmico, armónico, tímbrico, en la conducción de voces y en la estructura formal. Cómo varíe el material musical, acorde a qué reglas gramaticales, es propio e idiomático de cada estilo y época. Además, la percepción y evaluación de las transformaciones del material musical por parte del oyente dependerán intrínsecamente del concepto de similitud musical. Dada su importancia, este concepto se ha examinado con profundidad y aún hoy sigue siendo objeto de investigación intensa. La similitud musical se ha estudiado por varias disciplinas: en etnomusicología [BL51], [See66]; en análisis musical [LJ83], [Mey73]; en la resolución de conflictos de propiedad intelectual [Cro98]; en tecnología musical [MS90]; en psicología de la música [Sch99], [HE01], [MM01], [HE02], [HCR03]. Sin embargo, es un problema difícil de abordar, bien escurridizo, pues la percepción de la similitud musical es subjetiva y cambia fácilmente con el contexto. La similitud melódica y armónica se ha estudiado con más detalle que la rítmica, aunque esta situación ha empezado a cambiar recientemente. En este artículo vamos a examinar medidas de similitud rítmica en la música flamenca. Varios autores han estudiado cómo medir la complejidad rítmica. En general, las medidas explotan diversas propiedades del fenómeno rítmico. Por ejemplo, ciertas medidas asignan pesos según la jerarquía métrica, como la de Longuet-Higgins y Lee [LHC84], la complejidad métrica de Toussaint [Tou02] o el índice de contratiempo [Tou03]; otras medidas adjudican pesos a ciertos eventos musicales, tales como la medida de Keith [Kei91], de carácter combinatorio, o la medida WNBD (weighted note-to-beat distance) [GMRT05], basada en la distancia de las notas a las partes fuertes de la métrica. Para un estudio completo de estas medidas, véase Gómez et al. [GTT07]. Sin embargo, la crítica que se hace a todas estas medidas es la falta de validación perceptual, esto es, la falta de experimentos rigurosos que prueben que las medidas evalúan correctamente la similitud perceptual. El objetivo al diseñar una medida de estas características es obtener una medida que se corresponda con la percepción humana de la similitud musical, al menos bajo determinadas condiciones. Con frecuencia, las medidas se construyen en base a ciertas hipótesis o a ciertas propiedades de los ritmos, pero posteriormente no se comprueba la validez perceptual de la medida. Gómez y sus colegas en [GTT07] comprobaron la validez de 10 medidas de síncopa distintas a partir de los datos experimentales de Shmulevich y Povel [SP98]. Ese trabajo puso de manifiesto que algunas medidas tenían una validez perceptual muy pobre. Otro trabajo a destacar es el de Guastavino y sus colegas [GGT+09], en el que analizan dos distancias de similitud rítmica, presentadas en [DBFG+04], y realizan experimentos con sujetos para estudiar la correlación entre los resultados predichos por las medidas y los obtenidos por los sujetos. En el artículo de este mes examinamos las ideas y resultados expuestos en el trabajo de Guastavino y sus colegas. 2. Similitud rítmica 2.1. El ritmo flamenco El flamenco es una música que surgió a finales del siglo XVIII en Andalucía y que está formada por una mezcla de varias influencias, tales como la propia música folclórica de Andalucía, junto con la música gitana, árabe, bizantina, incluso la música judía. La mezcla de estas influencias, destiladas por el alambique del tiempo y la práctica musical, produjeron una música altamente estilizada y compleja, con características muy peculiares. Entre las características más llamativas del flamenco se encuentra su acompañamiento con palmas. Las palmas pueden ser fuertes o sordas y en flamenco sirven como elemento métrico, como patrón de referencia temporal e incluso actúan como voz independiente, con su propia personalidad rítmica. Aquí trataremos los patrones rítmicos que sirven como referencia temporal. En música algunos autores los llaman claves [Uri96], [Ort95]. Una clave se define como un patrón rítmico que se repite durante la pieza y cuyas funciones principales son la estabilización rítmica y la organización del fraseo musical (no confundir clave con referente de densidad). Los estilos flamencos, atendiendo a su compás, se clasifican en binarios, ternarios, alternos e irregulares [Fer04]. Cada estilo en el flamenco tiene una clave asociada. Los estilos binarios usan como clave un mismo patrón rítmico, [. x x x], donde [.] representa una palma sorda y [x] una palma fuerte; no obstante, a veces se toca como la palma sorda como silencia y la palma fuerte como palma normal. Los patrones ternarios son 5 y abarcan muchos más estilos, y son el objeto de nuestro estudio. En la figura de abajo tenemos las claves asociadas a los ritmos ternarios representados con la notación de y [. ] y [x]. Figura 1: Las claves ternarias del flamenco. Claves ternarias. Pínchese en cada patrón rítmico para escuchar una versión de MIDI. FANDANGO: SOLEÁ: BULERÍA: SEGUIRIYA: GUAJIRA: Quede claro el hecho de que es posible que la clave no se toque en una interpretación determinada de una pieza. Eso no obsta para que los músicos flamencos tengan la clave en la cabeza y la organización musical se rija por ella. Es igualmente posible oír versiones muy ornamentadas de la clave. Una misma clave sirve para varios estilos y, por tanto, los nombres que aparecen en la figura están elegidos según la nomenclatura de Gamboa [Gam02]. Por ejemplo, el patrón del fandango se usa para las sevillanas; el de la soleá para las bulerías bulerías o alegrías; el de la bulería para las bulería por soleá; el de la seguiriya para las serranas o saetas; y, finalmente, el de la guajira para las peteneras. Para ilustrar el fenómeno de la clave, vamos a escuchar la guajira Hermosísima cubana en la interpretación de Pepe de Lucía en la película Flamenco. Ciertamente aquí no se oye a un palmero tocar el ritmo [x . . x . . x . x . x. ], pero está presente en toda la pieza. Es claro a partir de la introducción lenta y lírica de la pieza, en el minuto 0:27, y muy evidente a partir del minuto 1:00. 2.2. Distancias de similitud rítmica Las dos medidas de similitud rítmica que estudiaron Guastavino y sus colegas fueron la distancia cronotónica y la distancia de permutación dirigida. La primera fue propuesta por Gustafson [Gus88] para medir la distancia rítmica entre segmentos de habla. La segunda fue propuesta por Díaz-Báñez y sus colegas en [DBFG+04]. La distancia cronotónica representa el ataque de las notas y su duración a la vez. Para ello, usa una especie de histograma en que en el eje x se representan los ataques y en el eje y la duración de las notas. En la figura 2 se muestra las representaciones cronotónicas (también llamadas TEDAS) de las claves ternarias. Figura 2: La representación cronotónica de las claves ternarias del flamenco. La distancia cronotónica se calucla midiendo el área que queda entre dos ritmos superpuestos entre sí. La zona rayada de la última gráfica de la figura 3 representa la distancia entre el patrón del fandango y el de la bulería. Figura 3: La distancia cronotónica entre el fandango y la seguiriya (tomado de [DBFG+04]). La distancia de permutación dirigida se basa en contar el número mínimo de operaciones para transformar un ritmo dado en otro. Es una generalización de la distancia de Hamming. Esas operaciones se limitan a intercambios de notas o silencios entre posiciones adyacentes y tienen las siguientes restricciones: Ambos ritmos han de tener el mismo número de pulsos. En nuestro caso todos tienen 12 pulsos. Se convierte el ritmo de más notas, R1, al de menos notas, R2. Cada nota de R1 tiene que moverse a una nota de R2. Cada nota de R2 ha de recibir al menos una nota de R1. Las notas no pueden cruzar el final del ritmo y aparecer por el principio. En la figura 4 se muestra la distancia de permutación dirigida entre el fandango y la seguiriya; se pueden apreciar los movimientos de las notas de la seguiriya para transformarse en el fandango. El número de movimientos es mínimo. Figura 4: La distancia de permutación dirigida entre el fandango y la seguiriya (tomado de [DBFG+04]). En las tablas 2.2 y 2.2 tenemos las matrices de disimilitud para ambas distancias. Las matrices se llaman de disimilitud porque las distancias reflejan cuán lejos está un ritmo de otro. Soleá Bulería Guajira Seguiriya Fandango Soleá 0 Bulería 6 0 Guajira 4 8 0 Seguiriya 8 12 8 0 Fandango 10 14 6 6 0 Tabla 1: Matriz de disimilitud para la distancia cronotónica. Soleá Bulería Guajira Seguiriya Fandango Soleá 0 Bulería 1 0 Guajira 7 8 0 Seguiriya 11 12 4 0 Fandango 7 8 2 4 0 Tabla 2: Matriz de disimilitud para la distancia cronotónica. 2.3. Grafos filogenéticos El conjunto de distancias de las matrices es difícil de visualizar y aún menos los posibles agrupamientos que puedan esconder los datos. Desde hace mucho tiempo los bioinformáticos usan una herramienta tremendamente útil para este propósito: los árboles filogenéticos. Técnicamente, deberían llamarse grafos filogenéticos, puesto que pueden salir grafos generales, pero por razones históricas se ha mantenido el nombre así. Estos grafos se construyen de tal manera que la distancia entre dos nodos corresponde tan exactamente como es posible a la distancia dada en la matriz. Hay un índice de ajuste asociado al grafo filogenético que indica la bondad del ajuste del grafo a la matriz de distancias. El algoritmo que construye el grafo es iterativo. En principio, el algoritmo intenta ajustar la matriz a un árbol; si ello no es posible, introduce un número mínimo de nodos para realizar el ajuste. El programa que usaron Díaz-Báñez y Guastavino fue SplitsTree, creado por Hudson y Bryant [HB06]. En las figuras 5 y 6 se exponen los árboles correspondientes a ambas distancias. Nótese que el índice de ajuste es muy alto para cada distancia, 99,2% y 100%, respectivamente. Esto asegura que el grafo refleja fielmente la distancia.   Figura 5: Árbol filogénetico para la distancia cronotónica (tomado de [GGT+09]).   Figura 6: Grafo filogénetico para la distancia de permutación dirigida (tomado de [GGT+09]). De la figura 5 se sigue que el grafo de la distancia cronotónica sugiere tres grupos: uno formado por el fandango y la seguiriya; un segundo, por la soleá y la bulería. Para la distancia de permutación dirigida el agrupamiento sugerido es ligeramente distinto: un primer grupo lo componen la soleá y la bulería; otro central, la guajira y el fandango; por último, está la seguiriya en un grupo aislado. 3. La validación perceptual 3.1. Los experimentos Guastavino y sus colegas comprobaron la validez perceptual de las dos distancias en cuestión a través de una serie de experimentos. Sospechaban que la formación musical influía en la percepción, de modo que diseñaron tres experimentos: el primero fue para sujetos sin conocimientos de flamenco ni formación musical reglada; el segundo para músicos con formación clásica; y el tercero para músicos de flamenco. Por brevedad solo describiremos el primer experimento. El lector interesado puede consultar los detalles en [GGT+09]. En el experimento participaron 12 sujetos, con media de edad 25 y desviación típica 4. El experimento se diseñó para que los sujetos se concentrasen en la duración de las notas, puesto que las distancias matemáticas fueron diseñadas con esa intención. Por ello, el estímulo del experimento consistió en sonidos de palmas generados vía MIDI con el programa Finale. Los ritmos se generaron en tres diferentes tempi (es sabido que el tempo influye en la percepción musical); dichos tempi fueron 50, 70 y 90 negras por minuto, respectivamente. Se programó una aplicación para que los sujetos introdujesen los índices de disimilitud. El experimento tuvo lugar en una habitación acústicamente aislada. Los ritmos, como es habitual en estos experimentos, se presentaron en orden aleatorio. Se pedía a los sujetos que evaluasen la disimilitud entre todas las parejas de patrones rítmicos. Pinchando en la lista de ritmos se pueden oír los estímulos correspondientes al tempo de 70; a los sujetos solo se les presentaba cada ritmo una sola vez, pero ellos podían todas las veces que quisiesen. Estímulos: FANDANGO: SOLEÁ: BULERÍA: SEGUIRIYA: GUAJIRA: Asimismo, se llevó a cabo un análisis de varianza y se encontró que no había diferencias significativas con respecto al tempo. Cada sujeto proporcionó una matriz de disimilitud. Se sumaron todas las matrices y se obtuvo una matriz global de disimilitud. El árbol correspondiente a dicha matriz se puede observar a continuación; compárese con las figuras 5 y 6.   Figura 7: Grafo filogénetico de la distancia perceptual (tomado de [GGT+09]). Ignórese el nodo marcado como "ancestral" en la figura 7, pues es un ritmo extra que se añadió para comprobar cierta hipótesis que sale fuera del alcance de este artículo. Para hallar la correlación entre las matrices de disimilitud se usó el test de Mantel. 3.2. El test de Mantel Como es conocido, hay muchas técnicas para estudiar agrupamiento: técnicas jerárquicas y no jerárquicas, escalamiento multidimensional, análisis de correspondencia, etc. Estas técnicas generan agrupamientos de los datos de entrada, pero no permiten una adecuada comparación entre dos agrupamientos dados. En nuestro estudio obtuvimos dos matrices de disimilitud y elegimos como método de agrupamiento los árboles filogenéticos, muy usados en Bioinformática. Tienen ciertas ventajas sobre otros métodos de agrupamiento y entre ellas se cuenta la facilidad de visualización. Sin embargo, el problema aquí es cómo comparar dos matrices, o equivalentemente cómo comparar dos matrices de disimilitud. Hacer la correlación directa entre las matrices sería incorrecto matemáticamente. Las distancias de las matrices claramente no son independientes, ya que cambiar una distancia afectaría a n-1 distancias. Por tanto, no podemos evaluar la relación entre las dos matrices simplemente evaluando su coeficiente de correlación entre los dos conjuntos de distancias y examinando si es estadísticamente significativa. El test de Mantel resuelve este problema realizando varios test sobre permutaciones de las matrices. El procedimiento del test de Mantel se describe brevemente a continuación (véase [Wik11] y sus referencias): Procedimiento: El procedimiento consiste en un test de permutación. Se calcula la correlación entre los dos conjuntos de [(n(n-1))/2] de distancias. Dicha correlación es a la vez la medida de correlación y el estadístico sobre el que se basa el test. En principio, cualquier coeficiente de correlación se puede usar, pero es muy frecuente tomar el coeficiente de correlación de Pearson. Contraste de hipótesis: Al contrario del procedimiento habitual con el coeficiente de correlación, para evaluar cualquier desviación de la correlación nula, las filas y columnas de la matriz se someten a permutaciones aleatorias varias veces, y se calcula el coeficiente de correlación cada vez. La significación de la correlación observada es la proporción de dichas permutaciones que conducen a un coeficiente de correlación alto. La hipótesis nula: el razonamiento es que si la hipótesis nula de que no hay relación entre las matrices es cierta, entonces permutar las filas y las columnas de la matriz debería producir con igual probabilidad un menor o mayor coeficiente. Además de superar el problema de la dependencia estadística de los elementos de las dos matrices, usar los test de permutación elimina la necesidad de hacer hipótesis sobre la distribución estadística de los elementos de las matrices. 3.3. Resultados El test de Mantel para determinar la correlación entre las matrices de las distancias matemáticas y las distancias perceptuales arrojó los siguientes resultados: Correlación entre las medidas perceptuales y la distancia de permutación dirigida: r=0'76 y p=0'03. Correlación entre las medidas perceptuales y la distancia cronotónica: r=0'66 y p=0'017. Se puede ver que la correlación es más alta para la distancia de permutación dirigida que para la distancia cronotónica, si bien en ambos casos es alta. También se puede observar que las medidas perceptuales se acercan más a la distancia de permutación dirigida que a la distancia cronotónica, tanto en términos de agrupamiento como del ritmo más diferente. 4. Conclusiones Como dijimos al principio del artículo, el trabajo de Guastavino y colaboradores tiene la virtud de comprobar la validez perceptual de las distancias matemáticas. Los resultados del experimento corroboran su validez. No obstante, los resultados son limitados, pues el número de patrones rítmicos es muy pequeño. En mi (humilde) opinión, y a pesar de ser coautor de los dos artículos, creo que la distancia de permutación dirigida no refleja la distancia perceptual del ritmo. He aquí un ejemplo que ilustra mi objeción. Consideremos los dos ritmos siguientes: R1 = [x . . x . . x . . . x . x . . . ] (la clave son). R2 = [x . . x . . x . . . x . . x . . ] (la clave bossa-nova). Su distancia de permutación dirigida es 1; basta mover la quinta nota de la clave son un pulso hacia delante para obtener la clave bossa-nova. Sin embargo, perceptualmente son muy diferentes. El primer ritmo, la clave son, tiene una clara estructura de pregunta/respuesta; pínchese en el ritmo para comprobarlo. Mientras que el segundo, la clave bossa-nova no tiene esa estructura, sino otra más compleja. La clave bossa-nova está formada por cuatro notas de duración tres pulsos y una nota de duración cuatro pulsos. Esta composición hace que tras oírse unas cuantas veces, a causa del principio de continuación, la clave se perciba como un único tren de pulsos regulares de duración tres pulsos acabado por uno de cuatro; pínchese en el ritmo para comprobarlo. Con este ejemplo vemos que dos ritmos a distancia 1, la mínima distancia que puede dar la distancia de permutación dirigida, pueden ser perceptualmente muy diferentes. CLAVE SON: CLAVE BOSSA-NOVA:   Bibliografía [BL51] Béla Bartók and Albert Lord. Serbo-Croatian Folk Songs: Texts and Transcriptions of SeventyFive Folk Songs from the Milman Parry Collection and a Morphology of Serbo-Croatian Folk Melodies. Columbia University Press, 1951. [Cro98] Charles Cronin. Concepts of Melodic Similarity in Music-Copyright Infringement Suits. Computing in Musicology (ed. Walter B. Hewlett and Eleanor Selfridge- Field). MIT Press, Cambridge, 1998. [DBFG+04] Miguel Díaz-Bañez, Giovanna Farigu, Francisco Gómez, David Rappaport, and Godfried T. Toussaint. 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Jueves, 10 de Marzo de 2011 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Música y matemáticas
Autor:Philippe Donnier
Presentar a quien se admira es un raro placer del que hoy disfruto con total desinhibición. Hoy tenemos a Philippe Donnier entre nosotros, esto es, tenemos a un músico y científico, pues es doctor en Etnomusicología por la Universidad París X e ingeniero superior por la École Supérieure de Physique et Chimie de Paris (ESPCI); pero también a un bohemio genuino, profundo amante del flamenco, que lo aprendió en las cuevas del Sacromonte, que se curtió en los tablaos más exigentes; tenemos ante nosotros a todo un personaje por carácter y bonhomía,  por rigor intelectual y pasión musical. Lo traigo aquí porque hace un tiempo escribió un delicioso cuento llamado El duende y el reloj. En él explora y explica la rítmica flamenca a la vez que trata temas como el tiempo y su carácter relativo,  o propone un viaje iniciático al estilo de Alicia en el país de las maravillas o El principito. Pronto le ofrecieron adaptarlo a la escena y así el 7 de julio de 2010 se estrenaba la obra en el Gran Teatro de Córdoba. La compañía de Javier Latorre tuvo el honor, con música original de Gabriel Expósito y Juan Requena. El duende y el reloj es una obra que contiene claves musicales mucho más sutiles que las proporcionadas por una lectura somera. En este artículo, cuyos resultados ya fueron presentados en sociedad en el Concurso Nacional de Arte Flamenco de Córdoba de 2010,  Philippe Donnier desentraña esas claves. Parte de esas claves pueden entenderse, sin duda, en relación a las matemáticas, y es por ello que este artículo en esta en esta sección. Sin embargo, no espere el lector un artículo al uso, sino provocación, sentido del humor, erudición y autenticidad. En suma, Philippe Donnier en estado puro. Francisco Gómez Martín Claves para El Duende y el Reloj Philippe Donnier, doctor en etnomusicología Nacimiento de un cuento El cuento original nació de un proyecto educativo de “2006 Año del Flamenco” dirigido a alumnos y profesores de música de escuelas de enseñanza primaria de Córdoba. Escribí la primera versión (unas noventa páginas) como texto de referencia del curso de tres meses que iba a contar con la colaboración de alumnos del Conservatorio Superior y de la Escuela de Danza. A pesar del apoyo de todas las instituciones implicadas, el proyecto fue rechazado por la Delegación de Educación y Ciencia por razones todavía enigmáticas. El pobre Duende se quedó durmiendo un año, hasta que la editorial cordobesa Puntoreklamo[1] tuvo el buen gusto de proponerme la edición de la primera parte[2]. Mientras tanto, se me ocurrió enseñar las cuatro primeras páginas del manuscrito a Javier Latorre. Se entusiasmó inmediatamente y me pidió una adaptación escenográfica para representarla con su compañía. Después de dos intentos fallidos, se estrenó el 7 de julio 2010 en el Gran Teatro de Córdoba. El propósito de este artículo es desarrollar los análisis teóricos más originales que han sido claves para el desarrollo de la obra. A modo de prolegómeno, me parece útil presentar unos cuantos conceptos básicos relacionados con las ciencias humanas. Paradigmas y etnocentrismo. Según el epistemólogo Thomas S. Kuhn 1922-1996)[3], los modelos paradigmáticos que proporcionan los preconceptos a partir de los cuales se forman las diferentes teorías de nivel inferior son tan metafísicos como científicos (y tan conscientes como inconscientes). A lo largo de la historia (eje diacrónico) los cambios de paradigma, de naturaleza revolucionaria, han sido a menudo traumáticos. En el campo de las ciencias humanas la postura etnocéntrica es también de tipo paradigmático pero el cambio no se hace en el tiempo sino en el espacio[4], el nuevo paradigma es el de un “otro” contemporáneo (plano sincrónico), hay tanto paradigmas como culturas. Para evitar desarrollos teóricos bastará con unos cuantos ejemplos: - “lo que hace más fácil el español es que las cosas se dicen como son y no como vosotros, los extranjeros, que le cambiáis el nombre a todo”, me decía un viejo andaluz. - “¡Que mal educados son los andaluces, nunca dan las gracias!”, dirá un francés al no concebir que, en el ámbito familiar, dar las gracias cada vez que te sirven agua o te pasan el pan es de bien educado en Francia pero de pesao en Andalucía. - “El compás de Seguiriya es un 6/8;3/4[5] que los flamencos cuentan al revés con acentos irregulares”, considerará un músico clásico. Dentro de la postura etnocentrista, Mi cultura es LA cultura, Mi código de buena educación es LA buena educación, Mi moral es LA moral. El lingüista americano Kenneth L. Pike (1912–2000)[6] introdujo la oposición entre descripción ética[7] y descripción émica, cogiendo de la lingüística las sílabas finales de los términos fonética y fonémica. Las descripciones fonéticas pertenecen al campo de la acústica (sonido producido) y al de la fisiología (punto de articulación y tipo de emisión de voz que permite describir el mecanismo de formación de los sonidos hablados), son de carácter objetivo y universal. Al contrario, una descripción fonémica explica el sistema lingüístico de una cultura en particular y se entiende desde la cultura estudiada. Así en etnología, una descripción ética es teóricamente del orden de la descripción objetiva, independiente de la cultura estudiada, de tipo etnográfico (aunque corra siempre el peligro de caer en un etnocentrismo paradigmático). Al contrario, una descripción émica se tiene que realizar desde la subjetividad de la cultura estudiada, es de tipo etnológico; exige del investigador aceptar el relativismo cultural e intentar, cueste lo que cueste, establecer una relación de empatía con la cultura estudiada para poner en evidencia los rasgos pertinentes de los objetos estudiados, adentrándose en su sistema de valores a priori diferente del suyo. En realidad, las dos posturas son algo utópicas pero tienen que servir de referencia ideal o de brújula para cada investigador. Al ser el flamenco una música de tradición oral y para hacer la lectura asequible al más amplio público, intentaré usar lo menos posible la escritura musical clásica, creada desde y para la música étnica de la burguesía occidental[8]. Queda por tanto bien claro que el flamenco es “otra música” cuyos rasgos pertinentes son a priori ajenos al mundo clásico, aunque se aproveche a posteriori todos los elementos de la teoría clásica compatibles con un análisis émico (desde la cultura flamenca) del corpus estudiado[9]. Para evitar cualquier confusión, me referiré siempre en este artículo al flamenco reconocido por la mayoría de los investigadores actuales como “clásico”, el que podemos disfrutar en las mejores antologías publicadas entre los años 50 y los 80, las más representativas siendo las dos publicadas por Hispavox[10]. Creación del tiempo y ciclos métricos básicos de 2 a 6 tiempos En el cuento, el tiempo nace de la nada por acción de una pluma que roza la nariz de un Duende etéreo con el corazón parado. El Big Bang desencadenado por un improbable efecto mariposa evoca el carácter casual y aparentemente repentino del acto creador. El horrible crack de carraca que marca la única hora del reloj despierta los primeros latidos del corazón, la emoción del Duende se manifiesta por una lágrima. Es esta lágrima que da finalmente vida al Duende de carne y huesos que aparece en el escenario en su esencia desnuda[11]. El sentir flamenco, como cualquier emoción estética andaluza, pasa a menudo por el dolor[12]. El reloj, medidor del tiempo físico ni siente ni piensa, solamente funciona, mientras no esté sometido a los ruidos “parásitos” del grupo de guiris que interfieren con su regularidad; figura el carácter dictatorial del pulso metronómico mecánico. En cuanto al Duende, este tiempo unario eternamente repetido le aburre rápidamente. Necesita contrastes que le sirvan de referencias en el fluir del tiempo. A punto llega el cojo con su pata de palo (C) o Dalí con su bastón (T)[13] para marcar un contraste binario: - ni más flojo ni más fuerte, solamente diferente, comenta el Duende, que descansa después de haber descubierto el 2 y sueña un baile de Zambra (T, C), muy en boga en los tiempos de Sabicas, que da vida así al ciclo binario. Investigando, el Duende encuentra solito el ciclo ternario que cuenta 1-2-3 explicitando además “con el acento en el 3”. Verdiales (C) y jaleos soñados (T) se construyen sobre esta referencia métrica. Los flamencos no suelen contar los verdiales pero usan para enseñar este ritmo con las castañuelas la serie onomatopéyica siguiente: riá riá pi ta 1 2 3 Según la teoría clásica, esto dejaría suponer una percepción “anacrúsica” que, por sistema, coloca el tiempo fuerte al principio del compás:  . No obstante, como vimos antes, a priori no tenemos porque por qué adoptar esta nomenclatura. Esperaremos adentrarnos más profundamente en el sistema rítmico flamenco antes de tomar una decisión. Para llegar a 4, nuestro Duende aritmético naïf piensa que basta con sumar 2+2. Craso error pues las estructuras rítmicas, que se rigen por las leyes de las funciones periódicas, vuelven a tomar el mismo valor al cabo de cada ciclo. Aparece el filósofo y matemático Descartes quién, socarrón, le comunica desde el cielo que, en la aritmética de los ciclos[14], 2+2=2. El Duende encuentra la solución cambiando la suma anterior por 1+3, esta manera de analizar los ciclos rítmicos no se basa en una supuesta acentuación periódica sino en agrupaciones perceptivas[15], consecuencias de contrastes entre texturas o formas sonoras distintas. / palma palma palma pie / / / 1 2 3 4 Un baile por tango (C) o un sueño por farruca (T) dan vida al ciclo métrico cuaternario. En cuanto al 5, el Duende lo rechaza por impar y primo. ¡Allá el! En el País Vasco, se canta y se baila el zortzico sobre ciclos de cinco tiempos (C). Al llegar al 6, el Duende cae otra vez en la trampa periódica 3+3=6 pero una mirada irónica de Descartes le hace recapacitar y propone el ciclo 3+2+1, coherente con la asimetría de palmas y toques por Huelva y sevillanas, compás enigmático desde la teoría clásica. La marca ternaria del pie induce a transcribir los fandangos de Huelva encajándolos en compás de 3/4, dejando así sin diferenciar las estructuras básicas del verdial y de Huelva (sevillanas en C y T). ¿Por qué Huelva y verdiales tienen aires tan distintos? El espacio unidimensional de los compases clásicos no permite esclarecer este enigma. En realidad la particularidad de Huelva radica en un ritmo multidimensional inducido por el ritmo del cante. Cuando un músico no flamenco escucha el conocido fandango “Alosnoo – , Con tu reejas - de acerooo...”, marca instintivamente con el pie ciclos binarios sobre las sílabas destacadas en negritas[16]. Para acompañar un cante por Huelva, guitarristas populares habrán utilizado el toque de verdial (cuya textura sonora tiene una periodicidad ternaria como hemos visto más arriba). Esta superposición de dos referencias métricas distintas ha engendrado una estructura rítmica multidimensional. Los ciclos ternarios de los rasgueos de guitarra “contaminados” por los acentos binarios del cante han generado ciclos de 6 tiempos. Un experimento formal permite comprobar esta teoría. Para evitar toda subjetividad de parte del guitarrista, gravamos el sonido MIDI de la transcripción de un compás de verdial tocado en bucle. Con un programa de sonido subimos la intensidad de las percusiones impares sobre un ciclo de 6 pulsos (2 ciclos de verdial) Cuando presento este ciclo sintético asimétrico en congresos, conferencias y seminarios, los aficionados flamencos suelen reconocer el “aire” de Huelva. El gráfico siguiente describe Huelva como ritmo bidimensional en un espacio intensidad x textura x tiempo[17] La estructura armónica de los fandangos de Huelva confirma la ambigüedad binaria/ternaria de este toque. Si generalizamos este análisis, podemos establecer la ley siguiente: cuando una serie sonora tiene n dimensiones, el periodo del conjunto es el mínimo común múltiplo de los n periodos correspondientes a cada dimensión. Las dimensiones musicales pueden ser muy variadas: percusión, melodía, armonía, timbre, etcétera. En todos estos casos, no tiene porque por qué haber ningún acento que defina los motivos periódicos, basta con contrastes de sonido o distancias temporales, de ahí la reflexión del Duende cuando descubre el ciclo binario: - Ni más flojo, ni más fuerte, solamente diferente. La acentuación binaria (real o virtual) superpuesta a la textura ternaria lleva a una segmentación perceptiva asimétrica con desaparición o debilitación importante del tiempo 6 del motivo rítmico:[18] Aunque el pie marque ciclos de tres tiempos, las palmas básicas por Huelva y por sevillanas son también asimétricas y generan un motivo cíclico de 6 tiempos, confirmando así nuestro análisis. Al analizar las falsetas por Huelva a la luz de los contrastes de texturas o de movimientos melódicos en lugar de buscar hipotéticos acentos, se descubren estructuras atípicas que no cuadran en absoluto con el compás de 3/4. Las tres fórmulas más frecuentes son: [3+2+1] [3 x 2] [1      2      3      |1      2      |1      ]          [1      2      |1      2      |1      2      ] tipo [3+2+1] (esquemas de referencia) tipo [3 X 2] (Niño Ricardo) Sistema de improvisación En la época clásica, el guitarrista flamenco no solía improvisar como lo hacen los músicos de jazz, creando melodía nueva en cada actuación sobre una “rueda” rítmico-armónica fija propia de una melodía “estándar”. En la guitarra flamenca “clásica”, se improvisa concatenando módulos prefabricados que son de dos tipos: - Módulos que combinan rasgueos y percusiones en compases[19] rítmicos o secciones libres[20] sobre acordes de la tonalidad respetando los usos del toque elegido. - Falsetas que son pequeñas obras melódicas autónomas desarrolladas dentro de los cánones de cada toque. Los dos tipos de módulos alternan libremente en función de las circunstancias (cante, baile o sólo) y de la inspiración. Cada guitarrista tiene un amplio repertorio de falsetas propias o imitadas de otro que tiene que elegir y encajar en el ciclo rítmico del toque correspondiente. La célula rítmica mínima por Huelva es de 6 tiempos y las ruedas armónicas del cante son de 12. El compás de Huelva de referencia costa por tanto de 12 tiempos. Siguiendo la norma que adoptamos en “El Duende tiene que ser matemático”[21], indicaremos los tiempos del compás de referencia en cifras romanas y los tiempos de los “sub-periodos” o “módulos” en cifras árabes. Los módulos básicos que sirven para construir tanto secuencias de compases como falsetas son de 6 tiempos. Hay tres clases rítmicas básicas que describimos en el esquema siguiente: a, b1 y b2. Los cambios de grises señalan las fronteras entre grupos perceptivos. Representamos ahora el esquema de improvisación con motivos de tipo [3+2+1]: Cuando el guitarrista está en stand by, toca de forma casi automática compases (ciclo percusivo-armónicos) variados de 12 tiempos. Cuando quiere “entrar” una falseta como suelen decir los guitarristas, Huelva permite 3 tipos de entradas[22]: al I, al XI o al X. Lo más frecuente por Huelva es “entrar al XI”. El guitarrista se descuelga de la rueda del compás olvidándose de ella. Se atiene ahora a la estructura propia de la falseta con ciclos de 6 de tipo a o b1, el número de módulos de 6 tiempos puede ser par o impar, si el último ciclo acaba en acorde de tónica[23], se considera que acaba en el tiempo X del compás de referencia o en el tiempo IV si acaba en acorde de dominante[24]. El esquema anterior describe el primer caso: al entrar, la falseta ha robado los tiempos XI y XII (riá mh) del ciclo principal que tiene que devolver tocando (riá mh)[25] antes de reengancharse al tiempo I del compás de referencia. Se pueden encadenar también módulos de varios tipos y multiplicar así las combinaciones. La transcripción de un toque de Huelva en el aburrido e impertinente[26] 3/4 da poca información sobre los mecanismos de producción de la música viva, es una labor de carácter ético, (externa al sistema flamenco). El camino hacia una descripción émica consiste en adentrarse en los procesos cognitivos propios de los músicos flamencos “nativos”. El esquema anterior describe mecanismos de improvisación que ponen en evidencia la composición de tipo modular. El hecho de que el pie (rayas rojas) coincida con el 1 o con el 3 del grupo /123/ del módulo [123/12/1] demuestra que no marca ningún acento sino que tiene la función de las rayas rojas del papel cuadriculado: referencia espacial o referencial en el sentido matemático de la palabra. El análisis del toque por bulerías confirma esta función pues los guitarristas flamencos son capaces de tocar motivos ternarios con pie binario y a la inversa. Además estos mecanismos típicamente “bricoleur”[27] liberan al guitarrista de cualquier angustia, permitiéndole salir siempre de cualquier apuro. Si falla la memoria (o los dedos), se puede reenganchar cualquier motivo rítmico de compás o de otra falseta, con la única condición de no perder la rueda de referencia (números romanos). El Cheri, cantaor de la familia Plantón que lleva el tablao “La Bulería”[28] en Córdoba, me soltó un día esta genialidad: “Un fallo no es tal hasta que tú lo reconozcas”, reflejo de una filosofía musical basada en tal dominio del tiempo que puede gestionarlo con total libertad. Un silencio de 6 tiempos seguido de un acorde fuerte transmuta un fallo en golpe de genio... Por estas razones considero tan peligroso para la formación de verdaderos flamencos el aprendizaje de la guitarra flamenca basado en el estudio de obras de concierto, a menudo descifradas más que leídas. El guitarrista tiene que aprender a concatenar compases y falsetas al azar y a salto de mata para adquirir la soltura y los mecanismos propios del flamenco, imprescindibles para el acompañamiento del cante y del baile, base de la cultura flamenca. Además no tiene porque imitar nada al pie de la letra sino “recortar a su medida” cualquier falseta de otro para tocarla con total dominio. El 7 La aparición de un indio desgranando un “Talá”[29] onomatopéyico es un guiño a las otras músicas del mundo y permite además introducir las onomatopeyas como medio muy eficaz en la educación rítmica. Las percusiones indias, unas de las más complejas del mundo, han alcanzado un alto nivel de sofisticación gracias a su sistema onomatopéyico totalmente formalizado. A cada tipo de percusión sobre el tabla corresponde una onomatopeya. Los bailaores flamencos utilizan constantemente onomatopeyas para describir y memorizar los pasos[30]. La diferencia con la percusiones indias es que no hay formalización sistemática de la correspondencia pasos>onomatopeyas. Tenemos allí un campo virgen para la investigación pedagógica. El 8 con cierre del compás de tango al 7 tiene poco interés teórico y como El Duende rechaza el 9, el 10 y el 11 con bromitas, saltaremos directamente al 12. El 12 Como lo comentaba ya en el Duende tiene que ser matemático, el 12 es interesante al ser múltiplo de 1, 3, 4 y 6, lo que permite una gran variedad de combinaciones. El Duende no encuentra solución y los sarcasmos de Descartes y de Dalí le desesperan. Acaba “jugándoselo a los dados”, forma de sugerir la intervención del azar en la creación artística. Al tirar 3 + 3 no sale del ciclo de 3 pero la tirada siguiente de 2 lleva de pronto a un ciclo de 8 y las dos siguientes de 2 al anhelado ciclo de 12. Con gran alegría, todo el grupo “rapea” el compás del toque por soleá acentuando el último tiempo de cada grupo perceptivo. Cuando la aventura del 12 parece concluir felizmente, aparece Leonardo, evocación del espíritu renacentista cuyo máximo representante ha sido Leonardo da Vinci (1452-1519), artista, científico, ingeniero, inventor, anatomista, escultor, arquitecto, urbanista, botánico, músico, poeta, filósofo y escritor. Representa también la oposición entre la cultura clásica y la cultura oral tradicional e intuitiva del Duende. Justo cuando se acerca al tablao, dentro del cual el grupo sigue contando a voces el compás  (desde fuera se oye unas voces indescifrables), se abre la puerta coincidiendo por casualidad con el primer grupo 1-2[31]. Leonardo percibe pues la serie propia del toque por seguiriya. Leonardo y el Duende se enfrentan, cada uno encerrado en su percepción hasta que el Duende hambriento reclame un bocadillo de jamón. Al oír la voces del Duende jamónjamónjamón, Leonardo encuentra la solución: jamón – monja / soleá – seguiriya Demuestra su teoría haciendo bailar al grupo los dos compases desfasados: Tanto Duende como Leonardo abren su mente a la percepción del otro. Melodía y armonía Principio de la secunda parte: Leonardo escribe frenéticamente, concentrado en su libreta. Recuerda al antropólogo Castaneda (1925-1998) que quería también escribirlo todo durante sus encuentros con el chaman Don Juan[32]. La estructura lineal de lo escrito compite con dificultad con la versatilidad de la creación tradicional. El Duende se mofa irónicamente de Leonardo por tener tan poca memoria. Las largas sesiones de ensayos me han confirmado con creces observaciones anteriores: memoria asombrosa de bailaores y guitarristas, capacidad de extraer esquemas rítmicos complejos de falsetas de guitarra para traducirlos al instante en pasos de baile, memoria estructural del cantaor que llega pocos días antes del estreno y memoriza entradas, salidas y letras de los diferentes estilos de cante que sostienen las coreografías. Javier y su compañía me han hecho pasar momentos mágicos a lo largo de largas sesiones de ensayo. Que estas reflexiones sirvan de homenaje a todos los artistas que han concurrido al éxito del estreno, especialmente al cuerpo de baile cuya total dedicación ha sido de máxima calidad. Durante toda la primera parte del espectáculo dedicada a la construcción de los ciclos de percusión, los artistas van vestido de blanco y negro. Se visten de color únicamente durante los sueños. Al principio de la segunda parte, el Duende se queja de la tristeza del mundo real, comparado con el de sus sueños, más alegre y bonito. Leonardo le comenta que sueña en color, melodía y armonía siendo los colores de la música. Los contrastes de colores ofrecen interesantes recursos escénicos como metáfora de los cambios de modos musicales. Se suceden así pares modalmente contrastados flamenco/mayor: soleá/alegrías, seguiriya/cabal o con cambio de fase VIII/XII: cabal/guajira. Los cambios de un palo al otro por variación de un solo parámetro demuestran que el flamenco, lejos de ser un arte anárquico fruto de una inspiración misteriosa, está fundamentado en un sistema musical complejo y fuertemente estructurado. Burla, burla, Bulería Lo de burla[33] se refiere aquí a la versatilidad del compás de Bulerías. Tenemos que considerar el compás de referencia resumido en los esquemas de palmas del ejemplo siguiente como una mera fuente de módulos rítmicos muy variados haciendo del toque por bulerías un sofisticado juego combinatorio. Hemos analizado ya los juegos modulares con el compás de Huelva, el toque por bulerías lleva estos juegos hasta la máxima complejidad. La guitarra y el baile con los contrastes de rasgueos o de redobles de taconeo aumentan la variedad de módulos que se entremezclan en una aparente anarquía perfectamente controlada. El baile del “ornitorrinco flamenco” ilustra con jocosos juegos rítmicos esta complejidad. Desgraciadamente, el copiar y pegar ha invadido los estudios de grabación y se están reduciendo a menudo las palmas a un solo esquema comodín: Relatividad del tiempo En las últimas escenas, la aparición de Einstein y Dalí permite analizar la elasticidad del tiempo musical[34]. El signo calderón encima de una nota (), no suele plantear ningún problema teórico al músico clásico, le han enseñado que si una negra está afectada por un calderón, su duración es algo más larga (el algo depende del estilo, del profesor, del alumno y del momento). ¿Cómo una negra, unidad de tiempo musical, puede ser más larga que otra? Si es más larga será una blanca o una redonda pero en absoluto una negra. Es como afirmar que hay centímetros más largos que otros. Pues eso fue precisamente lo que afirmó Eisntein en su teoría de la relatividad. En el paradigma newtoniano (física clásica), los metros son iguales en todo el universo así como los segundos. La revolución relativista[35] afirma lo contrario: el espacio y el tiempo se deforman en función de la del campo energético en el cual se encuentran inmersos. En la obra, la marioneta de Einstein afirma: - en un planeta más gordo, los segundos duran más que en un planeta chico. Al ser la energía E equivalente a la materia (cuya cantidad se mide por su masa M), esto es valido también cuando uno está inmerso en un campo electromagnético. Esta equivalencia está expresada en la famosa fórmula E = MC2 [36]. Einstein afirma también que la única forma de medir el tiempo es tomar como referencia cualquier fenómeno físico que se reproduce periódicamente y de forma natural. Es el caso del péndulo del reloj que pasa regularmente por las mismas posiciones: un segundo es el lapso de tiempo que separa una posición dada del péndulo de la siguiente vuelta a la misma posición. Cuando el tiempo se dilata, es el sustrato, el soporte del tiempo que se dilata. Pintemos cuadrículas de tablero de ajedrez en un globo con un caballo en la posición B 7. Cuando inflamos el globo, las cuadriculas se dilatan también y podemos decir que el caballo ha cambiado de sitio (las distancias han crecido) pero no ha cambiado de posición (el caballo sigue situado en B7). Una hormiga plana pegada al globo no apreciará ninguna diferencia, al dilatarse a la misma vez que el globo. Por tanto es la vuelta de lo idéntico el único recurso que tenemos para situarnos en el espacio (cuadrículas para las distancias y péndulo para el tiempo). En el mundo real necesitamos referencias para situarnos en el tiempo: los relojes públicos dan los cuartos y las horas con campanadas distintas. El amanecer y el anochecer son también momentos señalados e identificables en el fluir continuo del tiempo. Todas estas observaciones demuestran que no hay quién mida el tiempo sin observar la vuelta regular de fenómenos idénticos a sí mismos. ¿Y qué tendrá que ver esto con la música? Mucho, muchísimo pues la música se dibuja en el tiempo. El acento de los compases clásicos no es otra cosa que la vuelta regular de un acontecimiento idéntico a sí mismo. El metrónomo impone la duración de un segundo musical (negra) invariable. Se puede tocar una obra de forma mecánica inmerso en un tiempo newtoniano indeformable. Si apartamos las músicas de discoteca y las militares, toda música debería interpretase[37] dentro de un espacio relativista de tiempo deformable. El calderón señala un estiramiento del substrato temporal (el tempo), es la batuta del director o el pie del intérprete y no el metrónomo que marcan la duración del segundo musical. La negra sigue valiendo lo mismo: una ida y vuelta del pie o el movimiento correspondiente de la batuta. Aceptaremos la regla general siguiente: el tiempo se dilata (los segundos musicales duran más, las negras son más largas, la música se hace más lenta) cuando el campo energético crece. En la física, la energía se presenta bajo varias apariencias: materia, campos electromagnéticos, campos de fuerza nucleares etcétera. En la música tenemos varios productores de campos energéticos: unos internos al “texto” musical escrito (cadencia armónica importante en finales de frases, influencia del contenido emocional de unas letras, punto álgido de una melodía...) y otro externos (estado emocional del intérprete y del público, relación entre ambos...). Cuando el texto está escrito, no es demasiado problemático atribuir una duración a cada nota pues el mismo compositor ha tomado de antemano la decisión de medir su música de la forma que nos señala la partitura. Normalmente se dan indicaciones de dilatación o contracción de tiempo a lo largo de la partitura (valores metronómicos: 100 negras al minuto, calderones, ritardandos y otros accelerandos). Queda al intérprete ejecutar estas indicaciones de la forma más adecuada al contexto energético del texto y del contexto. El problema es muy distinto cuando se trata de percibir el tempo de una música no escrita de estructura temporal flexible. Recordemos que la evaluación del tiempo es posible únicamente gracias a la observación de acontecimientos idénticos que marcan los periodos. En la física relativista, es la materia / energía que crea el tiempo pero sigue siendo la vuelta de idénticos que permite medirlo. Imaginemos el planeta del Principito atravesando campos energéticos variables, su reloj marca segundos variables pero como él está sometido a los mismos efectos, evalúa correctamente el tiempo. Para un observador lejano, el reloj del Principito se ha vuelto loco al no tener regularidad alguna. Algo similar le pasa al musicólogo lejano: mide la música del otro con su propio reloj y no entiende el tiempo del otro que le parece desestructurado, al no conocer las formas musicales “autóctonas”, no reconoce los idénticos[38] que vuelven regularmente y marcan los ciclos periódicos, generadores de tiempos musicales. La única forma de entenderlo es acercarse hasta adentrarse en la planeta cultural ajeno. El caso del toque por seguiriya es emblemático: es uno de los toques flamenco que soporta las interpretaciones “rubato” más flexibles del repertorio dicho “a compás”[39]. Cualquier aficionado será capaz de marcar o percibir los tiempos I   II   III IV   V al escuchar la serie siguiente de formas sonoras. Además, la percepción del tiempo no consiste solamente en detectar pertinentemente la vuelta de los segundos, consiste también identificar el origen o el referencial de los ciclos temporales. Los flamencos perciben motivos periódicos iniciados en el primer chak (tiempo I del ciclo), la mayoría de los clásicos lo inician en el último a del trrriaaaaaa para poder así encajar el compás en el único compás de amalgama que conocen: el de 6/4;3/8. Estas últimas observaciones ponen seriamente en duda la supuesta universalidad del lenguaje musical, uno de los muchos tópicos propagados por un romanticismo populista propio de los medios de comunicación. Cuántos conciertos de violinistas famosos con virtuosos del sitar tienen más valor mediático que profundidad musical. Una música ajena a mi cultura me puede gustar y puedo disfrutar con ella pero no puedo pretender escuchar y captar de forma pertinente los detalles de una estética y de una gramática musical que ignoro. No se puede tocar rubato por seguiriya sin dominar a fondo la gramática y la semántica musical que la caracterizan. La notación musical clásica asociada a un toque metronómico permite un acceso universal a este toque pero ¿a costa de qué? Como ilustración de las clases de Einstein y Leonardo sobre relatividades, Dalí baila por fandango natural (rubato) pintando sus famosos relojes blandos que chorrean como quesos camembert (según el mismo Dalí), símbolos del tiempo flexible. El reloj clásico deja el mando para convertirse a la relatividad, dejando el papel de jefe para adoptar el de notario del tiempo creado por el artista, más humilde pero más vivo (C). Desgraciadamente, al final de la obra (T) gana el reloj clásico. Por necesidades tecnológicas de las grabaciones en estudio, el uso de la “claqueta” prohibe todo rubato a la seguiriya. A pesar de todos los pesares que puedo sentir, como guionista, al ver algo transformado este niño que he parido, no puedo acabar este artículo sin manifestar todo mi agradecimiento a Javier, a los artistas y a todo el equipo técnico por haber trabajado tanto y con tanto entusiasmo para dar vida a mi sueño.   Notas: [1] Ahora Editorial el páramo [2] Philippe Donnier, El Duende y El Reloj, ilustraciones de Francisco Naharro,, Córdoba, el páramo, 2ª ed. 2010. [3] Thomas S. Kuhn, La estructura de las revoluciones científicas, 1962. [4] Espacio geográfico o sociológico, puede haber tanta distancia cultural entre un Conservatorio y una peña flamenca como entre España e India. [5] La primera vez que pregunté a un flamenco que me explique el compás de seguiriya, me dijo: tiene cinco tiempos y se cuenta I  II  III  IV  V. Después de haberlo pensado un poco añadió, pero con dos tiempos algo más largos. [6] Kenneth L. Pike, Language in relation to a unified theory of structure of human behaviour, 2nd ed.: Mouton, The Hague, 1967 [7] No confundir con la ética en el sentido de moral. [8] Así denomino últimamente la música clásica de modo voluntariamente provocativo para dejar bien sentado que, dentro del conjunto de las músicas del mundo, es una música entre otras muchas. [9] Para que no haya confusión, me referiré siempre en este artículo al flamenco reconocido por la mayoría de los investigadores actuales como “clásico”, el que podemos disfrutar en las mejores antologías publicadas desde los años 50 hasta los 80 (Antología de Hispavox [10] Tomás Andrade de Silva, Antología del cante flamenco. HISPAVOX, 1958. José Blas Vegas, Magna Antología del Cante Flamenco, HISPAVOX, 1982. [11] El Duende va vestido con una malla color carne. [12] En mi primera estancia en Granada, un restaurador de cuadro se paró delante de una pintura y me dijo profundamente afectado: “este cuadro me duele”. Desde mi paradigma cultural, sencillamente no entendí lo que me quería decir. [13] Por necesidades escénicas o de coreografía, existen algunas diferencias entre el cuento escrito y la versión teatral. De ahora en adelante, notaremos (C) para el cuento y (T) para la versión teatral. [14] Aritmética “modular”. [15] Ver G. Cooper y L. Meyer, Estructura rítmica de la música, IDEAS BOOKS, Barcelona, 2000 y F. Lerdahl y R. Jackendoff, Teoría generativa de la música tonal, Akal, Madrid, 2003. [16] Hipólito Rossy se refiere a los ritmos superpuestos del cante y de la guitarra en las sevillanas sin llegar a analizar las incidencias estructurales en el compás de guitarra, ver Teoría del cante jondo, CREDSA, Barcelona, 1966, pag. 126. [17] Se atribuye de manera arbitraria un número a cada textura: golpe = 1 y rasgueo = 2). [18] Usamos el “mh” como onomatopeya representativa del silencio. [19] En el sentido de secuencias  percusivo-armónicas específicas de cada toque (estilo guitarrístico). [20] Toques libres como malagueñas o granaínas [21] Philippe Donnier, El Duende tiene que ser matemático, Virgilio Márquez, Córdoba, 1987. [22] Siempre habrá contraejemplos pero describimos aquí los casos mas comunes. [23] La en el tono flamenco por medio. [24] Aquí Sib. [25] La identificación de los tiempos del ciclo de referencia con texturas sonoras (y con la digitación correspondiente) permite al guitarrista no contar pues, a reconocer una forma, sabe a donde est á. Del mismo modo a nadie se le ocurre contar le números de los portales de su calle para volver a su casa porque la conoce y la reconoce. El contar lleva a un cierto autismo musical, substituyendo la numerología al sentido y al sentir musical. [26] En el sentido literal de sin pertinencia. [27] Ver técnicas del ingénieur et du bricoleur in Claude Lévi-Strauss, La pensée sauvage, Plon, Paris 1962, p. 26. [28] Donde toqué la guitarra durante ocho años. [29] Ciclo de percusión. [30] Angel Muñoz, premio nacional de baile en Córdoba, me decía hace años: si no me canto los pasos, soy incapaz de bailar. Durante los ensayos del Duende, Javier Latorre daba cada día un festival de onomatopeyas. [31] Esto me ocurrió en un curso de baile, cuando, al abrir la puerta al VIII de un ciclo por soleá, percibí un compás por seguiriya. [32] Carlos Castaneda,. The Teachings of Don Juan: A Yaqui Way of Knowledge, Washington Square Press Publication, 1968 [33] Etimología supuesta por algún flamencólogo por el carácter jocoso de este palo. [34] Ver la relatividad del tempo musical en: Philippe Donnier, Flamenco: structures temporelles et processus d’improvisation, thèse de doctorat, Université Paris X, Nanterre, 1996. [35] Cuyas consecuencias no están todavía asumidas por gran parte de la población. [36] E: energía, M: masa de materia transformada en energía, C: velocidad de la luz. [37] Desgraciadamente, las necesidades de limpieza de grabación, y los costes de la hora de estudio imponen grabaciones en pistas independientes que obligan al uso generalizado de la claqueta (marca sonora metronómica). [38] Idéntico no quiere decir igual, se refiere a una función musical idéntica del mismo modo que la mil y una maneras diferentes de pronunciar la ch (variantes fonéticas) tienen la misma función fonémica dentro de la cadena lingüística. [39] Reconocidos como periódicos por los aficionados al flamenco. A finales de los 80, hice escuchar a musicólogos del seminario de etnomusicología del Museo de Hombre de Paris grabaciones de toques por seguiriya muy flexibles. Todos atribuyeron a esta música un carácter no métrico, o libre como dicen los flamencos.
Viernes, 04 de Febrero de 2011 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Música y matemáticas
Autor:Francisco Gómez Martín (Universidad Politécnica de Madrid)
Matemáticas y música, dos Soles hermanos, con luz propia que inunda impetuosamente ventanales y descubre al ojo despreocupado partículas de polvo en suspensión, insospechadas, juguetonas, testigos de una vida secreta que desconocíamos. Cada Sol descubre con su luz el confín recóndito rebelde, la escurridiza terra ignota en el mapamundi del saber. Pero las luces de estos formidables Soles no iluminan mundos disgregados, lejanos, ajenos; iluminan un solo mundo: éste, el nuestro, el poblado por seres con sentidos y mente. Y es en este mundo ígneo donde se funde la luz de los dos Soles, como el limo fértil, como el vientre preñado, como el fragante presagio de una tormenta. La luz entreverada de los dos Soles bruñe los sentidos y afila las mientes. Ahora el ojo, antaño despreocupado, aprecia de los objetos circundantes los delicados detalles que se desperezan con el calor de ese fulgor, con el amor encerrado en una caja de plata que se cuece en volcanes que vomitan lava de diamante. Esa lava tornasola la bóveda del cielo con dientes de león que rugen en caída libre sobre el mar curvado de las pestañas del ojo, ahora sí, atento. Las matemáticas son la abstracción como voluntad, la profundidad intelectual infinita, la belleza rebelde de la conexión cierta e inesperada. Llegamos a ellas por el músculo de la razón, por el nervio de la curiosidad insaciable, por el hambre de belleza estructural, por el hambre estructural de belleza, por la bella hambre de estructura. Las matemáticas nos poseen, nos desfloran como una amante urgida, nos corroen como un feroz mal de Ébola, nos consumen como una pasión no correspondida. Las matemáticas son las mariposas bordadas en el abanico de fondo rojo bermellón que en un giro de cabeza imprevisto vimos aleatar con coquetería y, solo en ese momento y no en otro, los reflejos iridiscentes levantaron la tapa de los sesos de la vida, y solo en ese momento y no en otro, vimos girar su mecanismo, frenético y misterioso. Para cuando parpadeamos y sacudimos la cabeza incrédulos, quizás aún confiados en que la tapa seguiría abierta, solo vimos las mariposas hiératicas, glaciales, casi desafiantes, en el mar rojo bermellón del abanico. Un problemas de matemáticas es el acantilado anfractuoso bañado por la espuma de nuestros penosos intentos de solución, ablución, absolución (que nos tortura, de la mácula de nuestra torpeza, del desdoro de nuestra flaqueza). Cuando el Sol de la perseverancia ha lucido lo suficiente, cuando el firme viento de la inteligencia sopla con la necesaria humildad, cuando la sal marina abrasa su tez cuarteada, entonces el acantilado nos muestra sus recovecos secretos, sus fallas por las que hender la lanza rugiente del entendimiento, sus pasadizos conducentes al centro de sus entrañas majestuosas. Un problema de matemáticas es un duende de gorro rojo líquen que se ríe a carcajada limpia mientras trenza y destrenza los nervios del demiurgo arrebolado que sube la montaña de su esfuerzo con arrojo. El duende salta, siempre riéndose, por un entramado de andamios, el gran castillo de la abstracción. Se cuela por los huecos cuando intentas atraparlo de frente; no, no es así como se le caza, has de subir más alto que él, ocultarte del Sol del mediodía para que tu sombra no te delate, no hacer ruido alguno e ir limpio de prejuicios. Solo así podrás acercarte al duende. Encarámate a los pisos más altos con las lianas de la lógica, con la fuerza de la creatividad, con la astucia de un depredador, con la humildad de un pordiosero. Y entonces abalánzate sobre él y rápido como un rayo arráncale de las entrañas el secreto. La música, ama poderosa y tranquila compañera, siempre nos escucha con sabiduría, es cómplice discreta, entinta las vacías viñetas de nuestra vida, nos da un sentido de lo único y lo colectivo. La música es comunicación y comunión, clausura y aprehensión de uno mismo. ¿Qué comunica la música? Estructuras de sonido, superposiciones de fenómenos canoros, patrones repetidos de modo sutil pero reconocible, baile de tensiones y equilibrios, malabares de expectativas perceptuales. Pero sobre todo es comunicación de emociones y de su sabia templanza. La música pone a vibrar nuestro ser en su frecuencia natural llamando al arquero del viento, quien pone en cada flecha una emoción que viajará hasta el propileo de la aurora. Allí, una vez cruzado el umbral, estallará la emoción en mil pedazos que teñirán cada objeto del universo de una tinta que no es otra cosa que su propia esencia. Las emociones mantienen unidas las de otro modo partículas centrífugas de la realidad. La música es el alimento de toda emoción. Una nota, una lágrima. Un acorde, una euforia. Un ritmo, un consuelo. Una tesitura, una sonrisa. Una frase, una memoria vívida. Una canción, toda una tesitura vital, toda una vida. Por ello, porque en música y matemáticas hay emoción, las dos celebran continuas orgías de amantes de furor uterino al amanecer de cualquier día teñido de púrpura candor. Llaman a sus hieródulas, que salen de los gineceos cubiertas de sencillas túnicas, y se aproximan al amplio claro del bosque de las Unciones. Contemplamos signos de integral lascivos que son acariciados por corcheas complacientes; letras griegas liban montes de Venus de todo tipo de cromáticas alteraciones; conjuntos de todo pelaje, de naturales a complejos, lamen la piel brillante, esplendorosa de frecuencias fundamentales, de duraciones, de compases de amalgama, ante la presencia divertida de la madre armonía. Lenguas jugosas, rosa carnoso, se buscan y saborean las salivas recíprocas; lenguas jugosas, rosa carnoso, dan mil vueltas en espiral sobre pezones expectantes, triunfantes, aquiescentes, incandescentes. Se funden abstracción y emoción en un magma cósmico y vitelino. Se oyen, como consecuencia de esta orgía salvaje entre matemáticas y música, sonidos telúricos, aullidos omnipotentes, alaridos de fecundidad. Así es la relación entre las matemáticas y la música: feraz.
Martes, 11 de Enero de 2011 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Música y matemáticas
Autor:Francisco Gómez Martín (Universidad Politécnica de Madrid)
1. Introducción Xenakis fue una persona polifacética, con una gran capacidad analítica y sintética, así como una desbordante creatividad. No solo fue un compositor excepcional en cuanto que introdujo principios matemáticos en la composición musical, dando lugar así a una de las síntesis más fascinantes de la música contemporánea, sino que siempre tuvo una gran preocupación por las cuestiones teóricas, bien en el análisis musical bien en la invención de nuevos principios compositivos. Este es el último artículo de una serie de tres dedicado a Xenakis justo antes del décimo aniversario de su muerte acaecida en febrero de 2001. En este artículo, más que analizar un principio matemático que Xenakis transformó en una principio compositivo, examinaremos algunas ideas suyas que inciden más en su faceta de teórico de la música. Xenakis usó las matemáticas también como una herramienta de análisis musical, especialmente para la música del siglo XX que más radicalmente se apartaba de la tradición tonal, armónica y métrica. Siguiendo la naturaleza universal, sistematizadora, unificadora, abstracta y al tiempo analítica de las matemáticas, Xenakis estudiaba fenómenos musicales bajo la lupa de esa asombrosa disciplina. Husmeaba estructuras comunes a varios objetos musicales, reconocía qué peculiaridades se podían identificar entre los fenómenos musicales y los matemáticos, fijaba qué operaciones eran relevantes entre ellos y, finalmente, soldaba pródigamente las piezas para erigir su edificio conceptual. Cierto es que con frecuencia sus teorías no están descritas con todo detalle, pero ello no es signo de negligencia o de falta de profundidad intelectual. Xenakis seguramente dejaba esa labor para que otros teóricos de la música la completaran, pues siempre tenía la tensión de la composición sobre sí. La teoría de cribas, expuesta en su libro Formalized Music [Xen01] entre otros escritos, se ocupa de la teoría de escalas desde un punto de vista bastante general. Aquí la palabra criba puede usarse en el sentido de la criba de Eratóstenes, el procedimiento para calcular los primos tachando múltiplos sucesivos o bien en un sentido más general, como técnicas de teoría de números para contar o estimar el tamaño de conjuntos de números [Mol09] [Har07]. Xenakis usa la palabra en un sentido más bien arcaizante y, como veremos, tiene más que ver con el primer sentido, con la idea de saltar de múltiplo en múltiplo de un número dado. En el fondo las matemáticas que usa son la aritmética modular y la teoría de conjuntos. El empeño que acometió Xenakis fue el de construir una teoría de escalas que comprendiese las escalas de más de 12 notas, esto es, escalas definidas en divisiones no iguales de la octava. En la siguiente sección recordaremos algunos conceptos de la teoría de escalas. En la tercera sección expondremos los principios básicos de la teoría de cribas de Xenakis aplicada a la teoría de escalas. En la cuarta sección examinaremos algunas consecuencias de esa aplicación. 2.  Escalas musicales El primer fenómeno musical al que querríamos referirnos es el de la llamada equivalencia perceptual de la octava. El hecho de que dos tonos que están separados por una octava se perciban como equivalente perceptualmente está bastante aceptado (véase [Deu98] y sus referencias para una explicación general y [DB84] para detalles más técnicos). Dos tonos están separados por una octava si la proporción entre la frecuencia del más agudo y el más grave es 2:1. Esta equivalencia está implícita en la construcción de escalas que se encuentran en muchas tradiciones musicales, y no solo en la occidental. Como ejemplo, tenemos abajo una melodía, el comienzo de la Pequeña serenata nocturna de Mozart. Si se pincha en la imagen, se oye la melodía: Figura 1: Comienzo de la Pequeña serenata nocturna KV 525, de Mozart. Si la trasladamos la melodía una octava arriba (pínchese en la imagen para oír la nueva melodía): Figura 2: La misma melodía pero tocada una octava arriba. Nos parece mucho más similar que si la oímos, por ejemplo, una cuarta aumentada más arriba (pínchese en la imagen): Figura 3: La misma melodía ahora tocada una cuarta aumentada más arriba. Para construir una escala la octava se subdivide en un número fijo de notas y se elige un subconjunto de estas notas como la escala. La elección de las notas en que se divide la octava se llama afinación. A veces una afinación se ajusta por motivos musicales, fundamentalmente para eliminar disonancias en las modulaciones, y entonces a ese ajuste se le llama temperamento. Tras un proceso largo y no exento de dificultades [Gol92], en la música occidental se adoptó la subdivisión de la octava en 12 partes iguales, llamada temperamento igual. Cada parte de la subdivisión se llama un semitono y un tono está formado por dos semitonos. Las escalas más importantes en la música occidental son la escala mayor y la escala menor natural. La escala mayor, si la recitamos desde un do, se compone de las notas . Figura 4: La escala mayor. Si nombramos las notas de esta escala mediante el número de semitonos que componen cada nota, entonces tendríamos el conjunto , donde el 0 corresponde a la nota do. La escala menor enunciada a partir de do es y descrita numéricamente es . Figura 5: La escala menor natural. Hay dos variantes importantes de la escala menor natural, llamadas escala menor melódica y menor armónica, aparecen en las dos primersa líneas de la tabla 1. En esa misma tabla podemos observar otras escalas con distintos intervalos y número de notas. Por ejemplo, la escala que se compone de todas las notas posibles dentro de la octava se llama cromática y su descripción numérica es . La escala que salta por tonos enteros, y que Debussy popularizó, se escribe como . La escala octotónica, de ocho notas, que se forma alternando un tono y un semitono. Con este esquema de alternación salen dos escalas y (escalas octotónica I y II, respectivamente, en la tabla 1). Stravinsky usó este tipo de escala en su obra La consagración de la primavera. Otras escalas muy frecuente en muchas y diversas tradiciones musicales son las pentatónicas, esto es, las formadas por cinco notas. En la tabla de abajo mostramos la pentatónica mayor () y la pentatónica menor (). Tabla 1: Distintas escalas musicales basadas en la subdivisión de la octava en 12 partes. Hay que advertir aquí que las escalas que se muestran en la tabla 1 aparecen en otras muchas tradiciones musicales con diferentes nombres. Hemos elegido un nombre únicamente por facilidad de referencia. Una escala dada se puede nombrar cíclicamente a partir de una nota suya cualquiera y da lugar así a otra escala. Las reordenaciones de una escala se llaman modos. Por ejemplo, la escala mayor , cuando se enuncia a partir de la sexta nota (un la o el semitono 9), resulta la escala ; esta escala llevada al do inicial de nuevo, restándole 9 semitonos, da la escala menor natural . Así que la escala menor natural es un modo de la escala mayor. Véase [Har01] para una buena introducción a la teoría musical y en particular a los modos. En otras tradiciones musicales la octava no se divide en 12 partes iguales, sino que ésta sufre divisiones más finas. El sistema tonal árabe moderno usa una subdivisión de la octava en 24 partes iguales. En otras palabras, la unidad tonal básica es el cuarto de tono. En la música clásica del sur de la India, la música carnática, usan una subdivisión en 22 partes. En la música del gamelán de Java también se usan afinaciones con más de 12 partes por octava y además estas partes no son de igual tamaño. Los temperamentos anteriores al temperamento igual tenían asimismo intervalos menores que el semitono (la afinación justa o el temperamento mesotónico; véase [Gol92]). En la Grecia clásica también se encuentran afinaciones con subdivisiones muy finas de la octava. Aristóxenes propone una afinación con 72 subdivisiones de la octava. 3. Teoría de cribas Como dijimos en la introducción, Xenakis usó la aritmética modular para dar una teoría general de la construcción de escalas bajo divisiones iguales de la octava. Superaba así el temperamento igual de 12 subdivisiones. Consideró escalas que se podían construir con cualquier unidad: semitonos temperados (1/12 de octava), segmentos de Aristóxenes (doceavos de un tono), cuartos de tono, tonos enteros, segundas, terceras, cuartas y quintas. Por completitud en la exposición, repasaremos brevemente algunos conceptos básicos de la aritmética modular. Sea n un entero al que llamaremos módulo. Dados dos enteros x e y, se dice que x es congruente con y módulo n si x-y es divisible por n. La relación de congruencia es una relación de equivalencia, esto es, es reflexiva, simétrica y transitiva (es muy fácil de probar). Como tal relación de equivalencia tiene un conjunto cociente. Fijado un módulo n y dado un entero x, su clase de equivalencia está formada por el conjunto: Las clases de equivalencia identifican aquellos elementos separados por un múltiplo entero del módulo y sirven para trabajar con operaciones cíclicas. El conjunto de clases de equivalencia módulo n se designa por . Fijado un módulo n y un entero a, una criba elemental es una aplicación afín discreta en , dada por: Por ejemplo, si n=12, el caso del temperamento igual, entonces 20 = , donde los números entre llaves han de interpretarse como clases de equivalencia. Si escogemos un número que es primo relativo con 12, por conocidas propiedades de la aritmética modular, obtenemos el conjunto entero . Tomemos, a=2 y x=5, por ejemplo: Una criba compuesta es un conjunto de clases que se obtiene tomando uniones e intersecciones finitas y complementarios de cribas elementales. Si seguimos en el universo de los doce semitonos iguales y tomamos las siguientes cribas elementales: entonces podemos generar cribas compuestas como sigue: La escala cromática, la que comprende todos los semitonos de la octava, se expresa como la criba elemental 10. La escala de tonos enteros se escribe como 20. ¿Cómo se escribiría la escala mayor? Esta escala no se puede escribir como una criba elemental, pues sus notas no están dispuestas regularmente en la octava. La escala mayor se expresa como la siguiente criba compuesta: Comprobemos que es así. Por un lado tenemos: Haciendo la unión de las intersecciones resultantes sale la escala mayor . Anteriormente, afirmamos que la escala menor es un modo de la escala mayor. Basta enunciar la escala mayor a partir de la nota la para obtener la escala menor. La correspondiente criba compuesta para esa escala es: Dejamos al lector los cálculos, que son directos y fáciles. ¿Hay alguna relación entre la criba de una escala mayor y cualquiera de sus modos? Sí, y no es muy difícil darse cuenta de que es un juego de índices y módulos. Si queremos generar la criba del modo de una escala mayor a k semitonos de distancia, ésta es: Los índices de las cribas elementales generadas por las terceras menores aumentan módulo 3, mientras que las cribas de las cuartas lo hacen módulo 4. Si consideramos una subdivisión de la octava en cuartos de tono, entonces la criba asociada con la escala mayor es: donde k=0,1,..., 23 se toman módulo 3 u 8, según el caso. Las cribas de Xenakis pueden describir de manera relativamente concisa escalas de distintos temperamentos iguales, como la división de Aristóxenes e incluso escalas mixtas, como la bizantina, que mezcla tetracordos cromáticos y diatónicos (véase [Xen01], páginas 197 y siguientes). 4. Conclusiones Esperamos que con estos pequeños ejemplos haber ilustrado las ideas teóricas de Xenakis. La idea de las cribas resultó atractiva a varios teóricos y analistas de la música, los cuales incluso la llevaron incluso más lejos. En particular, ha encontrado fervientes partidarios en el análisis transformacional de David Lewin. Thomas Noll y sus coautores [NAA06] aplican la teoría de cribas al análisis del estudio para piano opus 63, número 5, de Scriabin. El análisis es exitoso pues ese estudio de Scriabin usa escalas de tonos enteros y octotónicos, que se describen con facilidad con cribas. Varios autores importantes han dedicado artículos a la teoría de cribas, bien desde un punto de vista filosófico o desde un punto de vista puramente analítico. Jones [Jon01] sistematiza las cribas y formaliza ciertos aspectos algorítmicos de la formulación inicial de Xenakis. Exarchos [Exa07] aborda la generalización de las cribas a otros paramétros musicales. Harley, en su libro Xenakis: His Life in Music, dedica un capítulo a las cribas y sus implicaciones musicales en la obra de Xenakis. Como no podía ser de otro modo, Xenakis empleó las cribas en sus composiciones musicales. Una de las primeras obras en que las probó fue Nomos Alpha, para violonchelo solo. Aparte de las cribas usa otras ideas matemáticas, como grupos de simetrías y lógica proposicional. Para un análisis exhaustivo y clarificador, véase el excelente artículo de Jan Vriend [Vri81]. En el vídeo de más abajo se puede oír esta pieza por el excelente percusionista Steve Schick. 5. Para saber más Se recomienda al lector interesado en la teoría de escalas el libro de Sloniminsky [Slo75]. Este autor estudia la construcción de escalas a partir de la subdivisión des una octava a once octavas; también hace un examen exhaustivo de otros criterios de construcción de escalas. También recomendamos el libro de Yamaguchi [Yam06]. Para profundizar en el apasionante tema de las afinaciones y temperamentos, véase el libro de Javier Goldaraz [Gol92] y las referencias en él contenidas. La escala mayor tiene una interesante estructura. Se escribe como , y se observa que tiene una primera parte que va por tonos enteros, del do al mi, después hay un semitono, y de nuevo progresa por tonos. Pressing [Pre83] interpretó esta secuencia en el dominio del ritmo y halló que corresponde a un ritmo de clave, escrito en notación de caja como [x . x . x x . x . x . x], llamado el ritmo estándar por los musicológos, tan frecuente e importante es. Pressing lo ve como el análogo rítmico a nuestra escala mayor. Referencias [DB84] Diana Deutsch and Richard Boulanger. Octave equivalence and the immediate recall of pitch sequences. Music Perception, 2(1):41-53, 1984. [Deu98] Diana Deutsch. The Psychology of Music. Academic Press, second edition edition, 1998. [Exa07] Dimitri Exarchos. Injecting periodicities: Sieves as timbres. In Proceedings SMC'07, 4th Sound and Music Computing Conference, 2007. [Gol92] Javier Goldaraz. Afinacion y temperamento en la musica occidental. Alianza, 1992. [Har01] Jonathan Harnum. Basic Music Theory: How to Read, Write, and Understand Written Music. Questions Ink. Publishing, 2001. [Har07] Glyn Harmann. Prime-Detecting Sieves. (London Mathematical Society Monographs). Princeton University Press, 2007. [Jon01] Eva Jones. Residue-class sets in the music of iannis xenakis: an analitical algorithm and a general intervalic expression. Perspectives of New Music, 39(2):229-261, 2001. [Mol09] Richard Mollin. Advanced Number Theory with Applications. Chapman and Hall/CRC, 2009. [NAA06] Thomas Noll, Moreno Andreatta, and Carlos Agon. Computer-aided transformational analysis with tone sieves. In SMC 06, 2006. [Pre83] Jeff Pressing. Cognitive isomorphisms between pitch and rhythm in world musics: West Africa, the Balkans and Western tonality. Studies in Music, 17:38-61, 1983. [Slo75] Nicolas Slonimsky. Thesaurus Of Scales And Melodic Patterns. Music Sales America, 1975. [Vri81] Jan Vriend. Nomos Alpha for violoncello solo (xenakis 1966) analysis and comments. Journal of New Music Research, 10:15-82, 1981. [Xen01] Iannis Xenakis. Formalized Music: Thought and Mathematics in Composition. Number 6 in Harmonologia. Pendragon Press, Hillsdale, NY, 2001. [Yam06] Masaya Yamaguchi. The Complete Thesaurus of Musical Scales. Masaya Music, 2006.
Jueves, 09 de Diciembre de 2010 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Música y matemáticas
Autor:Francisco Gómez Martín (Universidad Politécnica de Madrid)
Estrategias musicales 1. El conflicto En esencia, la música es conflicto. El discurso musical progresa a través de la dialéctica entre sus partes. En cualquier pieza de música se observan episodios de tensión combinados con otros de equilibrio. Esa dialéctica generadora del conflicto aparece en varios niveles musicales: en la melodía, en la armonía, en el ritmo, en la conducción de las voces, en la instrumentación y, por supuesto, en la forma. En distintas épocas los estilos musicales predominantes han marcado preferencias sobre la forma de usar el conflicto como motor de la música. Sabemos, por ejemplo, que los conceptos de disonancia y consonancia han ido ensanchándose a lo largo de la historia de la música. En el Barroco un acorde de séptima de dominante, considerado disonante, tenía que resolverse; eso no es tan evidente en la música de principios del siglo XX, donde se aceptan esos acordes con total naturalidad, y aún menos en el jazz. Analicemos la presencia del conflicto con un breve ejemplo tomado de la Pequeña serenata nocturna KV 525, de Mozart. El primer movimiento de esta serenata tiene forma sonata con dos temas que contrastan entre sí. El pasaje que examinamos en la figura 1 en una reducción para piano es el paso del primer tema, en sol mayor, al segundo tema, en re mayor. Figura 1: Pasaje de la Pequeña serenata nocturna KV 525, de Mozart Para dar interés musical a ese paso entre los dos temas, Mozart introduce varios elementos de tensión: Dinámica (volumen). Obsérvensen los compases 1 y 2, en que hay un sforzando (cambio súbito de volumen), un sf seguido de un piano (p). Al final de compás 3 hay una escala ascendente que tocan los violines en vibrato; esta escala comienza un crescendo (aumento progresivo de volumen) que culmina en el re final del compás 5 tocado en forte (fuerte). Armonía. En los tres primeros compases hay un pedal de tónica. Un pedal es una nota o armonía que se mantiene fija mientras se producen otros cambios armónicos. En este caso es la nota sol sobre la que se alternan los acordes de sol mayor y re mayor. En los compases 3 y 4 aparece la cadencia IV-VII6-I para afirma la tonalidad de sol, con el acorde de séptima de dominante incompleto. En el compás 4 se produce la secuencia de acordes V-I en sol, que, sin embargo, es reinterpretada como la secuencia I-V en la nueva tonalidad de re mayor. Esta técnica de cambio de tonalidad (llamada modulación en el lenguaje musical) se llama del acorde pivote y consiste en usar acordes comunes a dos tonalidades para modular. Al entrar en la nueva tonalidad Mozart usa de nuevo la cadencia IV-VII6-I (compases 4 y 5) y un pedal de tónica V7/I (compases 5 y 6). En los compases 8 y 9 se oye la secuencia II56-V56 del V-V, que no es sino una afirmación del quinto grado de re (el la) por medio de dominantes secundarias. La secuencia desemboca en una cadencia rota con un pedal de dominante. En los compases 1 y 2 el ritmo es relativamente sencillo, con las notas sobre las partes fuertes de la métrica. En los compases 5 y 6 el ritmo se agita más al aparecer combinaciones de negras y corcheas ambas con puntillo. Finalmente, en los compases 7 y 8 las voces superiores hacen una síncopa (contradicción momentánea de la métrica establecida), que es además un pedal de la nueva tónica. En el compás 8 Mozart añade sutilmente un mi, que forma un intervalo disonante de segunda mayor con el re del pedal, y que sirve de apoyo a la progresión II56-V56 del V. En el compás 9 la síncopa se resuelve así como la disonancia y la melodía vuelve a una figuración de corcheas sobre las partes fuertes. Con este pequeño ejemplo se ve cómo opera el conflicto en varios niveles musicales. Las ideas musicales del compositor se plasman en la partitura, de la cual director e instrumentistas extraen la información necesaria para mostrar la música y sus conflictos internos. Xenakis reflexionó sobre el conflicto interno en la música, sobre todo a finales de los 50 y a principios de los 60. También reparó en que durante la ejecución de la obra musical emerge otro tipo de conflicto: el de la propia ejecución. En efecto, existe también una dialéctica entre partitura e intérprete. En ambos tipos de conflicto -indagaba Xenakis- no hay margen para la improvisación. Por un lado, el compositor ha fijado, hasta donde le permite la notación musical, sus ideas musicales, reveladas a través de la dialéctica de los elementos musicales; y éstos, por otro lado, determinan el conflicto partitura versus interpretación. En todo caso, es siempre un conflicto interno. Xenakis llamó a la música caracterizada por estos conflictos internos música autónoma. Incluso en la música estocástica, aunque goce de más margen de maniobra, las tensiones siguen confinadas a la partitura. Xenakis quería superar la música autónoma y experimentar con música que no solo poseyera ese carácter interno. Introduce, pues, el concepto de conflicto externo [Xen01], página 111): "Sería interesante y probablemente fructífero imaginar otra clase de discurso musical, el cual introdujese el concepto de conflicto exterior entre, por ejemplo, dos orquestas o instrumentistas contrarios". Su formación matemática y su creatividad musical le señalaron el camino una vez más. Imaginó la superación de la premisa del conflicto interno vía la teoría de juegos. En teoría de juegos tenemos dos jugadores que juegan por turnos y que siguen ciertas estrategias para ganar el juego. Xenakis pensó en dos orquestas compitiendo entre sí en un juego finito de suma cero. Cada orquesta dispondría de ciertas tácticas sonoras y los directores de las orquestas jugarían en función de lo que escuchan. En la siguiente sección explicamos algunos conceptos sencillos de teoría de juegos que nos ayudarán a entender la música de Xenakis que analizamos en el artículo de hoy. 2. Teoría de juegos La Teoría de Juegos es una disciplina matemática de pleno derecho (clasificación AMS: 90D). Su objetivo es el estudio de la estrategia para ganar en juegos modelizados matemáticamente. Esta definición, si bien general, se adapta con versatilidad a varios y dispares campos de aplicación. Con particular éxito, la teoría de juegos se ha usado en Economía para estudiar desde la competitividad en el mercado hasta la distribución de la riqueza. Podemos encontrar aplicaciones de la teoría de juegos en la Biología (problemas de equilibrio ecológico), en el diseño de acciones militares, en Sociología o en Ciencias Políticas (sistemas de votación), en Filosofía (para estudiar el concepto de convención) y, por supuesto, en Informática. Aquí nos contentaremos con introducir unas cuantas definiciones básicas para entender las ideas musicales de Xenakis. Para profundizar más en este fascinante tema se remite al lector a [Pet08] y a sus referencias bibliográficas. Empezaremos con un ejemplo. Dos equipos de exploradores, llamémosles A y B, tienen que someterse a una prueba. El equipo A tiene que ir desde el campamento este al campamento oeste y para ello tienen dos rutas disponibles, por el norte que se tarda 2 días, y por el sur que se tarda 3 días. El equipo A sale primero y unas horas más tarde, el equipo B, cuya misión es rastrear y dar alcance al equipo A. El equipo B desconoce qué ruta tomará el equipo A. Si el equipo B toma la ruta equivocada, puede regresar al campamento este y desde allí tomar la otra ruta. Ese error, no obstante, le cuesta al equipo B un día de retraso en la persecución del equipo A. La prueba se puede modelizar como un juego de dos personas, los equipos A y B, que compiten entre sí. La siguiente matriz modeliza matemáticamente el juego (figura 2): Figura 2: Matriz de un juego. La matriz se interpreta como sigue: Las elecciones de la ruta del equipo B se leen por filas. Las elecciones de la ruta del equipo A se leen por columnas. Las elecciones que hace cada equipo son independientes entre sí y se hacen simultáneamente. Los números de la matriz se leen como el pago que el equipo A hace al equipo B. Esta es una convención habitual en teoría de juegos. ¿Cuál es la estrategia ganadora para este juego? Si el equipo A elige la ruta norte, tendrá 1 o 2 días de persecución; en cambio, yendo por el sur dicho número de días sube a 2 o 3. En cuanto al equipo B, si elige la ruta por el norte siempre dispondrá de 2 días de persecución independientemente de la elección del equipo A. Por tanto, ambos equipos eligen la ruta norte. El lector quizás se haya dado cuenta de que la combinación norte-norte es máxima en su columna (2 1) y mínima en la fila (2 2). Una posición en la matriz para la que ocurre esto se llama punto de silla (equilibrio de Nash). También se observa que en el punto de silla el equipo B maximiza el pago mínimo recibido y el equipo A minimiza el pago máximo entregado. Este tipo de juegos se llama juego de suma cero porque la cantidad que recibe un jugador es igual a la que pierde el otro jugador para cualquier estrategia. 3. La Teoría de Juegos en la música de Xenakis Las obras más emblemáticas en las que Xenakis usó la teoría de juegos son Duel(1959) y Stratégie (1962). Analizaremos esta última para ilustrar la materialización de las ideas de Xenakis. Stratégie (1962) es una obra para dos orquestas, cada una con su propio director. Las orquestas se colocan una enfrenta de la otra, con los directores dándose la espalda. Los directores disponen de seis construcciones sonoras, como las llama Xenakis, de naturaleza estocástica (véase el artículo anterior de esta serie), numeradas del I al VI. Estas construcciones estocásticas se calcularon con la ayuda de un ordenador IBM 7090. Las construcciones sonoras son las partes constitutivas de las tácticas del juego, que son las siguientes: I.- Instrumentos de viento (madera y metal).II.- Instrumentos de percusión.III.- Toques con la mano en la caja de resonancia de los instrumentos de cuerda.IV.- Efectos puntillistas con los instrumentos de cuerda.V.- Glissandi con los instrumentos de cuerda.VI.- Armonías continuas tocadas por los instrumentos de cuerda A cada director se le permite ejecutar dos o tres tácticas simultáneamente, pero Xenakis determina la compatibilidad entre ellas en la siguiente tabla: En total, hay 19 tácticas: 6 tácticas formadas por una única construcción sonora (I a VI), 9 formadas por dos construcciones (VII a XV) y 4 formadas por tres construcciones (XVI a XIX). Por tanto, en cada turno los directores pueden tocar una de las 192=361 posibles combinaciones de tácticas. La pieza Stratégie se concibe como la ejecución de un juego finito de suma cero para dos personas. Las reglas son las siguientes: Elección de las tácticas. Aunque Xenakis ofrece varios sistemas para elegir las tácticas (véase la página 23 de [Xen01]), aquí describiremos solo uno de ellos, el sistema de elección arbitraria. Consiste en que cada director elige su táctica en función de su propio gusto musical y de la táctica que ha elegido el otro director. Matriz del juego. Hay una matriz que contiene los pagos para cada posible táctica. Esta matriz está delante de los directores durante la ejecución de la pieza. En la figura 3 tenemos dicha matriz (la matriz está tomada del libro de Xenakis [Xen01], página 128). Figura 3: Matriz del juego de la obra Stratégie. Los símbolos que aparecen a los lados de la matriz son iconos para ayudar al director a reconocer las cualidades sonoras de cada táctica. Xenakis introdujo dos matrices auxiliares para simplificar la lectura de la matriz principal durante la ejecución de la pieza. Duración de los turnos. Los turnos tendrán una duración mínima de 10 segundos. No habrá duración máxima. Duración del juego. Los directores acordarán jugar un número fijo de turnos. Obtención de los puntos. De nuevo, Xenakis ofrece varias posibilidades. Una de ellas es tener un árbitro que cuente los puntos obtenidos en cada turno. Lectura de las tácticas. Las orquestas tocan las tácticas de manera cíclica hasta que reciban la señal de parar por parte del director. El director puede empezar una táctica en ciertos puntos que se encuentran marcados en la partitura con letras. El director indica el número de táctica y la letra con unas tarjetas que muestra a la orquesta. Resultado. Al cabo de los turnos establecidos se termina la pieza y se hace el recuento de los puntos de cada director. Gana quien más puntos haya obtenido. En la figura 4 vemos un gráfico de Xenakis durante la concepción de Xenakis. Figura 4: Disposición de la orquesta en Stratégie ([Xen01]). Para terminar gozosamente esta sección, dejamos aquí dos vídeos con la música de Stratégie: Parte 1. Parte 2. 4. Conclusiones Xenakis transcendió el concepto de conflicto interno forzando a que el conflicto alcanzara al director de orquesta. Tomó dos orquestas y las puso a competir musicalmente sobre la base de un juego finito de suma cero para dos personas. Así, Xenakis expande los fundamentos matemáticos de la música en todas sus dimensiones: alturas y escalas, ritmo, timbre, forma y en esta ocasión también la naturaleza de la propia dialéctica musical. Al contrario de la mayoría de los músicos, Xenakis estaba al tanto de los nuevos avances en ciencia y tecnología. Este conocimiento alimentaba su imaginación y sus teorías musicales. 5. Para saber más El capítulo 2 del libro de Curtis Roads [Roa04] es un análisis del concepto de microsonido. Examina la obra de varios compositores que han usado este concepto, entre ellos, Xenakis. Ton de Leeuw analiza en su libro Music of the Twentieth Century: a Study of its Elements and Structure [dL06] la música del siglo XX desde un punto de vista estructural e incluye a Xenakis en dicho análisis. El libro de Dutta [Dut99], profesor del MIT, es un texto clásico que explica la teoría de juegos para estudiantes de ciencias económicas. Para una referencia de teoría de juegos desde un punto de vista algorítmico pero todavía abstracto, véase [NRÉTV10]. Para ver una cronología de la teoría de juegos, que se remonta a los babilonios y que en nuestros días cuenta con premios Nobel, véase la página web de Paul Walker [Wal10]. La página Les amis de Xenakis [Xen10] contiene información completa sobre su vida, su obra, así como la posibilidad de escuchar fragmentos de su obra. Bibliografía [dL06] Ton de Leeuw. Music of the Twentieth Century. Amsterdam University Press, 2006. [Dut99] Prajit K. Dutta. Strategies and games: theory and practice. The MIT Press, 1999. [NRÉTV10] Noam Nisan, Tim Roughgarden, Éva Tardos, and Vijay Vaziraini. Algorithmic game theory. http://www.cambridge.org/journals/nisan/downloads/Nisan_Non-printable.pdf Accedido en octubre de 2010. [Pet08] Hans Peters. Game Theory. Springer, 2008. [Roa04] Curtis Roads. Microsound. The MIT Press, 2004. [Wal10] Paul Walker. A chronology of game theory. http://www.econ.canterbury.ac.nz/personal_pages/paul_walker/gt/hist.htm Accedido en octubre de 2010. [Xen01] Iannis Xenakis. Formalized Music: Thought and Mathematics in Composition. Number 6 in Harmonologia. Pendragon Press, Hillsdale, NY, 2001. [Xen10] Xenakis.org. Les amis de Xenakis. http://www.iannis-xenakis.org/ Accedido en 2010.
Miércoles, 03 de Noviembre de 2010 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Música y matemáticas
Autor:Francisco Gómez Martín (Universidad Politécnica de Madrid)
1. Introducción Recién acabada la carrera de Matemáticas y con ocho años de estudio de piano tuve la gran suerte de conocer a Andrew Melvin, a la sazón miembro del grupo de música contemporánea Secuencia. Andrew Melvin fue mi profesor de piano y composición durante un tiempo. Al poco de conocernos -yo creo que cuando estuvo seguro de mi sensibilidad musical- me mostró la música de Iannis Xenakis. Su música me fascinó desde el primer momento, me cayó como un chorro de luz corpórea y sin darme tiempo a reaccionar me llevo a hermosos mundos de emociones. Muchos días a última hora de la tarde, aún sin tener clase con él, iba a buscarlo con unos bocadillos, nuestra humilde cena, y nos quedábamos escuchando a Xenakis, sin mediar palabra, absortos en nuestro misticismo musical, solo sonriéndonos mutuamente al terminar alguna pieza. Escuchábamos con fruición sus primeras obras (Metastasis, Pithoprakta, Achorripsis), la música estocástica (la serie de los ST), las obras para solista (Mika, Evryali), las obras con percusión (Pleiades, Aïs, los dos Idmen), todo lo que caía en nuestras manos. En aquel tiempo yo no era consciente de la importancia conceptual de Xenakis como habilitador de la formalización matemática en la composición musical. Estaba sencillamente deslumbrado por su estética, tan original y revolucionaria. La música de Xenakis, obviamente, superaba el tonalismo, pero también la música de la segunda escuela de Viena (el atonalismo y el dodecafonismo) y también constituía una reacción reflexiva y genuina contra el indeterminismo de Cage. Su música, al contrario que otras músicas modernas, siempre me emocionaba. Años más tarde leí Formalized Music [Xen01] (figura 1) y adquirí consciencia de la importancia teórica de la obra de Xenakis. La gran cantidad de libros, artículos y conferencias que nos dejó revelan su preocupación por aclarar su pensamiento musical. Figura 1: Portada del libro Formalized Music: Thought and Mathematics in Music. 2. Breve biografía de Xenakis Xenakis nació en 1922 en Rumania, aunque su familia era griega. Su madre era pianista y es la que le introduce en la música desde temprana edad. La madre de Xenakis muere cuando él tiene cinco años de edad, hecho que le traumatiza -"su muerte me dejó profundamente asustado", diría años más tarde. A la edad de 10 años Xenakis vuelve a Grecia y su padre lo envía a un internado. Allí estudia filosofía, literatura europea, matemáticas, ciencias y música. Xenakis canta en un coro de música polifónica del Renacimiento y de música litúrgica bizantina. Por esa época empieza a estudiar piano. Mientras, estalla la Segunda Guerra Mundial y las tropas italianas, y más tarde las alemanas, invaden Grecia. Esto fuerza a Xenakis a interrumpir sus estudios de ingeniería que hace poco ha empezado. Se une a la resistencia de izquierdas, unión que le cuesta la cárcel en varias ocasiones. En 1944 una bomba de mortero lo alcanza y lo pone al borde de la muerte. La explosión le provoca la pérdida de un ojo y le desfigura la parte izquierda del rostro. En 1946 acaba sus estudios de ingeniería. A causa de su activismo político tiene que pasar a la clandestinidad. Su padre arregla los papeles para que pueda emigrar y en 1947 llega a París. En aquella época Xenakis siente un profundo desencanto hacia la política y las instituciones sociales en general. Siente que su vida debe cambiar de rumbo. Poco después de su llegada a París entra a trabajar como ingeniero en el estudio del famoso arquitecto Le Corbusier. En esa etapa Xenakis participa en varios proyectos importantes tales como el convento de La Tourette o el Pabellón Philips de la Exposición Universal de Bruselas (1956). Le Corbusier y Xenakis comparten un gusto por los sistemas de proporciones. Xenakis no deja en ningún momento su carrera musical. Empieza a estudiar con Honegger y Milhaud, pero los ejercicios de armonía y contrapunto que le proponen no satisface sus necesidades musicales y pronto deja sus clases. A sugerencia de Le Corbusier se presenta ante Messian para que le dé clases de composición. Messian lo anima a que aplique sus ideas matemáticas a la composición musical. Xenakis adquiere un buen conocimiento de los modos de Messian, no solo en la altura, sino también en la duración, la dinámica y la articulación. El contacto con Messian le hace consciente del poder de la abstracción en la composición. En aquellos convulsos años 50 hay una gran polémica sobre la aceptación o rechazo del serialismo. Xenakis rechaza tanto el serialismo europeo como el indeterminismo americano y, como Messian, toma un camino diferente. A partir de finales de los años 50 Xenakis empieza a aplicar sistemáticamente las matemáticas en la composición a través de una formalización de los parámetros y procesos musicales. En su obra podemos encontrar obras cuyos principios compositivos se basan en la teoría de probabilidades, en las cadenas de Markov, en la teoría de juegos, en principios geométricos y en otras ramas de las matemáticas. En 1953 se casa con la periodista y escritora Françoise Xenakis, con quien tiene una hija, Mâkhi. Más tarde, Xenakis entra en contacto con los fundadores de la música concreta, Pierre Schaeffer y Pierre Henry. También colabora con Edgar Varèse. En 1963 publica la primera versión de Formalized Music (en francés), que luego amplía, reescribe en inglés y revisa en sucesivas ediciones (1971, 1990, con posteriores reediciones). Xenakis es también un pionero de la música electrónica. Funda un laboratorio, el CEMAMu, en que estudia la aplicación de la informática a la música. A principios de los años Xenakis es una figura reconocida de la música contemporánea del siglo XX. Tiene una carrera exitosa como compositor, pedagogo y teórico de la música que dura hasta 1997, año en que su salud le impide componer. Muere en 2001 tras una larga enfermedad. 3. Matematización de los parámetros musicales Las primeras frases del capítulo de su libro Formalized Music [Xen01] son en sí mismas una declaración de principios: "El arte, y por encima de todo la música, tienen una función fundamental, y ésta es la de catalizar la sublimación que tiene lugar a través de cualquier medio de expresión". Xenakis fue, ante todo, un verdadero artista. En el análisis de su obra se ve que la decisión artística, la voluntad de expresividad a ultranza, está por encima de las consideraciones matemáticas y sus posibles constricciones. Las matemáticas, con proporcionar una nueva manera de concebir la composición, siempre estuvieron para Xenakis al servicio del concepto artístico. Xenakis se sentía ajeno tanto a la estética del serialismo, con su música sobreestructurada, aperiódica, compleja, así como del postserialismo encarnado por Cage, con su música basada en la indeterminación y el azar. De los serialistas rechazaba Xenakis su extraordinaria complejidad y arguía: "La polifonía lineal se destruye a sí misma a causa de su propia complejidad; lo que se oye no es en realidad más que una masa de notas en diversos registros. Su enorme complejidad impide al oyente seguir el entramado de las líneas, y tiene como efecto macroscópico una dispersión irracional y fortuita de sonidos a lo largo de toda la extensión del espectro. Hay, por tanto, una contradicción entre el sistema polifónico lineal y el resultado percibido, que es de una superficie o masa. Esta contradicción inherente a la polifonía desaparece cuando la independencia del sonido es total". Xenakis llama polifonía lineal al contrapunto serialista. Aunque consta de varias voces, todas han de percibirse como un todo, como una única voz; y de ahí, el adjetivo lineal. Aquí aparece uno de los principios más importantes en la música de Xenakis, el cual le permite superar la susodicha contradicción: la independencia total del sonido. Respecto al indeterminismo, Xenakis objeta la falta de un principio causal en la concepción musical. Si las alturas de una pieza se eligen en base a las imperfecciones de un papel (como es el caso de Music for piano, de Cage, por ejemplo), Xenakis duda seriamente de que esa elección transmita algún tipo de significado estético-musical al oyente. Sobre este problema del indeterminismo el crítico Pousseur [Pou66] ya había señalado que "donde se usan las más abstractas construcciones, uno tiene la impresión de encontrarse ante la presencia de las consecuencias de sonidos tocados libre y aleatoriamente". La respuesta de Xenakis a los problemas estéticos de ambas tendencias proviene de las matemáticas. Por un lado, el sonido ha de tener total independencia y, por otro lado, la música ha de poseer un significado global, derivado éste de la acumulación de los efectos individuales de las partes. Xenakis identificó estas dos condiciones con el enunciado de la ley de los grandes números de Bernouilli (véase [RS00]). Para otras versiones más generales del teorema así como para su demostración, véase [RS00] y sus referencias. El significado musical resultante está aquí representado por la media μ común a todas las variables independientes. Es el significado global, macroscópico, que surge de las causas independientes. Xenakis emprendería un camino de exploración de esas ideas matemáticas en la composición musical. La primera obra en que puso en práctica estas ideas fue Metastasis (1953-54), donde formalizó ciertos parámetros musicales de modo matemático, sobre todo usando geometría y matemática discreta. Fue aún más lejos en otra obra posterior, Pithoprakta (1955-56), donde, siguiendo con su razonamiento, se inspiró en la mecánica estadística para su composición, en particular, en la teoría cinética de los gases de Boltzmann [MF71]. Esta teoría se basa también en la ley de los grandes números. Boltzmann explica el efecto macroscópico de la presión como el efecto de los choques de las moléculas, choques que son independientes, cada uno de ellos de efecto muy pequeño y que ocurren en número muy alto. Xenakis propone en Pithoprakta una representación sonora (una sonificación [vaaat10]) de ese fenómeno. 4. Formalización matemática de los parámetros musicales Xenakis, como hemos dicho, usó una amplia gama de técnicas matemáticas para formalizar la música. Las que exponemos en esta sección pertenecen a su llamada música estocástica, que debe su nombre al hecho de que la formalización descansa en la teoría de probabilidades. Para su música estocástica Xenakis formalizó los siguientes parámetros musicales: la duración de las notas, la densidad de la nube de alturas, la velocidad del glissando, las dinámicas y la instrumentación. Duración de las notas. Xenakis usó la distribución exponencial para determinar la longitud de las notas. La función de densidad es: f(x) = δ · e-δx (1) donde δ es la densidad (en lo que sigue usaremos la notación del propio Xenakis). Como se sabe la esperanza o media de esta distribución es E(X) = 1/δ,de modo que la densidad es la inversa de la duración media de la nota. Una densidad alta produce notas cortas y en cambio una densidad baja, notas largas. En la figura 2 se muestra la gráfica de la función de densidad con los parámetros δ = 1y δ = 2. Figura 2: Función de densidad que rige la duración de las notas. La probabilidad P de que la duración de una nota esté entre dos valores l1, l2 está dado por: Densidad de la nube de notas. Este parámetro está gobernado por otros dos a su vez, la densidad y la altura. La densidad se refiere propiamente al número de notas que suenan en un determinado intervalo de tiempo. La densidad de la nube sigue una distribución de Poisson. Para la composición se establecerá una densidad media de notas μ0 > 0. La función de masa queda como sigue: (2) La distribución de Poisson es la versión discreta de la distribución exponencial como se puede apreciar en la figura 3 (aparecen dos curvas con valores k=2 y k=5). Figura 3: Función de masa que rige la densidad de la nube de notas. En cuanto a las alturas de la nube, se empieza por una altura generada aleatoriamente también y a partir de ella se generan sucesivamente los intervalos aleatorios con la siguiente función de densidad: (3) donde a es el máximo intervalo especificado por el compositor. Para decidir la dirección del intervalo se usa una variable discreta de dos valores (intervalo ascendente o descendente), cada uno con probabilidad 1/2. En la figura 4 tenemos la gráfica de Θ(γ) con los valores γ = 5 y γ = 10. Se observa que los intervalos tienden a ser pequeños, aunque no tanto como los generados por la distribución exponencial. El papel del parámetro a es limitar los intervalos poco habituales o que resulten imposibles de tocar en el instrumento. Figura 4: Función de densidad que rige la altura de las notas. Velocidad del glissando. El glissando es el paso de una nota a otra de manera continua. En la orquesta solo lo pueden ejecutar los instrumentos de cuerda y el trombón de vara. Ya que Xenakis quería recrear ciertos fenómenos físicos de carácter continuo, necesitaba formalizar este parámetro también. Para ello, utilizó la distribución normal de función de densidad: (4) donde b es un parámetro que Xenakis, inspirándose en la teoría cinética de gases, llamó la temperatura resultante (aggregate temperature); véase la figura 5 (las dos gráficas corresponden a los valores b=5 y b=10). Figura 5: Función de densidad que rige la velocidad del glissando. Las dinámicas. Xenakis divide el rango dinámico en cuatro zonas, representadas por ppp, p, f y ff, que corresponden respectivamente a muy suave, suave, fuerte y muy fuerte. Suele usar sucesiones de tamaño 3, de modo que hay 64 posibles (43=64). Sin embargo, descarta algunas por motivos musicales y el número total se reduce a 44. Las dinámicas se obtienen mediante una distribución uniforme discreta de probabilidad (cada sucesión 1/44). La instrumentación. En primer lugar, se separan los instrumentos que poseen un timbre similar. A continuación, según distribución lineal, se determina un porcentaje para cada clase de instrumentos. Este porcentaje marca la proporción de notas totales de la composición que el grupo instrumental tocará. 5. Pithokrapta En Pithokrapta Xenakis explora las relaciones entre la ley de los grandes números (el sentido global) y la teoría cinética de los gases de Boltzmann (la independencia total del sonido). Para esta obra Xenakis imagina un gas ideal a temperatura constante e identifica las moléculas y sus choques con una orquesta de cuerda. Veamos los compases 53 a 60, uno de los pasajes donde son más evidentes las intenciones del compositor. Para las velocidades de las moléculas Xenakis usa la distribución normal similar a la ecuación (4): donde a es aquí la temperatura del gas y v la velocidad de las moléculas. Para este pasaje la velocidad de cada molécula se traduce en un glissando tocado en pizzicato (pulsando la cuerda, sin el arco). La pendiente de cada glissando es proporcional a la velocidad de cada partícula. Estos sucesos sonoros, los glissandi, representan la distribución molecular del gas. Xenakis fija 58 intervalos distintos para las velocidades y usando la distribución normal genera 1.148 velocidades distintas de moléculas de un gas a temperatura constante. Como la orquesta no dispone de un número tan alto de voces, Xenakis redujo el número de voces independientes a 46. Cada una de estas voces toca una media de 25 notas en los 18,5 segundos que dura este pasaje. La manera de trabajar de Xenakis era muy meticulosa, como correspondía a su formación científica. Para esta obra, dibujó en papel milimetrado los glissandi. El eje de abscisas representa el tiempo. Cada marca son 26 MM del metrónomo Mälzel (0,433 segundos por marca). El eje de ordenadas representa la altura del sonido. El intervalo entre dos marcas consecutivas es de medio tono. Xenakis dividió el eje de ordenadas en 15 rangos de una tercer mayor (cuatro semitonos) cada uno. A cada tesitura (rango) se le asignó un cierto número de instrumentistas. En la figura 6 tenemos la gráfica que dibujó Xenakis para este pasaje. Figura 6: Grafo de Pithoprakta (imagen tomada de [Zog10]). En la realidad los choques de las moléculas del gas no son simultáneos. Xenakis refuerza la idea del caos imponiendo divisiones métricas con números de partes que son primos relativos entre sí. Así, por ejemplo, encontramos quintillos, tresillos, negras, pero también subdivisiones de 15 o de 20. La figura 7 muestra la escritura en notación musical convencional del mismo pasaje. Figura 7: Partitura final de Pithoprakta. En la figura 8 se puede apreciar con más detalle los glissandi así como las articulaciones métricas tan peculiares de esta obra. Figura 8: Detalle de Pithoprakta. Resumiendo, en este pasaje tenemos las siguientes características ([Xen01], página 15): Las duraciones de las notas no varían. Las alturas varían de acuerdo a sus distribuciones de probabilidad. La densidad de sonidos se mantiene constante en todo momento. La dinámica es constante e igual a ff (muy fuerte). El timbre es constante; solo hay instrumentos de cuerda. Las velocidades determinan una "temperatura" sujeta a fluctuaciones locales y que sigue una distribución normal. Por último, dejo aquí un vídeo con la música de Pithoprakta. 6. Conclusiones Tal y como había hecho Heisenberg con la mecánica cuántica, Xenakis introduce la probabilidad en el mundo de la composición musical. A pesar de la aparente excesiva formalización del proceso compositivo, Xenakis dota a su obra de expresividad. La influencia que ejerció en los compositores de las generaciones posteriores fue formidable, no solo por el gran salto conceptual que había dado con su música, sino también por su ejemplo incansable de creatividad. 7. Para saber más Edward Childs disecciona la obra Achorripsis en su artículo [Chi02], que también se basa en teoría de las probabilidades. Tako Oda tiene un artículo en que compara las teorías estéticas de Xenakis y Cage. Se llama Iannis Xenakis and John Cage:Two Sides of a Tossed Coin y se puede encontrar en [Oda10]. Para un estudio músico-matemático de las últimas obras de Xenakis, véase la tesis de Ronald Squibbs [Squ96]. Robert Strizich [Str10] en un interesante artículo analiza el papel de la textura en varios compositores de la posguerra, incluyendo Xenakis. La textura fue uno de los aspectos que más investigó y experimentó Xenakis. Sin duda, está considerado como un gran inventor de texturas. Recordemos la incorporación de la percusión africana a la orquesta sinfónica, por poner un ejemplo. La página Les amis de Xenakis [Xen10] contiene información completa sobre su vida, su obra, así como la posibilidad de escuchar fragmentos de su obra. Para profundizar más en la estética de las primeras obras de Xenakis, véase el artículo de Markos Zografos [Zog10]. Referencias [Chi02] Edward Childs. Achorripsis: a Sonification of Probability Distributions. In International Conference on Auditory Display, Kyoto, julio 2002. [MF71] A. Marcelo and E. Finn. Física III. Fundamentos cuánticos y estadísticos. Addison Wesley, 1971. [Oda10] Tako Oda. Iannis xenakis and john cage: Two sides of a tossed coin. http://people.mills.edu/toda/chance/frames.html, accedido en septiembre de 2010. [Pou66] Henry Pousseur. The question of order in the new music. Perspectives in New Music, 1:93-111, 1966. [RS00] V. K. Rohatgi and E. Saleh. An Introduction to Probability and Statistics. Wiley-Interscience, 2000. [Squ96] Ronald Squibbs. An Analytical Approach to the Music of Iannis Xenakis: Studies of Recent Works. Yale University. PhD thesis, Universidad de Yale, New Haven, Connecticut, 1996. [Str10] Robert Strizich. Texture in post-world war ii music. http://www.ex-tempore.org/strizich91/strizich.htm, accedido en septiembre de 2010. [vaaat10] Varios autores asociados a International Community for Auditory Display. Sonification report: Status of the field and research agenda. http://www.icad.org/websiteV2.0/References/nsf.html, accedido en septiembre de 2010. [Xen01] Iannis Xenakis. Formalized Music: Thought and Mathematics in Composition. Number 6 in Harmonologia. Pendragon Press, Hillsdale, NY, 2001. [Xen10] Xenakis.org. Les amis de xenakis. http://www.iannis-xenakis.org/, accedido en septiembre de 2010. [Zog10] Markos Zografos. Iannis xenakis: the aesthetics of his early works. http://www.furious.com/perfect/xenakis.html, accedido en septiembre de 2010.
Martes, 05 de Octubre de 2010 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Música y matemáticas
Autor:David Rapapport (Queen's University)
Es un gran placer para mí presentar un artículo de David Rapapport (fotografía de la izquierda), geométra interesado en la música y músico interesado en la geometría. Su artículo que presentamos en esta sección, Conjuntos de área máxima y la armonía, es una exploración deliciosa de la armonía a través de conjuntos de área máxima inscritos en un círculo. El autor caracteriza escalas fundamentales en la improvisación en la música del jazz. Francisco Gómez Martín BIOGRAFÍA: David Rapapport es profesor en la School of Computing y Vicedecano en la School of Graduate Studies en Queen's University, en Canadá. Obtuvo un grado en Matemáticas por la Universidad de Concordia y un tesis de maestría y de doctorado por la Universidad de McGill, ambas en Canadá. Su investigación se centra en geometría discreta y computacional con especial énfasis en algoritmos y optimización. También está interesado en las conexiones entre matemáticas y música. ARTÍCULO: 1. Introducción La Geometría y la Música están relacionadas entre sí de varias maneras. La notación musical usa la forma y el espacio para transmitir la información sobre la altura y la duración. Los guitarristas visualizan las estructuras armónicas, así escalas, arpegios y acordes, como formas geométricas en el traste. Los orígenes de nuestro sistema musical de siete notas extraídas de un conjunto de doce alturas se puede describir en términos de cuerdas vibrantes de varias longitudes. Dimitri Tymocko, en un reciente artículo suyo [17], ha usado la geometría para analizar la conducción de voces en música. La Combinatoria es otra rama de las Matemáticas que se utiliza en el análisis de la música. Inevitablemente, la visión combinatoria se apoya en una imagen, esto es, en una representación geométrica. Considérese un círculo con doce puntos equidistantes distribuidos en su circunferencia. Los doce puntos representan las doce alturas del universo cromático dado por el temperamento igual. De estos doce puntos elegimos un subconjunto de al menos cinco puntos, porque musicalmente se llama una escala a un subconjunto de cinco o más alturas. Algunos de estos conjuntos, o escalas, son elementos esenciales de la armonía occidental. En los ejemplos que se muestran en la figura 1 un subconjunto de puntos se conecta en orden para construir un polígono convexo. Consideraremos polígonos distintos salvo rotaciones. Esto equivale a considerar que los distintos modos musicales provenientes de una misma escala no son escalas distintas. Ya que hay 12 puntos equiespaciados sobre la circunferencia, es razonable llamar a estos diagramas diagramas de reloj. La representación de las notas de una escala por un polígono aparece en un artículo publicado en 1937 por E. Krenek [8], de modo que algunas veces estos diagramas se llaman diagramas de Krenek, como por ejemplo en el artículo de McCartin [10]. Sin embargo, en una recensión de Nolan [11], Heinrich Vincent ya usaba esta misma representación en un artículo suyo publicado en 1862 [18]. El uso de los diagramas de reloj es omnipresente en la teoría matemática de la música. Cuando se considera la escala diatónica usual, se observa que las notas están distribuidas lo más regularmente posible entre las doce notas cromáticas. La distancia entre dos notas puede medirse como el número de notas de la escala entre ellas, o bien como el número total de notas cromáticas entre ellas. De este modo, distinguimos entre la distancia de la escala y la distancia cromática de un par de notas. Clough and Douthett [1] definen un conjunto de regularidad máxima cuando la distancia cromática entre un par de notas difiere de su distancia de escala en una unidad como máximo. Los conjuntos de regularidad máxima (conjuntos RM de aquí en adelante) son únicos (salvo rotaciones) como se prueba en [1] y también en [4]. Los conjuntos RM incluyen algunas de las escalas más ampliamente usadas en la música occidental, a saber, la escala diatónica, la escala pentatónica anhemitónica común, la escala de tonos enteros de seis notas y la escala octotónica (véase la figura 1). Figura 1. Los subconjuntos en a) y b) representan dos modos de la escala diatónica, el jónico y el eólico, también conocidos como modo mayor y modo menor natural, respectivamente. Para nuestros propósitos estas dos escalas se consideran equivalentes. El diagrama de la parte c) representa la escala menor melódica ascendente y ésta es distinta de las de a) y b). Cuando los conjuntos RM se representan por un diagrama de reloj, entonces esos puntos son subconjuntos que maximizan de modo único la suma de las distancias entre puntos [2-4]. Fejes Tóth [14] describe un caso continuo similar al considerado aquí. En ese artículo se prueba que un conjunto finito de N puntos que maximizan la suma de las distancia entre puntos se encuentra en los vértices de un polígono regular convexo de N lados. Dicho de otro modo, los puntos están distribuidos tan regularmente como sea posible sobre la circunferencia del círculo. En su libro sobre armonía el músico Levine [9] describe cuatro escalas fundamentales que son útiles para la improvisación en jazz. Estas cuatro escalas son la escala mayor de siete notas, la escala menor melódica de siete notas, la escala simétrica de tonos enteros de seis notas y la escala octotónica. En la terminología jazzística el término "menor melódica" se refiere a la escala ascendente melódica menor y aquí seguiremos esa convención. Tres de estas escalas son de máxima regularidad, siendo la excepción la escala menor melódica, que no lo es. Así, dados los pares (12, 8), (12, 6) y (12, 7) podemos preguntarnos si hay una caracterización matemática que describa exactamente las cuatro escalas fundamentales de Levine. En estas notas llegamos a una caracterización llamada los conjuntos complementarios de área máxima. Este artículo está organizado como sigue. En la siguiente sección entablaremos una discusión matemática sobre una clase de subconjuntos de K elementos tomados entre N posibles. Esta caracterización es a la vez combinatoria y geométrica. Empezaremos por describir los llamados conjuntos de área máxima, de los cuales probaremos algunas propiedades suyas. Los conjuntos de área máxima son interesantes por derecho propio, pero no satisfacen las condiciones mencionadas anteriormente, ya que esta caracterización, como veremos, incluye subconjuntos de (12, 8) y (12, 7) que no son de las cuatro escalas fundamentales. En la sección 3 definiremos y analizaremos entonces los conjuntos complementarios de área máxima y mostraremos que esa caracterización sí satisface las condiciones impuestas antes. El artículo acaba con una sección de conclusiones. 2. Conjuntos de área máxima Un concepto erróneo bastante común es el de pensar que el prefijo di- en la palabra diatónico se refiere al número dos, queriendo significar que la característica es que hay dos tipos de intervalos en el conjunto diatónico habitual. Sin embargo, la verdad es que el prefijo dia- se refiere a la distancia desde la tónica [12]. No obstante, esta definición nos proporciona el trampolín ideal desde el cual lanzar una exploración de las escalas que satisfacen esta propiedad, esto es, colecciones de subconjuntos de siete alturas tomadas de entre las doce del universo cromático de modo que el espacio entre alturas consecutivas es o bien un tono o un semitono. Resultan tres escalas distintas. Usando diagramas de reloj podemos ver las tres escalas en la figura 2 más abajo. En (a) podemos reconocer la escala diatónica estándar; (b) representa la escala menor melódica; y en (c) tenemos la escala simétrica de tonos enteros más una nota, escala que también se llama escala mayor napolitana. No es difícil comprobar que los polígonos que representan cada escala tienen todos la misma área y que esa área se maximiza para cualquier elección de siete puntos sobre doce. Así pues, llamaremos a estas escalas escalas de área máxima, o más generalmente subconjuntos de área máxima (lo abreviaremos como conjuntos AM). Figura 2. Diagramas de reloj de las tres escalas AM. La estructura de los intervalos de esta escala es a) la escala diatónica; b) la escala menor melódica ascendente; c) la escala mayor napolitana. Generalizamos esta noción a cualquier colección de K alturas seleccionadas de entre un universo cromático de N alturas. Será más conveniente definir los subconjuntos en términos de particiones de números enteros. Una partición entera de un número natural N es una forma de escribir N como una suma no ordenada de numeros naturales. En [7] Keith señala la conexión entre las particiones de enteros y las escalas musicales. Definición. Un conjunto de K alturas tomadas de entre un universo cromático de N alturas numeradas de 1,...,N es un conjunto AM si satisface las siguientes dos condiciones: Hay una partición entera de N que usa exactamente K sumandos enteros positivos, esto es, . Los sumandos difieren como máximo en 1, esto es, , para todo i, j. La siguiente proposición proporciona fundamento matemático para construir y analizar los conjuntos AM. Proposición 1. Dados dos enteros N, K con K <N, existen dos únicos enteros u y m tales que N=mu+(K-m)(u+1). Obsérvese que para N, K, u, m, definidos así, tenemos una partición entera con , para i=1,...,m y , para i=m+1,...,K. Aquí se sobreentiende que i=m+1,...,K es el conjunto vacío en el caso en que m=K, esto es, cuando K divide a N. Demostración: Sean los siguientes números: Nótese que si K divide a N, entonces v=u; en otro caso, v=u+1. Para el caso en que v=u, tenemos que N=Ku. Considerando ahora el caso en que v=u+1, tenemos la igualdad (N-Ku)v+(Kv-N)u=N(v-u)=N. Por lo tanto, m=Kv-N=K(u+1)-N. Ya que u determina m, basta mostrar que u es el único valor que satisface las condiciones requeridas. Cuando K divide a N, la unicidad se sigue del algoritmo de la división [6]. Cuando K no divide a N, examinamos los casos en que se usa un número mayor o menor que el valor de u. Sea, pues, w un entero mayor que . Esto implica, sin embargo, que Kw >N, lo cual lleva a una contradicción y w no puede ser mayor que u. Un argumento simétrico similar al anterior muestra que tomar w < lleva a una contradicción. Por tanto, queda demostrado que u es único, y esto completa la demostración. QED. Recuérdese que en los conjuntos MR según fueron definidos por Clough y Douthett [2, 3] cuando la distancia cromática entre dos pares denotas difieren como máximo en una unidad de la distancia de escala. Esto lleva inmediatamente a la proposición siguiente. Proposición 2. Si un conjunto es MR, entonces también es un conjunto AM. Como se ilustró en el ejemplo de la figura 2, aunque para cualquier N, K, hay dos valores únicos de u y m, uno puede obtener más de una escala con intervalos u y u+1 sencillamente reordenando las posiciones de dichos intervalos. Dados los números (N, K, u, m), podemos enumerar las distintas escalas (salvo rotaciones) que son escalas AM. Este valor depende solo de K y m, y es el número de collares (necklaces) binarios de longitud K usando dos tipos de cuentas, m cuentas blancas y K-m cuentas negras. En general, un collar p-ario se define como la clase de equivalencia de cadenas p-arias bajo rotaciones; véase [13]. Los distintos collares se pueden enumerar en tiempo constante por collar usando un algoritmo de Sawada y Ruskey [13]. Volvemos ahora a la cuestión del área de los polígonos que representan a las escalas. Haciendo referencia a la figura 3, es claro que el área del heptágono se obtiene sumando las áreas de los triángulos. Suponiendo que el heptágono que representa estas escalas está circunscrito a un círculo de radio la unidad, una fórmula que da el área del polígono es: . Figura 3. Uno puede obtener el área de un heptágono sumando las áreas de los triángulos en la partición en triángulos que sugiere la figura. El area del triángulo a, b, c está dado por sen . El perímetro del polígono inscrito es también una función de los ángulos centrales. Por ejemplo, la longitud de la arista bc es . En general, el área de los polígonos se puede obtener sumando el área de los triángulos que forman la partición del polígono. Para nuestros propósitos es más conveniente tomar la partición del polígono con triángulos que comparten un vértice común en el centro del círculo que circunscribe y cuyos lados son los radios. De ahora en adelante nos referiremos a esta partición como la partición en triángulos del polígono. La suma de las áreas de cualquier representación poligonal (N, K, u, m) está dada por la fórmula: Nótese que el área es una función que depende solo de los valores de los ángulos de los triángulos del centro del círculo. Llamaremos a estos ángulos ángulos centrales. Afirmamos que todos esos heptágonos maximizan el área. Es fácil verlo en el ejemplo dado. Probaremos el resultado para el caso general en el siguiente lema. Además, probaremos que estos polígonos maximizan también el perímetro. El hecho de que el perímetro se maximice queda claro cuando uno se percata de que el perímetro es también una función de los ángulos centrales. La fórmula para el perímetro de una representación poligonal (N, K , u, m) está dada por la fórmula: Lema 1. Dada (N, K , u, m), la representación poligonal de estos conjuntos AM tiene área máxima y perímetro máximo. Prueba: Considérese un polígono X de K lados que no es una representación de un conjunto AM. Entonces, hay dos triángulos en la partición triangular de X con ángulos centrales y y tales que la diferencia . Supongamos que, por ejemplo, . Si ponemos , tenemos la fórmula (1): Ya que el orden de los triángulos no tiene efecto en el cálculo del área o del perímetro del polígono, podemos reordenarlos de manera que esos dos triángulos estén adyacentes. Podemos escribir la suma del área de esos dos triángulos como . Si tomamos la primera derivada del área con respecto a , esto es, , e igualamos a cero, vemos que el valor es el valor máximo. La derivada es positiva para todos los valores . Sean y . Por la ecuación (1), vemos que . Por tanto, la suma de la nueva área es mayor y X no puede tener área máxima. Para el perímetro usamos un argumento similar. La suma de las aristas del polígono está dada por la ecuación , y su primera derivada es . Vemos de nuevo que la suma se maximiza para , y su derivada es positiva . De nuevo, ponemos y . Por la ecuación 1, vemos que y X no puede tener perímetro máximo. QED. 3. Conjuntos complementarios de área máxima Las cuatro escalas que distingue Levine en su libro [9] en el capítulo Acordes/Escalas en su libro sobre armonía en el jazz son la escala de tonos enteros simétrica, la escala mayor, la escala menor melódica y la escala octotónica. Definimos una clase de escalas, las escalas complementarias de área máxima de manera que las escalas dadas por (12, 6), (12, 7) y (12,8) corresponden idénticamente a las escalas dadas por Levine. Definición: Un conjunto de K alturas tomadas de un universo cromático de N alturas numeradas de 1 a N es un conjunto complementario de área máxima (conjunto CAM) si cumple las siguientes propiedades: El conjunto es AM. Las N-K notas del conjunto complementario forman un conjunto AM también. Probamos en su momento que los conjuntos RM son también AM. Los conjuntos RM son también CAM porque el complemento de un conjunto RM es también un conjunto RM; véase [1]. Así pues, las escalas CAM constituyen una clase estrictamente mayor que la de las escalas RM. Hay una única escala, la escala simétrica de tono enteros (12, 6), que es un conjunto AM, como muestra la figura 4. Claramente esta escala es autocomplementaria y es, por tanto, un conjunto CAM. De los tres conjuntos AM dados por (12, 7), dos tienen complementarios que son conjuntos AM. Estas escalas (12, 5) AM se muestran en la figura 4. Figura 4. Los conjuntos de área máxima de cinco y seis notas. Hay diez conjuntos (12, 8) AM, como se describe en la página 31 de [7]; los reproducimos en la figura 5. Figura 5. Los diez conjuntos de área máxima con ocho notas. Hay solo uno de estos conjuntos cuyo complementario es también un conjunto AM. En la figura 6 mostramos este conjunto y su complementario de cuatro notas. Figura 6. La única escala complementaria de área máxima de ocho notas (una escala disminuida) con su complementario (el acorde de séptima disminuida). Así pues, hemos sido capaces de captura una propiedad matemática que caracteriza las cuatro escalas fundamentales de Levine. 4. Conclusiones Hemos probado que una partición entera particular de N en K partes conduce a los polígonos de área máxima cuando éstos se representan con un diagrama de reloj. Estos conjuntos llamados de área máxima son fáciles de calcular computacionalmente. Sin embargo, una clasificación que parece más interesante usa los conjuntos complementarios de área máxima. Hemos demostrado que los conjuntos complementarios de área máxima para (12, 6), (12, 7) y (12,8) contienen las cuatro escalas fundamentales definidas por Levine en su libro sobre improvisación en jazz. Estas escalas fundamentales no agotan en modo alguno el gran número de escalas que los músicos de jazz usan regularmente. En un capítulo aparte Levine discute las escalas pentatónicas y el papel que desempeñan en la improvisación jazzística. Con mucho la escala pentatónica más importante es la anhemitónica, que ya sabemos que es una escala CAM. Hay una colección más de escalas pentatónicas que son CAM, las cuales se muestran en la figura 4 b). Esta escala se puede llamar escala pentatónica dominante, ya que contiene un acorde de dominante; sin embargo, esta escala parece algo desconocida y Levine no la menciona en absoluto en su libro. Si consideramos el análogo rítmico de los diagramas de reloj, esto es, los puntos seleccionados representan ataques, entonces los conjuntos CAM de cinco elementos representan los patrones rítmicos de palmas que se usan en la soleá, la bulería y el fandango [5]. Bibliografía 1. J. Clough and J. Douthett: Maximally even sets. Journal of Music Theory, 35, (1991) 93–173. 2. J. Clough and G. Myerson: Musical scales and the generalized circle of fifths. American Mathematical Monthly 93:9 (1985) 695–701. 3. J. Clough and G. Myerson: Variety and multiplicity in diatonic systems. Journal of Music Theory 29 (1985) 249–270. 4. Erik D. Demaine, Francisco Gómez-Martin, Henk Meijer, David Rappaport, Perouz Taslakian, Godfried T. Toussaint, Terry Winograd, and David R. Wood: The distance geometry of music. submitted to Computational Geometry: Theory and Applications, (2006). 5. Miguel Díaz-Bañez, Giovanna Farigu, Francisco Gómez, David Rappaport, and Godfried T. Toussaint: El compás flamenco: a phylogenetic analysis. Proceedings of BRIDGES: Mathematical Connections in Art, Music and Science, Winfield, Kansas (2004) 61–70. 6. Ralph Grimaldi: Discrete and Combinatorial Mathematics: An Applied Introduction. Addison Wesley (1998). 7. Michael Keith: From Polychords to Polya: Adventures in Musical Combinatorics. Vinculum Press, Princeton (1991). 8. E. Krenek: Über Neue Musik. chapter Musik und mathematik. Verlag der Ringbuchhandlung, Vienna (1937) 71–89. 9. Mark Levine: The Jazz Theory Book. Sher Music Co. (1995). 10. Brian J. McCartin: Prelude to musical geometry. The College Mathematics Journal, 29:5 (1998) 354–370. 11. Catherine Nolan: Combinatorial space in nineteenth- and early twentieth-century music. Music Theory Spectrum, 25:2 (2003) 205–241. 12. D. Randel (editor): The Harvard Dictionary of Music. Harvard University Press (1986). 13. J. Sawada and F. Ruskey: An efficient algorithm for generating necklaces with fixed density SIAM Journal on Computing 29:2 (1999) 671–684. 14. L. Fejes T´oth: On the sum of distances determined by a pointset. Acta. Math. Acad. Sci. Hungar. 7:3 (1956) 97–101. 15. Godfried T. Toussaint: A mathematical analysis of African, Brazilian and Cuban clave rhythms. Proceedings of BRIDGES: Mathematical Connections in Art, Music and Science, Towson, Maryland (2002) 157–168. 16. Godfried T. Toussaint: Classification and phylogenetic analysis of African ternary rhythm timelines. Proceedings of BRIDGES: Mathematical Connections in Art, Music and Science, Granada, Spain (2003) 25–36. 17. Dmitri Tymoczko: The Geometry of Musical Chords. Science 313 (2006) 72–74. 18. Heinrich Vincent: Die Einheit in der Tonwelt. Verlag von Heinrich Matthes, Leipzig (1862).
Viernes, 10 de Septiembre de 2010 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Música y matemáticas
Autor:Francisco Gómez Martín (Universidad Politécnica de Madrid)
1. Introducción En este último artículo sobre el teorema del hexacordo veremos una demostración basada en la transformada de Fourier y conoceremos un poco de la historia y personalidad de David Lewin, uno de los primeros autores en usarla en el contexto musical. La demostración será un poco más complicada que la de Juan Iglesias [Igl81] o que la del teorema continuo del hexacordo [BBOG09], pero merece la pena por la conexión con ese hermoso y fecundo objeto matemático que es la transformada de Fourier. Pero empecemos por el hombre. David Lewin (1933-2003) fue un músico y matemático que impulsó el análisis formal de la música por medio de las matemáticas. Neoyorquino de nacimiento, empezó a tocar el piano desde muy niño, aunque su interés por las ciencias, en particular por las matemáticas, le llevó a estudiar matemáticas en la Universidad de Harvard. En 1954 terminaría la licenciatura en Matemáticas. Nunca había abandonado la música y después de terminar la carrera Lewin estudió composición con músicos de la talla de Roger Sessions, Edward Cone o el influyente Milton Babbitt. Tras esta etapa, orientó su carrera hacia la música y empezó a enseñar composición y teoría de la música en varias universidades: Harvard, Berkeley, la universidad estatal de Nueva York en Stony Brook, Yale. Llegó a ser el presidente de la Society for Music Theory norteamericana. Recibió a lo largo de su vida varios doctorados honoris causae. Aunque más conocido por sus teorías sobre el análisis musical, fue también un compositor prolífico y experimentador. Por ejemplo, fue el primer músico en componer una pieza musical totalmente generada por ordenador (véase [Coh01]). Ello ocurrió en los laboratorios Bell en 1961. La obra más influyente de Lewin es su libro Generalized Musical Intervals and Transformations [Lew87], publicada en 1987. En ella Lewin sienta las bases de lo que poco más tarde recibiría el nombre de teoría de transformaciones (transformational theory, en inglés). Lewin concibe la música como la transformación continua del material musical y su idea es modelizar matemáticamente tanto el material musical, el "conjunto S de objetos musicales" (capítulo 7), como las transformaciones musicales en sí, las cuales se ven como funciones matemáticas sobre S. Principalmente, Lewin se sirvió de la teoría de grupos para modelizar dichas funciones. Por ejemplo, la escala cromática de 12 semitonos la concibe como el grupo cíclico . Esta modelización recoge el hecho perceptual de que una misma nota colocada en distintas octavas en ciertos contextos se percibe como una única nota. Sus modelos se aplicaron a diversos parámetros musicales aparte de a la altura del sonido, incluyendo el ritmo, la métrica y el timbre así como a la música tonal y atonal. Aplicadas a la música tonal, las teorías de Lewin se han considerado como parte de un análisis neoschenkeriano [CG06] que ha prolongado las teorías clásicas del análisis musical; aplicadas a la música atonal, se han visto como un nuevo modo de análisis más flexible y versátil, capaz de explicar las nuevas relaciones musicales provenientes de la música contemporánea. El enfoque de Lewin es, sin duda, muy abstracto y frecuentemente se citan sus métodos de análisis en términos de idealismo abstracto. Para una lista completa de las publicaciones, véase la página de Wikipedia sobre David Lewin [Wik10]. En su artículo Re: Intervallic Relations between Two Collections of Notes [Lew59], de 1959, Lewin investiga cómo reconstruir conjuntos de notas a partir de ciertas propiedades. Lewin, demasiado avanzado para su tiempo, piensa que no será entendido demasiado bien y en el mismo artículo declara que: "The mathematical reasoning by which I arrived at this result is not communicable to a reader who does not have considerable mathematical training. For those who have such a training, I append a sketch of the proof." ["El razonamiento matemático por el cual llegué a este resultado no es comunicable a un lector que no posea un considerable instrucción matemática. Para aquellos que la tengan agrego un bosquejo de la prueba."] La prueba apenas está bosquejada, pero claramente menciona la transformada de Fourier y la convolución. En la sección siguiente seguiremos su rastro y completaremos la formalización de Lewin en términos de la transformada de Fourier. Para una exposición profunda del tema, recomendamos al lector el excelente artículo de Amiot [Ami07]. 2. La transformada de Fourier Empezaremos por unas sencillas definiciones a modo de recordatorio. Dado un conjunto cualquiera X, llamaremos 1X a su función característica: Dadas las aplicaciones que nos interesan aquí, las musicales, consideraremos la transformada de Fourier sobre el grupo cíclico . Dado un subconjunto de , la transformada (discreta) de A, designada por , es una función compleja definida por La transformada de Fourier se puede pensar como un operador, esto es, una aplicación que transforma unas funciones en otras. En ese caso, designamos solo por la transformada y escribimos . Como es bien sabido, la transformada es un operador lineal; véase [Kam08] para más información. En el mencionado artículo [Lew59], Lewin introduce la llamada función de intervalo , donde . Su definición es como sigue: donde |·| indica el cardinal de un conjunto. Como ya vimos en el artículo pasado, El teorema del hexacordo - II, el teorema del tono común nos dice que: donde . Esta última fórmula no es sino la convolución de las funciones 1A y 1B. Luego, podemos escribir: Una vez provistos de las definiciones necesarias, examinamos la primera propiedad que nos permitirá probar el teorema del hexacordo. PROPIEDAD 1 (P1): Si , entonces . Cuando , entonces . Demostración: Si , tenemos: El caso en que , cada término del sumatorio es 1 y el resultado se prueba inmediatamente. A continuación usamos la propiedad P1 para ver qué relación existe entre las transformadas de Fourier de y . PROPIEDAD 2 (P2): Sea con y . Entonces, se cumple la igualdad: Demostración: En el sumatorio podemos separar los términos que viene del conjunto de aquellos que vienen de . De esta igualdad se deduce que , como queríamos. Ahora examinamos la relación que existe entre las transformadas de Fourier de y . PROPIEDAD 3 (P3): Sea con y . Entonces, se cumple la igualdad: Demostración: De nuevo es un argumento sencillo sobre los términos del sumatorio. Se sigue, pues, que , cuando . Si combinamos esta ecuación con la propiedad P2, , tenemos el resultado buscado, . Para el caso en que , la igualdad es cierta solo cuando . La prueba se deja como divertimento para el lector. A continuación consideramos el módulo de , , que es una función que asocia a cada el número . Usaremos la notación del valor absoluto para indicar el módulo; no debe confundirse con el cardinal de un conjunto. Recordamos, por último, que la transformada de Fourier tiene inversa: 3. El teorema del hexacordo Diremos que dos conjuntos cumplen la relación de Lewin si para todo . La relación de Lewin se conserva bajo la aplicación de movimientos rígidos (giros y simetrías), pero el recíproco no es cierto; véase [Ami07] para una prueba de este hecho. El contenido interválico, definido formalmente, es una función Si calculamos la transformada de Fourier de CI(A), obtenemos: Teorema del hexacordo. Sea con n par y . Entonces . Demostración. He aquí la demostración de dos líneas. Línea 1: . Línea 2: implica que como consecuencia de la aplicación de la inversa de la transformada de Fourier. 4. Para saber más Aparte de sus teorías matemáticas para modelizar la música, Lewin se ocupó del problema del texto y la música. Escribió varios artículos sobre esta cuestión. Véase, por ejemplo, [Lew92], donde analiza los aspectos estructurales de la música que pueden servir como base de la interpretación dramática. En el artículo de Amiot [Ami07] se analizan extensa y profundamente la relación de la transformada de Fourier. Gran parte de ese trabajo está dedicado al fascinante tema de los conjuntos de máxima regularidad (a los que se dedicará una serie en esta sección en un futuro muy próximo). Bibliografía [Ami07] Emmanuel Amiot. David Lewin and maximally even sets. Journal of Mathematics and Music, 1(3):157-172, 2007. [BBOG09] B. Ballinger, F. Benbernou, N. Gomez, J. O'Rourke, and Toussaint G. The continuous hexachordal theorem. In E. Chew, A. Childs, and C-H. Chuan, editors, Mathematics and Computation in Music, páginas 63-77. Springer, Berlin, 2009. [CG06] Allen Cadwallader and David Gagne. Analysis of Tonal Music: A Schenkerian Approach. Oxford University Press, USA, 2006. [Coh01] Richard Cohn. Lewin, David. Macmillan Publishers, London, 2001. The New Grove Dictionary of Music and Musicians, second edition, edited by Stanley Sadie and John Tyrrell. [Igl81] Juan E. Iglesias. On Patterson's cyclotomic sets and how to count them. Zeitschrift für Kristallographie, 156:187-196, 1981. [Kam08] David W. Kammler. A First Course in Fourier Analysis. Cambridge University Press, 2008. [Lew59] David Lewin. Re: Intervallic relations betwen two collections of notes. Journal of Music Theory, 3(2):298-301, noviembre 1959. [Lew87] David Lewin. Generalized Musical Intervals and Transformations. Yale University Press, 1987. [Lew92] David Lewin. Musical Analysis as Stage Direction. Cambridge University Press, 1992. In Music and Text: Critical Inquiries, editor. S.P. Scher. [Wik10] Wikipedia. David Lewin. http://en.wikipedia.org/wiki/David_Lewin, 2010.
Viernes, 09 de Julio de 2010 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Música y matemáticas
Autor:Francisco Gómez Martín (Universidad Politécnica de Madrid)
1. La versión continua del teorema del hexacordo Seguimos (en presente) con el teorema del hexacordo, ahora en su versión continua. En el artículo anterior conocimos el interés de Schoenberg por los hexacordos, vimos cómo los saboreó, cómo los deglutió, cómo intuyó sus propiedades; pero, aunque quiso, no pudo dar con el resultado apetecido. Después aprendimos qué es el contenido interválico y qué movimientos lo dejan invariantes. Seguimos (en pasado) con el teorema del hexacordo, enunciándolo con precisión, y continuamos (¿También éste? ¡Qué oficio! Sí, claro, en pasado) la historia de su demostración. Una historia llena de intentos fallidos, desconocimientos mutuos, refinamientos sucesivos y, por fin, demostraciones epigramáticas, certeras como puñales, breves como haikús. Dimos la demostración de Iglesias, por elegante y corta. Consistía, si recordáis, en un juego de recuento entre puntos blancos y negros. Y ahí el mes pasado nos quedamos. El presente mes presentamos una generalización del teorema del hexacordo al caso continuo, demostración incluida. Es corta y profunda, pues une dos mundos, el discreto y el continuo. 1.1. Ritmos y pesos Para generalizar el teorema del hexacordo necesitamos un cambio de enfoque, que provoque choque y que apoque el enroque mental tendencial. Pasaremos de acordes y escalas a ritmos de modo inmisericorde. Pero ¿qué es un ritmo? Tomemos el círculo y pongamos n puntos equiespaciados en él, a los que llamaremos pulsos. En cada pulso elegimos si ponemos una nota o un silencio. Solo se pueden poner notas o silencios en los pulsos, pero no entre dos pulsos consecutivos. Un ritmo es una sucesión de notas y silencios puestos sobre un conjunto de n pulsos. En música los pulsos no suenan, no se tocan; la división del tiempo sencillamente está en la mente del intérprete, como referencia temporal. En la figura 1 tenemos el ritmo [x . . x . . x . . x . .] definido sobre 12 pulsos, donde la x representa un sonido y el punto un silencio. Figura 1: Un ritmo y su representación geométrica. Este ritmo, interpretado como un acorde, sería el acorde disminuido de do (do - mi bemol - fa sostenido - la), que es el acorde que divide la octava en cuatro partes iguales. Este ritmo consiste en la división de una unidad de tiempo, dada por la longitud del círculo, en cuatro partes iguales. Se ve la equivalencia entre el enfoque de acordes y el enfoque rítmico. Seguimos (en presente a partir de aquí): sea R un ritmo; asignamos a cada nota del ritmo un peso y a cada silencio un peso . Formamos el vector de pesos del ritmo R, . Llamaremos a la suma el peso W(R) del ritmo, cuyo valor no es otro que el número de notas de R. El complementario de un ritmo R tiene como pesos . Estamos lanzados: consideremos el histograma HR del ritmo R. Dicho histograma nos informa, educadamente, para cada distancia , del número de veces que ocurre sin más que mirar a la altura de sus cajitas. El histograma HR determina, pues, una función de la distancias; llamemos HR(d) a esa función de d. Enunciamos de nuevo el teorema del hexacordo acorde a la nueva terminología: Teorema 1 Sea R un ritmo sobre un conjunto de n pulsos, donde n es par. Si W(R) = n/2, entonces R y son homométricos, esto es, para todo d, . Antes de seguir daremos un teorema, conocido en teoría de la música como el teorema del tono común [Joh03], y que servirá de base para la generalización en ciernes. Por completitud, incluimos una prueba sencilla del teorema; para una prueba más compleja, basada en teoría de grupos, consúltese [JK03]. Teorema 2 [Teorema del tono común] , donde los índices se interpretan módulo n. Demostración. Si en las posiciones i e i+d hay notas, entonces y se cuenta, en efecto, la ocurrencia de la distancia d. Si en alguna de esas posiciones hay un silencio, el producto es 0. Por tanto, la suma cuenta 1 por cada aparición de la distancia d en el ritmo R. Queda por ver que cada par de puntos a distancia d solo contribuya una vez a la suma, excepto en el caso del diámetro que contribuye dos veces. Si el par (i, i+d) contribuye dos veces a la suma es porque la distancia de i a i+d es la misma que de i a i-d. Entonces, se tiene que: i+d = i-d mod n Al ser distancia geodésica, y, por tanto, 2d. Estamos en el caso del diámetro con toda seguridad. Como ejemplo, cojamos el ritmo sobre 16 pulsos dado por , esto es, hay notas en las posiciones 0, 3, 6, 10 y 12 y silencios en el resto. Su peso es . Para , la función da lugar al histograma de la figura de abajo. Figura 2: La función histograma HR(d). 1.2. La generalización al caso continuo La generalización se produce en dos sentidos. Primero, pasaremos del círculo de n pulsos a un círculo continuo. Se puede tomar, sin pérdida de generalidad, como el círculo unidad. Segundo, los pesos discretos son ahora funciones reales f(x), con . Aquí la variable x indica un punto del círculo medido desde las 12 del mediodía; f(x) indica su peso. El peso de un ritmo R se define como la integral . Las definiciones en el caso continuo son análogas al caso discreto. El complementario tiene peso y HR(d) es una función sobre el intervalo . Como definición de HR(d) tomamos la versión continua del teorema del tono común: Ilustremos con un ejemplo este salto del caso discreto al continuo. Consideremos el ritmo continuo R dado por la función . Su función histograma es donde . La gráfica de f(x) y su histograma se muestran en la figura 3. Figura 3: La función f(x) y la función histograma HR(d). 1.3. La demostración en el caso continuo Teorema 3 Si R es un ritmo integrable y , entonces para toda distancia , se tiene que . Demostración. Empecemos por fijar d. De la definición del histograma tenemos que: Aplicando la definición de ritmo complementario obtenemos: Multiplying out los términos queda: Efectuando el producto dentro de la integral da: La primera integral da 1. Dado que , la segunda integral también vale 1/2. La tercera integral también da 1/2; el área de f(x) y f(x+d) es la misma, ya que f(x) es una función periódica en [0,1]. Finalmente, llegamos a: Esto prueba que para todo d. 1.4. De vuelta al teorema discreto Afirmábamos antes que el teorema continuo del hexacordo recién probado es una generalización del teorema original, discreto, sin duda. Se deduce que este teorema es un caso particular de la versión continua. Así es. Para verlo basta tomar un ritmo discreto y transformarlo en una función integrable f(x) en [0, 1] como sigue: donde es la función característica del intervalo , esto es, la función que vale 1 si y 0 en caso contrario. Se puede probar que la función histograma asociada a f(x) es proporcional a la función histograma asociada al ritmo . En efecto, en la versión continua usamos el círculo unidad mientras que en la versión discreta tenemos n pulsos. Entonces, en la versión discreta la función histograma se transforma en la siguiente función en la versión continua: Esta igualdad prueba que el histograma discreto es proporcional al histograma continuo. De aquí se desprende que si el teorema del hexacordo es cierto en el caso continuo, también lo es en el caso discreto. 2. Para saber más Completamos brevemente en esta última sección algunos puntos que se quedaron en el tintero. Volvemos ahora a la cuestión de por qué se cuenta el diámetro dos veces en el contenido interválico. En primer lugar, por comodidad. Si no se cuenta el diámetro de esta manera, la fórmula que aparece en el teorema del tono común hay que reescribirla de una manera farragosa. Los resultados no cambian si se cuenta solo una vez el diámetro, pero su descripción es menos concisa. También se puede justificar esta convención estudiando el comportamiento de cuando . La fórmula que aparece en el teorema del tono común, , es, en realidad, una función de autocorrelación discreta. Varias demostraciones del teorema del hexacordo han surgido del campo de la teoría de funciones gracias a la relación que proporciona esa fórmula. Véanse [JK03] y [Ami07] para más información. La generalización que hemos mostrado aquí sirve también para probar otros resultados más generales que el teorema del hexacordo. Por ejemplo, el primer teorema de Patterson, que establece que, si dos ritmos tienen el mismo número de notas y son homométricos, entonces sus complementarios también son homométricos. Véase [BBOG09] para los detalles de esta demostración usando la versión continua del teorema del hexacordo. References [Ami07] Emmanuel Amiot. David Lewin and maximally even sets. Journal of Mathematics and Music, 1(3):157-172, 2007. [BBOG09] B. Ballinger, F. Benbernou, N. Gomez, J. O'Rourke, and Toussaint G. The continuous hexachordal theorem. In E. Chew, A. Childs, and C-H. Chuan, editors, Mathematics and Computation in Music, pages 63-77. Springer, Berlin, 2009. [JK03] Philippe Jaming and Mihalis Kolountzakis. Reconstruction of functions from their triple correlations. New York Journal of Mathematics, 9:149-164, 2003. [Joh03] Timothy Johnson. Foundations of Diatonic Theory. Key College Publishing, 2003.
Martes, 01 de Junio de 2010 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

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