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Música y matemáticas

El objetivo de esta sección es comprender la interesante y profunda relación de las Matemáticas con la Música.

Nuestro sincero agradecimiento a Francisco Gómez Martín (Universidad Politécnica de Madrid) por organizar y desarrollar esta sección, a sus anteriores responsables Rafael Losada y Vicente Liern, así como a todas las personas que colaboran con la misma.

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Cultura y matemáticas/Música y matemáticas
Autor:David Rapapport (Queen's University)
Es un gran placer para mí presentar un artículo de David Rapapport (fotografía de la izquierda), geométra interesado en la música y músico interesado en la geometría. Su artículo que presentamos en esta sección, Conjuntos de área máxima y la armonía, es una exploración deliciosa de la armonía a través de conjuntos de área máxima inscritos en un círculo. El autor caracteriza escalas fundamentales en la improvisación en la música del jazz. Francisco Gómez Martín BIOGRAFÍA: David Rapapport es profesor en la School of Computing y Vicedecano en la School of Graduate Studies en Queen's University, en Canadá. Obtuvo un grado en Matemáticas por la Universidad de Concordia y un tesis de maestría y de doctorado por la Universidad de McGill, ambas en Canadá. Su investigación se centra en geometría discreta y computacional con especial énfasis en algoritmos y optimización. También está interesado en las conexiones entre matemáticas y música. ARTÍCULO: 1. Introducción La Geometría y la Música están relacionadas entre sí de varias maneras. La notación musical usa la forma y el espacio para transmitir la información sobre la altura y la duración. Los guitarristas visualizan las estructuras armónicas, así escalas, arpegios y acordes, como formas geométricas en el traste. Los orígenes de nuestro sistema musical de siete notas extraídas de un conjunto de doce alturas se puede describir en términos de cuerdas vibrantes de varias longitudes. Dimitri Tymocko, en un reciente artículo suyo [17], ha usado la geometría para analizar la conducción de voces en música. La Combinatoria es otra rama de las Matemáticas que se utiliza en el análisis de la música. Inevitablemente, la visión combinatoria se apoya en una imagen, esto es, en una representación geométrica. Considérese un círculo con doce puntos equidistantes distribuidos en su circunferencia. Los doce puntos representan las doce alturas del universo cromático dado por el temperamento igual. De estos doce puntos elegimos un subconjunto de al menos cinco puntos, porque musicalmente se llama una escala a un subconjunto de cinco o más alturas. Algunos de estos conjuntos, o escalas, son elementos esenciales de la armonía occidental. En los ejemplos que se muestran en la figura 1 un subconjunto de puntos se conecta en orden para construir un polígono convexo. Consideraremos polígonos distintos salvo rotaciones. Esto equivale a considerar que los distintos modos musicales provenientes de una misma escala no son escalas distintas. Ya que hay 12 puntos equiespaciados sobre la circunferencia, es razonable llamar a estos diagramas diagramas de reloj. La representación de las notas de una escala por un polígono aparece en un artículo publicado en 1937 por E. Krenek [8], de modo que algunas veces estos diagramas se llaman diagramas de Krenek, como por ejemplo en el artículo de McCartin [10]. Sin embargo, en una recensión de Nolan [11], Heinrich Vincent ya usaba esta misma representación en un artículo suyo publicado en 1862 [18]. El uso de los diagramas de reloj es omnipresente en la teoría matemática de la música. Cuando se considera la escala diatónica usual, se observa que las notas están distribuidas lo más regularmente posible entre las doce notas cromáticas. La distancia entre dos notas puede medirse como el número de notas de la escala entre ellas, o bien como el número total de notas cromáticas entre ellas. De este modo, distinguimos entre la distancia de la escala y la distancia cromática de un par de notas. Clough and Douthett [1] definen un conjunto de regularidad máxima cuando la distancia cromática entre un par de notas difiere de su distancia de escala en una unidad como máximo. Los conjuntos de regularidad máxima (conjuntos RM de aquí en adelante) son únicos (salvo rotaciones) como se prueba en [1] y también en [4]. Los conjuntos RM incluyen algunas de las escalas más ampliamente usadas en la música occidental, a saber, la escala diatónica, la escala pentatónica anhemitónica común, la escala de tonos enteros de seis notas y la escala octotónica (véase la figura 1). Figura 1. Los subconjuntos en a) y b) representan dos modos de la escala diatónica, el jónico y el eólico, también conocidos como modo mayor y modo menor natural, respectivamente. Para nuestros propósitos estas dos escalas se consideran equivalentes. El diagrama de la parte c) representa la escala menor melódica ascendente y ésta es distinta de las de a) y b). Cuando los conjuntos RM se representan por un diagrama de reloj, entonces esos puntos son subconjuntos que maximizan de modo único la suma de las distancias entre puntos [2-4]. Fejes Tóth [14] describe un caso continuo similar al considerado aquí. En ese artículo se prueba que un conjunto finito de N puntos que maximizan la suma de las distancia entre puntos se encuentra en los vértices de un polígono regular convexo de N lados. Dicho de otro modo, los puntos están distribuidos tan regularmente como sea posible sobre la circunferencia del círculo. En su libro sobre armonía el músico Levine [9] describe cuatro escalas fundamentales que son útiles para la improvisación en jazz. Estas cuatro escalas son la escala mayor de siete notas, la escala menor melódica de siete notas, la escala simétrica de tonos enteros de seis notas y la escala octotónica. En la terminología jazzística el término "menor melódica" se refiere a la escala ascendente melódica menor y aquí seguiremos esa convención. Tres de estas escalas son de máxima regularidad, siendo la excepción la escala menor melódica, que no lo es. Así, dados los pares (12, 8), (12, 6) y (12, 7) podemos preguntarnos si hay una caracterización matemática que describa exactamente las cuatro escalas fundamentales de Levine. En estas notas llegamos a una caracterización llamada los conjuntos complementarios de área máxima. Este artículo está organizado como sigue. En la siguiente sección entablaremos una discusión matemática sobre una clase de subconjuntos de K elementos tomados entre N posibles. Esta caracterización es a la vez combinatoria y geométrica. Empezaremos por describir los llamados conjuntos de área máxima, de los cuales probaremos algunas propiedades suyas. Los conjuntos de área máxima son interesantes por derecho propio, pero no satisfacen las condiciones mencionadas anteriormente, ya que esta caracterización, como veremos, incluye subconjuntos de (12, 8) y (12, 7) que no son de las cuatro escalas fundamentales. En la sección 3 definiremos y analizaremos entonces los conjuntos complementarios de área máxima y mostraremos que esa caracterización sí satisface las condiciones impuestas antes. El artículo acaba con una sección de conclusiones. 2. Conjuntos de área máxima Un concepto erróneo bastante común es el de pensar que el prefijo di- en la palabra diatónico se refiere al número dos, queriendo significar que la característica es que hay dos tipos de intervalos en el conjunto diatónico habitual. Sin embargo, la verdad es que el prefijo dia- se refiere a la distancia desde la tónica [12]. No obstante, esta definición nos proporciona el trampolín ideal desde el cual lanzar una exploración de las escalas que satisfacen esta propiedad, esto es, colecciones de subconjuntos de siete alturas tomadas de entre las doce del universo cromático de modo que el espacio entre alturas consecutivas es o bien un tono o un semitono. Resultan tres escalas distintas. Usando diagramas de reloj podemos ver las tres escalas en la figura 2 más abajo. En (a) podemos reconocer la escala diatónica estándar; (b) representa la escala menor melódica; y en (c) tenemos la escala simétrica de tonos enteros más una nota, escala que también se llama escala mayor napolitana. No es difícil comprobar que los polígonos que representan cada escala tienen todos la misma área y que esa área se maximiza para cualquier elección de siete puntos sobre doce. Así pues, llamaremos a estas escalas escalas de área máxima, o más generalmente subconjuntos de área máxima (lo abreviaremos como conjuntos AM). Figura 2. Diagramas de reloj de las tres escalas AM. La estructura de los intervalos de esta escala es a) la escala diatónica; b) la escala menor melódica ascendente; c) la escala mayor napolitana. Generalizamos esta noción a cualquier colección de K alturas seleccionadas de entre un universo cromático de N alturas. Será más conveniente definir los subconjuntos en términos de particiones de números enteros. Una partición entera de un número natural N es una forma de escribir N como una suma no ordenada de numeros naturales. En [7] Keith señala la conexión entre las particiones de enteros y las escalas musicales. Definición. Un conjunto de K alturas tomadas de entre un universo cromático de N alturas numeradas de 1,...,N es un conjunto AM si satisface las siguientes dos condiciones: Hay una partición entera de N que usa exactamente K sumandos enteros positivos, esto es, . Los sumandos difieren como máximo en 1, esto es, , para todo i, j. La siguiente proposición proporciona fundamento matemático para construir y analizar los conjuntos AM. Proposición 1. Dados dos enteros N, K con K <N, existen dos únicos enteros u y m tales que N=mu+(K-m)(u+1). Obsérvese que para N, K, u, m, definidos así, tenemos una partición entera con , para i=1,...,m y , para i=m+1,...,K. Aquí se sobreentiende que i=m+1,...,K es el conjunto vacío en el caso en que m=K, esto es, cuando K divide a N. Demostración: Sean los siguientes números: Nótese que si K divide a N, entonces v=u; en otro caso, v=u+1. Para el caso en que v=u, tenemos que N=Ku. Considerando ahora el caso en que v=u+1, tenemos la igualdad (N-Ku)v+(Kv-N)u=N(v-u)=N. Por lo tanto, m=Kv-N=K(u+1)-N. Ya que u determina m, basta mostrar que u es el único valor que satisface las condiciones requeridas. Cuando K divide a N, la unicidad se sigue del algoritmo de la división [6]. Cuando K no divide a N, examinamos los casos en que se usa un número mayor o menor que el valor de u. Sea, pues, w un entero mayor que . Esto implica, sin embargo, que Kw >N, lo cual lleva a una contradicción y w no puede ser mayor que u. Un argumento simétrico similar al anterior muestra que tomar w < lleva a una contradicción. Por tanto, queda demostrado que u es único, y esto completa la demostración. QED. Recuérdese que en los conjuntos MR según fueron definidos por Clough y Douthett [2, 3] cuando la distancia cromática entre dos pares denotas difieren como máximo en una unidad de la distancia de escala. Esto lleva inmediatamente a la proposición siguiente. Proposición 2. Si un conjunto es MR, entonces también es un conjunto AM. Como se ilustró en el ejemplo de la figura 2, aunque para cualquier N, K, hay dos valores únicos de u y m, uno puede obtener más de una escala con intervalos u y u+1 sencillamente reordenando las posiciones de dichos intervalos. Dados los números (N, K, u, m), podemos enumerar las distintas escalas (salvo rotaciones) que son escalas AM. Este valor depende solo de K y m, y es el número de collares (necklaces) binarios de longitud K usando dos tipos de cuentas, m cuentas blancas y K-m cuentas negras. En general, un collar p-ario se define como la clase de equivalencia de cadenas p-arias bajo rotaciones; véase [13]. Los distintos collares se pueden enumerar en tiempo constante por collar usando un algoritmo de Sawada y Ruskey [13]. Volvemos ahora a la cuestión del área de los polígonos que representan a las escalas. Haciendo referencia a la figura 3, es claro que el área del heptágono se obtiene sumando las áreas de los triángulos. Suponiendo que el heptágono que representa estas escalas está circunscrito a un círculo de radio la unidad, una fórmula que da el área del polígono es: . Figura 3. Uno puede obtener el área de un heptágono sumando las áreas de los triángulos en la partición en triángulos que sugiere la figura. El area del triángulo a, b, c está dado por sen . El perímetro del polígono inscrito es también una función de los ángulos centrales. Por ejemplo, la longitud de la arista bc es . En general, el área de los polígonos se puede obtener sumando el área de los triángulos que forman la partición del polígono. Para nuestros propósitos es más conveniente tomar la partición del polígono con triángulos que comparten un vértice común en el centro del círculo que circunscribe y cuyos lados son los radios. De ahora en adelante nos referiremos a esta partición como la partición en triángulos del polígono. La suma de las áreas de cualquier representación poligonal (N, K, u, m) está dada por la fórmula: Nótese que el área es una función que depende solo de los valores de los ángulos de los triángulos del centro del círculo. Llamaremos a estos ángulos ángulos centrales. Afirmamos que todos esos heptágonos maximizan el área. Es fácil verlo en el ejemplo dado. Probaremos el resultado para el caso general en el siguiente lema. Además, probaremos que estos polígonos maximizan también el perímetro. El hecho de que el perímetro se maximice queda claro cuando uno se percata de que el perímetro es también una función de los ángulos centrales. La fórmula para el perímetro de una representación poligonal (N, K , u, m) está dada por la fórmula: Lema 1. Dada (N, K , u, m), la representación poligonal de estos conjuntos AM tiene área máxima y perímetro máximo. Prueba: Considérese un polígono X de K lados que no es una representación de un conjunto AM. Entonces, hay dos triángulos en la partición triangular de X con ángulos centrales y y tales que la diferencia . Supongamos que, por ejemplo, . Si ponemos , tenemos la fórmula (1): Ya que el orden de los triángulos no tiene efecto en el cálculo del área o del perímetro del polígono, podemos reordenarlos de manera que esos dos triángulos estén adyacentes. Podemos escribir la suma del área de esos dos triángulos como . Si tomamos la primera derivada del área con respecto a , esto es, , e igualamos a cero, vemos que el valor es el valor máximo. La derivada es positiva para todos los valores . Sean y . Por la ecuación (1), vemos que . Por tanto, la suma de la nueva área es mayor y X no puede tener área máxima. Para el perímetro usamos un argumento similar. La suma de las aristas del polígono está dada por la ecuación , y su primera derivada es . Vemos de nuevo que la suma se maximiza para , y su derivada es positiva . De nuevo, ponemos y . Por la ecuación 1, vemos que y X no puede tener perímetro máximo. QED. 3. Conjuntos complementarios de área máxima Las cuatro escalas que distingue Levine en su libro [9] en el capítulo Acordes/Escalas en su libro sobre armonía en el jazz son la escala de tonos enteros simétrica, la escala mayor, la escala menor melódica y la escala octotónica. Definimos una clase de escalas, las escalas complementarias de área máxima de manera que las escalas dadas por (12, 6), (12, 7) y (12,8) corresponden idénticamente a las escalas dadas por Levine. Definición: Un conjunto de K alturas tomadas de un universo cromático de N alturas numeradas de 1 a N es un conjunto complementario de área máxima (conjunto CAM) si cumple las siguientes propiedades: El conjunto es AM. Las N-K notas del conjunto complementario forman un conjunto AM también. Probamos en su momento que los conjuntos RM son también AM. Los conjuntos RM son también CAM porque el complemento de un conjunto RM es también un conjunto RM; véase [1]. Así pues, las escalas CAM constituyen una clase estrictamente mayor que la de las escalas RM. Hay una única escala, la escala simétrica de tono enteros (12, 6), que es un conjunto AM, como muestra la figura 4. Claramente esta escala es autocomplementaria y es, por tanto, un conjunto CAM. De los tres conjuntos AM dados por (12, 7), dos tienen complementarios que son conjuntos AM. Estas escalas (12, 5) AM se muestran en la figura 4. Figura 4. Los conjuntos de área máxima de cinco y seis notas. Hay diez conjuntos (12, 8) AM, como se describe en la página 31 de [7]; los reproducimos en la figura 5. Figura 5. Los diez conjuntos de área máxima con ocho notas. Hay solo uno de estos conjuntos cuyo complementario es también un conjunto AM. En la figura 6 mostramos este conjunto y su complementario de cuatro notas. Figura 6. La única escala complementaria de área máxima de ocho notas (una escala disminuida) con su complementario (el acorde de séptima disminuida). Así pues, hemos sido capaces de captura una propiedad matemática que caracteriza las cuatro escalas fundamentales de Levine. 4. Conclusiones Hemos probado que una partición entera particular de N en K partes conduce a los polígonos de área máxima cuando éstos se representan con un diagrama de reloj. Estos conjuntos llamados de área máxima son fáciles de calcular computacionalmente. Sin embargo, una clasificación que parece más interesante usa los conjuntos complementarios de área máxima. Hemos demostrado que los conjuntos complementarios de área máxima para (12, 6), (12, 7) y (12,8) contienen las cuatro escalas fundamentales definidas por Levine en su libro sobre improvisación en jazz. Estas escalas fundamentales no agotan en modo alguno el gran número de escalas que los músicos de jazz usan regularmente. En un capítulo aparte Levine discute las escalas pentatónicas y el papel que desempeñan en la improvisación jazzística. Con mucho la escala pentatónica más importante es la anhemitónica, que ya sabemos que es una escala CAM. Hay una colección más de escalas pentatónicas que son CAM, las cuales se muestran en la figura 4 b). Esta escala se puede llamar escala pentatónica dominante, ya que contiene un acorde de dominante; sin embargo, esta escala parece algo desconocida y Levine no la menciona en absoluto en su libro. Si consideramos el análogo rítmico de los diagramas de reloj, esto es, los puntos seleccionados representan ataques, entonces los conjuntos CAM de cinco elementos representan los patrones rítmicos de palmas que se usan en la soleá, la bulería y el fandango [5]. Bibliografía 1. J. Clough and J. Douthett: Maximally even sets. Journal of Music Theory, 35, (1991) 93–173. 2. J. Clough and G. Myerson: Musical scales and the generalized circle of fifths. American Mathematical Monthly 93:9 (1985) 695–701. 3. J. Clough and G. Myerson: Variety and multiplicity in diatonic systems. Journal of Music Theory 29 (1985) 249–270. 4. Erik D. Demaine, Francisco Gómez-Martin, Henk Meijer, David Rappaport, Perouz Taslakian, Godfried T. Toussaint, Terry Winograd, and David R. Wood: The distance geometry of music. submitted to Computational Geometry: Theory and Applications, (2006). 5. Miguel Díaz-Bañez, Giovanna Farigu, Francisco Gómez, David Rappaport, and Godfried T. Toussaint: El compás flamenco: a phylogenetic analysis. Proceedings of BRIDGES: Mathematical Connections in Art, Music and Science, Winfield, Kansas (2004) 61–70. 6. Ralph Grimaldi: Discrete and Combinatorial Mathematics: An Applied Introduction. Addison Wesley (1998). 7. Michael Keith: From Polychords to Polya: Adventures in Musical Combinatorics. Vinculum Press, Princeton (1991). 8. E. Krenek: Über Neue Musik. chapter Musik und mathematik. Verlag der Ringbuchhandlung, Vienna (1937) 71–89. 9. Mark Levine: The Jazz Theory Book. Sher Music Co. (1995). 10. Brian J. McCartin: Prelude to musical geometry. The College Mathematics Journal, 29:5 (1998) 354–370. 11. Catherine Nolan: Combinatorial space in nineteenth- and early twentieth-century music. Music Theory Spectrum, 25:2 (2003) 205–241. 12. D. Randel (editor): The Harvard Dictionary of Music. Harvard University Press (1986). 13. J. Sawada and F. Ruskey: An efficient algorithm for generating necklaces with fixed density SIAM Journal on Computing 29:2 (1999) 671–684. 14. L. Fejes T´oth: On the sum of distances determined by a pointset. Acta. Math. Acad. Sci. Hungar. 7:3 (1956) 97–101. 15. Godfried T. Toussaint: A mathematical analysis of African, Brazilian and Cuban clave rhythms. Proceedings of BRIDGES: Mathematical Connections in Art, Music and Science, Towson, Maryland (2002) 157–168. 16. Godfried T. Toussaint: Classification and phylogenetic analysis of African ternary rhythm timelines. Proceedings of BRIDGES: Mathematical Connections in Art, Music and Science, Granada, Spain (2003) 25–36. 17. Dmitri Tymoczko: The Geometry of Musical Chords. Science 313 (2006) 72–74. 18. Heinrich Vincent: Die Einheit in der Tonwelt. Verlag von Heinrich Matthes, Leipzig (1862).
Viernes, 10 de Septiembre de 2010 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Música y matemáticas
Autor:Francisco Gómez Martín (Universidad Politécnica de Madrid)
1. Introducción En este último artículo sobre el teorema del hexacordo veremos una demostración basada en la transformada de Fourier y conoceremos un poco de la historia y personalidad de David Lewin, uno de los primeros autores en usarla en el contexto musical. La demostración será un poco más complicada que la de Juan Iglesias [Igl81] o que la del teorema continuo del hexacordo [BBOG09], pero merece la pena por la conexión con ese hermoso y fecundo objeto matemático que es la transformada de Fourier. Pero empecemos por el hombre. David Lewin (1933-2003) fue un músico y matemático que impulsó el análisis formal de la música por medio de las matemáticas. Neoyorquino de nacimiento, empezó a tocar el piano desde muy niño, aunque su interés por las ciencias, en particular por las matemáticas, le llevó a estudiar matemáticas en la Universidad de Harvard. En 1954 terminaría la licenciatura en Matemáticas. Nunca había abandonado la música y después de terminar la carrera Lewin estudió composición con músicos de la talla de Roger Sessions, Edward Cone o el influyente Milton Babbitt. Tras esta etapa, orientó su carrera hacia la música y empezó a enseñar composición y teoría de la música en varias universidades: Harvard, Berkeley, la universidad estatal de Nueva York en Stony Brook, Yale. Llegó a ser el presidente de la Society for Music Theory norteamericana. Recibió a lo largo de su vida varios doctorados honoris causae. Aunque más conocido por sus teorías sobre el análisis musical, fue también un compositor prolífico y experimentador. Por ejemplo, fue el primer músico en componer una pieza musical totalmente generada por ordenador (véase [Coh01]). Ello ocurrió en los laboratorios Bell en 1961. La obra más influyente de Lewin es su libro Generalized Musical Intervals and Transformations [Lew87], publicada en 1987. En ella Lewin sienta las bases de lo que poco más tarde recibiría el nombre de teoría de transformaciones (transformational theory, en inglés). Lewin concibe la música como la transformación continua del material musical y su idea es modelizar matemáticamente tanto el material musical, el "conjunto S de objetos musicales" (capítulo 7), como las transformaciones musicales en sí, las cuales se ven como funciones matemáticas sobre S. Principalmente, Lewin se sirvió de la teoría de grupos para modelizar dichas funciones. Por ejemplo, la escala cromática de 12 semitonos la concibe como el grupo cíclico . Esta modelización recoge el hecho perceptual de que una misma nota colocada en distintas octavas en ciertos contextos se percibe como una única nota. Sus modelos se aplicaron a diversos parámetros musicales aparte de a la altura del sonido, incluyendo el ritmo, la métrica y el timbre así como a la música tonal y atonal. Aplicadas a la música tonal, las teorías de Lewin se han considerado como parte de un análisis neoschenkeriano [CG06] que ha prolongado las teorías clásicas del análisis musical; aplicadas a la música atonal, se han visto como un nuevo modo de análisis más flexible y versátil, capaz de explicar las nuevas relaciones musicales provenientes de la música contemporánea. El enfoque de Lewin es, sin duda, muy abstracto y frecuentemente se citan sus métodos de análisis en términos de idealismo abstracto. Para una lista completa de las publicaciones, véase la página de Wikipedia sobre David Lewin [Wik10]. En su artículo Re: Intervallic Relations between Two Collections of Notes [Lew59], de 1959, Lewin investiga cómo reconstruir conjuntos de notas a partir de ciertas propiedades. Lewin, demasiado avanzado para su tiempo, piensa que no será entendido demasiado bien y en el mismo artículo declara que: "The mathematical reasoning by which I arrived at this result is not communicable to a reader who does not have considerable mathematical training. For those who have such a training, I append a sketch of the proof." ["El razonamiento matemático por el cual llegué a este resultado no es comunicable a un lector que no posea un considerable instrucción matemática. Para aquellos que la tengan agrego un bosquejo de la prueba."] La prueba apenas está bosquejada, pero claramente menciona la transformada de Fourier y la convolución. En la sección siguiente seguiremos su rastro y completaremos la formalización de Lewin en términos de la transformada de Fourier. Para una exposición profunda del tema, recomendamos al lector el excelente artículo de Amiot [Ami07]. 2. La transformada de Fourier Empezaremos por unas sencillas definiciones a modo de recordatorio. Dado un conjunto cualquiera X, llamaremos 1X a su función característica: Dadas las aplicaciones que nos interesan aquí, las musicales, consideraremos la transformada de Fourier sobre el grupo cíclico . Dado un subconjunto de , la transformada (discreta) de A, designada por , es una función compleja definida por La transformada de Fourier se puede pensar como un operador, esto es, una aplicación que transforma unas funciones en otras. En ese caso, designamos solo por la transformada y escribimos . Como es bien sabido, la transformada es un operador lineal; véase [Kam08] para más información. En el mencionado artículo [Lew59], Lewin introduce la llamada función de intervalo , donde . Su definición es como sigue: donde |·| indica el cardinal de un conjunto. Como ya vimos en el artículo pasado, El teorema del hexacordo - II, el teorema del tono común nos dice que: donde . Esta última fórmula no es sino la convolución de las funciones 1A y 1B. Luego, podemos escribir: Una vez provistos de las definiciones necesarias, examinamos la primera propiedad que nos permitirá probar el teorema del hexacordo. PROPIEDAD 1 (P1): Si , entonces . Cuando , entonces . Demostración: Si , tenemos: El caso en que , cada término del sumatorio es 1 y el resultado se prueba inmediatamente. A continuación usamos la propiedad P1 para ver qué relación existe entre las transformadas de Fourier de y . PROPIEDAD 2 (P2): Sea con y . Entonces, se cumple la igualdad: Demostración: En el sumatorio podemos separar los términos que viene del conjunto de aquellos que vienen de . De esta igualdad se deduce que , como queríamos. Ahora examinamos la relación que existe entre las transformadas de Fourier de y . PROPIEDAD 3 (P3): Sea con y . Entonces, se cumple la igualdad: Demostración: De nuevo es un argumento sencillo sobre los términos del sumatorio. Se sigue, pues, que , cuando . Si combinamos esta ecuación con la propiedad P2, , tenemos el resultado buscado, . Para el caso en que , la igualdad es cierta solo cuando . La prueba se deja como divertimento para el lector. A continuación consideramos el módulo de , , que es una función que asocia a cada el número . Usaremos la notación del valor absoluto para indicar el módulo; no debe confundirse con el cardinal de un conjunto. Recordamos, por último, que la transformada de Fourier tiene inversa: 3. El teorema del hexacordo Diremos que dos conjuntos cumplen la relación de Lewin si para todo . La relación de Lewin se conserva bajo la aplicación de movimientos rígidos (giros y simetrías), pero el recíproco no es cierto; véase [Ami07] para una prueba de este hecho. El contenido interválico, definido formalmente, es una función Si calculamos la transformada de Fourier de CI(A), obtenemos: Teorema del hexacordo. Sea con n par y . Entonces . Demostración. He aquí la demostración de dos líneas. Línea 1: . Línea 2: implica que como consecuencia de la aplicación de la inversa de la transformada de Fourier. 4. Para saber más Aparte de sus teorías matemáticas para modelizar la música, Lewin se ocupó del problema del texto y la música. Escribió varios artículos sobre esta cuestión. Véase, por ejemplo, [Lew92], donde analiza los aspectos estructurales de la música que pueden servir como base de la interpretación dramática. En el artículo de Amiot [Ami07] se analizan extensa y profundamente la relación de la transformada de Fourier. Gran parte de ese trabajo está dedicado al fascinante tema de los conjuntos de máxima regularidad (a los que se dedicará una serie en esta sección en un futuro muy próximo). Bibliografía [Ami07] Emmanuel Amiot. David Lewin and maximally even sets. Journal of Mathematics and Music, 1(3):157-172, 2007. [BBOG09] B. Ballinger, F. Benbernou, N. Gomez, J. O'Rourke, and Toussaint G. The continuous hexachordal theorem. In E. Chew, A. Childs, and C-H. Chuan, editors, Mathematics and Computation in Music, páginas 63-77. Springer, Berlin, 2009. [CG06] Allen Cadwallader and David Gagne. Analysis of Tonal Music: A Schenkerian Approach. Oxford University Press, USA, 2006. [Coh01] Richard Cohn. Lewin, David. Macmillan Publishers, London, 2001. The New Grove Dictionary of Music and Musicians, second edition, edited by Stanley Sadie and John Tyrrell. [Igl81] Juan E. Iglesias. On Patterson's cyclotomic sets and how to count them. Zeitschrift für Kristallographie, 156:187-196, 1981. [Kam08] David W. Kammler. A First Course in Fourier Analysis. Cambridge University Press, 2008. [Lew59] David Lewin. Re: Intervallic relations betwen two collections of notes. Journal of Music Theory, 3(2):298-301, noviembre 1959. [Lew87] David Lewin. Generalized Musical Intervals and Transformations. Yale University Press, 1987. [Lew92] David Lewin. Musical Analysis as Stage Direction. Cambridge University Press, 1992. In Music and Text: Critical Inquiries, editor. S.P. Scher. [Wik10] Wikipedia. David Lewin. http://en.wikipedia.org/wiki/David_Lewin, 2010.
Viernes, 09 de Julio de 2010 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Música y matemáticas
Autor:Francisco Gómez Martín (Universidad Politécnica de Madrid)
1. La versión continua del teorema del hexacordo Seguimos (en presente) con el teorema del hexacordo, ahora en su versión continua. En el artículo anterior conocimos el interés de Schoenberg por los hexacordos, vimos cómo los saboreó, cómo los deglutió, cómo intuyó sus propiedades; pero, aunque quiso, no pudo dar con el resultado apetecido. Después aprendimos qué es el contenido interválico y qué movimientos lo dejan invariantes. Seguimos (en pasado) con el teorema del hexacordo, enunciándolo con precisión, y continuamos (¿También éste? ¡Qué oficio! Sí, claro, en pasado) la historia de su demostración. Una historia llena de intentos fallidos, desconocimientos mutuos, refinamientos sucesivos y, por fin, demostraciones epigramáticas, certeras como puñales, breves como haikús. Dimos la demostración de Iglesias, por elegante y corta. Consistía, si recordáis, en un juego de recuento entre puntos blancos y negros. Y ahí el mes pasado nos quedamos. El presente mes presentamos una generalización del teorema del hexacordo al caso continuo, demostración incluida. Es corta y profunda, pues une dos mundos, el discreto y el continuo. 1.1. Ritmos y pesos Para generalizar el teorema del hexacordo necesitamos un cambio de enfoque, que provoque choque y que apoque el enroque mental tendencial. Pasaremos de acordes y escalas a ritmos de modo inmisericorde. Pero ¿qué es un ritmo? Tomemos el círculo y pongamos n puntos equiespaciados en él, a los que llamaremos pulsos. En cada pulso elegimos si ponemos una nota o un silencio. Solo se pueden poner notas o silencios en los pulsos, pero no entre dos pulsos consecutivos. Un ritmo es una sucesión de notas y silencios puestos sobre un conjunto de n pulsos. En música los pulsos no suenan, no se tocan; la división del tiempo sencillamente está en la mente del intérprete, como referencia temporal. En la figura 1 tenemos el ritmo [x . . x . . x . . x . .] definido sobre 12 pulsos, donde la x representa un sonido y el punto un silencio. Figura 1: Un ritmo y su representación geométrica. Este ritmo, interpretado como un acorde, sería el acorde disminuido de do (do - mi bemol - fa sostenido - la), que es el acorde que divide la octava en cuatro partes iguales. Este ritmo consiste en la división de una unidad de tiempo, dada por la longitud del círculo, en cuatro partes iguales. Se ve la equivalencia entre el enfoque de acordes y el enfoque rítmico. Seguimos (en presente a partir de aquí): sea R un ritmo; asignamos a cada nota del ritmo un peso y a cada silencio un peso . Formamos el vector de pesos del ritmo R, . Llamaremos a la suma el peso W(R) del ritmo, cuyo valor no es otro que el número de notas de R. El complementario de un ritmo R tiene como pesos . Estamos lanzados: consideremos el histograma HR del ritmo R. Dicho histograma nos informa, educadamente, para cada distancia , del número de veces que ocurre sin más que mirar a la altura de sus cajitas. El histograma HR determina, pues, una función de la distancias; llamemos HR(d) a esa función de d. Enunciamos de nuevo el teorema del hexacordo acorde a la nueva terminología: Teorema 1 Sea R un ritmo sobre un conjunto de n pulsos, donde n es par. Si W(R) = n/2, entonces R y son homométricos, esto es, para todo d, . Antes de seguir daremos un teorema, conocido en teoría de la música como el teorema del tono común [Joh03], y que servirá de base para la generalización en ciernes. Por completitud, incluimos una prueba sencilla del teorema; para una prueba más compleja, basada en teoría de grupos, consúltese [JK03]. Teorema 2 [Teorema del tono común] , donde los índices se interpretan módulo n. Demostración. Si en las posiciones i e i+d hay notas, entonces y se cuenta, en efecto, la ocurrencia de la distancia d. Si en alguna de esas posiciones hay un silencio, el producto es 0. Por tanto, la suma cuenta 1 por cada aparición de la distancia d en el ritmo R. Queda por ver que cada par de puntos a distancia d solo contribuya una vez a la suma, excepto en el caso del diámetro que contribuye dos veces. Si el par (i, i+d) contribuye dos veces a la suma es porque la distancia de i a i+d es la misma que de i a i-d. Entonces, se tiene que: i+d = i-d mod n Al ser distancia geodésica, y, por tanto, 2d. Estamos en el caso del diámetro con toda seguridad. Como ejemplo, cojamos el ritmo sobre 16 pulsos dado por , esto es, hay notas en las posiciones 0, 3, 6, 10 y 12 y silencios en el resto. Su peso es . Para , la función da lugar al histograma de la figura de abajo. Figura 2: La función histograma HR(d). 1.2. La generalización al caso continuo La generalización se produce en dos sentidos. Primero, pasaremos del círculo de n pulsos a un círculo continuo. Se puede tomar, sin pérdida de generalidad, como el círculo unidad. Segundo, los pesos discretos son ahora funciones reales f(x), con . Aquí la variable x indica un punto del círculo medido desde las 12 del mediodía; f(x) indica su peso. El peso de un ritmo R se define como la integral . Las definiciones en el caso continuo son análogas al caso discreto. El complementario tiene peso y HR(d) es una función sobre el intervalo . Como definición de HR(d) tomamos la versión continua del teorema del tono común: Ilustremos con un ejemplo este salto del caso discreto al continuo. Consideremos el ritmo continuo R dado por la función . Su función histograma es donde . La gráfica de f(x) y su histograma se muestran en la figura 3. Figura 3: La función f(x) y la función histograma HR(d). 1.3. La demostración en el caso continuo Teorema 3 Si R es un ritmo integrable y , entonces para toda distancia , se tiene que . Demostración. Empecemos por fijar d. De la definición del histograma tenemos que: Aplicando la definición de ritmo complementario obtenemos: Multiplying out los términos queda: Efectuando el producto dentro de la integral da: La primera integral da 1. Dado que , la segunda integral también vale 1/2. La tercera integral también da 1/2; el área de f(x) y f(x+d) es la misma, ya que f(x) es una función periódica en [0,1]. Finalmente, llegamos a: Esto prueba que para todo d. 1.4. De vuelta al teorema discreto Afirmábamos antes que el teorema continuo del hexacordo recién probado es una generalización del teorema original, discreto, sin duda. Se deduce que este teorema es un caso particular de la versión continua. Así es. Para verlo basta tomar un ritmo discreto y transformarlo en una función integrable f(x) en [0, 1] como sigue: donde es la función característica del intervalo , esto es, la función que vale 1 si y 0 en caso contrario. Se puede probar que la función histograma asociada a f(x) es proporcional a la función histograma asociada al ritmo . En efecto, en la versión continua usamos el círculo unidad mientras que en la versión discreta tenemos n pulsos. Entonces, en la versión discreta la función histograma se transforma en la siguiente función en la versión continua: Esta igualdad prueba que el histograma discreto es proporcional al histograma continuo. De aquí se desprende que si el teorema del hexacordo es cierto en el caso continuo, también lo es en el caso discreto. 2. Para saber más Completamos brevemente en esta última sección algunos puntos que se quedaron en el tintero. Volvemos ahora a la cuestión de por qué se cuenta el diámetro dos veces en el contenido interválico. En primer lugar, por comodidad. Si no se cuenta el diámetro de esta manera, la fórmula que aparece en el teorema del tono común hay que reescribirla de una manera farragosa. Los resultados no cambian si se cuenta solo una vez el diámetro, pero su descripción es menos concisa. También se puede justificar esta convención estudiando el comportamiento de cuando . La fórmula que aparece en el teorema del tono común, , es, en realidad, una función de autocorrelación discreta. Varias demostraciones del teorema del hexacordo han surgido del campo de la teoría de funciones gracias a la relación que proporciona esa fórmula. Véanse [JK03] y [Ami07] para más información. La generalización que hemos mostrado aquí sirve también para probar otros resultados más generales que el teorema del hexacordo. Por ejemplo, el primer teorema de Patterson, que establece que, si dos ritmos tienen el mismo número de notas y son homométricos, entonces sus complementarios también son homométricos. Véase [BBOG09] para los detalles de esta demostración usando la versión continua del teorema del hexacordo. References [Ami07] Emmanuel Amiot. David Lewin and maximally even sets. Journal of Mathematics and Music, 1(3):157-172, 2007. [BBOG09] B. Ballinger, F. Benbernou, N. Gomez, J. O'Rourke, and Toussaint G. The continuous hexachordal theorem. In E. Chew, A. Childs, and C-H. Chuan, editors, Mathematics and Computation in Music, pages 63-77. Springer, Berlin, 2009. [JK03] Philippe Jaming and Mihalis Kolountzakis. Reconstruction of functions from their triple correlations. New York Journal of Mathematics, 9:149-164, 2003. [Joh03] Timothy Johnson. Foundations of Diatonic Theory. Key College Publishing, 2003.
Martes, 01 de Junio de 2010 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Música y matemáticas
Autor:Rafael Losada
En busca de las moléculas musicales Los músicos, musicólogos y matemáticos fueron paulatinamente percibiendo que detrás de cualquier composición musical existe un orden analizable, ya sea sencillo o complejo, no sólo en la obra como conjunto sino también en sus partes moleculares. La búsqueda de un sistema “universal” de análisis de ese orden sigue vigente. En el siglo XX destaca un método que permite, en cierta medida, la clasificación y comparación de “moléculas musicales”, que puede aplicarse tanto a composiciones renacentistas como a modernas. Este método, denominado Teoría Musical de Conjuntos, nos sumerge de nuevo en la combinatoria y en la aritmética modular. Erik Satie (1866–1925) Parece encontrarse suficientemente documentado que ya a finales del siglo XIX compositores como Satie, utilizaban métodos sistemáticos de composición. No por ello, curiosamente, son menos emotivas sus -generalmente breves- piezas. También se puede generar (recuérdese el juego combinatorio de Mozart) música al azar. Si las notas son completamente aleatorias se consigue un pobre resultado ("música blanca"). Pero si se dictan unas normas (unos patrones), los resultados mejoran. La atonalidad A finales del siglo XIX se comenzó a cuestionar la base tonal de la música occidental. Hasta entonces, las notas que conformaban una composición formaban una red de órbitas alrededor de un centro gravitatorio que las cohesionaba. Por ejemplo, una obra compuesta en la tonalidad de Si bemol mayor desarrolla esa estructura tonal. Cuando escuchamos una obra compuesta bajo el sistema tonal, es decir, prácticamente cualquiera entre los siglos XV y XIX, podemos intuir –antes de oírlas- muchas de las notas siguientes a las que escuchamos, especialmente las que cierran las frases melódicas. Esto es consecuencia de la estructura tonal. Nuestro oído espera constantemente un regreso a las cercanías del tono o tonos que sirven de centros gravitatorios, de los cuales el fundamental es la tónica. A principios del siglo XX los compositores buscan una estructura que evite la presencia de esos centros tonales, de forma que el oyente no pueda anticiparse en ningún momento a la frase musical antes de terminar de oírla. Esta nueva estructura se conoce como atonalidad. Los adelantados El uso extremo del cromatismo, es decir, el empleo del semitono más que del tono como base de la composición, reduce considerablemente la percepción de tonalidad. Este recurso ya fue usado por Wagner y Debussy en algunas partes de sus obras. Richard Wagner (1813–1883) Claude Debussy (1862–1918) Otros compositores, como Charles Ives, también lograron reducir, e incluso hacer desaparecer, la influencia de los atractores tonales mediante diversas técnicas. El musicólogo y matemático Graeser fue el primer teórico de la música que aplicó sistemáticamente "grupos de simetrías" al análisis musical. Wolfgang Graeser (1906–1928) La Segunda (?) Escuela de Viena Sin embargo, fue Schönberg el primer compositor en aplicar conscientemente órbitas completas de "grupos de simetrías" a la composición musical. La técnica dodecafónica de Schönberg (hacia 1920) es la primera aplicación sistemática de un método algorítmico de composición. En su obra Pierrot Lunaire, también aparece un fragmento palíndromo. Arnold Schönberg (1874–1951) Este método o sistema de composición, conocido como serialismo dodecafónico, se basa en asignar el mismo protagonismo a cada uno de los 12 semitonos que componen la octava, independientemente de su altura. Es decir, todas las notas del mismo nombre, como Re bemol, se consideran equivalentes e igualmente importantes. Anton Webern (1883–1945) Alban Berg (1885–1935) La repercusión de este sistema en la música del siglo XX fue enorme. A Schönberg, junto con sus discípulos en Viena, Anton Webern y Alban Berg, se les concedió el nombre colectivo de La Segunda Escuela de Viena, aludiendo, por contraste, al grupo de influyentes compositores (Haydn, Mozart, Beethoven y Schubert) vinculados desde antiguo a esa ciudad, que formarían parte de una supuesta Primera Escuela de Viena que en realidad nunca existió. Descentralización La ruptura con la tonalidad coincide, históricamente, con la aparición del cubismo. Perspectiva monocéntrica Visión policéntrica De la perspectiva monocéntrica se pasa a la visión policéntrica, en donde un objeto aparece desde múltiples puntos de vista. Cada punto del espacio tiene iguales posibilidades de ser centro. Igual ocurre con los semitonos en la dodecafonía: todos juegan el mismo papel. Percepción Junto con la ruptura de la tonalidad, surge una pregunta: ¿somos capaces de aceptar una música sin tono central y sin las usuales pautas (los acordes y sus transformaciones isométricas)? En la imagen se observan las simetrías tonales en el análisis de una obra musical tonal. En el sistema dodecafónico, las clásicas transformaciones isométricas son ahora reemplazadas por permutaciones simétricas módulo 12. Es decir, para ver las simetrías e inversiones es necesario, previamente, reducir módulo 12. Veamos un ejemplo. En la parte inferior de la imagen siguiente, aparece una melodía atonal. Su gráfica parece caótica, desmodulada. Sin embargo, una vez realizada la reducción módulo 12, es decir, trasladando todas las notas del mismo nombre a la misma octava, las simetrías vuelven a aparecer, como muestra la parte superior de la imagen. De esta forma, la simetría estática del sistema tonal clásico es sustituida por una simetría dinámica basada en permutaciones de un sistema secuencial (serial). Paul Hindemith (1895–1963) Hindemith ejemplifica cómo las simetrías mantienen su papel principal en su Ludus tonalis, creando un postludio que coincide con el preludio tras un giro de 180 grados. La Teoría Musical de Conjuntos de Hanson y Forte Esta teoría, iniciada por Hanson para el análisis de la música tonal y posteriormente desarrollada por Forte para el análisis de la música atonal, contempla la definición de conjuntos de notas susceptibles de organizar la música en torno a ellos y sus distintas manipulaciones. Howard Hanson (1896–1981) Allen Forte (1926–) El análisis de las clases de estos conjuntos es el resultado de los esfuerzos de los teóricos de la música por revelar los sistemas que compositores como Schönberg y sus seguidores usaron para organizar el contenido tonal en sus trabajos. De la misma forma que los vectores y matrices permiten calcular resultados de movimientos en el plano, los vectores y matrices de Forte permiten calcular resultados de movimientos melódicos o armónicos. Hay que tener presente que los conjuntos y sus clases, que veremos a continuación, determinan únicamente el contenido tonal; los compositores continúan libres de modificar cualquier otro aspecto musical de acuerdo con sus deseos artísticos. Calculadora musical Para la mejor comprensión de los términos empleados, nos serviremos de una calculadora... musical. Se trata de un applet de Java, basado en el original realizado en 1997 por Jay Tomlin, muy útil para ensayar y comprobar los distintos procedimientos que iremos detallando. Para abrir la calculadora, basta pulsar en la siguiente imagen. Para elegir las notas, o desactivarlas, se pulsa sobre los números del disco (parte inferior izquierda). En el caso de que algún elemento gráfico deje de visualizarse, deberemos pulsar el botón Repintar. En cualquier momento se puede pulsar directamente sobre el teclado para oír el sonido de la nota correspondiente. Los conjuntos tonales Un conjunto tonal es simplemente una colección desordenada de entre 12 notas. Las doce únicas notas del teclado (en una octava) son numeradas de 0 a 11, empezando por Do. Por ejemplo, el conjunto tonal de las notas Do, Mi, Sol se puede escribir como (0,4,7). Número Nombre Intervalo (desde Do) 0 Do Unísono 1 Do sostenido 2ª menor 2 Re 2ª mayor 3 Re sostenido 3ª menor 4 Mi 3ª mayor 5 Fa 4ª justa 6 Fa sostenido 4ª aumentada o 5ª disminuida 7 Sol 5ª justa 8 Sol sostenido 6ª menor 9 La 6ª mayor 10 La sostenido 7ª menor 11 Si 7ª mayor 12 (= 0 mod12) Do 8ª Los compositores tratan estos conjuntos con diversos grados de libertad cuando aplican el método a su música atonal. El conjunto (0,1,6) se hizo tan popular entre Schönberg y sus discípulos que ha sido bautizado como El tricorde vienés. Calculadora. Ejercicio 1 Cuando la calculadora se inicia, el conjunto (0,1,6) es el que aparece por defecto. Para introducir un nuevo conjunto, se puede elegir entre: A. Pulsar el botón Escala, seleccionar un conjunto predefinido y pulsar OK. B. Escribir sobre el campo "Conjunto tonal" y presionar la tecla Intro. C. Introducir el conjunto directamente sobre el disco numérico, con el ratón. Cuando se escriba un conjunto (opción B) hay que asegurarse de que los números quedan separados por comas. Cualquier número superior a 11 se reducirá automáticamente a su equivalente módulo 12. Los espacios en blanco serán ignorados. La elección quedará señalada automáticamente sobre el disco de números y sobre el teclado del piano. Para oír el conjunto tonal, basta pulsar el botón Toca que aparece bajo el teclado. Se puede elegir entre escuchar las notas una a una (melodía) o simultáneamente (acorde). En el primer caso, se respetará el orden del conjunto. También se puede usar el botón Rotar para cambiar este orden. Inversiones Una melodía es invertida cambiando el sentido de los intervalos. Si el original es una tercera menor, la inversión devolverá una sexta mayor. En la Teoría de Conjuntos, cualquier nota puede ser invertida por sustracción de 12 (la inversión de 1 es 11, la de 2 es 10, etc.; las notas 0 y 6 son inversas de sí mismas). Observando el disco de números, se aprecia que la inversión de un conjunto produce su imagen reflejada en un espejo. El eje de inversión es la recta que une 0 y 6, así que veremos la inversión como si el original sufriese una reflexión horizontal. Calculadora. Ejercicio 2 Para invertir el conjunto en la calculadora, se pulsa el botón Invertir. Observemos en el disco de números que el conjunto queda reflejado respecto al original. También podemos obtener el complementario de un conjunto pulsando sobre el botón del mismo nombre, que cambia el conjunto por uno nuevo en donde figuran todas las notas que no pertenecían al conjunto original. Intervalos mínimos Los conjuntos pueden ponerse en intervalo mínimo, que es la forma de ordenar las notas del conjunto de manera que sea la más “compacta”. Esto significa que el mayor de los intervalos entre dos notas consecutivas pase a ser el que separa la primera y última nota. Si observamos el disco de números, el intervalo mínimo representará el recorrido más corto que recorra todas las notas. El conjunto (2,9,10), por ejemplo, no está escrito como intervalo mínimo porque el intervalo entre 2 y 9 es mayor que el intervalo entre 9 y 10 o entre 10 y 2. Para poner el conjunto (2,9,10) como intervalo mínimo, deberemos escribirlo como (9,10,2). Así, el intervalo más grande quedará "fuera". Si no existe ningún intervalo mayor que el resto, entonces el intervalo mínimo es la representación del conjunto en la que los intervalos más pequeños queden al principio del conjunto y los mayores al final, o dicho de otra forma, “más compactado a la izquierda”. Por ejemplo, el intervalo mínimo de (0,4,5,8) es (4,5,8,0). Calculadora. Ejercicio 3 La calculadora encuentra automáticamente el intervalo mínimo de cada conjunto, como podemos comprobar ensayando con distintos conjuntos. Formas básicas o clases de conjuntos Si obtenemos el intervalo mínimo de un conjunto y el intervalo mínimo de su inversión, entonces su forma básica es el conjunto más "compacto" de los dos anteriores, trasladado al 0. Por ejemplo, consideremos el conjunto (7,8,2,5), que llamaremos A: El intervalo mínimo de A es (2,5,7,8). La inversión de A es (5,4,10,7). El intervalo mínimo de la inversión de A es (4,5,7,10). Como (4,5,7,10) está más compactado a la izquierda que (2,5,7,8), elegimos (4,5,7,10) y lo trasladamos para que comience en 0. Obtenemos (0,1,3,6) que es la forma básica. Las representaciones en forma básica también son nombradas como clases de conjuntos. Por ejemplo, los conjuntos tonales (1,2,7), (8,2,3), y (0,11,6) pertenecen a la misma clase de conjuntos (0,1,6). Aplicación de las formas básicas La forma básica es una abstracción de las clases de conjuntos que nos ofrece una única imagen de esa colección particular de notas. Si dos conjuntos tienen la misma forma básica podemos asegurar que sonarán parecidos uno al otro. Los conjuntos con la misma forma básica contienen el mismo número de notas y la misma colección de intervalos entre ellas, así que existe una cierta equivalencia auditiva, de la misma forma que todos los acordes mayores son auditivamente equivalentes en la música tonal. Calculadora. Ejercicio 4 La calculadora encuentra automáticamente la forma básica de cada conjunto. Números de Forte Forte catalogó cada forma básica de conjuntos de 3 a 9 elementos y las ordenó de acuerdo a su contenido de intervalos. Asignó a cada forma básica un código, como "5-35". En este código, el primer número es un índice que indica el número de notas del conjunto, y el segundo número fue asignado por Forte. Los conjuntos complementarios tienen el mismo número de catálogo en el sistema de clasificación de Forte (por ejemplo, el complementario de 5-35 es 7-35). Aquí puedes ver una breve lista de algunos números de Forte populares: Forma Básica Número de Forte Tricordio vienés (0,1,6) 3-5 Tríadas mayor y menor (0,3,7) 3-11 Escalas mayor y menor (0,1,3,5,6,8,10) 7-35 Escala octatónica (0,1,3,4,6,7,9,10) 8-28 Calculadora. Ejercicio 5 La calculadora encuentra automáticamente el número de Forte de cada conjunto. Para ver una lista completa de los números de Forte, pulsemos el botón Escala y elijamos "Números de Forte" como criterio para seleccionar un conjunto predefinido. Vectores de clases de intervalos Los intervalos que son inversos uno del otro están en la misma clase de intervalo. (Los intervalos 1 y 11 están en la clase 1; 2 y 10 en la clase 2; 3 y 9 en la clase 3, y así sucesivamente.) Sólo hay 6 clases diferentes de intervalos, desde el 1 al 6. Así, el intervalo entre las notas 2 y 9 es 7 y pertenece a la clase de intervalos 5. Observa que los intervalos no tienen relación con las notas, sino con la distancia entre ellas. El vector de clase de intervalo es una disposición ordenada de 6 números <i1,i2,i3,i4,i5,i6> correspondientes al número de apariciones de cada clase de intervalo encontradas en un conjunto tonal. Por ejemplo, consideremos el conjunto (2,3,9). Aparece una vez la clase de intervalo 1 (entre 2 y 3), una vez la clase de intervalo 6 (entre 3 y 9) y una vez la clase de intervalo 5 (entre 2 y 9). Así, el vector de clase de intervalo correspondiente a (2,3,9) es <1,0,0,0,1,1>. Aplicación de los vectores de clases de intervalos El vector de clase de intervalo ofrece un resumen del contenido interválico de un conjunto y, por ello, una fiable indicación sobre su sonido. Calculadora. Ejercicio 6 La calculadora encuentra automáticamente el vector de clase de intervalo de un conjunto. T(n) y T(n)I La notación T(n) indica otro conjunto cuyas notas han sido trasladadas n semitonos respecto al original. Por ejemplo, si el conjunto original es (1,2,7), entonces T(3) deberá ser (4,5,10). La notación T(n)I significa lo mismo, pero con respecto a la inversión del original. Calculadora. Ejercicio 7 La calculadora encuentra automáticamente T(n) y T(n)I. Para cambiar el valor de n se utiliza la barra vertical a la izquierda de los campos T(n) y T(n)I. Para trasladar el propio conjunto se utiliza el botón < y el botón >. Matrices Cada matriz normal se genera como diferencia (T-matriz) o suma (I-matriz) de un conjunto consigo mismo, elemento a elemento. Por ejemplo, la matriz normal (I-matriz) generada por el conjunto (2,3,9) es: 2 3 9 2 4 5 11 3 5 6 0 9 11 0 6 Aplicación de las matrices Se puede usar una matriz para determinar si existe o no una inversión de sí mismo, y si es así, dónde. Por “inversión en sí mismo” se entiende la propiedad inherente a algunos conjuntos por la cual existe algún número n tal que T(n)I devuelve el mismo conjunto original. Para un conjunto con x notas, si existe un número n que aparece exactamente x veces en la matriz, entonces T(n)I contendrá las mismas notas que el conjunto original. Tomemos, por ejemplo, el conjunto (0,1,2,5,9): 0 1 2 5 9 0 0 1 2 5 9 1 1 2 3 6 10 2 2 3 4 7 11 5 5 6 7 10 2 9 9 10 11 2 6 Como (0,1,2,5,9) tiene 5 elementos, buscaremos algún número en el interior de la matriz que aparezca 5 veces. En este caso, sólo aparece uno de estos números: el 2. Esto significa que T(2)I nos devuelve el conjunto original: T(2)I de (0,1,2,5,9) es (2,1,0,9,5). Los compositores y teóricos llaman a esta propiedad combinabilidad. Calculadora. Ejercicio 8 Para generar la matriz de un conjunto, se pulsa el botón Matrices. Aparecerán nuevos botones que permitirán elegir entre la forma normal de la matriz, o invertir previamente el conjunto original. Sugerencia: Si un conjunto es combinable, ensayemos a pulsar el botón Rotar las veces suficientes para que un mismo número aparezca en la diagonal secundaria (arriba derecha - abajo izquierda) de la matriz. En el ejemplo anterior, si pulsamos Rotar cuatro veces, esa diagonal aparece cubierta por el número 2. 9 0 1 2 5 9 6 9 10 11 2 0 9 0 1 2 5 1 10 1 2 3 6 2 11 2 3 4 7 5 2 5 6 7 10
Jueves, 01 de Mayo de 2008 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Música y matemáticas
Autor:Rafael Losada
Un desastre de piano Una buena interpretación de una composición, incluso a cargo de una sola voz o de un solo instrumento, suele envolver sutiles matices, ligeras modificaciones en la duración, timbre, volumen o forma de atacar cada nota. Pero, en aras de una mayor claridad expositiva, concedámonos la libertad de simplificar al máximo, a pesar del rigor que indudablemente perderemos con ello, y pasar por alto estas sutilezas. Supongamos, pues, que contamos con un piano en un estado realmente lamentable. Las cuerdas están afinadas, pero sólo funcionan las 24 teclas centrales, entre teclas blancas y negras (dos octavas). Los pedales tampoco funcionan y, para colmo, cada nota suena exactamente igual independientemente de la fuerza o duración que empleemos en pulsar cada tecla. Abreviando, tenemos un instrumento que al teclearlo sólo puede dar 24 sonidos distintos. Por supuesto, la mayoría de los intérpretes rechazarían ejecutar una pieza musical con un instrumento así, incluso aunque la pieza fuera una simple melodía para la que bastasen las 24 notas con que contamos. Ahora bien, al margen de la calidad de la interpretación, estos mismos intérpretes admitirían ser capaces de tocar un sinfín de melodías lo suficientemente conocidas o populares para que el auditorio las reconociera de inmediato. Letras y notas Asociemos ahora a cada una de las teclas del maltrecho piano una letra, distinta en cada caso, de nuestro alfabeto, reservando el espacio en blanco para el silencio. Disponemos con ello de un simple sistema de transcripción melódica. Así, una melodía puede comenzar “KKLEK LNEK TLE...” Por último, supongamos que las frases melódicas que el paciente auditorio es capaz de reconocer corresponden con las frases con significado y sentido en nuestra lengua. Evidentemente, este es un paso audaz que requiere un especial consentimiento. La distribución de las notas y los silencios en una composición se encuentra lejos de parecerse a la distribución de letras y espacios en una frase. Mas, sea, consintamos generosamente, a pesar del manifiesto abuso. Atendamos ahora al público. Ante el comienzo anteriormente expuesto, el auditorio permanece impávido (tal vez confuso, tal vez horrorizado: ¿LNEK?), mientras que ante la melodía “LA LUZ AZUL ROZA...” sonríe y bate palmas. El teorema de los infinitos monos Si aporreamos el desastrado piano al azar, es casi seguro que el auditorio no reconocerá nada de lo que toquemos, pues difícilmente surgirán palabras inteligibles y mucho menos frases con sentido. Nos encontramos ante el “teorema de los infinitos monos” del matemático francés Émile Borel (1871-1956): letras escogidas al azar difícilmente podrán componer una obra literaria ya escrita. En nuestra versión, notas aleatorias difícilmente compondrán una melodía conocida. La composición Como vemos, el azar puro, incluso limitando las infinitas posibilidades reales a sólo 24 sonidos atómicos, es bastante ingobernable como proceso de creación musical. El azar en la creación artística semeja un fuerte condimento en una receta culinaria: puede darle el toque, pero no es la base. Se ha empleado el uso calculado y dirigido de alguna distribución de probabilidad como un componente en la creación de obras musicales, pero esa es otra historia (de la que hablaremos en otra ocasión). La composición, es decir, la planificación de todos los elementos que constituyen la obra, no sólo otorga consistencia y unidad a la misma sino que además facilita el reconocimiento tanto de la obra completa como de cada una de sus partes. Limitando el azar La libertad de tocar cualquier tecla del lamentable piano conduce, como hemos visto, a un resultado caótico. Limitemos pues los grados de libertad. Primero, no se podrá elegir cualquier letra (nota) sino sólo palabras (grupos de notas) de la lengua española (reconocibles). Esta limitación es muy fuerte, pues el número de palabras existentes es ridículo frente al número de variaciones posibles de letras aleatorias. No obstante, muchas melodías carecerán todavía de sentido: “PERRO LA LLOVER SIN...” Segundo, las palabras (grupos de notas) se clasificarán y ordenarán previamente, de forma que, por ejemplo, a un artículo le sucederá un sustantivo, a este un adjetivo, a este un verbo... facilitando así la conexión entre ellas para formar una frase con sentido. En música, esta clasificación se puede establecer atendiendo especialmente a la primera y última nota del grupo, fundamentales para marcar la tonalidad y enlazar un grupo de notas con el siguiente. Tercero (y decisivo), las palabras no pueden ser cualesquiera, sino que deben elegirse en cada caso una en una lista cerrada de posibilidades. Esto evita faltas de concordancia (como “LA PERRO”). Por ejemplo, la primera palabra sólo puede ser EL, UN, ALGÚN, OTRO, ESTE, ESE, AQUEL u otra similar. Permutaciones En 1974 Ernö Rubik inventa un rompecabezas que años más tarde se convierte en tal éxito de ventas a escala mundial que no necesita más presentación: su famoso cubo. El número de piezas es reducido, sólo 26, pero el número de diseños posibles es enorme: más de 43 trillones, un número de 20 cifras. No es la primera vez que un puzzle se populariza a esta escala. Un siglo antes, una humilde cajita con 15 piezas obsesionó a europeos y americanos. Inventada por un cartero de Canastota (NY), Noyes Chapman, fue no obstante el creador de acertijos Sam Loyd quien la popularizó ofreciendo una recompensa de 1.000 dólares -de la época (1880)- a quien fuese capaz de resolverlo a partir de una posición inicial... de distinta paridad, es decir, irresoluble. (En la posición inicial de Loyd, los números 14 y 15 aparecían permutados.) El número total de posibles permutaciones -a partir de una dada- es de más de medio billón (y otro tanto para las posiciones con distinta paridad). Pulsa aquí para ver una versión interactiva. Las recompensas continúan hoy siendo un buen reclamo publicitario. Actualmente, se ofrece un premio de dos millones de dólares a la primera persona que consiga resolver, durante este año 2008, un puzzle de 256 piezas comercializado como Eternity II. Al contrario que en el caso anterior, la existencia de solución está garantizada (incluso hay más de una, aunque muy pocas), pero el número posible de disposiciones de las piezas es inimaginable... ¡Tiene unas 600 cifras! En los casos expuestos vemos que la clave del atractivo, premios aparte, consiste en el gran contraste entre el escaso número de piezas fácilmente manipulables y el gran número de configuraciones posibles. Juego de dados musical En 1787, Mozart compone Musikalisches Würfelspiel (Juego de dados musical), una pieza que tiene la particularidad de que... ¡cada vez que se interpreta nadie la había escuchado antes, ni siquiera el propio Mozart! La obra consiste en 176 compases numerados, de los cuales todos se dedicarán a un minueto de 16 compases y 96 de ellos a un trío también de 16 compases. Complementa la obra una serie de instrucciones para la elección de los compases. Antes de interpretar la obra... ¡hay que crear la partitura! Para ello, se deben arrojar dos dados. La suma de los puntos obtenidos, entre 2 y 12, indicará el número del primer compás del minueto según la siguiente tabla. Se vuelven a arrojar los dados, y la puntuación indicará ahora el número del segundo compás. Sucesivamente, se completarán los 16 compases que constituyen el minueto. Minueto 1º 2º 3º 4º 5º 6º 7º 8º 9º 10º 11º 12º 13º 14º 15º 16º 96 22 141 41 105 122 11 30 70 121 26 9 112 49 109 14 32 6 128 63 146 46 134 81 117 39 126 56 174 18 116 83 69 95 158 13 153 55 110 24 66 139 15 132 73 58 145 79 40 17 113 85 161 2 159 100 90 176 7 34 67 160 52 170 148 74 163 45 80 97 36 107 25 143 64 125 76 136 1 93 104 157 27 167 154 68 118 91 138 71 150 29 101 162 23 151 152 60 171 53 99 133 21 127 16 155 57 175 43 168 89 172 119 84 114 50 140 86 169 94 120 88 48 166 51 115 72 111 98 142 42 156 75 129 62 123 65 77 19 82 137 38 149 8 3 87 165 61 135 47 147 33 102 4 31 164 144 59 173 78 54 130 10 103 28 37 106 5 35 20 108 92 12 124 44 131 Las casillas azules muestran, como ejemplo, un posible resultado de arrojar los dos dados 16 veces. En el primer lanzamiento se obtuvo una suma 2, en el segundo una suma 8, etc. Los compases correspondientes que se deben interpretar son los numerados como 96, 60, etc. Mozart no dispuso los compases al azar, sino mediante reglas estrictas que limitan el azar suavizando el paso de unos a otros, a la vez que rigen los intervalos armónicos y la tonalidad. Por ejemplo, los compases de la primera y última columna muestran el mismo tono fundamental, y entre ambos abundan los intervalos de quinta y cuarta, lo que favorece la armonía global según los gustos de la época. Una vez concluida la partitura del minueto, creamos la partitura del trío. El método es el mismo, salvo que ahora se arroja un solo dado al aire. La tabla correspondiente es la siguiente: Trío 1º 2º 3º 4º 5º 6º 7º 8º 9º 10º 11º 12º 13º 14º 15º 16º 72 6 59 25 81 41 89 13 36 5 46 79 30 95 19 66 56 82 42 74 14 7 26 71 76 20 64 84 8 35 47 88 75 39 54 1 65 43 15 80 9 34 93 48 69 58 90 21 40 73 16 68 29 55 2 61 22 67 49 77 57 87 33 10 83 3 28 53 37 17 44 70 63 85 32 96 12 23 50 91 18 45 62 38 4 27 52 94 11 92 24 86 51 60 78 31 La partitura resultante en nuestro ejemplo se puede ver y oír aquí. Cada uno de los 176 compases, por separado, lo puedes oír aquí. Probabilidad Observemos que mientras que todos los compases del trío tienen la misma probabilidad de aparecer en la partitura, no sucede igual con los compases del minueto. Al arrojar dos dados, la distribución de probabilidad de la puntuación, es decir, la serie de probabilidades de obtener cada suma, no es uniforme, pues sólo hay una forma de obtener suma 2 (1+1), mientras que existen 6 modos distintos de obtener suma 7 (1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2 y 6+1). La siguiente tabla nos muestra la probabilidad de cada puntuación al arrojar dos dados: Suma 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Prob. 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36 Esto significa que los compases que aparecen asociados a una de las sumas aparecerán, de media, en 2 de cada 3 compases (cuantos más minuetos generemos, más nos acercaremos a esta media). Contando posibilidades Calculemos cuántos minuetos y tríos distintos podemos formar. Para agilizar el cálculo, obviaremos que alguno de los 176 compases que integran Musikalisches Würfelspiel se repite, a pesar de tener distinta numeración. Esto reduce un poco el resultado que obtendremos, pero no significativamente. Para cada minueto, existen 11 elecciones posibles del primer compás. Por cada una de ellas, otras 11 para el segundo, y así sucesivamente. Habrá por tanto 1116 minuetos posibles, casi 46 mil billones, aunque no todos con la misma probabilidad, como hemos visto. Tenemos, de igual manera, 616 tríos posibles, casi 3 billones, todos ellos equiprobables. Conjuntamente, la obra minueto y trío alcanza 6616 posibilidades, un número de 30 cifras. Si cada habitante del planeta, unos 6 mil millones, interpreta una posibilidad distinta cada cinco minutos, hasta agotarlas todas, tardaríamos más de 200 billones de años (aunque es casi seguro que ni el sistema solar ni nuestra galaxia continuasen existiendo para entonces). Ahora bien, no es lo mismo agotar todas las posibilidades que estimar qué número de interpretaciones se deben haber realizado para que sea más probable que improbable que se produzca alguna repetición. Es decir, estimar cuándo una partitura generada según las reglas del juego ya no es un estreno, sino una reposición. ¿Cómo estimar este número? El problema del cumpleaños Este problema, famoso por su poco intuitiva solución, tiene un enunciado muy similar al que acabamos de exponer. Pregunta cuál es el mínimo número de personas necesarias para que entre ellas sea más probable que improbable que haya dos con la misma onomástica (no se consideran los años bisiestos). La sorprendente respuesta es 23. [Nota: Si usted no está familiarizado con este problema, debe prestar atención a que no se pretende la coincidencia de algún cumpleaños de las personas del grupo con otro concreto (el de usted, por ejemplo), sino de cualquiera de ellos con cualquier otro. La variante “¿cuántas personas como mínimo debe haber  para que sea más probable que improbable que alguna tenga mi onomástica?” ofrece una solución mucho más abultada: 253 personas.] Para alcanzar esa solución, denotemos por n el número de posibles cumpleaños, 365. Si hay x personas, cada una con n posibilidades, el número total de posibilidades es nx. Por otra parte, la primera persona puede tener cualquier cumpleaños. Para que no coincida la segunda, esta debe cumplir años en uno de los n - 1 días restantes. La tercera, en alguno de los n – 2 que quedan, y así sucesivamente. Por lo tanto, la probabilidad de que en x personas no coincida ningún cumpleaños es: La probabilidad buscada, de que exista alguna coincidencia, será por tanto: Con n = 365, basta una calculadora y un poco de paciencia para comprobar que para x = 22 esta probabilidad no alcanza 0.5, pero para x = 23 personas, ya la supera ligeramente. Sin embargo, en vez de la calculadora usaremos algo más potente como es el programa Derive: Conectando problemas Veamos ahora por qué es casi imposible repetir una partitura ya interpretada. Para poder aplicar el método anterior al Juego de dados musical, primero tenemos que solventar la dificultad presentada por la falta de uniformidad de la distribución de probabilidad que rige la generación de los minuetos. ¿Cuál es la probabilidad de que un compás de un minueto coincida con el mismo compás en otro? Para que se produzca esta coincidencia, debe ser igual la puntuación obtenida con los dados en ambos casos. Para que esto suceda con dos puntuaciones “2”, se debe obtener puntuación 2 en uno (probabilidad 2/36) e, independientemente, en el otro (misma probabilidad). La probabilidad de que ambos sucesos ocurran a la vez será por tanto (2/36)2. De la misma forma, la probabilidad de que coincidan dos puntuaciones “3” será (3/36)2, y sucesivamente, hasta la coincidencia de dos puntuaciones “12” con probabilidad, igual a la primera, de (2/36)2. Sumando todas estas fracciones, obtenemos la probabilidad de coincidencia de dos compases en la misma posición: 1/9. Para que coincida un minueto con otro, todos sus 16 compases deben coincidir uno por uno. Por lo tanto, la probabilidad de tal coincidencia es 1/916. Por otra parte, la probabilidad de que coincidan dos tríos era 1/616. Conjuntamente, tenemos que la probabilidad de una repetición exacta de una obra concreta es 1/5416. Ya podemos aplicar el mismo sistema usado en el problema del cumpleaños, sólo que ahora el año no tiene 365 días, sino 5416: Desafortunadamente, la expresión anterior se muestra ahora intratable, dado lo elevado de los números implicados. Si intentamos resolver con Derive la ecuación resultante de igualarla a 0.5, como hemos hecho antes, no obtendremos resultados (de hecho, para resolver la ecuación para n = 365 Derive ya necesitó 70 segundos en el ordenador que empleamos). Habrá que buscar alguna forma de simplificarla primero. La fórmula de Stirling Esta fórmula permite aproximar muy bien los grandes factoriales (cuanto más grandes, mejor es la aproximación, y en nuestro caso los factoriales son realmente grandes): Aplicándola a nuestra probabilidad y reduciendo, obtenemos: La ecuación correspondiente, igualando a 0.5, continúa resultando impracticable para Derive. Pero ahora tenemos exponenciales en vez de factoriales, lo que nos permite aplicar logaritmos y obtener por fin la ecuación: (n – x + 0.5)(L(n) – L(n−x)) – x + L(2) = 0 Su solución la encuentra Derive al instante: Un número de 17 cifras. Retomando el ejemplo del planeta, si cada terrícola genera e interpreta una obra cada cinco minutos, siguiendo las reglas de Mozart, es de esperar que al cabo de unos 78 años se produzca alguna repetición. Claro que si sólo es un (infatigable) habitante el encargado de la tarea, deberíamos esperar que la coincidencia se produzca en un plazo seis mil millones de veces mayor. Webs En las siguientes direcciones de Internet podemos oír y generar automáticamente una partitura según las reglas de Mozart. En el primero, además, podemos guardar una copia: http://sunsite.univie.ac.at/Mozart/dice/ http://web.ard.de/radio/mozart/wuerfelspil/wuerfelspiel.swf
Martes, 01 de Enero de 2008 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Música y matemáticas
Autor:Vicente Liem
1. Introducción 2. Afinaciones y Temperamentos 3. Conceptos básicos 4. Sistemas de afinación 4.1. Afinación pitagórica 4.2. Justa entonación 4.3. Temperamentos cíclicos regulares 5. Bibliografía 1. Introducción Para estudiar un sonido hay, al menos, tres cualidades que debemos tener en cuenta: La intensidad que es la medida de lo fuertes o débiles que son los sonidos. Por extraño que parezca es difícilmente apreciable por el oído si no están en el mismo tono. El tono determina la altura de un sonido, es decir lo grave o agudo que es. El timbre es la cualidad que nos permite distinguir sonidos idénticos emitidos por instrumentos distintos. En esta sección, como vamos a estudiar la afinación, sólo estamos interesados en el tono, y por tanto vamos a identificar cada sonido con la frecuencia que nos da el tono. Los archivos sonoros, salvo que se advierta de lo contrario, están generados con el programa MATHEMATICA® Como muestra intuitiva de la importancia que tiene en la música la “forma de afinar”, a continuación analizamos dos fragmentos en los que se puede observar y escuchar dos tipos de música de estilos muy diferentes. Sin embargo, obviando las grandes diferencias técnicas (la primera es una grabación del año 2002 hecha en Estambul y la segunda una grabación del año 1929 extraída de un disco de pizarra), ambos fragmentos comparten muchas características fundamentales. La primera es obra de un compositor contemporáneo turco y la segunda de una interpretación de de “cançò d’estil” de Paterna -Valencia. En ellas, aunque se desconozca su origen, y con independencia de la cultura musical de cada uno, cualquiera puede apreciar que se trata de música popular. Las razones que nos permiten situarlas dentro de la música folclórica son, básicamente las siguientes: 1. Los ritmos, tipo instrumentación, etc. no son los de la música sinfónica 2. Aparecen notas diferentes a las que se escuchan en otros tipos de música En estos momentos, a nosotros nos interesa especialmente el segundo aspecto: Se utilizan muchas más notas que en la música occidental sinfónica. ¿Significa esto que hemos escuchado notas que están desafinadas?. Sin duda, la respuesta es no. Lo que ocurre es que no están afinadas en el sistema temperado al que está habituado nuestro oído. Analicemos más detenidamente los dos primeros compases del primer pentagrama: 2. Afinaciones y Temperamentos Si los interpretamos en el sistema temperado de 12 notas (el más extendido en la música occidental actual) y en el sistema de afinación pitagórico comprobamos que hay diferencias claramente perceptibles: Escuchemos, por ejemplo, la cuarta nota (Si b) en cada uno de los sistemas y luego juntas para apreciar la diferencia El objetivo de esta sección es entender situaciones como ésta e intentar responder con argumentos matemáticos a preguntas como las siguientes: ¿Qué es afinar? ¿Ha sido siempre así? ¿Por qué en la música occidental se utilizan 7 o 12 notas por octava y no otras cantidades? ¿Se puede afinar una orquesta sinfónica? ¿Cuál es el papel de las matemáticas en la afinación? El esquema que seguiremos será el siguiente: A lo largo de la Historia han aparecido centenares de afinaciones de las que sólo se siguen utilizando alrededor de media docena. La razón por la que trataremos estas cuatro formas de afinar es que éstas son las cuatro afinaciones que conviven en la orquesta clásica actual. 3. Conceptos básicos Una afinación o un sistema de afinación es el conjunto de los sonidos que utiliza la Música. En el conjunto de las frecuencias de todos los sonidos, R+ tenemos que elegir aquellos que sirven para hacer música y descartar el resto. Los sonidos admitidos por el sistema de afinación se denominarán sonidos afinados o notas musicales. Según sea la naturaleza de los números elegidos se tiene dos tipos de sistemas de afinación: las afinaciones y los temperamentos. En las primeras todos los números son racionales mientras que en los temperamentos algunos (o todos) son irracionales. Ahora bien, a pesar de que esta clasificación cada día se usa más en los tratados de música lo cierto es que tanto histórica como conceptualmente los temperamentos han surgido como aproximaciones a las afinaciones sin que, normalmente, se tuviese en cuenta el tipo de números utilizados. Una vez introducido, aunque sea grosso modo, el concepto de afinación, cabe preguntarse si éste puede ser todavía un tema de interés para alguien que no se dedique al estudio de la Historia. La aparición esporádica de artículos en revistas de física o matemáticas tratando temas de música podrían dar una contestación a esta pregunta. Sin embargo, las necesidades de músicos y musicólogos proporcionan un respuesta mucho más convincente. Éstos han establecido dos campos de actuación: • la búsqueda de nuevas afinaciones que aumenten las posibilidades en la creación musical • la recuperación de la fidelidad a partituras antiguas. En este último sentido, M. Bernal asegura que "uno de los principales problemas que se presentan en la praxis de la música antigua para tecla es el de la elección del temperamento adecuado" Revista de Musicología, 22 (1999) Entendiendo por adecuado aquel temperamento para el que fue concebida. De hecho, incluso la expresión "buen temperamento", empleada al menos a partir de la obra Clave bien temperado (Das wohltemperierte Klavier I, 1721) de J. S. Bach, resulta imprecisa. Como aclara J. J. Goldáraz buen temperamento no designa una única forma de afinar y continúa siendo un tema de discusión conocer si se trataba realmente del sistema de afinación de 12 notas por octava o se tratataba de otro temperamento de los que en la época se utilizaban en Alemania. La octava En todos los sistemas de afinación aparece el concepto de octava. Un sonido de frecuencia f1 se dice que es una octava más grave que otro f2 si f2 = 2·f1. Hasta tal punto es intuitiva esta idea, que se usa de forma natural aunque no se tenga formación musical. Piénsese, por ejemplo, cuando cantan juntos un hombre y una mujer. El hombre suele cantar una octava más grave y sin embargo cualquiera reconoce que están interpretando las mismas notas. A partir del concepto de octava, lo que se hace es partir el intervalo de frecuencias audibles por octavas: … [f, 2f], [2f, 4f], [4f, 8f], … e identifican las notas que están a diferente octava. Es decir, hablaremos de un Do sin importarnos la octava en la que se encuentra. Por tanto, es mucho más cómodo suponer que las notas están en el intervalo [1,2]. Afinar es elegir una cantidad finita de puntos del intervalo [1, 2] Siete notas Al menos desde el primer milenio antes de Cristo, los caldeos relacionaron muy estrechamente la música con la astrología y las matemáticas. De hecho, el destino de los hombres y la armonía del Universo se explicaba usando especulaciones matemáticas a las que atribuían multitud de propiedades. Parece ser que esto dio lugar a que numerosos fenómenos cósmicos fuesen representados por la comparación entre las longitudes de cuerdas tirantes. De este modo aparecieron cuatro relaciones asociadas con las cuatro estaciones del año que, por su importancia, tomaron nombres propios: 1/1 unísono 3/2 quinta 4/3 cuarta 2/1 octava Entre los números cuyas propiedades eran especialmente útiles en la predicción de sucesos destacaban el 4 y el 7. De hecho, probablemente la antigua escala caldea era de siete notas. En occidente, a partir de los caldeos y sobre todo de los pitagóricos (siglo VI. a. C.) se ha considerado que las notas fundamentales eran 7 y que el resto eran alteraciones de estas notas. A las alteraciones se les llama sostenidos ( # ) si aumentan la frecuencia y bemoles ( b ) si la disminuyen. Pero no precisaremos más en la definición de las alteraciones porque, como se verá más adelante, dependiendo del sistema de afinación significarán una cosa u otra. Tonos y semitonos Se trata de intervalos que en la práctica se emplean más que los dados anteriormente. Dadas dos notas f1, f2 se tienen las siguientes relaciones: Tono ( T ): Decimos que f2 es un tono más alta que f1 si se puede obtener a partir de f1 subiendo dos quintas y bajando una octava. Semitono cromático ( Sc ): Decimos que f2 es un semitono cromático más alta que f1 si se puede obtener a partir de f1 subiendo siete quintas y bajando cuatro octavas. Semitono diatónico ( Sd ) Decimos que f2 es un semitono diatónico más alta que f1 si se puede obtener a partir de f1 subiendo cinco quintas y bajando dos octavas. Hay sistemas de afinación en los que aparecen varios tipos de quinta, por tanto la distancia de tonos y semitonos dependerá del sistema. Algunas de estas afinaciones verifican: T=Sc+Sd e incluso se da Sc=Sd. Sin embargo, en general, no tienen por qué darse estas condiciones. 4.1. Afinación pitagórica Es muy probable que Pitágoras de Samos (580 –500 a. de C.), tras un largo periodo de estudio en las escuelas mesopotámicas, llevase las teorías de la música y los principios de la afinación a Grecia. Tal y como hacían los caldeos, estableció que el sonido musical producido por una cuerda vibrante varía en razón inversa a su longitud, esto es: "cuanto más corta sea la cuerda, más aguda será la nota producida". Además, estableció cuatro intervalos, o relaciones entre las longitudes de las cuerdas que producían las únicas consonancias admitidas: Para producir todos los sonidos afinados (notas musicales) sólo se dispone de estos cuatro intervalos y sus combinaciones. Expresado de forma axiomática, el sistema de afinación pitagórico se obtiene de la forma siguiente: P1. La música se basa en 7 notas. P2. La longitud de las cuerdas puede ser multiplicada o dividida por 3 cualquier número de veces. P3. La longitud de las cuerdas puede ser multiplicada o dividida por 2 cualquier número de veces. En lugar de manejar la longitud de las cuerdas estudiaremos las frecuencias producidas por éstas. El axioma P2 sube quintas cuando se multiplica por 3 y las baja cuando se divide y el axioma P3 sube o baja octavas cuando se multiplica o divide por 2. El sistema de afinación que se obtiene con los axiomas anteriores es relativo porque dada una cuerda L de cualquier longitud, aplicando P1, P2 y P3 se obtienen notas que suenan afinadas con la producida por L. Para que este sistema de afinación sea absoluto, y por tanto aplicable, necesitamos imponer que una nota, a la que denominaremos nota patrón o diapasón, forme parte de las notas afinadas: Notas afinadas: Consideramos una frecuencia patrón f0. Dado un sonido f diremos que está afinado en el sistema pitagórico si existen n y m números enteros de manera que: 3n 2m f0 = f Ya estamos en condiciones de obtener de forma práctica las notas de la afinación pitagórica. Todas las notas de la afinación pitagórica se obtienen aumentado o disminuyendo quintas, es decir, dada una frecuencia f multiplicamos o dividimos por 3/2 cualquier número de veces. Ahora bien, como hemos dicho que una afinación consiste en elegir puntos de [1,2], debemos dividir o multiplicar por una potencia de 2 adecuada de manera que el factor que multiplica a f esté en el intervalo [1,2]. Ejemplo Supongamos que el sonido f lo subimos dos quintas. La nota que se obtendría es: Para llevar esta nota a la misma octava que f (hacer que el factor que multiplica a f esté en el intervalo [1,2] debemos dividir por 2. Es decir que la nueva nota afinada será: Método para obtener las notas 1.- Asociamos cada una de las notas con un número, es decir 0 = Do, 1 = Re, 2 = Mi, 3 = Fa, 4 = Sol, 5 = La, 6 = Si 2.- Escribimos tablas de 7 columnas y 4 filas: 0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6 En la primera fila marcamos la nota central (3) 0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6 A partir de la nota 3 marcamos las notas que se obtienen contando 5 casillas (OJO porque la casilla de partida también se cuenta) 0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6 Cada vez que hemos marcado una casilla nueva hemos aumentado una quinta, y repitiendo el proceso siete veces obtenemos las notas naturales en el orden siguiente: Fa – Do – Sol – Re - La - Mi - Si Para obtener más notas ampliamos el número de matrices o tablas. Con ellas aparecerán, en un sentido, las notas con un sostenido, con dos, etc y en el sentido contrario las notas con 1 bemol, 2 bemoles, etc. Cada vez que vamos de una nota marcada a otra bajando en la tabla multiplicamos por 3/2 tantas veces como notas marcadas haya. Y en el sentido contrario lo que haremos es dividir por 3/2 . Ejemplo: A partir de un Do (natural), ¿cómo se obtiene un Fa# y un Mib? a) Desde el Do (natural) al Fa# hay que subir 6 quintas (hemos contado 6 casillas de las que hemos marcado previamente) por tanto se obtiene de la forma siguiente: Para que el Do (natural) y el Fa# estén en la misma octava debemos dividir por una potencia de 2 , en concreto 2 3, es decir: b) Desde el Do (natural) al Mib hay que bajar 3 quintas (hemos contado 3 casillas de las que hemos marcado previamente) por tanto se obtiene de la forma siguiente: Para que el Do (natural) y el Mib estén en la misma octava debemos multiplicar por una potencia de 2 , en concreto 2 2, es decir : Las fracciones para obtener las notas más frecuentes son las siguientes: Para el sistema pitagórico, por ejemplo un Lab y un Sol# son dos notas diferentes:   ¿Cuántas notas deben aparecer dentro de una octava? Con el método que hemos descrito podríamos generar una cantidad infinita de notas dentro de una misma octava, por tanto debemos añadir algún criterio que permita detenernos cuando se tiene una cantidad razonable de ellas. Sería lógico pensar que un buen momento para parar es cuando empiecen a repetirse los sonidos. Sin embargo, como se puede demostrar que esto no va a ocurrir nunca, deberemos conformarnos con aceptar como iguales sonidos que sean “muy parecidos”. En la gráfica siguiente hemos representado las 70 primeras notas de la afinación pitagórica. En el eje de abcisas se representa el orden en el que aparecen y en el de ordenadas la fracción con la que se obtiene. Por ejemplo, la primera nota es el punto (0,1). Cuando obtengamos una nota cuya ordenada esté muy próxima al 1 nos detendremos. La primera vez que nos acercamos al sonido inicial es cuando tenemos 12 notas, y ésta es la razón por la que la inmensa mayoría de la música que se escucha en la actualidad está hecha para el Temperamento Igual de 12 notas del que más tarde hablaremos. Si queremos mayor precisión necesitamos 53 notas, y si continuásemos 665 notas, etc., pero sin duda estas cantidades resultarían poco prácticas. Como se ve, el hecho de fijar 7, 12 u otro número de notas por octava no es una cuestión trivial y depende de la precisión que se exija en el parecido con la nota de partida. De hecho, esta elección no siempre se ha hecho con éxito. Por ejemplo, Robert Smith, en Harmonics, or the Philosophy of Musical Sounds (1749), propone 21 divisiones por octava para el temperamento de 5/18 de coma zarliniana y, como se apreciaría más tarde desde el punto de vista práctico, esto no tenía sentido. 4.2. Justa entonación Con el nombre de afinación justa o de los físicos se conocen varios sistemas de afinación que añaden el intervalo 5/4 a la afinación pitagórica para representar la tercera. La forma de incorporarlo es ajustando algunas notas de la afinación pitagórica, por tanto deben considerarse correcciones a la afinación pitagórica. En la afinación pitagórica, la tercera no se considera un intervalo consonante, sino que aparece subiendo cuatro quintas. Tercera pitagórica Tercera justa Do->Mi Do->Mi Oyéndolas juntas se percibe bien la diferencia: De todos los intentos por incorporar el intervalo de tercera a la afinación pitagórica, el que se utiliza en la práctica es el de Aristóxeno-Zarlino. No obstante, a continuación citamos otras propuestas bastante conocidas. Modificaciones de Arquitas Arquitas de Tarento (430-360 a.C.) es un discípulo de Pitágoras que dedicó gran parte de su investigación a la afinación. Advirtió que los intervalos pitagóricos 2/1, 3/2 y 4/3 son de la forma Teniendo en cuenta esto, propuso dividir la cuarta en tres intervalos que verifiquen esta relación, para lo cual propuso añadir tres nuevas proporciones: Así aparecen los valores siguientes: entre los que, por primera vez, se tiene el intervalo de tercera 5/4 que había estado prohibido por los primeros pitagóricos. Modificaciones de Tolomeo Claudio Tolomeo (100-170) parte de los conceptos pitagóricos de afinación y en su obra Harmónicos expone una teoría matemática de los sonidos en las que aparecen dos tipos de escala una fija, tética, y una móvil, dinámica. A pesar de que su sistema de afinación es más complejo que los dos anteriores, en él siempre aparece el intervalo de tercera. Como ocurría con los pitagóricos, los sonidos que consideran afinados están relacionados con su modelo del Universo. Modificaciones de Zarlino y Delezenne Gioseffo Zarlino (1517-1590) justificó los acordes con razones matemáticas que resultaron totalmente premonitorias de los armónicos. Estableció que había una afinidad entre los sonidos cuyas frecuencias son proporcionales a 1, 2, 3, 4, 5, 6 y comprobó que éstos eran emitidos por cuerdas de longitudes Delezenne (1776-1866) modificó la afinación de Zarlino y de hecho en la actualidad es habitual que en la afinación justa se mezclen notas de Zarlino con las de Delezenne. Ha habido otras muchas más propuestas, como la de Johannes Kepler (1571-1630) que, a pesar de resultar muy ingeniosas, no han supuesto aportaciones considerables a la consolidación de la Justa Entonación. Afinación de Aristóxeno-Zarlino Arsitóxeno de Tarento (360-300 a.C.) es un discípulo de Aristóteles que estudió con profundidad las doctrinas pitagóricas. Rechaza asociar las consonancias naturales de quinta, cuarta y tercera con relaciones numéricas y sostiene que basta con el oído para conseguir la afinación. A pesar de que históricamente no se introdujo como se expondrá a continuación, una forma sencilla de presentar la afinación de Aristóxeno-Zarlino es la siguiente: Consideramos una aproximación de la quinta pitagórica (3/2) dada por A partir de aquí (y en todos los tratados de música), como conviene distinguir entre ambos intervalos, se les da nombres diferentes. La quinta dada por 3/2 se llama quinta natural y la quinta dada por 40/27 se llama quinta sintónica. Una vez fijada esta aproximación, la afinación de Aristógeno-Zarlino es una afinación hecha por quintas naturales (como la de Pitágoras) pero en la que algunas de ellas han sido sustituidas por quintas sintónicas. En la tabla siguiente marcamos sólo las sintónicas y entenderemos que el resto son naturales: Teniendo en cuenta estas correcciones a la afinación pitagórica, las notas más frecuentes se obtendrían con las siguientes fracciones: A pesar de la diferencia entre las fracciones que aparecen en la afinación pitagórica y la de Aristóxeno-Zarlino, podéis comprobar que el resultado es parecido: Escala Pitagórica Escala Justa Entonación En la afinación de Aristóxeno-Zarlino, al aparecer dos tipos de quinta, aparecen dos tipos de tono: Tono grande: 9/8 Ejemplo: Do-Re Tono pequeño: 10/9 Ejemplo: Re-Mi y tres tipos de semitono: Semitono diatónico grande: 27/25 Ejemplo:Do-Reb Semitono diatónico pequeño: 16/15 Ejemplo:Mi-Fa Setinono cromático: 25/24 Ejemplo: Do-Do# Sin duda, esta circunstancia dificulta enormemente el uso de la justa entonación en la música polifónica. Comentario Desde un punto de vista meramente aritmético podemos decir que el sistema pitagórico sólo maneja sonidos que se pueden obtener mediante potencias de 2 y de 3 a partir de una frecuencia dada f0. La justa entonación añade al sistema pitagórico las potencias del 5. Vista esta secuencia lógica, la pregunta es evidente: ¿por qué no seguir con las potencias de 7 y de 9, etc.? Las razones para detenernos en el 5 son de diversa índole. En primer lugar hay razones estéticas: el intervalo de séptima convive con dificultad con los intervalos de la afinación de Zarlino. Por otro lado, cada vez que se añaden nuevas frecuencias se están incrementando los inconvenientes de los sistemas de afinación. Sirva como resumen de estos razonamientos el fragmento de la carta, fechada el de 3 de mayo de 1760, que Leonhard Euler (1077-1783) escribió a Federica Carlota Ludovica von Brandenburg Schwedt, princesa de Anhalt Dessau (1745 – 1808), para instruirla sobre temas de música (Euler, 1990): Carta VII: De los doce tonos del clavecín: “Mi intención era presentar a Vuestra Alteza el verdadero origen de los sonidos empleados en la música, casi totalmente desconocido para los músicos; pues no es la Teoría lo que los ha conducido al conocimiento de los tonos, lo deben más bien a la fuerza oculta de la verdadera Armonía, actuando tan eficazmente en sus oídos que, por así decirlo, los forzó a recibir los tonos actualmente en uso, aunque no estén suficientemente decididos sobre su justa determinación. Ahora bien, los principios de la Armonía se reducen en último término a números, [...] el número 2 produce sólo octavas [...]. Después el número 3 produce los tonos que difieren de los anteriores en una quinta. Pero introduzcamos también el número 5 y veamos cuál sería el tono que produce 5 vibraciones, mientras que el F no hace más que una. [...] los músicos lo indican con la letra , [...] es llamado una tercera mayor y produce una consonancia muy agradable, estando contenido en una proporción de números bastante pequeña, 4 y 5. [...] (Así ) tendréis las teclas principales del clavecín que según los antiguos, constituye la escala llamada diatónica que deriva del número 2, del número 3 repetido tres veces y del número 5. No admitiendo más que estos tonos, se está en condiciones de componer muy bellas melodías, cuya belleza se fundamenta únicamente en la simplicidad de los números que producen estos tonos. [...] Si se quisiera también introducir el número 7, el número de tonos de una octava sería mayor, y se llevaría toda la música a un grado más alto. Pero aquí la Matemática abandona la armonía a la Música.” 3 de mayo de 1760 Ventajas e inconvenientes de las afinaciones Ventajas En las afinaciones, como los sonidos afinados se obtienen con números racionales, los intervalos que aparecen son naturales, es decir, que las notas musicales se corresponden con armónicos de la serie natural. Por ejemplo, en el sistema pitagórico están afinados todos los armónicos que son múltiplos de 2 y de 3, mientras que en el sistema de Zarlino, están afinados los múltiplos de 2, de 3 y de 5. Dicho de otro modo, el primer armónico que no está afinado en el sistema de Pitagóras es el quinto, mientras que en el sistema de Zarlino es el séptimo. Inconvenientes Para determinar el número de notas por octava hemos supuesto que dos notas son iguales cuando en realidad son muy parecidas. Esto hace que al sonar dos o más instrumentos diferentes simultáneamente las afinaciones resulten poco prácticas. Veámoslo en el siguiente ejemplo. Ejemplo: Un cantante tiene dificultades para interpretar los tonos graves y prefiere que se suba toda la música una quinta. A esto se le llama transposición. Transposición: Consiste en subir (o bajar) una nota o un conjunto de ellas un intervalo p/q. Para ello basta con multiplicar (o dividir) las frecuencias de las notas por p/q. Si los instrumentos afinaban en el sistema pitagórico con 12 notas: Mib Sib Fa Do Sol Re La Mi Si Fa# Do# Sol# cuando en la partitura aparece un Sol# , al subir una quinta el efecto será Sol#·(3/2) = (38/212)·(3/2) = 39/213 = Re# Sin embargo, esta nota no aparece entre las 12 que hemos seleccionado. La más parecida es Mib = 25 / 33 Así, cuando se interpreta Mib en lugar de Re# el error que se está cometiendo es el que ya habíamos escuchado cuando distinguíamos entre Lab y Sol# : 4.3. Temperamentos cíclicos regulares Los temperamentos cíclicos surgen en la práctica para evitar, entre otros, los problemas que acabamos de analizar. Lo que se hace es disminuir las quintas “templar” de manera que se repita la primera nota, pero claro está, de manera que el resultado sea aceptable. A continuación analizaremos los dos temperamentos más utilizados en nuestros días: El temperamento igual de 12 notas, que es un temperamento regular e igual y el temperamento de Holder, que es un temperamento regular mesotónico. Matemáticamente, la forma de obtener los temperementos cíclicos es muy sencilla. Si queremos obtener un temperamento cíclico de n notas dividimos el intervalo [1, 2] en n subintervalos iguales. Para obtener el extremo inferior del 2º subintervalo multiplicamos por x el extremo inferior del 1º, para obtener el del 3º multiplicamos el del 2º, es decir x2 por el 1, y así sucesivamente hasta obtener el último que sería xn por 1, etc. Con este proceso lo que aseguramos es que si multiplicamos el 1 por x n veces debemos obtener el 2, es decir xn x 1 = 2 => x = Por tanto, las notas afinadas en un temperamento cíclico de n notas serán: Temperamento igual de 12 notas Divide la octava en 12 semitonos iguales. Fue el español Bartolomé Ramos de Pareja (1440 - 1491) quien lo sistematizó en 1482, cuando ejercía como profesor de Música en la Universidad de Salamanca y en Bolonia. En su tratado Música Práctica (1482) se encuentran teorías renovadoras y maneras de calcular diferentes clases de intervalos. Este sistema, que tardó mucho tiempo en imponerse, lo consagró J. S. Bach (1685 - 1750) en su obra El Clave Bien Temperado donde realiza 48 Preludios y fugas (en dos libros) en todas las tonalidades. A pesar de su pobreza, debida a que elimina algunas notas naturales que vienen dadas por la escala de armónicos, el temperamento igual de 12 notas es el sistema más empleado por sus ventajas teóricas y prácticas. Por propia construcción, la distribución de semitonos en el sistema temperado de 12 notas resulta totalmente uniforme: Temperamento de Holder William Holder (1614-1697) utiliza un procedimiento mediante el cual divide la octava en 53 partes, notas o comas, de esta forma un tono contiene 9 comas, el semitono cromático 5 y el diatónico 4. El sistema utilizado por Holder no es más que una adaptación del sistema Pitagórico y, de hecho, cuando se compara ambos sistemas dan resultados prácticamente iguales. En el temperamento de Holder, si nos quedamos con las notas más habituales, 7 notas naturales, 5 notas con sostenido y 5 notas con un bemol, la distribución que se obtiene es prácticamente la misma que en la afinación pitagórica: Ventajas y desventajas de los temperamentos El Temperamento de 12 notas Ventajas Como hemos señalado, en este temperamento cada una de las doce partes es un semitono temperado. Todos los semitonos son iguales, por tanto, las notas enarmónicas coinciden, así La#=Sib, Mi#=Fa, etc. Obviamente, en este sistema sólo existe un tipo de tono y de quinta, lo que le proporciona grandes ventajas: a) Puede modularse libremente a cualquier tonalidad sin que existan intervalos impracticables. b) El número de notas resulta muy apropiado para la práctica musical. Inconvenientes a) No existen intervalos justos. Al obtener los intervalos mediante números irracionales, éstos no se corresponden exactamente con la serie armónica de ninguna nota. b) Aunque las quintas son bastante buenas, las terceras mayores están muy desviadas. Según J. J. Goldáraz (Goldáraz, 1992) la desafinación de las terceras, junto con la igualdad de los semitonos “que empobrecían la expresividad musical, fue lo que hizo que se retrasase su aplicación general al menos dos siglos a partir de las primeras formulaciones del siglo XVI”. Sin embargo, en la actualidad, estamos tan acostumbrados a este temperamento que el intervalo justo de tercera nos suele parecer excesivamente apagado. En cualquier caso, surge un orden de prioridades a la hora de valorar las propiedades de los temperamentos. En términos generales, es perferible la perfección en las quintas que en las terceras (Lattard, 1988; Goldáraz, 1992). El Temperamento de Holder Desde el trabajo del profesor Robert Dussaut, Explicación de las comas en los distintos sistemas acústicos (Chailley, Challan, 1965), el sistema de Holder se ha considerado como un sistema de afinación idóneo para trabajar con la afinación pitagórica. Ventajas Las ventajas de este sistema de afinación aparecen en los estudios teóricos. Las diferencias con el sistema pitagórico son inapreciables, sin embargo el hecho de dividir la octava en 53 comas-holder iguales hace que sea mucho más fácil de manejar. Inconvenientes En cuanto a los inconvenientes, posee los de cualquier temperamento: los intervalos que aparecen no se corresponden exactamente con los sonidos de la serie armónica. Pero sin duda, el mayor inconveniente práctico de este sistema es que 53 notas por octava resulta un número excesivamente grande. Como muestra de las diferencias entre los sistemas que hemos analizado, podemos observar las frecuencias de las notas más habituales en los cuatro sistemas de afinación: NOTA: Para elaborar esta tabla se ha fijado el diapasón, La4 , a 440 Hz. 5. Bibliografía J. Agulló (Editor), Acústica musical. Ed. Prensa Científica S. A., Barcelona, 1989. P. Bailache, Travaux en histoire de l'acoustique musicale, http://baihache.humana.univ-nantes.fr/thmusique/ A. Baker, A concise introduction to the theory of numbers. Ed. Cambridge University Press, 1984. M. Bernal Ripoll, El temperamento de Nassarre: Estudio Matemático. Revista de Musicología, 22, pp. 157-174, Madrid, 1999. W. F. Bynum et al., Diccionario de historia de la ciencia. Ed. Herder, Barcelona, 1986. A. Calvo-Manzano Ruiz, Acústica físico-musical. Ed. Real Musical, Madrid, 1993. J. Chailley, H. Challan, Teoría completa de la Música. Ed. Alphonse Leduc, Paris, 1965. L. 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Jueves, 01 de Enero de 2004 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Música y matemáticas
Autor:Francisco Gómez Martín (Universidad Politécnica de Madrid)
1. Introducción Dejadme que os hable del teorema del hexacordo, que no es incordio. Hexacordo significa seis notas, una tras otra. Lo inventó Guido d'Arezzo, para solfear, con salero y aderezo. Mucho más tarde, cuando el tonalismo arde, Schoenberg estudia los hexacordos. Como sabéis, Schoenberg es furioso practicante del dodecafonismo, sistema que basa la composición musical en la elección de una seria serie de 12 notas distintas, alrededor de la cual gira toda la elaboración formal del material musical. Por ejemplo, la seria, digo serie, de abajo aparece al comienzo de su ópera La escalera de Jacob, tocada en ostinato por los violonchelos. Figura 1: Serie dodecáfonica perteneciente a La escalera de Jacob. Schoengerg dividía la serie en dos hexacordos y se afanaba por encontrar en ellos alguna brillante propiedad, con talante y gravedad. Una que le llamaba la atención, le regañaba, era el contenido interválico. Schoenberg contaba, algunas veces incluso cantaba, todos los intervalos entre las notas de un hexacordo. Estaba calculando su contenido interválico. Se asombraba al comprobar que los contenidos interválicos de los dos hexacordos de una serie coincidían. Estaba, en esencia, en presencia del teorema del hexacordo. Lo usó de manera intuitiva, sin duda fruitiva y quizás algo plausiva (Babbit [Bab87] dixit). Schoenberg se planteaba un erotema (no teman; de eros, nada): "¿Habrá teorema del hexacordo? Acorde a mí, sí (de mi a si, sin acento: una quinta)" -se decía el compositor. Pero no sabía cómo establecerlo. Veamos qué es el teorema del hexacordo con ayuda de la geometría. Una nota de una serie dodecafónica puede representar una nota de cualquier octava; en la figura 1 las notas de la serie se escribieron en el ámbito de una octava. Las notas de la serie son en realidad clases de alturas. Las 12 notas representaremos como puntos en un círculo; las sentaremos equiespaciadas, donde la distancia entre dos puntos es un semitono. La figura 2 muestra el hexacordo de más arriba. Figura 2: Representación geométrica de un conjunto de notas. El contenido interválico, como decimos, lo forman todos los intervalos entre los puntos del hexacordo. El intervalo entre dos notas está dado por el camino más corto en el círculo (distancia geodésica). En la figura vemos la filatura de segmentos urdidos de nota a nota. Denota, anota (perdón por el tuteo): el primer hexacordo, a la izquierda; el segundo, en el centro; a la derecha, el histograma común. Figura 3: Dos hexacordos complementarios y sus contenidos interválicos. Es importante avisar aquí que las notas separadas por un diámetro, el llamado tritono o diabolus in musica, cuentan como 2. Más adelante, en la segunda parte de esta serie, se verá el porqué y la utilidad de esta convención. El contenido interválico depende solo de la distancia entre los puntos del círculo. Así, los movimientos rígidos preservarán el contenido interválico. Esos movimientos son los giros, las simetrías respecto a un diámetro y las simetrías seguidas por giros. Pongamos un ejemplo; consideremos el conjunto A=. Si lo giramos 4 posiciones obtenemos T4(A)=. Si le aplicamos una simetría S respecto al diámetro que pasa por 0, resulta el conjunto S(A)=. Por último, la composición de ambas operaciones da S(T4(A))=. Bea se la figura (chica lista). Figura 4: Transformaciones de notas mediante movimientos rígidos. Hablemos con congruidad de congruencia: dos conjuntos de puntos se dicen congruentes si uno se obtiene del otro mediante movimientos rígidos. Hablemos con congruidad de contenido interválico: dos conjuntos de puntos se dicen homométricos si ambos tienen el mismo contenido interválico. La pregunta natural, obligada, casi ahogada, gutural, es: ¿existen, por ventura, conjuntos no congruentes que poseen el mismo contenido interválico? La respuesta es sí, yes, oui. Por ejemplo, A= y B=. Véase la figura de Bea (la hizo ella). Figura 5: Dos acordes homométricos pero no congruentes. Ahora es hora de describir, reescribir, circunscribir, lo anterior a términos musicales. Un acorde o una escala se puede concebir como un subconjunto de puntos en el círculo. Un giro corresponde a una transposición de un acorde o una escala. La menta hable mente, transposición en música no significa lo mismo que en teoría de grupos1, y eso a veces causa confusión. Aquí usaremos ese término en el sentido mus y cal. Las transposiciones de un acorde se corresponden con las permutaciones circulares del conjunto de puntos asociado. Figura 6: Transposición de un acorde. Los giros de un conjunto de puntos se corresponden con un cambio de fundamental en el acorde. Figura 7: Cambio de fundamental de un acorde vía transposición. Las simetrías seguidas de giros dan cuenta de diversos cambios de acordes. Permiten, por ejemplo, cambiar de modo. En la figura 8 se ve un cambio de do mayor a do menor. Figura 8: Cambio del modo de un acorde vía la simetría. O también pasar de un acorde de séptima de dominante a un acorde séptima de sensible: Figura 9: Transposición de un acorde. En música los conjuntos homométricos se llaman isómeros o también se dice que tienen la propiedad Z [For77]. 2. El teorema del hexacordo y su demostración Sin pérdida de tiempo, sin dilación, con apuro y premura, con urgencia y diligencia, con... ¡No te alargues más! ¡Enuncia el teorema ya! Me digo entonces: ¡Basta! (No tengo tiempo ni para las comillas). Helo aquí al vuelo: dos hexacordos complementarios son siempre homométricos. ¿Cómo? ¿Olvidé decir qué son los hexacordos complementarios? Tanta prisa no puede ser buena: son aquellos que no tienen notas comunes y cuya unión dan las 12 notas del círculo. Aunque enunciado aquí para 12 notas, en el contexto musical, el aserto es cierto para cualquier número de puntos. Es el teorema del hexacordo uno de esos resultados que flota en el ambiente de toda una época. Muchos lo intuían y solo unos pocos perseguían su demostración, pero ésta se escurría como pez plateado, como diente de león, como sombra furtiva. La demostración mariposeaba, risueña, burlona, coqueta casi, retando a su cazador. Ocurrió también que en varios campos se conocía el resultado, pero los protagonistas no se cultivaban entre sí ni recogían cosechas ajenas. En Teoría de la Música la primera demostración se debe a Lewin en 1959 [Lew59]. Lewin publicó un artículo que contenía una semilla, un germen, de demostración. Un año más tarde, en un nuevo artículo [Lew60] la germina, la gratina, la refina, la afina, con fino La Ína. Más tarde, en 1974, Regener [Reg74] descubrió una demostración simple que explota propiedades combinatorias de los intervalos. Desde entonces se han publicado otras demostraciones, unas más simples y otras más bien de complejidad enrevesada. Mazzola [Maz03] y Jedrzejewski [Jed06] tienen demostraciones cortas construidas sobre monumentales moles de granito matemático. Amiot [Ami07] publicó una demostración elegante, corta y defatigante, basada en la transformada del cabo fourrier Fourier. Blau [Bla99] en 1999 presentó una demostración muy elemental y perspicaz; estudió una pequeña propiedad, hizo un par de observaciones agudas, de piccolo, y dedujo el teorema sin despeinarse. Los teóricos de la música ignoraban por completo que en Cristalografía el teorema del hexacordo ya era conocido. En Cristalografía aparece el problema de determinar un conjunto de puntos a partir de sus distancias. En un principio, los cristalógrafos pensaron que podían recuperar las posiciones del conjunto de puntos a partir de sus distancias. Su gozo en un pozo; sus esperanzas, vanas; en fin, sollozo y escorrozo. Pronto dieron ejemplos de conjuntos de puntos distintos que tenían el mismo conjunto de distancias. A estos conjuntos los llamaron ciclotómicos. Retomemos la historia del teorema del hexacordo. Curiosa y ambagiosa situación: Patterson, un cristalógrafo, enunció el teorema, anunció una demostración [Pat44] (en 1944), renunció a publicarla. ¿Por qué? No se sabe. Nadie denunció la falta de la prueba. Solo en 1975 Buerger aportó y reportó una demostración sólida y pulida, nada dadá, nada gagá. Su demostración, no obstante ser triunfante por correcta, era pesante por circunspecta: usaba álgebra muy teórica, una demostración poco intuitiva. ¡Pero con Iglesias hemos topado! Sí, porque Iglesias, Juan Iglesias [Igl81], cristalógrafo, en 1981 dio una demostración simple y muy elegante, usando mera inducción; la reproducimos más adelante. Una demostración muy geométrica es la proporcionada por Senechal [Sen08]. Probablemente, Ballinger y sus coautores [BBOG09] han dado la demostración más sencilla y corta hasta el momento, demostración que generaliza el teorema del hexacordo al caso continuo (¿acordes continuos?). Más adelante, damos la demostración. El teorema del hexacordo se ha generalizado en varias direcciones, entre ellas, estudiando ritmos de diferentes cardinalidades; véanse las referencias  [Lew76], [Lew87], [Igl81], [Mor90], [Sod95] y [AG00]. 3. La demostración de Juan Iglesias Iglesias probó el teorema del hexacordo con una demostración sencilla, de blanco elegante, con blanco guante. Iglesias consideró un círculo con N puntos equiespaciados y puso sobre el círculo dos conjuntos, complementarios entre sí, uno con n puntos negros y el otro con b puntos blancos. Se dijo: "Observemos todas las distancias entre los dos conjuntos. Hum... las hay de tres tipos claramente: entre puntos negros, las llamaré distancias n-n; entre puntos blancos, serán las b-b; y entre puntos de distinto color, las n-b". Iglesias ve entonces una relación entre esas distancias. "Fijo una distancia d primero" -musita inspiradamente-; "pongamos que d ocurre ann veces entre puntos negros, abb veces entre puntos negros y anb veces entre puntos de distinto color". Continúa así: "Entonces podría escribir la siguiente relación, bella, ella: Iglesias llevó a cabo un pequeño análisis de casos que le condujo a la demostración de esa relación. "¿Qué pasa si cambio un punto negro por un punto blanco?" -se preguntó, juguetón, creativo, curioso- "¿Cómo cambia la relación anterior? ¿Cómo variarán las cantidades ann, abb y anb?" Así. Cada punto negro tiene solo otros dos puntos, del color que sea, a distancia d exactamente. Con estos puntos tres casos despuntan: Los dos puntos a distancia d son blancos: Figura 10: Caso 1 de la demostración de Iglesias. El número de distancias entre puntos blancos aumenta en 2 y el de distancias negro-blanco disminuye en 2. Los dos puntos a distancia d tienen distinto color: Figura 11: Caso 2 de la demostración de Iglesias. El número de distancias entre puntos blancos aumenta en 1 y el de distancias negras disminuye en 1. Los dos puntos a distancia d son negros: Figura 12: Caso 3 de la demostración de Iglesias. El número de distancias entre puntos negros disminuye en 2 y el de distancias negro-blanco aumenta en 2. "Si la relación es cierta para un conjunto de n puntos negro y su complementario, con b puntos blancos, ¿qué pasa con la relación (1) cuando se cambia un punto negro?" -se preguntó finalmente Iglesias. Nada cambia: Para el caso (1): Para el caso (2): Para el caso (3): ¿Cómo se prueba el teorema del hexacordo a partir de las relaciones que descubrió Juan Iglesias? En un abrir y cerrar de ojos, en un plis plas, en un suspiro. Sea N par el número total de puntos en el círculo. En el caso del teorema del hexacordo los conjuntos tienen N/2 puntos cada uno, es decir, n=b=N/2. Luego: y así ann = abb. Nótese que esta igualdad, cuando se interpreta en la música, señala precisamente que el contenido interválico es idéntico. ¿Qué más decir? Bella y elegante demostración. Iglesias: amén. 4. Para saber más Completamos brevemente en esta última sección algunos puntos que se quedaron en el tintero. En el análisis de la música atonal, en especial en la dodecafónica, se usa frecuentemente las clases de alturas. Dos notas se dicen equivalentes si están en una misma octava. Esta relación es de equivalencia. Las clases de alturas son las clases de equivalencia dadas por esa relación. El conjunto de las clases de alturas tiene la misma estructura que Z12. Como ejemplo del uso de los hexacordos en Schoenberg, veamos los compases iniciales de La escalera de Jacob (figura 13). Figura 13: Los hexacordos de La escalera de Jacob. La obra comienza con los violonchelos exponiendo el primer hexacordo, [1, 2, 5, 4, 8. 7], en ostinato. Una a una van entrando las notas del hexacordo complementario, [0, 3, 11, 10, 6, 9], en un largo arpegio, hasta que se logra un acorde de 6 notas con un amplio registro. Después de esta exposición los instrumentos entran en un contrapunto (no se muestra ya en la figura) con diferentes órdenes de las notas del primer hexacordo. Desde el punto de vista perceptual, es natural preguntarse si tras la escucha de un hexacordo o un ritmo se puede captar con precisión el contenido interválico y si dicha percepción constituye un factor musical relevante. Varios autores han llevado a cabo experimentos con sujetos para determinar si las estructuras de teoría de conjuntos usadas en la música atonal tienen correlato perceptual. Bruner [Bru84] descubrió en sus experimentos que los juicios de similitud entre acordes, presentados de varias maneras, no se correspondían con las propiedades de los sonidos como conjuntos, sino con otras tales como consonancia, número de notas en común o relaciones armónicas. Gibson realizó varios experimentos para investigar esta cuestión. En [Gib86] Gibson quiso probar las relaciones de similitud expuestas por Forte [For77] en su libro The Structure of Atonal Music. De 39 sujetos, solo 3 calificaron la similitud entre acordes siguiendo las teorías de Forte. En [Gib88] Gibson explora la relevancia perceptual de las clases de alturas y en [Gib93], la de los hexacordos complementarios concretamente. En ambos experimentos el porcentaje de sujetos que juzgaron la similitud entre acordes según las teorías de Forte fue similar al dado por el puro azar. A pesar de lo dicho más arriba sobre la relevancia perceptual de ciertos conceptos matemáticos, las matemáticas constituyen una gran herramienta de análisis, sobre todo de la música contemporánea atonal. Un ejemplo de ello es el libro Foundations of Diatonic Theory, de Johnson [Joh03]. Es un libro para músicos, parte de un proyecto llamado Mathematics Across the Curriculum, que explica muchos conceptos de teoría de la música con conceptos de matemáticas introducidos con total pertinencia. Bibliografía [AG00] T. A. Althuis and F. Göbel. Z-related pairs in microtonal systems. Memorandum 1524, University of Twente, The Netherlands, April 2000. [Ami07] Emmanuel Amiot. David Lewin and maximally even sets. Journal of Mathematics and Music, 1(3):157-172, 2007. [Bab87] Milton Babbitt. Milton Babbitt: Words About Music. The Wisconsin University Press, Madison, WI, 1987. Edited by Joseph Nathan Straus and Stephen Dembski. [BBOG09] B. Ballinger, F. Benbernou, N. Gomez, J. O'Rourke, and Toussaint G. The continuous hexachordal theorem. In E. Chew, A. Childs, and C-H. Chuan, editors, Mathematics and Computation in Music, pages 63-77. Springer, Berlin, 2009. [Bla99] Steven K. Blau. The hexachordal theorem: A mathematical look at interval relations in twelve-tone composition. Mathematics Magazine, 72(4):310-313, October 1999. [Bru84] C.L. Bruner. The perception of contemporary pitch structures. Music Perception, 2(1):25-39, 1984. [For77] Allen Forte. The Structure of Atonal Music. The Yale University Press, Madison, WI, 1977. [Gib86] D.B. Gibson. 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Miércoles, 05 de Mayo de 2010 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Música y matemáticas
Autor:Rafael Losada
Vibraciones y propagación Desde mucho antes de la aparición de la vida, en nuestro planeta se generan vibraciones provocadas por los objetos al chocar o rozarse entre ellos. Como ejemplos -muy usados en las bandas sonoras de algunas películas- tenemos las provocadas por la lluvia y el granizo, el viento, fuentes y ríos, olas, volcanes y terremotos, truenos, meteoritos, desprendimientos y aludes, agrietamientos... Estas vibraciones pueden propagarse si encuentran un medio, sea gaseoso, líquido o sólido, por el que hacerlo. Los medios más abundantes en nuestro planeta, que sirven de transmisores de las vibraciones, son la tierra, el agua y el aire. Para nuestros propósitos, nos centraremos en este último. La presión atmosférica o la danza invisible Las moléculas del aire nunca se encuentran quietas. Al contrario, cada molécula se desplaza continuamente de lugar con una velocidad media de unos 500 m/s (1.800 km/h). Dado que las moléculas se encuentran muy cercanas unas de las otras, a sólo 6.10-8 m, el número medio de colisiones elásticas por segundo es muy elevado (dividiendo las anteriores cantidades lo obtenemos: casi 1010 colisiones en cada segundo). Esta es la razón por la que las moléculas del aire desafían en parte la fuerza gravitatoria y  “no caen” sobre la superficie terrestre. Tanta danza frenética no les deja tiempo. En su frenesí, las moléculas del aire también bombardean constantemente la superficie de cualquier objeto presente. Este cúmulo de muchísimos aunque ligerísimos impactos crean una fuerza constante en cada unidad de superficie. Es lo que llamamos presión atmosférica. La unidad de presión es el pascal (la presión atmosférica a nivel del mar, 1 atmósfera, equivale a unos 100.000 Pa). La presión atmosférica puede variar de un sitio a otro, o con el tiempo, pero tales variaciones son muy lentas, como puede comprobar cualquiera que se quede contemplando un barómetro. La onda sonora Los objetos vibrantes provocan sucesivas tandas de compresiones y depresiones del aire que les rodea, rapidísimos y ligerísimos cambios de presión que obligan a las moléculas a desplazarse en un “vaivén” –oscilación- que se propaga por el aire. Esta propagación, en un efecto dominó de alteraciones de presión, se conoce como onda sonora. Se debe tener presente que lo que se propaga es la oscilación de las moléculas, el tren de compresiones y depresiones, no las moléculas en sí. La oscilación de las moléculas se realiza en la misma dirección que la propagación de la onda. La onda sonora es, pues, una onda longitudinal (por contraste con las olas marinas, que son ondas transversales, es decir, perpendiculares a la dirección de propagación). En todo caso, la energía primaria causante de la vibración se consume –se transforma en calor–, debido al rozamiento en el movimiento de todas esas moléculas hasta su vuelta al estado de relativo reposo (si se puede llamar así a su frenética e invisible danza). Los seres vivos Pero antes de desaparecer, tal vez algún testigo haya registrado esas ligeras alteraciones de presión. Los animales, nosotros entre ellos, hemos desarrollado órganos específicos para que actúen de receptores de esas alteraciones. En nuestro caso, el oído. A la vez, los animales producimos vibraciones. Captar las ondas que generan ha sido y es importante para nuestra supervivencia, ya sea como aviso ante un peligro, como reclamo ante una posible presa o como parte del sistema de comunicación. Primera variable independiente: la frecuencia de oscilación Los rápidos cambios de presión en las moléculas del aire se realizan a una determinada velocidad, distinta para cada sonido. Esta velocidad se conoce como frecuencia y representa el número de oscilaciones que la molécula realiza en un segundo. Su unidad es el hercio (400 Hz = 400 oscilaciones en un segundo). Segunda variable independiente: la intensidad. La amplitud y el volumen Independientemente del número de oscilaciones que realicen por segundo las moléculas, es decir, independientemente de su frecuencia, el recorrido de ida y vuelta de la oscilación puede ser más o menos amplio. Cuanta más presión ejerzan (proporcional a la energía de la fuente vibrante), mayor será la distancia recorrida –amplitud– en cada vibración. Esta intensidad de presión en el aire la percibimos como volumen del sonido y nos permite distinguir entre sonidos fuertes y débiles. Para hacernos una idea de lo pequeños que son estos cambios de presión, comparados con la presión atmosférica habitual, baste decir que un sonido que provoque un cambio de presión de 1 Pa, en un rango de frecuencias que podamos captar sin esfuerzo, lo percibimos como un sonido fuerte. Recordemos que la presión atmosférica equivalía a unos 100.000 Pa. Pero, ¿por qué nuestro oído no “oye” la presión atmosférica y en cambio si oye el sonido? La respuesta la encontramos en la velocidad a la que se producen ambos fenómenos. El sonido produce un cambio de presión leve pero brusco (la onda se mueve a 340 m/s), de forma que el aire presente en el interior de la trompa de Eustaquio no puede compensarlo instantáneamente, produciéndose una diferencia de presión que mueve el tímpano. La resonancia Puede suceder que la frecuencia de la onda coincida con la frecuencia con la que puede vibrar un objeto al ser golpeado. Si la energía de la onda es suficiente, al alcanzar uno de estos objetos, la oscilación en la superficie del objeto se transmite a todo su interior, haciéndolo entrar en vibración a su vez, y, por lo tanto, comportándose como nueva fuente sonora. Este fenómeno se conoce como “resonancia”. La famosa escena de la copa de cristal que se rompe ante la nota intensa y precisa de una soprano o un tenor es un ejemplo extremo de resonancia. Si golpeásemos –ligeramente– la copa de cristal, produciría un sonido de la misma frecuencia que la emitida por la cantante. Al recibir la onda sonora, el cristal entra en resonancia y se pone a vibrar en “su frecuencia natural”. Si la vibración supera la capacidad de elasticidad del cristal –que no es mucha– se acaba produciendo su rotura. El oído Dada la enorme cantidad de vibraciones que simultáneamente pueden incidir en nuestro tímpano, haciéndolo vibrar a su vez, hemos desarrollado un complejo sistema discriminatorio, capaz de “separar” la combinación recibida en “partes más simples”. Este sistema se basa en la disposición, en el oído interno, de células especializadas en activarse sólo ante determinadas frecuencias, al estar situadas en medios que sólo entrarán en resonancia en esas frecuencias. Simplifiquemos un poco en aras de mayor claridad. Nuestro oído puede percibir vibraciones con frecuencias comprendidas entre unos 18 Hz y unos 18.000 Hz. Si percibimos un sonido resultado de la combinación de cuatro vibraciones: sonido=, las células especializadas en la recepción de cada tipo de vibración cribarán las componentes del sonido: sólo se activarán las células situadas en zonas que entren en resonancia con las frecuencias 200, 708, 1.524 y 3.967. Al sonido percibido lo podemos llamar “200-708-1.524-3.967”, pero es muy importante para la comprensión de la relación entre música y matemáticas tener en cuenta desde un principio que registramos cada frecuencia por separado. Cuantas menos vibraciones compongan un sonido, menos actividad se registrará en nuestro oído. Nuestra percepción mental es de un sonido “puro”, “claro”, “nítido”. El sonido producido por un diapasón es un buen ejemplo. Su equivalente visual podría ser un cielo despejado. Por el contrario, si son muchas y de diverso tipo las vibraciones que conforman el sonido, percibiremos éste como “oscuro”, “confuso”, “impreciso”. Su equivalente visual podría ser un tupido bosque. Además, aunque en principio la intensidad del sonido es independiente de la frecuencia, no lo es en nuestra recepción del sonido. Nuestro oído es más sensible a las altas frecuencias, de forma que con la misma intensidad de sonido percibimos un volumen mayor en frecuencias altas respecto a las bajas. El ritmo Muchos sonidos naturales se repiten con cierta fidelidad en períodos cortos de tiempo. Goteos diversos después de la lluvia, las olas, los pasos al caminar o correr, el canto de algunos pájaros, los latidos del corazón, los ladridos del perro del vecino... El oído forma parte de nuestro sistema de vigilancia. Si el ritmo es suficientemente pausado y suave la esperada repetición de los sonidos relaja nuestros receptores auditivos, provocando una disminución en nuestro estado de alerta y la consecuente sensación de relajamiento –que en ocasiones llega a dormirnos–. En contraste, si deseamos provocar el estado opuesto en los que están alrededor nuestra, nada mejor que estimular sus células receptoras con sonidos intensos, rápidos y cambiantes, dando fuertes palmadas y gritos, a la vez que brincamos, gesticulamos y cambiamos frecuentemente de lugar para alertar también al sistema visual (¿el nacimiento de la danza?). El poderoso cerebro Hace un millón de años el cerebro humano ya se había desarrollado mucho más que el de sus vecinos primates. El descenso desde el árbol a la planicie y el enfrentamiento a un medio hostil, creó en el Homo necesidades sociales especiales (¿el nacimiento de la diplomacia?) que provocaron el desarrollo de un cerebro más poderoso. Éste debía ser capaz de supeditar su primera reacción instintiva a una cierta contención que evitase enfrentamientos internos y mantuviese la cohesión del grupo, fundamental para sobrevivir sin otras defensas. (Una consecuencia indeseada del aumento del cráneo para albergar al crecido cerebro, unido al estrechamiento de la cadera que exigía la movilidad bípeda, fue la transformación del parto en un suceso doloroso y arriesgado.) El habla Este poderoso cerebro era capaz de experimentar y aprender más deprisa, pero no lo suficiente. Hace unos 200.000 años, la necesidad de una comunicación más precisa que capacitase la transmisión rápida y eficaz de una gran variedad de conocimientos (¿el nacimiento del sistema educativo?), provocó el paulatino descenso de nuestro principal órgano fonador: la laringe. A pesar del peligro, en ocasiones mortal, que esto supone –y que seguimos padeciendo cada vez que nos atragantamos al ingerir algún alimento–, el premio obtenido con esta evolución es de valor incalculable: podemos hablar. El placer mental Cuando el receptor del mensaje (sea hablado o no) lo interpreta adecuadamente experimenta placer. Lo que denominamos placer –mental- es una recompensa química producida en el cerebro como agradecimiento a cierta actividad neuronal, cierto tipo de reconocimiento, en este caso del significado de la idea transmitida. A su vez, la manifestación física de este placer (signos de complicidad, asombro o sorpresa, risas, caricias) acentúan el interés del emisor por intentar reproducirlo, al tiempo que acelera en el receptor un deseo de convertirse también en emisor. La voz Ahora bien, hablar no es tan sencillo como gruñir (aunque, a veces, sea difícil encontrar la diferencia en algunos individuos). Por una parte, se necesita una cierta cadencia al emitir los sonidos. Por otra, los sonidos emitidos deben disponer de un mínimo de claridad. Para potenciar al máximo el sistema de recompensas cerebrales periódicas (¿el nacimiento de la “motivación”?), tan importante en la transmisión de conocimientos, las voces se aclaran, se dulcifican, se suavizan, se afinan, se templan. El resultado de todo este proceso es una voz muy alejada del primitivo gruñido. Una voz más armoniosa. Los instrumentos Podemos considerar nuestro sistema fonador como un sofisticado instrumento musical (muchos defienden que el más perfecto de todos). Pero la naturaleza dispone de un amplio repertorio de sonidos que no pueden dejar de ser percibidos. Por un lado, los generados por los elementos sin vida, que para el Homo no lo estaban tanto, pues se movían, “hablaban” y hasta aterraban en ocasiones: mar, lluvia, relámpagos... Por otro, los de la naturaleza viva: aves, insectos, mamíferos (los temidos felinos entre ellos), incluso las hojas de los árboles parecen tener “su habla propia” al mecerse con el aire. El ser humano fue descubriendo que con algunos objetos, como huesos y piedras, debidamente dispuestos y manejados, también podía generar sonidos “curiosos” y rítmicos, sobre todo si los objetos dejaban algo de aire entre ellos o dentro de ellos. El aire contenido en una caja o un tubo, o el que separa dos objetos cercanos, puede comportarse como un objeto cuya masa entra en resonancia con la fuente sonora, aumentando la intensidad del sonido. Algunos de estos sonidos resultaban particularmente agradables. A partir de caracolas, huesos, cuernos, juncos y troncos, el hombre aprendió a construir diversos tubos que “hablaban como el viento” al soplar en ellos, o que “hablaban como el trueno” al golpearlos. Incluso logró que algunos tubos “hablasen como los pájaros”. El placer era doble, pues el intérprete podía hacer que el viento, el trueno o los pájaros sonasen a su conveniencia, más o menos fuerte, más o menos prolongado, más o menos “alegre”. La cuerda del arco empleado en la caza también emitía, tensándola al máximo, cierto sonido característico y “tembloroso” que tampoco pasó desapercibido. La invención de la metalurgia (cobre, bronce, hierro) aumentó las posibilidades sonoras de los instrumentos de percusión y viento. El tono o altura Muchos de los sonidos producidos por los nuevos instrumentos tenían una característica común con la voz humana: se percibía en ellos una agudeza o gravedad bien definidas, lo que se conoce como altura o tono. Este concepto corresponde a nuestra percepción de la frecuencia de la vibración. Cuanto mayor es la frecuencia, es decir, cuanto más rápido vibran las moléculas de aire que alcanzan nuestro tímpano, más alto es el tono percibido. Así, distinguimos entre sonidos graves (frecuencia baja, hasta 300 Hz), medios (frecuencia media, entre 300 y 2.000 Hz) y agudos (frecuencia alta, más de 2.000 Hz). Para que la altura sea percibida de forma nítida es necesario que en el sonido, frecuentemente complejo, predomine una determinada frecuencia o tono fundamental. Así, una trompeta emite un sonido con pocas frecuencias, lo que percibimos como “sonido claro o brillante”, mientras que un tambor produce muchas distintas por lo que no le otorgamos una altura definida. La melodía La melodía es una sucesión, en el tiempo, de sonidos que forman “palabras” y “frases”. Los “espacios” entre ellas son los silencios. Estos términos son más que una analogía. Las frases melódicas tienen su origen en la repetición más o menos igual de frases entonadas, es decir, en la voz y en el canto. La armonía Cuando varias voces se superponen en el mismo instante, cada una con su particular frecuencia o tono fundamental, el resultado será, casi siempre, caótico. La armonía consiste en buscar, para cada instante, aquellos sonidos que guarden cierta relación de orden entre sí. Matemáticas Este rápido resumen nos aporta las claves para la presencia de las Matemáticas en la Música. Las Matemáticas estudian las cantidades, las formas, sus relaciones y sus variaciones. La Música es la combinación y variación de ciertas cantidades (frecuencia, intensidad) en un mismo instante (armonía) y a lo largo del tiempo (ritmo, melodía). Comprender estas claves es el objeto de esta sección de Divulgamat.
Domingo, 01 de Julio de 2007 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Música y matemáticas
Autor:Rafael Losada
La insoportable levedad del ser La constancia de lo pasajero de la existencia humana provoca en el poderoso cerebro del Homo la necesidad de dejar constancia, de algún modo, de su propia y fugaz existencia. Como reacción a la dolorosa conciencia del paso del tiempo hemos creado sistemas para mitigarla: aprecio familiar y social, celebraciones, valores morales, fama y poder, religiones, investigación, ciencia y... artes. La línea del tiempo El arte surge de la necesidad de cada individuo de comunicar su propia sensibilidad, por lo que no precisa una finalidad material. La artesanía, la arquitectura, la escultura, la pintura o la fotografía se convierten en arte cuando logran esa comunicación con alguien que no sea algún admirador incondicional, lo que les dota de cierta intemporalidad. Pero, además, otras artes incluyen un tiempo narrativo específico como elemento artístico, como es el caso de la literatura, el teatro, la cinematografía, la danza y, sobre todo, la música. Funciones Función. 3. Acto organizado, que constituye un espectáculo de cualquier clase, al que concurre gente. 5. Mat. Con respecto a una cantidad, otra cuyo valor depende del de aquella. (Diccionario de uso del español de María Moliner.) La música comparte estas dos acepciones. Por una parte, necesita de una ejecución interpretativa, ya sea propia o ajena, que le confiere carácter de espectáculo. Por otra, su dependencia de la variable tiempo es total. Huellas musicales Basta una piedra o algo de barro para dejar una huella que nos sobreviva pero, hasta hace muy poco, nuestra voz moría con nosotros. De la misma forma que podemos enseñar palabras y frases, también podemos enseñar canciones. Durante siglos, las canciones populares (y los bailes asociados) no necesitaron de ningún registro material para su transmisión y enriquecimiento de generación en generación. Cuando las canciones se fueron acumulando se hizo patente la necesidad de registrarlas como ya se registraba la palabra: por escrito. Ahora bien, ¿cómo? Frecuencias fundamentales: hacia la abstracción Cuando cantamos bajo la ducha Cantando bajo la lluvia, gloriosos reyes de nuestro privado espectáculo musical, cualquier parecido con E. J. Curran (Gene Kelly) será, normalmente, una calumnia. Sin embargo, casi milagrosamente, los sufridos familiares o vecinos seguramente habrán reconocido la canción subyacente a nuestra infame interpretación. Independientemente de nuestra voz, nos hemos acercado (valga el eufemismo) lo suficiente a “la secuencia de distancias –intervalos- entre sucesivas frecuencias fundamentales” que rigen la canción para hacerla reconocible. Así que si disponemos de alguna forma de anotar estos intervalos tendríamos una especie de “esqueleto” de la canción. En eso consiste una partitura. “Las sinfonías de Beethoven no existen” (Daniel Baremboim) Esta frase del conocido pianista resume contundentemente su propia labor como intérprete y director. Las partituras registran la duración y frecuencia de cada sonido en cada instante, pero carecen de “carne palpitante”. Necesitan de una segunda inteligencia creadora, un “recreador” (el intérprete o el director, según el caso) que intente reconstruir la idea original del compositor. Con otras palabras, la partitura muestra un código abstracto que deberá concretarse en la interpretación. Volviendo a la ducha, supongamos que nos escucha alguien que oye por vez primera nuestra personalísima versión de Singin’ in the rain. Al margen de su más que probable estupefacción, sólo una recreación completa a partir de nuestras vagas indicaciones sonoras, basada en el conocimiento y estudio de otras composiciones análogas, le haría posible reconstruir algo similar al original. El periódico ABC Como las letras ya estaban inventadas, los primeros intentos para escribir música se basaron en ellas, asignando una frecuencia concreta a cada una de las primeras letras del alfabeto. Así, las siete notas básicas se representan en la notación inglesa y alemana como A, B, C, D, E, F y G, que corresponden, respectivamente, a la notación latina Mi, Fa, Sol, La, Si, Do y Re. La famosa canción Do-Re-Mi de The Sound of Music (Sonrisas y lágrimas) nos recuerda el carácter cíclico de las notas (en inglés, Do Re Mi Fa So La Ti). El doblaje no tiene desperdicio. En realidad, se trata de una versión moderna, y muy buena, al estilo del poema elegido por el monje Guido d'Arezzo (992-1050) para enseñar a solfear, y de donde provienen los nombres de las notas (la nota Si se añadió posteriormente). En este tipo de notación –nomenclatura– se observan graves deficiencias. Primero, se limita a siete frecuencias fundamentales. Esto es fácilmente superable añadiendo más letras. Segundo, no indica la duración de cada sonido. También superable, añadiendo las indicaciones correspondientes. Tercero, y lo más grave, no ofrece una visión global rápida de la evolución de las notas y sus duraciones, algo fundamental para una correcta reconstrucción de la composición. Podemos ver cada nota por separado, pero resulta difícil ver su evolución al variar el tiempo. Subamos el volumen Mientras tanto, los matemáticos se enfrentaban a un problema similar. Es sencillo reconocer visualmente una forma, como un cubo (el cuerpo regular, no el recipiente de la fregona), y calcular su volumen. En principio, este cálculo se hacía para cada cubo particular. Así, para cubos con aristas de longitudes 1, 2, 3, 4,... se obtuvieron los correspondientes volúmenes 1, 8, 27, 60 (perdón, 64),... Posteriormente, se generalizó a cualquier lado x, obteniendo el volumen x3. Esta potencia heredó el nombre de su origen geométrico: “número cúbico”, “elevar al cubo”, “x al cubo” o “el cubo de x”. Tenemos entonces que podemos ver cada volumen por separado, pero resulta difícil ver su evolución al variar el lado. ¡El mismo problema de notación que en música! Los músicos se adelantan Dado que gran parte de las antiguas composiciones musicales se dirigían hacia el canto, no parecía conveniente añadir más letras a las propias de la canción. Tampoco se pretendía “leer música” tal como ahora lo conocemos. Simplemente, había que crear una notación que ayudase a recordar si la sílaba a cantar tenía una altura o frecuencia mayor o menor que la precedente. Surgieron así en la Edad Media los neumas, unos signos que se colocaban sobre el texto ayudando a refrescar la memoria. Al principio, la posición de estos signos no dependía de su indicación sobre la altura de la nota –notación adiastemática–, sólo acompañaba al texto. Posteriormente, se añadió una línea base llamada pauta (¡el eje de abscisas!) sobre la que distanciar los neumas en función de su altura (¡el eje de ordenadas!). Para mayor precisión, se añadieron más líneas horizontales –más pautas–, primero hasta cuatro (tetragrama), y por fin hasta cinco (pentagrama). Si es necesario, se pueden añadir tantas líneas auxiliares como se desee. Sistema ortogonal La representación basada en pautas es, básicamente, bidimensional. El eje horizontal, la pauta, no sigue exactamente la línea del tiempo, pues la duración de los sonidos (o silencios) viene dada por ciertas modificaciones en la forma de anotar la nota. Sin embargo, simplificando, si todas las notas tuvieran la misma duración el eje horizontal coincidiría con la línea del tiempo. El eje vertical, la altura, tampoco sigue exactamente la frecuencia del sonido. Para empezar, entre una frecuencia y su doble (es decir, entre dos notas consecutivas del mismo nombre) siempre hay exactamente la misma distancia (3 ½ pautas). Así que la escala del eje vertical parece ser logarítmica (base 2). Pero la proporción (que es el equivalente a distancia en escalas logarítmicas) entre dos notas consecutivas tampoco es siempre la misma, pues, por ejemplo, del Mi al Fa hay la mitad de distancia que del Re al Mi. Tenemos que hablar, por lo tanto, de una escala pseudologarítmica. Incluso así, tenemos dos ejes perpendiculares, con la variable vertical evolucionando sobre la horizontal. Nicole d’Oresme René Descartes (1596-1650) publica en 1637 su Discours de la méthode (Discurso del método). El apéndice La géométrie (La geometría) se considera la base de la Geometría Analítica y del Cálculo.  Sin embargo, las ideas contenidas en este apéndice no hacen mención en absoluto de ningún sistema de referencia coordenado. Su éxito se debe a la bidireccionalidad que establece entre los métodos geométricos y algebraicos para el cálculo de soluciones. Si no fue Descartes, ¿a quién debemos la idea de un sistema gráfico que permita cuantificar las formas variables?  El sistema “cartesiano” debería llamarse, en realidad, “oresmiano”, pues, tal como señala Boyer (1968) fue Nicole d’Oresme (1323-1382), quien casi tres siglos antes que Descartes tiene la gran idea de intentar dibujar cómo varía una cierta cantidad. Para ello recurre a los términos de longitud y latitud, equivalentes a las abscisas y ordenadas actuales. Gráficas y funciones Dado que las pautas aparecen con Guido otros tres siglos antes, parecería que Nicole imita su notación musical. Sin embargo, existe una gran diferencia. La notación de Guido permite, ciertamente, una visión rápida de la evolución de las notas con el tiempo, pero no establece un sistema de referencia auténtico. A los cantantes no les preocupaba a qué distancia está determinada nota del origen del canto, sólo a qué altura está en un instante determinado. Por lo tanto, no se establece una relación funcional entre el tiempo transcurrido y la nota a emitir. Considerar las dos variables a la vez dotó al sistema de Oresme de una verdadera notación dinámica. Referencias: Boyer (1968) “Historia de la Matemática”, Alianza Universidad 1986.
Sábado, 01 de Septiembre de 2007 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico
Cultura y matemáticas/Música y matemáticas
Autor:Rafael Losada
Una vibración misteriosa El curioso comportamiento de los instrumentos musicales generó dos de los problemas matemáticos que a lo largo de la historia despertaron un interés excepcional dando lugar a una de las controversias más encendidas y fructíferas en la historia de las matemáticas. Veamos un resumen de la fascinante investigación que consiguió desentrañar el misterio. Pitágoras Desde los tiempos de Pitágoras se conoce, empíricamente, que la altura del sonido fundamental percibido al pulsar una cuerda con extremos fijos depende de la longitud de la cuerda, resultando la frecuencia inversamente proporcional a la longitud. (Una dependencia similar se observa respecto a la longitud de los tubos en los instrumentos de viento, problema que analizaremos en otra ocasión.) Mersenne (sin sus primos) Marin Mersenne en su obra “Armonía Universal” (1636) describe con precisión, pero sin demostrarla, la relación entre la frecuencia del sonido fundamental de una cuerda y su longitud, tensión y densidad, algo que también consigue, independientemente, Galileo. La obra de Mersenne se convirtió en fuente teórica de la música del siglo XVII, sobre todo en Francia. Dos problemas peliagudos Hasta el siglo XVIII, la matemática no se encuentra lo suficientemente avanzada como para abordar dos problemas intrigantes: El problema de la cuerda vibrante: Determinar el movimiento de una cuerda tensa al pulsarla. Demostrar o rebatir la relación de Mersenne: Dada la longitud y el peso de una cuerda, así como la fuerza que la tensa, encontrar el tiempo de vibración. Brook Taylor En 1715, Taylor encuentra que el movimiento de un punto arbitrario de la cuerda es el de un péndulo simple y determina su tiempo de vibración (periodo). Obtiene en su lenguaje propio, un tanto distinto del nuestro, la ecuación diferencial de la cuerda vibrante, es decir la ecuación unidimensional de ondas, y a partir de ella halla una solución: la forma de la curva que toma la cuerda en un instante dado es sinusoidal. Parciales armónicos Para entender el problema de la cuerda vibrante es necesaria la observación de su comportamiento. El sonido fundamental no es el único que emite la cuerda al vibrar. Simultáneamente, se producen otros sonidos (parciales) de menor intensidad. La distribución e intensidad de estos parciales (timbre) diferencian instrumentos o voces que ejecuten la misma nota. En el caso de los instrumentos de cuerda y viento, las frecuencias de estos parciales son múltiplos de la frecuencia fundamental F. De estos múltiplos (armónicos), el primero es la propia frecuencia fundamental, el segundo el doble (2F), el tercer armónico el triple (3F), etc. ¿Por qué múltiplos exactos? Al pulsar la cuerda se produce una onda transversal viajera, como una ola, que recorre la cuerda hasta los extremos, con una cierta amplitud (separación máxima respecto del punto de reposo). Allí, incapaz de continuar su propagación, se refleja. Esto ocasiona que dos ondas reflejadas en los extremos viajen una contra otra hasta superponerse en la cuerda. La suma de estas dos ondas reflejadas es una onda longitudinal llamada onda estacionaria. Este nombre se debe a que, al superponerse, las ondas reflejadas parecen dejar de propagarse, convirtiéndose en una oscilación de la cuerda. Esta oscilación es la que se propagará al aire. Cada onda reflejada habrá recorrido dos veces la longitud de la cuerda hasta encontrarse de nuevo en el extremo de partida. Así que la longitud de la onda estacionaria es el doble de la longitud de la cuerda. Ahora bien, al superponerse las dos ondas transversales para formar la onda estacionaria, podrán aparecer puntos (vientres) en donde las dos ondas coincidan en fase, así que la amplitud será el doble. También pueden aparecer puntos (nodos) en donde las ondas se encuentren desfasadas 180º, así que en ellos la amplitud será nula (no se mueven). Estos nodos actúan como extremos fijos de partes de la cuerda, por lo que la vibración de estas partes emitirá un sonido más agudo (con mayor frecuencia). Para que los nodos aparezcan, tienen que estar distribuidos por igual a lo largo de la cuerda. Por lo tanto, las longitudes de esos trozos de cuerda tienen que ser divisores de la longitud total de la cuerda. Como la frecuencia es inversamente proporcional a la longitud, se deduce que los nuevos sonidos tienen que tener como frecuencia un múltiplo de la frecuencia fundamental, es decir, tienen que ser armónicos. El problema de la cuerda vibrante Ahora bien, lo curioso es que la cuerda no varía alternativamente entre un armónico y otro, sino que emite todos los sonidos armónicos al mismo tiempo. He aquí el quid de la cuestión, causa de intriga y discusión entre los matemáticos: ¿cómo se las arregla la cuerda para vibrar de varias formas distintas a la vez? D’Alembert, Daniel Bernoulli y Euler El problema de la cuerda vibrante promueve la intensa búsqueda de una explicación. En esta búsqueda, d'Alembert muestra la solución general de la ecuación de onda como suma de dos funciones generales y periódicas. Inmediatamente, surge una fuerte controversia entre la solución establecida por Taylor y la nueva de d’Alembert: ¿la solución es general o sólo admite soluciones sinusoidales? Para echar más leña al fuego se meten por medio otros dos genios: Euler y Daniel Bernoulli, que no hacen sino aumentar la consciencia de la tremenda confusión que todos sentían. En medio de esta polémica, Bernoulli encuentra la ecuación de cada armónico y, en consecuencia, demuestra la relación que ya había encontrado empíricamente Mersenne entre frecuencia, longitud de la cuerda, tensión y densidad. El segundo de los problemas había sido resuelto. Otra consecuencia de la ecuación de Bernoulli es que la envolvente de las posiciones de la cuerda son dos parábolas. El problema de la cuerda vibrante se resiste La causa de la confusión entre estos genios estriba en que los matemáticos de esta época concebían una función a modo de polinomio, es decir, lo que hoy llamamos función analítica.  ¡Pero un polinomio queda perfectamente determinado para todos los valores una vez que se conocen sus valores en un intervalo por pequeño que sea! Para ellos, el estado de vibración de una parte de la cuerda debería determinar la vibración de la cuerda entera. Fourier Fourier fue discípulo de Lagrange, Monge y Laplace. En su Teoría analítica del calor recurre a series trigonométricas para modelizar ciertos comportamientos evolutivos. Estas series permiten resolver, por fin, el problema de la cuerda vibrante, al servir de puente entre las sinusoidales de Taylor y las funciones generales de d’Alembert. La gran diferencia entre la serie trigonométrica de Fourier y otras series, como la serie de potencias de Taylor, reside en que estas últimas representan una función analítica: toda ella está determinada por su comportamiento en cualquier pequeño intervalo. La serie de Fourier puede representar a una función mucho más general (aquí un ejemplo) y tiene un carácter local: el valor de la serie en un entorno no contiene ninguna información sobre el valor de la serie en otro entorno disjunto del anterior. Solución al problema de la cuerda vibrante Resulta, pues, que la cuerda no vibra de ninguno de los modos que vimos, sino de una suma ponderada de ellos. Los coeficientes de la serie de Fourier varían según los distintos armónicos (y por lo tanto, según el timbre del instrumento). En el caso de la cuerda, también varían según la posición del punto de pulsación. Ante un movimiento tan complejo, no es de extrañar la perplejidad causada en los matemáticos. Algo va mal Aunque el problema de la cuerda vibrante parecía resuelto, el modo (digamos “alegre”) en que Fourier empleaba sus series trigonométricas provocó la crítica, más que razonable, de otros tres genios matemáticos: Lagrange, Laplace y Abel. El problema residía en que Fourier manejaba las series infinitas sin establecer previamente su convergencia. Este proceder puede conducir a resultados absolutamente erróneos. Así las cosas, el problema de la cuerda vibrante parecía resuelto en la práctica, pero sin un fundamento teórico consistente. Un año histórico Por fin, en 1829, Dirichlet, discípulo de Fourier, establece las condiciones de convergencia de las series de Fourier. Esto marcó un hito en la historia de las matemáticas. El análisis armónico El desarrollo del análisis matemático del siglo XIX tiene como hilo conductor el deseo de proporcionar respuestas satisfactorias a las muchas preguntas originadas en el estudio de la cuerda vibrante. Durante todo ese siglo, y hasta hoy, el análisis armónico empieza a aplicarse a una amplia variedad de fenómenos, desde la naturaleza de la luz o la estructura del átomo hasta los ordenadores, a la vez que impulsa la investigación sobre los fundamentos de las matemáticas. Por último, la “Teoría de las cuerdas”, actualmente la mejor candidata para unificar las fuerzas fundamentales, se sirve de la analogía con las cuerdas vibrantes para definir su modelo físico del comportamiento de la materia.
Jueves, 01 de Noviembre de 2007 | Imprimir | PDF |  Correo electrónico

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