La transcripción algebraica le permite afirmar:


Y puede mostrar cómo hay que hacerlo para resolverlas geométricamente. Conviene recordar en todo momento que lo que Descartes hace —así lo indica en  título del ensayo, Géométrie— es geometría. De ahí la importancia de una construcción geométrica efectiva y completa.

Además, en uno de aquellos momentos de genialidad que le caracterizan, afirma que:


Esta afirmación será precisada y demostrada doscientos años más tarde, en 1837, por Jean Pierre Wantzel.

Sin embargo, el filósofo era consciente que su método debía ir más allá y resolver problemas que, en la geometría griega, eran difícilmente resolubles o incluso eran imposible resolver.  Por esta razón plantea, a modo de colofón del Libro I, el problema de las tres y las cuatro rectas que había sido estudiado por Apolonio y resuelto parcialmente por Pappos. En síntesis, establece:


El éxito de Descartes es doble. Por un lado, puede reescribir el problema en función de las coordenadas x,y del punto C. Obtiene una ecuación general de segundo grado en x,y.
Entonces, en el Libro II, establece:

Toda ecuación de la forma

Ax² + 2Bxy + Cy² + 2Ex + 2Fy + G = 0

es una cónica y su naturaleza depende del signo del discriminante Δ = B² - 4AC.

Se plantea entonces la cuestión:


La respuesta es afirmativa:

Entonces Descartes plantea y resuelve el más simple de los problemas aún  por resolver. Es el problema de las cinco rectas, cuatro de las cuales son paralelas y equidistantes y la quinta es perpendicular a todas ellas. Obtiene la cúbica semiparabólica:

Así pues, de lo que se trata es

1) de caracterizar las ecuaciones polinómicas y

2) de ver, de alguna manera, si las ecuaciones polinómicas corresponden a problemas geométricos.

Por lo que, a la primera cuestión se refiere, Descartes decide que las únicas curvas que podemos considerar como geométricas son aquellas que admiten una caracterización algebraica polinómica, aun cuando, para él, esta caracterización sea siempre subsidiaria. Lo importante es que procedan de un problema geométrico en el cual se dé una teoría de la proporción dependiente. Las curvas cuya teoría de la proporción es independiente, las llama mecánicas y las excluye de la Geometría. Esto será criticado muy vehementemente por Leibniz que introducirá las curvas algebraicas —son las cartesianas— y las curvas trascendentes —son las que trascienden el álgebra.

Para Descartes las curvas geométricas deben ser construíbles con algún ingenio que tenga la misma precisión que la regla y el compás. No hay razón alguna, según Descartes, para limitarse a estos dos instrumentos a la hora de resolver problemas geométricos. De ahí los compases que Descartes ofrece justo al inicio del Libro II, De la Naturaleza de las curvas. Es curioso observar que, con el segundo de sus compases, se puede construir la cúbica semiparabólica que resuelve el problema de las cinco rectas que acaba de analizar. Además se pueden fabricar curvas de cualquier grado. Sin embargo, Descartes no plantea el problema de si toda curva geométrica va asociada a algún tipo de compás que permita construirla.

De ahí la importancia de la segunda cuestión planteada:


Descartes lo resuelve afirmando que


La respuesta de Descartes, de este problema geométrico, es algebraica. Bastará que el círculo y la curva se corten en un punto doble. Es decir, tenemos la ecuación de la curva y la ecuación de la circunferencia del círculo osculador: Si eliminamos, por ejemplo, y, obtenemos una ecuación polinómica P(x)=0 que debe tener un a raíz doble x=a. Esto, según Descartes, lo podemos expresar en la forma:

en donde Q(x) es un polinomio que corrige el grado de (x-a)² y que se obtiene por el método de los coeficientes indeterminados, un método introducido por Descartes y también, simultáneamente, por Fermat. Ello permite determinar finalmente los parámetros v y s, teniendo en cuenta que a es x.

Todo ello lo puede aplicar entonces Descartes a la óptica y a la fabricación de lentes. Introduce los famosos óvalos [de Descartes] y los analiza.

Sin embargo para una comprensión cabal de su exposición hacía falta familiarizarse con  el lenguaje del álgebra y con las técnicas de resolución de ecuaciones polinómicas. Además, los matemáticos griegos habían planteado, y resuelto, problemas que no eran planos como la trisección del ángulo y la duplicación del cubo. Por esta razón Descartes ofrece un tercer Libro, De la construcción de los problemas sólidos y más que sólidos, en el cual expone los rudimentos del lenguaje algebraico de los polinomios, entre los cuales incluye la famosa regla de los signos que, según John Wallis, ya era conocida con anterioridad por Thomas Harriot. Nos indica la manera de resolver las ecuaciones cúbicas y las cuárticas, en cuyo caso ofrece un método personal de una gran originalidad:

Toda cuártica se puede descomponer como el producto de dos ecuaciones de segundo grado, los coeficientes de las cuales se obtienen, por el método de los coeficientes indeterminados, resolviendo una ecuación cúbica. Formalmente, dada la cuártica reducida  x⁴ + bx² + cx + d, hacemos

Este método sería el que elegiría Leonhard Euler para resolver una  ecuación polinómica en general, pero no podemos garantizar que, para grados superiores, podamos resolver las ecuaciones que permiten determinar los coeficientes de las ecuaciones de segundo grado.

Descartes, además, establece el enunciado del teorema fundamental del álgebra en los términos:

De ahí el nombre de número imaginario que se dio a las raíces no reales de las ecuaciones polinómicas. El primer intento por demostrar este teorema lo debemos a Jean le Rond d'Alembert y data de 1746. Para Descartes, sin embargo, las únicas raíces aceptables son las reales positivas —que llama raíces positivas. Las negativas —que llama falsas— son aceptables porque son las raíces de la ecuación polinómica que se obtiene al substituir X por -X.

Pero fiel a su propósito geométrico, Descartes se ve obligado a dar una interpretación geométrica de las ecuaciones cúbicas y cuárticas. Entonces establece que toda cuártica se puede resolver cortando un círculo y una cónica adecuados. Establece con toda claridad la equivalencia que hay entre resolver una cúbica irreducible en el sentido de Gerolamo Cardano —de discriminante negativo— y la trisección del un ángulo, mientras que las cúbicas no irreducibles equivalen a saber doblar un cubo. Da un método geométrico para trisecar un ángulo dado.

El carácter generalizador de su método lo lleva a preguntarse como podemos resolver geométricamente una ecuación polinómica, en general. Pero, en realidad, sólo lo hace para las quínticas y las séxticas. La idea consiste en cortar una circunferencia con una curva adecuada —en el caso de las ecuaciones de segundo grado, con una recta; en el caso de las cúbicas y cuárticas, con una cónica. Pues bien, en el caso de las quínticas y las séxticas se puede recurrir a la cúbica semiparabólica que ha obtenido en el caso de las cinco rectas, con lo que su obra se cierra con una unidad que parecía difícil de conseguir.

No es ésta la única aportación que Descartes hizo a la matemática —recordemos su método para aproximar con regla y compás la longitud de una circunferencia de radio dado, sus contribuciones en aritmética, su intento por resolver el problema de deBaunne, su aproximación a la fórmula de Euler-Poincaré, las curvas algebraicas que introdujo, como los óvalos, el folio, etc.—, pero es sin duda la más importante de todas y una de las más importantes de la primera mitad del siglo XVII y uno de los textos básicos de toda la historia de la matemática. En él, Descartes no sólo introduce la geometría analítica o cartesiana sino que pone los cimientos de la geometría algebraica.

Basten los ítems expuestos para comprender su profundidad, unidad interna, originalidad y novedad y recúrrase a la bibliografía para una mayor profundización.