1537. Se publicó el tratado Nova scientia inventa (Venecia) consagrado a la balística. En él, Tartaglia sostuvo que la trayectoria de un proyectil lanzado por un cañón se componía de tres tramos: el primero,  rectilíneo e inclinado; el segundo, curvilíneo [= un arco de circunferencia]; el tercero, rectilíneo y vertical.

1539. Gerónimo Cardano (1501-1576), famoso médico, astrólogo, filósofo y matemático, residente en Milán, se enteró del descubrimiento de Tartaglia relativo a la ecuación x³ + px = q, y quiso incluirlo en su obra Practica Arithmetica Generalis que estaba terminando.

Gerónimo Cardano

Cardano propuso al librero Zuan Antonio da Bassano, amigo de ambos, que visitase a Tartaglia para que le facilitase el método de resolución. Este encuentro tuvo lugar el 2 de enero y la respuesta de Tartaglia fue negativa.
Gerónimo le escribió una carta, fechada el 12 de febrero, en la que reiteró su petición. Tartaglia permaneció firme en su decisión de no comunicar su fórmula.
El 13 de marzo Cardano le remitió una nueva carta en la que le invitaba a su casa de Milán, prometiendo que le pondría en contacto con Alfonso de Ávalos, gobernador del Milanesado. Tartaglia aceptó con la esperanza de  presentar al gobernador sus recientes investigaciones en el campo de la artillería.  La reunión se celebró el 25 de marzo de 1539.
En esta ocasión, Gerónimo logró su objetivo y Tartaglia le reveló sus métodos para resolver las  cúbicas x³ + px = q , x³ + q = px , x³ = px + q  (p > 0 , q > 0). Para ello, se sirvió de unos tercetos de los que hablaremos más adelante.

Tercetos de tercer grado

Cardano juró por los Santos Evangelios que no haría públicos los descubrimientos de Nicolás.

1542. Cardano y su discípulo Ludovico Ferrari (1522-1565) viajaron a Bolonia y obtuvieron permiso de Aníbal de la Nave, yerno de Scipione del Ferro, para consultar los documentos científicos que éste había heredado de su suegro. Entre ellos encontraron la resolución de la ecuación x³ + px = q que precedía a la de Tartaglia en veinte años. Esta fue la regla que, tres años más tarde, Cardano incluyó en su Artis Magnae, Sive de Regulis Algebraicis [= Ars Magna].

1545. Se imprimió el Ars Magna.

En el capítulo XI de esta obra [Cubo y primera potencia iguales a número], se ofrece la resolución de la cúbica x³ + px = q y se  atribuye la paternidad de la regla a Scipione del Ferro de Bolonia. No obstante, Cardano señala que, en su disputa con Antonio María Fior, Tartaglia la (re)descubrió.
La publicación de “su fórmula”  hizo que Tartaglia se sintiese traicionado por Cardano que, según Nicolás, había incumplido su sagrado juramento y obrado de mala fe.

1546. Se editaron las Quesiti et inventioni diverse, escritas en forma de diálogo y dedicadas a la ingeniería y al arte militar. En esta obra Tartaglia rectificó la teoría propuesta en Nova scientia inventa y  consideró que la trayectoria de un proyectil lanzado por un cañón es totalmente curvilínea.
Además, en este tratado aparece la versión de Tartaglia sobre su polémica con Cardano. Se reproducen las cartas intercambiadas y las conversaciones que mantuvieron. Tartaglia anima a Cardano a que desmienta lo que sea falso. Cardano no respondió a tal invitación.

1547. El 10 de febrero Tartaglia recibió respuesta a sus quejas por parte de Ludovico Ferrari. Se inició así una sucesión de réplicas y contrarréplicas, los famosos cartelli y risposti. Ferrari escribió seis y Tartaglia otros seis. En el último de ellos, fechado el 24 de julio de 1548, Tartaglia aceptaba las condiciones de un duelo matemático con Ferrari que empezó y acabó el 10 de agosto de 1548 con la victoria del discípulo de Cardano.

1551. Se publicó La travagliata inventione (Venecia), manual en el que se tratan asuntos tan diversos como la recuperación de barcos hundidos, la predicción del tiempo, etc.

1556. Se editaron las dos primeras partes  del General trattato de numeri et misure, dividido en seis. Las cuatro siguientes se publicaron en 1560 y la sexta fue escrita por un “docto matemático” que utilizó material del “tartamudo” de Brescia.
La primera parte del General trattato es un extenso tratado de aritmética práctica en el que se exponen profusamente las cuatro operaciones aritméticas elementales.
La segunda se dedica a la aritmética teórica e incluye el estudio de las potencias y la extracción de raíces cuadradas y cúbicas. En una de sus páginas, Tartaglia ofrece algunas noticias acerca de la resolución de las ecuaciones cúbicas y sobre su controversia con Cardano. Mención especial merece el cálculo de las once primeras potencias de un binomio en el que interviene el “triángulo aritmético” o “triángulo de Tartaglia”.
La tercera parte se consagra a la geometría práctica y la cuarta a la geometría especulativa.
En la quinta se estudia la geometría desde una óptica constructiva, primero en el plano y después en el espacio. Para construir la perpendicular a una recta desde uno de sus puntos, Tartaglia utiliza un procedimiento que ya fue utilizado por el matemático árabe Abu’l Wafa (940-998).

La sexta parte se consagra al álgebra, pero su contenido no va más allá de las ecuaciones de segundo grado. A la parte teórica sigue una colección de problemas mercantiles y geométricos resolubles por ecuaciones lineales o cuadráticas.

Portada de la primera parte del General trattato di numeri et misure (Venecia, 1556)	General trattato de numeri …, Primera parte, fol. 25v. Multiplicación “por cuadrilátero” y “por gelosía”

1557. Nicolás Fontana murió en Venecia el 13 de diciembre.

2. El álgebra sincopada de Tartaglia

En sus investigaciones de carácter algebraico, los matemáticos del Renacimiento italiano no utilizaron un simbolismo como el actual. Para representar la incógnita, sus potencias y los signos de las operaciones elementales hicieron uso de algunos caracteres [los caracteres cósicos] y abreviaturas. Para ilustrar el lenguaje del que se sirvió Tartaglia en sus trabajos algebraicos presentamos dos textos (uno de Quesiti et inventioni diverse y otro que se incluye en la respuesta de Nicolás al segundo cartello de Ludovico Ferrari.

TEXTO 1
Problema propuesto por el Maestro Antonio Veronese a Tartaglia
(16 de septiembre de 1527)

M.A. Una figura rómbica, cuyos lados miden 10 pies, tiene un área de 72 pies superficiales. Pregunto, ¿Cuál es la razón del diámetro [diagonal] mayor al diámetro [diagonal] menor?

N. No me parece un problema muy difícil, dado que, dividiendo el rombo en dos triángulos, cada uno de ellos tendrá un área de 36. Para saber cuál es la base de cada uno pongo que dicha base es una cosa. Luego, calculo la perpendicular [altura] y encuentro que es igual a R. universal de 100 men. 1/4 de censo. De modo similar calculo el área, que es igual a R. universal de 25 censos men. 1/16 de censo de censo. Esto debe ser igual a 36. Elevo al cuadrado los dos términos y resulta 1296 igual a 25 censos men. 1/16 censo de censo. Quito los quebrados, restauro las partes y encuentro que el valor de la cosa es R. universal de 200 más [Tartaglia escribe piu] R. 19264. Esto será el diámetro mayor del rombo. El diámetro menor será R. V. 200 men. R. 19264.

Quesiti et inventioni diverse, libro IX, quesito XIII

COMENTARIO

Teniendo en cuenta la tabla anterior, los cálculos de Tartaglia se puede traducir del modo siguiente:

TEXTO 2
Problema propuesto por Tartaglia en su respuesta al segundo cartello
de Ludovico Ferrari

Encuentro que 27 cu.cu más 36 primeros relatos más 54 segundos relatos más 8 cubos iguales  a 1000. Pregunto si esta ecuación (y otras similares) es resoluble por fórmula general y, en caso afirmativo, cuánto vale la cosa.

COMENTARIO

La ecuación presentada por Tartaglia se convierte en:

27x⁹ + 36x⁵ + 54x⁷ + 8x³ = 1000,

si se atiende a la información contenida en el cuadro anterior.